Aufgaben:Aufgabe 4.9: Costas–Regelschleife - Versionsgeschichte

Guenter am 15. April 2022 um 16:58 Uhr

2022-04-15T16:58:27Z

Guenter am 15. April 2022 um 16:55 Uhr

2022-04-15T16:55:58Z

Guenter am 20. April 2020 um 11:42 Uhr

2020-04-20T11:42:48Z

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2020-04-20T11:38:16Z

Guenter am 10. Januar 2019 um 14:59 Uhr

2019-01-10T14:59:45Z

Guenter am 10. Januar 2019 um 14:55 Uhr

2019-01-10T14:55:49Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:58Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:30:05Z

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Guenter am 27. Juli 2017 um 16:10 Uhr

2017-07-27T16:10:27Z

Guenter am 25. Juli 2017 um 11:40 Uhr

2017-07-25T11:40:44Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
 *Mit dem Additionstheorem der Trigonometrie erhält man:
 :$$ m_1(t)  =  \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) =  \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \cos ( \phi - \theta) + \cos (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right]\hspace{0.05cm}.$$
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-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist hier der&nbsp; <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
 *Analog zu Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; ergibt sich für das Eingangssignal des unteren Tiefpasses:
 :$$ m_2(t)  =  \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]= \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right].$$
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-'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 *Durch Multiplikation von&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; erhält man:
 :$$x(t)  =  y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta)
   =  \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$
-*Mit der Kleinwinkelnäherung&nbsp; $\sin(α) ≈ α$&nbsp; folgt daraus:
+*Mit der Kleinwinkelnäherung &nbsp; $\sin(α) ≈ α$ &nbsp; folgt daraus:
 :$$x(t) \approx \frac{s_0^2}{4} \cdot ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$
-*Das Regelsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist also proportional zum Phasenfehler&nbsp; $\phi - θ$, der mit der Costas–Regelschleife zu Null geregelt wird.&nbsp;
+*Das Regelsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist also proportional zum Phasenfehler&nbsp; $\phi - θ$,&nbsp; der mit der Costas–Regelschleife zu Null geregelt wird.&nbsp;
 *Im eingeschwungenen Zustand folgt somit das Oszillatorsignal&nbsp; $z(t)$&nbsp; unmittelbar dem Empfangssignal&nbsp; $r(t)$.
-*Um die erforderliche Startbedingung&nbsp; $θ ≈ \phi$&nbsp; zu erreichen, wird meist zunächst eine Trainigssequenz übertragen und die Phase entsprechend initialisiert.
+*Um die erforderliche Startbedingung&nbsp; $θ ≈ \phi$&nbsp; zu erreichen,&nbsp; wird meist zunächst eine Trainigssequenz übertragen und die Phase entsprechend initialisiert.
-*Dies auch, weil die Phase nur modulo&nbsp; $π$&nbsp; ausgeregelt wird, so dass beispielsweise&nbsp; $\phi - θ = π$&nbsp; fälschlicherweise zum Regelsignal&nbsp; $x(t) = 0$&nbsp; führen würde.
+*Dies auch,&nbsp; weil die Phase nur modulo&nbsp; $π$&nbsp; ausgeregelt wird,&nbsp; so dass beispielsweise&nbsp; $\phi - θ = π$&nbsp; fälschlicherweise zum Regelsignal&nbsp; $x(t) = 0$&nbsp; führen würde.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:Mod_A_4_8_vers2.png|right|frame|Costas&ndash;Regelschleife]]
-Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung.&nbsp; Eine Möglichkeit hierfür bietet die so genannte&nbsp; ''Costas–Regelschleife'', die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.
+Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung.&nbsp; Eine Möglichkeit hierfür bietet die so genannte&nbsp; "Costas–Regelschleife",&nbsp; die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.
-Das Empfangssignal kann bei der binären Phasenmodulation&nbsp; (BPSK) als
+Das Empfangssignal kann bei der binären Phasenmodulation&nbsp; $\rm  (BPSK)$&nbsp; als
 :$$ r(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi)$$
 geschrieben werden.&nbsp; Die Phasendrehung &nbsp;$ϕ$&nbsp; auf dem Übertragungskanal wird dabei stets als unbekannt angenommen.&nbsp; Die Angabe&nbsp; „±”&nbsp; beschreibt die Phasensprünge des BPSK–Signals.
-Aufgabe der durch die Grafik angegebenen Schaltung ist es, ein Trägersignal
+Aufgabe der durch die Grafik angegebenen Schaltung ist es,&nbsp; ein Trägersignal
 :$$z(t) = \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta)$$
-zu generieren, wobei der Phasenfehler &nbsp;$\phi - θ$&nbsp; zwischen dem BPSK–Empfangssignal &nbsp;$r(t)$&nbsp; und der am Empfänger generierten Schwingung &nbsp;$z(t)$&nbsp; ausgeregelt werden muss.
+zu generieren,&nbsp; wobei der Phasenfehler &nbsp;$\phi - θ$&nbsp; zwischen dem BPSK–Empfangssignal &nbsp;$r(t)$&nbsp; und der am Empfänger generierten Schwingung &nbsp;$z(t)$&nbsp; ausgeregelt werden muss.
-*Hierzu wird mit einem regelbaren Oszillator&nbsp; $($'''VCO''',&nbsp; ''Voltage Controlled Oscillator''$)$&nbsp; eine Schwingung der Frequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; erzeugt, zunächst mit beliebiger Phase &nbsp;$θ$.
+*Hierzu wird mit einem regelbaren Oszillator&nbsp; $($'''VCO''',&nbsp; "Voltage Controlled Oscillator"$)$&nbsp; eine Schwingung der Frequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; erzeugt,&nbsp; zunächst mit beliebiger Phase &nbsp;$θ$.
 *Durch die Costas–Regelschleife wird jedoch iterativ das Wunschergebnis &nbsp;$θ = \phi$&nbsp; erreicht.
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 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|"Lineare digitale Modulation"]].
+*In der Grafik  bezeichnet „TP” Tiefpässe,&nbsp; die als ideal angenommen werden.
-''Hinweise:''
+*Das mit &nbsp;$π/2$&nbsp; beschriftete Quadrat kennzeichnet eine Phasendrehung um &nbsp;$π/2 \ (90^\circ)$,&nbsp; so dass beispielsweise aus einem Cosinus–Signal ein Minus–Sinus–Signal wird:
 :$$\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t + 90^\circ) = -\sin (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
 *Weiter gelten folgende trigonometrischen Beziehungen:

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 *Mit dem Additionstheorem der Trigonometrie erhält man:
 :$$ m_1(t)  =  \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) =  \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \cos ( \phi - \theta) + \cos (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right]\hspace{0.05cm}.$$
-*Nach dem Tiefpass verbleibt nur der Gleichanteil $y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ).$
+*Nach dem Tiefpass verbleibt nur der Gleichanteil&nbsp; $y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ).$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
-*Analog zu Teilaufgabe '''(1)''' ergibt sich für das Eingangssignal des unteren Tiefpasses:
+*Analog zu Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; ergibt sich für das Eingangssignal des unteren Tiefpasses:
 :$$ m_2(t)  =  \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]= \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right].$$
 *Dies führt zu folgendem  Ausgangssignal:
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 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Durch Multiplikation von $y_1(t)$ und $y_2(t)$ erhält man:
+*Durch Multiplikation von&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; erhält man:
 :$$x(t)  =  y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta)
   =  \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$
-*Mit der Kleinwinkelnäherung $\sin(α) ≈ α$ folgt daraus:
+*Mit der Kleinwinkelnäherung&nbsp; $\sin(α) ≈ α$&nbsp; folgt daraus:
 :$$x(t) \approx \frac{s_0^2}{4} \cdot ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$
-*Das Regelsignal $x(t)$ ist also proportional zum Phasenfehler $\phi - θ$, der mit der Costas–Regelschleife zu Null geregelt wird. Im eingeschwungenen Zustand folgt somit das Oszillatorsignal $z(t)$ unmittelbar dem Empfangssignal $r(t)$.
+*Das Regelsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist also proportional zum Phasenfehler&nbsp; $\phi - θ$, der mit der Costas–Regelschleife zu Null geregelt wird.&nbsp;
-*Um die erforderliche Startbedingung $θ ≈ \phi$ zu erreichen, wird meist zunächst eine Trainigssequenz übertragen und die Phase entsprechend initialisiert. Dies auch, weil die Phase nur modulo $π$ ausgeregelt wird, so dass beispielsweise $\phi - θ = π$ fälschlicherweise zum Regelsignal $x(t) = 0$ führt.
+*Im eingeschwungenen Zustand folgt somit das Oszillatorsignal&nbsp; $z(t)$&nbsp; unmittelbar dem Empfangssignal&nbsp; $r(t)$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:Mod_A_4_8_vers2.png|right|frame|Costas&ndash;Regelschleife]]
-Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung. Eine Möglichkeit hierfür bietet die sog. ''Costas–Regelschleife'', die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.
+Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung.&nbsp; Eine Möglichkeit hierfür bietet die so genannte&nbsp; ''Costas–Regelschleife'', die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.
-Das Empfangssignal kann bei der binären Phasenmodulation (BPSK) als
+Das Empfangssignal kann bei der binären Phasenmodulation&nbsp; (BPSK) als
 :$$ r(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi)$$
-geschrieben werden. Die Phasendrehung &nbsp;$ϕ$&nbsp; auf dem Übertragungskanal muss dabei stets als unbekannt angenommen werden. Die Angabe „±” beschreibt die Phasensprünge des BPSK–Signals.
+geschrieben werden.&nbsp; Die Phasendrehung &nbsp;$ϕ$&nbsp; auf dem Übertragungskanal wird dabei stets als unbekannt angenommen.&nbsp; Die Angabe&nbsp; „±”&nbsp; beschreibt die Phasensprünge des BPSK–Signals.
-*Aufgabe der durch die Grafik angegebenen Schaltung ist es, ein Trägersignal
+Aufgabe der durch die Grafik angegebenen Schaltung ist es, ein Trägersignal
 :$$z(t) = \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta)$$
-:zu generieren, wobei der Phasenfehler &nbsp;$\phi - θ$&nbsp; zwischen dem BPSK–Empfangssignal &nbsp;$r(t)$&nbsp; und der am Empfänger generierten Schwingung &nbsp;$z(t)$&nbsp; ausgeregelt werden muss.
+zu generieren, wobei der Phasenfehler &nbsp;$\phi - θ$&nbsp; zwischen dem BPSK–Empfangssignal &nbsp;$r(t)$&nbsp; und der am Empfänger generierten Schwingung &nbsp;$z(t)$&nbsp; ausgeregelt werden muss.
-*Hierzu wird mit einem regelbaren Oszillator (VCO, ''Voltage Controlled Oscillator'') eine Schwingung der Frequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; erzeugt, zunächst mit beliebiger Phase &nbsp;$θ$.
+*Hierzu wird mit einem regelbaren Oszillator&nbsp; $($'''VCO''',&nbsp; ''Voltage Controlled Oscillator''$)$&nbsp; eine Schwingung der Frequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; erzeugt, zunächst mit beliebiger Phase &nbsp;$θ$.
 *Durch die Costas–Regelschleife wird jedoch iterativ das Wunschergebnis &nbsp;$θ = \phi$&nbsp; erreicht.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$y_1(t)$&nbsp; nach dem Tiefpass im oberen Zweig. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
+{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$y_1(t)$&nbsp; nach dem Tiefpass im oberen Zweig.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $y_1(t) = ± s_0/2 · \big[\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)\big],$
 + $y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$
 - $y_1(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$
-{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$y_2(t)$&nbsp; nach dem Tiefpass im unteren Zweig. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
+{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$y_2(t)$&nbsp; nach dem Tiefpass im unteren Zweig.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $y_2(t) = ± s_0/2 ·  \big[\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)\big],$
 - $y_2(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$
 + $y_2(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$
-{Berechnen Sie das Regelsignal &nbsp;$x(t)$&nbsp; und geben Sie eine Näherung für kleine Phasenabweichung &nbsp;$\phi - θ$&nbsp; an. <br>Welche Gleichungen sind richtig?
+{Berechnen Sie das Regelsignal &nbsp;$x(t)$&nbsp; und geben Sie eine Näherung für kleine Phasenabweichung &nbsp;$\phi - θ$&nbsp; an.&nbsp; Welche Gleichungen sind richtig?
 |type="[]"}
 - $x(t) = s_0^2/8 · \cos(\phi + θ)$,

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-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist demnach hier der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
-*Analog zu Teilaufgabe (1) ergibt sich für das Eingangssignal des unteren Tiefpasses:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
 :$$ m_2(t)  =  \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]= \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right].$$
-Dies führt zu folgendem  Ausgangssignal:
+*Dies führt zu folgendem  Ausgangssignal:
 :$$ y_2(t) = \pm {s_0}/{2} \cdot\sin ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 *Durch Multiplikation von $y_1(t)$ und $y_2(t)$ erhält man:
-$$x(t)  =  y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta)
+:$$x(t)  =  y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta)
   =  \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$
 *Mit der Kleinwinkelnäherung $\sin(α) ≈ α$ folgt daraus:

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 *In der Grafik  bezeichnet „TP” Tiefpässe, die als ideal angenommen werden.
 *Das mit $π/2$ beschriftete Quadrat kennzeichnet eine Phasendrehung um $π/2 \ (90^\circ)$, so dass beispielsweise aus einem Cosinus–Signal ein Minus–Sinus–Signal wird:

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(kein Unterschied)

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 }}
-[[Datei:P_ID1704__Mod_A_4_8.png|right|frame|Costas Regelschleife]]
+[[Datei:Mod_A_4_8_vers2.png|right|frame|Costas Regelschleife]]
 Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung. Eine Möglichkeit hierfür bietet die sog. ''Costas–Regelschleife'', die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.

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 :$$\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta)  =  {1} /{2} \cdot \left [ \cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)\right]\hspace{0.05cm},$$
 :$$\sin (\alpha) \cdot \cos (\beta)  =   {1} /{2} \cdot \left [ \sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)\right]\hspace{0.05cm}.$$
 ===Fragebogen===
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Mit dem Additionstheorem der Trigonometrie erhält man:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
-$$ m_1(t)  =  \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) =$$
+*Mit dem Additionstheorem der Trigonometrie erhält man:
-$$ =  \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \cos ( \phi - \theta) + \cos (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right]\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ m_1(t)  =  \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) =  \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \cos ( \phi - \theta) + \cos (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right]\hspace{0.05cm}.$$
-Nach dem Tiefpass verbleibt nur der Gleichanteil $y1(t) = ± s0/2 · cos (\phi – θ).$ Richtig ist somit der zweite Lösungsvorschlag.
+*Nach dem Tiefpass verbleibt nur der Gleichanteil $y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ).$
-'''2.''' Analog zu Teilaufgabe a) ergibt sich
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist demnach hier der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
-$$ m_2(t)  =  \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]=$$
+*Analog zu Teilaufgabe (1) ergibt sich für das Eingangssignal des unteren Tiefpasses:
-$$=  \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right]$$
+:$$ m_2(t)  =  \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]= \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right].$$
-$$ y_2(t) = \pm \frac{s_0}{2} \cdot\sin ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$
+Dies führt zu folgendem  Ausgangssignal:
-Richtig ist demnach hier der letzte Lösungsvorschlag.
+:$$ y_2(t) = \pm {s_0}/{2} \cdot\sin ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$
-Um die erforderliche Startbedingung $θ ≈ \phi$ zu erreichen, wird meist zunächst eine Trainigssequenz übertragen und die Phase entsprechend initialisiert. Dies auch, weil die Phase nur modulo $π$ ausgeregelt wird, so dass beispielsweise $\phi – θ = π$ fälschlicherweise zum Regelsignal $x(t) = 0$ führt.
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 {{ML-Fuß}}