Aufgaben:Aufgabe 5.4Z: Zum Hanning-Fenster - Versionsgeschichte

Guenter am 19. Mai 2021 um 15:31 Uhr

2021-05-19T15:31:44Z

Guenter am 19. Mai 2021 um 15:25 Uhr

2021-05-19T15:25:09Z

Guenter am 15. Oktober 2019 um 16:18 Uhr

2019-10-15T16:18:27Z

Guenter am 15. Oktober 2019 um 16:09 Uhr

2019-10-15T16:09:36Z

Guenter am 29. Juli 2018 um 14:55 Uhr

2018-07-29T14:55:22Z

Guenter am 29. Juli 2018 um 14:51 Uhr

2018-07-29T14:51:22Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:55Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 3. Februar 2018 um 14:02 Uhr

2018-02-03T14:02:36Z

Guenter am 3. Februar 2018 um 13:49 Uhr

2018-02-03T13:49:47Z

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2018-01-03T13:08:35Z

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 \frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ \frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm
 si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$
-*Diese Spektralfunktion ist gerade und für alle Frequenzen&nbsp; $f$&nbsp; auch reell. Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ergibt die Fensterfläche:
+*Diese Spektralfunktion ist gerade und für alle Frequenzen&nbsp; $f$&nbsp; auch reell.&nbsp; Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ergibt die Fensterfläche:
 :$$W(f=0) =
 \frac{0.5}{f_{\rm A}}=
@@ Zeile 117: / Zeile 117: @@
-'''(4)'''&nbsp; Der größte Spektralbetrag außerhalb der Hauptkeule tritt bei&nbsp; $f = ±2.5 f_{\rm A}$&nbsp; auf. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gilt:
+'''(4)'''&nbsp; Der größte Spektralbetrag außerhalb der Hauptkeule tritt bei&nbsp; $f = ±2.5 f_{\rm A}$&nbsp; auf.&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gilt:
 :$$W(f = 2.5 \cdot f_{\rm A}) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(2.5 \pi )
   +\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(1.5 \pi )+\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(3.5 \pi )=  \frac{0.25}{\pi \cdot f_{\rm A}}\left[ \frac{2}{2.5}-\frac{1}{1.5}-\frac{1}{3.5}\right] \approx -\frac{0.0121}{ f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

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 [[Datei:P_ID1168__Sig_Z_5_4.png|250px|right|frame|Charakterisierung des Hanning-Fensters]]
-In dieser Aufgabe sollen wichtige Eigenschaften des häufig verwendeten Hanning–Fensters hergeleitet werden. Die zeitkontinuierliche Darstellung im Intervall von&nbsp; $-T_{\rm P}/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T_{\rm P}/2$&nbsp; lautet hier wie folgt:
+In dieser Aufgabe sollen wichtige Eigenschaften des häufig verwendeten Hanning–Fensters hergeleitet werden.
 :$$w(t)= {\rm cos}^2(\pi \cdot
 {t}/{T_{\rm P}})=  0.5\cdot \big(1 + {\rm cos}(2\pi \cdot
 {t}/{T_{\rm P}}) \big )
 \hspace{0.05cm}.$$
-Außerhalb des symmetrischen Zeitbereichs der Dauer&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; ist $w&nbsp;(t) \equiv 0$.
+*Außerhalb des symmetrischen Zeitbereichs der Dauer&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; ist $w&nbsp;(t) \equiv 0$.
-Die obere Grafik zeigt die zeitdiskrete Darstellung&nbsp; $w(\nu) = w({\nu}  \cdot T_{\rm A})$, wobei&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; um den Faktor&nbsp; $N = 32$&nbsp; kleiner ist als&nbsp; $T_{\rm P}$. Der Definitionsbereich der diskreten Zeitvariablen&nbsp; $ν$&nbsp; reicht von&nbsp; $-16$&nbsp; bis&nbsp; $+15$.
+Die obere Grafik zeigt die zeitdiskrete Darstellung&nbsp; $w(\nu) = w({\nu}  \cdot T_{\rm A})$, wobei&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; um den Faktor&nbsp; $N = 32$&nbsp; kleiner ist als&nbsp; $T_{\rm P}$.&nbsp; Der Definitionsbereich der diskreten Zeitvariablen&nbsp; $ν$&nbsp; reicht von&nbsp; $-16$&nbsp; bis&nbsp; $+15$.
-In der unteren Grafik ist die Fouriertransformierte&nbsp; $W(f)$&nbsp; der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion&nbsp; $w(t)$&nbsp; logarithmisch dargestellt. Die Abszisse ist hierbei auf&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$&nbsp; normiert ist. Man erkennt:
+In der unteren Grafik ist die Fouriertransformierte&nbsp; $W(f)$&nbsp; der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion&nbsp; $w(t)$&nbsp; logarithmisch dargestellt.&nbsp; Die Abszisse ist hierbei auf&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$&nbsp; normiert ist.&nbsp; Man erkennt:
 *Die äquidistanten Werte&nbsp; $W({\mu}  \cdot f_{\rm A})$&nbsp; sind Null mit Ausnahme von&nbsp; $μ = 0$&nbsp; und&nbsp; $μ = ±1$.
 *Die Hauptkeule erstreckt sich somit auf den Frequenzbereich&nbsp; $|f| ≤ 2 · f_{\rm A}$.
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die zeitdiskreten Koeffizienten&nbsp; $w(ν)$&nbsp; des Hanning–Fensters analytisch an. <br>Welche Zahlenwerte ergeben sich für&nbsp; $ν = 0$,&nbsp; $ν = 1$&nbsp; und&nbsp; $ν =  -\hspace{0.05cm}8$?
+{Geben Sie die zeitdiskreten Koeffizienten&nbsp; $w(ν)$&nbsp; des Hanning–Fensters analytisch an. <br>Welche Zahlenwerte ergeben sich für &nbsp; $ν = 0$, &nbsp; $ν = 1$&nbsp; und &nbsp; $ν =  -\hspace{0.05cm}8$?
 |type="{}"}
 $w(ν = 0) \hspace{0.37cm} = \ $ { 1 1% }
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 $w(ν =  -8) \hspace{0.03cm} = \ $ { 0.5 1% }
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $W(f)$&nbsp; allgemein. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend??
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $W(f)$&nbsp; allgemein.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend??
 |type="[]"}
 - $W(f)$&nbsp; liefert für spezielle Frequenzwerte komplexe Ergebnisse.
@@ Zeile 59: / Zeile 62: @@
 $B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A}   \hspace{0.2cm} = \ $ { 2 1% }
-{Wie groß ist der minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeule.
+{Wie groß ist der minimale logarithmische Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeule.
 |type="{}"}
 $A_{\rm H/S} \ = \ $ { 32.3 1% } $\ \rm dB$

@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 {t}/{T_{\rm P}}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm
 cos}(2\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}})\hspace{0.05cm}.$$
-Nach Zeitdiskretisierung mit $ν = t/T_{\rm A}$ und $T_{\rm P}/T_{\rm A} = N = 32$ erhält man für das zeitdiskrete Fenster:
+*Nach Zeitdiskretisierung mit&nbsp; $ν = t/T_{\rm A}$&nbsp; und&nbsp; $T_{\rm P}/T_{\rm A} = N = 32$&nbsp; erhält man für das zeitdiskrete Fenster:
 :$$w(\nu)  =  w(\nu \cdot T_{\rm A}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm
 cos}(2\pi \cdot {\nu}/{N})\hspace{0.8cm}
@@ Zeile 81: / Zeile 81: @@
 .5\cdot {\rm cos}( \frac{-\pi}{2}) \hspace{0.15 cm}\underline{=
 .5}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Die periodische Fortsetzung von $w(t)$ entsprechend der Periodendauer $T_{\rm P}$ liefert ein (periodisches) Signal mit einem Gleich– und einem Cosinusanteil. Daraus folgt mit $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$:
+*Die periodische Fortsetzung von&nbsp; $w(t)$&nbsp; entsprechend der Periodendauer&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; liefert ein (periodisches) Signal mit einem Gleich– und einem Cosinusanteil.
 :$${\rm P}\{w(t)\} = 0.5+0.5\cdot {\rm
 cos}(2\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t)
@@ Zeile 89: / Zeile 91: @@
 \hspace{0.2cm}0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm
 \delta}(f \pm f_{\rm A}))\hspace{0.05cm}.$$
-*Das zeitbegrenzte Signal $w(t)$ ergibt sich aus ${\rm P}\{w(t)\}$ durch Multiplikation mit einem Rechteck der Amplitude $1$ und der Dauer $T_{\rm P}$.
+*Das zeitbegrenzte Signal&nbsp; $w(t)$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; ${\rm P}\{w(t)\}$&nbsp; durch Multiplikation mit einem Rechteck der Amplitude&nbsp; $1$&nbsp; und der Dauer&nbsp; $T_{\rm P}$.
-*Dessen Spektrum $W(f)$ erhält man somit aus der Faltung der obigen Spektralfunktion mit der Funktion $T_{\rm P} · {\rm si}(π \cdot f \cdot T_{\rm P}) = 1/f_{\rm A} · {\rm si}(π \cdot f/f_{\rm A})$:
+*Dessen Spektrum&nbsp; $W(f)$&nbsp; erhält man somit aus der Faltung der obigen Spektralfunktion mit der Funktion&nbsp; $T_{\rm P} · {\rm si}(π \cdot f \cdot T_{\rm P}) = 1/f_{\rm A} · {\rm si}(π \cdot f/f_{\rm A})$:
 :$$w(t)
 \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,
@@ Zeile 97: / Zeile 99: @@
 \frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ \frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm
 si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$
-*Diese Spektralfunktion ist gerade und für alle Frequenzen $f$ auch reell. Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ergibt die Fensterfläche:
+*Diese Spektralfunktion ist gerade und für alle Frequenzen&nbsp; $f$&nbsp; auch reell. Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ergibt die Fensterfläche:
 :$$W(f=0) =
 \frac{0.5}{f_{\rm A}}=
@@ Zeile 104: / Zeile 106: @@
 '''(3)'''&nbsp; Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' folgt auch:
-:$$W(f = ±fA) = W(0)/2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25} \cdot 1/{f_{\rm A}}.$$
+'''(3)'''&nbsp; Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; folgt auch:
-*Aufgrund des monotonen Verlaufs im Bereich $|f| < f_{\rm A}$ ist die Betragsfunktion $|W(f)|$ genau bei $± f_{\rm A}$ zum ersten Mal auf die Hälfte des Maximums abgefallen.
+:$$W(f = ±f_{\rm A}) = W(0)/2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25} \cdot 1/{f_{\rm A}}.$$
-*Damit gilt $B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A} \;\underline{=2}$.
+*Aufgrund des monotonen Verlaufs im Bereich&nbsp; $|f| < f_{\rm A}$&nbsp; ist die Betragsfunktion&nbsp; $|W(f)|$&nbsp; genau bei&nbsp; $± f_{\rm A}$&nbsp; zum ersten Mal auf die Hälfte des Maximums abgefallen.
-'''(4)'''&nbsp; Der größte Spektralbetrag außerhalb der Hauptkeule tritt bei $f = ±2.5 f_{\rm A}$ auf. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' gilt:
+'''(4)'''&nbsp; Der größte Spektralbetrag außerhalb der Hauptkeule tritt bei&nbsp; $f = ±2.5 f_{\rm A}$&nbsp; auf. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gilt:
 :$$W(f = 2.5 \cdot f_{\rm A}) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(2.5 \pi )
   +\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(1.5 \pi )+\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(3.5 \pi )=  \frac{0.25}{\pi \cdot f_{\rm A}}\left[ \frac{2}{2.5}-\frac{1}{1.5}-\frac{1}{3.5}\right] \approx -\frac{0.0121}{ f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
-Damit erhält man für den minimalen Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen:
+*Damit erhält man für den minimalen Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen:
 :$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}
   \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}

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 [[Datei:P_ID1168__Sig_Z_5_4.png|250px|right|frame|Charakterisierung des Hanning-Fensters]]
-In dieser Aufgabe sollen wichtige Eigenschaften des häufig verwendeten Hanning–Fensters hergeleitet werden. Die zeitkontinuierliche Darstellung im Intervall von $-T_{\rm P}/2$ bis $+T_{\rm P}/2$ lautet hier wie folgt:
+In dieser Aufgabe sollen wichtige Eigenschaften des häufig verwendeten Hanning–Fensters hergeleitet werden. Die zeitkontinuierliche Darstellung im Intervall von&nbsp; $-T_{\rm P}/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T_{\rm P}/2$&nbsp; lautet hier wie folgt:
 :$$w(t)= {\rm cos}^2(\pi \cdot
-{t}/{T_{\rm P}})=  0.5\cdot \left(1 + {\rm cos}(2\pi \cdot
+{t}/{T_{\rm P}})=  0.5\cdot \big(1 + {\rm cos}(2\pi \cdot
-{t}/{T_{\rm P}}) \right )
+{t}/{T_{\rm P}}) \big )
 \hspace{0.05cm}.$$
-Außerhalb des symmetrischen Zeitbereichs der Dauer $T_{\rm P}$ ist $w(t) \equiv 0$.
+Außerhalb des symmetrischen Zeitbereichs der Dauer&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; ist $w&nbsp;(t) \equiv 0$.
-Die obere Grafik zeigt die zeitdiskrete Darstellung $w(\nu) = w({\nu}  \cdot T_{\rm A})$, wobei $T_{\rm A}$ um den Faktor $N = 32$ kleiner ist als $T_{\rm P}$. Der Definitionsbereich der diskreten Zeitvariablen $ν$&nbsp; reicht von $-16$ bis $+15$.
+Die obere Grafik zeigt die zeitdiskrete Darstellung&nbsp; $w(\nu) = w({\nu}  \cdot T_{\rm A})$, wobei&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; um den Faktor&nbsp; $N = 32$&nbsp; kleiner ist als&nbsp; $T_{\rm P}$. Der Definitionsbereich der diskreten Zeitvariablen&nbsp; $ν$&nbsp; reicht von&nbsp; $-16$&nbsp; bis&nbsp; $+15$.
-In der unteren Grafik ist die Fouriertransformierte $W(f)$ der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$ logarithmisch dargestellt. Die Abszisse ist hierbei auf $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$ normiert ist. Man erkennt:
+In der unteren Grafik ist die Fouriertransformierte&nbsp; $W(f)$&nbsp; der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion&nbsp; $w(t)$&nbsp; logarithmisch dargestellt. Die Abszisse ist hierbei auf&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$&nbsp; normiert ist. Man erkennt:
-*Die äquidistanten Werte $W({\mu}  \cdot f_{\rm A})$ sind $0$ mit Ausnahme von $μ = 0$ und $μ = ±1$.
+*Die äquidistanten Werte&nbsp; $W({\mu}  \cdot f_{\rm A})$&nbsp; sind Null mit Ausnahme von&nbsp; $μ = 0$&nbsp; und&nbsp; $μ = ±1$.
-*Die Hauptkeule erstreckt sich somit auf den Frequenzbereich $|f| ≤ 2 · f_{\rm A}$.
+*Die Hauptkeule erstreckt sich somit auf den Frequenzbereich&nbsp; $|f| ≤ 2 · f_{\rm A}$.
-*$W(f)$ ist außerhalb der Hauptkeule betragsmäßig für $f = ±2.5 · f_{\rm A}$ am größten.
+*$W(f)$&nbsp; ist außerhalb der Hauptkeule betragsmäßig für&nbsp; $f = ±2.5 · f_{\rm A}$&nbsp; am größten.
 *Somit gilt hier für den minimalen Abstand zwischen Haupt– und Seitenkeulen:
 :$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}
   \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} \hspace{0.15cm}{\rm (in}\hspace{0.1cm}{\rm dB)}\hspace{0.05cm}.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
-*Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung $f_{\rm A}$ gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters $T_{\rm P}$ ist.
+*Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; ist.
@@ Zeile 39: / Zeile 42: @@
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die zeitdiskreten Koeffizienten $w(ν)$ des Hanning–Fensters analytisch an. <br>Welche Zahlenwerte ergeben sich für $ν = 0$, $ν = 1$ und $ν =  -\hspace{0.05cm}8$?
+{Geben Sie die zeitdiskreten Koeffizienten&nbsp; $w(ν)$&nbsp; des Hanning–Fensters analytisch an. <br>Welche Zahlenwerte ergeben sich für&nbsp; $ν = 0$,&nbsp; $ν = 1$&nbsp; und&nbsp; $ν =  -\hspace{0.05cm}8$?
 |type="{}"}
 $w(ν = 0) \hspace{0.37cm} = \ $ { 1 1% }
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 $w(ν =  -8) \hspace{0.03cm} = \ $ { 0.5 1% }
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion $W(f)$ allgemein. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend??
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $W(f)$&nbsp; allgemein. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend??
 |type="[]"}
-- $W(f)$ liefert für spezielle Frequenzwerte komplexe Ergebnisse.
+- $W(f)$&nbsp; liefert für spezielle Frequenzwerte komplexe Ergebnisse.
-+ $W(f)$ ist bezüglich $f$ gerade, das heißt, es gilt stets $W(-f) = W(+f)$.
++ $W(f)$&nbsp; ist bezüglich&nbsp; $f$&nbsp; gerade, das heißt, es gilt stets&nbsp; $W(-f) = W(+f)$.
-+ Der Spektralwert $W(f = 0)$ ist gleich $0.5/f_{\rm A}$ und somit reell.
++ Der Spektralwert&nbsp; $W(f = 0)$&nbsp; ist gleich&nbsp; $0.5/f_{\rm A}$&nbsp; und somit reell.
-{Wie groß sind $W(f = ±f_{\rm A})$ und die auf $f_{\rm A}$ normierte $\text{6 dB}$–Bandbreite?
+{Wie groß sind&nbsp; $W(f = ±f_{\rm A})$&nbsp; und die auf&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; normierte $\text{6 dB}$–Bandbreite?
 |type="{}"}
 $W(±f_{\rm A})  \hspace{0.15cm} = \ $ { 0.25 1% } $\ \cdot \ 1/f_{\rm A}$

@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
 |type="[]"}
 - $W(f)$ liefert für spezielle Frequenzwerte komplexe Ergebnisse.
-+ $W(f)$ ist bezüglich $f$ gerade, das heißt, es gilt stets $W(-f) = W(f)$.
++ $W(f)$ ist bezüglich $f$ gerade, das heißt, es gilt stets $W(-f) = W(+f)$.
 + Der Spektralwert $W(f = 0)$ ist gleich $0.5/f_{\rm A}$ und somit reell.
-{Wie groß sind $W(f = ±f_{\rm A})$ und die auf $f_{\rm A}$ normierte 6 dB–Bandbreite?
+{Wie groß sind $W(f = ±f_{\rm A})$ und die auf $f_{\rm A}$ normierte $\text{6 dB}$–Bandbreite?
 |type="{}"}
 $W(±f_{\rm A})  \hspace{0.15cm} = \ $ { 0.25 1% } $\ \cdot \ 1/f_{\rm A}$
@@ Zeile 101: / Zeile 101: @@
-'''(3)'''&nbsp; Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) folgt auch:
+'''(3)'''&nbsp; Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' folgt auch:
 :$$W(f = ±fA) = W(0)/2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25} \cdot 1/{f_{\rm A}}.$$
-Aufgrund des monotonen Verlaufs im Bereich $|f| < f_{\rm A}$ ist die Betragsfunktion $|W(f)|$ genau bei $± f_{\rm A}$ zum ersten Mal auf die Hälfte des Maximums abgefallen. Damit gilt $B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A} \;\underline{=2}$.
+*Aufgrund des monotonen Verlaufs im Bereich $|f| < f_{\rm A}$ ist die Betragsfunktion $|W(f)|$ genau bei $± f_{\rm A}$ zum ersten Mal auf die Hälfte des Maximums abgefallen.
-'''(4)'''&nbsp; Der größte Spektralbetrag außerhalb der Hauptkeule tritt bei $f = ±2.5 f_{\rm A}$ auf. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) gilt:
+'''(4)'''&nbsp; Der größte Spektralbetrag außerhalb der Hauptkeule tritt bei $f = ±2.5 f_{\rm A}$ auf. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' gilt:
 :$$W(f = 2.5 \cdot f_{\rm A}) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(2.5 \pi )
   +\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(1.5 \pi )+\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(3.5 \pi )=  \frac{0.25}{\pi \cdot f_{\rm A}}\left[ \frac{2}{2.5}-\frac{1}{1.5}-\frac{1}{3.5}\right] \approx -\frac{0.0121}{ f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$