Aufgaben:Aufgabe 4.8Z: AWGN-Kanal - Versionsgeschichte

Guenter am 27. Februar 2022 um 14:02 Uhr

2022-02-27T14:02:26Z

Guenter am 27. Februar 2022 um 13:58 Uhr

2022-02-27T13:58:32Z

Guenter am 27. Februar 2022 um 13:58 Uhr

2022-02-27T13:58:00Z

Guenter am 27. November 2019 um 15:52 Uhr

2019-11-27T15:52:50Z

Guenter am 27. November 2019 um 15:43 Uhr

2019-11-27T15:43:24Z

Guenter am 17. August 2018 um 11:54 Uhr

2018-08-17T11:54:55Z

Guenter am 17. August 2018 um 11:02 Uhr

2018-08-17T11:02:28Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:54Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:43:02Z

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Guenter am 23. März 2017 um 12:56 Uhr

2017-03-23T12:56:22Z

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Es gilt&nbsp; $r(t) = s(t)+n(t)$.&nbsp; Somit kann $f_r(r)$&nbsp; aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen $f_s(s)$&nbsp; und $f_n(n)$&nbsp; berechnet werden.
-*Da beide Signale gau&szlig;verteilt sind, liefert die Faltung ebenfalls eine Gau&szlig;funktion:
+*Da beide Signale gau&szlig;verteilt sind,&nbsp; liefert die Faltung ebenfalls eine Gau&szlig;funktion:
 :$$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$
 *Die Varianzen von&nbsp; $s(t)$&nbsp; und&nbsp;  $n(t)$&nbsp; addieren sich.&nbsp; Deshalb erh&auml;lt man mit&nbsp;  $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$:
 :$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}}.$$
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 *Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass&nbsp; $s(t)$&nbsp; und auch&nbsp; $r(t)$&nbsp; mittelwertfrei sind, so dass&nbsp; $\mu_{sr} =m_{sr}$&nbsp; gilt.
-*Da&nbsp; $s(t)$&nbsp; und&nbsp;  $n(t)$&nbsp; als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert  vorausgesetzt wurden, gilt weiter:
+*Da&nbsp; $s(t)$&nbsp; und&nbsp;  $n(t)$&nbsp; als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert  vorausgesetzt wurden,&nbsp; gilt weiter:
 :$$m_{sr} = {\rm E}\big[s(t) \cdot r(t)\big] = {\rm E}\big[s^2(t)\big] +  {\rm E}\big[s(t) \cdot n(t)\big] ={\rm E}\big[s^2(t)\big] = \sigma_s^2.$$
 :$$\rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{sr } = \frac{\sigma_s}{  \sigma_r} = \sqrt{\frac{\sigma_s^2}{\sigma_s^2 + \sigma_n^2}} = \left (1+ {\sigma_n^2}/{\sigma_s^2}\right)^{-1/2}.$$

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 *Man bezeichnet eine solche Konstellation als&nbsp; "Additive White Gaussian Noise"&nbsp; $\rm (AWGN)$.
 * Als Qualitätskriterium für das Empfangssignal&nbsp; $r(t)=s(t)+n(t)$&nbsp; verwendet man das&nbsp; "Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis":
-:$${SNR} =  {\sigma_s^2}/{\sigma_n^2}.$$
+:$${\rm SNR} =  {\sigma_s^2}/{\sigma_n^2}.$$

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 [[Datei:P_ID413__Sto_Z_4_8.png|right|frame|Modell des AWGN&ndash;Kanals]]
-Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal&nbsp; $s(t)$, dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind.
+Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal&nbsp; $s(t)$,&nbsp; dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind.&nbsp; Die Streuung dieses mittelwertfreien Signals beträgt&nbsp; $\sigma_s=1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
 *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die WDF $f_r(r)$&nbsp; des Empfangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; allgemein an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist der Effektivwert&nbsp; $\sigma_r$, wenn&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; betr&auml;gt?
+{Geben Sie die WDF $f_r(r)$&nbsp; des Empfangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; allgemein an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist die Streuung&nbsp; $\sigma_r$,&nbsp; wenn&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; betr&auml;gt?
 |type="{}"}
 $\sigma_r \ = \ $  { 1.25 3% } $ \ \rm V$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Es gilt $r(t) = s(t)+n(t)$. Somit kann $f_r(r)$ aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen $f_s(s)$ und $f_n(n)$ berechnet werden.
+'''(1)'''&nbsp; Es gilt&nbsp; $r(t) = s(t)+n(t)$.&nbsp; Somit kann $f_r(r)$&nbsp; aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen $f_s(s)$&nbsp; und $f_n(n)$&nbsp; berechnet werden.
 *Da beide Signale gau&szlig;verteilt sind, liefert die Faltung ebenfalls eine Gau&szlig;funktion:
 :$$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$
-*Die Varianzen von $s(t)$ und  $n(t)$ addieren sich. Deshalb erh&auml;lt man mit  $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$:
+*Die Varianzen von&nbsp; $s(t)$&nbsp; und&nbsp;  $n(t)$&nbsp; addieren sich.&nbsp; Deshalb erh&auml;lt man mit&nbsp;  $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$:
 :$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}}.$$
 '''(2)'''&nbsp; F&uuml;r den Korrelationskoeffizienten gilt mit dem gemeinsamen Moment $m_{sr}$:
 :$$\rho_{sr } = \frac{m_{sr }}{\sigma_s \cdot \sigma_r}.$$
-*Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass $s(t)$ und auch $r(t)$ mittelwertfrei sind, so dass $\mu_{sr} =m_{sr}$ gilt.
+*Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass&nbsp; $s(t)$&nbsp; und auch&nbsp; $r(t)$&nbsp; mittelwertfrei sind, so dass&nbsp; $\mu_{sr} =m_{sr}$&nbsp; gilt.
-*Da $s(t)$ und  $n(t)$ als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert  vorausgesetzt wurden, gilt weiter:
+*Da&nbsp; $s(t)$&nbsp; und&nbsp;  $n(t)$&nbsp; als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert  vorausgesetzt wurden, gilt weiter:
 :$$m_{sr} = {\rm E}\big[s(t) \cdot r(t)\big] = {\rm E}\big[s^2(t)\big] +  {\rm E}\big[s(t) \cdot n(t)\big] ={\rm E}\big[s^2(t)\big] = \sigma_s^2.$$
 :$$\rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{sr } = \frac{\sigma_s}{  \sigma_r} = \sqrt{\frac{\sigma_s^2}{\sigma_s^2 + \sigma_n^2}} = \left (1+ {\sigma_n^2}/{\sigma_s^2}\right)^{-1/2}.$$
-*Mit $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$, $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_r =1.25 \hspace{0.05cm} \rm V$ erhält man $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}$.
+*Mit&nbsp; $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$,&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_r =1.25 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; erhält man&nbsp; $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}$.
-'''(3)'''&nbsp; Der in der letzten Teilaufgabe berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung ${\rm SNR} =\sigma_s^2/\sigma_n^2$ wie folgt dargestellt werden:
+'''(3)'''&nbsp; Der in der letzten Teilaufgabe berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung&nbsp; ${\rm SNR} =\sigma_s^2/\sigma_n^2$&nbsp; wie folgt dargestellt werden:
 :$$\rho_{sr } = \rm \frac{1}{  \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{  {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx  1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$
-*Der Signal-zu-Stör-Abstand $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$ führt zum absoluten Wert $\rm SNR = 1000$.
+*Der Signal-zu-Stör-Abstand&nbsp; $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$&nbsp; führt zum absoluten Wert&nbsp; $\rm SNR = 1000$.
-*In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies n&auml;herungsweise einen Korrelationskoeffizienten von $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9995}$.
+*In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies n&auml;herungsweise einen Korrelationskoeffizienten von&nbsp; $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9995}$.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID413__Sto_Z_4_8.png|right|frame|Modell des AWGN-Kanals]]
+[[Datei:P_ID413__Sto_Z_4_8.png|right|frame|Modell des AWGN&ndash;Kanals]]
-Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal $s(t)$, dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind.
+Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal&nbsp; $s(t)$, dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind.
-*Der Effektivwert $\sigma_s$ dieses mittelwertfreien Signals beträgt $1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
+*Der Effektivwert&nbsp; $\sigma_s$&nbsp; dieses mittelwertfreien Signals beträgt&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
-*Diese Größe bezeichnet man auch als die ''Streuung''.
+*Diese Größe bezeichnet man auch als die&nbsp; ''Streuung''.
-Bei der Übertragung wird $s(t)$ von einem Störsignal $n(t)$ additiv überlagert, das ebenso wie $s(t)$ als gaußverteilt und mittelwertfrei angenommen werden kann.
+Bei der Übertragung wird&nbsp; $s(t)$&nbsp; von einem Störsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; additiv überlagert, das ebenso wie&nbsp; $s(t)$&nbsp; als gaußverteilt und mittelwertfrei angenommen werden kann.
-*Der Effektivwert (die Streuung) des Störsignals sei allgemein $\sigma_n$.
+*Der Effektivwert (die Streuung) des Störsignals sei allgemein&nbsp; $\sigma_n$.
-*Es kann angenommen werden, dass zwischen Nutzsignal $s(t)$ und Störsignal $n(t)$ keine statistischen Abhängigkeiten bestehen.
+*Es wird angenommen, dass zwischen Nutzsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; und Störsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; keine statistischen Abhängigkeiten bestehen.
-Man bezeichnet eine solche Konstellation als <i>Additive White Gaussian Noise</i> (AWGN) und verwendet als Qualitätskriterium für das Empfangssignal $r(t)$ das Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis (''Signal-to-Noise-Ratio''):
+Man bezeichnet eine solche Konstellation als&nbsp; <i>Additive White Gaussian Noise</i>&nbsp; (AWGN) und verwendet als Qualitätskriterium für das Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; das Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis&nbsp; (''Signal-to-Noise-Ratio''):
 :$${\rm SNR} =  {\sigma_s^2}/{\sigma_n^2}.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
-*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die WDF $f_r(r)$ des Empfangssignals $r(t)$ allgemein an. <br>Wie gro&szlig; ist der Effektivwert $\sigma_r$, wenn $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$ betr&auml;gt?
+{Geben Sie die WDF $f_r(r)$&nbsp; des Empfangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; allgemein an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist der Effektivwert&nbsp; $\sigma_r$, wenn&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; betr&auml;gt?
 |type="{}"}
 $\sigma_r \ = \ $  { 1.25 3% } $ \ \rm V$
-{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{sr}$, der zwischen den beiden Signalen $s(t)$ und $r(t)$ besteht. <br>Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$?
+{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{sr}$&nbsp; zwischen den beiden Signalen&nbsp; $s(t)$&nbsp; und&nbsp; $r(t)$.&nbsp;  Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$?
 |type="{}"}
 $\rho_{sr} \ =  \ $ { 0.8 3% }
-{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{sr}$ abhängig vom SNR des AWGN-Kanals. Leiten Sie eine N&auml;herung f&uuml;r gro&szlig;es SNR ab.
+{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{sr}$&nbsp; abhängig vom SNR des AWGN-Kanals.&nbsp; Leiten Sie eine N&auml;herung f&uuml;r gro&szlig;es SNR ab.
 <br>Welcher Koeffizient ergibt sich f&uuml;r $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$?
 |type="{}"}

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 13:43 Uhr
(kein Unterschied)

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 Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass $s(t)$ und auch $r(t)$ mittelwertfrei sind, so dass $\mu_{sr} =m_{sr}$ gilt. Da $s(t)$ und  $n(t)$ als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert  vorausgesetzt wurden, gilt weiter:
 :$$m_{sr} = {\rm E}[s(t) \cdot r(t)] = {\rm E}[s^2(t)] +  {\rm E}[s(t) \cdot n(t)] ={\rm E}[s^2(t)] = \sigma_s^2.$$
-:$$\rightarrow \hspace{0.5cm} \rho_{sr } = \frac{\sigma_s}{  \sigma_r} = \sqrt{\frac{\sigma_s^2}{\sigma_s^2 + \sigma_n^2}} = \left (1+ \frac{\sigma_n^2}{\sigma_s^2}\right)^{-1/2}.$$
+:$$\rightarrow \hspace{0.5cm} \rho_{sr } = \frac{\sigma_s}{  \sigma_r} = \sqrt{\frac{\sigma_s^2}{\sigma_s^2 + \sigma_n^2}} = \left (1+ {\sigma_n^2}/{\sigma_s^2}\right)^{-1/2}.$$
 Mit $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$, $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_r =1.25 \hspace{0.05cm} \rm V$ erhält man $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}$.
 '''(3)'''&nbsp; Der in der letzten Teilaufgabe berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung ${\rm SNR} =\sigma_s^2/\sigma_n^2$ wie folgt dargestellt werden:
-:$$\rho_{sr } = \frac{1}{  \sqrt{1 + \frac{1}{{{\rm SNR}}}} \approx \frac{1}{  {1 + \frac{1}{2 \cdot {\rm SNR}}}} \approx  1 - \frac{1}{2 \cdot {\rm SNR}}.$$
+:$$\rho_{sr } = \rm \frac{1}{  \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{  {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx  1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$
 Der Signal-zu-Stör-Abstand $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$ führt zum absoluten Wert $\rm SNR = 1000$. In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies n&auml;herungsweise einen Korrelationskoeffizienten von $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9995}$.

Aufgaben:Aufgabe 4.8Z: AWGN-Kanal - Versionsgeschichte

Guenter am 27. Februar 2022 um 14:02 Uhr

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Guenter am 27. Februar 2022 um 13:58 Uhr

Guenter am 27. November 2019 um 15:52 Uhr

Guenter am 27. November 2019 um 15:43 Uhr

Guenter am 17. August 2018 um 11:54 Uhr

Guenter am 17. August 2018 um 11:02 Uhr

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Guenter am 23. März 2017 um 12:56 Uhr

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