Aufgaben:Aufgabe 5.4: Vergleich von Rechteck- und Hanningfenster - Versionsgeschichte

Guenter am 19. Mai 2021 um 14:42 Uhr

2021-05-19T14:42:30Z

Guenter am 19. Mai 2021 um 14:20 Uhr

2021-05-19T14:20:55Z

Guenter am 19. Mai 2021 um 14:10 Uhr

2021-05-19T14:10:22Z

Guenter am 15. Oktober 2019 um 12:03 Uhr

2019-10-15T12:03:09Z

Guenter am 15. Oktober 2019 um 11:50 Uhr

2019-10-15T11:50:08Z

Guenter am 29. Juli 2018 um 14:46 Uhr

2018-07-29T14:46:16Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:55Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 1. Februar 2018 um 14:50 Uhr

2018-02-01T14:50:36Z

Guenter am 1. Februar 2018 um 14:20 Uhr

2018-02-01T14:20:38Z

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2018-02-01T13:59:16Z

Guenter verschob die Seite Aufgabe 5.4: Spektralanalyse nach Aufgabe 5.4: Vergleich von Rechteck- und Hanningfenster

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 *Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, wenn&nbsp; $x(t)$&nbsp; nur eine Frequenz beinhaltet &nbsp; ⇒ &nbsp; es wurde das Rechteckfenster verwendet.
 *Mit&nbsp; $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$&nbsp; ergibt sich für die Frequenzauflösung&nbsp; $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$.&nbsp; Damit liegt die Frequenz&nbsp; $f_2$&nbsp; nicht im vorgegebenen Raster und&nbsp; $Y(f)$&nbsp; würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen.&nbsp; Das heißt: &nbsp; die dritte Aussage ist falsch.
-[[Datei:P_ID1167__Sig_A_5_4a.png|right|frame|$\text{Beispielsignal 1}$&nbsp; zur Spektralanalyse]]
+[[Datei:P_ID1167__Sig_A_5_4a.png|right|frame|Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; nach Rechteck&ndash;Fensterung ]]
 *Wie aus der Grafik hervorgeht, hat&nbsp; $x(t)$&nbsp; die Periodendauer&nbsp; $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$. Wählt man den DFT–Parameter gleich&nbsp; $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$&nbsp; (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung&nbsp; ${\rm P}\{ x(t)\} $&nbsp; im Intervall&nbsp; $|t| \leq T_{\rm P}/2$&nbsp; mit&nbsp; $x(t)$&nbsp; überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion&nbsp; $w(t)$&nbsp; nicht störend auswirkt: &nbsp;
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 Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen&nbsp; $X(f)$&nbsp; und&nbsp; $W(f)$.&nbsp; Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:
-[[Datei:P_ID1169__Sig_A_5_4b.png|right|frame|$\text{Beispielsignal 2}$&nbsp; zur Spektralanalyse]]
+[[Datei:P_ID1169__Sig_A_5_4b.png|right|frame|Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; nach Hanning&ndash;Fensterung]]
 :$$\begin{align*} G(f = 0.875\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.250\, {\rm
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 Die Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion&nbsp; $w(t)$&nbsp; des Hanning–Fensters.
+<br clear=all>
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
 *Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist.
-*In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet.
+*In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet.&nbsp; In diesem Fall ergibt sich das gemessene Spektrum&nbsp; $Y_{\rm B}(f)$.
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]

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 *Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrunde gelegt, für das andere das Hanning–Fenster.
 *Nicht angegeben wird, welche Grafik zu welchem Fenster gehört.
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 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
 *Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, wenn&nbsp; $x(t)$&nbsp; nur eine Frequenz beinhaltet &nbsp; ⇒ &nbsp; es wurde das Rechteckfenster verwendet.
-*Mit&nbsp; $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$&nbsp; ergibt sich für die Frequenzauflösung&nbsp; $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$. Damit liegt die Frequenz&nbsp; $f_2$&nbsp; nicht im vorgegebenen Raster und&nbsp; $Y(f)$&nbsp; würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen. Das heißt: &nbsp; die dritte Aussage ist falsch.
+*Mit&nbsp; $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$&nbsp; ergibt sich für die Frequenzauflösung&nbsp; $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$.&nbsp; Damit liegt die Frequenz&nbsp; $f_2$&nbsp; nicht im vorgegebenen Raster und&nbsp; $Y(f)$&nbsp; würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen.&nbsp; Das heißt: &nbsp; die dritte Aussage ist falsch.
 [[Datei:P_ID1167__Sig_A_5_4a.png|right|frame|$\text{Beispielsignal 1}$&nbsp; zur Spektralanalyse]]
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-zusammen. Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:
+zusammen.&nbsp; Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:
 :$$W(f) =0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm \delta}(f-f_{\rm A})+ 0.25\cdot {\rm \delta}(f+f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
-Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen&nbsp; $X(f)$&nbsp; und&nbsp; $W(f)$. Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:
+Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen&nbsp; $X(f)$&nbsp; und&nbsp; $W(f)$.&nbsp; Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:
 [[Datei:P_ID1169__Sig_A_5_4b.png|right|frame|$\text{Beispielsignal 2}$&nbsp; zur Spektralanalyse]]

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 Unbekannt und damit zu schätzen sind dessen Parameter&nbsp; $A_1$,&nbsp; $f_1$,&nbsp; $A_2$&nbsp; und&nbsp; $f_2$.
-Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion&nbsp; $w(t)$&nbsp; wird das Produkt&nbsp; $y(t) = x(t) \cdot w(t)$&nbsp; einer&nbsp; [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]]&nbsp; (DFT) mit den Parametern&nbsp; $N = 512$&nbsp; und&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; unterworfen. Die Zeitdauer&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; des zu analysierenden  Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.
+Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion&nbsp; $w(t)$&nbsp; wird das Produkt&nbsp; $y(t) = x(t) \cdot w(t)$&nbsp; einer&nbsp; [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]]&nbsp; (DFT) mit den Parametern&nbsp; $N = 512$&nbsp; und&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; unterworfen.&nbsp; Die Zeitdauer&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; des zu analysierenden  Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.
 Für die Fensterung stehen zwei Funktionen zur Verfügung, die für&nbsp; $|t| > T_{\rm P}/2$&nbsp; jeweils Null sind:
@@ Zeile 64: / Zeile 64: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
 *Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; ist.
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 $G(f_2 = 1.125 \ \text{kHz})\ = \ $ { 0.5 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Wir betrachten das&nbsp; $1\ \text{kHz}$–Cosinussignal&nbsp; $x(t)$. Welches Spektrum -&nbsp; $Y_{\rm B}(f)$&nbsp; oder&nbsp; $Y_{\rm C}(f)$&nbsp; – ergibt sich mit dem Rechteck– bzw. dem Hanning–Fenster, wenn der DFT-Parameter&nbsp;  $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$&nbsp; ungünstig gewählt ist?
+{Wir betrachten das&nbsp; $1\ \text{kHz}$–Cosinussignal&nbsp; $x(t)$.&nbsp; Welches Spektrum -&nbsp; $Y_{\rm B}(f)$&nbsp; oder&nbsp; $Y_{\rm C}(f)$&nbsp; – ergibt sich mit dem Rechteck– bzw. dem Hanning–Fenster, wenn der DFT-Parameter&nbsp;  $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$&nbsp; ungünstig gewählt ist?
 |type="()"}
 - $Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich bei Rechteckfensterung.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
-*Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, auch wenn $x(t)$ nur eine Frequenz beinhaltet &nbsp; ⇒ &nbsp; es wurde das Rechteckfenster verwendet.
+*Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, wenn&nbsp; $x(t)$&nbsp; nur eine Frequenz beinhaltet &nbsp; ⇒ &nbsp; es wurde das Rechteckfenster verwendet.
-*Mit $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ ergibt sich für die Frequenzauflösung $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$ Damit liegt die Frequenz $f_2$ nicht im vorgegebenen Raster und $Y(f)$ würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen. Das heißt: &nbsp; die dritte Aussage ist falsch.
+*Mit&nbsp; $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$&nbsp; ergibt sich für die Frequenzauflösung&nbsp; $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$. Damit liegt die Frequenz&nbsp; $f_2$&nbsp; nicht im vorgegebenen Raster und&nbsp; $Y(f)$&nbsp; würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen. Das heißt: &nbsp; die dritte Aussage ist falsch.
-*Wie aus der folgenden Grafik hervorgeht, hat $x(t)$ die Periodendauer $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$. Wählt man den DFT–Parameter gleich $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung ${\rm P}\{ x(t)\} $ im Intervall $|t| \leq T_{\rm P}/2$ mit $x(t)$ überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion $w(t)$ nicht störend auswirkt: &nbsp; Das DFT–Spektrum $Y(f)$ stimmt somit mit dem tatsächlichen Spektrum überein.
+[[Datei:P_ID1167__Sig_A_5_4a.png|right|frame|$\text{Beispielsignal 1}$&nbsp; zur Spektralanalyse]]
-[[Datei:P_ID1167__Sig_A_5_4a.png|center|frame|Beispielsignal 1 zur Spektralanalyse]]
+*Wie aus der Grafik hervorgeht, hat&nbsp; $x(t)$&nbsp; die Periodendauer&nbsp; $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$. Wählt man den DFT–Parameter gleich&nbsp; $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$&nbsp; (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung&nbsp; ${\rm P}\{ x(t)\} $&nbsp; im Intervall&nbsp; $|t| \leq T_{\rm P}/2$&nbsp; mit&nbsp; $x(t)$&nbsp; überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion&nbsp; $w(t)$&nbsp; nicht störend auswirkt: &nbsp;
 '''(2)'''&nbsp; Wegen $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$ setzt sich das Hanning–Spektrum $W(f)$ aus drei Diracfunktionen bei positiven Frequenzen und drei dazu achsensymmetrischen Diracs bei negativen Frequenzen zusammen. Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:
 :$$W(f) =0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm \delta}(f-f_{\rm A})+ 0.25\cdot {\rm \delta}(f+f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
-Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen $X(f)$ und $W(f)$. Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:
+Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen&nbsp; $X(f)$&nbsp; und&nbsp; $W(f)$. Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:
 :$$\begin{align*} G(f = 0.875\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.250\, {\rm
@@ Zeile 116: / Zeile 125: @@
   \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
-Die folgende Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion $w(t)$ des Hanning–Fensters.
+Die Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion&nbsp; $w(t)$&nbsp; des Hanning–Fensters.
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
-*Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite $T_{\rm P}$ (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist.
+*Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist.
 *In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 :$$x(t)   =   A_1 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_1 \cdot t)  +  A_2 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_2 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
-Unbekannt und damit zu schätzen sind dessen Parameter $A_1$, $f_1$, $A_2$ und $f_2$.
+Unbekannt und damit zu schätzen sind dessen Parameter&nbsp; $A_1$,&nbsp; $f_1$,&nbsp; $A_2$&nbsp; und&nbsp; $f_2$.
-Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion $w(t)$ wird das Produkt $y(t) = x(t) \cdot w(t)$ einer [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]] (DFT) mit den Parametern $N = 512$ und $T_{\rm P}$ unterworfen. Die Zeitdauer $T_{\rm P}$ des zu analysierenden  Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.
+Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion&nbsp; $w(t)$&nbsp; wird das Produkt&nbsp; $y(t) = x(t) \cdot w(t)$&nbsp; einer&nbsp; [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]]&nbsp; (DFT) mit den Parametern&nbsp; $N = 512$&nbsp; und&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; unterworfen. Die Zeitdauer&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; des zu analysierenden  Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.
-Für die Fensterung stehen zwei Funktionen zur Verfügung, die für $|t| > T_{\rm P}/2$ jeweils Null sind:
+Für die Fensterung stehen zwei Funktionen zur Verfügung, die für&nbsp; $|t| > T_{\rm P}/2$&nbsp; jeweils Null sind:
-*Das '''Rechteckfenster''':
+*Das&nbsp; '''Rechteckfenster''':
 :$${w} (\nu)   = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 {f}/{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm},$$
-*das '''Hanning–Fenster''':
+*das&nbsp; '''Hanning–Fenster''':
 :$${w} (\nu)   = \left\{ \begin{array}{c} 0.5 + 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot {\nu}/{N}) \\
@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 {\rm si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$
-$W(f)$ ist hierbei die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$, während $w(ν)$ die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.
+$W(f)$&nbsp; ist hierbei die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion&nbsp; $w(t)$, während&nbsp; $w(ν)$&nbsp; die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.
-In der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen $Y(f)$ Bezug genommen, zum Beispiel auf
+In der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen&nbsp; $Y(f)$&nbsp; Bezug genommen, zum Beispiel auf
 :$$Y_{\rm A}(f) = 1\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm  1\,\,{\rm kHz})+
@@ Zeile 50: / Zeile 50: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen $Y_{\rm B}(f)$ und $Y_{\rm C}(f)$ abgebildet, die sich ergeben, wenn ein $1 \ \text{kHz}$–Signal mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist.
+In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen&nbsp; $Y_{\rm B}(f)$&nbsp; und&nbsp; $Y_{\rm C}(f)$&nbsp; abgebildet, die sich ergeben, wenn ein&nbsp; $1 \ \text{kHz}$–Signal&nbsp; mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter&nbsp; $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$&nbsp; ungünstig gewählt ist.
-*Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrundegelegt, für das andere das Hanning–Fenster.
+*Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrunde gelegt, für das andere das Hanning–Fenster.
 *Nicht angegeben wird, welche Grafik zu welchem Fenster gehört.
@@ Zeile 60: / Zeile 63: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
-*Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung $f_{\rm A}$ gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters $T_{\rm P}$ ist.
+*Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; ist.
@@ Zeile 69: / Zeile 72: @@
 <quiz display=simple>
-{Welche der folgenden Aussagen treffen mit Sicherheit zu, wenn die DFT das Ausgangsspektrum $Y_{\rm A}(f)$ anzeigt?
+{Welche der folgenden Aussagen treffen mit Sicherheit zu, wenn die DFT das Ausgangsspektrum&nbsp; $Y_{\rm A}(f)$&nbsp; anzeigt?
 |type="[]"}
 + Zur Gewichtung wurde das Rechteckfenster verwendet.
 - Zur Gewichtung wurde das Hanning–Fenster verwendet.
-- Es wurde der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 4\ \text{ms}$ verwendet.
+- Es wurde der DFT–Parameter&nbsp; $T_{\rm P} = 4\ \text{ms}$&nbsp; verwendet.
 + Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem tatsächlichen Spektrum $X(f)$.
-{Wie lautet $Y(f)$ bei Verwendung des Hanning–Fensters und  $T_{\rm P} = 8 \ \text{ms}$, wenn das Eingangsspektrum $X(f) = Y_{\rm A}(f)$ anliegt? <br>Geben Sie die Gewichte der Diraclinien bei $f_1= 1\ \text{kHz}$ und $f_2 = 1.125\ \text{kHz}$ an.
+{Wie lautet&nbsp; $Y(f)$&nbsp; bei Verwendung des Hanning–Fensters und&nbsp;  $T_{\rm P} = 8 \ \text{ms}$, wenn das Eingangsspektrum&nbsp; $X(f) = Y_{\rm A}(f)$&nbsp; anliegt? <br>Geben Sie die Gewichte der Diraclinien bei&nbsp; $f_1= 1\ \text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $f_2 = 1.125\ \text{kHz}$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $G(f_1 = 1.000 \ \text{kHz})\ = \ $ { 0.625 3% } &nbsp;$\text{V}$
 $G(f_2 = 1.125 \ \text{kHz})\ = \ $ { 0.5 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Wir betrachten das $1\ \text{kHz}$–Cosinussignal $x(t)$. Welches Spektrum - $Y_{\rm B}(f)$ oder $Y_{\rm C}(f)$ – ergibt sich mit dem Rechteck– bzw. dem Hanning–Fenster, wenn der DFT-Parameter  $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist?
+{Wir betrachten das&nbsp; $1\ \text{kHz}$–Cosinussignal&nbsp; $x(t)$. Welches Spektrum -&nbsp; $Y_{\rm B}(f)$&nbsp; oder&nbsp; $Y_{\rm C}(f)$&nbsp; – ergibt sich mit dem Rechteck– bzw. dem Hanning–Fenster, wenn der DFT-Parameter&nbsp;  $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$&nbsp; ungünstig gewählt ist?
 |type="()"}
 - $Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich bei Rechteckfensterung.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID1166__Sig_A_5_4_neu.png|250px|right|Beispiel für die Spektralanalyse]]
+[[Datei:P_ID1166__Sig_A_5_4_neu.png|250px|right|frame|Beispiele für die Spektralanalyse]]
 Gegeben sei der prinzipielle Zeitverlauf eines periodischen Signals:
-$$x(t)   =   A_1 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_1 \cdot t)  +  A_2 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_2 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
+:$$x(t)   =   A_1 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_1 \cdot t)  +  A_2 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_2 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
-Unbekannt und damit zu schätzen seien dessen Parameter $A_1$, $f_1$, $A_2$ und $f_2$.
+Unbekannt und damit zu schätzen sind dessen Parameter $A_1$, $f_1$, $A_2$ und $f_2$.
 Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion $w(t)$ wird das Produkt $y(t) = x(t) \cdot w(t)$ einer [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]] (DFT) mit den Parametern $N = 512$ und $T_{\rm P}$ unterworfen. Die Zeitdauer $T_{\rm P}$ des zu analysierenden  Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.
-Für die Fensterung stehen folgende Funktionen zur Verfügung, die jeweils für $|t| > T_{\rm P}/2$ identisch 0 sind:
+Für die Fensterung stehen zwei Funktionen zur Verfügung, die für $|t| > T_{\rm P}/2$ jeweils Null sind:
-*Das Rechteckfenster:
+*Das '''Rechteckfenster''':
-$${w} (\nu)   = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
+:$${w} (\nu)   = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
 \\  \end{array} \right.\quad
 \begin{array}{*{10}c}    {\rm{f\ddot{u}r}}
@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 \end{array}$$
-$$W(f) ={1}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot
+:$$W(f) ={1}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot
 {f}/{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm},$$
-*das Hanning–Fenster:
+*das '''Hanning–Fenster''':
-$${w} (\nu)   = \left\{ \begin{array}{c} 0.5 + 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot {\nu}/{N}) \\
+:$${w} (\nu)   = \left\{ \begin{array}{c} 0.5 + 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot {\nu}/{N}) \\
 \\  \end{array} \right.\quad
 \begin{array}{*{10}c}    {\rm{f\ddot{u}r}}
@@ Zeile 37: / Zeile 37: @@
 \end{array}$$
-$$W(f) ={0.5}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot
+:$$W(f) ={0.5}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot
 \frac{f}{f_{\rm A}})+ {0.25}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi
 \cdot \frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ {0.5}/{f_{\rm A}}\cdot
 {\rm si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$
-Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung $f_{\rm A}$ gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters $T_{\rm P}$ ist. $W(f)$ ist die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$, während die oben angegebene Funktion $w(ν)$ die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.
+$W(f)$ ist hierbei die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$, während $w(ν)$ die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.
-Im Laufe der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen $Y(f)$ Bezug genommen, zum Beispiel auf
+In der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen $Y(f)$ Bezug genommen, zum Beispiel auf
-$$Y_{\rm A}(f) = 1\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm  1\,\,{\rm kHz})+
+:$$Y_{\rm A}(f) = 1\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm  1\,\,{\rm kHz})+
 .5\,\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm  1.125\,\,{\rm kHz})
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 52: / Zeile 52: @@
 In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen $Y_{\rm B}(f)$ und $Y_{\rm C}(f)$ abgebildet, die sich ergeben, wenn ein $1 \ \text{kHz}$–Signal mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist.
-Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrundegelegt, für das andere das Hanning–Fenster. Nicht angegeben wird, welche Spektralfunktion zu welchem Fenster gehört.
+*Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrundegelegt, für das andere das Hanning–Fenster.
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
 *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
@@ Zeile 68: / Zeile 74: @@
 - Zur Gewichtung wurde das Hanning–Fenster verwendet.
 - Es wurde der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 4\ \text{ms}$ verwendet.
-+ Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem Spektrum $X(f)$.
++ Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem tatsächlichen Spektrum $X(f)$.
-{Wie lautet $Y(f)$ bei Verwendung des Hanning–Fensters und  $T_{\rm P} = 8 \ \text{ms}$, wenn das Eingangsspektrum $X(f) = Y_{\rm A}(f)$ anliegt? Geben Sie die Gewichte der Diraclinien bei $f_1= 1\ \text{kHz}$ und $f_2 = 1.125\ \text{kHz}$ an.
+{Wie lautet $Y(f)$ bei Verwendung des Hanning–Fensters und  $T_{\rm P} = 8 \ \text{ms}$, wenn das Eingangsspektrum $X(f) = Y_{\rm A}(f)$ anliegt? <br>Geben Sie die Gewichte der Diraclinien bei $f_1= 1\ \text{kHz}$ und $f_2 = 1.125\ \text{kHz}$ an.
 |type="{}"}
-$G(f_1 = 1 \ \text{kHz}) &nbsp;=$ { 0.625 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$G(f_1 = 1.000 \ \text{kHz})\ = \ $ { 0.625 3% } &nbsp;$\text{V}$
-$G(f_1 = 1.125 \ \text{kHz})  &nbsp;=$ { 0.5 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$G(f_2 = 1.125 \ \text{kHz})\ = \ $ { 0.5 3% } &nbsp;$\text{V}$
 {Wir betrachten das $1\ \text{kHz}$–Cosinussignal $x(t)$. Welches Spektrum - $Y_{\rm B}(f)$ oder $Y_{\rm C}(f)$ – ergibt sich mit dem Rechteck– bzw. dem Hanning–Fenster, wenn der DFT-Parameter  $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist?
 |type="[]"}
-- $Y_{\rm B}(f)$ergibt sich bei Rechteckfensterung.
+- $Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich bei Rechteckfensterung.
 + $Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich mit dem Hanning-Fenster.

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(kein Unterschied)