Aufgaben:Aufgabe 5.2: Inverse Diskrete Fouriertransformation - Versionsgeschichte

Guenter am 16. Mai 2021 um 13:58 Uhr

2021-05-16T13:58:59Z

Guenter am 16. Mai 2021 um 13:53 Uhr

2021-05-16T13:53:51Z

Guenter am 10. Oktober 2019 um 13:27 Uhr

2019-10-10T13:27:54Z

Guenter am 10. Oktober 2019 um 13:19 Uhr

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Guenter am 27. Juli 2018 um 12:53 Uhr

2018-07-27T12:53:53Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:55Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 30. Januar 2018 um 15:37 Uhr

2018-01-30T15:37:40Z

Guenter am 30. Januar 2018 um 15:26 Uhr

2018-01-30T15:26:17Z

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2018-01-30T15:11:38Z

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2018-01-03T13:06:47Z

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-'''(2)'''&nbsp; Alle Spektralkoeffizienten sind Null mit Ausnahme von&nbsp; $D_1 = D_7 = 0.5$. Daraus folgt für&nbsp; $0 ≤ ν ≤ 7$:
+'''(2)'''&nbsp; Alle Spektralkoeffizienten sind Null mit Ausnahme von&nbsp; $D_1 = D_7 = 0.5$.&nbsp; Daraus folgt für&nbsp; $0 ≤ ν ≤ 7$:
 :$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu}
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-'''(5)'''&nbsp; Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar:
+'''(5)'''&nbsp; Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear.&nbsp; Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar:
 *Die Koeffizienten&nbsp; $D(\mu )$&nbsp; aus Spalte&nbsp; $\rm E$&nbsp; ergeben sich als die Summen der Spalten&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm D$.
 *Deshalb wird aus der alternierenden Folge&nbsp;  $\langle \hspace{0.1cm}d(ν) \hspace{0.1cm}\rangle $&nbsp; entsprechend Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; die um&nbsp; $1$&nbsp; nach oben verschobene Folge:

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 [[Datei:P_ID1138__Sig_A_5_2.png|250px|right|frame|Fünf verschiedene Sätze für die Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$]]
-Bei der ''Diskreten Fouriertransformation''&nbsp; (DFT) werden
+Bei der&nbsp; '''Diskreten Fouriertransformation'''&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; werden
 *aus den&nbsp; $N$&nbsp; Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$ &nbsp; &rArr;   &nbsp; Abtastwerte des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$ –
 *die&nbsp; $N$&nbsp; Spektralbereichskoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$
-berechnet. Mit&nbsp; $\nu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; und&nbsp; $\mu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; gilt:
+berechnet.&nbsp; Mit&nbsp; $\nu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; und&nbsp; $\mu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; gilt:
 :$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
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   \hspace{0.05cm}.$$
-Für die ''Inverse Diskrete Fouriertransformation''&nbsp; (IDFT)  &nbsp; ⇒  &nbsp; „Umkehrfunktion” der DFT  gilt entsprechend:
+Für die&nbsp; '''Inverse Diskrete Fouriertransformation'''&nbsp; $\rm (IDFT)$  &nbsp; ⇒  &nbsp; „Umkehrfunktion” der DFT  gilt entsprechend:
 :$$d(\nu) =  \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
   D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; (die in der obigen Tabelle mit&nbsp; $\rm A$, ... ,&nbsp; $\rm E$ bezeichnet sind) die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; ermittelt werden. Es gilt somit stets&nbsp; $N = 8$.
+In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; (die in der obigen Tabelle mit&nbsp; $\rm A$, ... ,&nbsp; $\rm E$&nbsp; bezeichnet sind)&nbsp; die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; ermittelt werden.&nbsp; Es gilt somit stets&nbsp; $N = 8$.
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
-*Die hier behandelte Thematik wird auch im interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]] behandelt.
+*Die hier behandelte Thematik wird auch im interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]&nbsp; behandelt.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus der IDFT–Gleichung wird mit $D(\mu) = 0$ für $\mu \ne 0$:
+'''(1)'''&nbsp; Aus der IDFT–Gleichung wird mit&nbsp; $D(\mu) = 0$&nbsp; für&nbsp; $\mu \ne 0$:
 :$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) =1\hspace{0.5cm}(0 \le \nu \le 7)\ \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = d(1) = 1}.$$
-Dieser Parametersatz beschreibt die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:
+*Dieser Parametersatz beschreibt die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:
 :$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
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-'''(2)'''&nbsp; Alle Spektralkoeffizienten sind Null mit Ausnahme von $D_1 = D_7 = 0.5$. Daraus folgt für $0 ≤ ν ≤ 7$:
+'''(2)'''&nbsp; Alle Spektralkoeffizienten sind Null mit Ausnahme von&nbsp; $D_1 = D_7 = 0.5$. Daraus folgt für&nbsp; $0 ≤ ν ≤ 7$:
 :$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
+*Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
 :$$d(\nu)  =  0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)  \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu
+*Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu
 :$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
   X(f) =  {1}/{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) +  {1}/{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
-wobei $f_{\rm A}$ die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet.
+:wobei&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet.
-'''(3)'''&nbsp; Gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich $2 f_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A}$:
+'''(3)'''&nbsp; Gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ist nun die Schwingungsfrequenz doppelt so groß, nämlich&nbsp; $2 f_{\rm A}$&nbsp; anstelle von&nbsp; $f_{\rm A}$:
 :$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
   X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
-Damit beschreibt die Folge  $\langle \hspace{0.1cm}d(ν)\hspace{0.1cm}\rangle $ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ ν ≤ 7$:
+*Damit beschreibt die Folge&nbsp;  $\langle \hspace{0.1cm}d(ν)\hspace{0.1cm}\rangle $&nbsp; zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für&nbsp; $0 ≤ ν ≤ 7$:
 :$$ d(\nu)  =  0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0}
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-'''(4)'''&nbsp; Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf $4 f_{\rm A}$ kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz
+'''(4)'''&nbsp; Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf&nbsp; $4 f_{\rm A}$&nbsp; kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz
 :$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right)
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   \hspace{0.05cm}.$$
-*Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen.
+*Zu beachten ist, dass hier die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen.
-*Die Koeffizienten $D (+4) = 0.5$ und $D (-4) = 0.5$ ergeben zusammen $D (4) = 1$.
+*Die Koeffizienten&nbsp; $D (+4) = 0.5$&nbsp; und&nbsp; $D (-4) = 0.5$&nbsp; ergeben zusammen&nbsp; $D (4) = 1$.
 '''(5)'''&nbsp; Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar:
-*Die Koeffizienten $D(\mu )$ aus Spalte $\rm E$ ergeben sich als die Summen der Spalten $\rm A$ und $\rm D$.
+*Die Koeffizienten&nbsp; $D(\mu )$&nbsp; aus Spalte&nbsp; $\rm E$&nbsp; ergeben sich als die Summen der Spalten&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm D$.
-*Deshalb wird aus der alternierenden Folge  $\langle \hspace{0.1cm}d(ν) \hspace{0.1cm}\rangle $ entsprechend Teilaufgabe '''(4)''' die um $1$ nach oben verschobene Folge:
+*Deshalb wird aus der alternierenden Folge&nbsp;  $\langle \hspace{0.1cm}d(ν) \hspace{0.1cm}\rangle $&nbsp; entsprechend Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; die um&nbsp; $1$&nbsp; nach oben verschobene Folge:
 :$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7)  = 0}

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 }}
-[[Datei:P_ID1138__Sig_A_5_2.png|250px|right|frame|Fünf verschiedene Sätze für die Spektralkoeffizienten $D(\mu)$]]
+[[Datei:P_ID1138__Sig_A_5_2.png|250px|right|frame|Fünf verschiedene Sätze für die Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$]]
-Bei der ''Diskreten Fouriertransformation'' (DFT) werden
+Bei der ''Diskreten Fouriertransformation''&nbsp; (DFT) werden
-*aus den $N$ Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ &nbsp; &rArr;   &nbsp; Abtastwerte des zeitkontinuierlichen Signals $x(t)$ –
+*aus den&nbsp; $N$&nbsp; Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$ &nbsp; &rArr;   &nbsp; Abtastwerte des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$ –
-*die $N$ Spektralbereichskoeffizienten $D(\mu)$
+*die&nbsp; $N$&nbsp; Spektralbereichskoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$
-berechnet. Mit $\nu = 0$, ... , $N – 1$ und $\mu = 0$, ... , $N – 1$ gilt:
+berechnet. Mit&nbsp; $\nu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; und&nbsp; $\mu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; gilt:
 :$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
    d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei bezeichnet $w$ den komplexen Drehfaktor:
+Hierbei bezeichnet&nbsp; $w$&nbsp; den komplexen Drehfaktor:
 :$$w  = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}
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   \hspace{0.05cm}.$$
-Für die ''Inverse Diskrete Fouriertransformation'' (IDFT)  &nbsp; ⇒  &nbsp; „Umkehrfunktion” der DFT  gilt entsprechend:
+Für die ''Inverse Diskrete Fouriertransformation''&nbsp; (IDFT)  &nbsp; ⇒  &nbsp; „Umkehrfunktion” der DFT  gilt entsprechend:
 :$$d(\nu) =  \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
   D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ (die in der obigen Tabelle mit $\rm A$, ... , $\rm E$ bezeichnet sind) die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.
+In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; (die in der obigen Tabelle mit&nbsp; $\rm A$, ... ,&nbsp; $\rm E$ bezeichnet sind) die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; ermittelt werden. Es gilt somit stets&nbsp; $N = 8$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
-*Die hier behandelte Thematik wird auch im interaktiven Applet [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] behandelt.
+*Die hier behandelte Thematik wird auch im interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]] behandelt.
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 <quiz display=simple>
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte $\rm A$?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm A$?
 |type="{}"}
 $d(0)\ = \ $  { 1 3% }
 $d(1)\ = \ $ { 1 3% }
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte $\rm B$?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm B$?
 |type="{}"}
 $d(0)\ = \ $ { 1 3% }
 $d(1)\ = \ $ { 0.707 3% }
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$ –Werte von Spalte $\rm C$?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm C$?
 |type="{}"}
 $d(0)\ = \ $ { 1 3% }
 $d(1)\ = \ $ { 0. }
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte $\rm D$?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm D$?
 |type="{}"}
 $d(0)\ = \ ${ 1 3% }
 $d(1)\ = \ $ { -1.03--0.97 }
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte $\rm E$?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; für die&nbsp; $D(\mu)$–Werte von Spalte&nbsp; $\rm E$?
 |type="{}"}
 $d(0)\ = \ $ { 2 3% }

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 [[Datei:P_ID1138__Sig_A_5_2.png|250px|right|frame|Fünf verschiedene Sätze für die Spektralkoeffizienten $D(\mu)$]]
-Bei der ''Diskreten Fouriertransformation'' (DFT) werden aus den $N$ Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ &nbsp; &rArr;   &nbsp; Abtastwerte des zeitkontinuierlichen Signals $x(t)$ – die $N$ Spektralbereichskoeffizienten $D(\mu)$ berechnet.
+Bei der ''Diskreten Fouriertransformation'' (DFT) werden
 Mit $\nu = 0$, ... , $N – 1$ und $\mu = 0$, ... , $N – 1$ gilt:
 :$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
-   d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
+   d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei bezeichnet $w$ den komplexen Drehfaktor:
@@ Zeile 21: / Zeile 24: @@
 :$$d(\nu) =  \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
-  D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
+  D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ – die in obiger Tabelle mit $\rm A$, ... , $\rm E$ bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.
+In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ (die in der obigen Tabelle mit $\rm A$, ... , $\rm E$ bezeichnet sind) die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
-*Die hier behandelte Thematik wird auch im Interaktionsmodul [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] behandelt.
+*Die hier behandelte Thematik wird auch im interaktiven Applet [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] behandelt.
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-'''(3)'''&nbsp; Gegenüber der Teilaufgabe (2) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich $2 f_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A}$:
+'''(3)'''&nbsp; Gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich $2 f_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A}$:
 :$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
   X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
-Damit beschreibt die Folge  $\langle d(ν)\rangle $ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ ν ≤ 7$:
+Damit beschreibt die Folge  $\langle \hspace{0.1cm}d(ν)\hspace{0.1cm}\rangle $ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ ν ≤ 7$:
 :$$ d(\nu)  =  0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0}
@@ Zeile 113: / Zeile 116: @@
   \hspace{0.05cm}$$
-und damit zu den Zeitkoeffizienten
+:und damit zu den Zeitkoeffizienten
 :$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6) \hspace{0.15 cm}\underline{= +1}, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7)  \hspace{0.15 cm}\underline{= -1}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen &nbsp; &rArr; &nbsp;  die Koeffizienten $D (+4) = 0.5$ und $D (-4) = 0.5$ ergeben zusammen $D (4) = 1$.
+*Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen.
 '''(5)'''&nbsp; Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar:
 *Die Koeffizienten $D(\mu )$ aus Spalte $\rm E$ ergeben sich als die Summen der Spalten $\rm A$ und $\rm D$.
-*Deshalb wird aus der alternierenden Folge  $\langle d(ν) \rangle $ entsprechend Teilaufgabe (4) die um $1$ nach oben verschobene Folge:
+*Deshalb wird aus der alternierenden Folge  $\langle \hspace{0.1cm}d(ν) \hspace{0.1cm}\rangle $ entsprechend Teilaufgabe '''(4)''' die um $1$ nach oben verschobene Folge:
 :$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7)  = 0}