Aufgaben:Aufgabe 5.4: Sinusgenerator - Versionsgeschichte

Guenter am 10. Februar 2022 um 17:52 Uhr

2022-02-10T17:52:48Z

Guenter am 10. Februar 2022 um 17:48 Uhr

2022-02-10T17:48:29Z

Guenter am 10. Februar 2022 um 17:46 Uhr

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Guenter am 10. Februar 2022 um 17:30 Uhr

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Guenter am 9. Dezember 2019 um 09:17 Uhr

2019-12-09T09:17:25Z

Guenter am 9. Dezember 2019 um 09:11 Uhr

2019-12-09T09:11:31Z

Guenter am 9. Dezember 2019 um 09:10 Uhr

2019-12-09T09:10:56Z

Guenter am 9. Dezember 2019 um 09:10 Uhr

2019-12-09T09:10:06Z

Guenter am 24. August 2018 um 06:33 Uhr

2018-08-24T06:33:51Z

Guenter am 24. August 2018 um 06:28 Uhr

2018-08-24T06:28:24Z

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 *Die Überprüfung des Koeffizienten&nbsp; $b_1$&nbsp; bestätigt die Rechnung:
-:$$b_1  = 2 \cdot \cos \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) = 2 \cdot c{\sqrt 3 }/{2} = \sqrt 3 .$$
+:$$b_1  = 2 \cdot \cos \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) = 2 \cdot {\sqrt 3 }/{2} = \sqrt 3 .$$
-'''(4)'''&nbsp; Aus &nbsp;$f_0 = 10 \hspace{0.05cm} \rm kHz$&nbsp; folgt &nbsp;$T_0 = 100 \hspace{0.05cm} \rm &micro; s$&nbsp; bzw. &nbsp;$T_0/T = 100$&nbsp;. Damit erhält man:
+'''(4)'''&nbsp; Aus &nbsp;$f_0 = 10 \hspace{0.15cm} \rm kHz$&nbsp; folgt &nbsp;$T_0 = 100 \hspace{0.05cm} \rm &micro; s$&nbsp; bzw. &nbsp;$T_0/T = 100$&nbsp;. Damit erhält man:
 :$$a_1  = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = \sin \left( {3.6^ \circ  } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.062},$$
 :$$b_1  = 2 \cdot \cos \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = 2 \cdot \cos \left( {3.6^ \circ  } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.996}.$$

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-{Es gelte nun&nbsp; $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm &micro; s$.&nbsp; Wie müssen die Koeffizienten&nbsp; $a_1$&nbsp; und&nbsp; $b_1$&nbsp; gewählt werden, damit eine&nbsp; $\text{10 kHz}$&ndash;Sinusschwingung erzeugt wird?
+{Es gelte nun&nbsp; $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm &micro; s$.&nbsp; Wie müssen die Koeffizienten&nbsp; $a_1$&nbsp; und&nbsp; $b_1$&nbsp; gewählt werden,&nbsp; damit eine&nbsp; $\text{10 kHz}$&ndash;Sinusschwingung erzeugt wird?
 |type="{}"}
 $a_1 \ =  \ $ { 0.062 3% }

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 [[Datei:P_ID622__Sto_A_5_4.png|right|frame|Vorgeschlagene Filterstruktur]]
-Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zum Beispiel zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor (DSP) geeignet ist:
+Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung,&nbsp; das zum Beispiel zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor&nbsp; $\rm (DSP)$&nbsp; geeignet ist:
 :$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu  }\hspace{0.05cm} \right\rangle  = \left\langle {\, \sin ( {\nu T \cdot \omega _0  } )\, }\right\rangle .$$
-*Vorausgesetzt wird, dass die Eingangsfolge&nbsp; $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu  } \hspace{0.05cm}\right\rangle$&nbsp; eine (zeitdiskrete) Diracfunktion beschreibt.&nbsp; Damit sind gleichzeitig alle Ausgangswerte&nbsp; $y_\nu$&nbsp; für Zeiten&nbsp; $\nu\lt 0$&nbsp; identisch Null.
+*Vorausgesetzt wird,&nbsp; dass die Eingangsfolge&nbsp; $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu  } \hspace{0.05cm}\right\rangle$&nbsp; eine&nbsp; (zeitdiskrete)&nbsp; Diracfunktion beschreibt.&nbsp; Damit sind gleichzeitig alle Ausgangswerte&nbsp; $y_\nu$&nbsp; für Zeiten&nbsp; $\nu\lt 0$&nbsp; identisch Null.
 *Die insgesamt fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation $Z$-Transformation]:
 :$$Z \{ {\sin ( {\nu T \omega _0 } )} \} = \frac{{z \cdot \sin \left( {\omega _0  T} \right)}}{{z^2  - 2 \cdot z \cdot \cos \left( {\omega _0   T} \right) + 1}}.$$
-*Setzt man diese Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung&nbsp; $(M = 2)$&nbsp; um, so erhält man die folgenden Filterkoeffizienten:
+*Setzt man diese Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung&nbsp; $(M = 2)$&nbsp; um,&nbsp; so erhält man die folgenden Filterkoeffizienten:
 :$$a_0 = 0,\quad a_1  = \sin \left( {\omega _0   T} \right),\quad a_2  = 0, \quad b_1  = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0   T} \right),\quad b_2  =  - 1.$$
-In der Grafik ist bereits durch die hellere Umrandung markiert, dass auf die Filterkoeffizienten&nbsp; $a_0$&nbsp; und&nbsp; $a_2$&nbsp; verzichtet werden kann.
+In der Grafik ist bereits durch die hellere Umrandung markiert,&nbsp; dass auf die Filterkoeffizienten&nbsp; $a_0$&nbsp; und&nbsp; $a_2$&nbsp; verzichtet werden kann.

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]]&nbsp; im vorliegenden Buch.
+*Das Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|"Digitale Filter"]]&nbsp; verdeutlicht den Themenkomplex dieses Kapitels.
 *Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gelte:
 :$$a_1  = 0.5,\quad b_1  = \sqrt 3 .$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die &bdquo;$1$&rdquo; am Eingang wirkt sich  (wegen $a_0= 0$) am Ausgang erst zum Zeitpunkt $\nu = 1$ aus:
+'''(1)'''&nbsp; Die &bdquo;$1$&rdquo; am Eingang wirkt sich&nbsp;  $($wegen&nbsp; $a_0= 0)$&nbsp; am Ausgang erst zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 1$&nbsp; aus:
 :$$y_0   \hspace{0.15cm} \underline{= 0},\quad y_1  \hspace{0.15cm} \underline{ = 0.5}.$$
-*Bei $\nu = 2$ wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam:
+*Bei&nbsp; $\nu = 2$&nbsp; wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam:
 :$$y_2  = b_1  \cdot y_1  - y_0  = {\sqrt 3 }/{2} \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.866}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Für $\nu \ge 2$ ist das Filter rein rekursiv:
 :$$y_\nu   = b_1  \cdot y_{\nu  - 1}  - y_{\nu  - 2} .$$
-Insbesondere erhält man
+*Insbesondere erhält man
 :$$y_3  = \sqrt 3  \cdot y_2  - y_1  = \sqrt 3  \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1;$$
 :$$y_4  = \sqrt 3  \cdot y_3  - y_2  = \sqrt 3  \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$$
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 '''(3)'''&nbsp; Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man für große $\nu$&ndash;Werte: &nbsp; $y_\nu   = y_{\nu  - 12} .$
-*Daraus folgt $T_0/T\hspace{0.15cm} \underline{= 12}$. Zum gleichen Ergebnis kommt man durch folgende Überlegungen:
+'''(3)'''&nbsp; Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man für große&nbsp; $\nu$&ndash;Werte: &nbsp;
 :$$a_1  = \sin \left( {\omega _0  \cdot T} \right) = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right)\mathop  = \limits^! {1}/{2} = \sin \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) \;\;{\rm \Rightarrow} \;\;{2T}/{T_0 } = {1}/{6}\quad  \Rightarrow \;\;{T_0 }/{T} = 12.$$
-*Die Überprüfung des Koeffizienten $b_1$ bestätigt die Rechnung:
+*Die Überprüfung des Koeffizienten&nbsp; $b_1$&nbsp; bestätigt die Rechnung:
 :$$b_1  = 2 \cdot \cos \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) = 2 \cdot c{\sqrt 3 }/{2} = \sqrt 3 .$$

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]] im vorliegenden Buch.
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]]&nbsp; im vorliegenden Buch.
 *Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gelte:

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 [[Datei:P_ID622__Sto_A_5_4.png|right|frame|Vorgeschlagene Filterstruktur]]
 Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zum Beispiel zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor (DSP) geeignet ist:
-:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu  }\hspace{0.05cm} \right\rangle  = \left\langle {\, \sin ( {\nu T  \omega _0  } )\, }\right\rangle .$$
+:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu  }\hspace{0.05cm} \right\rangle  = \left\langle {\, \sin ( {\nu T \cdot \omega _0  } )\, }\right\rangle .$$
-*Vorausgesetzt wird, dass die Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu  } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ eine (zeitdiskrete) Diracfunktion beschreibt. Damit sind gleichzeitig alle Ausgangswerte $y_\nu$ für Zeiten $\nu\lt 0$ identisch Null.
+*Vorausgesetzt wird, dass die Eingangsfolge&nbsp; $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu  } \hspace{0.05cm}\right\rangle$&nbsp; eine (zeitdiskrete) Diracfunktion beschreibt.&nbsp; Damit sind gleichzeitig alle Ausgangswerte&nbsp; $y_\nu$&nbsp; für Zeiten&nbsp; $\nu\lt 0$&nbsp; identisch Null.
-*Die insgesamt fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der [https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation <i>z</i>-Transformation]:
+*Die insgesamt fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation $z$-Transformation]:
 :$$z \{ {\sin ( {\nu T \omega _0 } )} \} = \frac{{z \cdot \sin \left( {\omega _0  T} \right)}}{{z^2  - 2 \cdot z \cdot \cos \left( {\omega _0   T} \right) + 1}}.$$
-*Setzt man diese Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung $(M = 2)$ um, so erhält man die folgenden Filterkoeffizienten:
+*Setzt man diese Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung&nbsp; $(M = 2)$&nbsp; um, so erhält man die folgenden Filterkoeffizienten:
 :$$a_0 = 0,\quad a_1  = \sin \left( {\omega _0   T} \right),\quad a_2  = 0, \quad b_1  = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0   T} \right),\quad b_2  =  - 1.$$
-In der Grafik ist bereits durch die hellere Umrandung markiert, dass auf die Filterkoeffizienten $a_0$ und $a_2$ verzichtet werden kann.
+In der Grafik ist bereits durch die hellere Umrandung markiert, dass auf die Filterkoeffizienten&nbsp; $a_0$&nbsp; und&nbsp; $a_2$&nbsp; verzichtet werden kann.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]] im vorliegenden Buch.
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]] im vorliegenden Buch.
-*Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(3)''' gelte:
+*Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gelte:
 :$$a_1  = 0.5,\quad b_1  = \sqrt 3 .$$
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 <quiz display=simple>
-{Es gelte $a_1  = 0.5$ und $b_1  = \sqrt 3 $. Berechnen Sie die Ausgangswerte $y_\nu$ zu den Zeitpunkten $\nu = 0$, $\nu = 1$ und $\nu = 2$.
+{Es gelte&nbsp; $a_1  = 0.5$&nbsp; und&nbsp; $b_1  = \sqrt 3 $.&nbsp; Berechnen Sie die Ausgangswerte&nbsp; $y_\nu$&nbsp; zu den Zeitpunkten&nbsp; $\nu = 0$,&nbsp; $\nu = 1$&nbsp; und&nbsp; $\nu = 2$.
 |type="{}"}
 $y_0 \ = \ $ { 0. }
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-{Wie lautet der Ausgangswert &nbsp;$y_\nu$&nbsp; für &nbsp;$\nu \ge 2$&nbsp; allgemein? Berechnen Sie die Werte &nbsp;$y_3$, ... , $y_7$&nbsp; und geben Sie zur Kontrolle &nbsp;$y_7$&nbsp; ein.
+{Wie lautet der Ausgangswert &nbsp;$y_\nu$&nbsp; für &nbsp;$\nu \ge 2$&nbsp; allgemein?&nbsp; Berechnen Sie die Werte &nbsp;$y_3$, ... , $y_7$&nbsp; und geben Sie zur Kontrolle &nbsp;$y_7$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $y_7 \ =  \ $ { -0.515--0.485 }
-{Wie viele Stützstellen ($T_0/T$) stellen eine Periodendauer ($T_0$) dar?
+{Wie viele Stützstellen&nbsp; $(T_0/T)$&nbsp; stellen eine Periodendauer&nbsp; $(T_0)$&nbsp; dar?
 |type="{}"}
 $T_0/T\ =  \ $ { 12 3% }
-{Es gelte nun $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm &micro; s$. Wie müssen die Koeffizienten $a_1$ und $b_1$ gewählt werden, damit eine $\text{10 kHz}$&ndash;Sinusschwingung erzeugt wird?
+{Es gelte nun&nbsp; $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm &micro; s$.&nbsp; Wie müssen die Koeffizienten&nbsp; $a_1$&nbsp; und&nbsp; $b_1$&nbsp; gewählt werden, damit eine&nbsp; $\text{10 kHz}$&ndash;Sinusschwingung erzeugt wird?
 |type="{}"}
 $a_1 \ =  \ $ { 0.062 3% }