Aufgaben:Aufgabe 4.8Z: BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit - Versionsgeschichte

Guenter am 15. April 2022 um 16:33 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:29:52Z

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Guenter am 25. Juli 2017 um 09:01 Uhr

2017-07-25T09:01:02Z

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 '''(2)'''&nbsp;   Beim Basisbandsystem gilt:
 :$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$
-*Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit
+*Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$
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-'''(4)'''&nbsp;   Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:
+'''(4)'''&nbsp;   Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 2</u>:
 *Unter Berücksichtigung der Energie&nbsp; $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$&nbsp; erhält man
 :$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right ).$$

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 Wir gehen vom optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit
 * bipolaren Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_ν ∈ \{-1, +1\}$,
-* rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten &nbsp;$±s_0$&nbsp; und der Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$,
+* rechteckförmigem Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp;  mit den Signalwerten &nbsp;$±s_0$&nbsp; und der Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$,
 * AWGN–Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$,
 * Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
-Wenn nichts anderes angegeben ist, so sollten Sie von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:
+Wenn nichts anderes angegeben ist,&nbsp; so sollten Sie von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:
 :$$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
-Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems lautet mit dem Rauscheffektivwert &nbsp;$σ_d$&nbsp; am Entscheider und der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion &nbsp;${\rm Q}(x)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Tabelle:
+Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems&nbsp; $\rm (BB)$&nbsp; lautet mit dem Rauscheffektivwert &nbsp;$σ_d$&nbsp; am Entscheider und der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion &nbsp;${\rm Q}(x)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Tabelle:
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/(2 \cdot T_{\rm B}}).$$
 Diese Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann auch in der Form
 :$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
-geschrieben werden, wobei &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; die „Signalenergie pro Bit” angibt.
+geschrieben werden,&nbsp; wobei &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; die „Signalenergie pro Bit” angibt.
-Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit &nbsp;''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK) lautet:
+Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit &nbsp;"Binary Phase Shift Keying"&nbsp; $\rm (BPSK)$&nbsp; lautet:
 :$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$
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 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|"Lineare digitale Modulation"]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick|"Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick"]].
-''Hinweise:''
+*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|"Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation"]]&nbsp; des Buches „Digitalsignalübertragung”.
 *Die Angabe einer Leistung in &nbsp;$\rm V^2$&nbsp; bzw. einer Energie in &nbsp;$\rm V^2 s$&nbsp; bedeutet eine Umrechnung auf den Bezugswiderstand &nbsp;$1 \ \rm \Omega$.

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 '''(2)'''&nbsp;   Beim Basisbandsystem gilt:
 :$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$
-Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit
+*Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$
-'''(3)'''&nbsp;   Bei halber Sendeamplitude $s_0 = 2\,{\rm V}$ sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:
+'''(3)'''&nbsp;   Bei halber Sendeamplitude&nbsp; $s_0 = 2\,{\rm V}$&nbsp; sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )= {\rm Q}(2)= 227 \cdot 10^{-4},$$
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$
@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
 '''(4)'''&nbsp;   Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:
-*Unter Berücksichtigung der Energie $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$ erhält man
+*Unter Berücksichtigung der Energie&nbsp; $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$&nbsp; erhält man
 :$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right ).$$
 *Man erhält somit das gleiche Ergebnis wie beim optimalen Basisbandübertragungssystem.
 '''(5)'''&nbsp;   Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung in den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(3)''':
 :$${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 8: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) = {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}},$$
 :$$ { E_{\rm B}}/{N_0 }= 2: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$

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 [[Datei:P_ID1681__Dig_Z_4_1.png|right|frame|Tabelle der Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion &nbsp;${\rm Q}(x)$]]
-Wir gehen von dem optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit
+Wir gehen vom optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit
 * bipolaren Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_ν ∈ \{-1, +1\}$,
 * rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten &nbsp;$±s_0$&nbsp; und der Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$,
-* AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$,
+* AWGN–Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$,
 * Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
 * Entscheider mit optimalem Schwellenwert &nbsp;$E = 0$.
@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 :$$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
 Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems lautet mit dem Rauscheffektivwert &nbsp;$σ_d$&nbsp; am Entscheider und der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion &nbsp;${\rm Q}(x)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Tabelle:
-:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$
+:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/(2 \cdot T_{\rm B}}).$$
 Diese Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann auch in der Form
-:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
+:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
 geschrieben werden, wobei &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; die „Signalenergie pro Bit” angibt.
 Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit &nbsp;''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK) lautet:
 :$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$
@@ Zeile 40: / Zeile 43: @@
 <quiz display=simple>
-{Es gelte &nbsp;$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$ <br>Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm BB}$&nbsp; des Basisbandsystems?
+{Es gelte &nbsp;$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$&nbsp; Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm BB}$&nbsp; des Basisbandsystems?
 |type="{}"}
 $p_{\rm BB} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
@@ Zeile 53: / Zeile 56: @@
 $p_{\rm BB} \ = \ $ { 227 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
-{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; an. Welches Ergebnis stimmt?
+{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; an.&nbsp; Welches Ergebnis stimmt?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big[(E_{\rm B}/N_0)^{1/2}\big],$
 + $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big[(2E_{\rm B}/N_0)^{1/2}\big],$

@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
 :$$\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 1\,{\rm ns}}}= 1\,{\rm V}
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}}.$$
 '''(2)'''&nbsp;   Beim Basisbandsystem gilt:
@@ Zeile 78: / Zeile 79: @@
 Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$
 '''(3)'''&nbsp;   Bei halber Sendeamplitude $s_0 = 2\,{\rm V}$ sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )= {\rm Q}(2)= 227 \cdot 10^{-4},$$
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$
 '''(4)'''&nbsp;   Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:
@@ Zeile 89: / Zeile 92: @@
-'''(5)'''&nbsp;   Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung in den Teilaufgaben (1) und (3):
+'''(5)'''&nbsp;   Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung in den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(3)''':
 :$${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 8: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) = {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}},$$
 :$$ { E_{\rm B}}/{N_0 }= 2: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$

@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 *Die Herleitungen finden Sie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]] des Buches „Digitalsignalübertragung”.
 *Die Angabe einer Leistung in $\rm V^2$ bzw. einer Energie in $\rm V^2 s$ bedeutet eine Umrechnung auf den Bezugswiderstand $1 \ \rm \Omega$.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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(kein Unterschied)

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Der Rauscheffektivwert ergibt sich hier zu
+'''(1)'''&nbsp;   Der Rauscheffektivwert ergibt sich hier zu
-$$\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 1\,{\rm ns}}}= 1\,{\rm V}$$
+:$$\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 1\,{\rm ns}}}= 1\,{\rm V}
-$$: \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}}.$$
+\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}}.$$
-'''2.''' Beim Basisbandsystem gilt:
+'''(2)'''&nbsp;   Beim Basisbandsystem gilt:
-$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$
+:$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$
 Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit
-$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$
+:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$
-'''3.''' Bei halber Sendeamplitude $s_0 = 2 V$ sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:
+'''(3)'''&nbsp;   Bei halber Sendeamplitude $s_0 = 2\,{\rm V}$ sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:
-$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )= {\rm Q}(2)= 0.227 \cdot 10^{-1},$$
+:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )= {\rm Q}(2)= 227 \cdot 10^{-4},$$
-$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.227 \cdot 10^{-1}}.$$
+:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$
-'''4.''' Unter Berücksichtigung der Energie $E_B = s_0^2 · T_B/2$ erhält man mit
+'''(4)'''&nbsp;   Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:
-$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right )$$
+*Unter Berücksichtigung der Energie $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$ erhält man
-das gleiche Ergebnis wie beim optimalen Basisbandübertragungssystem. Richtig ist somit Antwort 2.
+:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right ).$$
-'''5.''' Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung:
+'''(5)'''&nbsp;   Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung in den Teilaufgaben (1) und (3):
-$$\frac{ E_{\rm B}}{N_0 }= 8: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) = {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}},$$
+:$${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 8: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) = {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}},$$
-$$ \frac{ E_{\rm B}}{N_0 }= 2: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.227 \cdot 10^{-1}}.$$
+:$$ { E_{\rm B}}/{N_0 }= 2: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 |type="{}"}
 $E_{\rm B}/N_0 = 8\text{:} \ \    p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
-$E_{\rm B}/N_0 = 2\text{:} \ \    p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.227 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
+$E_{\rm B}/N_0 = 2\text{:} \ \    p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 227 3% } $\ \cdot 10^{-4}$