Aufgaben:Aufgabe 5.4: Walsh–Funktionen (PKKF, PAKF) - Versionsgeschichte

Guenter am 13. Dezember 2021 um 15:04 Uhr

2021-12-13T15:04:51Z

Guenter am 13. Dezember 2021 um 14:58 Uhr

2021-12-13T14:58:05Z

Guenter am 30. April 2020 um 15:57 Uhr

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2020-04-30T15:49:09Z

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Guenter am 16. Januar 2019 um 16:55 Uhr

2019-01-16T16:55:03Z

Guenter am 16. Januar 2019 um 16:47 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:58Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:35:01Z

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Guenter am 2. August 2017 um 11:57 Uhr

2017-08-02T11:57:47Z

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen |Walsh&ndash;Funktionen]]&nbsp; im Theorieteil.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  <u>Alle Vorschläge</u> sind richtig:
+'''(1)'''&nbsp;  <u>Alle Vorschläge</u>&nbsp; sind richtig:
 *Die Matrix&nbsp; $ {\mathbf{H}_{4}}$&nbsp; ist die linke obere Teilmatrix von&nbsp; $ {\mathbf{H}_{8}}$.
-*Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2, 3 und 4 von&nbsp; $ {\mathbf{H}_{4}}$, und stimmen mit den angegebenen Folgen überein.
+*Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2,&nbsp; 3&nbsp; und 4&nbsp; von&nbsp; $ {\mathbf{H}_{4}}$,&nbsp; und stimmen mit den angegebenen Folgen überein.
+'''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3</u>:
 *Entsprechend den Gleichungen im Angabenteil gilt:
 :$${\it \varphi}_{12}(\lambda = 0) = 1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$
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+'''(3)'''&nbsp;  Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-'''(3)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
+*Für alle Werte von&nbsp; $λ$&nbsp; ist die PKKF&nbsp; $φ_{12}(λ) = 0$,&nbsp; wie die folgenden Zeilen zeigen:
 :$$\langle w_\nu^{(1)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ $$\langle w_\nu^{(2)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
 :$$\langle w_{\nu+1}^{(2)}\rangle  =  {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
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 :$${\it \varphi}_{23}(\lambda ) = \left\{ \begin{array}{c}0 \\+1\\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} \lambda = 0, \pm 2, \pm 4,\pm 6, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -3, +1, +5, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -5, -1, +3, ... \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-*Das bedeutet: &nbsp; Wird das Signal von Teilnehmer $3$ gegenüber Teilnehmer $2$ um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit.
+*Das bedeutet: &nbsp; Wird das Signal von Teilnehmer&nbsp; $3$&nbsp; gegenüber Teilnehmer&nbsp; $2$&nbsp; um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt,&nbsp; so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit.
 *In der Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet&nbsp; (violett und rot).
-'''(4)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
+'''(4)'''&nbsp;  Richtig sind die&nbsp; <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
-* Da die Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $1$&nbsp; periodisch ist mit&nbsp; $T_0 = 2T_c$, ist auch die PAKF periodisch mit&nbsp; $λ = 2$.
+* Da die Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $1$&nbsp; periodisch ist mit&nbsp; $T_0 = 2T_c$,&nbsp; ist auch die PAKF periodisch mit&nbsp; $λ = 2$.
-*Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt&nbsp; (grüner Kurvenzug):
+*Die zweite Aussage ist richtig,&nbsp; wie die folgende Rechnung zeigt&nbsp; (grüner Kurvenzug):
 :$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 0)  =  1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) \big ] = +1\hspace{0.05cm},$$
 :$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 1)  =  1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) \big ] = -1\hspace{0.05cm}.$$
-*Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr.&nbsp; $2$&nbsp; und&nbsp; $3$&nbsp; nur durch eine Verschiebung um&nbsp; $T_c$&nbsp; unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag&nbsp; $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$.&nbsp; Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.
+*Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr.&nbsp; $2$&nbsp; und&nbsp; $3$&nbsp; nur durch eine Verschiebung um&nbsp; $T_c$&nbsp; unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt,&nbsp; ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag&nbsp; $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$.&nbsp; Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.
 *Dagegen unterscheidet sich&nbsp; $φ_{22}(λ)$&nbsp; von&nbsp; $φ_{11}(λ)$&nbsp; durch eine andere Periodizität: &nbsp; $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$&nbsp; ist doppelt so breit wie&nbsp; $φ_{11}(λ)$.

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 [[Datei:P_ID1889__Mod_A_5_4.png|right|frame|Hadamard–Matrix &nbsp;${\mathbf{H}_{8}}$]]
-Häufig verwendet man zur Bandspreizung und Bandstauchung so genannte &nbsp;''Walsh–Funktionen'', die mittels der Hadamard–Matrix konstruiert werden können. Ausgehend von der Matrix
+Häufig verwendet man zur Bandspreizung und Bandstauchung so genannte &nbsp;"Walsh–Funktionen",&nbsp; die mittels der Hadamard–Matrix konstruiert werden können.&nbsp; Ausgehend von der Matrix
 :$${\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] $$
 lassen sich durch folgende Rekursion die weiteren Hadamard–Matrizen &nbsp;$ {\mathbf{H}_{4}}$, &nbsp;$ {\mathbf{H}_{8}}$, usw. herleiten:
 :$$ {\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] \hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt die Matrix &nbsp;$ {\mathbf{H}_{8}}$&nbsp; für den Spreizfaktor &nbsp;$J = 8$.&nbsp; Daraus lassen sich die Spreizfolgen
+Die Grafik zeigt die Matrix&nbsp;$ {\mathbf{H}_{8}}$&nbsp; für den Spreizfaktor &nbsp;$J = 8$.&nbsp; Daraus lassen sich die Spreizfolgen
 :$$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
 :$$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
 :$$...$$
 :$$\langle w_\nu^{(7)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}$$
-für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen.&nbsp; Die Spreizfolge &nbsp;$ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$&nbsp; entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht spreizt.
+für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen.&nbsp; Die Spreizfolge &nbsp;$ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$&nbsp; entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben,&nbsp; da sie nicht spreizt.
-Die Fragen beziehen sich meist auf den Spreizfaktor &nbsp;$J = 4$.&nbsp; Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen &nbsp;$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, &nbsp;$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$&nbsp; und &nbsp;$ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$&nbsp; maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ergeben.
+Die Fragen zu dieser Aufgabe beziehen sich meist auf den Spreizfaktor &nbsp;$J = 4$.&nbsp; Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen &nbsp;$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, &nbsp;$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$&nbsp; und &nbsp;$ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$&nbsp; maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ergeben.
 Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten:
-* Die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Kreuzkorrelationsfunktion]]&nbsp; (PKKF) zwischen den Folgen &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; und &nbsp;$ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$&nbsp; wird mit &nbsp;$φ_{ij}(λ)$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Hierbei gilt:
+* Die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Kreuzkorrelationsfunktion]]&nbsp; $\rm (PKKF)$&nbsp; zwischen den Folgen &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; und &nbsp;$ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$&nbsp; wird mit &nbsp;$φ_{ij}(λ)$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Hierbei gilt:
 :$${\it \varphi}_{ij}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(j)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-* Ist &nbsp;$φ_{ij} \equiv 0$&nbsp; $($das heißt: &nbsp;$φ_{ij}(λ) = 0$&nbsp; für alle Werte von &nbsp;$λ)$, so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn diese unterschiedliche Laufzeiten aufweisen.
+* Ist &nbsp;$φ_{ij} \equiv 0$&nbsp; $($das heißt: &nbsp;$φ_{ij}(λ) = 0$&nbsp; für alle Werte von &nbsp;$λ)$,&nbsp; so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht,&nbsp; auch wenn diese unterschiedliche Laufzeiten aufweisen.
-* Gilt zumindest &nbsp;$φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb&nbsp; $($keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer$)$&nbsp; zu keinen Interferenzen.
+* Gilt zumindest &nbsp;$φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$,&nbsp; so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb&nbsp; $($keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer$)$&nbsp; zu keinen Interferenzen.
-* Die  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische  Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; (PAKF) der Walsh–Funktion &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; wird mit &nbsp;$φ_{ii}(λ)$&nbsp; bezeichnet, und es gilt:
+* Die  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische  Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; $\rm (PAKF)$&nbsp; der Walsh–Funktion &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; wird mit &nbsp;$φ_{ii}(λ)$&nbsp; bezeichnet,&nbsp; und es gilt:
 :$${\it \varphi}_{ii}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(i)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
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 *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen |Walsh&ndash;Funktionen]]&nbsp; im Theorieteil.
 * Wir möchten Sie gerne auch auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]&nbsp; hinweisen.
+*Die Abszisse ist auf die Chipdauer &nbsp;$T_c$&nbsp; normiert.&nbsp; Das bedeutet,&nbsp; dass &nbsp;$λ = 1$&nbsp; eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit &nbsp;$τ = T_c$&nbsp; beschreibt.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  <u>Alle Vorschläge</u> sind richtig:
-*Die Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ist die linke obere Teilmatrix von $ {\mathbf{H}_{8}}$.
+*Die Matrix&nbsp; $ {\mathbf{H}_{4}}$&nbsp; ist die linke obere Teilmatrix von&nbsp; $ {\mathbf{H}_{8}}$.
-*Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2, 3 und 4 von $ {\mathbf{H}_{4}}$, und stimmen mit den angegebenen Folgen überein.
+*Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2, 3 und 4 von&nbsp; $ {\mathbf{H}_{4}}$, und stimmen mit den angegebenen Folgen überein.
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 :$${\it \varphi}_{13}(\lambda = 0) = 1/4\cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$
 :$${\it \varphi}_{23}(\lambda = 0) =1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}.$$
-*Auch für größere Werte von $J$ ist für $i ≠ j$ der PKKF–Wert stets $φ_{ij}(λ = 0)= 0$.
+*Auch für größere Werte von&nbsp; $J$&nbsp; ist für&nbsp; $i ≠ j$&nbsp; der PKKF–Wert stets&nbsp; $φ_{ij}(λ = 0)= 0$.
 *Daraus folgt: &nbsp; Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht.
 '''(3)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{12}(λ) = 0$, wie die folgenden Zeilen zeigen:
+*Für alle Werte von&nbsp; $λ$&nbsp; ist die PKKF&nbsp; $φ_{12}(λ) = 0$, wie die folgenden Zeilen zeigen:
 :$$\langle w_\nu^{(1)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ $$\langle w_\nu^{(2)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
 :$$\langle w_{\nu+1}^{(2)}\rangle  =  {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
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 :$$\langle w_{\nu+4}^{(2)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} = \langle w_\nu^{(2)}\rangle \hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID1890__Mod_A_5_4c.png|right|frame|Verschiedene PKKF&ndash; und PAKF&ndash;Kurven]]
-*Das gleiche gilt für die PKKF $φ_{13}(λ)$.
+*Das gleiche gilt für die PKKF&nbsp; $φ_{13}(λ)$.
-*Dagegen erhält man für die PKKF zwischen den Folgen $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$:
+*Dagegen erhält man für die PKKF zwischen den Folgen&nbsp; $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$&nbsp; und&nbsp; $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$:
 :$${\it \varphi}_{23}(\lambda ) = \left\{ \begin{array}{c}0 \\+1\\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} \lambda = 0, \pm 2, \pm 4,\pm 6, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -3, +1, +5, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -5, -1, +3, ... \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-*Das bedeutet: &nbsp; Wird das Signal von Teilnehmer 3 gegenüber Teilnehmer 2 um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit.
+*Das bedeutet: &nbsp; Wird das Signal von Teilnehmer $3$ gegenüber Teilnehmer $2$ um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit.
-*In der Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet (violett und rot).
+*In der Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet&nbsp; (violett und rot).
 '''(4)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
-* Da die Walsh–Funktion Nr. 1 periodisch ist mit $T_0 = 2T_c$, ist auch die PAKF periodisch mit $λ = 2$.
+* Da die Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $1$&nbsp; periodisch ist mit&nbsp; $T_0 = 2T_c$, ist auch die PAKF periodisch mit&nbsp; $λ = 2$.
-*Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt (grüner Kurvenzug):
+*Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt&nbsp; (grüner Kurvenzug):
-:$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 0)  =  1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = +1\hspace{0.05cm},$$
+:$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 0)  =  1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) \big ] = +1\hspace{0.05cm},$$
-:$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 1)  =  1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) \right ] = -1\hspace{0.05cm}.$$
+:$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 1)  =  1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) \big ] = -1\hspace{0.05cm}.$$
-*Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr. 2 und 3 nur durch eine Verschiebung um $T_c$ unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$. Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.
+*Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr.&nbsp; $2$&nbsp; und&nbsp; $3$&nbsp; nur durch eine Verschiebung um&nbsp; $T_c$&nbsp; unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag&nbsp; $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$.&nbsp; Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.
-*Dagegen unterscheidet sich $φ_{22}(λ)$ von $φ_{11}(λ)$ durch eine andere Periodizität: &nbsp; $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$ ist doppelt so breit wie $φ_{11}(λ)$.
+*Dagegen unterscheidet sich&nbsp; $φ_{22}(λ)$&nbsp; von&nbsp; $φ_{11}(λ)$&nbsp; durch eine andere Periodizität: &nbsp; $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$&nbsp; ist doppelt so breit wie&nbsp; $φ_{11}(λ)$.
 {{ML-Fuß}}

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen |Walsh&ndash;Funktionen]]&nbsp; im Theorieteil.
-* Wir möchten Sie gerne auch auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Walsh|Walsh-Funktionen]]&nbsp; hinweisen.
+* Wir möchten Sie gerne auch auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]&nbsp; hinweisen.
 *Die Abszisse ist auf die Chipdauer &nbsp;$T_c$&nbsp; normiert.&nbsp; Das bedeutet, dass &nbsp;$λ = 1$&nbsp; eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit &nbsp;$τ = T_c$&nbsp; beschreibt.

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 lassen sich durch folgende Rekursion die weiteren Hadamard–Matrizen &nbsp;$ {\mathbf{H}_{4}}$, &nbsp;$ {\mathbf{H}_{8}}$, usw. herleiten:
 :$$ {\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] \hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt die Matrix &nbsp;$ {\mathbf{H}_{8}}$&nbsp; für den Spreizfaktor &nbsp;$J = 8$. Daraus lassen sich die Spreizfolgen
+Die Grafik zeigt die Matrix &nbsp;$ {\mathbf{H}_{8}}$&nbsp; für den Spreizfaktor &nbsp;$J = 8$.&nbsp; Daraus lassen sich die Spreizfolgen
 :$$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
 :$$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
 :$$...$$
-:$$\langle w_\nu^{(7)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\langle w_\nu^{(7)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}$$
-für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen. Die Spreizfolge &nbsp;$ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$&nbsp; entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht spreizt.
+für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen.&nbsp; Die Spreizfolge &nbsp;$ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$&nbsp; entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht spreizt.
-Die Fragen beziehen sich meist auf den Spreizfaktor &nbsp;$J = 4$. Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen &nbsp;$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, &nbsp;$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$&nbsp; und &nbsp;$ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$&nbsp; maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ergeben.
+Die Fragen beziehen sich meist auf den Spreizfaktor &nbsp;$J = 4$.&nbsp; Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen &nbsp;$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, &nbsp;$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$&nbsp; und &nbsp;$ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$&nbsp; maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ergeben.
 Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten:
-* Die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Kreuzkorrelationsfunktion]]&nbsp; (PKKF) zwischen den Folgen &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; und &nbsp;$ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$&nbsp; wird mit &nbsp;$φ_{ij}(λ)$&nbsp; bezeichnet. Hierbei gilt:
+* Die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Kreuzkorrelationsfunktion]]&nbsp; (PKKF) zwischen den Folgen &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; und &nbsp;$ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$&nbsp; wird mit &nbsp;$φ_{ij}(λ)$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Hierbei gilt:
 :$${\it \varphi}_{ij}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(j)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-* Ist die PKKF &nbsp;$φ_{ij} \equiv 0$&nbsp; (das heißt: &nbsp;$φ_{ij}(λ) = 0$&nbsp; für alle Werte von &nbsp;$λ$), so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn zwei Teilnehmer unterschiedliche Laufzeiten aufweisen.
+* Ist &nbsp;$φ_{ij} \equiv 0$&nbsp; $($das heißt: &nbsp;$φ_{ij}(λ) = 0$&nbsp; für alle Werte von &nbsp;$λ)$, so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn diese unterschiedliche Laufzeiten aufweisen.
-* Gilt zumindest &nbsp;$φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb (keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer) zu keinen Interferenzen.
+* Gilt zumindest &nbsp;$φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb&nbsp; $($keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer$)$&nbsp; zu keinen Interferenzen.
 * Die  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische  Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; (PAKF) der Walsh–Funktion &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; wird mit &nbsp;$φ_{ii}(λ)$&nbsp; bezeichnet, und es gilt:
 :$${\it \varphi}_{ii}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(i)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen |Walsh&ndash;Funktionen]]&nbsp; im Theorieteil.
-* Wir möchten Sie gerne auch auf das Interaktionsmodul [[Applets:Walsh|Walsh-Funktionen]] hinweisen.
+* Wir möchten Sie gerne auch auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Walsh|Walsh-Funktionen]]&nbsp; hinweisen.
-*Die Abszisse ist auf die Chipdauer &nbsp;$T_c$&nbsp; normiert. Das bedeutet, dass &nbsp;$λ = 1$&nbsp; eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit &nbsp;$τ = T_c$&nbsp; beschreibt.
+*Die Abszisse ist auf die Chipdauer &nbsp;$T_c$&nbsp; normiert.&nbsp; Das bedeutet, dass &nbsp;$λ = 1$&nbsp; eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit &nbsp;$τ = T_c$&nbsp; beschreibt.

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 *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen |Walsh&ndash;Funktionen]] im Theorieteil.
 * Wir möchten Sie gerne auch auf das Interaktionsmodul [[Walsh-Funktionen]] hinweisen.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 *Die Abszisse ist auf die Chipdauer $T_c$ normiert. Das bedeutet, dass $λ = 1$ eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit $τ = T_c$ beschreibt.