Aufgaben:Aufgabe 5.5: Fast-Fouriertransformation - Versionsgeschichte

Guenter am 21. Mai 2021 um 16:03 Uhr

2021-05-21T16:03:27Z

Guenter am 21. Mai 2021 um 15:50 Uhr

2021-05-21T15:50:35Z

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2021-05-21T15:33:59Z

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2021-05-21T15:27:28Z

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2019-10-16T08:44:52Z

Guenter am 16. Oktober 2019 um 08:21 Uhr

2019-10-16T08:21:35Z

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2018-07-29T17:08:09Z

Guenter am 29. Juli 2018 um 16:19 Uhr

2018-07-29T16:19:55Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:56Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 3. Februar 2018 um 15:04 Uhr

2018-02-03T15:04:08Z

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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten&nbsp; $D(3)$.
+{Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten&nbsp; $D(\mu=3)$.
 |type="{}"}
 $D(\mu=3) \ = \ $ { 0. }
-{Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten&nbsp; $D(4)$.
+{Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten&nbsp; $D(\mu=4)$.
 |type="{}"}
 $D(\mu=4) \ = \ $ { 1 3% }
@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 $D(\mu = 4) \ = \ $ { 1 }
-{Welche Spektralkoeffizienten würden sich für&nbsp; $d(ν = 4) = 1$&nbsp; und&nbsp; $d(ν \neq 4) = 0$&nbsp; ergeben? <br>Geben Sie zur Kontrolle die Werte&nbsp; $D(3)$&nbsp; und&nbsp; $D(4)$&nbsp; ein.
+{Welche Spektralkoeffizienten würden sich für&nbsp; $d(ν = 4) = 1$&nbsp; und&nbsp; $d(ν \neq 4) = 0$&nbsp; ergeben? <br>Geben Sie zur Kontrolle die Werte&nbsp; $D(\mu=3)$&nbsp; und&nbsp; $D(\mu=4)$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $D(\mu = 3) \ = \ $ { -1.03--0.97 }
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 \hspace{0.05cm}.$$
-*Insbesondere ergibt sich sich&nbsp; $D(3) \; \underline{=  -1}$&nbsp; und&nbsp; $D(4) \; \underline{= +1}$.
+*Insbesondere ergibt sich sich&nbsp; $D(\mu=3) \; \underline{=  -1}$&nbsp; und&nbsp; $D(\mu=4) \; \underline{= +1}$.
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]

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 {Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten&nbsp; $D(3)$.
 |type="{}"}
-$D(3) \ = \ $ { 0. }
+$D(\mu=3) \ = \ $ { 0. }
 {Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten&nbsp; $D(4)$.
 |type="{}"}
-$D(4) \ = \ $ { 1 3% }
+$D(\mu=4) \ = \ $ { 1 3% }
 {Ermitteln Sie die Ausgangswerte&nbsp; $X(0)$, ... , $X(7)$&nbsp; der ersten Stufe.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
 :$$8 \cdot D(3)  =   (w^0 + w^4) - (w^1 + w^5)+ (w^2 + w^6) - (w^3 + w^7) =   (1 + w + w^2+ w^3) \cdot (w^0 + w^4)\hspace{0.05cm}.$$
-*Wegen&nbsp; $w_0 = 1$&nbsp; und&nbsp; $w_4 = \text{e}^{-\text{j}\pi } = \hspace{0.08cm} - \hspace{-0.08cm}1$&nbsp; erhält man somit&nbsp; $\underline {D(3) = 0}$.
+*Wegen&nbsp; $w_0 = 1$&nbsp; und&nbsp; $w_4 = \text{e}^{-\text{j}\pi } = \hspace{0.08cm} - \hspace{-0.08cm}1$&nbsp; erhält man somit&nbsp; $\underline {D(\mu=3) = 0}$.
@@ Zeile 97: / Zeile 97: @@
 :$$ 8 \cdot D(4)  =    w^0 - w^4 + w^8- w^{12}+ w^{16}- w^{20}+
 w^{24}- w^{28}=   4 \cdot (w^0 - w^4)= 8 \hspace{0.3cm}
-\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{D(4) = 1}\hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{D(\mu=4) = 1}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 114: / Zeile 114: @@
-'''(5)'''&nbsp; Wegen&nbsp; $Y(5) = Y(6) =Y(7) = 0$&nbsp; spielen auch in der dritten Stufe die Multiplikationen mit&nbsp; $w$,&nbsp; $w^2$&nbsp; und&nbsp; $w^3$&nbsp; keine Rolle. Alle Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; ergeben sich deshalb zu Null mit Ausnahme von
+'''(5)'''&nbsp; Wegen&nbsp; $Y(5) = Y(6) =Y(7) = 0$&nbsp; spielen auch in der dritten Stufe die Multiplikationen mit&nbsp; $w$,&nbsp; $w^2$&nbsp; und&nbsp; $w^3$&nbsp; keine Rolle.&nbsp; Alle Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; ergeben sich deshalb zu Null mit Ausnahme von
-:$$\hspace{0.15 cm}\underline{D(4)} =  {1}/{N}\cdot \left[Y(0) - Y(4) \right ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 1}
+:$$\hspace{0.15 cm}\underline{D(\mu= 4)} =  {1}/{N}\cdot \left[Y(0) - Y(4) \right ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 1}
 \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 64: / Zeile 64: @@
 {Berechnen Sie alle&nbsp; $N$&nbsp; Spektralwerte&nbsp; $D(\mu)$, insbesondere
 |type="{}"}
-$D(\mu = 4) \ = \ $ { 1 3% }
+$D(\mu = 3) \ = \ $ { 0. 3% }
-$D(\mu \neq 4) \ = \ $ { 0. }
+$D(\mu = 4) \ = \ $ { 1 }
 {Welche Spektralkoeffizienten würden sich für&nbsp; $d(ν = 4) = 1$&nbsp; und&nbsp; $d(ν \neq 4) = 0$&nbsp; ergeben? <br>Geben Sie zur Kontrolle die Werte&nbsp; $D(3)$&nbsp; und&nbsp; $D(4)$&nbsp; ein.

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID1177__Sig_A_5_5_neu.png|right|frame|FFT-Algorithmus für&nbsp; $N=8$]]
-Die Grafik zeigt den Signalflussplan der FFT für&nbsp; $N = 8$. Aus den Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, d(7)$&nbsp; werden die dazugehörigen Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , D(7)$&nbsp; ermittelt. Für diese gilt mit&nbsp; $0 ≤ μ ≤ 7$:
+Die Grafik zeigt den Signalflussplan der Fast-Fouriertransformation&nbsp; $\rm (FFT)$&nbsp; für&nbsp; $N = 8$.&nbsp;
 :$$D(\mu) =  \frac{1}{N}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
@@ Zeile 24: / Zeile 26: @@
-Der eigentliche FFT–Algorithmus geschieht für das Beispiel&nbsp; $N = 8$&nbsp; in&nbsp; $\log_2 N = 3$&nbsp; Stufen, die mit&nbsp; $L = 1$,&nbsp; $L =2$&nbsp; und&nbsp; $L = 3$&nbsp; bezeichnet werden. Weiter gilt:
+Der eigentliche FFT–Algorithmus geschieht für das Beispiel&nbsp; $N = 8$&nbsp; in&nbsp; $\log_2 N = 3$&nbsp; Stufen, die mit&nbsp; $L = 1$,&nbsp; $L =2$&nbsp; und&nbsp; $L = 3$&nbsp; bezeichnet werden.&nbsp; Weiter gilt:
-* In jeder Stufe sind vier Basisoperationen – so genannte ''Butterflies'' – durchzuführen.
+* In jeder Stufe sind vier Basisoperationen – so genannte '''Butterflies''' – durchzuführen.
-* Die Werte am Ausgang der ersten Stufe werden in dieser Aufgabe mit&nbsp; $X(0),\hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , X(7)$&nbsp; bezeichnet, die der zweiten mit&nbsp; $Y(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}  , Y(7)$.
+* Die Werte am Ausgang der ersten Stufe werden in dieser Aufgabe mit&nbsp; $X(0),\hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , X(7)$&nbsp; bezeichnet, <br>die der zweiten mit&nbsp; $Y(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}  , Y(7)$.
-* Nach der dritten und letzten Stufe sind alle Werte noch durch&nbsp; $N$&nbsp; zu dividieren. Hier liegt dann das endgültige Ergebnis&nbsp; $D(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}  , D(7)$&nbsp; vor.
+* Nach der dritten und letzten Stufe sind alle Werte noch durch&nbsp; $N$&nbsp; zu dividieren.&nbsp; Hier liegt dann das endgültige Ergebnis&nbsp; $D(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}  , D(7)$&nbsp; vor.
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 $D(4) \ = \ $ { 1 3% }
-{Ermitteln Sie die Ausgangswerte&nbsp; $X(0)$, ... , $X(7)$&nbsp; der ersten Stufe. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Ermitteln Sie die Ausgangswerte&nbsp; $X(0)$, ... , $X(7)$&nbsp; der ersten Stufe.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
 - Alle&nbsp; $X$&ndash;Werte mit geradzahligen Indizes sind gleich&nbsp; $2$.
 + Alle&nbsp; $X$&ndash;Werte mit ungeradzahligen Indizes sind gleich&nbsp; $0$.
-{Ermitteln Sie die Ausgangswerte&nbsp; $Y(0)$, ... , $Y(7)$&nbsp; der zweiten Stufe. Geben Sie zur Kontrolle die Werte&nbsp; $Y(0)$&nbsp; und&nbsp; $Y(4)$&nbsp; ein.
+{Ermitteln Sie die Ausgangswerte&nbsp; $Y(0)$, ... , $Y(7)$&nbsp; der zweiten Stufe.&nbsp; Geben Sie zur Kontrolle die Werte&nbsp; $Y(0)$&nbsp; und&nbsp; $Y(4)$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $Y(0) \ = \ $ { 4 3% }

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 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Entsprechend der auf dem Angabenblatt gegebenen allgemeinen DFT–Gleichung gilt mit $w = \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot
+'''(1)'''&nbsp; Entsprechend der auf dem Angabenblatt gegebenen allgemeinen DFT–Gleichung gilt mit&nbsp; $w = \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot
-  \hspace{0.05cm}\pi /4}$ unter Berücksichtigung der alternierenden Zeitkoeffizienten:
+  \hspace{0.05cm}\pi /4}$&nbsp; unter Berücksichtigung der alternierenden Zeitkoeffizienten:
 :$$8 \cdot D(3)  =    w^0 - w^3 + w^6- w^9+ w^{12}- w^{15}+ w^{18}-
@@ Zeile 86: / Zeile 86: @@
 w^{5}\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass aufgrund der Periodizität $w_9 = w_1$, $w_{12} = w_4$, $w_{15} = w_7$, $w_{18} = w_2$ und $w_{21} = w_5$ ist. Nach Umsortieren gilt in gleicher Weise:
+*Hierbei ist berücksichtigt, dass aufgrund der Periodizität&nbsp; $w_9 = w_1$,&nbsp; $w_{12} = w_4$,&nbsp; $w_{15} = w_7$,&nbsp; $w_{18} = w_2$&nbsp; und&nbsp; $w_{21} = w_5$&nbsp; ist.
 :$$8 \cdot D(3)  =   (w^0 + w^4) - (w^1 + w^5)+ (w^2 + w^6) - (w^3 + w^7) =   (1 + w + w^2+ w^3) \cdot (w^0 + w^4)\hspace{0.05cm}.$$
-Wegen $w_0 = 1$ und $w_4 = \text{e}^{-\text{j}\pi } = \hspace{0.08cm} - \hspace{-0.08cm}1$ erhält man somit $\underline {D(3) = 0}$.
+*Wegen&nbsp; $w_0 = 1$&nbsp; und&nbsp; $w_4 = \text{e}^{-\text{j}\pi } = \hspace{0.08cm} - \hspace{-0.08cm}1$&nbsp; erhält man somit&nbsp; $\underline {D(3) = 0}$.
 '''(2)'''&nbsp; In analoger Weise zur Teilaufgabe '''(1)''' ergibt sich nun:
 :$$ 8 \cdot D(4)  =    w^0 - w^4 + w^8- w^{12}+ w^{16}- w^{20}+
 w^{24}- w^{28}=   4 \cdot (w^0 - w^4)= 8 \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{D(4) = 1}\hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID1178__Sig_A_5_5c_neu.png|right|frame|Beispiel für den FFT-Algorithmus]]
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Der Term $w_0 = 1$ muss nicht berücksichtigt werden.
+*Der Term&nbsp; $w^0 = 1$&nbsp; muss nicht berücksichtigt werden.
-*Alle Ausgangswerte mit ungeraden Indizes sind durch die Subtraktion zweier identischer Eingangswerte $0$.
+*Alle Ausgangswerte mit ungeraden Indizes sind durch die Subtraktion zweier identischer Eingangswerte Null.
-*Die erste Aussage trifft nicht zu: &nbsp; Es gilt $X(0) = X(2) = +2$ und $X(4) = X(6) = - 2$.
+*Die erste Aussage trifft nicht zu: &nbsp; Es gilt&nbsp; $X(0) = X(2) = +2$&nbsp; und&nbsp; $X(4) = X(6) = - 2$.
-'''(4)'''&nbsp; Auf die Multiplikation mit $w^{2} = -{\rm j}$ kann verzichtet werden, da im Signalflussplan die entsprechenden Eingangsgrößen $0$ sind.
-*Man erhält somit $Y(0) \;\underline{= 4}$ und $Y(4) \;\underline{=  - \hspace{-0.03cm}4}$.
+'''(4)'''&nbsp; Auf die Multiplikation mit&nbsp; $w^{2} = -{\rm j}$&nbsp; kann verzichtet werden, da im Signalflussplan die entsprechenden Eingangsgrößen Null sind.
 *Alle anderen Werte sind Null.
 '''(5)'''&nbsp; Wegen $Y(5) = Y(6) =Y(7) = 0$ spielen auch in der dritten Stufe die Multiplikationen mit $w$, $w^2$ und $w^3$ keine Rolle. Alle Spektralkoeffizienten $D(\mu)$ ergeben sich deshalb zu Null mit Ausnahme von
-*$$\hspace{0.15 cm}\underline{D(4)} =  {1}/{N}\cdot \left[Y(0) - Y(4) \right ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 1}
+:$$\hspace{0.15 cm}\underline{D(4)} =  {1}/{N}\cdot \left[Y(0) - Y(4) \right ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 1}
 \hspace{0.05cm}.$$
-Dieses Ergebnis stimmt mit den Ergebnissen aus '''(1)''' und '''(2)''' überein.
+Dieses Ergebnis stimmt mit den Ergebnissen aus&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; überein.
-'''(6)'''&nbsp; Nachdem sowohl die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ als auch alle Spektralkoeffizienten $D(\mu)$ rein reell sind, besteht kein Unterschied zwischen der FFT und der IFFT. Das bedeutet gleichzeitig: die Eingangs– und Ausgangswerte können vertauscht werden.
+'''(6)'''&nbsp; Nachdem sowohl die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; als auch alle Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; rein reell sind, besteht kein Unterschied zwischen der FFT und der IFFT.
-Die Teilaufgabe '''(5)''' hat das folgende Ergebnis geliefert:
+*Die Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; hat das folgende Ergebnis geliefert:
 :$$d({\rm gerades}\hspace{0.15cm}\nu) =  +1, \hspace{0.2cm}d({\rm
@@ Zeile 127: / Zeile 134: @@
 \hspace{0.3cm}D(\mu = 4)= 1,\hspace{0.2cm}D(\mu \ne 4)= 0.$$
-Durch Vertauschen der Eingangs– und Ausgangswerte kommt man zur Aufgabenstellung '''(6)''':
+*Durch Vertauschen der Eingangs– und Ausgangswerte kommt man zur Aufgabenstellung&nbsp; '''(6)''':
-$$d(\nu = 4)= 1, \hspace{0.2cm}d(\nu \ne 4)= 0 \hspace{0.3cm}
+:$$d(\nu = 4)= 1, \hspace{0.2cm}d(\nu \ne 4)= 0 \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}D({\rm gerades}\hspace{0.15cm}\mu) = +1,
 \hspace{0.2cm}D({\rm ungerades}\hspace{0.15cm}\mu)=  -1
 \hspace{0.05cm}.$$
-Insbesondere ergibt sich sich $D(3) \; \underline{=  -1}$ und $D(4) \; \underline{= +1}$.
+*Insbesondere ergibt sich sich&nbsp; $D(3) \; \underline{=  -1}$&nbsp; und&nbsp; $D(4) \; \underline{= +1}$.
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]

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 }}
-[[Datei:P_ID1177__Sig_A_5_5_neu.png|right|frame|FFT-Algorithmus für $N=8$]]
+[[Datei:P_ID1177__Sig_A_5_5_neu.png|right|frame|FFT-Algorithmus für&nbsp; $N=8$]]
-Die Grafik zeigt den Signalflussplan der FFT für $N = 8$. Aus den Zeitkoeffizienten $d(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, d(7)$ werden die dazugehörigen Spektralkoeffizienten $D(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , D(7)$ ermittelt. Für diese gilt mit $0 ≤ μ ≤ 7$:
+Die Grafik zeigt den Signalflussplan der FFT für&nbsp; $N = 8$. Aus den Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, d(7)$&nbsp; werden die dazugehörigen Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , D(7)$&nbsp; ermittelt. Für diese gilt mit&nbsp; $0 ≤ μ ≤ 7$:
 :$$D(\mu) =  \frac{1}{N}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
   \hspace{0.05cm}\mu}\hspace{0.05cm},$$
-wobei der komplexe Drehfaktor $w = \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot
+wobei der komplexe Drehfaktor&nbsp; $w = \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot
-  \hspace{0.05cm}2\pi /N}$ zu verwenden ist, also $w = \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot
+  \hspace{0.05cm}2\pi /N}$&nbsp; zu verwenden ist, also&nbsp; $w = \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot
-  \hspace{0.05cm}\pi /4}$ für $N = 8$.
+  \hspace{0.05cm}\pi /4}$&nbsp; für&nbsp; $N = 8$.
-*Am Eingang wird die alternierende $±1$–Folge $\langle\hspace{0.05cm} d(ν)\hspace{0.05cm}\rangle$ angelegt.
+*Am Eingang wird die alternierende $±1$–Folge&nbsp; $\langle\hspace{0.05cm} d(ν)\hspace{0.05cm}\rangle$&nbsp; angelegt.
-*Nach der Bitumkehroperation ergibt sich daraus die Folge $\langle \hspace{0.05cm}b(\kappa)\hspace{0.05cm}\rangle$.
+*Nach der Bitumkehroperation ergibt sich daraus die Folge&nbsp; $\langle \hspace{0.05cm}b(\kappa)\hspace{0.05cm}\rangle$.
-Es gilt $b(κ) = d(ν)$, wenn man $ν$&nbsp; als Dualzahl darstellt und die resultierenden drei Bit als $κ$&nbsp; in umgekehrter Reihenfolge geschrieben werden. Beispielsweise
+Es gilt&nbsp; $b(κ) = d(ν)$, wenn man&nbsp; $ν$&nbsp; als Dualzahl darstellt und die resultierenden drei Bit als&nbsp; $κ$&nbsp; in umgekehrter Reihenfolge geschrieben werden. Beispielsweise
-* folgt aus $ν = 1$ (binär $001$) die Position $κ = 4$ (binär $100$),
+* folgt aus&nbsp; $ν = 1$&nbsp; $($binär&nbsp; $001)$&nbsp; die Position&nbsp; $κ = 4$&nbsp; $($binär&nbsp; $100)$,
-* verbleibt $d(2)$ an der gleichen Position $2$ (binär $010$).
+* verbleibt&nbsp; $d(2)$&nbsp; an der gleichen Position&nbsp; $2$&nbsp; $($binär&nbsp; $010)$.
-Der eigentliche FFT–Algorithmus geschieht für das Beispiel $N = 8$ in $\log_2 N = 3$ Stufen, die mit $L = 1$, $L =2$ und $L = 3$ bezeichnet werden. Weiter gilt:
+Der eigentliche FFT–Algorithmus geschieht für das Beispiel&nbsp; $N = 8$&nbsp; in&nbsp; $\log_2 N = 3$&nbsp; Stufen, die mit&nbsp; $L = 1$,&nbsp; $L =2$&nbsp; und&nbsp; $L = 3$&nbsp; bezeichnet werden. Weiter gilt:
 * In jeder Stufe sind vier Basisoperationen – so genannte ''Butterflies'' – durchzuführen.
-* Die Werte am Ausgang der ersten Stufe werden in dieser Aufgabe mit $X(0),\hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , X(7)$ bezeichnet, die der zweiten mit $Y(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}  , Y(7)$.
+* Die Werte am Ausgang der ersten Stufe werden in dieser Aufgabe mit&nbsp; $X(0),\hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , X(7)$&nbsp; bezeichnet, die der zweiten mit&nbsp; $Y(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}  , Y(7)$.
-* Nach der dritten und letzten Stufe sind alle Werte noch durch $N$ zu dividieren. Hier liegt dann das endgültige Ergebnis $D(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}  , D(7)$ vor.
+* Nach der dritten und letzten Stufe sind alle Werte noch durch&nbsp; $N$&nbsp; zu dividieren. Hier liegt dann das endgültige Ergebnis&nbsp; $D(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}  , D(7)$&nbsp; vor.
@@ Zeile 34: / Zeile 36: @@
 ''Hinweis:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Fast-Fouriertransformation_(FFT)|Fast-Fouriertransformation (FFT)]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fast-Fouriertransformation_(FFT)|Fast-Fouriertransformation (FFT)]].
@@ Zeile 43: / Zeile 45: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten $D(3)$.
+{Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten&nbsp; $D(3)$.
 |type="{}"}
 $D(3) \ = \ $ { 0. }
-{Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten $D(4)$.
+{Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten&nbsp; $D(4)$.
 |type="{}"}
 $D(4) \ = \ $ { 1 3% }
-{Ermitteln Sie die Ausgangswerte $X(0)$, ... , $X(7)$ der ersten Stufe. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Ermitteln Sie die Ausgangswerte&nbsp; $X(0)$, ... , $X(7)$&nbsp; der ersten Stufe. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- Alle $X$&ndash;Werte mit geradzahligen Indizes sind gleich $2$.
+- Alle&nbsp; $X$&ndash;Werte mit geradzahligen Indizes sind gleich&nbsp; $2$.
-+ Alle $X$&ndash;Werte mit ungeradzahligen Indizes sind gleich $0$.
++ Alle&nbsp; $X$&ndash;Werte mit ungeradzahligen Indizes sind gleich&nbsp; $0$.
-{Ermitteln Sie die Ausgangswerte $Y(0)$, ... , $Y(7)$ der zweiten Stufe. Geben Sie zur Kontrolle die Werte $Y(0)$und $Y(4)$ ein.
+{Ermitteln Sie die Ausgangswerte&nbsp; $Y(0)$, ... , $Y(7)$&nbsp; der zweiten Stufe. Geben Sie zur Kontrolle die Werte&nbsp; $Y(0)$&nbsp; und&nbsp; $Y(4)$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $Y(0) \ = \ $ { 4 3% }
 $Y(4) \ = \ $ { -4.12--3.88 }
-{Berechnen Sie alle $N$ Spektralwerte $D(\mu)$, insbesondere
+{Berechnen Sie alle&nbsp; $N$&nbsp; Spektralwerte&nbsp; $D(\mu)$, insbesondere
 |type="{}"}
 $D(\mu = 4) \ = \ $ { 1 3% }
 $D(\mu \neq 4) \ = \ $ { 0. }
-{Welche Spektralkoeffizienten würden sich für $d(ν = 4) = 1$ und $d(ν \neq 4) = 0$ ergeben? <br>Geben Sie zur Kontrolle die Werte $D(3)$ und $D(4)$ ein.
+{Welche Spektralkoeffizienten würden sich für&nbsp; $d(ν = 4) = 1$&nbsp; und&nbsp; $d(ν \neq 4) = 0$&nbsp; ergeben? <br>Geben Sie zur Kontrolle die Werte&nbsp; $D(3)$&nbsp; und&nbsp; $D(4)$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $D(\mu = 3) \ = \ $ { -1.03--0.97 }

@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Fast-Fouriertransformation_(FFT)|Fast-Fouriertransformation (FFT)]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Entsprechend der auf dem Angabenblatt gegebenen allgemeinen DFT–Gleichung gilt mit $w = \text{e}^{–\text{j}\pi /4}$ unter Berücksichtigung der alternierenden Zeitkoeffizienten:
+'''(1)'''&nbsp; Entsprechend der auf dem Angabenblatt gegebenen allgemeinen DFT–Gleichung gilt mit $w = \text{e}^{-\text{j}\pi /4}$ unter Berücksichtigung der alternierenden Zeitkoeffizienten:
-$$\begin{align*}8 \cdot D(3) & =    w^0 - w^3 + w^6- w^9+ w^{12}- w^{15}+ w^{18}-
+:$$8 \cdot D(3)  =    w^0 - w^3 + w^6- w^9+ w^{12}- w^{15}+ w^{18}-
-w^{21} \\ & =    w^0 - w^3 + w^2- w^1+ w^{4}- w^{7}+ w^{6}-
+w^{21}  =    w^0 - w^3 + w^2- w^1+ w^{4}- w^{7}+ w^{6}-
-w^{5}\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
+w^{5}\hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei ist berücksichtigt, dass aufgrund der Periodizität $w_9 = w_1$, $w_{12} = w_4$, $w_{15} = w_7$, $w_{18} = w_2$ und $w_{21} = w_5$ ist. Nach Umsortieren gilt in gleicher Weise:
-$$\begin{align*} 8 \cdot D(3) & =   (w^0 + w^4) - (w^1 + w^5)+ (w^2 + w^6) - (w^3 + w^7) = \\
+:$$8 \cdot D(3)  =   (w^0 + w^4) - (w^1 + w^5)+ (w^2 + w^6) - (w^3 + w^7) =   (1 + w + w^2+ w^3) \cdot (w^0 + w^4)\hspace{0.05cm}.$$
-Wegen $w_0 = 1$ und $w_4 = \text{e}^{–\text{j}\pi } = \hspace{0.08cm} - \hspace{-0.08cm}1$ erhält man somit $\underline {D(3) = 0}$.
+Wegen $w_0 = 1$ und $w_4 = \text{e}^{-\text{j}\pi } = \hspace{0.08cm} - \hspace{-0.08cm}1$ erhält man somit $\underline {D(3) = 0}$.
-'''2.''' In analoger Weise zur Teilaufgabe ( 1) ergibt sich nun:
+'''(2)'''&nbsp; In analoger Weise zur Teilaufgabe ( 1) ergibt sich nun:
-$$\begin{align*} 8 \cdot D(4) & =    w^0 - w^4 + w^8- w^{12}+ w^{16}- w^{20}+
+:$$ 8 \cdot D(4)  =    w^0 - w^4 + w^8- w^{12}+ w^{16}- w^{20}+
-w^{24}- w^{28}= \\ & =   4 \cdot (w^0 - w^4)= 8 \hspace{0.3cm}
+w^{24}- w^{28}=   4 \cdot (w^0 - w^4)= 8 \hspace{0.3cm}
-\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{D(4) = 1}\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{D(4) = 1}\hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID1178__Sig_A_5_5c_neu.png|right|Beispiel für den FFT-Algorithmus]]
+[[Datei:P_ID1178__Sig_A_5_5c_neu.png|right|frame|Beispiel für den FFT-Algorithmus]]
+'''(5)'''&nbsp; Wegen $Y(5) = Y(6) =Y(7) = 0$ spielen auch in der dritten Stufe die Multiplikationen mit $w$, $w^2$ und $w^3$ keine Rolle. Alle Spektralkoeffizienten $D(\mu)$ ergeben sich deshalb zu Null mit Ausnahme von
-$$\hspace{0.15 cm}\underline{D(4)} =  {1}/{N}\cdot \left[Y(0) - Y(4) \right ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 1}
+*$$\hspace{0.15 cm}\underline{D(4)} =  {1}/{N}\cdot \left[Y(0) - Y(4) \right ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 1}
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 109: / Zeile 111: @@
-'''6.''' Nachdem sowohl die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ als auch alle Spektralkoeffizienten $D(\mu)$ rein reell sind, besteht kein Unterschied zwischen der FFT und der IFFT. Das bedeutet gleichzeitig: die Eingangs– und Ausgangswerte können vertauscht werden.
+'''(6)'''&nbsp; Nachdem sowohl die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ als auch alle Spektralkoeffizienten $D(\mu)$ rein reell sind, besteht kein Unterschied zwischen der FFT und der IFFT. Das bedeutet gleichzeitig: die Eingangs– und Ausgangswerte können vertauscht werden.
 Die Teilaufgabe (5) hat das folgende Ergebnis geliefert:
-$$d({\rm gerades}\hspace{0.15cm}\nu) =  +1, \hspace{0.2cm}d({\rm
+:$$d({\rm gerades}\hspace{0.15cm}\nu) =  +1, \hspace{0.2cm}d({\rm
-ungerades}\hspace{0.15cm}\nu)=  -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow
+ungerades}\hspace{0.15cm}\nu)=  -1$$
 \hspace{0.3cm}D(\mu = 4)= 1,\hspace{0.2cm}D(\mu \ne 4)= 0.$$
@@ Zeile 124: / Zeile 127: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Insbesondere egibt sich sich $D(3) \; \underline{= \ –1}$ und $D(4) \; \underline{= +1}$.
+Insbesondere ergibt sich sich $D(3) \; \underline{=  -1}$ und $D(4) \; \underline{= +1}$.
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 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]