Aufgaben:Aufgabe 5.1: Gaußsche AKF und Gaußtiefpass - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:38:06Z

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	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^5.1 Stochastische Systemtheorie^]]		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^5.1 Stochastische Systemtheorie^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_5.1:_Gaussian_ACF_and_Gaussian_Low-Pass]]

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	[[Datei:P_ID487__Sto_A_5_1.png\|right\|frame\|Gaußsche AKF am Eingang und Ausgang des Filters]]		[[Datei:P_ID487__Sto_A_5_1.png\|right\|frame\|Gaußsche AKF am Eingang und Ausgang des Filters]]
	Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang  $H(f)$  liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal  $x(t)$  mit folgender Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$  an:		Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang  $H(f)$  liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal  $x(t)$  mit folgender Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$  an:
	:$${\it \varphi}_{x}(\tau) = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau		:$${\it \varphi}_{x}(\tau) = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau/{\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$
	/{\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$

	Diese AKF ist in nebenstehender Grafik oben dargestellt.		Diese AKF ist in nebenstehender Grafik oben dargestellt.
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	*Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:		*Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:
	:$${\rm e}^{- \pi (f/{\rm \Delta} f)^2} \hspace{0.15cm}		:$${\rm e}^{- \pi (f/{\rm \Delta} f)^2} \hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!\hspace{0.03cm}\circ \hspace{0.15cm}{\rm \Delta} f \cdot{\rm e}^{- \pi ({\rm \Delta} f \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} t)^2}.$$
	\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!\hspace{0.03cm}\circ \hspace{0.15cm}{\rm \Delta} f \cdot
	{\rm e}^{- \pi ({\rm \Delta} f \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} t)^2}.$$


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	'''(3)'''  Das LDS ist die Fouriertransformierte der AKF.		'''(3)'''  Das LDS ist die Fouriertransformierte der AKF.
	*Mit der gegebenen Fourierkorrespondenz gilt:		*Mit der gegebenen Fourierkorrespondenz gilt:
	:$${\it \Phi}_{x}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot		:$${\it \Phi}_{x}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$
	{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$

	*Bei der Frequenz  $f = 0$  erhält man:		*Bei der Frequenz  $f = 0$  erhält man:
	:$${\it \Phi}_{x}(f = 0) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x =		:$${\it \Phi}_{x}(f = 0) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x =\rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 40\cdot 10^{-9} \hspace{0.1cm} V^2 / Hz}.$$
	\rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 40
	\cdot 10^{-9} \hspace{0.1cm} V^2 / Hz}.$$


Zeile 93:		Zeile 87:
	'''(4)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(4)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Allgemein gilt  ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot \|H(f)\|^2$.  Daraus folgt:		*Allgemein gilt  ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot \|H(f)\|^2$.  Daraus folgt:
	:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot		:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \cdot f)^2}\cdot H_{\rm 0}^2\cdot{\rm e}^{- 2 \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2} .$$
	{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \cdot f)^2}\cdot H_{\rm 0}^2
	\cdot{\rm e}^{- 2 \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2} .$$
	*Durch Zusammenfassen der beiden Exponentialfunktionen erhält man:		*Durch Zusammenfassen der beiden Exponentialfunktionen erhält man:
	:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot		:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot{\rm e}^{- \pi\cdot ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/\Delta f^2 ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$
	{\rm e}^{- \pi\cdot ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/\Delta f^2 ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$
	*Auch  ${\it \Phi}_{y}(f)$  ist gaußförmig und nie breiter als  ${\it \Phi}_{x}(f)$.  Für $f \to \infty$  gilt die Näherung  ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.		*Auch  ${\it \Phi}_{y}(f)$  ist gaußförmig und nie breiter als  ${\it \Phi}_{x}(f)$.  Für $f \to \infty$  gilt die Näherung  ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.
	*Mit kleiner werdendem  $\Delta f$  wird  ${\it \Phi}_{y}(f)$  immer schmäler  (also ist die zweite Aussage falsch).		*Mit kleiner werdendem  $\Delta f$  wird  ${\it \Phi}_{y}(f)$  immer schmäler  (also ist die zweite Aussage falsch).
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	'''(5)'''  Analog zum Aufgabenteil  '''(1)'''  kann für das LDS des Ausgangssignals  $y(t)$  geschrieben werden:		'''(5)'''  Analog zum Aufgabenteil  '''(1)'''  kann für das LDS des Ausgangssignals  $y(t)$  geschrieben werden:
	:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_y^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_y \cdot		:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_y^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_y \cdot{\rm e}^{- \pi \cdot {\rm \nabla} \tau_y^2 \cdot f^2 }.$$
	{\rm e}^{- \pi \cdot {\rm \nabla} \tau_y^2 \cdot f^2 }.$$

	*Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus  '''(4)'''  ergibt sich:		*Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus  '''(4)'''  ergibt sich:
	:$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm		:$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm\Delta} f^2}.$$
	\Delta} f^2}.$$
	*Löst man die Gleichung nach  $\Delta f$  auf und berücksichtigt die Werte  $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm µ s}$  sowie  $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm µ s}$,  so folgt:		*Löst man die Gleichung nach  $\Delta f$  auf und berücksichtigt die Werte  $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm µ s}$  sowie  $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm µ s}$,  so folgt:
	:$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm		:$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm\nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz\hspace{0.15cm} \underline{= 0.5\hspace{0.1cm} MHz} .$$
	\nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz
	\hspace{0.15cm} \underline{= 0.5\hspace{0.1cm} MHz} .$$


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	*Da zudem  $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$  vorgegeben ist,  muss deshalb auch  ${\it \Phi}_{y}(f= 0) = 3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$  gelten.		*Da zudem  $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$  vorgegeben ist,  muss deshalb auch  ${\it \Phi}_{y}(f= 0) = 3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$  gelten.
	*Daraus erhält man:		*Daraus erhält man:
	:$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\it \Phi_y (f \rm = 0)}{\it \Phi_x (f = \rm 0)}} = \sqrt		:$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\it \Phi_y (f \rm = 0)}{\it \Phi_x (f = \rm 0)}} = \sqrt{3}\hspace{0.15cm} \underline{=1.732}.$$
	{3}\hspace{0.15cm} \underline{=1.732}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 9. Februar 2022 um 16:52 Uhr

2022-02-09T16:52:30Z

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			Hinweise:



	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie\|Stochastische Systemtheorie]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie\|Stochastische Systemtheorie]].
	*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].		*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei  $\tau = 0$, also  $\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$.		'''(1)'''  Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei  $\tau = 0$,  also  $\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$.
	*Daraus folgt  $\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$~~ ~~.		*Daraus folgt  $\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$.


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	{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$		{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$

	*Bei der Frequenz $f = 0$  erhält man:		*Bei der Frequenz  $f = 0$  erhält man:
	:$${\it \Phi}_{x}(f = 0) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x =		:$${\it \Phi}_{x}(f = 0) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x =
	\rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 40		\rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 40
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	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(4)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Allgemein gilt  ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot \|H(f)\|^2$.  Daraus folgt:		*Allgemein gilt  ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot \|H(f)\|^2$.  Daraus folgt:
	:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot		:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot
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	:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot		:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot
	{\rm e}^{- \pi\cdot ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/\Delta f^2 ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$		{\rm e}^{- \pi\cdot ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/\Delta f^2 ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$
	*Auch ${\it \Phi}_{y}(f)$  ist gaußförmig und nie breiter als  ${\it \Phi}_{x}(f)$.  Für $f \to \infty$  gilt die Näherung  ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.		*Auch  ${\it \Phi}_{y}(f)$  ist gaußförmig und nie breiter als  ${\it \Phi}_{x}(f)$.  Für $f \to \infty$  gilt die Näherung  ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.
	*Mit kleiner werdendem  $\Delta f$  wird  ${\it \Phi}_{y}(f)$  immer schmäler  (also ist die zweite Aussage falsch).		*Mit kleiner werdendem  $\Delta f$  wird  ${\it \Phi}_{y}(f)$  immer schmäler  (also ist die zweite Aussage falsch).
	*$H_0$  beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe, aber nicht die Breite des LDS.		*$H_0$  beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe,  aber nicht die Breite des LDS.


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	:$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm		:$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm
	\Delta} f^2}.$$		\Delta} f^2}.$$
	*Löst man die Gleichung nach  $\Delta f$  auf und berücksichtigt die Werte  $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm µ s}$  sowie  $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm µ s}$, so folgt:		*Löst man die Gleichung nach  $\Delta f$  auf und berücksichtigt die Werte  $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm µ s}$  sowie  $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm µ s}$,  so folgt:
	:$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm		:$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm
	\nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz		\nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz
Zeile 124:		Zeile 120:

	'''(6)'''  Die Bedingung  $\sigma_y = \sigma_x$  ist gleichbedeutend mit  $\varphi_y(\tau = 0)= \varphi_x(\tau = 0)$.		'''(6)'''  Die Bedingung  $\sigma_y = \sigma_x$  ist gleichbedeutend mit  $\varphi_y(\tau = 0)= \varphi_x(\tau = 0)$.
	*Da zudem  $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$  vorgegeben ist, muss deshalb auch  ${\it \Phi}_{y}(f= 0) = 3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$  gelten.		*Da zudem  $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$  vorgegeben ist,  muss deshalb auch  ${\it \Phi}_{y}(f= 0) = 3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$  gelten.
	*Daraus erhält man:		*Daraus erhält man:
	:$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\it \Phi_y (f \rm = 0)}{\it \Phi_x (f = \rm 0)}} = \sqrt		:$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\it \Phi_y (f \rm = 0)}{\it \Phi_x (f = \rm 0)}} = \sqrt

Guenter am 9. Februar 2022 um 16:48 Uhr

2022-02-09T16:48:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Februar 2022, 18:48 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID487__Sto_A_5_1.png\|right\|frame\|Gaußsche AKF am ~~<br>~~Eingang und Ausgang]]		[[Datei:P_ID487__Sto_A_5_1.png\|right\|frame\|Gaußsche AKF am Eingang und Ausgang des Filters]]
	Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang  $H(f)$  liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal  $x(t)$  mit folgender Autokorrelationsfunktion (AKF) an:		Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang  $H(f)$  liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal  $x(t)$  mit folgender Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$  an:
	:$${\it \varphi}_{x}(\tau) = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau		:$${\it \varphi}_{x}(\tau) = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau
	/{\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$		/{\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$
Zeile 13:		Zeile 13:
	:$$H(f) = H_{\rm 0} \cdot{\rm e}^{- \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2}.$$		:$$H(f) = H_{\rm 0} \cdot{\rm e}^{- \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2}.$$

	Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen die beiden Filterparameter  $H_0$  und  $\Delta f$  so dimensioniert werden, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  eine AKF entsprechend der unteren Skizze aufweist.		Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen die beiden Filterparameter  $H_0$  und  $\Delta f$  so dimensioniert werden,  dass das Ausgangssignal  $y(t)$  eine AKF entsprechend der unteren Skizze aufweist.


Zeile 43:		Zeile 43:
	{Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer  $\nabla\tau_x$  des Signals  $x(t)$.  Wie kann diese allgemein ermittelt werden?		{Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer  $\nabla\tau_x$  des Signals  $x(t)$.  Wie kann diese allgemein ermittelt werden?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\nabla\tau_x \ = \ $ { 1 3% } $\ µ s$		$\nabla\tau_x \ = \ $ { 1 3% } $\ µ \rm s$


Zeile 51:		Zeile 51:


	{Berechnen Sie das ~~LDS~~  ${\it Φ}_y(f)$  am Filterausgang allgemein als Funktion von  $\sigma_x$,  $\nabla \tau_x$,  $H_0$  und  $\Delta f$.  Welche Aussagen treffen zu?		{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_y(f)$  am Filterausgang allgemein als Funktion von  $\sigma_x$,  $\nabla \tau_x$,  $H_0$  und  $\Delta f$.  Welche Aussagen treffen zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Das LDS  ${\it Φ}_y(f)$  ist ebenfalls gaußförmig.		+ Das LDS  ${\it Φ}_y(f)$  ist ebenfalls gaußförmig.
	- Je kleiner  $\Delta f$  ist, um so breiter ist  ${\it Φ}_y(f)$.		- Je kleiner  $\Delta f$  ist,  um so breiter ist  ${\it Φ}_y(f)$.
	+ $H_0$  beeinflusst nur die Höhe, aber nicht die Breite von  ${\it Φ}_y(f)$.		+ $H_0$  beeinflusst nur die Höhe,  aber nicht die Breite von  ${\it Φ}_y(f)$.


Zeile 63:		Zeile 63:


	{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor  $H_0$  wählen, damit die Bedingung  $\sigma_y = \sigma_x$  erfüllt wird?		{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor  $H_0$  wählen,  damit die Bedingung  $\sigma_y = \sigma_x$  erfüllt wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$H_0 \ = \ $ { 1.732 3% }		$H_0 \ = \ $ { 1.732 3% }

Guenter am 7. Dezember 2019 um 13:07 Uhr

2019-12-07T13:07:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Dezember 2019, 15:07 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei $\tau = 0$, also  $\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$. Daraus folgt  $\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$ .		'''(1)'''  Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei  $\tau = 0$, also  $\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$.
			*Daraus folgt  $\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$ .


	'''(2)'''  Die äquivalente AKF-Dauer kann man über das flächengleiche Rechteck ermitteln. Gemäß der Skizze erhält man  $\nabla \tau_x\hspace{0.15cm}\underline {= 1 \ \rm ~~\mu~~ s}$.
			'''(2)'''  Die äquivalente AKF-Dauer kann man über das flächengleiche Rechteck ermitteln.
			*Gemäß der Skizze erhält man  $\nabla \tau_x\hspace{0.15cm}\underline {= 1 \ \rm µ s}$.



Zeile 84:		Zeile 88:
	{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$		{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$

	*Bei der Frequenz $f = 0$ erhält man:		*Bei der Frequenz $f = 0$  erhält man:
	:$${\it \Phi}_{x}(f = 0) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x =		:$${\it \Phi}_{x}(f = 0) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x =
	\rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 40		\rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 40
	\cdot 10^{-9} \hspace{0.1cm} V^2 / Hz}.$$		\cdot 10^{-9} \hspace{0.1cm} V^2 / Hz}.$$



	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Allgemein gilt ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot \|H(f)\|^2$. Daraus folgt:		*Allgemein gilt  ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot \|H(f)\|^2$.  Daraus folgt:
	:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot		:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot
	{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \cdot f)^2}\cdot H_{\rm 0}^2		{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \cdot f)^2}\cdot H_{\rm 0}^2
Zeile 97:		Zeile 102:
	*Durch Zusammenfassen der beiden Exponentialfunktionen erhält man:		*Durch Zusammenfassen der beiden Exponentialfunktionen erhält man:
	:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot		:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot
	{\rm e}^{- \pi\cdot ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/(\Delta f^2) ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$		{\rm e}^{- \pi\cdot ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/\Delta f^2 ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$
	*Auch ${\it \Phi}_{y}(f)$ ist gaußförmig und nie breiter als ${\it \Phi}_{x}(f)$. Für $f \to \infty$ gilt die Näherung ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.		*Auch ${\it \Phi}_{y}(f)$  ist gaußförmig und nie breiter als  ${\it \Phi}_{x}(f)$.  Für $f \to \infty$  gilt die Näherung  ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.
	*Mit kleiner werdendem $\Delta f$ wird ${\it \Phi}_{y}(f)$ immer schmäler (also ist die zweite Aussage falsch).		*Mit kleiner werdendem  $\Delta f$  wird  ${\it \Phi}_{y}(f)$  immer schmäler  (also ist die zweite Aussage falsch).
	*$H_0$ beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe, aber nicht die Breite des LDS.		*$H_0$  beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe, aber nicht die Breite des LDS.



	'''(5)'''  Analog zum Aufgabenteil '''(1)''' kann für das LDS des Ausgangssignals $y(t)$ geschrieben werden:		'''(5)'''  Analog zum Aufgabenteil  '''(1)'''  kann für das LDS des Ausgangssignals  $y(t)$  geschrieben werden:
	:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_y^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_y \cdot		:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_y^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_y \cdot
	{\rm e}^{- \pi \cdot {\rm \nabla} \tau_y^2 \cdot f^2 }.$$		{\rm e}^{- \pi \cdot {\rm \nabla} \tau_y^2 \cdot f^2 }.$$

	*Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus '''(4)''' ergibt sich:		*Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus  '''(4)'''  ergibt sich:
	:$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm		:$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm
	\Delta} f^2}.$$		\Delta} f^2}.$$
	*Löst man die Gleichung nach $\Delta f$ auf und berücksichtigt die Werte $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm µ s}$ ~~und~~ $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm µ s}$, so folgt:		*Löst man die Gleichung nach  $\Delta f$  auf und berücksichtigt die Werte  $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm µ s}$  sowie  $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm µ s}$, so folgt:
	:$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm		:$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm
	\nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz		\nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz
Zeile 117:		Zeile 122:


	'''(6)'''  Die Bedingung $\sigma_y = \sigma_x$ ist gleichbedeutend mit $\varphi_y(\tau = 0)= \varphi_x(\tau = 0)$.
	*Da zudem $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$ vorgegeben ist, muss deshalb auch ${\it \Phi}_{y}(f= 0) = 3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$ gelten.		'''(6)'''  Die Bedingung  $\sigma_y = \sigma_x$  ist gleichbedeutend mit  $\varphi_y(\tau = 0)= \varphi_x(\tau = 0)$.
			*Da zudem  $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$  vorgegeben ist, muss deshalb auch  ${\it \Phi}_{y}(f= 0) = 3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$  gelten.
	*Daraus erhält man:		*Daraus erhält man:
	:$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\it \Phi_y (f \rm = 0)}{\it \Phi_x (f = \rm 0)}} = \sqrt		:$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\it \Phi_y (f \rm = 0)}{\it \Phi_x (f = \rm 0)}} = \sqrt

Guenter am 7. Dezember 2019 um 12:59 Uhr

2019-12-07T12:59:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Dezember 2019, 14:59 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID487__Sto_A_5_1.png\|right\|frame\|Gaußsche AKF am Eingang und Ausgang]]		[[Datei:P_ID487__Sto_A_5_1.png\|right\|frame\|Gaußsche AKF am <br>Eingang und Ausgang]]
	Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang $H(f)$ liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal $x(t)$ mit folgender Autokorrelationsfunktion (AKF) an:		Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang  $H(f)$  liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal  $x(t)$  mit folgender Autokorrelationsfunktion (AKF) an:
	:$${\it \~~varphi_~~{x}(\tau)} = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau		:$${\it \varphi}_{x}(\tau) = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau
	/{\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$		/{\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$

	Diese AKF ist in ~~der nebenstehenden~~ Grafik oben dargestellt.		Diese AKF ist in nebenstehender Grafik oben dargestellt.

	Das Filter sei gaußförmig mit der Gleichsignalverstärkung $H_0$ und der äquivalenten Bandbreite $\Delta f$. Für den Frequenzgang kann somit geschrieben werden:		Das Filter sei gaußförmig mit der Gleichsignalverstärkung  $H_0$  und der äquivalenten Bandbreite  $\Delta f$.  Für den Frequenzgang kann somit geschrieben werden:
	:$$H(f) = H_{\rm 0} \cdot{\rm e}^{- \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2}.$$		:$$H(f) = H_{\rm 0} \cdot{\rm e}^{- \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2}.$$

	Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen die beiden Filterparameter $H_0$ und $\Delta f$ so dimensioniert werden, dass das Ausgangssignal $y(t)$ eine AKF entsprechend der unteren Skizze aufweist.		Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen die beiden Filterparameter  $H_0$  und  $\Delta f$  so dimensioniert werden, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  eine AKF entsprechend der unteren Skizze aufweist.





Zeile 21:		Zeile 24:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie\|Stochastische Systemtheorie]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie\|Stochastische Systemtheorie]].
	*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].		*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].

	*Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:		*Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:
Zeile 38:		Zeile 41:


	{Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer des Signals $x(t)$. ~~<br>~~Wie kann diese allgemein ermittelt werden?		{Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer  $\nabla\tau_x$  des Signals  $x(t)$.  Wie kann diese allgemein ermittelt werden?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\nabla\tau_x \ = \ $ { 1 3% } $\ µ s$		$\nabla\tau_x \ = \ $ { 1 3% } $\ µ s$


	{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ des Eingangsignals? ~~<br>~~Wie groß ist der LDS-Wert bei $f= 0$?		{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$ des Eingangsignals?  Wie groß ist der LDS-Wert bei $f= 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\it Φ}_x(f=0) \ = \ $ { 40 3% } $\ \cdot 10^{-9}\ \rm V^2/Hz$		${\it Φ}_x(f=0) \ = \ $ { 40 3% } $\ \cdot 10^{-9}\ \rm V^2/Hz$


	{Berechnen Sie das LDS ${\it Φ}_y(f)$ am Filterausgang allgemein als Funktion von $\sigma_x$, $\nabla \tau_x$, $H_0$ und $\Delta f$. ~~<br>~~Welche Aussagen treffen zu?		{Berechnen Sie das LDS  ${\it Φ}_y(f)$  am Filterausgang allgemein als Funktion von  $\sigma_x$,  $\nabla \tau_x$,  $H_0$  und  $\Delta f$.  Welche Aussagen treffen zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Das LDS ${\it Φ}_y(f)$ ist ebenfalls gaußförmig.		+ Das LDS  ${\it Φ}_y(f)$  ist ebenfalls gaußförmig.
	- Je kleiner $\Delta f$ ist, um so breiter ist ${\it Φ}_y(f)$.		- Je kleiner  $\Delta f$  ist, um so breiter ist  ${\it Φ}_y(f)$.
	+ $H_0$ beeinflusst nur die Höhe, aber nicht die Breite von ${\it Φ}_y(f)$.		+ $H_0$  beeinflusst nur die Höhe, aber nicht die Breite von  ${\it Φ}_y(f)$.


	{Wie groß muss die äquivalente Filterbandbreite $\Delta f$ gewählt werden, damit für die äquivalente AKF-Dauer $\nabla \tau_y = 3 \ \rm µ s$ gilt?		{Wie groß muss die äquivalente Filterbandbreite  $\Delta f$  gewählt werden, damit für die äquivalente AKF-Dauer  $\nabla \tau_y = 3 \ \rm µ s$  gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\Delta f \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm MHz$		$\Delta f \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm MHz$


	{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor $H_0$ wählen, damit die Bedingung $\sigma_y = \sigma_x$ erfüllt wird?		{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor  $H_0$  wählen, damit die Bedingung  $\sigma_y = \sigma_x$  erfüllt wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$H_0 \ = \ $ { 1.732 3% }		$H_0 \ = \ $ { 1.732 3% }

Guenter am 23. August 2018 um 06:42 Uhr

2018-08-23T06:42:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. August 2018, 08:42 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei $\tau = 0$, also $\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$. Daraus folgt $\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$.		'''(1)'''  Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei $\tau = 0$, also  $\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$. Daraus folgt  $\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$ .

	~~'''(2)'''  Die äquivalente AKF-Dauer kann man über das flächengleiche Rechteck ermitteln. Gemäß Skizze erhält man $\nabla \tau_x\hspace{0.15cm}\underline {= 1 \ \rm \mu s}$.~~

	'''(3)'''  Das LDS ist die Fouriertransformierte der AKF. Mit der gegebenen Fourierkorrespondenz gilt:		'''(2)'''  Die äquivalente AKF-Dauer kann man über das flächengleiche Rechteck ermitteln. Gemäß der Skizze erhält man  $\nabla \tau_x\hspace{0.15cm}\underline {= 1 \ \rm \mu s}$.
	:$${\it \~~Phi_~~{x}(f)} = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot

			'''(3)'''  Das LDS ist die Fouriertransformierte der AKF.
			*Mit der gegebenen Fourierkorrespondenz gilt:
			:$${\it \Phi}_{x}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot
	{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$		{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$

	Bei der Frequenz $f = 0$ erhält man:		*Bei der Frequenz $f = 0$ erhält man:
	:$${\it \~~Phi_~~{x}(f ~~{\rm~~ = 0)}} = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x =		:$${\it \Phi}_{x}(f = 0) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x =
	\rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 40		\rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 40
	\cdot 10^{-9} \hspace{0.1cm} V^2 / Hz}.$$		\cdot 10^{-9} \hspace{0.1cm} V^2 / Hz}.$$


	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Allgemein gilt ~~mit~~ ${\it \~~Phi_~~{y}(f)} = {\it \~~Phi_~~{x}(f)} \cdot \|H(f)\|^2$. Daraus folgt:		*Allgemein gilt ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot \|H(f)\|^2$. Daraus folgt:
	:$${\it \~~Phi_~~{y}(f)} = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot		:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot
	{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \cdot f)^2}\cdot H_{\rm 0}^2		{\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \cdot f)^2}\cdot H_{\rm 0}^2
	\cdot{\rm e}^{- 2 \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2} .$$		\cdot{\rm e}^{- 2 \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2} .$$
	*Durch Zusammenfassen der beiden Exponentialfunktionen erhält man:		*Durch Zusammenfassen der beiden Exponentialfunktionen erhält man:
	:$${\it \~~Phi_~~{y}(f)} = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot		:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot
	{\rm e}^{- \pi\cdot ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/(\Delta f^2) ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$		{\rm e}^{- \pi\cdot ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/(\Delta f^2) ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$
	*Auch ${\it \~~Phi_~~{y}(f)}$ ist gaußförmig und nie breiter als ${\it \~~Phi_~~{x}(f)}$. Für $f \to \infty$ gilt die Näherung ${\it \~~Phi_~~{y}(f)} \approx {\it \~~Phi_~~{x}(f)}$.		*Auch ${\it \Phi}_{y}(f)$ ist gaußförmig und nie breiter als ${\it \Phi}_{x}(f)$. Für $f \to \infty$ gilt die Näherung ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.
	*Mit kleiner werdendem $\Delta f$ wird ${\it \~~Phi_~~{y}(f)}$ immer schmäler (also ist die zweite Aussage falsch).		*Mit kleiner werdendem $\Delta f$ wird ${\it \Phi}_{y}(f)$ immer schmäler (also ist die zweite Aussage falsch).
	*$H_0$ beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe, aber nicht die Breite des LDS.		*$H_0$ beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe, aber nicht die Breite des LDS.



	'''(5)'''  Analog zum Aufgabenteil (1) kann für das LDS des Ausgangssignals $y(t)$ geschrieben werden:		'''(5)'''  Analog zum Aufgabenteil '''(1)''' kann für das LDS des Ausgangssignals $y(t)$ geschrieben werden:
	:$${\it \~~Phi_~~{y}(f)} = \sigma_y^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_y \cdot		:$${\it \Phi}_{y}(f) = \sigma_y^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_y \cdot
	{\rm e}^{- \pi \cdot {\rm \nabla} \tau_y^2 \cdot f^2 }.$$		{\rm e}^{- \pi \cdot {\rm \nabla} \tau_y^2 \cdot f^2 }.$$

	Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus (4) ergibt sich:		*Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus '''(4)''' ergibt sich:
	:$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm		:$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm
	\Delta} f^2}.$$		\Delta} f^2}.$$
	Löst man die Gleichung nach $\Delta f$ auf und berücksichtigt die Werte $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm ~~\mu~~ s}$ und		*Löst man die Gleichung nach $\Delta f$ auf und berücksichtigt die Werte $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm µ s}$ und $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm µ s}$, so folgt:
	$\nabla \tau_y {= 3 \ \rm ~~\mu~~ s}$, so folgt:
	:$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm		:$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm
	\nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz		\nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz
	\hspace{0.15cm} \underline{= 0.5\hspace{0.1cm} MHz} .$$		\hspace{0.15cm} \underline{= 0.5\hspace{0.1cm} MHz} .$$

	'''(6)'''  Die Bedingung $\sigma_y = \sigma_x$ ist gleichbedeutend mit $\varphi_y(\tau = 0)= \varphi_x(\tau = 0)$. Da zudem $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$ vorgegeben ist, muss deshalb auch ${\it \Phi}_{y}(f= 0) = 3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$ gelten. Daraus erhält man:
			'''(6)'''  Die Bedingung $\sigma_y = \sigma_x$ ist gleichbedeutend mit $\varphi_y(\tau = 0)= \varphi_x(\tau = 0)$.
			*Da zudem $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$ vorgegeben ist, muss deshalb auch ${\it \Phi}_{y}(f= 0) = 3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$ gelten.
			*Daraus erhält man:
	:$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\it \Phi_y (f \rm = 0)}{\it \Phi_x (f = \rm 0)}} = \sqrt		:$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\it \Phi_y (f \rm = 0)}{\it \Phi_x (f = \rm 0)}} = \sqrt
	{3}\hspace{0.15cm} \underline{=1.732}.$$		{3}\hspace{0.15cm} \underline{=1.732}.$$

Guenter am 23. August 2018 um 06:27 Uhr

2018-08-23T06:27:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. August 2018, 08:27 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID487__Sto_A_5_1.png\|right\|Gaußsche AKF am Eingang und Ausgang]]		[[Datei:P_ID487__Sto_A_5_1.png\|right\|frame\|Gaußsche AKF am Eingang und Ausgang]]
	Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang $H(f)$ liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal $x(t)$ mit folgender Autokorrelationsfunktion (AKF) an:		Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang $H(f)$ liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal $x(t)$ mit folgender Autokorrelationsfunktion (AKF) an:
	:$${\it \varphi_{x}(\tau)} = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau		:$${\it \varphi_{x}(\tau)} = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau
Zeile 14:		Zeile 14:

	Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen die beiden Filterparameter $H_0$ und $\Delta f$ so dimensioniert werden, dass das Ausgangssignal $y(t)$ eine AKF entsprechend der unteren Skizze aufweist.		Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen die beiden Filterparameter $H_0$ und $\Delta f$ so dimensioniert werden, dass das Ausgangssignal $y(t)$ eine AKF entsprechend der unteren Skizze aufweist.






	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie\|Stochastische Systemtheorie]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie\|Stochastische Systemtheorie]].
	*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|~~ZAutokorrelationsfunktion~~]].		*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].

	*Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:		*Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:
	:$${\rm e}^{- \pi (f/{\rm \Delta} f)^2}		:$${\rm e}^{- \pi (f/{\rm \Delta} f)^2} \hspace{0.15cm}
	\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!\hspace{0.03cm}\circ \hspace{0.15cm}{\rm \Delta} f \cdot		\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!\hspace{0.03cm}\circ \hspace{0.15cm}{\rm \Delta} f \cdot
	{\rm e}^{- \pi ({\rm \Delta} f \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} t)^2}.$$		{\rm e}^{- \pi ({\rm \Delta} f \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} t)^2}.$$
Zeile 31:		Zeile 35:
	{Wie groß ist der Effektivwert des Filtereingangssignals?		{Wie groß ist der Effektivwert des Filtereingangssignals?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\sigma_x \ = $ { 0.2 3% } $\ \rm V$		$\sigma_x \ = \ $ { 0.2 3% } $\ \rm V$


	{Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer des Signals $x(t)$. Wie kann diese allgemein ermittelt werden?		{Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer des Signals $x(t)$. <br>Wie kann diese allgemein ermittelt werden?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\nabla\tau_x \ = $ { 1 3% } $\ ~~\mu~~ s$		$\nabla\tau_x \ = \ $ { 1 3% } $\ µ s$


	{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ des Eingangsignals? Wie groß ist der LDS-Wert bei $f= 0$?		{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ des Eingangsignals? <br>Wie groß ist der LDS-Wert bei $f= 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\it Φ}_x(f=0) \ = $ { 40 3% } $\ \cdot 10^{-9}\ \rm V^2/Hz$		${\it Φ}_x(f=0) \ = \ $ { 40 3% } $\ \cdot 10^{-9}\ \rm V^2/Hz$


	{Berechnen Sie das LDS ${\it Φ}_y(f)$ am Filterausgang allgemein als Funktion von $\sigma_x$, $\nabla \tau_x$, $H_0$ und $\Delta f$. Welche Aussagen treffen zu?		{Berechnen Sie das LDS ${\it Φ}_y(f)$ am Filterausgang allgemein als Funktion von $\sigma_x$, $\nabla \tau_x$, $H_0$ und $\Delta f$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Das LDS ${\it Φ}_y(f)$ ist ebenfalls gaußförmig.		+ Das LDS ${\it Φ}_y(f)$ ist ebenfalls gaußförmig.
Zeile 51:		Zeile 55:


	{Wie groß muss die äquivalente Filterbandbreite $\Delta f$ gewählt werden, damit für die äquivalente AKF-Dauer $\nabla \tau_y = 3 \ \rm ~~\mu~~ s$ gilt?		{Wie groß muss die äquivalente Filterbandbreite $\Delta f$ gewählt werden, damit für die äquivalente AKF-Dauer $\nabla \tau_y = 3 \ \rm µ s$ gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\Delta f \ = $ { 0.5 3% } $\ \rm MHz$		$\Delta f \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm MHz$


	{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor $H_0$ wählen, damit die Bedingung $\sigma_y = \sigma_x$ erfüllt wird?		{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor $H_0$ wählen, damit die Bedingung $\sigma_y = \sigma_x$ erfüllt wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$H_0 \ = $ { 1.732 3% }		$H_0 \ = \ $ { 1.732 3% }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:54Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie\|Stochastische Systemtheorie]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie\|Stochastische Systemtheorie]].
	*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|ZAutokorrelationsfunktion]].		*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|ZAutokorrelationsfunktion]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:		*Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:
	:$${\rm e}^{- \pi (f/{\rm \Delta} f)^2}		:$${\rm e}^{- \pi (f/{\rm \Delta} f)^2}

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:5.1 Gaußsche AKF und Gaußtiefpass nach Aufgaben:Aufgabe 5.1: Gaußsche AKF und Gaußtiefpass

2018-01-03T13:48:06Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:5.1 Gaußsche AKF und Gaußtiefpass nach Aufgaben:Aufgabe 5.1: Gaußsche AKF und Gaußtiefpass

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(kein Unterschied)