Aufgaben:Aufgabe 5.3Z: Zero-Padding - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:38:14Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:38 Uhr
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	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_5.3Z:_Zero-Padding]]

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2026-02-24T13:40:11Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Zeile 9:		Zeile 9:

	Nebenstehend sind für unterschiedliche Werte von  $N$  die sich ergebenden Werte für den mittleren quadratischen Fehler  $\rm (MQF)$  der Stützwerte im Frequenzbereich angegeben:		Nebenstehend sind für unterschiedliche Werte von  $N$  die sich ergebenden Werte für den mittleren quadratischen Fehler  $\rm (MQF)$  der Stützwerte im Frequenzbereich angegeben:
	:$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1}		:$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1}\left\|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right\|^2 \hspace{0.05cm}.$$
	\left\|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right\|^2 \hspace{0.05cm}.$$
	Für  $T_{\rm A}/T = 0.01$  sind somit stets  $101$  der DFT–Koeffizienten  $d(ν)$  von Null verschieden.		Für  $T_{\rm A}/T = 0.01$  sind somit stets  $101$  der DFT–Koeffizienten  $d(ν)$  von Null verschieden.

Guenter am 17. Mai 2021 um 16:02 Uhr

2021-05-17T16:02:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Mai 2021, 18:02 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	:$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1}		:$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
	\left\|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right\|^2 \hspace{0.05cm}.$$		\left\|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right\|^2 \hspace{0.05cm}.$$
	Für  $~~T_A~~/T = 0.01$  sind somit stets  $101$  der DFT–Koeffizienten  $d(ν)$  von Null verschieden.		Für  $T_{\rm A}/T = 0.01$  sind somit stets  $101$  der DFT–Koeffizienten  $d(ν)$  von Null verschieden.

	:* Davon besitzen  $99$  den Wert  $1$  und die beiden Randkoeffizienten sind jeweils gleich  $0.5$.		:* Davon besitzen  $99$  den Wert  $1$  und die beiden Randkoeffizienten sind jeweils gleich  $0.5$.

Guenter am 17. Mai 2021 um 15:30 Uhr

2021-05-17T15:30:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Mai 2021, 17:30 Uhr
Zeile 89:		Zeile 89:
	'''(2)'''  Aus  $T_{\rm A}/T = 0.01$  folgt  $f_{\rm P} \cdot T = 100$.		'''(2)'''  Aus  $T_{\rm A}/T = 0.01$  folgt  $f_{\rm P} \cdot T = 100$.
	*Die Stützwerte von  $X(f)$ liegen also im Bereich  $–50 ≤ f \cdot T < +50$.		*Die Stützwerte von  $X(f)$ liegen also im Bereich  $–50 ≤ f \cdot T < +50$.
	*Für den Abstand zweier Abtastwerte im Frequenzbereich gilt  $f_{\rm A} = f_{\rm P}/N$. Daraus ergeben sich folgende Ergebnisse:		*Für den Abstand zweier Abtastwerte im Frequenzbereich gilt  $f_{\rm A} = f_{\rm P}/N$.  Daraus ergeben sich folgende Ergebnisse:
	:*$N = 128$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.780}$,		:*$N = 128$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.780}$,
	:*$N = 512$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.195}$.		:*$N = 512$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.195}$.
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	'''(3)'''  Richtig ist die <u>erste Aussage</u>:		'''(3)'''  Richtig ist die <u>erste Aussage</u>:
	*Für  $N = 128$  ergibt sich für das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A} \approx 4.7 \cdot 10^{-6}/T$. Für  $N = 512$  ist das Produkt etwa um den Faktor  $4$  kleiner.		*Für  $N = 128$  ergibt sich für das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A} \approx 4.7 \cdot 10^{-6}/T$.  Für  $N = 512$  ist das Produkt etwa um den Faktor  $4$  kleiner.
	*Das heißt:   Durch „Zero–Padding” wird keine größere DFT-Genauigkeit erzielt, dafür aber eine feinere „Auflösung” des Frequenzbereichs.		*Das heißt:   Durch „Zero–Padding” wird keine größere DFT-Genauigkeit erzielt, dafür aber eine feinere „Auflösung” des Frequenzbereichs.
	*Das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  berücksichtigt diese Tatsache; es sollte stets möglichst klein sein.		*Das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  berücksichtigt diese Tatsache; es sollte stets möglichst klein sein.

Guenter am 17. Mai 2021 um 15:26 Uhr

2021-05-17T15:26:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Mai 2021, 17:26 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID1146__Sig_Z_5_3_neu.png\|right\|frame\|$\rm MQF$–Werte als Funktion von  $T_{\rm A} /T$  und  $N$]]		[[Datei:P_ID1146__Sig_Z_5_3_neu.png\|right\|frame\|$\rm MQF$–Werte als Funktion von  $T_{\rm A} /T$  und  $N$]]
	Wir betrachten die DFT eines Rechteckimpulses  $x(t)$  der Höhe  $A =1$  und der Dauer  $T$. Damit hat die Spektralfunktion  $X(f)$  einen  $\sin(f)/f$–förmigen Verlauf.		Wir betrachten die DFT eines Rechteckimpulses  $x(t)$  der Höhe  $A =1$  und der Dauer  $T$.  Damit hat die Spektralfunktion  $X(f)$  einen  $\sin(f)/f$–förmigen Verlauf.

	Für diesen Sonderfall soll der Einfluss des DFT–Parameters  $N$  analysiert werden, wobei der Stützstellenabstand im Zeitbereich stets  $T_{\rm A} = 0.01T$  bzw.  $T_{\rm A} = 0.05T$  betragen soll.		Für diesen Sonderfall soll der Einfluss des DFT–Parameters  $N$  analysiert werden, wobei der Stützstellenabstand im Zeitbereich stets  $T_{\rm A} = 0.01T$  bzw.  $T_{\rm A} = 0.05T$  betragen soll.

	Nebenstehend sind für unterschiedliche Werte von  $N$  die sich ergebenden Werte für den ''mittleren quadratischen Fehler''  (MQF) der Stützwerte im Frequenzbereich angegeben:		Nebenstehend sind für unterschiedliche Werte von  $N$  die sich ergebenden Werte für den mittleren quadratischen Fehler  $\rm (MQF)$  der Stützwerte im Frequenzbereich angegeben:
	:$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1}		:$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
	\left\|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right\|^2 \hspace{0.05cm}.$$		\left\|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right\|^2 \hspace{0.05cm}.$$
Zeile 17:		Zeile 17:
	:* Vergrößert man  $N$, so wird das DFT–Koeffizientenfeld mit Nullen aufgefüllt.		:* Vergrößert man  $N$, so wird das DFT–Koeffizientenfeld mit Nullen aufgefüllt.

	:*Man spricht dann von ~~''„Zero–Padding”''~~.		:*Man spricht dann von  $\text{Zero–Padding}$.


Zeile 46:		Zeile 46:


	{Es gelte  $T_{\rm A}/T = 0.01$. Wie groß ist der Abstand  $f_{\rm A}$  benachbarter Abtastwerte im Frequenzbereich für  $N = 128$  und  $N = 512$?		{Es gelte  $T_{\rm A}/T = 0.01$.  Wie groß ist der Abstand  $f_{\rm A}$  benachbarter Abtastwerte im Frequenzbereich für  $N = 128$  und  $N = 512$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N = 128$:     $f_{\rm A} \cdot T \ = \ $ { 0.781 3% }		$N = 128$:     $f_{\rm A} \cdot T \ = \ $ { 0.781 3% }
Zeile 58:		Zeile 58:


	{Es wird nun  $N = 128$  fest vorgegeben. Welche Aussagen gelten für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit  $T_{\rm A}/T = 0.01$  und  $T_{\rm A}/T = 0.05$ ?		{Es wird nun  $N = 128$  fest vorgegeben.  Welche Aussagen gelten für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit  $T_{\rm A}/T = 0.01$  und  $T_{\rm A}/T = 0.05$ ?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  erhält man eine feinere Frequenzauflösung.		+ Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  erhält man eine feinere Frequenzauflösung.
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	{Nun gelte  $N = 64$. Welche Aussagen treffen für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit  $T_{\rm A}/T = 0.01$  und  $T_{\rm A}/T = 0.05$  zu?		{Nun gelte  $N = 64$.  Welche Aussagen treffen für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit  $T_{\rm A}/T = 0.01$  und  $T_{\rm A}/T = 0.05$  zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  erhält man eine feinere Frequenzauflösung.		+ Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  erhält man eine feinere Frequenzauflösung.

Guenter am 15. Oktober 2019 um 09:14 Uhr

2019-10-15T09:14:05Z

Guenter am 15. Oktober 2019 um 09:05 Uhr

2019-10-15T09:05:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Oktober 2019, 11:05 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID1146__Sig_Z_5_3_neu.png\|right\|frame\|$\rm MQF$–Werte als Funktion von $T_{\rm A} /T$ und $N$]]		[[Datei:P_ID1146__Sig_Z_5_3_neu.png\|right\|frame\|$\rm MQF$–Werte als Funktion von  $T_{\rm A} /T$  und  $N$]]
	Wir betrachten die DFT eines Rechteckimpulses $x(t)$ der Höhe $A =1$ und der Dauer $T$. Damit hat die Spektralfunktion $X(f)$ einen $\sin(f)/f$–förmigen Verlauf.		Wir betrachten die DFT eines Rechteckimpulses  $x(t)$  der Höhe  $A =1$  und der Dauer  $T$. Damit hat die Spektralfunktion  $X(f)$  einen  $\sin(f)/f$–förmigen Verlauf.

	Für diesen Sonderfall soll der Einfluss des DFT–Parameters $N$ analysiert werden, wobei der Stützstellenabstand im Zeitbereich stets $T_{\rm A} = 0.01T$ bzw. $T_{\rm A} = 0.05T$ betragen soll.		Für diesen Sonderfall soll der Einfluss des DFT–Parameters  $N$  analysiert werden, wobei der Stützstellenabstand im Zeitbereich stets  $T_{\rm A} = 0.01T$  bzw.  $T_{\rm A} = 0.05T$  betragen soll.

	Nebenstehend sind für unterschiedliche Werte von $N$ die sich ergebenden Werte für den ''mittleren quadratischen Fehler'' (MQF) der Stützwerte im Frequenzbereich angegeben:		Nebenstehend sind für unterschiedliche Werte von  $N$  die sich ergebenden Werte für den ''mittleren quadratischen Fehler''  (MQF) der Stützwerte im Frequenzbereich angegeben:
	:$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1}		:$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
	\left\|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right\|^2 \hspace{0.05cm}.$$		\left\|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right\|^2 \hspace{0.05cm}.$$
	Für $T_A/T = 0.01$ sind somit stets $101$ der DFT–Koeffizienten $d(ν)$ von Null verschieden.		Für  $T_A/T = 0.01$  sind somit stets  $101$  der DFT–Koeffizienten  $d(ν)$  von Null verschieden.

	:* Davon besitzen $99$ den Wert $1$ und die beiden Randkoeffizienten sind jeweils gleich $0.5$.		:* Davon besitzen  $99$  den Wert  $1$  und die beiden Randkoeffizienten sind jeweils gleich  $0.5$.

	:* Vergrößert man $N$, so wird das DFT–Koeffizientenfeld mit Nullen aufgefüllt.		:* Vergrößert man  $N$, so wird das DFT–Koeffizientenfeld mit Nullen aufgefüllt.

	:*Man spricht dann von ''„Zero–Padding”''.		:*Man spricht dann von ''„Zero–Padding”''.





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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT\|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT\|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]].

	*Die Theorie zu diesem Kapitel ist im Lernvideo [[Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT_(Lernvideo)\|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]] zusammengefasst.		*Die Theorie zu diesem Kapitel ist im Lernvideo  [[Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT_(Lernvideo)\|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]]  zusammengefasst.


Zeile 36:		Zeile 39:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche Aussagen können aus den angegebenen MQF-Werten (gültig für $T_{\rm A}/T = 0.01$ und $N ≥ 128$) abgeleitet werden?		{Welche Aussagen können aus den angegebenen MQF-Werten  $($gültig für  $T_{\rm A}/T = 0.01$  und  $N ≥ 128)$  abgeleitet werden?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Der $\rm MQF$–Wert ist hier nahezu unabhängig von $N$.		+ Der  $\rm MQF$–Wert ist hier nahezu unabhängig von  $N$.
	- Der $\rm MQF$–Wert wird durch den Abbruchfehler bestimmt.		- Der  $\rm MQF$–Wert wird durch den Abbruchfehler bestimmt.
	+ Der $\rm MQF$–Wert wird durch den Aliasingfehler bestimmt.		+ Der  $\rm MQF$–Wert wird durch den Aliasingfehler bestimmt.


	{Es gelte $T_{\rm A}/T = 0.01$. Wie groß ist der Abstand $f_{\rm A}$ benachbarter Abtastwerte im Frequenzbereich für $N = 128$ und $N = 512$?		{Es gelte  $T_{\rm A}/T = 0.01$. Wie groß ist der Abstand  $f_{\rm A}$  benachbarter Abtastwerte im Frequenzbereich für  $N = 128$  und  $N = 512$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N = 128$:     $f_{\rm A} \cdot T \ = \ $ { 0.781 3% }		$N = 128$:     $f_{\rm A} \cdot T \ = \ $ { 0.781 3% }
Zeile 49:		Zeile 52:


	{Was sagt das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ hinsichtlich der DFT–Qualität aus?		{Was sagt das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  hinsichtlich der DFT–Qualität aus?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ berücksichtigt die Genauigkeit und die Dichte der DFT–Werte.		+ Das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  berücksichtigt die Genauigkeit und die Dichte der DFT–Werte.
	- Das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ sollte möglichst groß sein.		- Das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  sollte möglichst groß sein.


	{Es wird nun $N = 128$ fest vorgegeben. Welche Aussagen gelten für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit $T_{\rm A}/T = 0.01$ und $T_{\rm A}/T = 0.05$ ?		{Es wird nun  $N = 128$  fest vorgegeben. Welche Aussagen gelten für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit  $T_{\rm A}/T = 0.01$  und  $T_{\rm A}/T = 0.05$ ?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ erhält man eine feinere Frequenzauflösung.		+ Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  erhält man eine feinere Frequenzauflösung.
	- Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ ist der $\rm MQF$–Wert kleiner.		- Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  ist der  $\rm MQF$–Wert kleiner.
	- Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ nimmt der Einfluss des Abbruchfehlers ab.		- Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  nimmt der Einfluss des Abbruchfehlers ab.
	+ Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ wächst der Einfluss des Aliasingfehlers.		+ Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  wächst der Einfluss des Aliasingfehlers.


	{Nun gelte $N = 64$. Welche Aussagen treffen ~~dagegen~~ für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit $T_{\rm A}/T = 0.01$ und $T_{\rm A}/T = 0.05$?		{Nun gelte  $N = 64$. Welche Aussagen treffen für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit  $T_{\rm A}/T = 0.01$  und  $T_{\rm A}/T = 0.05$  zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ erhält man eine feinere Frequenzauflösung.		+ Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  erhält man eine feinere Frequenzauflösung.
	+ Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ ist der $\rm MQF$–Wert kleiner.		+ Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  ist der  $\rm MQF$–Wert kleiner.
	+ Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ nimmt der Einfluss des Abbruchfehlers ab.		+ Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  nimmt der Einfluss des Abbruchfehlers ab.
	+ Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ wächst der Einfluss des Aliasingfehlers.		+ Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  wächst der Einfluss des Aliasingfehlers.

Guenter am 27. Juli 2018 um 14:38 Uhr

2018-07-27T14:38:42Z

Guenter am 27. Juli 2018 um 14:28 Uhr

2018-07-27T14:28:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juli 2018, 16:28 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID1146__Sig_Z_5_3_neu.png\|right\|frame\|$\rm MQF$–Werte ~~abhängig~~ von $T_{\rm A} /T$ und $N$]]		[[Datei:P_ID1146__Sig_Z_5_3_neu.png\|right\|frame\|$\rm MQF$–Werte als Funktion von $T_{\rm A} /T$ und $N$]]
	Wir betrachten die DFT eines Rechteckimpulses $x(t)$ der Höhe $A =1$ und der Dauer $T$. Damit hat die Spektralfunktion $X(f)$ einen $\sin(f)/f$–förmigen Verlauf.		Wir betrachten die DFT eines Rechteckimpulses $x(t)$ der Höhe $A =1$ und der Dauer $T$. Damit hat die Spektralfunktion $X(f)$ einen $\sin(f)/f$–förmigen Verlauf.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:55Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 26:		Zeile 26:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT\|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT\|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Die Theorie zu diesem Kapitel ist im Lernvideo [[Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT_(Lernvideo)\|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]] zusammengefasst.		*Die Theorie zu diesem Kapitel ist im Lernvideo [[Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT_(Lernvideo)\|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]] zusammengefasst.

← Nächstältere Version		Version vom 15. Oktober 2019, 11:14 Uhr
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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Bereits mit $N = 128$ ist $T_{\rm P} = 1.28 \cdot T$, also größer als die Breite des Rechtecks.		*Bereits mit  $N = 128$  ist  $T_{\rm P} = 1.28 \cdot T$, also größer als die Breite des Rechtecks.
	*Somit spielt hier der Abbruchfehler überhaupt keine Rolle.		*Somit spielt hier der Abbruchfehler überhaupt keine Rolle.
	*Der $\rm MQF$–Wert wird allein durch den Aliasingfehler bestimmt.		*Der  $\rm MQF$–Wert wird allein durch den Aliasingfehler bestimmt.
	*Die Zahlenwerte bestätigen eindeutig, dass $\rm MQF$ (nahezu) unabhängig von $N$ ist.		*Die Zahlenwerte bestätigen eindeutig, dass  $\rm MQF$  (nahezu) unabhängig von  $N$  ist.


	'''(2)'''  Aus $T_{\rm A}/T = 0.01$ folgt $f_{\rm P} \cdot T = 100$. Die Stützwerte von $X(f)$ liegen also im Bereich $–50 ≤ f \cdot T < +50$. Für den Abstand zweier Abtastwerte im Frequenzbereich gilt $f_{\rm A} = f_{\rm P}/N$. Daraus ergeben sich folgende Ergebnisse:
	*$N = 128$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.780}$,		'''(2)'''  Aus  $T_{\rm A}/T = 0.01$  folgt  $f_{\rm P} \cdot T = 100$.
	*$N = 512$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.195}$.		*Die Stützwerte von  $X(f)$ liegen also im Bereich  $–50 ≤ f \cdot T < +50$.
			*Für den Abstand zweier Abtastwerte im Frequenzbereich gilt  $f_{\rm A} = f_{\rm P}/N$. Daraus ergeben sich folgende Ergebnisse:
			:*$N = 128$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.780}$,
			:*$N = 512$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.195}$.



	'''(3)'''  Richtig ist die <u>erste Aussage</u>:		'''(3)'''  Richtig ist die <u>erste Aussage</u>:
	*Für $N = 128$ ergibt sich für das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A} \approx 4.7 \cdot 10^{-6}/T$. Für $N = 512$ ist das Produkt etwa um den Faktor $4$ kleiner.		*Für  $N = 128$  ergibt sich für das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A} \approx 4.7 \cdot 10^{-6}/T$. Für  $N = 512$  ist das Produkt etwa um den Faktor  $4$  kleiner.
	*Das heißt:   Durch „Zero–Padding” wird keine größere DFT-Genauigkeit erzielt, dafür aber eine feinere „Auflösung” des Frequenzbereichs.		*Das heißt:   Durch „Zero–Padding” wird keine größere DFT-Genauigkeit erzielt, dafür aber eine feinere „Auflösung” des Frequenzbereichs.
	*Das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ berücksichtigt diese Tatsache; es sollte stets möglichst klein sein.		*Das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  berücksichtigt diese Tatsache; es sollte stets möglichst klein sein.



	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:		'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
	*Wegen $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} \cdot N = 1$ ergibt sich bei konstantem $N$ immer dann ein kleinerer $f_{\rm A}$–Wert, wenn man $T_{\rm A}$ vergrößert.		*Wegen  $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} \cdot N = 1$  ergibt sich bei konstantem  $N$  immer dann ein kleinerer  $f_{\rm A}$–Wert, wenn man $T_{\rm A}$ vergrößert.
	*Aus der Tabelle auf der Angabenseite erkennt man, dass damit der mittlere quadratische Fehler MQF signifikant (etwa um den Faktor $400$) vergrößert wird.		*Aus der Tabelle auf der Angabenseite erkennt man, dass damit der mittlere quadratische Fehler  $\rm (MQF)$  signifikant  $($etwa um den Faktor  $400)$  vergrößert wird.
	*Der Effekt geht auf den Aliasingfehler zurück, da durch den Übergang von $T_{\rm A}/T = 0.01$ auf $T_{\rm A}/T = 0.05$ die Frequenzperiode um den Faktor $5$ kleiner wird.		*Der Effekt geht auf den Aliasingfehler zurück, da durch den Übergang von  $T_{\rm A}/T = 0.01$  auf  $T_{\rm A}/T = 0.05$  die Frequenzperiode um den Faktor  $5$  kleiner wird.
	*Der Abbruchfehler spielt dagegen beim Rechteckimpuls weiterhin keine Rolle, solange $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$ größer ist als die Impulsdauer $T$.		*Der Abbruchfehler spielt dagegen beim Rechteckimpuls weiterhin keine Rolle, solange  $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$  größer ist als die Impulsdauer  $T$.



	'''(5)'''  <u>Alle Aussagen treffen zu</u>:		'''(5)'''  <u>Alle Aussagen treffen zu</u>:
	* Mit den Parameterwerten $N = 64$ und $T_{\rm A}/T = 0.01$ tritt ein extrem großer Abbruchfehler auf.		* Mit den Parameterwerten  $N = 64$  und  $T_{\rm A}/T = 0.01$  tritt ein extrem großer Abbruchfehler auf.
	*Alle Zeitkoeffizienten sind hier $1$, so dass die DFT fälschlicherweise ein Gleichsignal anstelle der Rechteckfunktion interpretiert.		*Alle Zeitkoeffizienten sind hier  $1$, so dass die DFT fälschlicherweise ein Gleichsignal anstelle der Rechteckfunktion interpretiert.
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	{Welche Aussagen treffen dagegen für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit $T_{\rm A}/T = 0.01$ und $T_{\rm A}/T = 0.05$ ~~bei $N = 64$ zu~~?		{Nun gelte $N = 64$. Welche Aussagen treffen dagegen für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit $T_{\rm A}/T = 0.01$ und $T_{\rm A}/T = 0.05$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ erhält man eine feinere Frequenzauflösung.		+ Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ erhält man eine feinere Frequenzauflösung.
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	'''(3)'''  Richtig ist die <u>erste Aussage</u>:		'''(3)'''  Richtig ist die <u>erste Aussage</u>:
	*Für $N = 128$ ergibt sich für das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A} \approx 4.7 \cdot 10^{-6}/T$. Für $N = 512$ ist das Produkt etwa um den Faktor 4 kleiner.		*Für $N = 128$ ergibt sich für das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A} \approx 4.7 \cdot 10^{-6}/T$. Für $N = 512$ ist das Produkt etwa um den Faktor $4$ kleiner.
	*Das heißt: Durch „Zero–Padding” wird keine größere DFT-Genauigkeit erzielt, dafür aber eine feinere „Auflösung” des Frequenzbereichs.		*Das heißt:   Durch „Zero–Padding” wird keine größere DFT-Genauigkeit erzielt, dafür aber eine feinere „Auflösung” des Frequenzbereichs.
	*Das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ berücksichtigt diese Tatsache; es sollte stets möglichst klein sein.		*Das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ berücksichtigt diese Tatsache; es sollte stets möglichst klein sein.

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	*Wegen $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} \cdot N = 1$ ergibt sich bei konstantem $N$ immer dann ein kleinerer $f_{\rm A}$–Wert, wenn man $T_{\rm A}$ vergrößert.		*Wegen $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} \cdot N = 1$ ergibt sich bei konstantem $N$ immer dann ein kleinerer $f_{\rm A}$–Wert, wenn man $T_{\rm A}$ vergrößert.
	*Aus der Tabelle auf der Angabenseite erkennt man, dass damit der mittlere quadratische Fehler MQF signifikant (etwa um den Faktor $400$) vergrößert wird.		*Aus der Tabelle auf der Angabenseite erkennt man, dass damit der mittlere quadratische Fehler MQF signifikant (etwa um den Faktor $400$) vergrößert wird.
	*~~Dieser~~ Effekt ~~ist~~ auf ~~die Zunahme des Aliasingfehlers zurückzuführen~~, da durch den Übergang von $T_{\rm A}/T = 0.01$ auf $T_{\rm A}/T = 0.05$ die Frequenzperiode um den Faktor $5$ kleiner wird.		*Der Effekt geht auf den Aliasingfehler zurück, da durch den Übergang von $T_{\rm A}/T = 0.01$ auf $T_{\rm A}/T = 0.05$ die Frequenzperiode um den Faktor $5$ kleiner wird.
	*Der Abbruchfehler spielt dagegen beim Rechteckimpuls weiterhin keine Rolle, solange $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$ größer ist als die Impulsdauer $T$.		*Der Abbruchfehler spielt dagegen beim Rechteckimpuls weiterhin keine Rolle, solange $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$ größer ist als die Impulsdauer $T$.