Aufgaben:Aufgabe 4.9: Höherstufige Modulation - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:38:04Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:38 Uhr
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	[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^4.3 AWGN & wertdiskreter Eingang^]]		[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^4.3 AWGN & wertdiskreter Eingang^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.9:_Higher-Level_Modulation]]

Guenter am 4. November 2021 um 13:44 Uhr

2021-11-04T13:44:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2021, 15:44 Uhr
Zeile 82:		Zeile 82:
	:$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$		:$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$
	*Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall  "Zweier unabhängiger Gaußkanäle"  mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.		*Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall  "Zweier unabhängiger Gaußkanäle"  mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.



Zeile 89:		Zeile 88:
	*Würde man  $E_{\rm S}$  durch  $E_{\rm B}$  ersetzen,  so wäre auch die Aussage 3 richtig.		*Würde man  $E_{\rm S}$  durch  $E_{\rm B}$  ersetzen,  so wäre auch die Aussage 3 richtig.
	*Für  $E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$  gilt nämlich  $C_{\rm Gauß} &equiv; 0$  und damit auch  $C_{\rm BPSK} &equiv; 0$.		*Für  $E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$  gilt nämlich  $C_{\rm Gauß} &equiv; 0$  und damit auch  $C_{\rm BPSK} &equiv; 0$.



Zeile 97:		Zeile 95:
	*Die Aussagen gelten auch, wenn Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit für gewisse  $E_{\rm S}/{N_0}$–Wertenicht zu unterscheiden sind.		*Die Aussagen gelten auch, wenn Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit für gewisse  $E_{\rm S}/{N_0}$–Wertenicht zu unterscheiden sind.
	*Aus dem Grenzwert  $C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$  für  $E_{\rm S}/{N_0} → ∞$  ergibt sich der Symbolumfang  $M_X = \|X\| = 4$.  <br>Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK.  $M_X = \|X\| = 2$  würde für die BPSK gelten.		*Aus dem Grenzwert  $C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$  für  $E_{\rm S}/{N_0} → ∞$  ergibt sich der Symbolumfang  $M_X = \|X\| = 4$.  <br>Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK.  $M_X = \|X\| = 2$  würde für die BPSK gelten.
	*Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;$\rm 2 ~~bit/Kanalzugriff$”.~~		*Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;$\rm 2 \ bit/Kanalzugriff$”.  Für kleine  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte liegt aber die Kanalkapazität  $C_{\rm 4–QAM}$  oberhalb der roten Kurve,  da  $C_{\rm rot}$  von der Gauß–Grenzkurve  $C_2$  begrenzt wird, $C_{\rm 4–QAM}$  aber von  $C_3$.  Die Bezeichnungen  $C_2$  und  $C_3$  beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe  '''(1)'''.
	*Aus dem Grenzwert  $C_{\~~rm rot}= 2~~ bit/Kanalzugriff$”.  Für kleine  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte liegt aber die Kanalkapazität  $C_{\rm 4–QAM}$  oberhalb der roten Kurve, da  $C_{\rm rot}$  von der Gauß–Grenzkurve  $C_2$  begrenzt wird, $C_{\rm 4–QAM}$  aber von  $C_3$.


	Die Bezeichnungen  $C_2$  und  $C_3$  beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe  '''(1)'''.




	[[Datei:P_ID2954__Inf_A_4_9e.png\|right\|frame\|Kanalkapazitätsgrenzen für <br>BPSK, 4–ASK und 8–ASK]]		[[Datei:P_ID2954__Inf_A_4_9e.png\|right\|frame\|Kanalkapazitätsgrenzen für <br>BPSK, 4–ASK und 8–ASK]]
	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>:		<br><br>
			'''(4)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>:
	*Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.		*Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.
	*Die 8–PSK mit I– und Q–Komponente – also mit  $K = 2$  Dimensionen – liegt für kleine  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte etwas oberhalb der braunen Kurve   ⇒   die Antwort 3 ist falsch.		*Die 8–PSK mit I– und Q–Komponente – also mit  $K = 2$  Dimensionen – liegt für kleine  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte etwas oberhalb der braunen Kurve   ⇒   die Antwort 3 ist falsch.
Zeile 113:		Zeile 105:

	In der Grafik sind auch die beiden 8–ASK–Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 als Punkte eingezeichnet.		In der Grafik sind auch die beiden 8–ASK–Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 als Punkte eingezeichnet.
	* Der violette Punkt liegt über der ~~Kurve~~  $C_{\rm 8–ASK}$ ~~  ⇒~~   $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ reichen nicht ~~aus~~, um die 8–ASK fehlerfrei decodieren ~~zu können~~   ⇒   $R > C$   ⇒   ~~das~~ Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt   ⇒   Antwort 4 ist falsch.		* Der violette Punkt liegt über der  $C_{\rm 8–ASK}$.  $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$  reichen nicht, um die 8–ASK fehlerfrei zu decodieren   ⇒   $R > C_{\rm 8–ASK}$   ⇒   Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt   ⇒   Antwort 4 ist falsch.
	* Reduziert man aber die Coderate ~~gemäß dem gelben Punkt~~ bei gleichem $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ auf $R = 2 < C_{\rm 8–ASK}$, so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt   ⇒   Antwort 5 ist richtig.		* Reduziert man aber die Coderate bei gleichem  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$  auf  $R = 2 < C_{\rm 8–ASK}$   ⇒   gelber Punkt,  so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt   ⇒   Antwort 5 ist richtig.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 4. November 2021 um 11:55 Uhr

2021-11-04T11:55:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2021, 13:55 Uhr
Zeile 76:		Zeile 76:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig ist der <u>Vorschlag 2</u>, wie die Rechnung für  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$   ⇒   $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$ zeigt:		'''(1)'''  Richtig ist der  <u>Vorschlag 2</u>,  wie die Rechnung für  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$   ⇒   $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$  zeigt:
	:$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$		:$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$
	*Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:		*Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:
	:$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$		:$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$
	:$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$		:$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$
	*Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall ''Zweier unabhängiger Gaußkanäle'' mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.		*Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall  "Zweier unabhängiger Gaußkanäle"  mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.




	'''(2)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:		'''(2)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
	*Würde man  $E_{\rm S}$  durch  $E_{\rm B}$  ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig.		*Würde man  $E_{\rm S}$  durch  $E_{\rm B}$  ersetzen,  so wäre auch die Aussage 3 richtig.
	*Für  $E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$  gilt nämlich  $C_{\rm Gauß} &equiv; 0$  und damit auch  $C_{\rm BPSK} &equiv; 0$~~ ~~.		*Für  $E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$  gilt nämlich  $C_{\rm Gauß} &equiv; 0$  und damit auch  $C_{\rm BPSK} &equiv; 0$.




	'''(3)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 2, 3 und 5</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die  <u>Aussagen 2, 3 und 5</u>:
	*Der rote Kurvenzug  $C_{\rm rot}$  liegt stets oberhalb von  $C_{\rm BPSK}$ , aber unterhalb von  $C_{\rm braun}$  und der Shannon–Grenzkurve  $C_{\rm Gauß}$.		*Der rote Kurvenzug  $C_{\rm rot}$  liegt stets oberhalb von  $C_{\rm BPSK}$,  aber unterhalb von  $C_{\rm braun}$  und der Shannon–Grenzkurve  $C_{\rm Gauß}$.
	*Die Aussagen gelten auch, wenn für gewisse  $E_{\rm S}/{N_0}$–~~Werte Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht~~ zu unterscheiden sind.		*Die Aussagen gelten auch, wenn Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit für gewisse  $E_{\rm S}/{N_0}$–Wertenicht zu unterscheiden sind.
	*Aus dem Grenzwert  $C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$  für  $E_{\rm S}/{N_0} → ∞$  ergibt sich der Symbolumfang  $M_X = \|X\| = 4$.		*Aus dem Grenzwert  $C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$  für  $E_{\rm S}/{N_0} → ∞$  ergibt sich der Symbolumfang  $M_X = \|X\| = 4$.  <br>Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK.  $M_X = \|X\| = 2$  würde für die BPSK gelten.
	*Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK.  $M_X = \|X\| = 2$  würde für die BPSK gelten.		*Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;$\rm 2 bit/Kanalzugriff$”.
	*Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;2 bit/Kanalzugriff”.  Für kleine  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte liegt aber die Kanalkapazität  $C_{\rm 4–QAM}$  oberhalb der roten Kurve, da  $C_{\rm rot}$  von der Gauß–Grenzkurve  $C_2$  begrenzt wird, $C_{\rm 4–QAM}$  aber von  $C_3$.		*Aus dem Grenzwert  $C_{\rm rot}= 2 bit/Kanalzugriff$”.  Für kleine  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte liegt aber die Kanalkapazität  $C_{\rm 4–QAM}$  oberhalb der roten Kurve, da  $C_{\rm rot}$  von der Gauß–Grenzkurve  $C_2$  begrenzt wird, $C_{\rm 4–QAM}$  aber von  $C_3$.

Guenter am 4. November 2021 um 11:38 Uhr

2021-11-04T11:38:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2021, 13:38 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	Hinweise:		Hinweise:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax82~~-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax83~~-QINU.60.22.27.7F\|Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax84-QINU.60.22.27.7F\|Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]].
	*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen,  wird in den Gleichungen &bdquo;log”  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.		*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen,  wird in den Gleichungen &bdquo;log”  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.
	*Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben.		*Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben.

Guenter am 4. November 2021 um 11:37 Uhr

2021-11-04T11:37:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2021, 13:37 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	Die Grafik zeigt AWGN–Kanalkapazitätskurven über der Abszisse  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$:		Die Grafik zeigt AWGN–Kanalkapazitätskurven über der Abszisse  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$:
	* $C_\text{Gauß}$:    Shannonsche Grenzkurve,		* $C_\text{Gauß}$:    Shannonsche Grenzkurve,
	* $C_\text{BPSK}$:    gültig für ''Binary Phase Shift Keying''.		* $C_\text{BPSK}$:    gültig für  "Binary Phase Shift Keying"  $\rm (BPSK)$.


Zeile 15:		Zeile 15:


			Hinweise:

	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F\|~~Die~~ Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F\|Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]].
	*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen &bdquo;log”  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.		*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen,  wird in den Gleichungen &bdquo;log”  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.
	*Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben:		*Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben.


Zeile 27:		Zeile 25:
	[[Datei:P_ID2953__Inf_A_4_9_Zusatz.png\|right\|frame\|Vorgeschlagene Signalraumkonstellationen]]		[[Datei:P_ID2953__Inf_A_4_9_Zusatz.png\|right\|frame\|Vorgeschlagene Signalraumkonstellationen]]

	''Anmerkungen zur Nomenklatur'':		'''Anmerkungen zur Nomenklatur''':
	*In der Literatur wird manchmal die &bdquo;BPSK” auch mit &bdquo;2–ASK” bezeichnet		*In der Literatur wird manchmal die &bdquo;BPSK” auch mit &bdquo;2–ASK” bezeichnet:
	:$$x ∈ X = \{+1,\ -1\}.$$		:$$x ∈ X = \{+1,\ -1\}.$$
	*Dagegen verstehen wir ~~in unserem Lerntutorial $\rm LNTwww$~~ als &bdquo;ASK” den unipolaren Fall		*Dagegen verstehen wir hier als &bdquo;ASK” den unipolaren Fall:
	:$$x ∈ X = \{0,\ 1 \}.$$		:$$x ∈ X = \{0,\ 1 \}.$$
	*Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb:		*Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb:
	:$$C_\text{AK} < C_\text{BPSK}$$		:$$C_\text{ASK} < C_\text{BPSK}.$$

	Dieser Sachverhalt ist unerheblich für die Lösung der vorliegenden Aufgabe.		:Dieser Sachverhalt ist allerdings unerheblich für die Lösung der vorliegenden Aufgabe.


Zeile 43:		Zeile 41:
	{Welche Gleichung liegt der Shannon–Grenzkurve  $C_{\rm Gauß}$  zugrunde?		{Welche Gleichung liegt der Shannon–Grenzkurve  $C_{\rm Gauß}$  zugrunde?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es gilt   $C_{\rm Gauß} = C_1= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$ ,		- Es gilt   $C_{\rm Gauß} = C_1= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$,
	+ Es gilt   $C_{\rm Gauß} = C_2= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot E_{\rm S}/{N_0})$ ,		+ Es gilt   $C_{\rm Gauß} = C_2= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot E_{\rm S}/{N_0})$,
	- Es gilt   $C_{\rm Gauß} = C_3= {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$ .		- Es gilt   $C_{\rm Gauß} = C_3= {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$.


	{Welche Aussagen treffen für die grüne ~~Kurve~~  $C_{\rm BPSK}$&~~nbsp~~; zu?		{Welche Aussagen treffen für die grüne  $C_{\rm BPSK}$–Kurve zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $C_{\rm BPSK}$  kann nicht in geschlossener Form angegeben werden.		+ $C_{\rm BPSK}$  kann nicht in geschlossener Form angegeben werden.
	+ $C_{\rm BPSK}$  ist größer als Null, wenn  $E_{\rm S}/{N_0} > 0$  vorausgesetzt wird.		+ $C_{\rm BPSK}$  ist größer als Null,  wenn  $E_{\rm S}/{N_0} > 0$  vorausgesetzt wird.
	- Für  $E_{\rm S}/{N_0} < \ln (2)$  ist  $C_{\rm BPSK} &equiv; 0$.		- Für  $E_{\rm S}/{N_0} < \ln (2)$  ist  $C_{\rm BPSK} &equiv; 0$.
	+ Im gesamten Bereich gilt  $C_{\rm BPSK} < C_{\rm Gauß} $.		+ Im gesamten Bereich gilt  $C_{\rm BPSK} < C_{\rm Gauß} $.
Zeile 64:		Zeile 62:


	{Welche Aussagen treffen für die braune Kurve  $C_{\rm braun}$  zu?  ($p_{\rm B}$:   Bitfehlerwahrscheinlichkeit)		{Welche Aussagen treffen für die braune Kurve  $C_{\rm braun}$  zu? <br>Hinweis:  $p_{\rm B}$  bezeichnet hierbei die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Für die zugehörige Zufallsgröße  $X$  gilt  $M_X = \|X\| = 8$.		+ Für die zugehörige Zufallsgröße  $X$  gilt  $M_X = \|X\| = 8$.

Guenter am 19. Februar 2020 um 10:07 Uhr

2020-02-19T10:07:13Z

Guenter am 19. Februar 2020 um 09:11 Uhr

2020-02-19T09:11:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2020, 11:11 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax130~~-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax131~~-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]].
	*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen &bdquo;log”  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.		*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen &bdquo;log”  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.
	*Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben:		*Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben:
Zeile 69:		Zeile 69:
	+ $C_{\rm braun}$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–ASK.		+ $C_{\rm braun}$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–ASK.
	- $C_{\rm braun}$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–PSK.		- $C_{\rm braun}$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–PSK.
	- $p_{\rm B} &equiv; 0$ ist mit 8–ASK, $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich.		- $p_{\rm B} &equiv; 0$  ist mit 8–ASK,  $R = 2.5$  und  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$  möglich.
	+ $p_{\rm B} &equiv; 0$ ist mit 8–ASK, $R = 2$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich.		+ $p_{\rm B} &equiv; 0$  ist mit 8–ASK,  $R = 2$  und  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$  möglich.

Guenter am 19. Februar 2020 um 09:05 Uhr

2020-02-19T09:05:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2020, 11:05 Uhr
Zeile 29:		Zeile 29:
	''Anmerkungen zur Nomenklatur'':		''Anmerkungen zur Nomenklatur'':
	*In der Literatur wird manchmal die &bdquo;BPSK” auch mit &bdquo;2–ASK” bezeichnet		*In der Literatur wird manchmal die &bdquo;BPSK” auch mit &bdquo;2–ASK” bezeichnet
	:$$x ∈ X = \{+1, -1\}.$$		:$$x ∈ X = \{+1,\ -1\}.$$
	*Dagegen verstehen wir in unserem Lerntutorial $\rm LNTwww$ als &bdquo;ASK” den unipolaren Fall		*Dagegen verstehen wir in unserem Lerntutorial $\rm LNTwww$ als &bdquo;ASK” den unipolaren Fall
	:$$x ∈ X = \{0, 1 \}.$$		:$$x ∈ X = \{0,\ 1 \}.$$
	*Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb:		*Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb:
	:$$C_\text{AK} < C_\text{BPSK}$$		:$$C_\text{AK} < C_\text{BPSK}$$

	Dieser Sachverhalt ~~hat aber keinen Einfluss auf~~ die Lösung der vorliegenden Aufgabe.		Dieser Sachverhalt ist unerheblich für die Lösung der vorliegenden Aufgabe.

Guenter am 19. Februar 2020 um 09:03 Uhr

2020-02-19T09:03:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2020, 11:03 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID2952__Inf_A_4_9.png\|right\|frame\|Einige Kanalkapazitätskurven]]		[[Datei:P_ID2952__Inf_A_4_9.png\|right\|frame\|Einige Kanalkapazitätskurven]]
	Die Grafik zeigt AWGN–Kanalkapazitätskurven über der Abszisse $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$:		Die Grafik zeigt AWGN–Kanalkapazitätskurven über der Abszisse  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$:
	* $C_\text{Gauß}$:   Shannonsche Grenzkurve,		* $C_\text{Gauß}$:    Shannonsche Grenzkurve,
	* $C_\text{BPSK}$:   gültig für ''Binary Phase Shift Keying''.		* $C_\text{BPSK}$:    gültig für ''Binary Phase Shift Keying''.


			Die beiden weiteren Kurvenverläufe  $C_\text{rot}$  und  $C_\text{braun}$  sollen in den Teilaufgaben  '''(3)'''  und  '''(4)'''  analysiert und möglichen Modulationsverfahren zugeordnet werden.




	Die beiden weiteren Kurvenverläufe  $C_\text{rot}$  und  $C_\text{braun}$  sollen in den Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''' analysiert und möglichen Modulationsverfahren zugeordnet werden.



	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  ~~<br>~~[[Informationstheorie/~~AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang~~\|AWGN–Kanalkapazität bei ~~wertkontinuierlichem~~ Eingang]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  ~~<br>~~[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax128~~-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax129~~-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax130-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax131-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].
	*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen &bdquo;log”  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.		*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen &bdquo;log”  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.
	*Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben:		*Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben:
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	''Anmerkungen zur Nomenklatur'':		''Anmerkungen zur Nomenklatur'':
	*In der Literatur wird manchmal die BPSK auch mit 2–ASK bezeichnet		*In der Literatur wird manchmal die &bdquo;BPSK” auch mit &bdquo;2–ASK” bezeichnet
	:$$x ∈ X = \{+1, -1\}.$$		:$$x ∈ X = \{+1, -1\}.$$
	*Dagegen verstehen wir in unserem Lerntutorial $\rm LNTwww$ als ASK den unipolaren Fall		*Dagegen verstehen wir in unserem Lerntutorial $\rm LNTwww$ als &bdquo;ASK” den unipolaren Fall
	:$$x ∈ X = \{0, 1 \}.$$		:$$x ∈ X = \{0, 1 \}.$$
	*Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb:		*Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb:

Guenter am 20. Oktober 2018 um 14:48 Uhr

2018-10-20T14:48:28Z

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	'''(1)'''  Richtig ist der <u>Vorschlag 2</u>, wie die Rechnung für  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$   ⇒   $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$ zeigt:		'''(1)'''  Richtig ist der <u>Vorschlag 2</u>, wie die Rechnung für  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$   ⇒   $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$ zeigt:
	:$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$		:$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$
	Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:		*Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:
	:$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$		:$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$
	:$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$		:$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$
	Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall ''Zweier unabhängiger Gaußkanäle'' mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.		*Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall ''Zweier unabhängiger Gaußkanäle'' mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.




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	*Würde man  $E_{\rm S}$  durch  $E_{\rm B}$  ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig.		*Würde man  $E_{\rm S}$  durch  $E_{\rm B}$  ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig.
	*Für  $E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$  gilt nämlich  $C_{\rm Gauß} &equiv; 0$  und damit auch  $C_{\rm BPSK} &equiv; 0$ .		*Für  $E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$  gilt nämlich  $C_{\rm Gauß} &equiv; 0$  und damit auch  $C_{\rm BPSK} &equiv; 0$ .




	'''(3)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 2, 3 und 5</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 2, 3 und 5</u>:
	*Der rote Kurvenzug  $C_{\rm rot}$  liegt stets oberhalb von  $C_{\rm BPSK}$ , aber unterhalb von  $C_{\rm braun}$  und der Shannon–Grenzkurve  $C_{\rm Gauß}$~~ ~~.		*Der rote Kurvenzug  $C_{\rm rot}$  liegt stets oberhalb von  $C_{\rm BPSK}$ , aber unterhalb von  $C_{\rm braun}$  und der Shannon–Grenzkurve  $C_{\rm Gauß}$.
	*Die Aussagen gelten auch, wenn für gewisse  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.		*Die Aussagen gelten auch, wenn für gewisse  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
	*Aus dem Grenzwert  $C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$  für  $E_{\rm S}/{N_0} → ∞$  ergibt sich der Symbolumfang  $M_X = \|X\| = 4$~~ ~~.		*Aus dem Grenzwert  $C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$  für  $E_{\rm S}/{N_0} → ∞$  ergibt sich der Symbolumfang  $M_X = \|X\| = 4$.
	*Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK. $M_X = \|X\| = 2$  würde für die BPSK gelten.		*Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK.  $M_X = \|X\| = 2$  würde für die BPSK gelten.
	*Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;2 bit/Kanalzugriff”. Für kleine  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte liegt aber die Kanalkapazität  $C_{\rm 4–QAM}$  oberhalb der roten Kurve, da  $C_{\rm rot}$  von der Gauß–Grenzkurve  $C_2$  begrenzt wird, $C_{\rm 4–QAM}$  aber von  $C_3$.		*Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;2 bit/Kanalzugriff”.  Für kleine  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte liegt aber die Kanalkapazität  $C_{\rm 4–QAM}$  oberhalb der roten Kurve, da  $C_{\rm rot}$  von der Gauß–Grenzkurve  $C_2$  begrenzt wird, $C_{\rm 4–QAM}$  aber von  $C_3$.


			Die Bezeichnungen  $C_2$  und  $C_3$  beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe  '''(1)'''.


	~~Die Bezeichnungen  $C_2$  und  $C_3$  beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe '''(1)'''.~~


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	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>:		'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>:
	*Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.		*Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.
	*Die 8–PSK mit I– und Q–Komponente – also mit $K = 2$ Dimensionen – liegt für kleine  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte etwas oberhalb der braunen Kurve   ⇒  die Antwort 3 ist falsch.		*Die 8–PSK mit I– und Q–Komponente – also mit  $K = 2$  Dimensionen – liegt für kleine  $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte etwas oberhalb der braunen Kurve   ⇒   die Antwort 3 ist falsch.