Aufgaben:Aufgabe 5.1Z: Abtastung harmonischer Schwingungen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:38:07Z

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	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_5.1Z:_Sampling_of_Harmonic_Oscillations]]

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2026-02-24T13:40:07Z

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Zeile 13:		Zeile 13:

	Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass  $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  das Ausgangssignal  $y(t)$  formt.  Es gelte:		Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass  $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  das Ausgangssignal  $y(t)$  formt.  Es gelte:
	:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \\		:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \\0 \\ \end{array} \right.\quad\begin{array}{{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}}\\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\\end{array}\begin{array}{{5}c}\|f\| < f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\\|f\| = f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\\|f\| > f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\\end{array}$$
	0 \\ \end{array} \right.\quad
	\begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}}
	\\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\
	\end{array}\begin{array}{*{5}c}
	\|f\| < f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\
	\|f\| = f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\
	\|f\| > f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\
	\end{array}$$
	Hierbei gibt  $f_{\rm G}$  die Grenzfrequenz des rechteckförmigen Tiefpassfilters an.  Für diese soll gelten:		Hierbei gibt  $f_{\rm G}$  die Grenzfrequenz des rechteckförmigen Tiefpassfilters an.  Für diese soll gelten:
	:$$f_{\rm G} = \frac{1}{ 2 \cdot T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$f_{\rm G} = \frac{1}{ 2 \cdot T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 91:		Zeile 83:

	Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase  $\varphi$  im Eingangssignal berücksichtigt wird:		Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase  $\varphi$  im Eingangssignal berücksichtigt wird:
	:$$x(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi)		:$$x(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi)\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Dann gilt für die Spektralfunktion, die in der oberen Grafik skizziert ist:		*Dann gilt für die Spektralfunktion, die in der oberen Grafik skizziert ist:
	:$$X(f) = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}		:$$X(f) = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta(f+ f_{\rm 0} ) + {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
	\cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta
	(f+ f_{\rm 0} ) + {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}
	\cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta
	(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
	*Mit den Abkürzungen		*Mit den Abkürzungen
	:$$R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}		:$$R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\cos(\varphi) \hspace{0.5cm}{\rm und} \hspace{0.5cm}I ={A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \sin(\varphi)$$
	\cos(\varphi) \hspace{0.5cm}{\rm und} \hspace{0.5cm}I ={A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm} \sin(\varphi)$$
	:kann hierfür auch geschrieben werden:		:kann hierfür auch geschrieben werden:
	:$$X(f) = (R + {\rm j} \cdot I) \cdot \delta		:$$X(f) = (R + {\rm j} \cdot I) \cdot \delta(f+ f_{\rm 0} ) + (R - {\rm j} \cdot I) \cdot \delta(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
	(f+ f_{\rm 0} ) + (R - {\rm j} \cdot I) \cdot \delta
	(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
	*Das Spektrum des mit  $f_{\rm A} = 2f_0$  abgetasteten Signals  $x_{\rm A}(t)$  lautet somit:		*Das Spektrum des mit  $f_{\rm A} = 2f_0$  abgetasteten Signals  $x_{\rm A}(t)$  lautet somit:
	:$$X_{\rm A}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A}		:$$X_{\rm A}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A})= \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- 2\mu \cdot f_{\rm 0})\hspace{0.05cm}.$$
	)= \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- 2\mu \cdot f_{\rm 0}
	)\hspace{0.05cm}.$$
	:*Die untere Grafik zeigt, dass  $X_{\rm A}(f)$  aus Diracfunktionen bei  $\pm f_0$,  $\pm 3f_0$,  $\pm 5f_0$,  usw. besteht.		:*Die untere Grafik zeigt, dass  $X_{\rm A}(f)$  aus Diracfunktionen bei  $\pm f_0$,  $\pm 3f_0$,  $\pm 5f_0$,  usw. besteht.
	:*Alle Gewichte sind rein reell und gleich  $2 \cdot R$.		:*Alle Gewichte sind rein reell und gleich  $2 \cdot R$.
Zeile 118:		Zeile 99:
	[[Datei:P_ID1131__Sig_Z_5_1_d.png\|right\|frame\|Rekonstruktion des abgetasteten Sinussignals]]		[[Datei:P_ID1131__Sig_Z_5_1_d.png\|right\|frame\|Rekonstruktion des abgetasteten Sinussignals]]

	:$$Y(f) = R \cdot \delta		:$$Y(f) = R \cdot \delta(f+ f_{\rm 0} ) + R \cdot \delta(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\cos(\varphi)\hspace{0.05cm}.$$
	(f+ f_{\rm 0} ) + R \cdot \delta
	(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}
	\cos(\varphi)\hspace{0.05cm}.$$

	*Die Fourierrücktransformation führt auf		*Die Fourierrücktransformation führt auf
	:$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )		:$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase  $\varphi$  ein cosinusförmiger Verlauf.		*Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase  $\varphi$  ein cosinusförmiger Verlauf.
Zeile 141:		Zeile 118:

	'''(5)'''  Trotz  $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$   ⇒   auch das rekonstruierte Signal  $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich		'''(5)'''  Trotz  $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$   ⇒   auch das rekonstruierte Signal  $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich
	:$$A_3 = A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}		:$$A_3 = A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass.		*Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass.
	*Sie kennen ja den türkisfarbenen Verlauf nicht.		*Sie kennen ja den türkisfarbenen Verlauf nicht.

Guenter am 13. Mai 2021 um 14:15 Uhr

2021-05-13T14:15:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2021, 16:15 Uhr
Zeile 116:		Zeile 116:

	*Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei  $f_{\rm G} = f_0$  liegt, sowie  $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:		*Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei  $f_{\rm G} = f_0$  liegt, sowie  $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:
			[[Datei:P_ID1131__Sig_Z_5_1_d.png\|right\|frame\|Rekonstruktion des abgetasteten Sinussignals]]

	:$$Y(f) = R \cdot \delta		:$$Y(f) = R \cdot \delta
	(f+ f_{\rm 0} ) + R \cdot \delta		(f+ f_{\rm 0} ) + R \cdot \delta
Zeile 122:		Zeile 124:

	*Die Fourierrücktransformation führt auf		*Die Fourierrücktransformation führt auf
	~~[[Datei:P_ID1131__Sig_Z_5_1_d.png\|right\|frame\|Rekonstruktion des abgetasteten Sinussignals]]~~
	:$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )		:$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 133:		Zeile 134:
	'''(4)'''  Das Sinussignal hat die Phase  $90^\circ$.		'''(4)'''  Das Sinussignal hat die Phase  $90^\circ$.
	*Daraus folgt direkt  $y_2(t) = 0$   ⇒   Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.		*Daraus folgt direkt  $y_2(t) = 0$   ⇒   Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.
			[[Datei:P_ID1133__Sig_Z_5_1_e.png\|right\|frame\|Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit  $60^\circ$ Phase]]

	*Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet.		*Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet.
Zeile 138:		Zeile 140:


	~~[[Datei:P_ID1133__Sig_Z_5_1_e.png\|right\|frame\|Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit  $60^\circ$ Phase]]~~
	'''(5)'''  Trotz  $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$   ⇒   auch das rekonstruierte Signal  $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich		'''(5)'''  Trotz  $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$   ⇒   auch das rekonstruierte Signal  $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich
	:$$A_3 = A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}		:$$A_3 = A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}

Guenter am 13. Mai 2021 um 14:08 Uhr

2021-05-13T14:08:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2021, 16:08 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten  $\nu \cdot T_{\rm A}$  abgetastet werden, wobei die Parameterwerte  $T_{\rm A} = 80 \ µ \text{s}$  und  $T_{\rm A} = 100 \ µ \text{s}$  analysiert werden sollen.		Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten  $\nu \cdot T_{\rm A}$  abgetastet werden, wobei die Parameterwerte  $T_{\rm A} = 80 \ µ \text{s}$  und  $T_{\rm A} = 100 \ µ \text{s}$  analysiert werden sollen.

	Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass  $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  das ~~Signal~~  $y(t)$  formt. Es gelte:		Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass  $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  das Ausgangssignal  $y(t)$  formt.  Es gelte:
	:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \\		:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \\
	0 \\ \end{array} \right.\quad		0 \\ \end{array} \right.\quad
Zeile 22:		Zeile 22:
	\|f\| > f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\		\|f\| > f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\
	\end{array}$$		\end{array}$$
	Hierbei gibt  $f_{\rm G}$  die Grenzfrequenz des rechteckförmigen Tiefpassfilters an. Für diese soll gelten:		Hierbei gibt  $f_{\rm G}$  die Grenzfrequenz des rechteckförmigen Tiefpassfilters an.  Für diese soll gelten:
	:$$f_{\rm G} = \frac{1}{ 2 \cdot T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$f_{\rm G} = \frac{1}{ 2 \cdot T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
	Das Abtasttheorem ist erfüllt, wenn  $y(t) = x(t)$  gilt.		Das Abtasttheorem ist erfüllt, wenn  $y(t) = x(t)$  gilt.
Zeile 34:		Zeile 34:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].

	*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:~~Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)~~\|Abtastung ~~periodischer~~ Signale & Signalrekonstruktion]]		*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion\|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]


Zeile 40:		Zeile 40:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß sind Amplitude und Frequenz der Signale  $x_1(t)$,  $x_2(t)$  und  $x_3(t)$?		{Wie groß sind entsprechend der Grafik die Amplitude und die Frequenz der Signale  $x_1(t)$,  $x_2(t)$  und  $x_3(t)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A \hspace{0.25cm} = \ $ { 2 3% }  $\text{V}$		$A \hspace{0.25cm} = \ $ { 2 3% }  $\text{V}$
Zeile 53:		Zeile 53:


	{Wie lautet das rekonstruierte Signal  $y_1(t) = A_1 \cdot \cos (2\pi f_0 t – \varphi_1)$  mit dem Abtastabstand  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.		{Wie lautet das rekonstruierte Signal  $y_1(t) = A_1 \cdot \cos (2\pi f_0 t – \varphi_1)$  mit dem Abtastabstand  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$?  Interpretieren Sie das Ergebnis.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A_1\hspace{0.2cm} = \ ${ 2 3% }  $\text{V}$		$A_1\hspace{0.2cm} = \ ${ 2 3% }  $\text{V}$
Zeile 59:		Zeile 59:


	{Welche Amplitude  $A_2$  besitzt das rekonstruierte Signal  $y_2(t)$, wenn das Sinussignal  $x_2(t)$  anliegt? Es gelte weiterhin  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.		{Welche Amplitude  $A_2$  besitzt das rekonstruierte Signal  $y_2(t)$, wenn das Sinussignal  $x_2(t)$  anliegt?  Es gelte weiterhin  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A_2\hspace{0.2cm} = \ $ { 0. }  $\text{V}$		$A_2\hspace{0.2cm} = \ $ { 0. }  $\text{V}$


	{Welche Amplitude  $A_3$  besitzt das rekonstruierte Signal  $y_3(t)$, wenn das Signal  $x_3(t)$  anliegt? Es gelte weiterhin  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.		{Welche Amplitude  $A_3$  besitzt das rekonstruierte Signal  $y_3(t)$, wenn das Signal  $x_3(t)$  anliegt?  Es gelte weiterhin  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A_3\hspace{0.2cm} = \ $ { 1 3% }  $\text{V}$		$A_3\hspace{0.2cm} = \ $ { 1 3% }  $\text{V}$

Guenter am 10. Oktober 2019 um 11:45 Uhr

2019-10-10T11:45:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Oktober 2019, 13:45 Uhr
Zeile 86:		Zeile 86:
	[[Datei:P_ID1130__Sig_Z_5_1_c.png\|right\|frame\|Spektrum  $X_{\rm A}(f)$  des abgetasteten Signals – Realteil und Imaginärteil]]		[[Datei:P_ID1130__Sig_Z_5_1_c.png\|right\|frame\|Spektrum  $X_{\rm A}(f)$  des abgetasteten Signals – Realteil und Imaginärteil]]
	'''(3)'''  Die Abtastrate beträgt nun  $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.		'''(3)'''  Die Abtastrate beträgt nun  $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.
	*Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist ~~nun~~ das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:		*Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist jetzt das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:
	:$$y_1(t) = x_1(t)   ⇒   A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}} \text{ und }\varphi_1 \; \underline{= 0}.$$		:$$y_1(t) = x_1(t)   ⇒   A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}} \text{ und }\varphi_1 \; \underline{= 0}.$$


	Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase  $\varphi$  im Eingangssignal berücksichtigt wird:		Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase  $\varphi$  im Eingangssignal berücksichtigt wird:
Zeile 98:		Zeile 99:
	\cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta		\cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta
	(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$		(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
	Mit den Abkürzungen		*Mit den Abkürzungen
	:$$R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}		:$$R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}
	\cos(\varphi) \hspace{0.5cm}{\rm und} \hspace{0.5cm}I ={A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot		\cos(\varphi) \hspace{0.5cm}{\rm und} \hspace{0.5cm}I ={A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm} \sin(\varphi)$$		\hspace{0.05cm} \sin(\varphi)$$
	kann hierfür auch geschrieben werden:		:kann hierfür auch geschrieben werden:
	:$$X(f) = (R + {\rm j} \cdot I) \cdot \delta		:$$X(f) = (R + {\rm j} \cdot I) \cdot \delta
	(f+ f_{\rm 0} ) + (R - {\rm j} \cdot I) \cdot \delta		(f+ f_{\rm 0} ) + (R - {\rm j} \cdot I) \cdot \delta
	(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$		(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
	Das Spektrum des mit $f_{\rm A} = 2f_0$ abgetasteten Signals $x_{\rm A}(t)$ lautet somit:		*Das Spektrum des mit  $f_{\rm A} = 2f_0$  abgetasteten Signals  $x_{\rm A}(t)$  lautet somit:
	:$$X_{\rm A}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A}		:$$X_{\rm A}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
	)= \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- 2\mu \cdot f_{\rm 0}		)= \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- 2\mu \cdot f_{\rm 0}
	)\hspace{0.05cm}.$$		)\hspace{0.05cm}.$$
	*Die untere Grafik zeigt, dass $X_{\rm A}(f)$ aus Diracfunktionen bei $\pm f_0$, $\pm 3f_0$, $\pm 5f_0$, usw. besteht.		:*Die untere Grafik zeigt, dass  $X_{\rm A}(f)$  aus Diracfunktionen bei  $\pm f_0$,  $\pm 3f_0$,  $\pm 5f_0$,  usw. besteht.
	*Alle Gewichte sind rein reell und gleich $2 \cdot R$.		:*Alle Gewichte sind rein reell und gleich  $2 \cdot R$.
	*Die Imaginärteile des periodisch fortgesetzten Spektrums heben sich auf.		:*Die Imaginärteile des periodisch fortgesetzten Spektrums heben sich auf.


	Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei $f_{\rm G} = f_0$ liegt, sowie $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:		*Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei  $f_{\rm G} = f_0$  liegt, sowie  $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:
	:$$Y(f) = R \cdot \delta		:$$Y(f) = R \cdot \delta
	(f+ f_{\rm 0} ) + R \cdot \delta		(f+ f_{\rm 0} ) + R \cdot \delta
	(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}		(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}
	\cos(\varphi)\hspace{0.05cm}.$$		\cos(\varphi)\hspace{0.05cm}.$$
	Die Fourierrücktransformation führt auf
			*Die Fourierrücktransformation führt auf
			[[Datei:P_ID1131__Sig_Z_5_1_d.png\|right\|frame\|Rekonstruktion des abgetasteten Sinussignals]]
	:$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )		:$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase $\varphi$ ein cosinusförmiger Verlauf.
	*Ist $\varphi = 0$ wie beim Signal $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich $A$.

			*Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase  $\varphi$  ein cosinusförmiger Verlauf.
			*Ist  $\varphi = 0$  wie beim Signal  $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich  $A$.

	~~[[Datei:P_ID1131__Sig_Z_5_1_d.png\|right\|frame\|Rekonstruktion eines abgetasteten Sinussignals]]~~
	'''(4)'''  Das Sinussignal hat die Phase $90^\circ$. Daraus folgt direkt $y_2(t) = 0$   ⇒   Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.
			'''(4)'''  Das Sinussignal hat die Phase  $90^\circ$.
			*Daraus folgt direkt  $y_2(t) = 0$   ⇒   Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.

	*Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet.		*Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet.
	*Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind ~~$0$~~, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.		*Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind Null, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.
	~~<br clear=all>~~
	[[Datei:P_ID1133__Sig_Z_5_1_e.png\|right\|frame\|Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit $60^\circ$ Phase]]
	'''(5)'''  Trotz $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$   ⇒   auch das rekonstruierte Signal $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich		[[Datei:P_ID1133__Sig_Z_5_1_e.png\|right\|frame\|Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit  $60^\circ$ Phase]]
			'''(5)'''  Trotz  $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$   ⇒   auch das rekonstruierte Signal  $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich
	:$$A_3 = A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}		:$$A_3 = A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 10. Oktober 2019 um 10:56 Uhr

2019-10-10T10:56:29Z

Guenter am 10. Oktober 2019 um 10:50 Uhr

2019-10-10T10:50:19Z

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	}}		}}

	[[Datei:P_ID1129__Sig_Z_5_1.png\|right\|frame\|Drei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz $f_0$ und gleicher Amplitude $A$]]		[[Datei:P_ID1129__Sig_Z_5_1.png\|right\|frame\|Drei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz  $f_0$  und gleicher Amplitude  $A$]]
	Wir betrachten drei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude:		Wir betrachten drei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude:
	:$$x_1(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$		:$$x_1(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$
	:$$ x_2(t) = A \cdot \sin (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$		:$$ x_2(t) = A \cdot \sin (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$
	:$$ x_3(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - 60^{\circ}) \hspace{0.05cm}.$$		:$$ x_3(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - 60^{\circ}) \hspace{0.05cm}.$$
	Die Schwingungsparameter $f_0$ und $A$ können Sie der Grafik entnehnen.		Die Schwingungsparameter  $f_0$  und  $A$  können Sie der Grafik entnehnen.

	Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten $\nu \cdot T_{\rm A}$ abgetastet werden, wobei die Parameterwerte $T_{\rm A} = 80 \ µ \text{s}$ und $T_{\rm A} = 100 \ µ \text{s}$ analysiert werden sollen.		Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten  $\nu \cdot T_{\rm A}$  abgetastet werden, wobei die Parameterwerte  $T_{\rm A} = 80 \ µ \text{s}$  und  $T_{\rm A} = 100 \ µ \text{s}$  analysiert werden sollen.

	Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ das Signal $y(t)$ formt. Es gelte:		Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass  $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  das Signal  $y(t)$  formt. Es gelte:
	:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \\		:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \\
	0 \\ \end{array} \right.\quad		0 \\ \end{array} \right.\quad
Zeile 22:		Zeile 22:
	\|f\| > f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\		\|f\| > f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\
	\end{array}$$		\end{array}$$
	Hierbei gibt $f_{\rm G}$ die Grenzfrequenz des rechteckförmigen Tiefpassfilters an. Für diese soll gelten:		Hierbei gibt  $f_{\rm G}$  die Grenzfrequenz des rechteckförmigen Tiefpassfilters an. Für diese soll gelten:
	:$$f_{\rm G} = \frac{1}{ 2 \cdot T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$f_{\rm G} = \frac{1}{ 2 \cdot T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
	Das Abtasttheorem ist erfüllt, wenn $y(t) = x(t)$ gilt.		Das Abtasttheorem ist erfüllt, wenn  $y(t) = x(t)$  gilt.


Zeile 32:		Zeile 32:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].

	*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)\|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]		*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)\|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]
Zeile 40:		Zeile 40:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß sind Amplitude und Frequenz der Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$?		{Wie groß sind Amplitude und Frequenz der Signale  $x_1(t)$,  $x_2(t)$  und  $x_3(t)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A \hspace{0.25cm} = \ $ { 2 3% }  $\text{V}$		$A \hspace{0.25cm} = \ $ { 2 3% }  $\text{V}$
Zeile 46:		Zeile 46:


	{Bei welchen Eingangssignalen ist das Abtasttheorem erfüllt   ⇒   $y(t) = x(t)$, wenn $\underline{T_{\rm A} = 80 \ {\rm µ} \text{s}}$ beträgt?		{Bei welchen Eingangssignalen ist das Abtasttheorem erfüllt   ⇒   $y(t) = x(t)$, wenn  $\underline{T_{\rm A} = 80 \ {\rm µ} \text{s}}$  beträgt?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $x_1(t)$,		+ $x_1(t)$,
Zeile 53:		Zeile 53:


	{Wie lautet das rekonstruierte Signal $y_1(t) = A_1 \cdot \cos (2\pi f_0 t – \varphi_1)$ mit dem Abtastabstand $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.		{Wie lautet das rekonstruierte Signal  $y_1(t) = A_1 \cdot \cos (2\pi f_0 t – \varphi_1)$  mit dem Abtastabstand  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A_1\hspace{0.2cm} = \ ${ 2 3% }  $\text{V}$		$A_1\hspace{0.2cm} = \ ${ 2 3% }  $\text{V}$
Zeile 59:		Zeile 59:


	{Welche Amplitude $A_2$ besitzt das rekonstruierte Signal $y_2(t)$, wenn das Sinussignal $x_2(t)$ anliegt? Es gelte weiterhin $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.		{Welche Amplitude  $A_2$  besitzt das rekonstruierte Signal  $y_2(t)$, wenn das Sinussignal  $x_2(t)$  anliegt? Es gelte weiterhin  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A_2\hspace{0.2cm} = \ $ { 0. }  $\text{V}$		$A_2\hspace{0.2cm} = \ $ { 0. }  $\text{V}$


	{Welche Amplitude $A_3$ besitzt das rekonstruierte Signal $y_3(t)$, wenn das ~~Sinussignal~~ $x_3(t)$ anliegt? Es gelte weiterhin $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.		{Welche Amplitude  $A_3$  besitzt das rekonstruierte Signal  $y_3(t)$, wenn das Signal  $x_3(t)$  anliegt? Es gelte weiterhin  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A_3\hspace{0.2cm} = \ $ { 1 3% }  $\text{V}$		$A_3\hspace{0.2cm} = \ $ { 1 3% }  $\text{V}$

Guenter am 27. Juli 2018 um 11:51 Uhr

2018-07-27T11:51:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juli 2018, 13:51 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID1129__Sig_Z_5_1.png\|right\|frame\|~~Harmonische~~ Schwingungen ~~<br>(~~Frequenz $f_0$)]]		[[Datei:P_ID1129__Sig_Z_5_1.png\|right\|frame\|Drei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz $f_0$ und gleicher Amplitude $A$]]
	Wir betrachten drei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude:		Wir betrachten drei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude:
	:$$x_1(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$		:$$x_1(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$
Zeile 10:		Zeile 10:
	Die Schwingungsparameter $f_0$ und $A$ können Sie der Grafik entnehnen.		Die Schwingungsparameter $f_0$ und $A$ können Sie der Grafik entnehnen.

	Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten $\nu \cdot T_{\rm A}$ abgetastet werden, wobei die Parameterwerte $T_{\rm A} = 80 \ ~~\mu~~ \text{s}$ und $T_{\rm A} = 100 \ ~~\mu~~ \text{s}$ analysiert werden sollen.		Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten $\nu \cdot T_{\rm A}$ abgetastet werden, wobei die Parameterwerte $T_{\rm A} = 80 \ µ \text{s}$ und $T_{\rm A} = 100 \ µ \text{s}$ analysiert werden sollen.

	Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ das Signal $y(t)$ formt. Es gelte:		Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ das Signal $y(t)$ formt. Es gelte:
Zeile 77:		Zeile 77:


	'''(2)'''  Richtig sind<u>alle Löungsvorschläge</u>:		'''(2)'''  Richtig sind <u>alle Löungsvorschläge</u>:
	*Die Abtastrate ist hier $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$.		*Die Abtastrate ist hier $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$.
	*Dieser Wert ist größer als $2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.		*Dieser Wert ist größer als $2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.
Zeile 83:		Zeile 83:


	'''(3)'''  Die Abtastrate beträgt nun $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$. Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist nun das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:		[[Datei:P_ID1130__Sig_Z_5_1_c.png\|right\|frame\|Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals – Realteil und Imaginärteil]]
	~~ ~~ $y_1(t) = x_1(t)$   ⇒   $A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}}$ und $\varphi_1 \; \underline{= 0}.$		'''(3)'''  Die Abtastrate beträgt nun $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.
			*Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist nun das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:
	~~[[Datei:P_ID1130__Sig_Z_5_1_c.png\|center\|frame\|Spektrum~~ $~~X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals – Realteil und Imaginärteil]]~~		:$$y_1(t) = x_1(t)$   ⇒   $A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}} \text{ und }\varphi_1 \; \underline{= 0}.$$

	Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase $\varphi$ im Eingangssignal berücksichtigt wird:		Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase $\varphi$ im Eingangssignal berücksichtigt wird:
Zeile 122:		Zeile 122:
	:$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )		:$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase $\varphi$ ein cosinusförmiger Verlauf. Ist $\varphi = 0$ wie beim Signal $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich $A$.		*Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase $\varphi$ ein cosinusförmiger Verlauf.
			*Ist $\varphi = 0$ wie beim Signal $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich $A$.


Zeile 128:		Zeile 129:
	'''(4)'''  Das Sinussignal hat die Phase $90^\circ$. Daraus folgt direkt $y_2(t) = 0$   ⇒   Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.		'''(4)'''  Das Sinussignal hat die Phase $90^\circ$. Daraus folgt direkt $y_2(t) = 0$   ⇒   Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.

	Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet. Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind $0$, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.		*Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet.
			*Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind $0$, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	[[Datei:P_ID1133__Sig_Z_5_1_e.png\|right\|frame\|Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit $60^\circ$ Phase]]		[[Datei:P_ID1133__Sig_Z_5_1_e.png\|right\|frame\|Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit $60^\circ$ Phase]]
	'''(5)'''  Trotz $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$   ⇒   das rekonstruierte Signal $y_3(t)$ ist ~~ebenfalls~~ cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich		'''(5)'''  Trotz $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$   ⇒   auch das rekonstruierte Signal $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich
	:$$A_3 = A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}		:$$A_3 = A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass~~, da~~ Sie ja den türkisfarbenen Verlauf nicht ~~kennen~~.		*Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass.
			*Sie kennen ja den türkisfarbenen Verlauf nicht.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:55Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)\|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]		*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)\|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]

Guenter am 30. Januar 2018 um 15:06 Uhr

2018-01-30T15:06:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2018, 17:06 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''1.''' Aus der Grafik erkennt man die Amplitude $\underline{A = 2\ \text{V}}$ sowie die Periodendauer $T_0 = 0.2 \ \text{ms}$. Daraus ergibt sich die Signalfrequenz $f_0 = 1/T_0 \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.		'''(1)'''  Aus der Grafik erkennt man die Amplitude $\underline{A = 2\ \text{V}}$ sowie die Periodendauer $T_0 = 0.2 \ \text{ms}$. Daraus ergibt sich die Signalfrequenz $f_0 = 1/T_0 \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.

	'''2.''' Die Abtastrate ist hier $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$. Dieser Wert ist größer als $2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$. Damit ist das Abtasttheorem unabhängig von der Phase erfüllt, und es gilt stets $y(t) = x(t)$   ⇒   Richtig sind somit <u>alle Löungsvorschläge</u>.

	'''3.''' Die Abtastrate ~~beträgt nun~~ $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$. ~~Nur im Sonderfall des Cosinussignals~~ ist das Abtasttheorem erfüllt und es gilt $~~y_1~~(t) = ~~x_1~~(t)~~$   ⇒   $A_1 \; \underline{2 \ \text{V}}$ und $\varphi_1 \; \underline{= 0}~~$.		'''(2)'''  Richtig sind<u>alle Löungsvorschläge</u>:
			*Die Abtastrate ist hier $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$.
			*Dieser Wert ist größer als $2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.
			*Damit ist das Abtasttheorem unabhängig von der Phase erfüllt, und es gilt stets $y(t) = x(t)$.

	~~[[Datei:P_ID1130__Sig_Z_5_1_c.png\|Spektrum des abgetasteten Signals]]~~

	Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben auch eine Phase $\varphi$ im Eingangssignal berücksichtigt wird:		'''(3)'''  Die Abtastrate beträgt nun $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$. Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist nun das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:
			$y_1(t) = x_1(t)$   ⇒   $A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}}$ und $\varphi_1 \; \underline{= 0}.$

			[[Datei:P_ID1130__Sig_Z_5_1_c.png\|center\|frame\|Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals – Realteil und Imaginärteil]]

			Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase $\varphi$ im Eingangssignal berücksichtigt wird:
	:$$x(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi)		:$$x(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 99:		Zeile 105:
	(f+ f_{\rm 0} ) + (R - {\rm j} \cdot I) \cdot \delta		(f+ f_{\rm 0} ) + (R - {\rm j} \cdot I) \cdot \delta
	(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$		(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$
	Das Spektrum des mit $~~f_A~~ = 2f_0$ abgetasteten Signals $~~x_A~~(t)$ lautet somit:		Das Spektrum des mit $f_{\rm A} = 2f_0$ abgetasteten Signals $x_{\rm A}(t)$ lautet somit:
	:$$X_{\rm A}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A}		:$$X_{\rm A}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
	)= \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- 2\mu \cdot f_{\rm 0}		)= \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- 2\mu \cdot f_{\rm 0}
	)\hspace{0.05cm}.$$		)\hspace{0.05cm}.$$
	Die untere Grafik zeigt, dass $X_{\rm A}(f)$ aus Diracfunktionen bei $\pm f_0$, $\pm 3f_0$, $\pm 5f_0$, usw. besteht. Alle Gewichte sind rein reell und gleich $2 \cdot R$. Die Imaginärteile des periodisch fortgesetzten Spektrums heben sich auf.		*Die untere Grafik zeigt, dass $X_{\rm A}(f)$ aus Diracfunktionen bei $\pm f_0$, $\pm 3f_0$, $\pm 5f_0$, usw. besteht.
			*Alle Gewichte sind rein reell und gleich $2 \cdot R$.
			*Die Imaginärteile des periodisch fortgesetzten Spektrums heben sich auf.


	Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei $f_{\rm G} = f_0$ liegt, sowie $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:		Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei $f_{\rm G} = f_0$ liegt, sowie $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:
Zeile 116:		Zeile 125:


	[[Datei:P_ID1131__Sig_Z_5_1_d.png\|right\|Rekonstruktion eines abgetasteten Sinussignals]]		[[Datei:P_ID1131__Sig_Z_5_1_d.png\|right\|frame\|Rekonstruktion eines abgetasteten Sinussignals]]
	'''4.''' Das Sinussignal hat die Phase $90^\circ$. Daraus folgt direkt $y_2(t) = 0$   ⇒   Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.		'''(4)'''  Das Sinussignal hat die Phase $90^\circ$. Daraus folgt direkt $y_2(t) = 0$   ⇒   Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.

	Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet. Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind $0$, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.		Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet. Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind $0$, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.
			<br clear=all>
			[[Datei:P_ID1133__Sig_Z_5_1_e.png\|right\|frame\|Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit $60^\circ$ Phase]]
	[[Datei:P_ID1133__Sig_Z_5_1_e.png\|right\|Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit Phase]]		'''(5)'''  Trotz $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$   ⇒   das rekonstruierte Signal $y_3(t)$ ist ebenfalls cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich
	'''5.''' Trotz $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$   ⇒   das rekonstruierte Signal $y_3(t)$ ist ebenfalls cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich
	:$$A_3 = A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}		:$$A_3 = A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass.		Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass, da Sie ja den türkisfarbenen Verlauf nicht kennen.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 10. Oktober 2019, 12:56 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der Grafik erkennt man die Amplitude $\underline{A = 2\ \text{V}}$ sowie die Periodendauer $T_0 = 0.2 \ \text{ms}$. Daraus ergibt sich die Signalfrequenz $f_0 = 1/T_0 \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.		'''(1)'''  Aus der Grafik erkennt man die Amplitude  $\underline{A = 2\ \text{V}}$  sowie die Periodendauer  $T_0 = 0.2 \ \text{ms}$.
			*Daraus ergibt sich die Signalfrequenz  $f_0 = 1/T_0 \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.


	'''(2)'''  Richtig sind <u>alle Löungsvorschläge</u>:		'''(2)'''  Richtig sind <u>alle Löungsvorschläge</u>:
	*Die Abtastrate ~~ist~~ hier $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$.		*Die Abtastrate beträgt hier  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$.
	*Dieser Wert ist größer als $2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.		*Dieser Wert ist größer als  $2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.
	*Damit ist das Abtasttheorem unabhängig von der Phase erfüllt, und es gilt stets $y(t) = x(t)$.		*Damit ist das Abtasttheorem unabhängig von der Phase erfüllt, und es gilt stets  $y(t) = x(t)$.


	[[Datei:P_ID1130__Sig_Z_5_1_c.png\|right\|frame\|Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals – Realteil und Imaginärteil]]		[[Datei:P_ID1130__Sig_Z_5_1_c.png\|right\|frame\|Spektrum  $X_{\rm A}(f)$  des abgetasteten Signals – Realteil und Imaginärteil]]
	'''(3)'''  Die Abtastrate beträgt nun $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.		'''(3)'''  Die Abtastrate beträgt nun  $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.
	*Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist nun das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:		*Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist nun das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:
	:$$y_1(t) = x_1(t)$   ⇒   $A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}} \text{ und }\varphi_1 \; \underline{= 0}.$$		:$$y_1(t) = x_1(t)   ⇒   A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}} \text{ und }\varphi_1 \; \underline{= 0}.$$

	Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase $\varphi$ im Eingangssignal berücksichtigt wird:		Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase  $\varphi$  im Eingangssignal berücksichtigt wird:
	:$$x(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi)		:$$x(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Dann gilt für die Spektralfunktion, die in der oberen Grafik skizziert ist:		*Dann gilt für die Spektralfunktion, die in der oberen Grafik skizziert ist:
	:$$X(f) = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}		:$$X(f) = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}
	\cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta		\cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot \delta