Aufgaben:Aufgabe 5.2Z: Zweiwegekanal - Versionsgeschichte

Guenter am 10. Februar 2022 um 16:00 Uhr

2022-02-10T16:00:47Z

Guenter am 10. Februar 2022 um 15:55 Uhr

2022-02-10T15:55:20Z

Guenter am 7. Dezember 2019 um 14:14 Uhr

2019-12-07T14:14:09Z

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2019-12-07T14:05:37Z

Guenter am 23. August 2018 um 08:23 Uhr

2018-08-23T08:23:08Z

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2018-08-23T08:12:11Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:55Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:49:00Z

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Guenter am 18. April 2017 um 15:07 Uhr

2017-04-18T15:07:28Z

Guenter am 18. April 2017 um 14:40 Uhr

2017-04-18T14:40:46Z

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
 *Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen stets den Wert&nbsp; $\alpha = 0.5$.
@@ Zeile 75: / Zeile 72: @@
 :$$H(f) = 1 + \alpha  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}f\tau _2 }  = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ).$$
-*Falls&nbsp; $H(f)$&nbsp; periodisch mit&nbsp; $f_0$&nbsp; ist, muss für alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $i$&nbsp; gelten: &nbsp;
+*Falls&nbsp; $H(f)$&nbsp; periodisch mit $f_0$&nbsp; ist,&nbsp; muss für alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $i$&nbsp; gelten: &nbsp;
 :$$H( {f + i \cdot f_0 } ) = H( f ).$$
 *Mit&nbsp; $f_0 = 1/\tau_2\hspace{0.15cm} \underline{=  0.25 \hspace{0.05cm}\rm kHz}$&nbsp; ist diese Bedingung erfüllt.
 :$$H( {f + i \cdot f_0 } ) = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2  + i{\rm{2\pi }}f_0 \tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2  + i{\rm{2\pi }}f_0 \tau _2 } ) = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ).$$
@@ Zeile 90: / Zeile 86: @@
 *Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; $($und somit &nbsp; $A = 0)$&nbsp; ergibt sich allgemein bzw. mit&nbsp; $\alpha = 0.5$:
 :$$\left| {H( {f = 0} )} \right|^2  = \left( {1 + \alpha } \right)^2  = 1.5^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}.$$
@@ Zeile 101: / Zeile 96: @@
 *Das bedeutet: &nbsp; Durch die zusätzliche Laufzeit wird&nbsp; $\left| {H(f)} \right|^2$&nbsp; gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; nicht verändert.
-* Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; gilt also weiterhin&nbsp; $\left| {H(f = 0)} \right|^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}.$
+* Bei der Frequenz $f = 0$&nbsp; gilt also weiterhin&nbsp; $\left| {H(f = 0)} \right|^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}.$
@@ Zeile 110: / Zeile 104: @@
 \hspace{0.5cm}C_3  = \alpha  \hspace{0.15cm} \underline{= 0.5},
 \hspace{0.5cm}\tau _3  = \tau _2  - \tau _1   \hspace{0.15cm} \underline{= 4\;{\rm{ms}}}.$$
@@ Zeile 119: / Zeile 112: @@
 :$$P_y  = N_0  \cdot \int_0^B {\left( {1 + \alpha ^2  + 2\alpha  \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f\tau _3 } )} \right)}\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f.$$
-*$B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$&nbsp; ist ein ganzzahliges Vielfaches der Frequenzperiode&nbsp; $f_0 = 1/\tau_2=  250 \hspace{0.08cm}\rm Hz$&nbsp; $($vgl. Lösung zur Teilaufgabe&nbsp; '''1'''$)$.
+*$B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$&nbsp; ist ein ganzzahliges Vielfaches der Frequenzperiode&nbsp; $f_0 = 1/\tau_2=  250 \hspace{0.08cm}\rm Hz$&nbsp; $($vgl. Lösung zur Teilaufgabe&nbsp; '''1'''$)$.&nbsp; Deshalb trägt die Cosinus-Funktion nicht zum Integral bei,&nbsp; und man erhält:
 :$$P_y  = N_0  \cdot B \cdot \left( {1 + \alpha ^2 } \right) = 1.25 \cdot P_x \hspace{0.15cm} \underline{ = 12.5\;{\rm{mW}}}.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID517__Sto_Z_5_2.png|right|frame|Zweiwegekanal&ndash;Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; und&nbsp; $h(t) * h( { - t} )$]]
-Von einem Übertragungssystem ist bekannt, dass zwischen dem Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; und dem  Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; der folgende Zusammenhang besteht:
+Von einem Übertragungssystem ist bekannt,&nbsp; dass zwischen dem Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; und dem  Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; der folgende Zusammenhang besteht:
 :$$y(t) = x( {t - \tau _1 } ) + \alpha \cdot x( {t - \tau _2 } ).$$
@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 :$$h(t) * h( { - t} )\hspace{0.25cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.25cm}\left| {H(f)} \right|^2$$
-dargestellt, wobei die Parameter&nbsp; $C_0$,&nbsp; $C_3$&nbsp; und&nbsp; $\tau_3$&nbsp; von&nbsp; $\alpha$,&nbsp; $\tau_1$&nbsp; und&nbsp; $\tau_2$&nbsp; abhängen &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''.
+dargestellt,&nbsp; wobei die Parameter&nbsp; $C_0$,&nbsp; $C_3$&nbsp; und&nbsp; $\tau_3$&nbsp; von&nbsp; $\alpha$,&nbsp; $\tau_1$&nbsp; und&nbsp; $\tau_2$&nbsp; abhängen &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''.
 Das Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; sei bandbegrenztes weißes Rauschen
@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 *Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen stets den Wert&nbsp; $\alpha = 0.5$.
 *Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gelte zudem&nbsp; $\tau_1 = 0$ &nbsp;und&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.
-*Für die späteren Aufgabenteile soll von&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$ &nbsp;und&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$ ausgegangen werden.
+*Für die späteren Aufgabenteile soll von&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$ &nbsp;und&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; ausgegangen werden.
@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; für&nbsp; $\tau_1 = 0$&nbsp; und $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.&nbsp; Zeigen Sie, dass&nbsp; $H(f)$&nbsp; eine mit&nbsp; $f_0$&nbsp; periodische Funktion ist.&nbsp; Wie groß ist&nbsp; $f_0$?
+{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; für&nbsp; $\tau_1 = 0$&nbsp; und $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.&nbsp; Zeigen Sie,&nbsp; dass&nbsp; $H(f)$&nbsp; eine mit&nbsp; $f_0$&nbsp; periodische Funktion ist.&nbsp; Wie groß ist $f_0$?
 |type="{}"}
 $f_0 \ = \ $  { 0.25 3% } $\ \rm kHz$
-{Wie groß ist&nbsp; $|H(f)|^2$&nbsp; mit&nbsp; $\tau_1 = 0$,&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\alpha = 0.5$?&nbsp; Geben Sie den Wert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; ein.
+{Wie groß ist&nbsp; $|H(f)|^2$&nbsp; mit&nbsp; $\tau_1 = 0$,&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\alpha = 0.5$?&nbsp; Geben Sie den Wert bei $f = 0$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $|H(f = 0)|^2 \ = \ $ { 2.25 3% }
-{Wie verändert sich&nbsp;  $|H(f)|^2$&nbsp; mit&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$?&nbsp; Die Dämpfungskonstante sei weiterhin&nbsp; $\alpha = 0.5$.&nbsp; Geben Sie den Wert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; ein.
+{Wie verändert sich&nbsp;  $|H(f)|^2$&nbsp; mit&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$?&nbsp; Die Dämpfungskonstante sei weiterhin&nbsp; $\alpha = 0.5$.&nbsp; Geben Sie den Wert bei $f = 0$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $|H(f = 0)|^2  \ =  \ $ { 2.25 }

@@ Zeile 71: / Zeile 71: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; $H(f)$ ist die Fouriertransformierte zu $h(t)$.
+'''(1)'''&nbsp; $H(f)$&nbsp; ist die Fouriertransformierte zu&nbsp; $h(t)$.
-*Mit dem Verschiebungssatz lautet diese $(\tau_1 = 0)$:
+*Mit dem Verschiebungssatz lautet diese&nbsp; $(\tau_1 = 0)$:
 :$$H(f) = 1 + \alpha  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}f\tau _2 }  = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ).$$
-*Falls $H(f)$ periodisch mit $f_0$ ist, muss für alle ganzzahligen Werte von $i$ gelten: &nbsp;
+*Falls&nbsp; $H(f)$&nbsp; periodisch mit&nbsp; $f_0$&nbsp; ist, muss für alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $i$&nbsp; gelten: &nbsp;
 :$$H( {f + i \cdot f_0 } ) = H( f ).$$
-*Mit $f_0 = 1/\tau_2\hspace{0.15cm} \underline{=  0.25 \hspace{0.05cm}\rm kHz}$ ist diese Bedingung erfüllt.
+*Mit&nbsp; $f_0 = 1/\tau_2\hspace{0.15cm} \underline{=  0.25 \hspace{0.05cm}\rm kHz}$&nbsp; ist diese Bedingung erfüllt.
 :$$H( {f + i \cdot f_0 } ) = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2  + i{\rm{2\pi }}f_0 \tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2  + i{\rm{2\pi }}f_0 \tau _2 } ) = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ).$$
@@ Zeile 84: / Zeile 85: @@
 :$$\left| {H( f )} \right|^2  = \left( {1 + \alpha  \cdot \cos ( A )} \right)^2  + \left( {\alpha  \cdot \sin ( A )} \right)^2 .$$
-*Hierbei ist das Winkelargument mit $A = 2\pi f \tau$ abgekürzt. Nach Ausmultiplizieren erhält man wegen $\cos^2(A) + \sin^2(A) = 1$:
+*Hierbei ist das Winkelargument mit&nbsp; $A = 2\pi f \tau$&nbsp; abgekürzt.&nbsp; Nach Ausmultiplizieren erhält man wegen&nbsp; $\cos^2(A) + \sin^2(A) = 1$:
 :$$\left| {H(f)} \right|^2  = 1 + \alpha ^2  + 2\alpha  \cdot \cos ( A ).$$
-*Bei der Frequenz $f = 0$ (und somit  $A = 0$) ergibt sich allgemein bzw. mit $\alpha = 0.5$:
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; $($und somit &nbsp; $A = 0)$&nbsp; ergibt sich allgemein bzw. mit&nbsp; $\alpha = 0.5$:
 :$$\left| {H( {f = 0} )} \right|^2  = \left( {1 + \alpha } \right)^2  = 1.5^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}.$$
@@ Zeile 94: / Zeile 96: @@
 [[Datei:P_ID551__Sto_Z_5_2_c.png|frame|Aufteilung der Impulsantwort in zwei Teilsysteme]]
-*Die Übertragungsfunktion $H_1(f)$ ist wie in der Teilaufgabe '''(2)''' berechnet.
+*Die Übertragungsfunktion&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; ist wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechnet.
-*Für  $H_2(f)$ gilt mit $\tau_1 = 1\hspace{0.05cm}\rm ms$:
+*Für&nbsp;  $H_2(f)$&nbsp; gilt mit&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.05cm}\rm ms$:
 :$$H_2 (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}f\tau _1 } \quad  \Rightarrow \quad \left| {H_2 (f)} \right| = 1\quad  \Rightarrow \quad \left| {H_2 (f)} \right|^2  = 1.$$
-*Das bedeutet: &nbsp;Durch die zusätzliche Laufzeit wird $\left| {H(f)} \right|^2$ gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' nicht verändert.
+*Das bedeutet: &nbsp; Durch die zusätzliche Laufzeit wird&nbsp; $\left| {H(f)} \right|^2$&nbsp; gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; nicht verändert.
-* Bei der Frequenz $f = 0$ gilt also weiterhin$\left| {H(f = 0)} \right|^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}.$
+* Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; gilt also weiterhin&nbsp; $\left| {H(f = 0)} \right|^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}.$
-'''(4)'''&nbsp; Durch Vergleich der gezeichneten Funktion $h(t) \star  h(-t)$ mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man:
+'''(4)'''&nbsp; Durch Vergleich der gezeichneten Funktion&nbsp; $h(t) \star  h(-t)$&nbsp; mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man:
 :$$C_0  = 1 + \alpha ^2  \hspace{0.15cm} \underline{= 1.25},
 \hspace{0.5cm}C_3  = \alpha  \hspace{0.15cm} \underline{= 0.5},
@@ Zeile 109: / Zeile 112: @@
 '''(5)'''&nbsp; Das LDS des Ausgangssignals $y(t)$ ist auf den Bereich von $\pm B$ begrenzt und ergibt sich zu
 :$${\it \Phi}_y(f)  = {N_0}/{2}  \cdot |H(f)|^2  = N_0/{2}  \cdot {\left( {1 + \alpha ^2  + 2\alpha  \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f\tau _3 } )} \right)}.$$
@@ Zeile 115: / Zeile 119: @@
 :$$P_y  = N_0  \cdot \int_0^B {\left( {1 + \alpha ^2  + 2\alpha  \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f\tau _3 } )} \right)}\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f.$$
-*$B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$ ist ein ganzzahliges Vielfaches der Frequenzperiode $f_0 = 1/\tau_2=  250 \hspace{0.08cm}\rm Hz$ ist (vgl. Lösung zur Teilaufgabe '''1''').
+*$B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$&nbsp; ist ein ganzzahliges Vielfaches der Frequenzperiode&nbsp; $f_0 = 1/\tau_2=  250 \hspace{0.08cm}\rm Hz$&nbsp; $($vgl. Lösung zur Teilaufgabe&nbsp; '''1'''$)$.
 *Deshalb trägt die Cosinus-Funktion nicht zum Integral bei, und man erhält:
 :$$P_y  = N_0  \cdot B \cdot \left( {1 + \alpha ^2 } \right) = 1.25 \cdot P_x \hspace{0.15cm} \underline{ = 12.5\;{\rm{mW}}}.$$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID517__Sto_Z_5_2.png|right|frame|Zweiwegekanal: Impulsantwort $h(t)$ und $h(t) * h( { - t} )$]]
+[[Datei:P_ID517__Sto_Z_5_2.png|right|frame|Zweiwegekanal&ndash;Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; und&nbsp; $h(t) * h( { - t} )$]]
-Von einem Übertragungssystem ist bekannt, dass zwischen dem Eingangssignal $x(t)$ und dem  Ausgangssignal $y(t)$ der folgende Zusammenhang besteht:
+Von einem Übertragungssystem ist bekannt, dass zwischen dem Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; und dem  Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; der folgende Zusammenhang besteht:
 :$$y(t) = x( {t - \tau _1 } ) + \alpha \cdot x( {t - \tau _2 } ).$$
-Die dazugehörige Impulsantwort  $h(t)$ ist rechts skizziert.
+Die dazugehörige Impulsantwort&nbsp;  $h(t)$&nbsp; ist oben skizziert.
 In der unteren Skizze ist die Funktion
 :$$h(t) * h( { - t} )\hspace{0.25cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.25cm}\left| {H(f)} \right|^2$$
-dargestellt, wobei die Parameter $C_0$, $C_3$ und $\tau_3$ von $\alpha$, $\tau_1$ und $\tau_2$ abhängen &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe '''(4)'''.
+dargestellt, wobei die Parameter&nbsp; $C_0$,&nbsp; $C_3$&nbsp; und&nbsp; $\tau_3$&nbsp; von&nbsp; $\alpha$,&nbsp; $\tau_1$&nbsp; und&nbsp; $\tau_2$&nbsp; abhängen &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''.
-Das Eingangssignal $x(t)$ sei bandbegrenztes weißes Rauschen
+Das Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; sei bandbegrenztes weißes Rauschen
-*mit der Leistungsdichte $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$
+*mit der Leistungsdichte&nbsp; $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$
-*und der Bandbreite $B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$,
+*und der Bandbreite&nbsp; $B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$,
-woraus die Leistung  $P_x = 10 \hspace{0.08cm} \rm mW$ berechnet werden kann.
+woraus die Leistung&nbsp;  $P_x = 10 \hspace{0.08cm} \rm mW$&nbsp; berechnet werden kann.
@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
-*Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen stets den Wert $\alpha = 0.5$.
+*Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen stets den Wert&nbsp; $\alpha = 0.5$.
-*Für die Teilaufgaben '''(1''') und '''(2)''' gelte zudem $\tau_1 = 0$ &nbsp;und&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.
+*Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gelte zudem&nbsp; $\tau_1 = 0$ &nbsp;und&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.
-*Für die späteren Aufgabenteile soll von $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$ &nbsp;und&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$ ausgegangen werden.
+*Für die späteren Aufgabenteile soll von&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$ &nbsp;und&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$ ausgegangen werden.
@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ für $\tau_1 = 0$ und $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$. <br>Zeigen Sie, dass $H(f)$ eine mit $f_0$ periodische Funktion ist. Wie groß ist $f_0$?
+{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; für&nbsp; $\tau_1 = 0$&nbsp; und $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.&nbsp; Zeigen Sie, dass&nbsp; $H(f)$&nbsp; eine mit&nbsp; $f_0$&nbsp; periodische Funktion ist.&nbsp; Wie groß ist&nbsp; $f_0$?
 |type="{}"}
 $f_0 \ = \ $  { 0.25 3% } $\ \rm kHz$
-{Wie groß ist $|H(f)|^2$ mit $\tau_1 = 0$, $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$ und $\alpha = 0.5$? <br>Geben Sie den Wert bei $f = 0$ ein.
+{Wie groß ist&nbsp; $|H(f)|^2$&nbsp; mit&nbsp; $\tau_1 = 0$,&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\alpha = 0.5$?&nbsp; Geben Sie den Wert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $|H(f = 0)|^2 \ = \ $ { 2.25 3% }
-{Wie verändert sich  $|H(f)|^2$ mit $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$ und $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$? Die Dämpfungskonstante sei weiterhin $\alpha = 0.5$. Geben Sie den Wert bei $f = 0$ ein.
+{Wie verändert sich&nbsp;  $|H(f)|^2$&nbsp; mit&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$?&nbsp; Die Dämpfungskonstante sei weiterhin&nbsp; $\alpha = 0.5$.&nbsp; Geben Sie den Wert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $|H(f = 0)|^2  \ =  \ $ { 2.25 }
-{Es gelte weiterhin $\alpha = 0.5$, $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$ und $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$. Welche Werte ergeben sich für die Funktionsparameter von $h(t) \star  h(-t)$ gemäß Skizze?
+{Es gelte weiterhin&nbsp; $\alpha = 0.5$,&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die Funktionsparameter von&nbsp; $h(t) \star  h(-t)$&nbsp; gemäß der Skizze?
 |type="{}"}
 $C_0 \ =  \ ${ 1.25 3% }
@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
-{Wie groß ist die Leistung des Ausgangssignals $y(t)$?
+{Wie groß ist die Leistung des Ausgangssignals&nbsp; $y(t)$?
 |type="{}"}
 $P_y \ =  \ $ { 12.5 3% } $\ \rm mW$

@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
-{Wie groß ist die Leistung des Ausgangssignals $y(t)?
+{Wie groß ist die Leistung des Ausgangssignals $y(t)$?
 |type="{}"}
 $P_y \ =  \ $ { 12.5 3% } $\ \rm mW$
@@ Zeile 71: / Zeile 71: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; $H(f)$ ist die Fouriertransformierte zu $h(t)$. Mit dem Verschiebungssatz lautet diese $(\tau_1 = 0)$:
+'''(1)'''&nbsp; $H(f)$ ist die Fouriertransformierte zu $h(t)$.
 :$$H(f) = 1 + \alpha  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}f\tau _2 }  = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ).$$
-Falls $H(f)$ periodisch mit $f_0$ ist, muss für alle ganzzahligen Werte von $i$ gelten: &nbsp; $H( {f + i \cdot f_0 } ) = H( f ).$ Mit $f_0 = 1/\tau_2\hspace{0.15cm} \underline{=  0.25 \hspace{0.05cm}\rm kHz}$ ist diese Bedingung erfüllt.
+*Falls $H(f)$ periodisch mit $f_0$ ist, muss für alle ganzzahligen Werte von $i$ gelten: &nbsp;
 :$$H( {f + i \cdot f_0 } ) = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2  + i{\rm{2\pi }}f_0 \tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2  + i{\rm{2\pi }}f_0 \tau _2 } ) = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ).$$
 '''(2)'''&nbsp; Das Betragsquadrat ist die Summe von quadriertem Realteil und quadriertem Imaginärteil:
 :$$\left| {H( f )} \right|^2  = \left( {1 + \alpha  \cdot \cos ( A )} \right)^2  + \left( {\alpha  \cdot \sin ( A )} \right)^2 .$$
-Hierbei ist das Winkelargument mit $A = 2\pi f \tau$ abgekürzt. Nach Ausmultiplizieren erhält man wegen $\cos^2(A) + \sin^2(A) = 1$:
+*Hierbei ist das Winkelargument mit $A = 2\pi f \tau$ abgekürzt. Nach Ausmultiplizieren erhält man wegen $\cos^2(A) + \sin^2(A) = 1$:
 :$$\left| {H(f)} \right|^2  = 1 + \alpha ^2  + 2\alpha  \cdot \cos ( A ).$$
-Bei der Frequenz $f = 0$ (und somit  $A = 0$) ergibt sich allgemein bzw. mit $\alpha = 0.5$:
+*Bei der Frequenz $f = 0$ (und somit  $A = 0$) ergibt sich allgemein bzw. mit $\alpha = 0.5$:
 :$$\left| {H( {f = 0} )} \right|^2  = \left( {1 + \alpha } \right)^2  = 1.5^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Nun lässt sich das Übertragungssystem aus zwei Teilsystemen zusammensetzen (siehe Skizze):
-[[Datei:P_ID551__Sto_Z_5_2_c.png|Aufteilung in zwei Teilsysteme]]
+[[Datei:P_ID551__Sto_Z_5_2_c.png|frame|Aufteilung der Impulsantwort in zwei Teilsysteme]]
-Die Übertragungsfunktion $H_1(f)$ ist wie in der Teilaufgabe (2) berechnet. Für  $H_2(f)$ gilt mit $\tau_1 = 1\hspace{0.05cm}\rm ms$:
+*Die Übertragungsfunktion $H_1(f)$ ist wie in der Teilaufgabe '''(2)''' berechnet.
 :$$H_2 (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}f\tau _1 } \quad  \Rightarrow \quad \left| {H_2 (f)} \right| = 1\quad  \Rightarrow \quad \left| {H_2 (f)} \right|^2  = 1.$$
-Das bedeutet: Durch die zusätzliche Laufzeit wird $\left| {H(f)} \right|^2$ gegenüber der Teilaufgabe (2) nicht verändert. Bei der Frequenz $f = 0$ gilt also weiterhin$\left| {H(f = 0)} \right|^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}.$
+*Das bedeutet: &nbsp;Durch die zusätzliche Laufzeit wird $\left| {H(f)} \right|^2$ gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' nicht verändert.
 '''(4)'''&nbsp; Durch Vergleich der gezeichneten Funktion $h(t) \star  h(-t)$ mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) erhält man:
 :$$C_0  = 1 + \alpha ^2  \hspace{0.15cm} \underline{= 1.25},
 \hspace{0.5cm}C_3  = \alpha  \hspace{0.15cm} \underline{= 0.5},
 \hspace{0.5cm}\tau _3  = \tau _2  - \tau _1   \hspace{0.15cm} \underline{= 4\;{\rm{ms}}}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Das LDS des Ausgangssignals $y(t)$ ist auf den Bereich von $\pm B$ begrenzt und ergibt sich zu
 :$${\it \Phi}_y(f)  = {N_0}/{2}  \cdot |H(f)|^2  = N_0/{2}  \cdot {\left( {1 + \alpha ^2  + 2\alpha  \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f\tau _3 } )} \right)}.$$
-Unter Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften erhält man somit für die Leistung:
+*Unter Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften erhält man somit für die Leistung:
 :$$P_y  = N_0  \cdot \int_0^B {\left( {1 + \alpha ^2  + 2\alpha  \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f\tau _3 } )} \right)}\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f.$$
-Da $B = 10 \hspace{0.05cm} \rm kHz$ ein ganzzahliges Vielfaches der Frequenzperiode $f_0 = 1/\tau_2=  250 \hspace{0.05cm}\rm Hz$ ist (vgl. Lösung zur Teilaufgabe 1), trägt die Cosinus-Funktion nicht zum Integral bei, und man erhält:
+*$B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$ ist ein ganzzahliges Vielfaches der Frequenzperiode $f_0 = 1/\tau_2=  250 \hspace{0.08cm}\rm Hz$ ist (vgl. Lösung zur Teilaufgabe '''1''').
 :$$P_y  = N_0  \cdot B \cdot \left( {1 + \alpha ^2 } \right) = 1.25 \cdot P_x \hspace{0.15cm} \underline{ = 12.5\;{\rm{mW}}}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 *Für die Teilaufgaben (1) und (2) gelte zudem $\tau_1 = 0$ und $\tau_2 = 4\hspace{0.05cm}\rm ms$.
 *Für die späteren Aufgabenteile soll von $\tau_1 = 1\hspace{0.05cm}\rm ms$ und $\tau_2 = 5\hspace{0.05cm}\rm ms$ ausgegangen werden.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 13:49 Uhr
(kein Unterschied)

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 {Wie verändert sich  $|H(f)|^2$ mit $\tau_1 = 1\hspace{0.05cm}\rm ms$ und $\tau_2 = 5\hspace{0.05cm}\rm ms$? Die Dämpfungskonstante sei weiterhin $\alpha = 0.5$. Geben Sie den Wert bei $f = 0$ ein.
 |type="{}"}
-$|H(f = 0)|^2  \ =$ { 0.3 }
+$|H(f = 0)|^2  \ =$ { 2.25 }