Aufgaben:Aufgabe 5.1: Zum Abtasttheorem - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:38:07Z

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	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_5.1:_Sampling_Theorem]]

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2026-02-24T13:40:07Z

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Zeile 10:		Zeile 10:
	*Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass verwendet, für dessen Frequenzgang gilt:		*Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass verwendet, für dessen Frequenzgang gilt:

	:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\		:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\0 \\ \end{array} \right.\quad\begin{array}{{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}}\\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{{5}c}\|f\| < f_1 \hspace{0.05cm}, \\\|f\| > f_2 \hspace{0.05cm} \\\end{array}$$
	0 \\ \end{array} \right.\quad
	\begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}}
	\\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c}
	\|f\| < f_1 \hspace{0.05cm}, \\
	\|f\| > f_2 \hspace{0.05cm} \\
	\end{array}$$

	Der Bereich zwischen den Frequenzen  $f_1$  und  $f_2 > f_1$  ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.		Der Bereich zwischen den Frequenzen  $f_1$  und  $f_2 > f_1$  ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.

Guenter am 13. Mai 2021 um 12:23 Uhr

2021-05-13T12:23:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2021, 14:23 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt  $T_{\rm A} = 0.1 \ \text{ms}$. Somit erhält man für die Abtastrate  $f_{\rm A} = 1/ T_{\rm A} \;\underline {= 10 \ \text{kHz}}$.		'''(1)'''  Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt  $T_{\rm A} = 0.1 \ \text{ms}$.  Somit erhält man für die Abtastrate  $f_{\rm A} = 1/ T_{\rm A} \;\underline {= 10 \ \text{kHz}}$.

Guenter am 13. Mai 2021 um 12:20 Uhr

2021-05-13T12:20:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2021, 14:20 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].

	*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:~~Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)~~\|Abtastung ~~periodischer~~ Signale & Signalrekonstruktion]]		*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion\|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]

Guenter am 10. Oktober 2019 um 10:11 Uhr

2019-10-10T10:11:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Oktober 2019, 12:11 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt $T_{\rm A} = 0.1 \ \text{ms}$. Somit erhält man für die Abtastrate $f_{\rm A} = 1/ T_{\rm A} \;\underline {= 10 \ \text{kHz}}$.		'''(1)'''  Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt  $T_{\rm A} = 0.1 \ \text{ms}$. Somit erhält man für die Abtastrate  $f_{\rm A} = 1/ T_{\rm A} \;\underline {= 10 \ \text{kHz}}$.


	[[Datei:P_ID1127__Sig_A_5_1_b.png\|450px\|right\|frame\|Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals (~~schematisch~~)]]		[[Datei:P_ID1127__Sig_A_5_1_b.png\|450px\|right\|frame\|Spektrum  $X_{\rm A}(f)$  des abgetasteten Signals (schematische Darstellung)]]
	'''(2)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:		'''(2)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
	*Das Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals erhält man aus $X(f)$ durch periodische Fortsetzung im Abstand $f_{\rm A} = 10 \ \text{kHz}$.		*Das Spektrum  $X_{\rm A}(f)$  des abgetasteten Signals erhält man aus  $X(f)$  durch periodische Fortsetzung im Abstand  $f_{\rm A} = 10 \ \text{kHz}$.
	*Aus der Skizze erkennt man, dass $X_{\rm A}(f)$ durchaus Anteile bei $f = 2.5 \ \text{kHz}$ und $f = 6.5 \ \text{kHz}$ besitzen kann.		*Aus der Skizze erkennt man, dass  $X_{\rm A}(f)$  durchaus Anteile bei  $f = 2.5 \ \text{kHz}$  und  $f = 6.5 \ \text{kHz}$  besitzen kann.
	* Dagegen gibt es bei $f = 5.5 \ \text{kHz}$ keine Anteile.		* Dagegen gibt es bei  $f = 5.5 \ \text{kHz}$  keine Anteile.
	*Auch bei $f = 34.5 \ \text{kHz}$ wird auf jeden Fall $X_{\rm A}(f) = 0$ gelten.		*Auch bei  $f = 34.5 \ \text{kHz}$  wird auf jeden Fall  $X_{\rm A}(f) = 0$  gelten.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	'''(3)'''  Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit $H(f) = 1$ bewertet werden. Daraus folgt entsprechend der Skizze:		'''(3)'''  Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit  $H(f) = 1$  bewertet werden.
			*Daraus folgt entsprechend der Skizze:

	:$$f_{1, \ \text{min}} = B_{\rm NF} \;\underline{= 4 \ \text{kHz}}.$$		:$$f_{1, \ \text{min}} = B_{\rm NF} \;\underline{= 4 \ \text{kHz}}.$$


	'''(4)'''  Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von $X_{\rm A}(f)$, die in $X(f)$ nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze muss also gelten:		'''(4)'''  Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von  $X_{\rm A}(f)$, die in  $X(f)$  nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden.
			*Entsprechend der Skizze muss also gelten:

	:$$f_{2, \ \text{max}} = f_{\rm A} – B_{\rm NF} \;\underline{= 6 \ \text{kHz}}.$$		:$$f_{2, \ \text{max}} = f_{\rm A} – B_{\rm NF} \;\underline{= 6 \ \text{kHz}}.$$

Guenter am 10. Oktober 2019 um 10:03 Uhr

2019-10-10T10:03:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Oktober 2019, 12:03 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID1126__Sig_A_5_1.png\|right\|frame\|Zur Abtastung eines analogen Signals $x(t)$]]		[[Datei:P_ID1126__Sig_A_5_1.png\|right\|frame\|Zur Abtastung eines analogen Signals  $x(t)$]]

	Gegeben ist ein Analogsignal $x(t)$ entsprechend der Skizze.		Gegeben ist ein Analogsignal  $x(t)$  entsprechend der Skizze:
	*Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als $B_{\rm NF} = 4 \ \text{kHz}$ beinhaltet.		*Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als  $B_{\rm NF} = 4 \ \text{kHz}$  beinhaltet.
	*Durch Abtastung mit der Abtastrate $f_{\rm A}$ erhält man das in der Grafik rot skizzierte Signal $x_{\rm A}(t)$.		*Durch Abtastung mit der Abtastrate  $f_{\rm A}$  erhält man das in der Grafik rot skizzierte Signal  $x_{\rm A}(t)$.
	*Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass verwendet, für dessen Frequenzgang gilt:		*Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass verwendet, für dessen Frequenzgang gilt:

Zeile 18:		Zeile 18:
	\end{array}$$		\end{array}$$

	Der Bereich zwischen den Frequenzen $f_1$ und $f_2 > f_1$ ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.		Der Bereich zwischen den Frequenzen  $f_1$  und  $f_2 > f_1$  ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.

			Die Eckfrequenzen  $f_1$  und  $f_2$  sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  des Tiefpasses mit dem Signal  $x(t)$  exakt übereinstimmt.



	~~Die Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal $y(t)$ des Tiefpasses mit dem Signal $x(t)$ exakt übereinstimmt.~~


Zeile 28:		Zeile 31:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].

	*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)\|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]		*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)\|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]
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	$f_{\rm A}\ = \ $ { 10 3% }  $\text{kHz}$		$f_{\rm A}\ = \ $ { 10 3% }  $\text{kHz}$

	{Bei welchen Frequenzen besitzt die Spektralfunktion $X_{\rm A}(f)$ mit Sicherheit <u>keine Anteile</u>?		{Bei welchen Frequenzen besitzt die Spektralfunktion  $X_{\rm A}(f)$  mit Sicherheit <u>keine Anteile</u>?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $f = 2.5 \ \text{kHz},$		- $f = 2.5 \ \text{kHz},$
	+ $f= 5.5 \text{kHz},$		+ $f= 5.5 \ \text{kHz},$
	- $f= 6.5 \text{kHz},$		- $f= 6.5 \ \text{kHz},$
	+ $f= 34.5 \text{kHz}.$		+ $f= 34.5 \ \text{kHz}.$

	{Wie groß muss die untere Eckfrequenz $f_1$ mindestens sein, damit das Signal perfekt rekonstruiert wird?		{Wie groß muss die untere Eckfrequenz  $f_1$  mindestens sein, damit das Signal perfekt rekonstruiert wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_{1,\ \text{min}}\ = \ ${ 4 3% }  $\text{kHz}$		$f_{1,\ \text{min}}\ = \ ${ 4 3% }  $\text{kHz}$

	{Wie groß darf die obere Eckfrequenz $f_2$ höchstens sein, damit das Signal perfekt rekonstruiert wird?		{Wie groß darf die obere Eckfrequenz  $f_2$  höchstens sein, damit das Signal perfekt rekonstruiert wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_{2,\ \text{max}}\ = \ ${ 6 3% }  $\text{kHz}$		$f_{2,\ \text{max}}\ = \ ${ 6 3% }  $\text{kHz}$

Guenter am 27. Juli 2018 um 09:42 Uhr

2018-07-27T09:42:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juli 2018, 11:42 Uhr
Zeile 68:		Zeile 68:
	*Aus der Skizze erkennt man, dass $X_{\rm A}(f)$ durchaus Anteile bei $f = 2.5 \ \text{kHz}$ und $f = 6.5 \ \text{kHz}$ besitzen kann.		*Aus der Skizze erkennt man, dass $X_{\rm A}(f)$ durchaus Anteile bei $f = 2.5 \ \text{kHz}$ und $f = 6.5 \ \text{kHz}$ besitzen kann.
	* Dagegen gibt es bei $f = 5.5 \ \text{kHz}$ keine Anteile.		* Dagegen gibt es bei $f = 5.5 \ \text{kHz}$ keine Anteile.
	*Auch bei $f = 34.5 \ \text{kHz}$ wird $X_{\rm A}(f)$ = 0 ~~auf jeden Fall~~ gelten.		*Auch bei $f = 34.5 \ \text{kHz}$ wird auf jeden Fall $X_{\rm A}(f) = 0$ gelten.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	'''(3)'''  Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit $H(f) = 1$ bewertet werden. Daraus folgt entsprechend der Skizze:		'''(3)'''  Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit $H(f) = 1$ bewertet werden. Daraus folgt entsprechend der Skizze:

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:54Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 29:		Zeile 29:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)\|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]		*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)\|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]

Guenter am 30. Januar 2018 um 14:30 Uhr

2018-01-30T14:30:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2018, 16:30 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung\|Zeitdiskrete Signaldarstellung]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.		*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ~~auch~~ ein interaktives Applet: [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)\|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]		*Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  [[Applets:Abtastung_periodischer_Signale_und_Signalrekonstruktion_(Applet)\|Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion]]

Guenter am 30. Januar 2018 um 14:29 Uhr

2018-01-30T14:29:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2018, 16:29 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	$f_{\rm A}\ = \ $ { 10 3% }  $\text{kHz}$		$f_{\rm A}\ = \ $ { 10 3% }  $\text{kHz}$

	{Bei welchen Frequenzen besitzt die Spektralfunktion $X_{\rm A}(f)$ mit Sicherheit keine Anteile?		{Bei welchen Frequenzen besitzt die Spektralfunktion $X_{\rm A}(f)$ mit Sicherheit <u>keine Anteile</u>?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $f = 2.5 \ \text{kHz},$		- $f = 2.5 \ \text{kHz},$
Zeile 60:		Zeile 60:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''1.''' Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt $T_{\rm A} = 0.1 \ \text{ms}$. Somit erhält man für die Abtastrate $f_{\rm A} = 1/ T_{\rm A} \;\underline {= 10 \ \text{kHz}}$.		'''(1)'''  Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt $T_{\rm A} = 0.1 \ \text{ms}$. Somit erhält man für die Abtastrate $f_{\rm A} = 1/ T_{\rm A} \;\underline {= 10 \ \text{kHz}}$.

	'''2.''' Das Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals erhält man aus $X(f)$ durch periodische Fortsetzung im Abstand $f_{\rm A} = 10 \ \text{kHz}$. Aus der Skizze erkennt man, dass $X_{\rm A}(f)$ durchaus Anteile bei $f = 2.5 \ \text{kHz}$ und $f = 6.5 \ \text{kHz}$besitzen kann, nicht jedoch bei $f = 5.5 \ \text{kHz}$. Auch bei $f = 34.5 \ \text{kHz}$ wird $X_{\rm A}(f)$ = 0 auf jeden Fall gelten. Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>.

	[[Datei:P_ID1127__Sig_A_5_1_b.png\|450px\|~~center~~\|~~Zum Abtasttheorem~~]]		[[Datei:P_ID1127__Sig_A_5_1_b.png\|450px\|right\|frame\|Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals (schematisch)]]
			'''(2)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
			*Das Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals erhält man aus $X(f)$ durch periodische Fortsetzung im Abstand $f_{\rm A} = 10 \ \text{kHz}$.
			*Aus der Skizze erkennt man, dass $X_{\rm A}(f)$ durchaus Anteile bei $f = 2.5 \ \text{kHz}$ und $f = 6.5 \ \text{kHz}$ besitzen kann.
			* Dagegen gibt es bei $f = 5.5 \ \text{kHz}$ keine Anteile.
			*Auch bei $f = 34.5 \ \text{kHz}$ wird $X_{\rm A}(f)$ = 0 auf jeden Fall gelten.
			<br clear=all>
			'''(3)'''  Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit $H(f) = 1$ bewertet werden. Daraus folgt entsprechend der Skizze:

			:$$f_{1, \ \text{min}} = B_{\rm NF} \;\underline{= 4 \ \text{kHz}}.$$

	~~'''3.''' Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit $H(f) = 1$ bewertet werden. Daraus folgt entsprechend der siehe Skizze:~~

	$~~$f_{1, \ \text{min}} = B_~~{\rm NF} ~~\;\underline{= 4 \ \text{kHz}}.~~$$		'''(4)'''  Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von $X_{\rm A}(f)$, die in $X(f)$ nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze muss also gelten:

	~~'''4.''' Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von $X_{\rm A}(f)$, die in $X(f)$ nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze gilt~~:		:$$f_{2, \ \text{max}} = f_{\rm A} – B_{\rm NF} \;\underline{= 6 \ \text{kHz}}.$$

	$$f_{2, \ \text{max}} = f_{\rm A} – B_{\rm NF} \;\underline{= 6 \ \text{kHz}}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]