Aufgaben:Aufgabe 5.2: Bandspreizung und Schmalbandstörer - Versionsgeschichte

Guenter am 8. Dezember 2021 um 13:53 Uhr

2021-12-08T13:53:18Z

Guenter am 27. April 2020 um 12:38 Uhr

2020-04-27T12:38:58Z

Guenter am 27. April 2020 um 12:18 Uhr

2020-04-27T12:18:49Z

Guenter am 15. Januar 2019 um 10:21 Uhr

2019-01-15T10:21:14Z

Guenter am 15. Januar 2019 um 10:06 Uhr

2019-01-15T10:06:55Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:58Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:33:56Z

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Guenter am 1. August 2017 um 08:56 Uhr

2017-08-01T08:56:57Z

Guenter am 1. August 2017 um 08:50 Uhr

2017-08-01T08:50:26Z

Guenter am 1. August 2017 um 08:24 Uhr

2017-08-01T08:24:04Z

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 [[Datei:P_ID1868__Mod_A_5_2.png|right|frame|Betrachtetes Modell <br>der Bandspreizung]]
-Betrachtet wird ein ''Spread Spectrum System''&nbsp; gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:
+Betrachtet wird ein&nbsp; "Spread Spectrum System"&nbsp; gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:
-*Das Digitalsignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; besitze das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_q(f)$, das als rechteckförmig mit der Bandbreite &nbsp;$B = 1/T = 100\ \rm  kHz$&nbsp; angenähert werden soll&nbsp; (eine eher unrealistische Annahme):
+*Das Digitalsignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; besitze das Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$ &nbsp; ${\it \Phi}_q(f)$,&nbsp; das als rechteckförmig mit der Bandbreite&nbsp; $B = 1/T = 100\ \rm  kHz$&nbsp; angenähert werden soll&nbsp; (eine eher unrealistische Annahme):
 :$${\it \Phi}_{q}(f) =
-\left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{q0} \\
+\left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{0} \\
 \\  \end{array} \right.
 \begin{array}{*{10}c}    {\rm{f\ddot{u}r}}
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
   \\
 \end{array}$$
-*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite&nbsp; (nur die Anteile bei positiven Frequenzen)&nbsp; gleich &nbsp;$B/2$&nbsp; und die Bandbreite im Bandpassbereich ist &nbsp;$B$.
+*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite &nbsp; (nur die Anteile bei positiven Frequenzen)&nbsp; gleich &nbsp;$B/2$&nbsp; und die Bandbreite im Bandpassbereich ist&nbsp; $B$.
-*Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz &nbsp;$c(t)$&nbsp; der Chipdauer &nbsp;$T_c = T/100$&nbsp; <br>(&bdquo;PN&rdquo; steht dabei für &bdquo;Pseudo Noise&rdquo;).
+*Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz &nbsp;$c(t)$&nbsp; der Chipdauer &nbsp;$T_c = T/100$&nbsp; <br>(&bdquo;PN&rdquo; steht dabei für &bdquo;Pseudo-Noise&rdquo;).
 *Für die Autokorrelationsfunktion gelte vereinfachend:
 :$$ {\it \varphi}_{c}(\tau) = \left\{ \begin{array}{c}1 - |\tau|/T_c \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -T_c \le \tau \le T_c \hspace{0.05cm}, \\ \\ \end{array}$$
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 <quiz display=simple>
-{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_c(f )$&nbsp; des Spreizsignals &nbsp;$c(t)$?&nbsp; Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz &nbsp;$f = 0$?
+{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_c(f )$&nbsp; des Spreizsignals &nbsp;$c(t)$? &nbsp; Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz &nbsp;$f = 0$?
 |type="{}"}
 ${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0.1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$
-{Berechnen Sie die äquivalente Bandbreite &nbsp;$B_c$&nbsp; des Spreizsignals als Breite des flächengleichen LDS–Rechtecks.
+{Berechnen Sie die äquivalente Bandbreite &nbsp;$B_c$&nbsp; des Spreizsignals als Breite des flächengleichen&nbsp; $\rm LDS$–Rechtecks.
 |type="{}"}
 $B_c \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm MHz$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Leistungsdichtesprektrum&nbsp; ${\it \Phi}_c(f)$&nbsp; ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF, die mit Rechtecken der Breite&nbsp; $T_c$&nbsp; wie folgt dargestellt werden kann:
+'''(1)'''&nbsp; Das Leistungsdichtesprektrum&nbsp; ${\it \Phi}_c(f)$&nbsp; ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF,&nbsp; die mit Rechtecken der Breite&nbsp; $T_c$&nbsp; wie folgt dargestellt werden kann:
 :$${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \star {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \hspace{0.05cm}.$$
 *Daraus folgt &nbsp;${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$&nbsp; mit dem Maximalwert
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 [[Datei:P_ID1869__Mod_A_5_2b.png|right|frame|Leistungsdichtespektrum des PN–Spreizsignals]]
-'''(2)'''&nbsp; Gemäß Definition gilt mit&nbsp; $T_c = T/100 = 0.1\ \rm  &micro; s$:
 :$$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f $$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_c=  = \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_c=   \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
 Die Grafik verdeutlicht,
 *dass&nbsp; $B_c$&nbsp; durch die erste Nullstelle der&nbsp; $\rm si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird,
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+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:
 *Das LDS&nbsp; ${\it \Phi}_s(f)$&nbsp; ergibt sich aus der Faltung von&nbsp; ${\it \Phi}_q(f)$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_c(f)$.&nbsp; Damit erhält man für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich&nbsp; $B_s = B_c + B$.
-*Da das Spreizsignal&nbsp; $c(t) ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; mit sich selbst multipliziert immer den Wert&nbsp; $1$&nbsp; ergibt, ist natürlich&nbsp; $b(t) ≡ q(t)$&nbsp; und demzufolge&nbsp; $B_b = B$.
+*Da das Spreizsignal&nbsp; $c(t) ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; mit sich selbst multipliziert immer den Wert&nbsp; $1$&nbsp; ergibt,&nbsp; ist natürlich&nbsp; $b(t) ≡ q(t)$&nbsp; und demzufolge&nbsp; $B_b = B$.
-*Offensichtlich ist, dass die Bandbreite&nbsp; $B_b$&nbsp; des bandgestauchten Signals ungleich&nbsp; $2B_c + B$&nbsp; ist, obwohl die Faltung&nbsp; ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$&nbsp; dies suggeriert.
+*Offensichtlich ist,&nbsp; dass die Bandbreite&nbsp; $B_b$&nbsp; des bandgestauchten Signals ungleich&nbsp; $2B_c + B$&nbsp; ist,&nbsp; obwohl die Faltung&nbsp; ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$&nbsp; dies suggeriert.
-*Dies hängt damit zusammen, dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen, sondern von den Spektralfunktionen&nbsp; (Amplitudenspektren)&nbsp; $S(f)$&nbsp; und&nbsp; $C(f)$&nbsp; unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist.
+*Dies hängt damit zusammen,&nbsp; dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen,&nbsp; sondern von den Spektralfunktionen&nbsp; (Amplitudenspektren)&nbsp; $S(f)$&nbsp; und&nbsp; $C(f)$&nbsp; unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist.
 *Erst danach kann aus&nbsp; $B(f)$&nbsp; das LDS&nbsp; ${\it \Phi}_b(f)$&nbsp; bestimmt werden.&nbsp; Es gilt offensichtlich auch:&nbsp; $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$.
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u>. Die Lösung soll anhand der Skizze am Seitenende verdeutlicht werden:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur der&nbsp; <u>erste Lösungsvorschlag</u>.&nbsp; Die Lösung soll anhand der Skizze am Seitenende verdeutlicht werden:
 *Im oberen Diagramm ist das LDS&nbsp; ${\it \Phi}_i(f)$&nbsp; des Schmalbandstörers durch zwei Diracfunktionen bei&nbsp; $±f_{\rm T}$&nbsp; mit Gewichten&nbsp; $P_{\rm I}/2$&nbsp; angenähert.&nbsp; Eingezeichnet ist auch die Bandbreite&nbsp; $B = 0.1 \ \rm MHz$&nbsp; (nicht ganz maßstäblich).
-*Die empfängerseitige Multiplikation mit&nbsp; $c(t)$&nbsp; – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung, zumindest bezüglich des Nutzanteils von&nbsp; $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals&nbsp; $i(t)$&nbsp; eine Bandspreizung.&nbsp; Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist&nbsp; $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$.&nbsp; Daraus folgt:
+*Die empfängerseitige Multiplikation mit&nbsp; $c(t)$&nbsp; – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung,&nbsp; zumindest bezüglich des Nutzanteils von&nbsp; $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals&nbsp; $i(t)$&nbsp; eine Bandspreizung.&nbsp; Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist&nbsp; $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$. &nbsp; Daraus folgt:
 :$${\it \Phi}_{n}(f)  =  {\it \Phi}_{i}(f) \star {\it \Phi}_{c}(f) =  \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f - f_{\rm T}) \cdot T_c \right )+ \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f + f_{\rm T}) \cdot T_c \right ) \hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID1870__Mod_A_5_2c.png|right|frame|Leistungsdichtespektren vor und nach der Bandspreizung]]
-*Anzumerken ist, dass&nbsp; $n(t)$&nbsp; hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht AWGN–Rauschen bezeichnet.&nbsp;
+*Anzumerken ist,&nbsp; dass&nbsp; $n(t)$&nbsp; hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht AWGN–Rauschen bezeichnet.&nbsp;
 *In einem engen Bereich um die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz$&nbsp; ist das LDS&nbsp; ${\it \Phi}_n(f)$&nbsp; nahezu konstant.&nbsp; Damit gilt für die Störleistung nach der Bandspreizung:
 :$$ P_{n} = P_{\rm I} \cdot T_c \cdot B = P_{\rm I}\cdot \frac{B}{B_c} = \frac{P_{\rm I}}{J}\hspace{0.05cm}. $$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Leistungsdichtesprektrum ${\it \Phi}_c(f)$ ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF, die mit Rechtecken der Breite $T_c$ wie folgt dargestellt werden kann:
+'''(1)'''&nbsp; Das Leistungsdichtesprektrum&nbsp; ${\it \Phi}_c(f)$&nbsp; ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF, die mit Rechtecken der Breite&nbsp; $T_c$&nbsp; wie folgt dargestellt werden kann:
 :$${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \star {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \hspace{0.05cm}.$$
-*Daraus folgt &nbsp;${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$ mit dem Maximalwert
+*Daraus folgt &nbsp;${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$&nbsp; mit dem Maximalwert
 :$${\it \Phi}_{c}(f = 0) = T_c = \frac{T}{100}= \frac{1}{100 \cdot B} = \frac{1}{100 \cdot 10^5\,{\rm 1/s}} = 10^{-7}\,{\rm 1/Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1 \cdot 10^{-6}\,{\rm 1/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Gemäß der vorgegebenen Definition gilt mit $T_c = T/100 = 0.1\ \rm  &micro; s$:
-:$$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
+[[Datei:P_ID1869__Mod_A_5_2b.png|right|frame|Leistungsdichtespektrum des PN–Spreizsignals]]
-Die Grafik verdeutlicht, dass $B_c$ durch die erste Nullstelle der $\rm si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird, aber auch gleichzeitig die äquivalente (flächengleiche) Bandbreite im Bandpassbereich angibt.
+'''(2)'''&nbsp; Gemäß Definition gilt mit&nbsp; $T_c = T/100 = 0.1\ \rm  &micro; s$:
-[[Datei:P_ID1869__Mod_A_5_2b.png|center|frame|Leistungsdichtespektrum des PN–Spreizsignals]]
+:$$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f $$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:
-*Das LDS ${\it \Phi}_s(f)$ ergibt sich aus der Faltung von ${\it \Phi}_q(f)$ und ${\it \Phi}_c(f)$. Damit erhält man für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich $B_s = B_c + B$.
+*Das LDS&nbsp; ${\it \Phi}_s(f)$&nbsp; ergibt sich aus der Faltung von&nbsp; ${\it \Phi}_q(f)$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_c(f)$.&nbsp; Damit erhält man für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich&nbsp; $B_s = B_c + B$.
-*Da das Spreizsignal $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit sich selbst multipliziert immer den Wert $1$ ergibt, ist natürlich $b(t) ≡ q(t)$ und demzufolge $B_b = B$.
+*Da das Spreizsignal&nbsp; $c(t) ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; mit sich selbst multipliziert immer den Wert&nbsp; $1$&nbsp; ergibt, ist natürlich&nbsp; $b(t) ≡ q(t)$&nbsp; und demzufolge&nbsp; $B_b = B$.
-*Offensichtlich ist, dass die Bandbreite $B_b$ des bandgestauchten Signals ungleich $2B_c + B$ ist, obwohl die Faltung ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$ dies suggeriert.
+*Offensichtlich ist, dass die Bandbreite&nbsp; $B_b$&nbsp; des bandgestauchten Signals ungleich&nbsp; $2B_c + B$&nbsp; ist, obwohl die Faltung&nbsp; ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$&nbsp; dies suggeriert.
-*Dies hängt damit zusammen, dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen, sondern von den Spektralfunktionen (Amplitudenspektren) $S(f)$ und $C(f)$ unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist.
+*Dies hängt damit zusammen, dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen, sondern von den Spektralfunktionen&nbsp; (Amplitudenspektren)&nbsp; $S(f)$&nbsp; und&nbsp; $C(f)$&nbsp; unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist.
-*Erst danach kann aus $B(f)$ das LDS ${\it \Phi}_b(f)$ bestimmt werden. Es gilt offensichtlich auch: $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$.
+*Erst danach kann aus&nbsp; $B(f)$&nbsp; das LDS&nbsp; ${\it \Phi}_b(f)$&nbsp; bestimmt werden.&nbsp; Es gilt offensichtlich auch:&nbsp; $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$.
-*Die empfängerseitige Multiplikation mit $c(t)$ – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung, zumindest bezüglich des Nutzanteils von $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals $i(t)$ eine Bandspreizung. Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$. Daraus folgt:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u>. Die Lösung soll anhand der Skizze am Seitenende verdeutlicht werden:
 :$${\it \Phi}_{n}(f)  =  {\it \Phi}_{i}(f) \star {\it \Phi}_{c}(f) =  \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f - f_{\rm T}) \cdot T_c \right )+ \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f + f_{\rm T}) \cdot T_c \right ) \hspace{0.05cm}.$$
-*Anzumerken ist, dass $n(t)$ hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht AWGN–Rauschen bezeichnet. In einem engen Bereich um die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz$ ist das LDS ${\it \Phi}_n(f)$ nahezu konstant. Damit gilt für die Störleistung nach der Bandspreizung:
+[[Datei:P_ID1870__Mod_A_5_2c.png|right|frame|Leistungsdichtespektren vor und nach der Bandspreizung]]
 :$$ P_{n} = P_{\rm I} \cdot T_c \cdot B = P_{\rm I}\cdot \frac{B}{B_c} = \frac{P_{\rm I}}{J}\hspace{0.05cm}. $$
-*Das bedeutet: &nbsp; Die Störleistung wird durch Bandspreizung um den Faktor $J = T/T_c$ herabgesetzt, weshalb $J$ häufig auch als Spreizgewinn bezeichnet wird.
+*Das bedeutet: &nbsp; Die Störleistung wird durch Bandspreizung um den Faktor&nbsp; $J = T/T_c$&nbsp; herabgesetzt, weshalb&nbsp; $J$&nbsp; häufig auch als Spreizgewinn bezeichnet wird.
 *Ein solcher Spreizgewinn ist allerdings nur bei einem Schmalbandstörer gegeben.

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID1868__Mod_A_5_2.png|right|frame|Betrachtetes Modell <br>der Bandspreizung]]
 Betrachtet wird ein ''Spread Spectrum System''&nbsp; gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:
-*Das Digitalsignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; besitze das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_q(f)$, das als rechteckförmig mit der Bandbreite &nbsp;$B = 1/T = 100\ \rm  kHz$&nbsp; angenähert werden soll:
+*Das Digitalsignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; besitze das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_q(f)$, das als rechteckförmig mit der Bandbreite &nbsp;$B = 1/T = 100\ \rm  kHz$&nbsp; angenähert werden soll&nbsp; (eine eher unrealistische Annahme):
 :$${\it \Phi}_{q}(f) =
 \left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{q0} \\
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
   \\
 \end{array}$$
-*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite (nur die Anteile bei positiven Frequenzen) gleich &nbsp;$B/2$&nbsp; und die Bandbreite im Bandpassbereich ist &nbsp;$B$.
+*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite&nbsp; (nur die Anteile bei positiven Frequenzen)&nbsp; gleich &nbsp;$B/2$&nbsp; und die Bandbreite im Bandpassbereich ist &nbsp;$B$.
 *Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz &nbsp;$c(t)$&nbsp; der Chipdauer &nbsp;$T_c = T/100$&nbsp; <br>(&bdquo;PN&rdquo; steht dabei für &bdquo;Pseudo Noise&rdquo;).
 *Für die Autokorrelationsfunktion gelte vereinfachend:
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 *Beim Empfänger wird wieder die gleiche Spreizfolge &nbsp;$c(t)$&nbsp; phasensynchron zugesetzt.
 *Das Interferenzsignal &nbsp;$i(t)$&nbsp; soll zunächst vernachlässigt werden.
-*In der Teilaufgabe '''(4)''' bezeichnet &nbsp;$i(t)$&nbsp; einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz = f_{\rm I}$&nbsp; mit der Leistung &nbsp;$P_{\rm I}$.
+*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; bezeichnet &nbsp;$i(t)$&nbsp; einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz = f_{\rm I}$&nbsp; mit der Leistung &nbsp;$P_{\rm I}$.
-*Der Einfluss des (stets vorhandenen)  AWGN–Rauschens &nbsp;$n(t)$&nbsp; wird in dieser Aufgabe nicht betrachtet.
+*Der Einfluss des&nbsp; (stets vorhandenen)&nbsp;  AWGN–Rauschens &nbsp;$n(t)$&nbsp; wird in dieser Aufgabe nicht betrachtet.
@@ Zeile 35: / Zeile 38: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_c(f )$&nbsp; des Spreizsignals &nbsp;$c(t)$? <br>Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz &nbsp;$f = 0$?
+{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_c(f )$&nbsp; des Spreizsignals &nbsp;$c(t)$?&nbsp; Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz &nbsp;$f = 0$?
 |type="{}"}
 ${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0.1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$
@@ Zeile 43: / Zeile 46: @@
 $B_c \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm MHz$
-{Welche Aussagen sind für die Bandbreiten der Signale &nbsp;$s(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $B_s$ und &nbsp;$b(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $B_b$ zutreffend? <br>Die (zweiseitige) Bandbreite von &nbsp;$q(t)$&nbsp; ist &nbsp;$B$.
+{Welche Aussagen sind für die Bandbreiten der Signale &nbsp;$s(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $B_s$ und &nbsp;$b(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $B_b$ zutreffend?&nbsp; Die (zweiseitige) Bandbreite von &nbsp;$q(t)$&nbsp; ist &nbsp;$B$.
 |type="[]"}
 - $B_s$&nbsp; ist exakt gleich &nbsp;$B_c$.
@@ Zeile 51: / Zeile 54: @@
 + $B_b$&nbsp; ist exakt gleich &nbsp;$B$.
-{Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz? <br>Es gelte also &nbsp;$f_{\rm I} = f_{\rm T}$.
+{Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz?&nbsp; Es gelte also &nbsp;$f_{\rm I} = f_{\rm T}$.
 |type="[]"}
 + Der störende Einfluss wird durch Bandspreizung abgeschwächt.

@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 + $B_b$&nbsp; ist exakt gleich &nbsp;$B$.
-{Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz? <br>Es gelte also &nbsp;$B_c$$f_{\rm I} = f_{\rm T}$.
+{Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz? <br>Es gelte also &nbsp;$f_{\rm I} = f_{\rm T}$.
 |type="[]"}
 + Der störende Einfluss wird durch Bandspreizung abgeschwächt.
@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Leistungsdichtesprektrum ${\it \Phi}_c(f)$ ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF, die mit Rechteckfunktionen der Breite $T_c$ wie folgt dargestellt werden kann:
+'''(1)'''&nbsp; Das Leistungsdichtesprektrum ${\it \Phi}_c(f)$ ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF, die mit Rechtecken der Breite $T_c$ wie folgt dargestellt werden kann:
-:$${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \left(\frac{\tau}{T_c} \right ) \star {\rm rect} \left(\frac{\tau}{T_c} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \star {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \hspace{0.05cm}.$$
-Daraus folgt &nbsp; ${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \left[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \right ] \cdot \left[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \right ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$ mit dem Maximalwert
+*Daraus folgt &nbsp;${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$ mit dem Maximalwert
 :$${\it \Phi}_{c}(f = 0) = T_c = \frac{T}{100}= \frac{1}{100 \cdot B} = \frac{1}{100 \cdot 10^5\,{\rm 1/s}} = 10^{-7}\,{\rm 1/Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1 \cdot 10^{-6}\,{\rm 1/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Gemäß der vorgegebenen Definition gilt mit $T_c = T/100 = 0.1\ \rm  μs$:
 :$$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
-Die Grafik verdeutlicht, dass $B_c$ durch die erste Nullstelle der $si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird, aber auch gleichzeitig die äquivalente (flächengleiche) Bandbreite im Bandpassbereich angibt.
+Die Grafik verdeutlicht, dass $B_c$ durch die erste Nullstelle der $\rm si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird, aber auch gleichzeitig die äquivalente (flächengleiche) Bandbreite im Bandpassbereich angibt.
 [[Datei:P_ID1869__Mod_A_5_2b.png|center|frame|Leistungsdichtespektrum des PN–Spreizsignals]]
-'''(3)'''&nbsp; Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:
-*Das LDS ${\it \Phi}_s(f)$ ergibt sich aus der Faltung von $Φ_q(f)$ und $Φ_c(f)$. Damit ergibt sich für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich $B_s = B_c + B$.
+*Das LDS ${\it \Phi}_s(f)$ ergibt sich aus der Faltung von ${\it \Phi}_q(f)$ und ${\it \Phi}_c(f)$. Damit erhält man für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich $B_s = B_c + B$.
 *Da das Spreizsignal $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit sich selbst multipliziert immer den Wert $1$ ergibt, ist natürlich $b(t) ≡ q(t)$ und demzufolge $B_b = B$.
 *Offensichtlich ist, dass die Bandbreite $B_b$ des bandgestauchten Signals ungleich $2B_c + B$ ist, obwohl die Faltung ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$ dies suggeriert.
-*Dies hängt damit zusammen, dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen, sondern von den Spektralfunktionen (Amplitudenspektren) $S(f)$ und $C(f)$ unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist. Erst danach kann aus $B(f)$ das LDS ${\it \Phi}_b(f)$ bestimmt werden. Es gilt offensichtlich auch: $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$.
+*Dies hängt damit zusammen, dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen, sondern von den Spektralfunktionen (Amplitudenspektren) $S(f)$ und $C(f)$ unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist.
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>erste Lösungsvorschlag</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u>. Die Lösung soll anhand einer Skizze verdeutlicht werden:
 [[Datei:P_ID1870__Mod_A_5_2c.png|center|frame|Leistungsdichtespektren vor und nach der Bandspreizung]]
 *Die empfängerseitige Multiplikation mit $c(t)$ – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung, zumindest bezüglich des Nutzanteils von $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals $i(t)$ eine Bandspreizung. Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$. Daraus folgt:
 :$${\it \Phi}_{n}(f)  =  {\it \Phi}_{i}(f) \star {\it \Phi}_{c}(f) =  \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f - f_{\rm T}) \cdot T_c \right )+ \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f + f_{\rm T}) \cdot T_c \right ) \hspace{0.05cm}.$$
 *Anzumerken ist, dass $n(t)$ hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht AWGN–Rauschen bezeichnet. In einem engen Bereich um die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz$ ist das LDS ${\it \Phi}_n(f)$ nahezu konstant. Damit gilt für die Störleistung nach der Bandspreizung:
 :$$ P_{n} = P_{\rm I} \cdot T_c \cdot B = P_{\rm I}\cdot \frac{B}{B_c} = \frac{P_{\rm I}}{J}\hspace{0.05cm}. $$
-*Das bedeutet: Die Störleistung wird durch Bandspreizung um den Faktor $J = T/T_c$ herabgesetzt, weshalb $J$ häufig auch als Spreizgewinn bezeichnet wird. Ein solcher Spreizgewinn ist allerdings nur bei einem Schmalbandstörer gegeben.
+*Das bedeutet: &nbsp; Die Störleistung wird durch Bandspreizung um den Faktor $J = T/T_c$ herabgesetzt, weshalb $J$ häufig auch als Spreizgewinn bezeichnet wird.

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 }}
-[[Datei:P_ID1868__Mod_A_5_2.png|right|frame|Betrachtetes Modell der Bandspreizung]]
+[[Datei:P_ID1868__Mod_A_5_2.png|right|frame|Betrachtetes Modell <br>der Bandspreizung]]
-Betrachtet wird ein ''Spread Spectrum System'' gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:
+Betrachtet wird ein ''Spread Spectrum System''&nbsp; gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:
-*Das Digitalsignal $q(t)$ besitze das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_q(f)$, das als rechteckförmig mit der Bandbreite $B = 1/T = 100\ \rm  kHz$ angenähert werden soll:
+*Das Digitalsignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; besitze das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_q(f)$, das als rechteckförmig mit der Bandbreite &nbsp;$B = 1/T = 100\ \rm  kHz$&nbsp; angenähert werden soll:
 :$${\it \Phi}_{q}(f) =
 \left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{q0} \\
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   \\
 \end{array}$$
-*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite (nur die Anteile bei positiven Frequenzen) gleich $B/2$ und die Bandbreite im Bandpassbereich ist $B$.
+*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite (nur die Anteile bei positiven Frequenzen) gleich &nbsp;$B/2$&nbsp; und die Bandbreite im Bandpassbereich ist &nbsp;$B$.
-*Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz $c(t)$ der Chipdauer $T_c = T/100$ (&bdquo;PN&rdquo; steht dabei für &bdquo;Pseudo Noise&rdquo;). Für die Autokorrelationsfunktion gelte vereinfachend:
+*Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz &nbsp;$c(t)$&nbsp; der Chipdauer &nbsp;$T_c = T/100$&nbsp; <br>(&bdquo;PN&rdquo; steht dabei für &bdquo;Pseudo Noise&rdquo;).
 :$$ {\it \varphi}_{c}(\tau) = \left\{ \begin{array}{c}1 - |\tau|/T_c \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -T_c \le \tau \le T_c \hspace{0.05cm}, \\ \\ \end{array}$$
-*Beim Empfänger wird wieder die gleiche Spreizfolge $c(t)$ phasensynchron zugesetzt.
+*Beim Empfänger wird wieder die gleiche Spreizfolge &nbsp;$c(t)$&nbsp; phasensynchron zugesetzt.
-*Das Interferenzsignal $i(t)$ soll zunächst vernachlässigt werden. In der Teilaufgabe (4) bezeichnet $i(t)$ einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz = f_{\rm I}$ mit der Leistung $P_{\rm I}$.
+*Das Interferenzsignal &nbsp;$i(t)$&nbsp; soll zunächst vernachlässigt werden.
-*Der Einfluss des (stets vorhandenen)  AWGN–Rauschens $n(t)$ wird in dieser Aufgabe nicht betrachtet.
+*In der Teilaufgabe '''(4)''' bezeichnet &nbsp;$i(t)$&nbsp; einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz = f_{\rm I}$&nbsp; mit der Leistung &nbsp;$P_{\rm I}$.
-''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/PN–Modulation|PN–Modulation]].
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 <quiz display=simple>
-{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_c(f )$ des Spreizsignals $c(t)$? <br>Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?
+{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_c(f )$&nbsp; des Spreizsignals &nbsp;$c(t)$? <br>Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz &nbsp;$f = 0$?
 |type="{}"}
 ${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0.1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$
-{Berechnen Sie die äquivalente Bandbreite $B_c$ des Spreizsignals als Breite des flächengleichen LDS–Rechtecks.
+{Berechnen Sie die äquivalente Bandbreite &nbsp;$B_c$&nbsp; des Spreizsignals als Breite des flächengleichen LDS–Rechtecks.
 |type="{}"}
 $B_c \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm MHz$
-{Welche Aussagen sind für die Bandbreiten der Signale $s(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $B_s$ und $b(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $B_b$ zutreffend? <br>Die (zweiseitige) Bandbreite von $q(t)$ ist $B$.
+{Welche Aussagen sind für die Bandbreiten der Signale &nbsp;$s(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $B_s$ und &nbsp;$b(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $B_b$ zutreffend? <br>Die (zweiseitige) Bandbreite von &nbsp;$q(t)$&nbsp; ist &nbsp;$B$.
 |type="[]"}
-- $B_s$ ist exakt gleich $B_c$.
+- $B_s$&nbsp; ist exakt gleich &nbsp;$B_c$.
-+ $B_s$ ist näherungsweise gleich $B_c + B$.
++ $B_s$&nbsp; ist näherungsweise gleich &nbsp;$B_c + B$.
-- $B_b$ ist exakt gleich $B_s$.
+- $B_b$&nbsp; ist exakt gleich &nbsp;$B_s$.
-- $B_b$ ist gleich $B_s + B_c = 2B_c + B$.
+- $B_b$&nbsp; ist gleich &nbsp;$B_s + B_c = 2B_c + B$.
-+ $B_b$ ist exakt gleich B.
++ $B_b$&nbsp; ist exakt gleich &nbsp;$B$.
-{Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz? Es gelte also $f_{\rm I} = f_{\rm T}$.
+{Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz? <br>Es gelte also &nbsp;$B_c$$f_{\rm I} = f_{\rm T}$.
 |type="[]"}
 + Der störende Einfluss wird durch Bandspreizung abgeschwächt.

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(kein Unterschied)

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