Aufgaben:Aufgabe 5.3: PAKF von PN–Sequenzen - Versionsgeschichte

Guenter am 13. Dezember 2021 um 13:20 Uhr

2021-12-13T13:20:16Z

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:58Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:34:25Z

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Guenter am 1. August 2017 um 15:46 Uhr

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Guenter am 1. August 2017 um 15:16 Uhr

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Die Periodendauer einer M–Sequenz beträgt&nbsp; $P = 2^G -1 \hspace{0.05cm}.$&nbsp; Daraus ergibt sich mit&nbsp; $P = 15$&nbsp; der Grad&nbsp; $\underline{G = 4}$.
 '''(2)'''&nbsp; Von den&nbsp; $P = 15$&nbsp; Spreizbit sind&nbsp; $8$&nbsp; Einsen und&nbsp; $7$&nbsp; Nullen.&nbsp; Damit gilt wegen&nbsp; $u_ν^{\hspace{0.04cm}2} = u_ν$:
 :$${\rm E}\big [ u_\nu \big ] = {\rm E}\big [ u_\nu^2 \big ] = {8}/{15} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.533} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \text{allgemein:}\,\, (P+1)/(2P)\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; In bipolarer Darstellung ist stets &nbsp;$c_ν^{\hspace{0.04cm}2} = 1$.&nbsp; Damit gilt auch für den quadratischen Erwartungswert:
 :$${\rm E}\big [ c_\nu^{\hspace{0.04cm}2} \big ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
-*Die beigefügte Tabelle macht deutlich, dass für die diskreten PAKF–Werte mit&nbsp; $λ = 1$, ... , $14$&nbsp; gilt:
+*Die beigefügte Tabelle macht deutlich,&nbsp dass für die diskreten PAKF–Werte mit&nbsp; $λ = 1$, ... , $14$&nbsp; gilt:
 :$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ]= {4}/{15} \hspace{0.05cm}.$$
-*Multipliziert man nämlich&nbsp; 〈$u_ν$&nbsp;〉 mit&nbsp; 〈$u_{ν+λ}$〉, wobei für den Index &nbsp;$λ$&nbsp; wieder die Werte&nbsp; $1$, ... , $14$&nbsp; einzusetzen sind, so treten im Produkt jeweils vier Einsen auf.
+*Multipliziert man nämlich〈$u_ν$〉 mit 〈$u_{ν+λ}$〉(wobei für den Index &nbsp;$λ$&nbsp; wieder die Werte&nbsp; $1$, ... , $14$&nbsp; einzusetzen sind),&nbsp; <br>so treten im Produkt jeweils vier Einsen auf.
 *Dagegen gilt für&nbsp; $λ = P = 15$:
 :$${\it \varphi}_{u}(\lambda = 15) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+P} \big ]= {8}/{15} \hspace{0.05cm}.$$
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 *Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''
 :$$ {\rm E}\left [ u_{\nu} \right ]= {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ]={8}/{15} \hspace{0.05cm},$$
-und der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''
+:und der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''
 :$${\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ] ={4}/{15} \hspace{0.05cm} \,\,{\rm{f\ddot{u}r}}\,\,\lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...}$$
-kommt man somit zum Ergebnis&nbsp; $($falls&nbsp; $λ$&nbsp; kein Vielfaches von&nbsp; $P)$:
+:kommt man somit zum Ergebnis&nbsp; $($falls&nbsp; $λ$&nbsp; kein Vielfaches von&nbsp; $P)$:
 :$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = 1 + 4 \cdot \frac{4}{15} - 2 \cdot \frac{8}{15}- 2 \cdot \frac{8}{15}  = - \frac{1}{15} = - \frac{1}{P}\hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.067} \hspace{0.05cm}.$$

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 [[Datei:P_ID1884__Mod_A_5_3.png|right|frame|M–Sequenz&nbsp;$(P = 15)$&nbsp; plus zyklische Vertauschungen]]
-Mit einem rückgekoppelten Schieberegister vom Grad &nbsp;$G$&nbsp; lässt sich eine Spreizfolge &nbsp;$〈c_ν〉$&nbsp; mit der (maximalen) Periodenlänge &nbsp;$P = 2^G - 1$&nbsp; erzeugen, wenn die Rückführungskoeffizienten (Anzapfungen) richtig gewählt sind.
+Mit einem rückgekoppelten Schieberegister vom Grad &nbsp;$G$&nbsp; lässt sich eine Spreizfolge &nbsp;$〈c_ν〉$&nbsp; mit der (maximalen) Periodenlänge &nbsp;$P = 2^G - 1$&nbsp; erzeugen,&nbsp; wenn die Rückführungskoeffizienten&nbsp; (Anzapfungen)&nbsp; richtig gewählt sind.
-In dieser Aufgabe wird der in der linken Grafik von &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Pseudo.E2.80.93Noise.E2.80.93Folgen_maximaler_L.C3.A4nge|$\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; im Theorieteil dargestelle PN–Generator mit der Oktalkennung &nbsp;$(31)$&nbsp; betrachtet, der wegen &nbsp;$G = 4$&nbsp; eine Folge mit der Periodenlänge &nbsp;$P = 15$&nbsp; liefert.
+In dieser Aufgabe wird der in der linken Grafik von &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Pseudo.E2.80.93Noise.E2.80.93Folgen_maximaler_L.C3.A4nge|$\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; im Theorieteil dargestelle PN–Generator mit der Oktalkennung &nbsp;$(31)$&nbsp; betrachtet,&nbsp; der wegen &nbsp;$G = 4$&nbsp; eine Folge mit der Periodenlänge &nbsp;$P = 15$&nbsp; liefert.
-In der Grafik zu dieser Aufgabe sind die unipolare Folge &nbsp;$〈u_ν〉$&nbsp; mit &nbsp;$u_ν ∈ \{0, 1\}$&nbsp; und daraus abgeleitete zyklische Verschiebungen &nbsp;$〈u_{ν+λ}〉$&nbsp; dargestellt, wobei der Verschiebungsparameter &nbsp;$λ$&nbsp; Werte zwischen &nbsp;$1$&nbsp; und &nbsp;$15$&nbsp; annimmt.&nbsp; Eine Verschiebung um &nbsp;$λ$&nbsp; bedeutet dabei absolut einen Versatz um &nbsp;$λ · T_c$.&nbsp; Hierbei bezeichnet &nbsp;$T_c$&nbsp; die Chipdauer.
+In der Grafik zu dieser Aufgabe sind die unipolare Folge &nbsp;$〈u_ν〉$&nbsp; mit &nbsp;$u_ν ∈ \{0, 1\}$&nbsp; und daraus abgeleitete zyklische Verschiebungen &nbsp;$〈u_{ν+λ}〉$&nbsp; dargestellt,&nbsp; wobei der Verschiebungsparameter &nbsp;$λ$&nbsp; Werte zwischen &nbsp;$1$&nbsp; und &nbsp;$15$&nbsp; annimmt.&nbsp; Eine Verschiebung um &nbsp;$λ$&nbsp; bedeutet dabei absolut einen Versatz um &nbsp;$λ · T_c$.&nbsp; Hierbei bezeichnet &nbsp;$T_c$&nbsp; die Chipdauer.
-Für den Einsatz in einem CDMA–System verwendet man allerdings die bipolare (antipodische) Folge &nbsp;$〈c_ν〉$&nbsp; mit &nbsp;$c_ν ∈ \{+1, -1\}$, die ab der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; untersucht werden soll.&nbsp; Gesucht ist deren periodische Autokorrelationsfunktion (PAKF)
+Für den Einsatz in einem CDMA–System verwendet man allerdings die bipolare (antipodische) Folge &nbsp;$〈c_ν〉$&nbsp; mit &nbsp;$c_ν ∈ \{+1, -1\}$,&nbsp; die ab der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; untersucht werden soll.&nbsp; Gesucht ist deren periodische Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (PAKF)$
 :$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = {\rm E} \big [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
 Zur Herleitung soll zunächst die PAKF
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 Hinweis:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Periodendauer einer M–Sequenz beträgt $P = 2^G -1 \hspace{0.05cm}.$ Daraus ergibt sich mit $P = 15$ der Grad $\underline{G = 4}$.
+'''(1)'''&nbsp; Die Periodendauer einer M–Sequenz beträgt&nbsp; $P = 2^G -1 \hspace{0.05cm}.$&nbsp; Daraus ergibt sich mit&nbsp; $P = 15$&nbsp; der Grad&nbsp; $\underline{G = 4}$.
-'''(2)'''&nbsp; Von den $P = 15$ Spreizbits sind $8$ Einsen und $7$ Nullen. Damit gilt wegen $u_ν^{\hspace{0.04cm}2} = u_ν$:
 :$${\rm E}\big [ u_\nu \big ] = {\rm E}\big [ u_\nu^2 \big ] = {8}/{15} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.533} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \text{allgemein:}\,\, (P+1)/(2P)\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; In bipolarer Darstellung ist stets &nbsp;$c_ν^{\hspace{0.04cm}2} = 1$. Damit gilt auch für den quadratischen Erwartungswert:
 :$${\rm E}\big [ c_\nu^{\hspace{0.04cm}2} \big ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
-*Die beigefügte Tabelle macht deutlich, dass für die diskreten PAKF–Werte mit $λ = 1$, ... , $14$ gilt:
+*Die beigefügte Tabelle macht deutlich, dass für die diskreten PAKF–Werte mit&nbsp; $λ = 1$, ... , $14$&nbsp; gilt:
 :$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ]= {4}/{15} \hspace{0.05cm}.$$
-*Multipliziert man nämlich 〈$u_ν$〉 mit 〈$u_{ν+λ}$〉, wobei für den Index λ wieder die Werte $1$, ... , $14$ einzusetzen sind, so treten im Produkt jeweils vier Einsen auf.
+*Multipliziert man nämlich&nbsp; 〈$u_ν$&nbsp;〉 mit&nbsp; 〈$u_{ν+λ}$〉, wobei für den Index &nbsp;$λ$&nbsp; wieder die Werte&nbsp; $1$, ... , $14$&nbsp; einzusetzen sind, so treten im Produkt jeweils vier Einsen auf.
-*Dagegen gilt für $λ = P = 15$:
+*Dagegen gilt für&nbsp; $λ = P = 15$:
 :$${\it \varphi}_{u}(\lambda = 15) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+P} \big ]= {8}/{15} \hspace{0.05cm}.$$
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 *Damit folgt aus den Rechenregeln für Erwartungswerte:
 :$${\it \varphi}_{c}(\lambda)  =  {\rm E} \big [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \big ]= {\rm E} \big [ (1 - 2 \cdot u_\nu ) \cdot (1 - 2 \cdot u_{\nu+\lambda} ) \big ] =  1 + 4 \cdot {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ] - 2 \cdot {\rm E}\big [ u_\nu \big ] - 2 \cdot {\rm E}\big [ u_{\nu+\lambda} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
-*Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)'''
+*Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''
 :$$ {\rm E}\left [ u_{\nu} \right ]= {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ]={8}/{15} \hspace{0.05cm},$$
-und der Teilaufgabe '''(4)'''
+und der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''
 :$${\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ] ={4}/{15} \hspace{0.05cm} \,\,{\rm{f\ddot{u}r}}\,\,\lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...}$$
-kommt man somit zum Ergebnis (falls $λ$ kein Vielfaches von $P$):
+kommt man somit zum Ergebnis&nbsp; $($falls&nbsp; $λ$&nbsp; kein Vielfaches von&nbsp; $P)$:
 :$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = 1 + 4 \cdot \frac{4}{15} - 2 \cdot \frac{8}{15}- 2 \cdot \frac{8}{15}  = - \frac{1}{15} = - \frac{1}{P}\hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.067} \hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID1885__Mod_A_5_3f.png|right|frame|PAKF einer PN–Sequenz maximaler Länge]]
-'''(6)'''&nbsp; Eine M–Sequenz mit Grad $G = 6$ hat die Periodenlänge $P = 63$. Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe '''(5)''' erhält man somit:
+'''(6)'''&nbsp; Eine M–Sequenz mit Grad&nbsp; $G = 6$&nbsp; hat die Periodenlänge $P = 63$.
 :$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm},$$
 :$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 1)= - 1/63 \hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.016} \hspace{0.05cm},$$

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 }}
-[[Datei:P_ID1884__Mod_A_5_3.png|right|frame|M–Sequenz mit &nbsp;$P = 15$&nbsp; & zyklische Vertauschungen]]
+[[Datei:P_ID1884__Mod_A_5_3.png|right|frame|M–Sequenz&nbsp;$(P = 15)$&nbsp; plus zyklische Vertauschungen]]
 Mit einem rückgekoppelten Schieberegister vom Grad &nbsp;$G$&nbsp; lässt sich eine Spreizfolge &nbsp;$〈c_ν〉$&nbsp; mit der (maximalen) Periodenlänge &nbsp;$P = 2^G - 1$&nbsp; erzeugen, wenn die Rückführungskoeffizienten (Anzapfungen) richtig gewählt sind.
 In dieser Aufgabe wird der in der linken Grafik von &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Pseudo.E2.80.93Noise.E2.80.93Folgen_maximaler_L.C3.A4nge|$\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; im Theorieteil dargestelle PN–Generator mit der Oktalkennung &nbsp;$(31)$&nbsp; betrachtet, der wegen &nbsp;$G = 4$&nbsp; eine Folge mit der Periodenlänge &nbsp;$P = 15$&nbsp; liefert.
-In der Grafik sind die unipolare Folge &nbsp;$〈u_ν〉$&nbsp; mit &nbsp;$u_ν ∈ \{0, 1\}$&nbsp; und daraus abgeleitete zyklische Verschiebungen &nbsp;$〈u_{ν+λ}〉$&nbsp; dargestellt, wobei der Verschiebungsparameter &nbsp;$λ$&nbsp; Werte zwischen &nbsp;$1$&nbsp; und &nbsp;$15$&nbsp; annimmt. Eine Verschiebung um &nbsp;$λ$&nbsp; bedeutet dabei absolut einen Versatz um &nbsp;$λ · T_c$. Hierbei bezeichnet &nbsp;$T_c$&nbsp; die Chipdauer.
+In der Grafik zu dieser Aufgabe sind die unipolare Folge &nbsp;$〈u_ν〉$&nbsp; mit &nbsp;$u_ν ∈ \{0, 1\}$&nbsp; und daraus abgeleitete zyklische Verschiebungen &nbsp;$〈u_{ν+λ}〉$&nbsp; dargestellt, wobei der Verschiebungsparameter &nbsp;$λ$&nbsp; Werte zwischen &nbsp;$1$&nbsp; und &nbsp;$15$&nbsp; annimmt.&nbsp; Eine Verschiebung um &nbsp;$λ$&nbsp; bedeutet dabei absolut einen Versatz um &nbsp;$λ · T_c$.&nbsp; Hierbei bezeichnet &nbsp;$T_c$&nbsp; die Chipdauer.
-Für den Einsatz in einem CDMA–System verwendet man allerdings die bipolare (antipodische) Folge &nbsp;$〈c_ν〉$&nbsp; mit &nbsp;$c_ν ∈ \{+1, -1\}$, die ab der Teilaufgabe '''(5)''' untersucht werden soll. Gesucht ist deren periodische Autokorrelationsfunktion (PAKF)
+Für den Einsatz in einem CDMA–System verwendet man allerdings die bipolare (antipodische) Folge &nbsp;$〈c_ν〉$&nbsp; mit &nbsp;$c_ν ∈ \{+1, -1\}$, die ab der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; untersucht werden soll.&nbsp; Gesucht ist deren periodische Autokorrelationsfunktion (PAKF)
 :$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = {\rm E} \big [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
 Zur Herleitung soll zunächst die PAKF
 :$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ]$$
-mit den unipolaren Koeffizienten &nbsp;$u_ν ∈ \{0, 1\}$&nbsp; berechnet werden. Die Umrechnung der Koeffizienten ist durch &nbsp;$c_ν = 1 – 2u_ν$&nbsp; gegeben.
+mit den unipolaren Koeffizienten &nbsp;$u_ν ∈ \{0, 1\}$&nbsp; berechnet werden.&nbsp; Die Umrechnung der Koeffizienten ist durch &nbsp;$c_ν = 1 - 2u_ν$&nbsp; gegeben.
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 $G \ = \ $ { 4 }
-{Wie groß ist der quadratische Erwartungswert der Koeffizienten &nbsp;$u_ν ∈ \{0, 1\}$?
+{Wie groß ist der quadratische Erwartungswert der Koeffizienten &nbsp;$u_ν ∈ \{0,\ 1\}$?
 |type="{}"}
 ${\rm E}\big[u_ν^{\hspace{0.04cm}2}\big]  \ = \ $ { 0.533 3% }

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-'''(2)'''&nbsp; Von den $P = 15$ Spreizbits sind $8 Einsen$ und $7$ Nullen. Damit gilt wegen $u_ν^{\hspace{0.04cm}2} = u_ν$:
+'''(2)'''&nbsp; Von den $P = 15$ Spreizbits sind $8$ Einsen und $7$ Nullen. Damit gilt wegen $u_ν^{\hspace{0.04cm}2} = u_ν$:
-:$${\rm E}\left [ u_\nu \right ] = {\rm E}\left [ u_\nu^2 \right ] = {8}/{15} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.533} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \text{allgemein:}\,\, (P+1)/(2P)\hspace{0.05cm}.$$
+:$${\rm E}\big [ u_\nu \big ] = {\rm E}\big [ u_\nu^2 \big ] = {8}/{15} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.533} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \text{allgemein:}\,\, (P+1)/(2P)\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
+'''(3)'''&nbsp; In bipolarer Darstellung ist stets &nbsp;$c_ν^{\hspace{0.04cm}2} = 1$. Damit gilt auch für den quadratischen Erwartungswert:
 *Die beigefügte Tabelle macht deutlich, dass für die diskreten PAKF–Werte mit $λ = 1$, ... , $14$ gilt:
-:$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ]= {4}/{15} \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ]= {4}/{15} \hspace{0.05cm}.$$
 *Multipliziert man nämlich 〈$u_ν$〉 mit 〈$u_{ν+λ}$〉, wobei für den Index λ wieder die Werte $1$, ... , $14$ einzusetzen sind, so treten im Produkt jeweils vier Einsen auf.
 *Dagegen gilt für $λ = P = 15$:
-:$${\it \varphi}_{u}(\lambda = 15) = {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+P} \right ]= {8}/{15} \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\it \varphi}_{u}(\lambda = 15) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+P} \big ]= {8}/{15} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Die bipolaren Koeffizienten $c_ν$ ergeben sich aus den unipolaren Koeffizienten $u_ν$ gemäß der Gleichung
+'''(5)'''&nbsp; Die bipolaren Koeffizienten &nbsp;$c_ν$&nbsp; ergeben sich aus den unipolaren Koeffizienten &nbsp;$u_ν$&nbsp; gemäß der Gleichung
-:$$c_\nu = 1 - 2 \cdot u_\nu \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} u_\nu = 0\text{:} \ c_\nu = +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}u_\nu = 1\text{:} \ c_\nu = -1 \hspace{0.05cm}.$$
+:$$c_\nu = 1 - 2 \cdot u_\nu \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} u_\nu = 0\text{:} \ \ c_\nu = +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}u_\nu = 1\text{:} \ \ c_\nu = -1 \hspace{0.05cm}.$$
-Damit folgt aus den Rechenregeln für Erwartungswerte:
+*Damit folgt aus den Rechenregeln für Erwartungswerte:
-:$${\it \varphi}_{c}(\lambda)  =  {\rm E} \left [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \right ]= {\rm E} \left [ (1 - 2 \cdot u_\nu ) \cdot (1 - 2 \cdot u_\nu ) \right ] =  1 + 4 \cdot {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ] - 2 \cdot {\rm E}\left [ u_\nu \right ] - 2 \cdot {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\it \varphi}_{c}(\lambda)  =  {\rm E} \big [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \big ]= {\rm E} \big [ (1 - 2 \cdot u_\nu ) \cdot (1 - 2 \cdot u_{\nu+\lambda} ) \big ] =  1 + 4 \cdot {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ] - 2 \cdot {\rm E}\big [ u_\nu \big ] - 2 \cdot {\rm E}\big [ u_{\nu+\lambda} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
-Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2)
+*Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)'''
 :$$ {\rm E}\left [ u_{\nu} \right ]= {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ]={8}/{15} \hspace{0.05cm},$$
-und der Teilaufgabe (4)
+und der Teilaufgabe '''(4)'''
-:$${\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ] ={4}/{15} \hspace{0.05cm} \,\,{\rm{f\ddot{u}r}}\,\,\lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...}$$
+:$${\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ] ={4}/{15} \hspace{0.05cm} \,\,{\rm{f\ddot{u}r}}\,\,\lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...}$$
 kommt man somit zum Ergebnis (falls $λ$ kein Vielfaches von $P$):
 :$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = 1 + 4 \cdot \frac{4}{15} - 2 \cdot \frac{8}{15}- 2 \cdot \frac{8}{15}  = - \frac{1}{15} = - \frac{1}{P}\hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.067} \hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID1885__Mod_A_5_3f.png|right|frame|PAKF einer PN–Sequenz maximaler Länge]]
-'''(6)'''&nbsp; Eine M–Sequenz mit Grad $G = 6$ hat die Periodenlänge $P = 63$. Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe (5) erhält man somit:
+'''(6)'''&nbsp; Eine M–Sequenz mit Grad $G = 6$ hat die Periodenlänge $P = 63$. Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe '''(5)''' erhält man somit:
 :$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm},$$
 :$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 1)= - 1/63 \hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.016} \hspace{0.05cm},$$

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 }}
-[[Datei:P_ID1884__Mod_A_5_3.png|right|frame|M–Sequenz mit <i>P</i> = 15 und zyklische Vertauschungen]]
+[[Datei:P_ID1884__Mod_A_5_3.png|right|frame|M–Sequenz mit &nbsp;$P = 15$&nbsp; & zyklische Vertauschungen]]
-Mit einem rückgekoppelten Schieberegister vom Grad $G$ lässt sich eine Spreizfolge $〈c_ν〉$ mit der (maximalen) Periodenlänge $P = 2^G - 1$ erzeugen, wenn die Rückführungskoeffizienten (Anzapfungen) richtig gewählt sind.
+Mit einem rückgekoppelten Schieberegister vom Grad &nbsp;$G$&nbsp; lässt sich eine Spreizfolge &nbsp;$〈c_ν〉$&nbsp; mit der (maximalen) Periodenlänge &nbsp;$P = 2^G - 1$&nbsp; erzeugen, wenn die Rückführungskoeffizienten (Anzapfungen) richtig gewählt sind.
-In dieser Aufgabe wird der in der linken Grafik von [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Pseudo.E2.80.93Noise.E2.80.93Folgen_maximaler_L.C3.A4nge|Beispiel 1]] im Theorieteil dargestelle PN–Generator mit der Oktalkennung (31) betrachtet, der wegen $G = 4$ eine Folge mit der Periodenlänge $P = 15$ liefert.
+In dieser Aufgabe wird der in der linken Grafik von &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Pseudo.E2.80.93Noise.E2.80.93Folgen_maximaler_L.C3.A4nge|$\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; im Theorieteil dargestelle PN–Generator mit der Oktalkennung &nbsp;$(31)$&nbsp; betrachtet, der wegen &nbsp;$G = 4$&nbsp; eine Folge mit der Periodenlänge &nbsp;$P = 15$&nbsp; liefert.
-In der Grafik sind die unipolare Folge $〈u_ν〉$ mit $u_ν ∈ \{0, 1\}$ und daraus abgeleitete zyklische Verschiebungen $〈u_{ν+λ}〉$ dargestellt, wobei der Verschiebungsparameter $λ$ Werte zwischen $1$ und $15$ annimmt. Eine Verschiebung um $λ$ bedeutet dabei absolut einen Versatz um $λ · T_c$. Hierbei bezeichnet $T_c$ die Chipdauer.
+In der Grafik sind die unipolare Folge &nbsp;$〈u_ν〉$&nbsp; mit &nbsp;$u_ν ∈ \{0, 1\}$&nbsp; und daraus abgeleitete zyklische Verschiebungen &nbsp;$〈u_{ν+λ}〉$&nbsp; dargestellt, wobei der Verschiebungsparameter &nbsp;$λ$&nbsp; Werte zwischen &nbsp;$1$&nbsp; und &nbsp;$15$&nbsp; annimmt. Eine Verschiebung um &nbsp;$λ$&nbsp; bedeutet dabei absolut einen Versatz um &nbsp;$λ · T_c$. Hierbei bezeichnet &nbsp;$T_c$&nbsp; die Chipdauer.
-Für den Einsatz in einem CDMA–System verwendet man allerdings die bipolare (antipodische) Folge $〈c_ν〉$ mit $c_ν ∈ \{+1, -1\}$, die ab der Teilaufgabe (5) untersucht werden soll. Gesucht ist deren periodische Autokorrelationsfunktion (PAKF)
+Für den Einsatz in einem CDMA–System verwendet man allerdings die bipolare (antipodische) Folge &nbsp;$〈c_ν〉$&nbsp; mit &nbsp;$c_ν ∈ \{+1, -1\}$, die ab der Teilaufgabe '''(5)''' untersucht werden soll. Gesucht ist deren periodische Autokorrelationsfunktion (PAKF)
-:$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = {\rm E} \left [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = {\rm E} \big [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
 Zur Herleitung soll zunächst die PAKF
-:$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ]$$
+:$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ]$$
-mit den unipolaren Koeffizienten $u_ν ∈ \{0, 1\}$ berechnet werden. Die Umrechnung der Koeffizienten ist durch $c_ν = 1 – 2u_ν$ gegeben.
+mit den unipolaren Koeffizienten &nbsp;$u_ν ∈ \{0, 1\}$&nbsp; berechnet werden. Die Umrechnung der Koeffizienten ist durch &nbsp;$c_ν = 1 – 2u_ν$&nbsp; gegeben.
-''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].
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 $G \ = \ $ { 4 }
-{Wie groß ist der quadratische Erwartungswert der Koeffizienten $u_ν ∈ \{0, 1\}$?
+{Wie groß ist der quadratische Erwartungswert der Koeffizienten &nbsp;$u_ν ∈ \{0, 1\}$?
 |type="{}"}
-${\rm E}[u_ν^{\hspace{0.04cm}2}]  \ = \ $ { 0.533 3% }
+${\rm E}\big[u_ν^{\hspace{0.04cm}2}\big]  \ = \ $ { 0.533 3% }
-{Wie groß ist der quadratische Erwartungswert der Koeffizienten $c_ν ∈ \{+1, –1\}$?
+{Wie groß ist der quadratische Erwartungswert der Koeffizienten &nbsp;$c_ν ∈ \{+1, –1\}$?
 |type="{}"}
-${\rm E}[c_ν^{\hspace{0.04cm}2}]  \ = \ $ { 1 3% }
+${\rm E}\big[c_ν^{\hspace{0.04cm}2}\big]  \ = \ $ { 1 3% }
-{Welche Aussagen gelten für den Erwartungswert ${\rm E}[u_ν · u_{ν+λ}]$?
+{Welche Aussagen gelten für den Erwartungswert &nbsp;${\rm E}\big[u_ν · u_{ν+λ}\big]$?
 |type="[]"}
-+ Es gilt ${\rm E}[u_ν · u_{ν+1}] = 4/15$.
++ Es gilt &nbsp;${\rm E}\big[u_ν · u_{ν+1}\big] = 4/15$.
-+  Es gilt ${\rm E}[u_ν · u_{ν+2}] = 4/15$.
++  Es gilt &nbsp;${\rm E}\big[u_ν · u_{ν+2}\big] = 4/15$.
-- Es gilt ${\rm E}[u_ν · u_{ν+15}] = 4/15$.
+- Es gilt &nbsp;${\rm E}\big[u_ν · u_{ν+15}\big] = 4/15$.
-+ Die PAKF–Werte $φ_u(λ = 1)$, ... , $φ_u(λ = 14)$ sind alle gleich.
++ Die PAKF–Werte &nbsp;$φ_u(λ = 1)$, ... , $φ_u(λ = 14)$&nbsp; sind alle gleich.
-{Berechnen Sie die PAKF–Werte bei bipolarer Darstellung ($λ = 1, \text{...} \ , 14$):
+{Berechnen Sie die PAKF–Werte bei bipolarer Darstellung &nbsp;$(λ = 1, \text{...} \ , 14)$:
 |type="{}"}
 $φ_c(λ) \ = \ $ { -0.069--0.065 }
-{Geben Sie folgende PAKF–Werte für den Fall $G = 6$ an.
+{Geben Sie folgende PAKF–Werte für den Fall &nbsp;$G = 6$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $φ_c(λ=0)\hspace{0.33cm} = \ $ { 1 3% }

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 {Geben Sie folgende PAKF–Werte für den Fall $G = 6$ an.
 |type="{}"}
-$φ_c(λ=0)\hspace{0.34cm} = \ $ { 1 3% }
+$φ_c(λ=0)\hspace{0.33cm} = \ $ { 1 3% }
-$φ_c(λ=1)\hspace{0.34cm} = \ $ { -0.0165--0.0155 }
+$φ_c(λ=1)\hspace{0.33cm} = \ $ { -0.0165--0.0155 }
 $φ_c(λ=63)\ = \ $ { 1 3% }
 $φ_c(λ=64)\ = \ $ { -0.0165--0.0155 }
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Die Periodendauer einer M–Sequenz beträgt
+'''(1)'''&nbsp; Die Periodendauer einer M–Sequenz beträgt $P = 2^G -1 \hspace{0.05cm}.$ Daraus ergibt sich mit $P = 15$ der Grad $\underline{G = 4}$.
-'''3.''' In bipolarer Darstellung ist $c_ν^2$ immer 1. Damit gilt auch für den quadratischen Erwartungswert:
+'''(2)'''&nbsp; Von den $P = 15$ Spreizbits sind $8 Einsen$ und $7$ Nullen. Damit gilt wegen $u_ν^{\hspace{0.04cm}2} = u_ν$:
-$${\rm E}\left [ c_\nu^2 \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$
+:$${\rm E}\left [ u_\nu \right ] = {\rm E}\left [ u_\nu^2 \right ] = {8}/{15} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.533} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \text{allgemein:}\,\, (P+1)/(2P)\hspace{0.05cm}.$$
-'''4.'''  Die beigefügte Tabelle macht deutlich, dass für die diskreten PAKF–Werte mit λ = 1, ... , 14 gilt:
+'''(3)'''&nbsp; In bipolarer Darstellung ist stets $c_ν^{\hspace{0.04cm}2} = 1$. Damit gilt auch für den quadratischen Erwartungswert:
-$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ]= \frac{4}{15} \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\rm E}\left [ c_\nu^{\hspace{0.04cm}2} \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$
-'''5.'''  Die bipolaren Koeffizienten $c_ν$ ergeben sich aus den unipolaren Koeffizienten uν gemäß der Gleichung
+'''(4)'''&nbsp; Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
-$$c_\nu = 1 - 2 \cdot u_\nu \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} u_\nu = 0: c_\nu = +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}u_\nu = 1: c_\nu = -1 \hspace{0.05cm}.$$
+*Die beigefügte Tabelle macht deutlich, dass für die diskreten PAKF–Werte mit $λ = 1$, ... , $14$ gilt:
 Damit folgt aus den Rechenregeln für Erwartungswerte:
-$${\it \varphi}_{c}(\lambda)  =  {\rm E} \left [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \right ]= {\rm E} \left [ (1 - 2 \cdot u_\nu ) \cdot (1 - 2 \cdot u_\nu ) \right ] =$$
+:$${\it \varphi}_{c}(\lambda)  =  {\rm E} \left [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \right ]= {\rm E} \left [ (1 - 2 \cdot u_\nu ) \cdot (1 - 2 \cdot u_\nu ) \right ] =  1 + 4 \cdot {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ] - 2 \cdot {\rm E}\left [ u_\nu \right ] - 2 \cdot {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-$$ =  1 + 4 \cdot {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ] - 2 \cdot {\rm E}\left [ u_\nu \right ] - 2 \cdot {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
+Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2)
-Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe b)
+:$$ {\rm E}\left [ u_{\nu} \right ]= {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ]={8}/{15} \hspace{0.05cm},$$
-$$ {\rm E}\left [ u_{\nu} \right ]= {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ]=\frac{8}{15} \hspace{0.05cm},$$
+und der Teilaufgabe (4)
-und der Teilaufgabe d)
+:$${\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ] ={4}/{15} \hspace{0.05cm} \,\,{\rm{f\ddot{u}r}}\,\,\lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...}$$
-$${\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ] =\frac{4}{15} \hspace{0.05cm} \,\,{\rm{f\ddot{u}r}}\,\,\lambda = 0, \pm P, \pm 2P, ...$$
+kommt man somit zum Ergebnis (falls $λ$ kein Vielfaches von $P$):
-kommt man somit zum Ergebnis (falls λ kein Vielfaches von P):
+:$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = 1 + 4 \cdot \frac{4}{15} - 2 \cdot \frac{8}{15}- 2 \cdot \frac{8}{15}  = - \frac{1}{15} = - \frac{1}{P}\hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.067} \hspace{0.05cm}.$$
-$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = 1 + 4 \cdot \frac{4}{15} - 2 \cdot \frac{8}{15}- 2 \cdot \frac{8}{15} \hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.067} = - \frac{1}{15} = - \frac{1}{P} \hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}