Aufgaben:Aufgabe 4.9: Costas–Regelschleife - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:38:03Z

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	[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^4.2 Lineare digitale Modulation^]]		[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^4.2 Lineare digitale Modulation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.9:_Costas_Rule_Loop]]

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2026-02-24T13:40:06Z

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Zeile 75:		Zeile 75:
	'''(3)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Durch Multiplikation von  $y_1(t)$  und  $y_2(t)$  erhält man:		*Durch Multiplikation von  $y_1(t)$  und  $y_2(t)$  erhält man:
	:$$x(t) = y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta)		:$$x(t) = y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta) = \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$
	= \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$
	*Mit der Kleinwinkelnäherung   $\sin(α) ≈ α$   folgt daraus:		*Mit der Kleinwinkelnäherung   $\sin(α) ≈ α$   folgt daraus:
	:$$x(t) \approx \frac{s_0^2}{4} \cdot ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$		:$$x(t) \approx \frac{s_0^2}{4} \cdot ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 15. April 2022 um 16:58 Uhr

2022-04-15T16:58:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. April 2022, 18:58 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:		'''(1)'''  Richtig ist der  <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
	*Mit dem Additionstheorem der Trigonometrie erhält man:		*Mit dem Additionstheorem der Trigonometrie erhält man:
	:$$ m_1(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) = \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \cos ( \phi - \theta) + \cos (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right]\hspace{0.05cm}.$$		:$$ m_1(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) = \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \cos ( \phi - \theta) + \cos (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right]\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 65:		Zeile 65:


	'''(2)'''  Richtig ist hier der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:		'''(2)'''  Richtig ist hier der  <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
	*Analog zu Teilaufgabe  '''(1)'''  ergibt sich für das Eingangssignal des unteren Tiefpasses:		*Analog zu Teilaufgabe  '''(1)'''  ergibt sich für das Eingangssignal des unteren Tiefpasses:
	:$$ m_2(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]= \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right].$$		:$$ m_2(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]= \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right].$$
Zeile 73:		Zeile 73:


	'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Durch Multiplikation von  $y_1(t)$  und  $y_2(t)$  erhält man:		*Durch Multiplikation von  $y_1(t)$  und  $y_2(t)$  erhält man:
	:$$x(t) = y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta)		:$$x(t) = y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta)
	= \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$		= \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$
	*Mit der Kleinwinkelnäherung  $\sin(α) ≈ α$  folgt daraus:		*Mit der Kleinwinkelnäherung   $\sin(α) ≈ α$   folgt daraus:
	:$$x(t) \approx \frac{s_0^2}{4} \cdot ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$		:$$x(t) \approx \frac{s_0^2}{4} \cdot ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$
	*Das Regelsignal  $x(t)$  ist also proportional zum Phasenfehler  $\phi - θ$, der mit der Costas–Regelschleife zu Null geregelt wird.		*Das Regelsignal  $x(t)$  ist also proportional zum Phasenfehler  $\phi - θ$,  der mit der Costas–Regelschleife zu Null geregelt wird.
	*Im eingeschwungenen Zustand folgt somit das Oszillatorsignal  $z(t)$  unmittelbar dem Empfangssignal  $r(t)$.		*Im eingeschwungenen Zustand folgt somit das Oszillatorsignal  $z(t)$  unmittelbar dem Empfangssignal  $r(t)$.
	*Um die erforderliche Startbedingung  $θ ≈ \phi$  zu erreichen, wird meist zunächst eine Trainigssequenz übertragen und die Phase entsprechend initialisiert.		*Um die erforderliche Startbedingung  $θ ≈ \phi$  zu erreichen,  wird meist zunächst eine Trainigssequenz übertragen und die Phase entsprechend initialisiert.
	*Dies auch, weil die Phase nur modulo  $π$  ausgeregelt wird, so dass beispielsweise  $\phi - θ = π$  fälschlicherweise zum Regelsignal  $x(t) = 0$  führen würde.		*Dies auch,  weil die Phase nur modulo  $π$  ausgeregelt wird,  so dass beispielsweise  $\phi - θ = π$  fälschlicherweise zum Regelsignal  $x(t) = 0$  führen würde.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 15. April 2022 um 16:55 Uhr

2022-04-15T16:55:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. April 2022, 18:55 Uhr
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	[[Datei:Mod_A_4_8_vers2.png\|right\|frame\|Costas–Regelschleife]]		[[Datei:Mod_A_4_8_vers2.png\|right\|frame\|Costas–Regelschleife]]
	Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung.  Eine Möglichkeit hierfür bietet die so genannte  ''Costas–Regelschleife'', die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.		Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung.  Eine Möglichkeit hierfür bietet die so genannte  "Costas–Regelschleife",  die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.

	Das Empfangssignal kann bei der binären Phasenmodulation  (BPSK) als		Das Empfangssignal kann bei der binären Phasenmodulation  $\rm (BPSK)$  als
	:$$ r(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi)$$		:$$ r(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi)$$
	geschrieben werden.  Die Phasendrehung  $ϕ$  auf dem Übertragungskanal wird dabei stets als unbekannt angenommen.  Die Angabe  „±”  beschreibt die Phasensprünge des BPSK–Signals.		geschrieben werden.  Die Phasendrehung  $ϕ$  auf dem Übertragungskanal wird dabei stets als unbekannt angenommen.  Die Angabe  „±”  beschreibt die Phasensprünge des BPSK–Signals.

	Aufgabe der durch die Grafik angegebenen Schaltung ist es, ein Trägersignal		Aufgabe der durch die Grafik angegebenen Schaltung ist es,  ein Trägersignal
	:$$z(t) = \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta)$$		:$$z(t) = \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta)$$
	zu generieren, wobei der Phasenfehler  $\phi - θ$  zwischen dem BPSK–Empfangssignal  $r(t)$  und der am Empfänger generierten Schwingung  $z(t)$  ausgeregelt werden muss.		zu generieren,  wobei der Phasenfehler  $\phi - θ$  zwischen dem BPSK–Empfangssignal  $r(t)$  und der am Empfänger generierten Schwingung  $z(t)$  ausgeregelt werden muss.
	*Hierzu wird mit einem regelbaren Oszillator  $($'''VCO''',  ''Voltage Controlled Oscillator''$)$  eine Schwingung der Frequenz  $f_{\rm T}$  erzeugt, zunächst mit beliebiger Phase  $θ$.		*Hierzu wird mit einem regelbaren Oszillator  $($'''VCO''',  "Voltage Controlled Oscillator"$)$  eine Schwingung der Frequenz  $f_{\rm T}$  erzeugt,  zunächst mit beliebiger Phase  $θ$.
	*Durch die Costas–Regelschleife wird jedoch iterativ das Wunschergebnis  $θ = \phi$  erreicht.		*Durch die Costas–Regelschleife wird jedoch iterativ das Wunschergebnis  $θ = \phi$  erreicht.

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			Hinweise:
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation\|"Lineare digitale Modulation"]].
			*In der Grafik bezeichnet „TP” Tiefpässe,  die als ideal angenommen werden.
	''Hinweise:''		*Das mit  $π/2$  beschriftete Quadrat kennzeichnet eine Phasendrehung um  $π/2 \ (90^\circ)$,  so dass beispielsweise aus einem Cosinus–Signal ein Minus–Sinus–Signal wird:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation\|Lineare digitale Modulation]].

	*In der Grafik bezeichnet „TP” Tiefpässe, die als ideal angenommen werden.
	*Das mit  $π/2$  beschriftete Quadrat kennzeichnet eine Phasendrehung um  $π/2 \ (90^\circ)$, so dass beispielsweise aus einem Cosinus–Signal ein Minus–Sinus–Signal wird:
	:$$\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t + 90^\circ) = -\sin (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t + 90^\circ) = -\sin (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
	*Weiter gelten folgende trigonometrischen Beziehungen:		*Weiter gelten folgende trigonometrischen Beziehungen:

Guenter am 20. April 2020 um 11:42 Uhr

2020-04-20T11:42:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2020, 13:42 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:
	*Mit dem Additionstheorem der Trigonometrie erhält man:		*Mit dem Additionstheorem der Trigonometrie erhält man:
	:$$ m_1(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) = \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \cos ( \phi - \theta) + \cos (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right]\hspace{0.05cm}.$$		:$$ m_1(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) = \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \cos ( \phi - \theta) + \cos (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right]\hspace{0.05cm}.$$
	*Nach dem Tiefpass verbleibt nur der Gleichanteil $y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ).$		*Nach dem Tiefpass verbleibt nur der Gleichanteil  $y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ).$



	'''(2)'''  Richtig ist hier der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:		'''(2)'''  Richtig ist hier der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
	*Analog zu Teilaufgabe '''(1)''' ergibt sich für das Eingangssignal des unteren Tiefpasses:		*Analog zu Teilaufgabe  '''(1)'''  ergibt sich für das Eingangssignal des unteren Tiefpasses:
	:$$ m_2(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]= \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right].$$		:$$ m_2(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]= \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right].$$
	*Dies führt zu folgendem Ausgangssignal:		*Dies führt zu folgendem Ausgangssignal:
Zeile 78:		Zeile 78:

	'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Durch Multiplikation von $y_1(t)$ und $y_2(t)$ erhält man:		*Durch Multiplikation von  $y_1(t)$  und  $y_2(t)$  erhält man:
	:$$x(t) = y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta)		:$$x(t) = y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta)
	= \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$		= \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$
	*Mit der Kleinwinkelnäherung $\sin(α) ≈ α$ folgt daraus:		*Mit der Kleinwinkelnäherung  $\sin(α) ≈ α$  folgt daraus:
	:$$x(t) \approx \frac{s_0^2}{4} \cdot ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$		:$$x(t) \approx \frac{s_0^2}{4} \cdot ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$
	*Das Regelsignal $x(t)$ ist also proportional zum Phasenfehler $\phi - θ$, der mit der Costas–Regelschleife zu Null geregelt wird. Im eingeschwungenen Zustand folgt somit das Oszillatorsignal $z(t)$ unmittelbar dem Empfangssignal $r(t)$.		*Das Regelsignal  $x(t)$  ist also proportional zum Phasenfehler  $\phi - θ$, der mit der Costas–Regelschleife zu Null geregelt wird.
	*Um die erforderliche Startbedingung $θ ≈ \phi$ zu erreichen, wird meist zunächst eine Trainigssequenz übertragen und die Phase entsprechend initialisiert. Dies auch, weil die Phase nur modulo $π$ ausgeregelt wird, so dass beispielsweise $\phi - θ = π$ fälschlicherweise zum Regelsignal $x(t) = 0$ ~~führt~~.		*Im eingeschwungenen Zustand folgt somit das Oszillatorsignal  $z(t)$  unmittelbar dem Empfangssignal  $r(t)$.
			*Um die erforderliche Startbedingung  $θ ≈ \phi$  zu erreichen, wird meist zunächst eine Trainigssequenz übertragen und die Phase entsprechend initialisiert.
			*Dies auch, weil die Phase nur modulo  $π$  ausgeregelt wird, so dass beispielsweise  $\phi - θ = π$  fälschlicherweise zum Regelsignal  $x(t) = 0$  führen würde.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 20. April 2020 um 11:38 Uhr

2020-04-20T11:38:16Z

Guenter am 10. Januar 2019 um 14:59 Uhr

2019-01-10T14:59:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Januar 2019, 16:59 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:


	'''(2)'''  Richtig ist ~~demnach~~ hier der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
	*Analog zu Teilaufgabe (1) ergibt sich für das Eingangssignal des unteren Tiefpasses:		'''(2)'''  Richtig ist hier der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
			*Analog zu Teilaufgabe '''(1)''' ergibt sich für das Eingangssignal des unteren Tiefpasses:
	:$$ m_2(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]= \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right].$$		:$$ m_2(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]= \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right].$$
	Dies führt zu folgendem Ausgangssignal:		*Dies führt zu folgendem Ausgangssignal:
	:$$ y_2(t) = \pm {s_0}/{2} \cdot\sin ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$		:$$ y_2(t) = \pm {s_0}/{2} \cdot\sin ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$



	'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Durch Multiplikation von $y_1(t)$ und $y_2(t)$ erhält man:		*Durch Multiplikation von $y_1(t)$ und $y_2(t)$ erhält man:
	$$x(t) = y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta)		:$$x(t) = y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta)
	= \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$		= \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$
	*Mit der Kleinwinkelnäherung $\sin(α) ≈ α$ folgt daraus:		*Mit der Kleinwinkelnäherung $\sin(α) ≈ α$ folgt daraus:

Guenter am 10. Januar 2019 um 14:55 Uhr

2019-01-10T14:55:49Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:58Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 15:19 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation\|Lineare digitale Modulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation\|Lineare digitale Modulation]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
	*In der Grafik bezeichnet „TP” Tiefpässe, die als ideal angenommen werden.		*In der Grafik bezeichnet „TP” Tiefpässe, die als ideal angenommen werden.
	*Das mit $π/2$ beschriftete Quadrat kennzeichnet eine Phasendrehung um $π/2 \ (90^\circ)$, so dass beispielsweise aus einem Cosinus–Signal ein Minus–Sinus–Signal wird:		*Das mit $π/2$ beschriftete Quadrat kennzeichnet eine Phasendrehung um $π/2 \ (90^\circ)$, so dass beispielsweise aus einem Cosinus–Signal ein Minus–Sinus–Signal wird:

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2018-01-03T14:30:05Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.9 Costas–Regelschleife nach Aufgaben:Aufgabe 4.9: Costas–Regelschleife

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(kein Unterschied)

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2020, 13:38 Uhr
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	[[Datei:Mod_A_4_8_vers2.png\|right\|frame\|Costas–Regelschleife]]		[[Datei:Mod_A_4_8_vers2.png\|right\|frame\|Costas–Regelschleife]]
	Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung. Eine Möglichkeit hierfür bietet die ~~sog.~~ ''Costas–Regelschleife'', die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.		Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung.  Eine Möglichkeit hierfür bietet die so genannte  ''Costas–Regelschleife'', die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.

	Das Empfangssignal kann bei der binären Phasenmodulation (BPSK) als		Das Empfangssignal kann bei der binären Phasenmodulation  (BPSK) als
	:$$ r(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi)$$		:$$ r(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi)$$
	geschrieben werden. Die Phasendrehung  $ϕ$  auf dem Übertragungskanal ~~muss~~ dabei stets als unbekannt angenommen ~~werden~~. Die Angabe „±” beschreibt die Phasensprünge des BPSK–Signals.		geschrieben werden.  Die Phasendrehung  $ϕ$  auf dem Übertragungskanal wird dabei stets als unbekannt angenommen.  Die Angabe  „±”  beschreibt die Phasensprünge des BPSK–Signals.

	*Aufgabe der durch die Grafik angegebenen Schaltung ist es, ein Trägersignal		Aufgabe der durch die Grafik angegebenen Schaltung ist es, ein Trägersignal
	:$$z(t) = \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta)$$		:$$z(t) = \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta)$$
	:zu generieren, wobei der Phasenfehler  $\phi - θ$  zwischen dem BPSK–Empfangssignal  $r(t)$  und der am Empfänger generierten Schwingung  $z(t)$  ausgeregelt werden muss.		zu generieren, wobei der Phasenfehler  $\phi - θ$  zwischen dem BPSK–Empfangssignal  $r(t)$  und der am Empfänger generierten Schwingung  $z(t)$  ausgeregelt werden muss.
	*Hierzu wird mit einem regelbaren Oszillator (VCO, ''Voltage Controlled Oscillator'') eine Schwingung der Frequenz  $f_{\rm T}$  erzeugt, zunächst mit beliebiger Phase  $θ$.		*Hierzu wird mit einem regelbaren Oszillator  $($'''VCO''',  ''Voltage Controlled Oscillator''$)$  eine Schwingung der Frequenz  $f_{\rm T}$  erzeugt, zunächst mit beliebiger Phase  $θ$.
	*Durch die Costas–Regelschleife wird jedoch iterativ das Wunschergebnis  $θ = \phi$  erreicht.		*Durch die Costas–Regelschleife wird jedoch iterativ das Wunschergebnis  $θ = \phi$  erreicht.





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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie das Signal  $y_1(t)$  nach dem Tiefpass im oberen Zweig. Welche der folgenden Aussagen ~~sind~~ richtig?		{Berechnen Sie das Signal  $y_1(t)$  nach dem Tiefpass im oberen Zweig.  Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $y_1(t) = ± s_0/2 · \big[\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)\big],$		- $y_1(t) = ± s_0/2 · \big[\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)\big],$
	+ $y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$		+ $y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$
	- $y_1(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$		- $y_1(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$

	{Berechnen Sie das Signal  $y_2(t)$  nach dem Tiefpass im unteren Zweig. Welche der folgenden Aussagen ~~sind~~ richtig?		{Berechnen Sie das Signal  $y_2(t)$  nach dem Tiefpass im unteren Zweig.  Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $y_2(t) = ± s_0/2 · \big[\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)\big],$		- $y_2(t) = ± s_0/2 · \big[\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)\big],$
	- $y_2(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$		- $y_2(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$
	+ $y_2(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$		+ $y_2(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$

	{Berechnen Sie das Regelsignal  $x(t)$  und geben Sie eine Näherung für kleine Phasenabweichung  $\phi - θ$  an. ~~<br>~~Welche Gleichungen sind richtig?		{Berechnen Sie das Regelsignal  $x(t)$  und geben Sie eine Näherung für kleine Phasenabweichung  $\phi - θ$  an.  Welche Gleichungen sind richtig?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $x(t) = s_0^2/8 · \cos(\phi + θ)$,		- $x(t) = s_0^2/8 · \cos(\phi + θ)$,

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	[[Datei:Mod_A_4_8_vers2.png\|right\|frame\|Costas Regelschleife]]		[[Datei:Mod_A_4_8_vers2.png\|right\|frame\|Costas–Regelschleife]]
	Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung. Eine Möglichkeit hierfür bietet die sog. ''Costas–Regelschleife'', die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.		Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung. Eine Möglichkeit hierfür bietet die sog. ''Costas–Regelschleife'', die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.

	Das Empfangssignal kann bei der binären Phasenmodulation (BPSK) als		Das Empfangssignal kann bei der binären Phasenmodulation (BPSK) als
	:$$ r(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi)$$		:$$ r(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi)$$
	geschrieben werden. Die Phasendrehung ϕ auf dem Übertragungskanal muss dabei stets als unbekannt angenommen werden. „±” beschreibt die Phasensprünge des BPSK–Signals.		geschrieben werden. Die Phasendrehung  $ϕ$  auf dem Übertragungskanal muss dabei stets als unbekannt angenommen werden. Die Angabe „±” beschreibt die Phasensprünge des BPSK–Signals.

	Aufgabe der durch die Grafik angegebenen Schaltung ist es, ein Trägersignal		*Aufgabe der durch die Grafik angegebenen Schaltung ist es, ein Trägersignal
	:$$z(t) = \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta)$$		:$$z(t) = \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta)$$
	zu generieren, wobei der Phasenfehler $\phi - θ$ zwischen dem BPSK–Empfangssignal $r(t)$ und der am Empfänger generierten Schwingung $z(t)$ ausgeregelt werden muss. Hierzu wird mit einem regelbaren Oszillator (VCO, ''Voltage Controlled Oscillator'') eine Schwingung der Frequenz $f_{\rm T}$ erzeugt, zunächst mit beliebiger Phase $θ$. Durch die Costas–Regelschleife wird jedoch iterativ das Wunschergebnis $θ = \phi$ erreicht.		:zu generieren, wobei der Phasenfehler  $\phi - θ$  zwischen dem BPSK–Empfangssignal  $r(t)$  und der am Empfänger generierten Schwingung  $z(t)$  ausgeregelt werden muss.
			*Hierzu wird mit einem regelbaren Oszillator (VCO, ''Voltage Controlled Oscillator'') eine Schwingung der Frequenz  $f_{\rm T}$  erzeugt, zunächst mit beliebiger Phase  $θ$.
			*Durch die Costas–Regelschleife wird jedoch iterativ das Wunschergebnis  $θ = \phi$  erreicht.





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation\|Lineare digitale Modulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation\|Lineare digitale Modulation]].

	*In der Grafik bezeichnet „TP” Tiefpässe, die als ideal angenommen werden.		*In der Grafik bezeichnet „TP” Tiefpässe, die als ideal angenommen werden.
	*Das mit $π/2$ beschriftete Quadrat kennzeichnet eine Phasendrehung um $π/2 \ (90^\circ)$, so dass beispielsweise aus einem Cosinus–Signal ein Minus–Sinus–Signal wird:		*Das mit  $π/2$  beschriftete Quadrat kennzeichnet eine Phasendrehung um  $π/2 \ (90^\circ)$, so dass beispielsweise aus einem Cosinus–Signal ein Minus–Sinus–Signal wird:
	:$$\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t + 90^\circ) = -\sin (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t + 90^\circ) = -\sin (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
	*Weiter gelten folgende trigonometrischen Beziehungen:		*Weiter gelten folgende trigonometrischen Beziehungen:
	:$$\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta) = {1} /{2} \cdot \~~left~~ [ \cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)\~~right~~]\hspace{0.05cm},$$		:$$\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta) = {1} /{2} \cdot \big [ \cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)\big]\hspace{0.05cm},$$
	:$$\sin (\alpha) \cdot \cos (\beta) = {1} /{2} \cdot \~~left~~ [ \sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)\~~right~~]\hspace{0.05cm}.$$		:$$\sin (\alpha) \cdot \cos (\beta) = {1} /{2} \cdot \big [ \sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)\big]\hspace{0.05cm}.$$


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie das Signal $y_1(t)$ nach dem Tiefpass im oberen Zweig. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?		{Berechnen Sie das Signal  $y_1(t)$  nach dem Tiefpass im oberen Zweig. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $y_1(t) = ± s_0/2 · [\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)],$		- $y_1(t) = ± s_0/2 · \big[\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)\big],$
	+ $y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$		+ $y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$
	- $y_1(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$		- $y_1(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$

	{Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$ nach dem Tiefpass im unteren Zweig. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?		{Berechnen Sie das Signal  $y_2(t)$  nach dem Tiefpass im unteren Zweig. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $y_2(t) = ± s_0/2 · [\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)],$		- $y_2(t) = ± s_0/2 · \big[\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)\big],$
	- $y_2(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$		- $y_2(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$
	+ $y_2(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$		+ $y_2(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$

	{Berechnen Sie das Regelsignal $x(t)$ und geben Sie eine Näherung für kleine Phasenabweichung $\phi - θ$ an. Welche Gleichungen sind richtig?		{Berechnen Sie das Regelsignal  $x(t)$  und geben Sie eine Näherung für kleine Phasenabweichung  $\phi - θ$  an. <br>Welche Gleichungen sind richtig?
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	- $x(t) = s_0^2/8 · \cos(\phi + θ)$,		- $x(t) = s_0^2/8 · \cos(\phi + θ)$,