Aufgaben:Aufgabe 5.1: Gaußsche AKF und Gaußtiefpass - Versionsgeschichte

Guenter am 9. Februar 2022 um 16:52 Uhr

2022-02-09T16:52:30Z

Guenter am 9. Februar 2022 um 16:48 Uhr

2022-02-09T16:48:13Z

Guenter am 7. Dezember 2019 um 13:07 Uhr

2019-12-07T13:07:49Z

Guenter am 7. Dezember 2019 um 12:59 Uhr

2019-12-07T12:59:07Z

Guenter am 23. August 2018 um 06:42 Uhr

2018-08-23T06:42:46Z

Guenter am 23. August 2018 um 06:27 Uhr

2018-08-23T06:27:38Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:54Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:5.1 Gaußsche AKF und Gaußtiefpass nach Aufgaben:Aufgabe 5.1: Gaußsche AKF und Gaußtiefpass

2018-01-03T13:48:06Z

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Guenter am 15. April 2017 um 15:30 Uhr

2017-04-15T15:30:52Z

Guenter am 15. April 2017 um 14:56 Uhr

2017-04-15T14:56:56Z

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
 *Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 0$, also &nbsp;$\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$.
+'''(1)'''&nbsp; Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp; also &nbsp;$\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$.
-*Daraus folgt &nbsp;$\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$&nbsp;.
+*Daraus folgt &nbsp;$\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$.
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 {\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$
-*Bei der Frequenz $f = 0$&nbsp; erhält man:
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; erhält man:
 :$${\it \Phi}_{x}(f  = 0) = \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x =
 \rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 40
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-'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 *Allgemein gilt&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot |H(f)|^2$.&nbsp; Daraus folgt:
 :$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot
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 :$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot
 {\rm e}^{- \pi\cdot  ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/\Delta f^2  ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$
-*Auch ${\it \Phi}_{y}(f)$&nbsp; ist gaußförmig und nie breiter als&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$.&nbsp; Für $f \to \infty$&nbsp; gilt die Näherung&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.
+*Auch&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f)$&nbsp; ist gaußförmig und nie breiter als&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$.&nbsp; Für $f \to \infty$&nbsp; gilt die Näherung&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.
 *Mit kleiner werdendem&nbsp; $\Delta f$&nbsp; wird&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f)$&nbsp; immer schmäler&nbsp; (also ist die zweite Aussage falsch).
-*$H_0$&nbsp; beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe, aber nicht die Breite des LDS.
+*$H_0$&nbsp; beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe,&nbsp; aber nicht die Breite des LDS.
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 :$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm
 \Delta} f^2}.$$
-*Löst man die Gleichung nach&nbsp; $\Delta f$&nbsp; auf und berücksichtigt die Werte&nbsp; $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm &micro; s}$&nbsp; sowie&nbsp;   $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm &micro; s}$,  so folgt:
+*Löst man die Gleichung nach&nbsp; $\Delta f$&nbsp; auf und berücksichtigt die Werte&nbsp; $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm &micro; s}$&nbsp; sowie&nbsp;   $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm &micro; s}$,&nbsp;  so folgt:
 :$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm
 \nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz
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 '''(6)'''&nbsp; Die Bedingung&nbsp; $\sigma_y = \sigma_x$&nbsp; ist gleichbedeutend mit&nbsp; $\varphi_y(\tau = 0)= \varphi_x(\tau = 0)$.
-*Da zudem&nbsp; $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$&nbsp; vorgegeben ist, muss deshalb auch&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f= 0) =  3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$&nbsp; gelten.
+*Da zudem&nbsp; $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$&nbsp; vorgegeben ist,&nbsp; muss deshalb auch&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f= 0) =  3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$&nbsp; gelten.
 *Daraus erhält man:
 :$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\it \Phi_y (f \rm = 0)}{\it \Phi_x (f = \rm 0)}} = \sqrt

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 }}
-[[Datei:P_ID487__Sto_A_5_1.png|right|frame|Gaußsche AKF am <br>Eingang und Ausgang]]
+[[Datei:P_ID487__Sto_A_5_1.png|right|frame|Gaußsche AKF am Eingang und Ausgang des Filters]]
-Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit folgender Autokorrelationsfunktion (AKF) an:
+Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit folgender Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; an:
 :$${\it \varphi}_{x}(\tau) = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau
 /{\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$
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 :$$H(f) = H_{\rm 0} \cdot{\rm e}^{-  \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2}.$$
-Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen die beiden Filterparameter&nbsp; $H_0$&nbsp; und&nbsp; $\Delta f$&nbsp; so dimensioniert werden, dass das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; eine AKF entsprechend der unteren Skizze aufweist.
+Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen die beiden Filterparameter&nbsp; $H_0$&nbsp; und&nbsp; $\Delta f$&nbsp; so dimensioniert werden,&nbsp; dass das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; eine AKF entsprechend der unteren Skizze aufweist.
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 {Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer&nbsp; $\nabla\tau_x$&nbsp; des Signals&nbsp; $x(t)$.&nbsp; Wie kann diese allgemein ermittelt werden?
 |type="{}"}
-$\nabla\tau_x \ =  \ $ { 1 3% } $\ &micro; s$
+$\nabla\tau_x \ =  \ $ { 1 3% } $\ &micro; \rm s$
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-{Berechnen Sie das LDS&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$&nbsp; am Filterausgang allgemein als Funktion von&nbsp;  $\sigma_x$,&nbsp; $\nabla \tau_x$,&nbsp; $H_0$&nbsp; und&nbsp; $\Delta f$.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
+{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$&nbsp; am Filterausgang allgemein als Funktion von&nbsp;  $\sigma_x$,&nbsp; $\nabla \tau_x$,&nbsp; $H_0$&nbsp; und&nbsp; $\Delta f$.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
 + Das LDS&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$&nbsp; ist ebenfalls gaußförmig.
-- Je kleiner&nbsp; $\Delta f$&nbsp; ist, um so breiter ist&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.
+- Je kleiner&nbsp; $\Delta f$&nbsp; ist,&nbsp; um so breiter ist&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.
-+ $H_0$&nbsp; beeinflusst nur die Höhe, aber nicht die Breite von&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.
++ $H_0$&nbsp; beeinflusst nur die Höhe,&nbsp; aber nicht die Breite von&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
-{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor&nbsp; $H_0$&nbsp; wählen, damit die Bedingung&nbsp; $\sigma_y = \sigma_x$&nbsp; erfüllt wird?
+{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor&nbsp; $H_0$&nbsp; wählen,&nbsp; damit die Bedingung&nbsp; $\sigma_y = \sigma_x$&nbsp; erfüllt wird?
 |type="{}"}
 $H_0 \ =  \ $ { 1.732 3% }

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei $\tau = 0$, also &nbsp;$\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$.	Daraus folgt &nbsp;$\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$&nbsp;.
+'''(1)'''&nbsp; Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 0$, also &nbsp;$\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$.
-'''(2)'''&nbsp; Die äquivalente AKF-Dauer kann man über das flächengleiche Rechteck ermitteln. Gemäß der Skizze erhält man &nbsp;$\nabla \tau_x\hspace{0.15cm}\underline {= 1 \ \rm \mu s}$.
@@ Zeile 84: / Zeile 88: @@
 {\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$
-*Bei der Frequenz $f = 0$ erhält man:
+*Bei der Frequenz $f = 0$&nbsp; erhält man:
 :$${\it \Phi}_{x}(f  = 0) = \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x =
 \rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 40
 \cdot 10^{-9} \hspace{0.1cm} V^2 / Hz}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Allgemein gilt ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot |H(f)|^2$. Daraus folgt:
+*Allgemein gilt&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot |H(f)|^2$.&nbsp; Daraus folgt:
 :$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot
 {\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \cdot f)^2}\cdot H_{\rm 0}^2
@@ Zeile 97: / Zeile 102: @@
 *Durch Zusammenfassen der beiden Exponentialfunktionen erhält man:
 :$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot
-{\rm e}^{- \pi\cdot  ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/(\Delta f^2)  ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$
+{\rm e}^{- \pi\cdot  ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/\Delta f^2  ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$
-*Auch ${\it \Phi}_{y}(f)$ ist gaußförmig und nie breiter als ${\it \Phi}_{x}(f)$. Für $f \to \infty$ gilt die Näherung ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.
+*Auch ${\it \Phi}_{y}(f)$&nbsp; ist gaußförmig und nie breiter als&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$.&nbsp; Für $f \to \infty$&nbsp; gilt die Näherung&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.
-*Mit kleiner werdendem $\Delta f$ wird ${\it \Phi}_{y}(f)$ immer schmäler (also ist die zweite Aussage falsch).
+*Mit kleiner werdendem&nbsp; $\Delta f$&nbsp; wird&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f)$&nbsp; immer schmäler&nbsp; (also ist die zweite Aussage falsch).
-*$H_0$ beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe, aber nicht die Breite des LDS.
+*$H_0$&nbsp; beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe, aber nicht die Breite des LDS.
-'''(5)'''&nbsp; Analog zum Aufgabenteil '''(1)''' kann für das LDS des Ausgangssignals $y(t)$ geschrieben werden:
+'''(5)'''&nbsp; Analog zum Aufgabenteil&nbsp; '''(1)'''&nbsp; kann für das LDS des Ausgangssignals&nbsp; $y(t)$&nbsp; geschrieben werden:
 :$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_y^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_y \cdot
 {\rm e}^{- \pi  \cdot {\rm \nabla} \tau_y^2 \cdot f^2 }.$$
-*Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus '''(4)''' ergibt sich:
+*Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(4)'''&nbsp; ergibt sich:
 :$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm
 \Delta} f^2}.$$
-*Löst man die Gleichung nach $\Delta f$ auf und berücksichtigt die Werte $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm &micro; s}$ und   $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm &micro; s}$,  so folgt:
+*Löst man die Gleichung nach&nbsp; $\Delta f$&nbsp; auf und berücksichtigt die Werte&nbsp; $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm &micro; s}$&nbsp; sowie&nbsp;   $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm &micro; s}$,  so folgt:
 :$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm
 \nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz
@@ Zeile 117: / Zeile 122: @@
 '''(6)'''&nbsp; Die Bedingung $\sigma_y = \sigma_x$ ist gleichbedeutend mit $\varphi_y(\tau = 0)= \varphi_x(\tau = 0)$.
-*Da zudem $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$ vorgegeben ist, muss deshalb auch ${\it \Phi}_{y}(f= 0) =  3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$ gelten.
+'''(6)'''&nbsp; Die Bedingung&nbsp; $\sigma_y = \sigma_x$&nbsp; ist gleichbedeutend mit&nbsp; $\varphi_y(\tau = 0)= \varphi_x(\tau = 0)$.
 *Daraus erhält man:
 :$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\it \Phi_y (f \rm = 0)}{\it \Phi_x (f = \rm 0)}} = \sqrt

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID487__Sto_A_5_1.png|right|frame|Gaußsche AKF am Eingang und Ausgang]]
+[[Datei:P_ID487__Sto_A_5_1.png|right|frame|Gaußsche AKF am <br>Eingang und Ausgang]]
-Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang $H(f)$ liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal $x(t)$ mit folgender Autokorrelationsfunktion (AKF) an:
+Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit folgender Autokorrelationsfunktion (AKF) an:
-:$${\it \varphi_{x}(\tau)} = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau
+:$${\it \varphi}_{x}(\tau) = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau
 /{\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$
-Diese AKF ist in der nebenstehenden Grafik oben dargestellt.
+Diese AKF ist in nebenstehender Grafik oben dargestellt.
-Das Filter sei gaußförmig mit der Gleichsignalverstärkung $H_0$ und der äquivalenten Bandbreite $\Delta f$. Für den Frequenzgang kann somit geschrieben werden:
+Das Filter sei gaußförmig mit der Gleichsignalverstärkung&nbsp; $H_0$&nbsp; und der äquivalenten Bandbreite&nbsp; $\Delta f$.&nbsp; Für den Frequenzgang kann somit geschrieben werden:
 :$$H(f) = H_{\rm 0} \cdot{\rm e}^{-  \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2}.$$
-Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen die beiden Filterparameter $H_0$ und $\Delta f$ so dimensioniert werden, dass das Ausgangssignal $y(t)$ eine AKF entsprechend der unteren Skizze aufweist.
+Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen die beiden Filterparameter&nbsp; $H_0$&nbsp; und&nbsp; $\Delta f$&nbsp; so dimensioniert werden, dass das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; eine AKF entsprechend der unteren Skizze aufweist.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
-*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
+*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
 *Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:
@@ Zeile 38: / Zeile 41: @@
-{Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer des Signals $x(t)$. <br>Wie kann diese allgemein ermittelt werden?
+{Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer&nbsp; $\nabla\tau_x$&nbsp; des Signals&nbsp; $x(t)$.&nbsp; Wie kann diese allgemein ermittelt werden?
 |type="{}"}
 $\nabla\tau_x \ =  \ $ { 1 3% } $\ &micro; s$
-{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ des Eingangsignals? <br>Wie groß ist der LDS-Wert bei $f= 0$?
+{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$ des Eingangsignals?&nbsp; Wie groß ist der LDS-Wert bei $f= 0$?
 |type="{}"}
 ${\it Φ}_x(f=0) \ =  \ $ { 40 3% } $\ \cdot 10^{-9}\ \rm V^2/Hz$
-{Berechnen Sie das LDS ${\it Φ}_y(f)$ am Filterausgang allgemein als Funktion von  $\sigma_x$, $\nabla \tau_x$, $H_0$ und $\Delta f$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
+{Berechnen Sie das LDS&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$&nbsp; am Filterausgang allgemein als Funktion von&nbsp;  $\sigma_x$,&nbsp; $\nabla \tau_x$,&nbsp; $H_0$&nbsp; und&nbsp; $\Delta f$.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-+ Das LDS ${\it Φ}_y(f)$ ist ebenfalls gaußförmig.
++ Das LDS&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$&nbsp; ist ebenfalls gaußförmig.
-- Je kleiner $\Delta f$ ist, um so breiter ist ${\it Φ}_y(f)$.
+- Je kleiner&nbsp; $\Delta f$&nbsp; ist, um so breiter ist&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.
-+ $H_0$ beeinflusst nur die Höhe, aber nicht die Breite von ${\it Φ}_y(f)$.
++ $H_0$&nbsp; beeinflusst nur die Höhe, aber nicht die Breite von&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.
-{Wie groß muss die äquivalente Filterbandbreite $\Delta f$ gewählt werden, damit für die äquivalente AKF-Dauer  $\nabla \tau_y = 3 \ \rm  &micro; s$ gilt?
+{Wie groß muss die äquivalente Filterbandbreite&nbsp; $\Delta f$&nbsp; gewählt werden, damit für die äquivalente AKF-Dauer&nbsp;  $\nabla \tau_y = 3 \ \rm  &micro; s$&nbsp; gilt?
 |type="{}"}
 $\Delta f \ =  \ $ { 0.5 3% } $\ \rm MHz$
-{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor $H_0$ wählen, damit die Bedingung $\sigma_y = \sigma_x$ erfüllt wird?
+{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor&nbsp; $H_0$&nbsp; wählen, damit die Bedingung&nbsp; $\sigma_y = \sigma_x$&nbsp; erfüllt wird?
 |type="{}"}
 $H_0 \ =  \ $ { 1.732 3% }

@@ Zeile 70: / Zeile 70: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei $\tau = 0$, also $\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$.	Daraus folgt $\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$.
+'''(1)'''&nbsp; Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei $\tau = 0$, also &nbsp;$\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$.	Daraus folgt &nbsp;$\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$&nbsp;.
-'''(3)'''&nbsp; Das LDS ist die Fouriertransformierte der AKF. Mit der gegebenen Fourierkorrespondenz gilt:
+'''(2)'''&nbsp; Die äquivalente AKF-Dauer kann man über das flächengleiche Rechteck ermitteln. Gemäß der Skizze erhält man &nbsp;$\nabla \tau_x\hspace{0.15cm}\underline {= 1 \ \rm \mu s}$.
-:$${\it \Phi_{x}(f)} = \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot
 {\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$
-Bei der Frequenz $f = 0$ erhält man:
+*Bei der Frequenz $f = 0$ erhält man:
-:$${\it \Phi_{x}(f {\rm = 0)}} = \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x =
+:$${\it \Phi}_{x}(f  = 0) = \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x =
 \rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 40
 \cdot 10^{-9} \hspace{0.1cm} V^2 / Hz}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Allgemein gilt mit ${\it \Phi_{y}(f)} = {\it \Phi_{x}(f)} \cdot |H(f)|^2$. Daraus folgt:
+*Allgemein gilt ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot |H(f)|^2$. Daraus folgt:
-:$${\it \Phi_{y}(f)} =  \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot
+:$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot
 {\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \cdot f)^2}\cdot H_{\rm 0}^2
 \cdot{\rm e}^{- 2 \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2} .$$
 *Durch Zusammenfassen der beiden Exponentialfunktionen erhält man:
-:$${\it \Phi_{y}(f)} =  \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot
+:$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot
 {\rm e}^{- \pi\cdot  ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/(\Delta f^2)  ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$
-*Auch ${\it \Phi_{y}(f)}$ ist gaußförmig und nie breiter als ${\it \Phi_{x}(f)}$. Für $f \to \infty$ gilt die Näherung ${\it \Phi_{y}(f)} \approx {\it \Phi_{x}(f)}$.
+*Auch ${\it \Phi}_{y}(f)$ ist gaußförmig und nie breiter als ${\it \Phi}_{x}(f)$. Für $f \to \infty$ gilt die Näherung ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.
-*Mit kleiner werdendem $\Delta f$ wird ${\it \Phi_{y}(f)}$ immer schmäler (also ist die zweite Aussage falsch).
+*Mit kleiner werdendem $\Delta f$ wird ${\it \Phi}_{y}(f)$ immer schmäler (also ist die zweite Aussage falsch).
 *$H_0$ beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe, aber nicht die Breite des LDS.
-'''(5)'''&nbsp; Analog zum Aufgabenteil (1) kann für das LDS des Ausgangssignals $y(t)$ geschrieben werden:
+'''(5)'''&nbsp; Analog zum Aufgabenteil '''(1)''' kann für das LDS des Ausgangssignals $y(t)$ geschrieben werden:
-:$${\it \Phi_{y}(f)} =  \sigma_y^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_y \cdot
+:$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_y^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_y \cdot
 {\rm e}^{- \pi  \cdot {\rm \nabla} \tau_y^2 \cdot f^2 }.$$
-Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus (4) ergibt sich:
+*Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus '''(4)''' ergibt sich:
 :$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm
 \Delta} f^2}.$$
-Löst man die Gleichung nach $\Delta f$ auf und berücksichtigt die Werte $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm \mu s}$ und
+*Löst man die Gleichung nach $\Delta f$ auf und berücksichtigt die Werte $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm &micro; s}$ und   $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm &micro; s}$,  so folgt:
 :$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm
 \nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz
 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.5\hspace{0.1cm} MHz} .$$
 '''(6)'''&nbsp; Die Bedingung $\sigma_y = \sigma_x$ ist gleichbedeutend mit $\varphi_y(\tau = 0)= \varphi_x(\tau = 0)$. Da zudem $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$ vorgegeben ist, muss deshalb auch ${\it \Phi}_{y}(f= 0) =  3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$ gelten. Daraus erhält man:
 :$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\it \Phi_y (f \rm = 0)}{\it \Phi_x (f = \rm 0)}} = \sqrt
 {3}\hspace{0.15cm} \underline{=1.732}.$$

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(kein Unterschied)

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 {Wie groß ist der Effektivwert des Filtereingangssignals?
 |type="{}"}
-$\sigma_x$ = { 0.2 3% } V
+$\sigma_x \ = $ { 0.2 3% } $\ \rm V$
-{Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer des Signals <i>x</i>(<i>t</i>). Wie kann diese allgemein ermittelt werden?
+{Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer des Signals $x(t)$. Wie kann diese allgemein ermittelt werden?
 |type="{}"}
-$\nabla\tau_x$ = { 1 3% } $\mu s$
+$\nabla\tau_x \ = $ { 1 3% } $\ \mu s$
-{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum <i>&Phi;<sub>x</sub></i>(<i>f</i>) des Eingangsignals? Wie groß ist der LDS-Wert bei <i>f</i> = 0?
+{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ des Eingangsignals? Wie groß ist der LDS-Wert bei $f= 0$?
 |type="{}"}
-$\phi_x(f = 0)$ = { 4 3% } $\cdot 10^{-8}\ V^2/Hz$
+${\it Φ}_x(f=0) \ = $ { 40 3% } $\ \cdot 10^{-9}\ \rm V^2/Hz$
-{Berechnen Sie das LDS <i>&#934;<sub>y</sub></i>(<i>f</i>) am Filterausgang allgemein als Funktion von  <i>&#963;<sub>x</sub></i>, &#8711;<i>&#964;<sub>x</sub></i>, <i>H</i><sub>0</sub> und &#916;<i>f</i>. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Berechnen Sie das LDS ${\it Φ}_y(f)$ am Filterausgang allgemein als Funktion von  $\sigma_x$, $\nabla \tau_x$, $H_0$ und $\Delta f$. Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-+ Das LDS <i>&Phi;<sub>y</sub></i>(<i>f</i>) ist ebenfalls gaußförmig.
++ Das LDS ${\it Φ}_y(f)$ ist ebenfalls gaußförmig.
-- Je kleiner &Delta;<i>f</i> ist, um so breiter ist <i>&Phi;<sub>y</sub></i>(<i>f</i>).
+- Je kleiner $\Delta f$ ist, um so breiter ist ${\it Φ}_y(f)$.
-+ <i>H</i><sub>0</sub> beeinflusst nur die Höhe, aber nicht die Breite von <i>&Phi;<sub>y</sub></i>(<i>f</i>).
++ $H_0$ beeinflusst nur die Höhe, aber nicht die Breite von ${\it Φ}_y(f)$.
-{Wie groß muss die äquivalente Filterbandbreite &Delta;<i>f</i> gewählt werden, damit für die äquivalente AKF-Dauer  &#8711;<i>&tau;<sub>y</sub></i> = 3 &mu;s gilt?
+{Wie groß muss die äquivalente Filterbandbreite $\Delta f$ gewählt werden, damit für die äquivalente AKF-Dauer  $\nabla \tau_y = 3 \ \rm  \mu s$ gilt?
 |type="{}"}
-$\Delta f$ = { 0.5 3% } $MHz$
+$\Delta f \ = $ { 0.5 3% } $\ \rm MHz$
-{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor <i>H</i><sub>0</sub> wählen, damit die Bedingung <i>&sigma;<sub>y</sub></i> = <i>&sigma;<sub>x</sub></i> erfüllt wird?
+{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor $H_0$ wählen, damit die Bedingung $\sigma_y = \sigma_x$ erfüllt wird?
 |type="{}"}
-$H_0$ = { 1.732 3% }
+$H_0 \ = $ { 1.732 3% }