Aufgaben:Aufgabe 4.8Z: BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^4.2 Lineare digitale Modulation^]]		[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^4.2 Lineare digitale Modulation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.8Z:_BPSK_Error_Probability]]

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Zeile 71:		Zeile 71:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Der Rauscheffektivwert ergibt sich hier zu		'''(1)'''  Der Rauscheffektivwert ergibt sich hier zu
	:$$\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 1\,{\rm ns}}}= 1\,{\rm V}		:$$\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 1\,{\rm ns}}}= 1\,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}}.$$
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}}.$$

Guenter am 15. April 2022 um 16:33 Uhr

2022-04-15T16:33:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. April 2022, 18:33 Uhr
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	'''(2)'''  Beim Basisbandsystem gilt:		'''(2)'''  Beim Basisbandsystem gilt:
	:$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$		:$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$
	*Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit		*Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit:
	:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$		:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$

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	'''(4)'''  Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:		'''(4)'''  Richtig ist die  <u>Antwort 2</u>:
	*Unter Berücksichtigung der Energie  $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$  erhält man		*Unter Berücksichtigung der Energie  $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$  erhält man
	:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right ).$$		:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right ).$$

Guenter am 15. April 2022 um 16:30 Uhr

2022-04-15T16:30:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. April 2022, 18:30 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	Wir gehen vom optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit		Wir gehen vom optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit
	* bipolaren Amplitudenkoeffizienten  $a_ν ∈ \{-1, +1\}$,		* bipolaren Amplitudenkoeffizienten  $a_ν ∈ \{-1, +1\}$,
	* rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten  $±s_0$  und der Bitdauer  $T_{\rm B}$,		* rechteckförmigem Sendesignal  $s(t)$  mit den Signalwerten  $±s_0$  und der Bitdauer  $T_{\rm B}$,
	* AWGN–Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte  $N_0$,		* AWGN–Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte  $N_0$,
	* Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,		* Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
Zeile 12:		Zeile 12:


	Wenn nichts anderes angegeben ist, so sollten Sie von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:		Wenn nichts anderes angegeben ist,  so sollten Sie von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:
	:$$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$		:$$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
	Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems lautet mit dem Rauscheffektivwert  $σ_d$  am Entscheider und der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$   ⇒   siehe Tabelle:		Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems  $\rm (BB)$  lautet mit dem Rauscheffektivwert  $σ_d$  am Entscheider und der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$   ⇒   siehe Tabelle:
	:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/(2 \cdot T_{\rm B}}).$$		:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/(2 \cdot T_{\rm B}}).$$
	Diese Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann auch in der Form		Diese Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann auch in der Form
	:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$		:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
	geschrieben werden, wobei  $E_{\rm B}$  die „Signalenergie pro Bit” angibt.		geschrieben werden,  wobei  $E_{\rm B}$  die „Signalenergie pro Bit” angibt.

	Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit  ''Binary Phase Shift Keying''  (BPSK) lautet:		Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit  "Binary Phase Shift Keying"  $\rm (BPSK)$  lautet:
	:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$		:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$

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			Hinweise:
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation\|"Lineare digitale Modulation"]].
			*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick\|"Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick"]].
	''Hinweise:''		*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|"Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation"]]  des Buches „Digitalsignalübertragung”.
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation\|Lineare digitale Modulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick\|Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick]].
	*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]]  des Buches „Digitalsignalübertragung”.
	*Die Angabe einer Leistung in  $\rm V^2$  bzw. einer Energie in  $\rm V^2 s$  bedeutet eine Umrechnung auf den Bezugswiderstand  $1 \ \rm \Omega$.		*Die Angabe einer Leistung in  $\rm V^2$  bzw. einer Energie in  $\rm V^2 s$  bedeutet eine Umrechnung auf den Bezugswiderstand  $1 \ \rm \Omega$.

Guenter am 20. April 2020 um 11:25 Uhr

2020-04-20T11:25:31Z

Guenter am 20. April 2020 um 11:13 Uhr

2020-04-20T11:13:24Z

Guenter am 10. Januar 2019 um 14:47 Uhr

2019-01-10T14:47:58Z

Guenter am 10. Januar 2019 um 14:44 Uhr

2019-01-10T14:44:13Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:57Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]] des Buches „Digitalsignalübertragung”.		*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]] des Buches „Digitalsignalübertragung”.
	*Die Angabe einer Leistung in $\rm V^2$ bzw. einer Energie in $\rm V^2 s$ bedeutet eine Umrechnung auf den Bezugswiderstand $1 \ \rm \Omega$.		*Die Angabe einer Leistung in $\rm V^2$ bzw. einer Energie in $\rm V^2 s$ bedeutet eine Umrechnung auf den Bezugswiderstand $1 \ \rm \Omega$.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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2018-01-03T14:29:52Z

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	'''(2)'''  Beim Basisbandsystem gilt:		'''(2)'''  Beim Basisbandsystem gilt:
	:$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$		:$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$
	Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit		*Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit
	:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$		:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$


	'''(3)'''  Bei halber Sendeamplitude $s_0 = 2\,{\rm V}$ sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:		'''(3)'''  Bei halber Sendeamplitude  $s_0 = 2\,{\rm V}$  sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:
	:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )= {\rm Q}(2)= 227 \cdot 10^{-4},$$		:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )= {\rm Q}(2)= 227 \cdot 10^{-4},$$
	:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$		:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$
Zeile 90:		Zeile 90:

	'''(4)'''  Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:		'''(4)'''  Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:
	*Unter Berücksichtigung der Energie $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$ erhält man		*Unter Berücksichtigung der Energie  $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$  erhält man
	:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right ).$$		:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right ).$$
	*Man erhält somit das gleiche Ergebnis wie beim optimalen Basisbandübertragungssystem.		*Man erhält somit das gleiche Ergebnis wie beim optimalen Basisbandübertragungssystem.


	'''(5)'''  Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung in den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(3)''':
			'''(5)'''  Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung in den Teilaufgaben  '''(1)'''  und  '''(3)''':
	:$${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 8: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) = {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}},$$		:$${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 8: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) = {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}},$$
	:$$ { E_{\rm B}}/{N_0 }= 2: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$		:$$ { E_{\rm B}}/{N_0 }= 2: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2020, 13:13 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID1681__Dig_Z_4_1.png\|right\|frame\|Tabelle der Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$]]		[[Datei:P_ID1681__Dig_Z_4_1.png\|right\|frame\|Tabelle der Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$]]
	Wir gehen ~~von dem~~ optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit		Wir gehen vom optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit
	* bipolaren Amplitudenkoeffizienten  $a_ν ∈ \{-1, +1\}$,		* bipolaren Amplitudenkoeffizienten  $a_ν ∈ \{-1, +1\}$,
	* rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten  $±s_0$  und der Bitdauer  $T_{\rm B}$,		* rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten  $±s_0$  und der Bitdauer  $T_{\rm B}$,
	* AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0$,		* AWGN–Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte  $N_0$,
	* Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,		* Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
	* Entscheider mit optimalem Schwellenwert  $E = 0$.		* Entscheider mit optimalem Schwellenwert  $E = 0$.
Zeile 15:		Zeile 15:
	:$$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$		:$$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
	Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems lautet mit dem Rauscheffektivwert  $σ_d$  am Entscheider und der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$   ⇒   siehe Tabelle:		Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems lautet mit dem Rauscheffektivwert  $σ_d$  am Entscheider und der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$   ⇒   siehe Tabelle:
	:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{~~\frac~~{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$		:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/(2 \cdot T_{\rm B}}).$$
	Diese Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann auch in der Form		Diese Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann auch in der Form
	:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{~~\frac~~{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$		:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
	geschrieben werden, wobei  $E_{\rm B}$  die „Signalenergie pro Bit” angibt.		geschrieben werden, wobei  $E_{\rm B}$  die „Signalenergie pro Bit” angibt.

	Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit  ''Binary Phase Shift Keying''  (BPSK) lautet:		Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit  ''Binary Phase Shift Keying''  (BPSK) lautet:
	:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$		:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$





Zeile 40:		Zeile 43:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Es gelte  $s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$ ~~<br>~~Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm BB}$  des Basisbandsystems?		{Es gelte  $s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$  Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm BB}$  des Basisbandsystems?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm BB} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \cdot 10^{-4}$		$p_{\rm BB} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
Zeile 53:		Zeile 56:
	$p_{\rm BB} \ = \ $ { 227 3% } $\ \cdot 10^{-4}$		$p_{\rm BB} \ = \ $ { 227 3% } $\ \cdot 10^{-4}$

	{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten  $E_{\rm B}/N_0$  an. Welches Ergebnis stimmt?		{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten  $E_{\rm B}/N_0$  an.  Welches Ergebnis stimmt?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big[(E_{\rm B}/N_0)^{1/2}\big],$		- $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big[(E_{\rm B}/N_0)^{1/2}\big],$
	+ $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big[(2E_{\rm B}/N_0)^{1/2}\big],$		+ $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big[(2E_{\rm B}/N_0)^{1/2}\big],$

← Nächstältere Version		Version vom 10. Januar 2019, 16:47 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	:$$\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 1\,{\rm ns}}}= 1\,{\rm V}		:$$\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 1\,{\rm ns}}}= 1\,{\rm V}
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}}.$$		\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}}.$$


	'''(2)'''  Beim Basisbandsystem gilt:		'''(2)'''  Beim Basisbandsystem gilt:
Zeile 78:		Zeile 79:
	Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit		Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit
	:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$		:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$


	'''(3)'''  Bei halber Sendeamplitude $s_0 = 2\,{\rm V}$ sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:		'''(3)'''  Bei halber Sendeamplitude $s_0 = 2\,{\rm V}$ sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:
	:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )= {\rm Q}(2)= 227 \cdot 10^{-4},$$		:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )= {\rm Q}(2)= 227 \cdot 10^{-4},$$
	:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$		:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$


	'''(4)'''  Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:		'''(4)'''  Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:
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	'''(5)'''  Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung in den Teilaufgaben (1) und (3):		'''(5)'''  Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung in den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(3)''':
	:$${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 8: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) = {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}},$$		:$${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 8: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) = {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}},$$
	:$$ { E_{\rm B}}/{N_0 }= 2: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$		:$$ { E_{\rm B}}/{N_0 }= 2: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$

← Nächstältere Version		Version vom 10. Januar 2019, 16:44 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID1681__Dig_Z_4_1.png\|right\|frame\|Tabelle der Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion Q(~~<i>~~x~~</i>~~)]]		[[Datei:P_ID1681__Dig_Z_4_1.png\|right\|frame\|Tabelle der Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$]]
	Wir gehen von dem optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit		Wir gehen von dem optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit
	* bipolaren Amplitudenkoeffizienten $a_ν ∈ \{-1, +1\}$,		* bipolaren Amplitudenkoeffizienten  $a_ν ∈ \{-1, +1\}$,
	* rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten $±s_0$ und der Bitdauer $T_{\rm B}$,		* rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten  $±s_0$  und der Bitdauer  $T_{\rm B}$,
	* AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$,		* AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0$,
	* Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,		* Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
	* Entscheider mit optimalem Schwellenwert $E = 0$.		* Entscheider mit optimalem Schwellenwert  $E = 0$.


	Wenn nichts anderes angegeben ist, so sollten Sie von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:		Wenn nichts anderes angegeben ist, so sollten Sie von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:
	:$$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$		:$$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
	Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems lautet mit dem Rauscheffektivwert $σ_d$ am Entscheider und der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$   ⇒   siehe Tabelle:		Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems lautet mit dem Rauscheffektivwert  $σ_d$  am Entscheider und der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$   ⇒   siehe Tabelle:
	:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$		:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$
	Diese Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann auch in der Form		Diese Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann auch in der Form
	:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$		:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
	geschrieben werden, wobei $E_{\rm B}$ die „Signalenergie pro Bit” angibt.		geschrieben werden, wobei  $E_{\rm B}$  die „Signalenergie pro Bit” angibt.

	Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit ''Binary Phase Shift Keying (BPSK)'' lautet:		Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit  ''Binary Phase Shift Keying''  (BPSK) lautet:
	:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$		:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation\|Lineare digitale Modulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation\|Lineare digitale Modulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick\|Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick\|Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick]].
	*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]] des Buches „Digitalsignalübertragung”.		*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]]  des Buches „Digitalsignalübertragung”.
	*Die Angabe einer Leistung in $\rm V^2$ bzw. einer Energie in $\rm V^2 s$ bedeutet eine Umrechnung auf den Bezugswiderstand $1 \ \rm \Omega$.		*Die Angabe einer Leistung in  $\rm V^2$  bzw. einer Energie in  $\rm V^2 s$  bedeutet eine Umrechnung auf den Bezugswiderstand  $1 \ \rm \Omega$.


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$ Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm BB}$ des Basisbandsystems?		{Es gelte  $s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$ <br>Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm BB}$  des Basisbandsystems?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm BB} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \cdot 10^{-4}$		$p_{\rm BB} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \cdot 10^{-4}$


	{Wie groß ist für diesen Parametersatz die Energie pro Bit   ⇒   $E_{\rm B}$ beim Basisbandsystem?		{Wie groß ist für diesen Parametersatz die Energie pro Bit   ⇒    $E_{\rm B}$  beim Basisbandsystem?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$E_{\rm B} \ = \ $ { 1.6 3% } $\ \cdot 10^{-8} \ \rm V^2 s$		$E_{\rm B} \ = \ $ { 1.6 3% } $\ \cdot 10^{-8} \ \rm V^2 s$

	{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei halber Sendeamplitude   ⇒   $s_0 = 2\,{\rm V}$?		{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei halber Sendeamplitude   ⇒    $s_0 = 2\,{\rm V}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm BB} \ = \ $ { 227 3% } $\ \cdot 10^{-4}$		$p_{\rm BB} \ = \ $ { 227 3% } $\ \cdot 10^{-4}$

	{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten $E_{\rm B}/N_0$ an. Welches Ergebnis stimmt?		{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten  $E_{\rm B}/N_0$  an. Welches Ergebnis stimmt?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}[(E_{\rm B}/N_0)^{1/2}],$		- $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big[(E_{\rm B}/N_0)^{1/2}\big],$
	+ $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}[(2E_{\rm B}/N_0)^{1/2}],$		+ $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big[(2E_{\rm B}/N_0)^{1/2}\big],$
	- $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}[(4E_{\rm B}/N_0)^{1/2}].$		- $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big[(4E_{\rm B}/N_0)^{1/2}\big].$

	{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten ergeben sich bei der BPSK für $E_{\rm B}/N_0 = 8$ und $E_{\rm B}/N_0 = 2$?		{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten ergeben sich bei der BPSK für  $E_{\rm B}/N_0 = 8$  und  $E_{\rm B}/N_0 = 2$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$E_{\rm B}/N_0 = 8\text{:} \ \ p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \cdot 10^{-4}$		$E_{\rm B}/N_0 = 8\text{:} \ \ \ \ p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
	$E_{\rm B}/N_0 = 2\text{:} \ \ p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 227 3% } $\ \cdot 10^{-4}$		$E_{\rm B}/N_0 = 2\text{:} \ \ \ \ p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 227 3% } $\ \cdot 10^{-4}$