Aufgaben:Aufgabe 5.1: Fehlerabstandsverteilung - Versionsgeschichte

Guenter am 5. September 2022 um 15:12 Uhr

2022-09-05T15:12:57Z

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2022-09-05T15:02:24Z

Guenter am 22. März 2019 um 16:47 Uhr

2019-03-22T16:47:53Z

Guenter am 22. März 2019 um 16:47 Uhr

2019-03-22T16:47:26Z

Guenter am 22. März 2019 um 16:37 Uhr

2019-03-22T16:37:39Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:36Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:39:33Z

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Guenter am 29. November 2017 um 15:20 Uhr

2017-11-29T15:20:24Z

Guenter am 29. November 2017 um 15:12 Uhr

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Guenter am 29. November 2017 um 14:32 Uhr

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Auswertung der Fehlerabstandsfolge weist auf Fehler bei $\nu = 2, 5, 6, 10, 12, 17, 18, 19, 22, 26, 27$ und $29$ hin.
+'''(1)'''&nbsp; Die Auswertung der Fehlerabstandsfolge weist auf Fehler bei &nbsp; $\nu = 2, 5, 6, 10, 12, 17, 18, 19, 22, 26, 27$&nbsp; und&nbsp; $29$&nbsp; hin.
 *Daraus folgt: &nbsp; $e_{\rm 16} \ \underline {= 0}$, &nbsp; &nbsp; $e_{\rm 17} \ \underline {= 1}$, &nbsp; &nbsp; $e_{\rm 18} \ \underline {= 1}$.
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-'''(3)'''&nbsp; Es gilt ${\rm Pr}(a = k) = V_a(k) \, &ndash;V_a(k+1)$. Daraus erhält man für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
+'''(3)'''&nbsp; Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(a = k) = V_a(k) \, &ndash;V_a(k+1)$.&nbsp; Daraus erhält man für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
 :$${\rm Pr}(a = 1)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(1) - V_a(2) = 1 - 0.7\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}\hspace{0.05cm},$$
 :$${\rm Pr}(a = 2)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(2) - V_a(3) = 0.7 - 0.45 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm},$$
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-'''(4)'''&nbsp; Aus $V_a(k=6) = {\rm Pr}(a &#8805; 6) = 0$ folgt für den maximalen Fehlerabstand direkt $k_{\rm max} \ \underline {= 5}$.
+'''(4)'''&nbsp; Aus &nbsp; $V_a(k=6) = {\rm Pr}(a &#8805; 6) = 0$ &nbsp; folgt für den maximalen Fehlerabstand direkt
-'''(5)'''&nbsp; Mit den unter '''(3)''' berechneten Wahrscheinlichkeiten ergibt sich für den gesuchten Erwartungswert:
+'''(5)'''&nbsp; Mit den unter&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechneten Wahrscheinlichkeiten ergibt sich für den gesuchten Erwartungswert:
 :$${\rm E}\big[a \big] = \sum_{k = 1}^{5} k \cdot {\rm Pr}(a = k) =  1 \cdot 0.3 +2 \cdot 0.25 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.15 +5 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 2.5}
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(6)'''&nbsp; Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist der Kehrwert des mittleren Fehlerabstands: &nbsp; $p_{\rm M} \ \underline {= 0.4}$.
+'''(6)'''&nbsp; Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist der Kehrwert des mittleren Fehlerabstands: &nbsp;
-'''(7)'''&nbsp; Mit Sicherheit stimmt nur die <u>Aussage 1</u>:
+* Ebenso ist für den Erwartungswert&nbsp; ${\rm E}[a]$&nbsp; augrund fehlender Angaben keine endgültige Aussage möglich.&nbsp; Mit $V_a(7) = 0$&nbsp; würde sich ergeben:
 :$${\rm E}[a] =  2 \cdot 0.1 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.2 +5 \cdot 0.2 +6 \cdot 0.3=
-.4$$
+.4.$$
 *Ohne diese Angabe ist nur die Aussage ${\rm E}[a] &#8805; 4.4$ möglich. Damit gilt aber für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit die Bedingung $p_{\rm M} < 1/4.4 < 0.227$.
 *Die Aussage 3 trifft also auch nicht mit Sicherheit zu.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1827__Dig_A_5_1.png|right|frame|Fehlerabstandsverteilungen]]
 Ein jedes digitales Kanalmodell kann in gleicher Weise beschrieben werden durch
-* die Fehlerfolge &nbsp;$&#9001;e_{\rm \nu}&#9002;$, und
+* die Fehlerfolge &nbsp;$&#9001;e_{\rm \nu}&#9002;$,&nbsp; und
 * die Fehlerabstandsfolge &nbsp;$&#9001;a_{\rm \nu \hspace{0.05cm}'}&#9002;$.
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 Man erkennt daraus beispielsweise:
-* Der Fehlerabstand&nbsp; $a_2 = 3$&nbsp; bedeutet, dass zwischen dem ersten und dem zweiten Fehler zwei fehlerfreie Symbole liegen.
+* Der Fehlerabstand&nbsp; $a_2 = 3$&nbsp; bedeutet,&nbsp; dass zwischen dem ersten und dem zweiten Fehler zwei fehlerfreie Symbole liegen.
 * Dagegen  deutet&nbsp; $a_3 = 1$&nbsp; darauf hin, dass nach dem zweiten Fehler direkt ein dritter folgt.
-Die unterschiedlichen Indizes &nbsp;$(\nu$&nbsp; und&nbsp; $\nu\hspace{0.05cm} '$, jeweils beginnend mit &nbsp;$1$)&nbsp; sind erforderlich, da keine Synchronität zwischen der Fehlerabstandsfolge und der Fehlerfolge besteht.
+Die unterschiedlichen Indizes &nbsp;$(\nu$&nbsp; und&nbsp; $\nu\hspace{0.05cm} '$,&nbsp; jeweils beginnend mit &nbsp;$1)$&nbsp; sind erforderlich,&nbsp; da keine Synchronität zwischen der Fehlerabstandsfolge und der Fehlerfolge besteht.
-In der Grafik ist für zwei verschiedene Modelle &nbsp;$M_1$&nbsp; und &nbsp;$M_2$&nbsp; die Fehlerabstandsverteilung (FAV)
+In der Grafik ist für zwei verschiedene Modelle &nbsp;$M_1$&nbsp; und &nbsp;$M_2$&nbsp; die Fehlerabstandsverteilung&nbsp; $\rm (FAV)$
 :$$V_a(k) =  {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k}  {\rm Pr}(a = \kappa)\hspace{0.05cm}$$
-angegeben. Diese Tabelle soll in dieser Aufgabe ausgewertet werden.
+angegeben.&nbsp; Diese Tabelle soll in dieser Aufgabe ausgewertet werden.
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-''Hinweis:''
+<u>Hinweis:</u>&nbsp;  Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Beschreibungsgr%C3%B6%C3%9Fen_digitaler_Kanalmodelle| "Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle"]].

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle}}
-[[Datei:P_ID1827__Dig_A_5_1.png|right|frame|Zwei Fehlerabstandsverteilungen]]
+[[Datei:P_ID1827__Dig_A_5_1.png|right|frame|Fehlerabstandsverteilungen]]
 Ein jedes digitales Kanalmodell kann in gleicher Weise beschrieben werden durch
 * die Fehlerfolge &nbsp;$&#9001;e_{\rm \nu}&#9002;$, und

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 {Berechnen Sie für das Modell&nbsp; $M_1$&nbsp; den mittleren Fehlerabstand.
 |type="{}"}
-${\rm E}[a] \ = \ ${ 2.5 3% }
+${\rm E}\big[a \big] \ = \ ${ 2.5 3% }
 {Wie groß ist  beim Modell&nbsp; $M_1$&nbsp; die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M} = {\rm E}[e]$?
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Auswertung der Fehlerabstandsfolge weist auf Fehler bei $\nu = 2, 5, 6, 10, 12, 17, 18, 19, 22, 26, 27$ und $29$ hin. Daraus folgt:
+'''(1)'''&nbsp; Die Auswertung der Fehlerabstandsfolge weist auf Fehler bei $\nu = 2, 5, 6, 10, 12, 17, 18, 19, 22, 26, 27$ und $29$ hin.
-* $e_{\rm 16} \ \underline {= 0}$,
+*Daraus folgt: &nbsp; $e_{\rm 16} \ \underline {= 0}$, &nbsp; &nbsp; $e_{\rm 17} \ \underline {= 1}$, &nbsp; &nbsp; $e_{\rm 18} \ \underline {= 1}$.
 '''(2)'''&nbsp; Aus der Definitionsgleichung folgt bereits
 :$$V_a(k = 1) =  {\rm Pr}(a \ge 1)\hspace{0.15cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Es gilt ${\rm Pr}(a = k) = V_a(k) \, &ndash;V_a(k+1)$. Daraus erhält man für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
@@ Zeile 95: / Zeile 94: @@
 :$${\rm Pr}(a = 5)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(5) -
 V_a(6) = 0.10 - 0 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.10}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Aus $V_a(k=6) = {\rm Pr}(a &#8805; 6) = 0$ folgt für den maximalen Fehlerabstand direkt $k_{\rm max} \ \underline {= 5}$.
-'''(5)'''&nbsp; Mit den unter (3) berechneten Wahrscheinlichkeiten ergibt sich für den gesuchten Erwartungswert:
+'''(5)'''&nbsp; Mit den unter '''(3)''' berechneten Wahrscheinlichkeiten ergibt sich für den gesuchten Erwartungswert:
-:$${\rm E}[a] = \sum_{k = 1}^{5} k \cdot {\rm Pr}(a = k) =  1 \cdot 0.3 +2 \cdot 0.25 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.15 +5 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 2.5}
+:$${\rm E}\big[a \big] = \sum_{k = 1}^{5} k \cdot {\rm Pr}(a = k) =  1 \cdot 0.3 +2 \cdot 0.25 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.15 +5 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 2.5}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist der Kehrwert des mittleren Fehlerabstands: $p_{\rm M} \ \underline {= 0.4}$.
 '''(7)'''&nbsp; Mit Sicherheit stimmt nur die <u>Aussage 1</u>:
-*Die Aussage 1 stimmt, da ${\rm Pr}(a = 1) = V_a(1) \, &ndash; V_a(2) = 0$ ist.
+*Die erste Aussage stimmt, weil ${\rm Pr}(a = 1) = V_a(1) \, &ndash; V_a(2) = 0$ ist.
-* Die zweite Aussage ist nicht sicher, da $V_a(6)$ nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a &#8805; 6)$ angibt, aber nicht ${\rm Pr}(a = 6)$ allein. Nur mit der zusätzlichen Angabe $V_a(7) = 0$ würde die Aussage 2 zutreffen.
+* Die zweite Aussage ist nicht sicher, da $V_a(6)$ nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a &#8805; 6)$ angibt, aber nicht ${\rm Pr}(a = 6)$ allein.
-* Ebenso ist für den Erwartungswert ${\rm E}[a]$ augrund fehlender Angaben keine endgültige Aussage möglich. Mit $V_a(7 = 0)$ würde sich ergeben.:
+*Nur mit der zusätzlichen Angabe $V_a(7) = 0$ würde die Aussage 2 zutreffen.
 :$${\rm E}[a] =  2 \cdot 0.1 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.2 +5 \cdot 0.2 +6 \cdot 0.3=
 .4$$
-*Ohne diese Angabe ist nur die Aussage ${\rm E}[a] &#8805; 4.4$ möglich. Damit gilt aber für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit die Bedingung $p_{\rm M} < 1/4.4 < 0.227$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Die Aussage 3 trifft also mit Sicherheit nicht zu. .
+*Ohne diese Angabe ist nur die Aussage ${\rm E}[a] &#8805; 4.4$ möglich. Damit gilt aber für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit die Bedingung $p_{\rm M} < 1/4.4 < 0.227$.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^5.1 Zu den Digitalen Kanalmodellen^]]

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle}}
-[[Datei:P_ID1827__Dig_A_5_1.png|right|frame|Gegebene Verteilung der Fehlerabstände]]
+[[Datei:P_ID1827__Dig_A_5_1.png|right|frame|Zwei Fehlerabstandsverteilungen]]
 Ein jedes digitales Kanalmodell kann in gleicher Weise beschrieben werden durch
-* die Fehlerfolge $&#9001;e_{\rm \nu}&#9002;$,
+* die Fehlerfolge &nbsp;$&#9001;e_{\rm \nu}&#9002;$, und
-* durch die Fehlerabstandsfolge $&#9001;a_{\rm \nu '}&#9002;$.
+* die Fehlerabstandsfolge &nbsp;$&#9001;a_{\rm \nu \hspace{0.05cm}'}&#9002;$.
@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
 Man erkennt daraus beispielsweise:
-* Der Fehlerabstand $a_2 = 3$ bedeutet, dass zwischen dem ersten und dem zweiten Fehler zwei fehlerfreie Symbole liegen.
+* Der Fehlerabstand&nbsp; $a_2 = 3$&nbsp; bedeutet, dass zwischen dem ersten und dem zweiten Fehler zwei fehlerfreie Symbole liegen.
-* Dagegen  deutet $a_3 = 1$ darauf hin, dass nach dem zweiten Fehler direkt ein dritter folgt.
+* Dagegen  deutet&nbsp; $a_3 = 1$&nbsp; darauf hin, dass nach dem zweiten Fehler direkt ein dritter folgt.
-Die unterschiedlichen Laufindizes ($\nu$ und $\nu\hspace{0.05cm} '$, jeweils beginnend mit $1$) sind erforderlich, da keine Synchronität zwischen der Fehlerabstandsfolge und der Fehlerfolge besteht.
+Die unterschiedlichen Indizes &nbsp;$(\nu$&nbsp; und&nbsp; $\nu\hspace{0.05cm} '$, jeweils beginnend mit &nbsp;$1$)&nbsp; sind erforderlich, da keine Synchronität zwischen der Fehlerabstandsfolge und der Fehlerfolge besteht.
-In der Grafik ist für zwei verschiedene Modelle $M_1$ und $M_2$ die Fehlerabstandsverteilung (FAV)
+In der Grafik ist für zwei verschiedene Modelle &nbsp;$M_1$&nbsp; und &nbsp;$M_2$&nbsp; die Fehlerabstandsverteilung (FAV)
 :$$V_a(k) =  {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k}  {\rm Pr}(a = \kappa)\hspace{0.05cm}$$
@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
-''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Beschreibungsgr%C3%B6%C3%9Fen_digitaler_Kanalmodelle| Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lauten die folgenden Fehlerwerte ($0$ oder $1$)?
+{Wie lauten die folgenden Fehlerwerte &nbsp;$(0$&nbsp; oder&nbsp; $1)$?
 |type="{}"}
 $e_{\rm 16} \ = \ $ { 0. }
@@ Zeile 43: / Zeile 46: @@
 $e_{\rm 18} \ = \ $ { 1 }
-{Wie groß ist bei beiden Modellen der Wert $V_a(k = 1)$?
+{Wie groß ist bei beiden Modellen der Wert&nbsp; $V_a(k = 1)$?
 |type="{}"}
 $V_a(k = 1) \ = \ $ { 1 }
-{Bestimmen Sie für das Modell $M_1$ die Wahrscheinlichkeiten der Fehlerabstände.
+{Bestimmen Sie für das Modell&nbsp; $M_1$&nbsp; die Wahrscheinlichkeiten der Fehlerabstände.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(a = 1) \ = \ $ { 0.3 3% }
@@ Zeile 55: / Zeile 58: @@
 ${\rm Pr}(a = 5) \ = \ $ { 0.1 3% }
-{Wie groß ist der maximal mögliche Fehlerabstand beim Modell $M_1$?
+{Wie groß ist der maximal mögliche Fehlerabstand beim Modell&nbsp; $M_1$?
 |type="{}"}
 $k_{\rm max} \ = \ ${ 5 }
-{Berechnen Sie für das Modell $M_1$ den mittleren Fehlerabstand.
+{Berechnen Sie für das Modell&nbsp; $M_1$&nbsp; den mittleren Fehlerabstand.
 |type="{}"}
 ${\rm E}[a] \ = \ ${ 2.5 3% }
-{Wie groß ist  beim Modell $M_1$ die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = {\rm E}[e]$?
+{Wie groß ist  beim Modell&nbsp; $M_1$&nbsp; die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M} = {\rm E}[e]$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm M} \ = \ ${ 0.4 3% }
-{Welche Aussagen stimmen für das Modell $M_2$ mit Sicherheit?
+{Welche Aussagen stimmen für das Modell&nbsp; $M_2$&nbsp; mit Sicherheit?
 |type="[]"}
 + Zwei Fehler können nicht direkt aufeinander folgen.
-- Der häufigste Fehlerabstand ist $a = 6$.
+- Der häufigste Fehlerabstand ist&nbsp; $a = 6$.
-- Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt $p_{\rm M} = 0.25$.
+- Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt&nbsp; $p_{\rm M} = 0.25$.
 </quiz>

@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 {Wie lauten die folgenden Fehlerwerte ($0$ oder $1$)?
 |type="{}"}
-$e_{\rm 16} \ = \ $ { 0 3% }
+$e_{\rm 16} \ = \ $ { 0. }
-$e_{\rm 17} \ = \ $ { 1 3% }
+$e_{\rm 17} \ = \ $ { 1 }
-$e_{\rm 18} \ = \ $ { 1 3% }
+$e_{\rm 18} \ = \ $ { 1 }
-{Wie groß ist bei beiden Modellen $V_a(k = 1)$?
+{Wie groß ist bei beiden Modellen der Wert $V_a(k = 1)$?
 |type="{}"}
-$V_a(k = 1) \ = \ $ { 1 3% }
+$V_a(k = 1) \ = \ $ { 1 }
-{Bestimmen Sie für das Modell $M_1$ die Wahrscheinlichkeiten der Fehlerabstände.
+{Bestimmen Sie für das '''Modell $M_1$''' die Wahrscheinlichkeiten der Fehlerabstände.
 |type="{}"}
-$M_1 \text {:} \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(a = 1) \ = \ $ { 0.3 3% }
+${\rm Pr}(a = 1) \ = \ $ { 0.3 3% }
-$M_1 \text {:} \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(a = 2) \ = \ $ { 0.25 3% }
+${\rm Pr}(a = 2) \ = \ $ { 0.25 3% }
-$M_1 \text {:} \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(a = 3) \ = \ $ { 0.2 3% }
+${\rm Pr}(a = 3) \ = \ $ { 0.2 3% }
-$M_1 \text {:} \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(a = 4) \ = \ $ { 0.15 3% }
+${\rm Pr}(a = 4) \ = \ $ { 0.15 3% }
-$M_1 \text {:} \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(a = 5) \ = \ $ { 0.1 3% }
+${\rm Pr}(a = 5) \ = \ $ { 0.1 3% }
-{Wie groß ist der maximal mögliche Fehlerabstand?
+{Wie groß ist der maximal mögliche Fehlerabstand beim '''Modell $M_1$'''?
 |type="{}"}
-$M_1 \text {:} \hspace{0.2cm} k_{\rm max} \ = \ ${ 5 3% }
+$k_{\rm max} \ = \ ${ 5 }
-{Berechnen Sie den mittleren Fehlerabstand.
+{Berechnen Sie für das '''Modell $M_1$''' den mittleren Fehlerabstand.
 |type="{}"}
-$M_1 \text {:} \hspace{0.2cm} {\rm E}[a] \ = \ ${ 2.5 3% }
+${\rm E}[a] \ = \ ${ 2.5 3% }
-{Wie groß ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = {\rm E}[e]$?
+{Wie groß ist  beim '''Modell $M_1$''' die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = {\rm E}[e]$?
 |type="{}"}
-$M_1 \text {:} \hspace{0.2cm} p_{\rm M} \ = \ ${ 0.4 3% }
+$p_{\rm M} \ = \ ${ 0.4 3% }
-{Welche Aussagen stimmen für das Model $M_2$ mit Sicherheit?
+{Welche Aussagen stimmen für das '''Modell $M_2$''' mit Sicherheit?
 |type="[]"}
 + Zwei Fehler können nicht direkt aufeinander folgen.