Aufgaben:Aufgabe 5.3: AWGN- und BSC-Modell - Versionsgeschichte

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:23Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 25. März 2019 um 14:05 Uhr

2019-03-25T14:05:43Z

Guenter am 25. März 2019 um 13:55 Uhr

2019-03-25T13:55:19Z

Guenter am 25. März 2019 um 13:54 Uhr

2019-03-25T13:54:29Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:36Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:5.3 AWGN- und BSC-Modell nach Aufgaben:Aufgabe 5.3: AWGN- und BSC-Modell

2018-01-04T06:40:05Z

Guenter verschob die Seite 5.3 AWGN- und BSC-Modell nach Aufgabe 5.3: AWGN- und BSC-Modell

Guenter am 29. November 2017 um 16:00 Uhr

2017-11-29T16:00:37Z

Guenter am 29. November 2017 um 15:51 Uhr

2017-11-29T15:51:28Z

Guenter am 29. November 2017 um 15:46 Uhr

2017-11-29T15:46:19Z

Hussain am 21. November 2017 um 16:36 Uhr

2017-11-21T16:36:15Z

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 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)| Binary Symmetric Channel (BSC)]].
-* Zahlenwerte der Q&ndash;Funktion können mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; ermittelt werden.
+* Zahlenwerte der Q&ndash;Funktion können mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; ermittelt werden.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt $p_{\rm M} = Q(s_0/\sigma) = 0.01$. Daraus folgt für den Quotienten aus Detektionsnutzabtastwert und Detektionsstöreffektivwert:
+'''(1)'''&nbsp; Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt $p_{\rm M} = {\rm Q}(s_0/\sigma) = 0.01$.
 :$${s_0}/{\sigma}= {\rm Q}^{-1} \left ( 0.01 \right ) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.32}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Mit $E = 0$ ergibt sich für die Wahrscheinlichkeiten des vorgegebenen digitalen Kanalmodells:
 :$$p_2 = p_3 = p = 0.01 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_1 = p_4 = 1-p = 0.99\hspace{0.05cm}.$$
-Ein Vergleich mit dem Theorieteil zeigt, dass dieses Kanalmodell dem BSC&ndash;Modell entspricht, und zwar unabhängig von der Statistik der Quellensymbole. Richtig sind also <u>beide Lösungsvorschläge</u>.
+*Ein Vergleich mit dem Theorieteil zeigt, dass dieses Kanalmodell dem BSC&ndash;Modell entspricht, und zwar unabhängig von der Statistik der Quellensymbole.
-'''(3)'''&nbsp; Die Übergangswahrscheinlichkeit $p_2$ beschreibt nun den Fall, dass die Enscheiderschwelle $E = 0.25 \cdot s_0$ fälschlicherweise unterschritten wurde. Dann ist $v_{\nu} = \mathbf{L}$, obwohl $q_{\nu} = \mathbf{H}$ gesendet wurde. Der Abstand von der Schwelle beträgt somit nur $0.75 \cdot s_0$ und es gilt:
+'''(3)'''&nbsp; Die Übergangswahrscheinlichkeit $p_2$ beschreibt nun den Fall, dass die Enscheiderschwelle $E = 0.25 \cdot s_0$ fälschlicherweise unterschritten wurde.
 :$$p_{\rm 2}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}{\rm Q} \left ( \frac{0.75 \cdot s_0}{\sigma} \right ) = {\rm Q} \left ( 0.75 \cdot 2.32 \right )
   = {\rm Q} \left ( 1.74 \right )\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.041}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
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 .959}\hspace{0.05cm}.$$
-In ähnlicher Weise können die Übergangswahrscheinlichkeiten $p_3$ und $p_4$ berechnet werden, wobei nun vom Schwellenabstand $1.25 \cdot s_0$ auszugehen ist:
+*In ähnlicher Weise können die Übergangswahrscheinlichkeiten $p_3$ und $p_4$ berechnet werden, wobei nun vom Schwellenabstand $1.25 \cdot s_0$ auszugehen ist:
 :$$p_{\rm 3}  = {\rm Q} \left ( 1.25 \cdot 2.32 \right )
   = {\rm Q} \left ( 2.90 \right )\hspace{0.15cm}\underline {\approx  0.002}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
   p_{\rm 4}  = 1 - p_{\rm 3}\hspace{0.15cm}\underline { =
 .998}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; <u>Keiner</u> der beiden Lösungsvorschläge trifft zu:
-*Mit der Entscheiderschwelle $E &ne; 0$ ist das BSC&ndash;Modell unabhängig von der Symbolstatistik nicht anwendbar, da die Symmetrieeigenschaft des Kanals (das Kennzeichen &bdquo;S&rdquo; in &bdquo;BSC&rdquo;) nicht gegeben ist.
+*Mit der Entscheiderschwelle $E &ne; 0$ ist das BSC&ndash;Modell unabhängig von der Symbolstatistik nicht anwendbar,
-'''(5)'''&nbsp; Die <u>Aussagen 1 und 3</u> treffen zu, nicht aber Aussage 2:
+'''(5)'''&nbsp; Die <u>Aussagen 1 und 3</u> treffen zu, nicht aber die Aussage 2:
-*Beim BSC&ndash;Modell ist $p_{\rm M} = 1\%$ unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$. Dagegen gilt für $p_{\rm L} = 0.9$, $p_{\rm H} = 0.1$ sowie $E = +s_0/4$:
+*Beim BSC&ndash;Modell ist $p_{\rm M} = 1\%$ unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$.
 :$$p_{\rm M}  = 0.9 \cdot p_{\rm 3} + 0.1 \cdot p_{\rm 2}= 0.9 \cdot 0.2\% + 0.1 \cdot 4.1\%
   \approx 0.59\% \hspace{0.05cm}.$$
-Das Minimum ergibt sich für $p_{\rm L} = 0.93$ und $p_{\rm H} = 0.07$ zu $p_{\rm M} \approx 0.45\%$.
+*Das Minimum ergibt sich für $p_{\rm L} = 0.93$ und $p_{\rm H} = 0.07$ zu $p_{\rm M} \approx 0.45\%$.
 {{ML-Fuß}}

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 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)| Binary Symmetric Channel (BSC)]].
-* Zahlenwerte der Q&ndash;Funktion können mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; ermittelt werden.
+* Zahlenwerte der Q&ndash;Funktion können mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; ermittelt werden.

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 [[Datei:P_ID1831__Dig_A_5_3.png|right|frame|AWGN–Kanal und BSC–Modell]]
-Die Grafik zeigt oben das analoge Kanalmodell eines digitalen Übertragungssystems, wobei das additive Rauschsignal $n(t)$ mit der Rauschleistungsdichte $N_0/2$ wirksam ist. Es handelt sich um AWGN&ndash;Rauschen. Die Varianz des Rauschanteils vor dem Entscheider (nach dem Matched&ndash;Filter) ist dann
+Die Grafik zeigt oben das analoge Kanalmodell eines digitalen Übertragungssystems, wobei das additive Rauschsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; mit der (zweiseitigen) Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_0/2$&nbsp; wirksam ist. Es handelt sich um AWGN&ndash;Rauschen. Die Varianz des Rauschanteils vor dem Entscheider (nach dem Matched&ndash;Filter) ist dann
 :$$\sigma^2 = \frac{N_0}{2T} \hspace{0.05cm}.$$
 Weiter soll gelten:
-* Es treten keine Impulsinterferenzen auf. Wurde das Symbol $q_{\nu} = \mathbf{H}$ gesendet, so ist der Nutzanteil des Detektionssignal gleich $+s_0$, bei $q_{\nu} = \mathbf{L}$ dagegen $-s_0$.
+* Es treten keine Impulsinterferenzen auf. Wurde das Symbol&nbsp; $q_{\nu} = \mathbf{H}$&nbsp; gesendet, so ist der Nutzanteil des Detektionssignal gleich&nbsp; $+s_0$, bei&nbsp; $q_{\nu} = \mathbf{L}$&nbsp; dagegen&nbsp; $-s_0$.
-* Der Schwellenwertentscheider berücksichtigt eine Schwellendrift, das heißt, die Schwelle $E$ kann durchaus vom Optimalwert $E = 0$ abweichen. Die <i>Entscheidungsregel</i> lautet:
+* Der Schwellenwertentscheider berücksichtigt eine Schwellendrift, das heißt, die Schwelle&nbsp; $E$&nbsp; kann durchaus vom Optimalwert&nbsp; $E = 0$&nbsp; abweichen. Die <i>Entscheidungsregel</i> lautet:
 :$$\upsilon_\nu =
   \left\{ \begin{array}{c} \mathbf{H} \\
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 \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm}d (\nu \cdot T) > E  \hspace{0.05cm},
 \\  {\rm falls} \hspace{0.15cm} d (\nu \cdot T) \le E\hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
-* Mit dem Schwellenwert $E = 0$ ergibt sich die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zu
+* Mit dem Schwellenwert&nbsp; $E = 0$&nbsp; ergibt sich die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zu
 :$$p_{\rm M} = {\rm Q} \left ( {s_0}/{\sigma} \right ) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
-Die untere Grafik zeigt ein digitales Kanalmodell, das durch die vier Übergangswahrscheinlichkeiten $p_1, p_2, p_3$ und $p_4$ charakterisiert ist. Dieses soll an das analoge Kanalmodell angepasst werden.
+Die untere Grafik zeigt ein digitales Kanalmodell, das durch die vier Übergangswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_1,&nbsp; p_2,&nbsp; p_3$&nbsp; und&nbsp; $p_4$&nbsp; charakterisiert ist. Dieses soll an das analoge Kanalmodell angepasst werden.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)| Binary Symmetric Channel (BSC)]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)| Binary Symmetric Channel (BSC)]].
-* Zahlenwerte der Q&ndash;Funktion können mit dem interaktiven Applet [[Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] ermittelt werden.
+* Zahlenwerte der Q&ndash;Funktion können mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; ermittelt werden.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welcher Quotient $s_0/\sigma$ liegt dieser Aufgabe zugrunde?
+{Welcher Quotient&nbsp; $s_0/\sigma$&nbsp; liegt dieser Aufgabe zugrunde?
 |type="{}"}
 $s_0/\sigma\ = \ ${ 2.32 3% }
-{Für die Schwelle gelte $E = 0$. Ist das vorliegende digitale Übertragungssystem durch das BSC&ndash;Modell beschreibbar, unter der Voraussetzung,
+{Für die Schwelle gelte&nbsp; $E = 0$. Ist das vorliegende digitale Übertragungssystem durch das BSC&ndash;Modell beschreibbar, unter der Voraussetzung, dass
 |type="[]"}
-+ dass die Quellensymbole $\mathbf{L}$ und $\mathbf{H}$ gleichwahrscheinlich sind,
++ die Quellensymbole&nbsp; $\mathbf{L}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; gleichwahrscheinlich sind,
-+ dass das Quellensymbol $\mathbf{L}$ deutlich häufiger auftritt als $\mathbf{H}$?.
++ das Quellensymbol&nbsp; $\mathbf{L}$&nbsp; deutlich häufiger auftritt als $\mathbf{H}$?
-{Berechnen Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten für $E = +s_0/4$.
+{Berechnen Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten für&nbsp; $E = +s_0/4$.
 |type="{}"}
 $p_1 \ = \ $ { 0.959 3% }
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 $p_4 \ = \ $ { 0.998 3% }
-{Nun gelte $E = +s_0/4$. Ist das vorliegende digitale Übertragungssystem durch das BSC&ndash;Modell beschreibbar, unter der Voraussetzung,
+{Nun gelte&nbsp; $E = +s_0/4$. Ist das vorliegende digitale Übertragungssystem durch das BSC&ndash;Modell beschreibbar, unter der Voraussetzung, dass
 |type="[]"}
-- dass die Quellensymbole $\mathbf{L}$ und $\mathbf{H}$ gleichwahrscheinlich sind,
+- die Quellensymbole&nbsp; $\mathbf{L}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; gleichwahrscheinlich sind,
-- dass das Quellensymbol $\mathbf{L}$ deutlich häufiger auftritt als $\mathbf{H}$?.
+- das Quellensymbol&nbsp; $\mathbf{L}$&nbsp; deutlich häufiger auftritt als&nbsp; $\mathbf{H}$?
-{Es gelte $p_{\rm L} = {\rm Pr}(q_{\nu} = \mathbf{L})$ und $p_{\rm H} = {\rm Pr}(q_{\nu} = \mathbf{H})$. Welche der folgenden Aussagen sind dann für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zutreffend?
+{Es gelte&nbsp; $p_{\rm L} = {\rm Pr}(q_{\nu} = \mathbf{L})$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm H} = {\rm Pr}(q_{\nu} = \mathbf{H})$. Welche der folgenden Aussagen sind dann für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M}$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-+ $p_{\rm M}$ ist beim BSC&ndash;Modell (gültig für $E = 0$) unabhängig von $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$.
++ $p_{\rm M}$&nbsp; ist beim BSC&ndash;Modell &nbsp;$($gültig für &nbsp;$E = 0)$&nbsp; unabhängig von&nbsp; $p_{\rm L}$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm H}$.
-- $p_{\rm M}$ ist beim BSC&ndash;Modell (gültig für $E = 0$) für $p_{\rm L} = p_{\rm H}$ am kleinsten.
+- $p_{\rm M}$&nbsp; ist beim BSC&ndash;Modell &nbsp;$($gültig für &nbsp;$E = 0)$&nbsp; für&nbsp; $p_{\rm L} = p_{\rm H}$&nbsp; am kleinsten.
-+ Für $p_{\rm L} = 0.9$, $p_{\rm H} = 0.1$ und $E = +s_0/4$ ist $p_{\rm M}$ kleiner als $1\%$.
++ Für&nbsp; $p_{\rm L} = 0.9$,&nbsp; $p_{\rm H} = 0.1$&nbsp; und&nbsp; $E = +s_0/4$&nbsp; ist&nbsp; $p_{\rm M} < 1\%$.
 </quiz>

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 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)| Binary Symmetric Channel (BSC)]].
 * Zahlenwerte der Q&ndash;Funktion können mit dem interaktiven Applet [[Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] ermittelt werden.
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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	* Die Aufgabe beschreibt das Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)\| Binary Symmetric Channel (BSC)]].		* Die Aufgabe beschreibt das Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)\| Binary Symmetric Channel (BSC)]].
	* Zahlenwerte der so genannten Q–Funktion können Sie mit dem folgenden Interaktionsmodul ermitteln: [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]		* Zahlenwerte der so genannten Q–Funktion können Sie mit dem folgenden Interaktionsmodul ermitteln: [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
		+	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.