Aufgaben:Aufgabe 5.2: Fehlerkorrelationsfunktion - Versionsgeschichte

Guenter am 25. März 2019 um 11:33 Uhr

2019-03-25T11:33:21Z

Guenter am 25. März 2019 um 11:26 Uhr

2019-03-25T11:26:11Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:36Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:39:48Z

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Guenter am 29. November 2017 um 15:36 Uhr

2017-11-29T15:36:09Z

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Hussain am 21. November 2017 um 16:36 Uhr

2017-11-21T16:36:59Z

Hussain am 13. November 2017 um 20:25 Uhr

2017-11-13T20:25:01Z

Hussain am 13. November 2017 um 20:19 Uhr

2017-11-13T20:19:58Z

Hussain am 13. November 2017 um 15:36 Uhr

2017-11-13T15:36:30Z

@@ Zeile 59: / Zeile 59: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Der mittlere Fehlerabstand ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit. Das heißt: $E[a] = 1/p_{\rm M} \ \underline {= 10}$.
@@ Zeile 70: / Zeile 72: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die erste Wahrscheinlichkeits ist gleich ${\rm Pr}(a = 1)$ und die zweite Wahrscheinlichkeit ist gleich $p_{\rm M}$:
+*Die erste Wahrscheinlichkeit ist gleich ${\rm Pr}(a = 1)$ und die zweite Wahrscheinlichkeit ist gleich $p_{\rm M}$:
 :$$\varphi_{e}(k = 1) = 0.3091 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0309}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Der FKF&ndash;Wert $\varphi_e(k = 2)$ kann (näherungsweise) folgendermaßen interpretiert werden:
@@ Zeile 81: / Zeile 84: @@
 = 2)}{p_{\rm M}} = \frac{0.0267}{0.1} = 0.267\hspace{0.05cm}.$$
-Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich zusammen aus den beiden Möglichkeiten &bdquo;Zum Zeitpunkt $\nu+1$ tritt ein Fehler auf&rdquo; sowie &bdquo;Zum Zeitpunkt $\nu+1$ gibt es keinen Fehler&rdquo;:
+Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich zusammen aus &nbsp;&bdquo;Zum Zeitpunkt $\nu+1$ tritt ein Fehler auf&rdquo;&nbsp; sowie &nbsp;&bdquo;Zum Zeitpunkt $\nu+1$ gibt es keinen Fehler&rdquo;:
 :$${\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} =
 ) = {\rm Pr}( a =1) \cdot {\rm Pr}( a =1) + {\rm Pr}( a =2)\hspace{0.3cm}
@@ Zeile 89: / Zeile 92: @@
 *Diese Annahme gilt allerdings nur für eine besondere Klasse von Kanalmodellen, die man als &bdquo;erneuernd&rdquo; bezeichnet.
 *Das hier betrachtete Bündelfehlermodell erfüllt diese Bedingung nicht.
-*Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(a = 2) = 0.1675$ weicht deshalb vom hier berechneten Wert ($0.1715$) geringfügig ab.
+*Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(a = 2) = 0.1675$&nbsp; weicht deshalb vom hier berechneten Wert&nbsp; $(0.1715)$&nbsp; geringfügig ab.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^5.1 Zu den Digitalen Kanalmodellen^]]

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle}}
-[[Datei:P_ID1854__Dig_A_5_2_version1.png|right|frame|Wahrscheinlichkeiten der Fehlerabstände und Fehlerkorrelationsfunktion]]
+[[Datei:P_ID1854__Dig_A_5_2_version1.png|right|frame|Wahrscheinlichkeiten der Fehlerabstände und FKF]]
-Zur Charakterisierung von digitalen Kanalmodellen verwendet man unter Anderem
+Zur Charakterisierung von digitalen Kanalmodellen verwendet man unter anderem
 * die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF)
-:$$\varphi_{e}(k) = {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu +
+:$$\varphi_{e}(k) = {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu +
-k}]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k \ge 0\hspace{0.05cm},$$
+k}\big]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k \ge 0\hspace{0.05cm},$$
 * die Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten
@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 Hierbei bezeichnen:
-* $&#9001;e_{\rm \nu}&#9002;$ ist die Fehlerfolge mit $e_{\rm \nu} &#8712; \{0, 1\}$.
+* $&#9001;e_{\rm \nu}&#9002;$&nbsp; ist die Fehlerfolge mit&nbsp; $e_{\rm \nu} &#8712; \{0, 1\}$.
-* $a$ gibt den Fehlerabstand an.
+* $a$&nbsp; gibt den Fehlerabstand an.
-Zwei direkt aufeinanderfolgende Bitfehler werden somit durch den Fehlerabstand $a = 1$ gekennzeichnet.
+Zwei direkt aufeinanderfolgende Bitfehler werden somit durch den Fehlerabstand&nbsp; $a = 1$&nbsp; gekennzeichnet.
-Die Tabelle zeigt beispielhafte Werte der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a = k)$ sowie der Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$. Einige Angaben fehlen in der Tabelle. Diese Werte sollen aus den gegebenen Werten berechnet werden.
+Die Tabelle zeigt beispielhafte Werte der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(a = k)$&nbsp; sowie der Fehlerkorrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_e(k)$.
-''Hinweise:''
 * Die Aufgabe behandelt den Lehrstoff des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Beschreibungsgr%C3%B6%C3%9Fen_digitaler_Kanalmodelle| Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle]].
@@ Zeile 36: / Zeile 41: @@
 {Welcher Wert ergibt sich für den mittleren Fehlerabstand?
 |type="{}"}
-${\rm E}[a] \ = \ ${ 10 3% }
+${\rm E}\big[a\big] \ = \ ${ 10 3% }
-{Berechnen Sie den Wert der Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) für $k = 1$.
+{Berechnen Sie den Wert der Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) für&nbsp; $k = 1$.
 |type="{}"}
 $\varphi_e(k = 1) \ = \ ${ 0.0309 3% }
-{Welche Näherung gilt für die Wahrscheinlichkeit des Fehlerabstands $a = 2$?
+{Welche Näherung gilt für die Wahrscheinlichkeit des Fehlerabstands&nbsp; $a = 2$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(a = 2) \ = \ ${ 0.1715 3% }

@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe behandelt den Lehrstoff des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Beschreibungsgr%C3%B6%C3%9Fen_digitaler_Kanalmodelle| Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle]].
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei bezeichnen
+Hierbei bezeichnen:
-* $&#9001;e_{\rm \nu}&#9002;$ die Fehlerfolge mit $e_{\rm \nu} &#8712; \{0, 1\}$, und
+* $&#9001;e_{\rm \nu}&#9002;$ ist die Fehlerfolge mit $e_{\rm \nu} &#8712; \{0, 1\}$.
-* $a$ den Fehlerabstand.
+* $a$ gibt den Fehlerabstand an.
@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
 p_{\rm M} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.1}
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Der mittlere Fehlerabstand ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit. Das heißt: $E[a] = 1/p_{\rm M} \ \underline {= 10}$.
@@ Zeile 61: / Zeile 60: @@
 :$$\varphi_{e}(k = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm
 E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + 1}] = {\rm E}[(e_{\nu} = 1) \cdot
-(e_{\nu + 1}=1)]=$$
+(e_{\nu + 1}=1)]={\rm Pr}(e_{\nu + 1}=1
 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot {\rm
 Pr}(e_{\nu} = 1)
@@ Zeile 70: / Zeile 68: @@
 :$$\varphi_{e}(k = 1) = 0.3091 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0309}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Der FKF&ndash;Wert $\varphi_e(k = 2)$ kann (näherungsweise) folgendermaßen interpretiert werden:
 :$$\varphi_{e}(k = 2) ={\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1
-\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot p_{\rm M}$$
+\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot p_{\rm M} \hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1
 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) = \frac{\varphi_{e}(k
 = 2)}{p_{\rm M}} = \frac{0.0267}{0.1} = 0.267\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 81: / Zeile 78: @@
 Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich zusammen aus den beiden Möglichkeiten &bdquo;Zum Zeitpunkt $\nu+1$ tritt ein Fehler auf&rdquo; sowie &bdquo;Zum Zeitpunkt $\nu+1$ gibt es keinen Fehler&rdquo;:
 :$${\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} =
-) = {\rm Pr}( a =1) \cdot {\rm Pr}( a =1) + {\rm Pr}( a =2)$$
+) = {\rm Pr}( a =1) \cdot {\rm Pr}( a =1) + {\rm Pr}( a =2)\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}( a =2)= 0.267 - 0.3091^2 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1715}\hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}( a =2)= 0.267 - 0.3091^2 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1715}\hspace{0.05cm}.$$
-Bei der Rechnung wurde davon ausgegangen, dass die einzelnen Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig sind. Diese Annahme gilt allerdings nur für eine besondere Klasse von Kanalmodellen, die man als &bdquo;erneuernd&rdquo; bezeichnet. Das hier betrachtete Bündelfehlermodell erfüllt diese Bedingung nicht. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(a = 2) = 0.1675$ weicht deshalb vom hier berechneten Wert ($0.1715$) geringfügig ab.
+Bei der Rechnung wurde davon ausgegangen, dass die einzelnen Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig sind.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^5.1 Zu den Digitalen Kanalmodellen^]]

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle}}
-[[Datei:P_ID1854__Dig_A_5_2_version1.png|right|frame|Gegebene Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten und Fehlerkorrelationsfunktion]]
+[[Datei:P_ID1854__Dig_A_5_2_version1.png|right|frame|Wahrscheinlichkeiten der Fehlerabstände und Fehlerkorrelationsfunktion]]
 Zur Charakterisierung von digitalen Kanalmodellen verwendet man unter Anderem
 * die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF)
@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 Die Tabelle zeigt beispielhafte Werte der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a = k)$ sowie der Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$. Einige Angaben fehlen in der Tabelle. Diese Werte sollen aus den gegebenen Werten berechnet werden.
 ''Hinweise:''
@@ Zeile 36: / Zeile 38: @@
 ${\rm E}[a] \ = \ ${ 10 3% }
-{Berechnen Sie den FKF&ndash;Wert für $k = 1$.
+{Berechnen Sie den Wert der Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) für $k = 1$.
 |type="{}"}
-$\varphi_r(k = 1) \ = \ ${ 0.0309 3% }
+$\varphi_e(k = 1) \ = \ ${ 0.0309 3% }
 {Welche Näherung gilt für die Wahrscheinlichkeit des Fehlerabstands $a = 2$?

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
−	* Die Aufgabe ~~behandel~~ den Lehrstoff des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Beschreibungsgr%C3%B6%C3%9Fen_digitaler_Kanalmodelle\| Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle]].	+	* Die Aufgabe behandelt den Lehrstoff des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Beschreibungsgr%C3%B6%C3%9Fen_digitaler_Kanalmodelle\| Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle]].
		+	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

@@ Zeile 46: / Zeile 46: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;
+'''(1)'''&nbsp; Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist gleich dem FKF&ndash;Wert für $k = 0$. Wegen $e_{\nu} &#8712; \{0, 1\}$ gilt nämlich:
-'''(2)'''&nbsp;
+:$$\varphi_{e}(k = 0) = {\rm E}[e_{\nu}^2 ]= {\rm E}[e_{\nu} ]=
-'''(3)'''&nbsp;
+p_{\rm M} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.1}
-'''(4)'''&nbsp;
+\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp;
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^5.1 Zu den Digitalen Kanalmodellen^]]