Aufgaben:Aufgabe 5.2: Bandspreizung und Schmalbandstörer - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:38:09Z

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	[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^5.2 PN–Modulation^]]		[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^5.2 PN–Modulation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_5.2:_Band_Spreading_and_Narrowband_Interferer]]

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2026-02-24T13:40:08Z

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Zeile 6:		Zeile 6:
	Betrachtet wird ein  "Spread Spectrum System"  gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:		Betrachtet wird ein  "Spread Spectrum System"  gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:
	*Das Digitalsignal  $q(t)$  besitze das Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$   ${\it \Phi}_q(f)$,  das als rechteckförmig mit der Bandbreite  $B = 1/T = 100\ \rm kHz$  angenähert werden soll  (eine eher unrealistische Annahme):		*Das Digitalsignal  $q(t)$  besitze das Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$   ${\it \Phi}_q(f)$,  das als rechteckförmig mit der Bandbreite  $B = 1/T = 100\ \rm kHz$  angenähert werden soll  (eine eher unrealistische Annahme):
	:$${\it \Phi}_{q}(f) =		:$${\it \Phi}_{q}(f) =\left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{0} \\0 \\ \end{array} \right.\begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{{20}c}\|f\| <B/2 \hspace{0.05cm}, \\\\\end{array}$$
	\left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{0} \\
	0 \\ \end{array} \right.
	\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
	\\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
	\|f\| <B/2 \hspace{0.05cm}, \\
	\\
	\end{array}$$
	*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite   (nur die Anteile bei positiven Frequenzen)  gleich  $B/2$  und die Bandbreite im Bandpassbereich ist  $B$.		*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite   (nur die Anteile bei positiven Frequenzen)  gleich  $B/2$  und die Bandbreite im Bandpassbereich ist  $B$.
	*Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz  $c(t)$  der Chipdauer  $T_c = T/100$  <br>(&bdquo;PN” steht dabei für &bdquo;Pseudo-Noise”).		*Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz  $c(t)$  der Chipdauer  $T_c = T/100$  <br>(&bdquo;PN” steht dabei für &bdquo;Pseudo-Noise”).

Guenter am 8. Dezember 2021 um 13:53 Uhr

2021-12-08T13:53:18Z

Guenter am 27. April 2020 um 12:38 Uhr

2020-04-27T12:38:58Z

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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das Leistungsdichtesprektrum ${\it \Phi}_c(f)$ ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF, die mit Rechtecken der Breite $T_c$ wie folgt dargestellt werden kann:		'''(1)'''  Das Leistungsdichtesprektrum  ${\it \Phi}_c(f)$  ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF, die mit Rechtecken der Breite  $T_c$  wie folgt dargestellt werden kann:
	:$${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \star {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \hspace{0.05cm}.$$		:$${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \star {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \hspace{0.05cm}.$$
	*Daraus folgt  ${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$ mit dem Maximalwert		*Daraus folgt  ${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$  mit dem Maximalwert
	:$${\it \Phi}_{c}(f = 0) = T_c = \frac{T}{100}= \frac{1}{100 \cdot B} = \frac{1}{100 \cdot 10^5\,{\rm 1/s}} = 10^{-7}\,{\rm 1/Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1 \cdot 10^{-6}\,{\rm 1/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\it \Phi}_{c}(f = 0) = T_c = \frac{T}{100}= \frac{1}{100 \cdot B} = \frac{1}{100 \cdot 10^5\,{\rm 1/s}} = 10^{-7}\,{\rm 1/Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1 \cdot 10^{-6}\,{\rm 1/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Gemäß ~~der vorgegebenen~~ Definition gilt mit $T_c = T/100 = 0.1\ \rm µ s$:
	:$$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$		[[Datei:P_ID1869__Mod_A_5_2b.png\|right\|frame\|Leistungsdichtespektrum des PN–Spreizsignals]]
	Die Grafik verdeutlicht, dass $B_c$ durch die erste Nullstelle der $\rm si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird, aber auch gleichzeitig die äquivalente (flächengleiche) Bandbreite im Bandpassbereich angibt.		'''(2)'''  Gemäß Definition gilt mit  $T_c = T/100 = 0.1\ \rm µ s$:
	~~[[Datei:P_ID1869__Mod_A_5_2b.png\|center\|frame\|Leistungsdichtespektrum des PN–Spreizsignals]]~~		:$$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f $$
			:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_c= = \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
			Die Grafik verdeutlicht,
			*dass  $B_c$  durch die erste Nullstelle der  $\rm si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird,
			* aber auch gleichzeitig die äquivalente  (flächengleiche)  Bandbreite im Bandpassbereich angibt.




	'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:
	*Das LDS ${\it \Phi}_s(f)$ ergibt sich aus der Faltung von ${\it \Phi}_q(f)$ und ${\it \Phi}_c(f)$. Damit erhält man für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich $B_s = B_c + B$.		*Das LDS  ${\it \Phi}_s(f)$  ergibt sich aus der Faltung von  ${\it \Phi}_q(f)$  und  ${\it \Phi}_c(f)$.  Damit erhält man für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich  $B_s = B_c + B$.
	*Da das Spreizsignal $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit sich selbst multipliziert immer den Wert $1$ ergibt, ist natürlich $b(t) ≡ q(t)$ und demzufolge $B_b = B$.		*Da das Spreizsignal  $c(t) ∈ \{+1, –1\}$  mit sich selbst multipliziert immer den Wert  $1$  ergibt, ist natürlich  $b(t) ≡ q(t)$  und demzufolge  $B_b = B$.
	*Offensichtlich ist, dass die Bandbreite $B_b$ des bandgestauchten Signals ungleich $2B_c + B$ ist, obwohl die Faltung ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$ dies suggeriert.		*Offensichtlich ist, dass die Bandbreite  $B_b$  des bandgestauchten Signals ungleich  $2B_c + B$  ist, obwohl die Faltung  ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$  dies suggeriert.
	*Dies hängt damit zusammen, dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen, sondern von den Spektralfunktionen (Amplitudenspektren) $S(f)$ und $C(f)$ unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist.		*Dies hängt damit zusammen, dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen, sondern von den Spektralfunktionen  (Amplitudenspektren)  $S(f)$  und  $C(f)$  unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist.
	*Erst danach kann aus $B(f)$ das LDS ${\it \Phi}_b(f)$ bestimmt werden. Es gilt offensichtlich auch: $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$.		*Erst danach kann aus  $B(f)$  das LDS  ${\it \Phi}_b(f)$  bestimmt werden.  Es gilt offensichtlich auch:  $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$.


	~~'''(4)'''  Richtig ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u>. Die Lösung soll anhand einer Skizze verdeutlicht werden:~~
	~~[[Datei:P_ID1870__Mod_A_5_2c.png\|center\|frame\|Leistungsdichtespektren vor und nach der Bandspreizung]]~~
	*Im oberen Diagramm ist das LDS ${\it \Phi}_i(f)$ des Schmalbandstörers durch zwei Diracfunktionen bei $±f_{\rm T}$ mit Gewichten $P_{\rm I}/2$ angenähert. Eingezeichnet ist auch die Bandbreite $B = 0.1 \ \rm MHz$ (nicht ganz maßstäblich).

	*Die empfängerseitige Multiplikation mit $c(t)$ – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung, zumindest bezüglich des Nutzanteils von $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals $i(t)$ eine Bandspreizung. Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$. Daraus folgt:		'''(4)'''  Richtig ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u>. Die Lösung soll anhand der Skizze am Seitenende verdeutlicht werden:
			*Im oberen Diagramm ist das LDS  ${\it \Phi}_i(f)$  des Schmalbandstörers durch zwei Diracfunktionen bei  $±f_{\rm T}$  mit Gewichten  $P_{\rm I}/2$  angenähert.  Eingezeichnet ist auch die Bandbreite  $B = 0.1 \ \rm MHz$  (nicht ganz maßstäblich).

			*Die empfängerseitige Multiplikation mit  $c(t)$  – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung, zumindest bezüglich des Nutzanteils von  $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals  $i(t)$  eine Bandspreizung.  Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist  $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$.  Daraus folgt:
	:$${\it \Phi}_{n}(f) = {\it \Phi}_{i}(f) \star {\it \Phi}_{c}(f) = \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f - f_{\rm T}) \cdot T_c \right )+ \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f + f_{\rm T}) \cdot T_c \right ) \hspace{0.05cm}.$$		:$${\it \Phi}_{n}(f) = {\it \Phi}_{i}(f) \star {\it \Phi}_{c}(f) = \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f - f_{\rm T}) \cdot T_c \right )+ \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f + f_{\rm T}) \cdot T_c \right ) \hspace{0.05cm}.$$
	*Anzumerken ist, dass $n(t)$ hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht AWGN–Rauschen bezeichnet. In einem engen Bereich um die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz$ ist das LDS ${\it \Phi}_n(f)$ nahezu konstant. Damit gilt für die Störleistung nach der Bandspreizung:		[[Datei:P_ID1870__Mod_A_5_2c.png\|right\|frame\|Leistungsdichtespektren vor und nach der Bandspreizung]]

			*Anzumerken ist, dass  $n(t)$  hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht AWGN–Rauschen bezeichnet.
			*In einem engen Bereich um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz$  ist das LDS  ${\it \Phi}_n(f)$  nahezu konstant.  Damit gilt für die Störleistung nach der Bandspreizung:
	:$$ P_{n} = P_{\rm I} \cdot T_c \cdot B = P_{\rm I}\cdot \frac{B}{B_c} = \frac{P_{\rm I}}{J}\hspace{0.05cm}. $$		:$$ P_{n} = P_{\rm I} \cdot T_c \cdot B = P_{\rm I}\cdot \frac{B}{B_c} = \frac{P_{\rm I}}{J}\hspace{0.05cm}. $$
	*Das bedeutet:   Die Störleistung wird durch Bandspreizung um den Faktor $J = T/T_c$ herabgesetzt, weshalb $J$ häufig auch als Spreizgewinn bezeichnet wird.		*Das bedeutet:   Die Störleistung wird durch Bandspreizung um den Faktor  $J = T/T_c$  herabgesetzt, weshalb  $J$  häufig auch als Spreizgewinn bezeichnet wird.
	*Ein solcher Spreizgewinn ist allerdings nur bei einem Schmalbandstörer gegeben.		*Ein solcher Spreizgewinn ist allerdings nur bei einem Schmalbandstörer gegeben.

Guenter am 27. April 2020 um 12:18 Uhr

2020-04-27T12:18:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. April 2020, 14:18 Uhr
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	[[Datei:P_ID1868__Mod_A_5_2.png\|right\|frame\|Betrachtetes Modell <br>der Bandspreizung]]		[[Datei:P_ID1868__Mod_A_5_2.png\|right\|frame\|Betrachtetes Modell <br>der Bandspreizung]]
	Betrachtet wird ein ''Spread Spectrum System''  gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:		Betrachtet wird ein ''Spread Spectrum System''  gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:
	*Das Digitalsignal  $q(t)$  besitze das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_q(f)$, das als rechteckförmig mit der Bandbreite  $B = 1/T = 100\ \rm kHz$  angenähert werden soll:		*Das Digitalsignal  $q(t)$  besitze das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_q(f)$, das als rechteckförmig mit der Bandbreite  $B = 1/T = 100\ \rm kHz$  angenähert werden soll  (eine eher unrealistische Annahme):
	:$${\it \Phi}_{q}(f) =		:$${\it \Phi}_{q}(f) =
	\left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{q0} \\		\left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{q0} \\
Zeile 14:		Zeile 14:
	\\		\\
	\end{array}$$		\end{array}$$
	*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite (nur die Anteile bei positiven Frequenzen) gleich  $B/2$  und die Bandbreite im Bandpassbereich ist  $B$.		*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite  (nur die Anteile bei positiven Frequenzen)  gleich  $B/2$  und die Bandbreite im Bandpassbereich ist  $B$.
	*Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz  $c(t)$  der Chipdauer  $T_c = T/100$  <br>(&bdquo;PN” steht dabei für &bdquo;Pseudo Noise”).		*Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz  $c(t)$  der Chipdauer  $T_c = T/100$  <br>(&bdquo;PN” steht dabei für &bdquo;Pseudo Noise”).
	*Für die Autokorrelationsfunktion gelte vereinfachend:		*Für die Autokorrelationsfunktion gelte vereinfachend:
Zeile 20:		Zeile 20:
	*Beim Empfänger wird wieder die gleiche Spreizfolge  $c(t)$  phasensynchron zugesetzt.		*Beim Empfänger wird wieder die gleiche Spreizfolge  $c(t)$  phasensynchron zugesetzt.
	*Das Interferenzsignal  $i(t)$  soll zunächst vernachlässigt werden.		*Das Interferenzsignal  $i(t)$  soll zunächst vernachlässigt werden.
	*In der Teilaufgabe '''(4)''' bezeichnet  $i(t)$  einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz = f_{\rm I}$  mit der Leistung  $P_{\rm I}$.		*In der Teilaufgabe  '''(4)'''  bezeichnet  $i(t)$  einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz = f_{\rm I}$  mit der Leistung  $P_{\rm I}$.
	*Der Einfluss des (stets vorhandenen) AWGN–Rauschens  $n(t)$  wird in dieser Aufgabe nicht betrachtet.		*Der Einfluss des  (stets vorhandenen)  AWGN–Rauschens  $n(t)$  wird in dieser Aufgabe nicht betrachtet.





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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_c(f )$  des Spreizsignals  $c(t)$? ~~<br>~~Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz  $f = 0$?		{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_c(f )$  des Spreizsignals  $c(t)$?  Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz  $f = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0.1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$		${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0.1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$
Zeile 43:		Zeile 46:
	$B_c \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm MHz$		$B_c \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm MHz$

	{Welche Aussagen sind für die Bandbreiten der Signale  $s(t)$   ⇒   $B_s$ und  $b(t)$   ⇒   $B_b$ zutreffend? ~~<br>~~Die (zweiseitige) Bandbreite von  $q(t)$  ist  $B$.		{Welche Aussagen sind für die Bandbreiten der Signale  $s(t)$   ⇒   $B_s$ und  $b(t)$   ⇒   $B_b$ zutreffend?  Die (zweiseitige) Bandbreite von  $q(t)$  ist  $B$.
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $B_s$  ist exakt gleich  $B_c$.		- $B_s$  ist exakt gleich  $B_c$.
Zeile 51:		Zeile 54:
	+ $B_b$  ist exakt gleich  $B$.		+ $B_b$  ist exakt gleich  $B$.

	{Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz? ~~<br>~~Es gelte also  $f_{\rm I} = f_{\rm T}$.		{Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz?  Es gelte also  $f_{\rm I} = f_{\rm T}$.
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Der störende Einfluss wird durch Bandspreizung abgeschwächt.		+ Der störende Einfluss wird durch Bandspreizung abgeschwächt.

Guenter am 15. Januar 2019 um 10:21 Uhr

2019-01-15T10:21:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Januar 2019, 12:21 Uhr
Zeile 51:		Zeile 51:
	+ $B_b$  ist exakt gleich  $B$.		+ $B_b$  ist exakt gleich  $B$.

	{Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz? <br>Es gelte also  ~~$B_c$~~$f_{\rm I} = f_{\rm T}$.		{Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz? <br>Es gelte also  $f_{\rm I} = f_{\rm T}$.
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Der störende Einfluss wird durch Bandspreizung abgeschwächt.		+ Der störende Einfluss wird durch Bandspreizung abgeschwächt.
Zeile 60:		Zeile 60:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das Leistungsdichtesprektrum ${\it \Phi}_c(f)$ ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF, die mit ~~Rechteckfunktionen~~ der Breite $T_c$ wie folgt dargestellt werden kann:		'''(1)'''  Das Leistungsdichtesprektrum ${\it \Phi}_c(f)$ ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF, die mit Rechtecken der Breite $T_c$ wie folgt dargestellt werden kann:
	:$${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \~~left~~(\frac{\tau}{T_c} \~~right~~ ) \star {\rm rect} \~~left~~(\frac{\tau}{T_c} \~~right~~ ) \hspace{0.05cm}.$$		:$${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \star {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \hspace{0.05cm}.$$
	Daraus folgt   ${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \~~left~~[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \~~right~~ ] \cdot \~~left~~[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \~~right~~ ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$ mit dem Maximalwert		*Daraus folgt  ${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$ mit dem Maximalwert
	:$${\it \Phi}_{c}(f = 0) = T_c = \frac{T}{100}= \frac{1}{100 \cdot B} = \frac{1}{100 \cdot 10^5\,{\rm 1/s}} = 10^{-7}\,{\rm 1/Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1 \cdot 10^{-6}\,{\rm 1/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\it \Phi}_{c}(f = 0) = T_c = \frac{T}{100}= \frac{1}{100 \cdot B} = \frac{1}{100 \cdot 10^5\,{\rm 1/s}} = 10^{-7}\,{\rm 1/Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1 \cdot 10^{-6}\,{\rm 1/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(2)'''  Gemäß der vorgegebenen Definition gilt mit $T_c = T/100 = 0.1\ \rm μs$:
			'''(2)'''  Gemäß der vorgegebenen Definition gilt mit $T_c = T/100 = 0.1\ \rm µ s$:
	:$$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$		:$$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
	Die Grafik verdeutlicht, dass $B_c$ durch die erste Nullstelle der $si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird, aber auch gleichzeitig die äquivalente (flächengleiche) Bandbreite im Bandpassbereich angibt.		Die Grafik verdeutlicht, dass $B_c$ durch die erste Nullstelle der $\rm si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird, aber auch gleichzeitig die äquivalente (flächengleiche) Bandbreite im Bandpassbereich angibt.
	[[Datei:P_ID1869__Mod_A_5_2b.png\|center\|frame\|Leistungsdichtespektrum des PN–Spreizsignals]]		[[Datei:P_ID1869__Mod_A_5_2b.png\|center\|frame\|Leistungsdichtespektrum des PN–Spreizsignals]]

	'''(3)'''  Richtig sind ~~also~~ die <u>Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:
	*Das LDS ${\it \Phi}_s(f)$ ergibt sich aus der Faltung von $~~Φ_q~~(f)$ und $~~Φ_c~~(f)$. Damit ~~ergibt sich~~ für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich $B_s = B_c + B$.		*Das LDS ${\it \Phi}_s(f)$ ergibt sich aus der Faltung von ${\it \Phi}_q(f)$ und ${\it \Phi}_c(f)$. Damit erhält man für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich $B_s = B_c + B$.
	*Da das Spreizsignal $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit sich selbst multipliziert immer den Wert $1$ ergibt, ist natürlich $b(t) ≡ q(t)$ und demzufolge $B_b = B$.		*Da das Spreizsignal $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit sich selbst multipliziert immer den Wert $1$ ergibt, ist natürlich $b(t) ≡ q(t)$ und demzufolge $B_b = B$.
	*Offensichtlich ist, dass die Bandbreite $B_b$ des bandgestauchten Signals ungleich $2B_c + B$ ist, obwohl die Faltung ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$ dies suggeriert.		*Offensichtlich ist, dass die Bandbreite $B_b$ des bandgestauchten Signals ungleich $2B_c + B$ ist, obwohl die Faltung ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$ dies suggeriert.
	*Dies hängt damit zusammen, dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen, sondern von den Spektralfunktionen (Amplitudenspektren) $S(f)$ und $C(f)$ unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist. Erst danach kann aus $B(f)$ das LDS ${\it \Phi}_b(f)$ bestimmt werden. Es gilt offensichtlich auch: $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$.		*Dies hängt damit zusammen, dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen, sondern von den Spektralfunktionen (Amplitudenspektren) $S(f)$ und $C(f)$ unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist.
			*Erst danach kann aus $B(f)$ das LDS ${\it \Phi}_b(f)$ bestimmt werden. Es gilt offensichtlich auch: $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$.


	'''(4)'''  Richtig ist der <u>erste Lösungsvorschlag</u>:		'''(4)'''  Richtig ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u>. Die Lösung soll anhand einer Skizze verdeutlicht werden:
	*Die Lösung soll anhand einer Skizze verdeutlicht werden. Im oberen Diagramm ist das LDS ${\it \Phi}_i(f)$ des Schmalbandstörers durch zwei Diracfunktionen bei $±f_{\rm T}$ mit Gewichten $P_{\rm I}/2$ angenähert. Eingezeichnet ist auch die Bandbreite $B = 0.1 \ \rm MHz$ (nicht ganz maßstäblich).
	[[Datei:P_ID1870__Mod_A_5_2c.png\|center\|frame\|Leistungsdichtespektren vor und nach der Bandspreizung]]		[[Datei:P_ID1870__Mod_A_5_2c.png\|center\|frame\|Leistungsdichtespektren vor und nach der Bandspreizung]]
			*Im oberen Diagramm ist das LDS ${\it \Phi}_i(f)$ des Schmalbandstörers durch zwei Diracfunktionen bei $±f_{\rm T}$ mit Gewichten $P_{\rm I}/2$ angenähert. Eingezeichnet ist auch die Bandbreite $B = 0.1 \ \rm MHz$ (nicht ganz maßstäblich).

	*Die empfängerseitige Multiplikation mit $c(t)$ – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung, zumindest bezüglich des Nutzanteils von $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals $i(t)$ eine Bandspreizung. Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$. Daraus folgt:		*Die empfängerseitige Multiplikation mit $c(t)$ – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung, zumindest bezüglich des Nutzanteils von $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals $i(t)$ eine Bandspreizung. Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$. Daraus folgt:
	:$${\it \Phi}_{n}(f) = {\it \Phi}_{i}(f) \star {\it \Phi}_{c}(f) = \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f - f_{\rm T}) \cdot T_c \right )+ \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f + f_{\rm T}) \cdot T_c \right ) \hspace{0.05cm}.$$		:$${\it \Phi}_{n}(f) = {\it \Phi}_{i}(f) \star {\it \Phi}_{c}(f) = \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f - f_{\rm T}) \cdot T_c \right )+ \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f + f_{\rm T}) \cdot T_c \right ) \hspace{0.05cm}.$$
	*Anzumerken ist, dass $n(t)$ hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht AWGN–Rauschen bezeichnet. In einem engen Bereich um die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz$ ist das LDS ${\it \Phi}_n(f)$ nahezu konstant. Damit gilt für die Störleistung nach der Bandspreizung:		*Anzumerken ist, dass $n(t)$ hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht AWGN–Rauschen bezeichnet. In einem engen Bereich um die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz$ ist das LDS ${\it \Phi}_n(f)$ nahezu konstant. Damit gilt für die Störleistung nach der Bandspreizung:
	:$$ P_{n} = P_{\rm I} \cdot T_c \cdot B = P_{\rm I}\cdot \frac{B}{B_c} = \frac{P_{\rm I}}{J}\hspace{0.05cm}. $$		:$$ P_{n} = P_{\rm I} \cdot T_c \cdot B = P_{\rm I}\cdot \frac{B}{B_c} = \frac{P_{\rm I}}{J}\hspace{0.05cm}. $$
	*Das bedeutet: Die Störleistung wird durch Bandspreizung um den Faktor $J = T/T_c$ herabgesetzt, weshalb $J$ häufig auch als Spreizgewinn bezeichnet wird. Ein solcher Spreizgewinn ist allerdings nur bei einem Schmalbandstörer gegeben.		*Das bedeutet:   Die Störleistung wird durch Bandspreizung um den Faktor $J = T/T_c$ herabgesetzt, weshalb $J$ häufig auch als Spreizgewinn bezeichnet wird.
			*Ein solcher Spreizgewinn ist allerdings nur bei einem Schmalbandstörer gegeben.

Guenter am 15. Januar 2019 um 10:06 Uhr

2019-01-15T10:06:55Z

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	}}		}}

	[[Datei:P_ID1868__Mod_A_5_2.png\|right\|frame\|Betrachtetes Modell der Bandspreizung]]		[[Datei:P_ID1868__Mod_A_5_2.png\|right\|frame\|Betrachtetes Modell <br>der Bandspreizung]]
	Betrachtet wird ein ''Spread Spectrum System'' gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:		Betrachtet wird ein ''Spread Spectrum System''  gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:
	*Das Digitalsignal $q(t)$ besitze das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_q(f)$, das als rechteckförmig mit der Bandbreite $B = 1/T = 100\ \rm kHz$ angenähert werden soll:		*Das Digitalsignal  $q(t)$  besitze das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_q(f)$, das als rechteckförmig mit der Bandbreite  $B = 1/T = 100\ \rm kHz$  angenähert werden soll:
	:$${\it \Phi}_{q}(f) =		:$${\it \Phi}_{q}(f) =
	\left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{q0} \\		\left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{q0} \\
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	\\		\\
	\end{array}$$		\end{array}$$
	*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite (nur die Anteile bei positiven Frequenzen) gleich $B/2$ und die Bandbreite im Bandpassbereich ist $B$.		*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite (nur die Anteile bei positiven Frequenzen) gleich  $B/2$  und die Bandbreite im Bandpassbereich ist  $B$.
	*Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz $c(t)$ der Chipdauer $T_c = T/100$ (&bdquo;PN” steht dabei für &bdquo;Pseudo Noise”). Für die Autokorrelationsfunktion gelte vereinfachend:		*Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz  $c(t)$  der Chipdauer  $T_c = T/100$  <br>(&bdquo;PN” steht dabei für &bdquo;Pseudo Noise”).
			*Für die Autokorrelationsfunktion gelte vereinfachend:
	:$$ {\it \varphi}_{c}(\tau) = \left\{ \begin{array}{c}1 - \|\tau\|/T_c \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} -T_c \le \tau \le T_c \hspace{0.05cm}, \\ \\ \end{array}$$		:$$ {\it \varphi}_{c}(\tau) = \left\{ \begin{array}{c}1 - \|\tau\|/T_c \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} -T_c \le \tau \le T_c \hspace{0.05cm}, \\ \\ \end{array}$$
	*Beim Empfänger wird wieder die gleiche Spreizfolge $c(t)$ phasensynchron zugesetzt.		*Beim Empfänger wird wieder die gleiche Spreizfolge  $c(t)$  phasensynchron zugesetzt.
	*Das Interferenzsignal $i(t)$ soll zunächst vernachlässigt werden. In der Teilaufgabe (4) bezeichnet $i(t)$ einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz = f_{\rm I}$ mit der Leistung $P_{\rm I}$.		*Das Interferenzsignal  $i(t)$  soll zunächst vernachlässigt werden.
	*Der Einfluss des (stets vorhandenen) AWGN–Rauschens $n(t)$ wird in dieser Aufgabe nicht betrachtet.		*In der Teilaufgabe '''(4)''' bezeichnet  $i(t)$  einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz = f_{\rm I}$  mit der Leistung  $P_{\rm I}$.
			*Der Einfluss des (stets vorhandenen) AWGN–Rauschens  $n(t)$  wird in dieser Aufgabe nicht betrachtet.


	''~~Hinweise~~:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/PN–Modulation\|PN–Modulation]].

			''Hinweis:''
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/PN–Modulation\|PN–Modulation]].


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_c(f )$ des Spreizsignals $c(t)$? <br>Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?		{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_c(f )$  des Spreizsignals  $c(t)$? <br>Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz  $f = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0.1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$		${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0.1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$

	{Berechnen Sie die äquivalente Bandbreite $B_c$ des Spreizsignals als Breite des flächengleichen LDS–Rechtecks.		{Berechnen Sie die äquivalente Bandbreite  $B_c$  des Spreizsignals als Breite des flächengleichen LDS–Rechtecks.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$B_c \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm MHz$		$B_c \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm MHz$

	{Welche Aussagen sind für die Bandbreiten der Signale $s(t)$   ⇒   $B_s$ und $b(t)$   ⇒   $B_b$ zutreffend? <br>Die (zweiseitige) Bandbreite von $q(t)$ ist $B$.		{Welche Aussagen sind für die Bandbreiten der Signale  $s(t)$   ⇒   $B_s$ und  $b(t)$   ⇒   $B_b$ zutreffend? <br>Die (zweiseitige) Bandbreite von  $q(t)$  ist  $B$.
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $B_s$ ist exakt gleich $B_c$.		- $B_s$  ist exakt gleich  $B_c$.
	+ $B_s$ ist näherungsweise gleich $B_c + B$.		+ $B_s$  ist näherungsweise gleich  $B_c + B$.
	- $B_b$ ist exakt gleich $B_s$.		- $B_b$  ist exakt gleich  $B_s$.
	- $B_b$ ist gleich $B_s + B_c = 2B_c + B$.		- $B_b$  ist gleich  $B_s + B_c = 2B_c + B$.
	+ $B_b$ ist exakt gleich B.		+ $B_b$  ist exakt gleich  $B$.

	{Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz? Es gelte also $f_{\rm I} = f_{\rm T}$.		{Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz? <br>Es gelte also  $B_c$$f_{\rm I} = f_{\rm T}$.
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Der störende Einfluss wird durch Bandspreizung abgeschwächt.		+ Der störende Einfluss wird durch Bandspreizung abgeschwächt.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:58Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/PN–Modulation\|PN–Modulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/PN–Modulation\|PN–Modulation]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:5.2 Bandspreizung und Schmalbandstörer nach Aufgaben:Aufgabe 5.2: Bandspreizung und Schmalbandstörer

2018-01-03T14:33:56Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:5.2 Bandspreizung und Schmalbandstörer nach Aufgaben:Aufgabe 5.2: Bandspreizung und Schmalbandstörer

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 16:33 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter am 1. August 2017 um 08:56 Uhr

2017-08-01T08:56:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. August 2017, 10:56 Uhr
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	{{quiz-Header\|Buchseite=~~Modualtionsverfahren~~/PN–Modulation		{{quiz-Header\|Buchseite=Modulationsverfahren/PN–Modulation
	}}		}}

← Nächstältere Version		Version vom 8. Dezember 2021, 15:53 Uhr
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	[[Datei:P_ID1868__Mod_A_5_2.png\|right\|frame\|Betrachtetes Modell <br>der Bandspreizung]]		[[Datei:P_ID1868__Mod_A_5_2.png\|right\|frame\|Betrachtetes Modell <br>der Bandspreizung]]
	Betrachtet wird ein ''Spread Spectrum System''  gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:		Betrachtet wird ein  "Spread Spectrum System"  gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:
	*Das Digitalsignal  $q(t)$  besitze das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_q(f)$, das als rechteckförmig mit der Bandbreite  $B = 1/T = 100\ \rm kHz$  angenähert werden soll  (eine eher unrealistische Annahme):		*Das Digitalsignal  $q(t)$  besitze das Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$   ${\it \Phi}_q(f)$,  das als rechteckförmig mit der Bandbreite  $B = 1/T = 100\ \rm kHz$  angenähert werden soll  (eine eher unrealistische Annahme):
	:$${\it \Phi}_{q}(f) =		:$${\it \Phi}_{q}(f) =
	\left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{q0} \\		\left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{0} \\
	0 \\ \end{array} \right.		0 \\ \end{array} \right.
	\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}}		\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
Zeile 14:		Zeile 14:
	\\		\\
	\end{array}$$		\end{array}$$
	*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite  (nur die Anteile bei positiven Frequenzen)  gleich  $B/2$  und die Bandbreite im Bandpassbereich ist  $B$.		*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite   (nur die Anteile bei positiven Frequenzen)  gleich  $B/2$  und die Bandbreite im Bandpassbereich ist  $B$.
	*Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz  $c(t)$  der Chipdauer  $T_c = T/100$  <br>(&bdquo;PN” steht dabei für &bdquo;Pseudo Noise”).		*Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz  $c(t)$  der Chipdauer  $T_c = T/100$  <br>(&bdquo;PN” steht dabei für &bdquo;Pseudo-Noise”).
	*Für die Autokorrelationsfunktion gelte vereinfachend:		*Für die Autokorrelationsfunktion gelte vereinfachend:
	:$$ {\it \varphi}_{c}(\tau) = \left\{ \begin{array}{c}1 - \|\tau\|/T_c \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} -T_c \le \tau \le T_c \hspace{0.05cm}, \\ \\ \end{array}$$		:$$ {\it \varphi}_{c}(\tau) = \left\{ \begin{array}{c}1 - \|\tau\|/T_c \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{{20}c} -T_c \le \tau \le T_c \hspace{0.05cm}, \\ \\ \end{array}$$
Zeile 38:		Zeile 38:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_c(f )$  des Spreizsignals  $c(t)$?  Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz  $f = 0$?		{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_c(f )$  des Spreizsignals  $c(t)$?   Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz  $f = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0.1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$		${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0.1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$

	{Berechnen Sie die äquivalente Bandbreite  $B_c$  des Spreizsignals als Breite des flächengleichen ~~LDS–Rechtecks~~.		{Berechnen Sie die äquivalente Bandbreite  $B_c$  des Spreizsignals als Breite des flächengleichen  $\rm LDS$–Rechtecks.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$B_c \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm MHz$		$B_c \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm MHz$
Zeile 63:		Zeile 63:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das Leistungsdichtesprektrum  ${\it \Phi}_c(f)$  ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF, die mit Rechtecken der Breite  $T_c$  wie folgt dargestellt werden kann:		'''(1)'''  Das Leistungsdichtesprektrum  ${\it \Phi}_c(f)$  ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF,  die mit Rechtecken der Breite  $T_c$  wie folgt dargestellt werden kann:
	:$${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \star {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \hspace{0.05cm}.$$		:$${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \star {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \hspace{0.05cm}.$$
	*Daraus folgt  ${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$  mit dem Maximalwert		*Daraus folgt  ${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$  mit dem Maximalwert
Zeile 70:		Zeile 70:


			'''(2)'''  Gemäß Definition gilt mit  $T_c = T/100 = 0.1\ \rm µ s$:
	[[Datei:P_ID1869__Mod_A_5_2b.png\|right\|frame\|Leistungsdichtespektrum des PN–Spreizsignals]]		[[Datei:P_ID1869__Mod_A_5_2b.png\|right\|frame\|Leistungsdichtespektrum des PN–Spreizsignals]]
	~~'''(2)'''  Gemäß Definition gilt mit  $T_c = T/100 = 0.1\ \rm µ s$:~~
	:$$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f $$		:$$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_c= = \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_c= \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
	Die Grafik verdeutlicht,		Die Grafik verdeutlicht,
	*dass  $B_c$  durch die erste Nullstelle der  $\rm si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird,		*dass  $B_c$  durch die erste Nullstelle der  $\rm si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird,
Zeile 80:		Zeile 81:


			'''(3)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:
	'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:
	*Das LDS  ${\it \Phi}_s(f)$  ergibt sich aus der Faltung von  ${\it \Phi}_q(f)$  und  ${\it \Phi}_c(f)$.  Damit erhält man für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich  $B_s = B_c + B$.		*Das LDS  ${\it \Phi}_s(f)$  ergibt sich aus der Faltung von  ${\it \Phi}_q(f)$  und  ${\it \Phi}_c(f)$.  Damit erhält man für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich  $B_s = B_c + B$.
	*Da das Spreizsignal  $c(t) ∈ \{+1, –1\}$  mit sich selbst multipliziert immer den Wert  $1$  ergibt, ist natürlich  $b(t) ≡ q(t)$  und demzufolge  $B_b = B$.		*Da das Spreizsignal  $c(t) ∈ \{+1, –1\}$  mit sich selbst multipliziert immer den Wert  $1$  ergibt,  ist natürlich  $b(t) ≡ q(t)$  und demzufolge  $B_b = B$.
	*Offensichtlich ist, dass die Bandbreite  $B_b$  des bandgestauchten Signals ungleich  $2B_c + B$  ist, obwohl die Faltung  ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$  dies suggeriert.		*Offensichtlich ist,  dass die Bandbreite  $B_b$  des bandgestauchten Signals ungleich  $2B_c + B$  ist,  obwohl die Faltung  ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$  dies suggeriert.
	*Dies hängt damit zusammen, dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen, sondern von den Spektralfunktionen  (Amplitudenspektren)  $S(f)$  und  $C(f)$  unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist.		*Dies hängt damit zusammen,  dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen,  sondern von den Spektralfunktionen  (Amplitudenspektren)  $S(f)$  und  $C(f)$  unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist.
	*Erst danach kann aus  $B(f)$  das LDS  ${\it \Phi}_b(f)$  bestimmt werden.  Es gilt offensichtlich auch:  $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$.		*Erst danach kann aus  $B(f)$  das LDS  ${\it \Phi}_b(f)$  bestimmt werden.  Es gilt offensichtlich auch:  $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$.



	'''(4)'''  Richtig ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u>. Die Lösung soll anhand der Skizze am Seitenende verdeutlicht werden:		'''(4)'''  Richtig ist nur der  <u>erste Lösungsvorschlag</u>.  Die Lösung soll anhand der Skizze am Seitenende verdeutlicht werden:
	*Im oberen Diagramm ist das LDS  ${\it \Phi}_i(f)$  des Schmalbandstörers durch zwei Diracfunktionen bei  $±f_{\rm T}$  mit Gewichten  $P_{\rm I}/2$  angenähert.  Eingezeichnet ist auch die Bandbreite  $B = 0.1 \ \rm MHz$  (nicht ganz maßstäblich).		*Im oberen Diagramm ist das LDS  ${\it \Phi}_i(f)$  des Schmalbandstörers durch zwei Diracfunktionen bei  $±f_{\rm T}$  mit Gewichten  $P_{\rm I}/2$  angenähert.  Eingezeichnet ist auch die Bandbreite  $B = 0.1 \ \rm MHz$  (nicht ganz maßstäblich).

	*Die empfängerseitige Multiplikation mit  $c(t)$  – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung, zumindest bezüglich des Nutzanteils von  $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals  $i(t)$  eine Bandspreizung.  Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist  $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$.  Daraus folgt:		*Die empfängerseitige Multiplikation mit  $c(t)$  – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung,  zumindest bezüglich des Nutzanteils von  $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals  $i(t)$  eine Bandspreizung.  Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist  $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$.   Daraus folgt:
	:$${\it \Phi}_{n}(f) = {\it \Phi}_{i}(f) \star {\it \Phi}_{c}(f) = \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f - f_{\rm T}) \cdot T_c \right )+ \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f + f_{\rm T}) \cdot T_c \right ) \hspace{0.05cm}.$$		:$${\it \Phi}_{n}(f) = {\it \Phi}_{i}(f) \star {\it \Phi}_{c}(f) = \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f - f_{\rm T}) \cdot T_c \right )+ \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f + f_{\rm T}) \cdot T_c \right ) \hspace{0.05cm}.$$
	[[Datei:P_ID1870__Mod_A_5_2c.png\|right\|frame\|Leistungsdichtespektren vor und nach der Bandspreizung]]		[[Datei:P_ID1870__Mod_A_5_2c.png\|right\|frame\|Leistungsdichtespektren vor und nach der Bandspreizung]]

	*Anzumerken ist, dass  $n(t)$  hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht AWGN–Rauschen bezeichnet.		*Anzumerken ist,  dass  $n(t)$  hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht AWGN–Rauschen bezeichnet.
	*In einem engen Bereich um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz$  ist das LDS  ${\it \Phi}_n(f)$  nahezu konstant.  Damit gilt für die Störleistung nach der Bandspreizung:		*In einem engen Bereich um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz$  ist das LDS  ${\it \Phi}_n(f)$  nahezu konstant.  Damit gilt für die Störleistung nach der Bandspreizung:
	:$$ P_{n} = P_{\rm I} \cdot T_c \cdot B = P_{\rm I}\cdot \frac{B}{B_c} = \frac{P_{\rm I}}{J}\hspace{0.05cm}. $$		:$$ P_{n} = P_{\rm I} \cdot T_c \cdot B = P_{\rm I}\cdot \frac{B}{B_c} = \frac{P_{\rm I}}{J}\hspace{0.05cm}. $$