Aufgaben:Aufgabe 4.8: Numerische Auswertung der AWGN-Kanalkapazität - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^4.3 AWGN & wertdiskreter Eingang^]]		[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^4.3 AWGN & wertdiskreter Eingang^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.8:_Numerical_Analysis_of_the_AWGN_Channel_Capacity]]

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Zeile 102:		Zeile 102:
	*Da hier der Quotient im Grenzübergang  $ R → 0$  das Ergebnis &bdquo;0 geteilt durch 0” liefert, ist hier die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l’Hospital l'Hospitalsche Regel]  anzuwenden:  <br>Man differenziert Zähler und Nenner, bildet den Quotienten und setzt schließlich  $R = 0$  ein.		*Da hier der Quotient im Grenzübergang  $ R → 0$  das Ergebnis &bdquo;0 geteilt durch 0” liefert, ist hier die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l’Hospital l'Hospitalsche Regel]  anzuwenden:  <br>Man differenziert Zähler und Nenner, bildet den Quotienten und setzt schließlich  $R = 0$  ein.
	*Mit  $x = 2R$  lautet das Ergebnis:		*Mit  $x = 2R$  lautet das Ergebnis:
	:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[E_{\rm B}/{N_0}\big] = \lim\limits_{x \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{x} - 1} { x} = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \cdot 2^{x} } { 1} \hspace{0.05cm}\bigg \|_{x=0}		:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[E_{\rm B}/{N_0}\big] = \lim\limits_{x \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{x} - 1} { x} = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \cdot 2^{x} } { 1} \hspace{0.05cm}\bigg \|_{x=0} = {\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.693} \hspace{0.05cm}.$$
	= {\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.693}
	\hspace{0.05cm}.$$



	'''(3)'''  In logarithmierter Form erhält man:		'''(3)'''  In logarithmierter Form erhält man:
	:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})\big] =		:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})\big] =10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(0.693) \hspace{0.15cm}\underline{= -1.59\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$
	10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(0.693) \hspace{0.15cm}\underline{= -1.59\,{\rm dB}}
	\hspace{0.05cm}. $$



	'''(4)'''  Der Abszissenwert lautet somit in nichtlogarithmierter Form:   $E_{\rm B}/{N_0} = 1$.  Daraus folgt mit  $C=R$:		'''(4)'''  Der Abszissenwert lautet somit in nichtlogarithmierter Form:   $E_{\rm B}/{N_0} = 1$.  Daraus folgt mit  $C=R$:
	:$$\frac{2^{2C} - 1} { 2 C} \stackrel{!}{=} 1		:$$\frac{2^{2C} - 1} { 2 C} \stackrel{!}{=} 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{C = 0.5}\hspace{0.05cm}. $$
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{C = 0.5}
	\hspace{0.05cm}. $$



	'''(5)'''  Für  $R = 1$  ist  $E_{\rm B} = E_{\rm S}$. Deshalb gilt:		'''(5)'''  Für  $R = 1$  ist  $E_{\rm B} = E_{\rm S}$. Deshalb gilt:
	:$$ C(E_{\rm B}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Longleftrightarrow \hspace{0.3cm}		:$$ C(E_{\rm B}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Longleftrightarrow \hspace{0.3cm}C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1\hspace{0.05cm}.$$
	C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist abzulesen:		*Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist abzulesen:
	:$$ C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$ C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}E_{\rm S}/{N_0} = 1.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{E_{\rm B}/{N_0} = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$
	E_{\rm S}/{N_0} = 1.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	\underline{E_{\rm B}/{N_0} = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$
	*Der dazugehörige dB–Wert ist  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76 \ \rm dB$.		*Der dazugehörige dB–Wert ist  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76 \ \rm dB$.

	*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit  $R = 1$  über die Gleichung		*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit  $R = 1$  über die Gleichung
	:$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R}		:$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R} = \frac{4 - 1} { 2 } = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$
	= \frac{4 - 1} { 2 } = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$


Zeile 143:		Zeile 132:
	*Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit  $x = 2C$:		*Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit  $x = 2C$:
	[[Datei:P_ID2940__Inf_T_4_3_S4.png\|right\|frame\|Kanalkapazitätskurven als Funktion von  <br>$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  und  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  ]]		[[Datei:P_ID2940__Inf_T_4_3_S4.png\|right\|frame\|Kanalkapazitätskurven als Funktion von  <br>$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  und  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  ]]
	:$$31.62 = \frac{2^{x} - 1} { x}		:$$31.62 = \frac{2^{x} - 1} { x} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}31.62 \cdot x = 2^{x} - 1\hspace{0.05cm}. $$
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	31.62 \cdot x = 2^{x} - 1
	\hspace{0.05cm}. $$

	*Die Lösung $x = 7.986$   ⇒   $C = 3.993 \ \rm (bit/use)$ kann nur grafisch oder iterativ gefunden werden.		*Die Lösung $x = 7.986$   ⇒   $C = 3.993 \ \rm (bit/use)$ kann nur grafisch oder iterativ gefunden werden.
Zeile 152:		Zeile 138:

	'''(b)'''  Gesucht ist der notwendige Abszissenwert  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  für die Kapazität  $C = 4 \ \rm bit/Symbol$:		'''(b)'''  Gesucht ist der notwendige Abszissenwert  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  für die Kapazität  $C = 4 \ \rm bit/Symbol$:
	:$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} - 1} { 2 \cdot C}		:$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} - 1} { 2 \cdot C} = \frac{2^8 - 1} { 8 } = 31.875 $$
	= \frac{2^8 - 1} { 8 } = 31.875		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0}) = 15.03\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
	$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0}) = 15.03\,{\rm dB}
	\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 4. November 2021 um 08:39 Uhr

2021-11-04T08:39:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2021, 10:39 Uhr
Zeile 140:		Zeile 140:
	'''(6)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie an einem Beispiel gezeigt werden soll:		'''(6)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie an einem Beispiel gezeigt werden soll:

	'''(a)'''  Gesucht ist die Kanalkapazität  $C$  für  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$   ⇒    $\E_{\rm B}/{N_0} = 31.62$.		'''(a)'''  Gesucht ist die Kanalkapazität  $C$  für  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 15 \ {\rm dB}$   ⇒    $E_{\rm B}/{N_0} = 31.62$.
	*Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit  $x = 2C$:		*Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit  $x = 2C$:
			[[Datei:P_ID2940__Inf_T_4_3_S4.png\|right\|frame\|Kanalkapazitätskurven als Funktion von  <br>$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  und  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  ]]
	:$$31.62 = \frac{2^{x} - 1} { x}		:$$31.62 = \frac{2^{x} - 1} { x}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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	:$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} - 1} { 2 \cdot C}		:$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} - 1} { 2 \cdot C}
	= \frac{2^8 - 1} { 8 } = 31.875		= \frac{2^8 - 1} { 8 } = 31.875
	~~\hspace{0.3cm}~~\Rightarrow \hspace{0.3cm}		$$
			:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0}) = 15.03\,{\rm dB}		10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0}) = 15.03\,{\rm dB}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	~~[[Datei:P_ID2940__Inf_T_4_3_S4.png\|right\|frame\|Kanalkapazitätskurven als Funktion von  <br>$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  und  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  ]]~~
	Die Grafik zeigt die AWGN–Kanalkapazität abhängig von		Die Grafik zeigt die AWGN–Kanalkapazität abhängig von
	* $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  ⇒  rote Kurve und Zahlen; <br>diese geben die Kanalkapazität  $C$  für das vorgegebene  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  an;		* $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  ⇒  rote Kurve und Zahlen; <br>diese geben die Kanalkapazität  $C$  für das vorgegebene  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  an;
	* $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  ⇒  grüne Kurve und Zahlen; <br>diese geben das erforderliche  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  für die vorgegebene Kanalkapazität  $C$  an.		* $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  ⇒  grüne Kurve und Zahlen; <br>diese geben das erforderliche  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  für die vorgegebene Kanalkapazität  $C$  an.

Guenter am 4. November 2021 um 08:26 Uhr

2021-11-04T08:26:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2021, 10:26 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten
	**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax84-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität  $C$  als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],		**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax84-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität  $C$  als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],
	**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax83~~-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax84~~-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität  $C$  als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].		**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax130-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax131-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität  $C$  als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].
	*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen &bdquo;log”   ⇒   &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.		*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen &bdquo;log”   ⇒   &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.

Guenter am 4. November 2021 um 08:25 Uhr

2021-11-04T08:25:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2021, 10:25 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten
	**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax82~~-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax83~~-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],		**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax84-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität  $C$  als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],
	**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax130~~-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax131~~-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].		**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax84-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität  $C$  als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].
	*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen &bdquo;log”   ⇒   &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.		*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen &bdquo;log”   ⇒   &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.

Guenter am 4. November 2021 um 08:23 Uhr

2021-11-04T08:23:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2021, 10:23 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:


	$\text{Kanalkapazität C in Abhängigkeit der Energie pro Symbol}$:		$\text{Kanalkapazität in Abhängigkeit der Energie pro Symbol}$:
	:$$C( E_{\rm S}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S}}{N_0}) .$$		:$$C( E_{\rm S}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S}}{N_0}) .$$
	Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:		Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:
Zeile 15:		Zeile 15:


	$\text{Kanalkapazität C in Abhängigkeit der Energie pro Bit}$:		$\text{Kanalkapazität in Abhängigkeit der Energie pro Bit}$:
	:$$C( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$		:$$C( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$

Zeile 55:		Zeile 55:
	$\text{Min} \ \big[E_{\rm B}/{N_0}\big] \ = \ $ { 0.693 3% }		$\text{Min} \ \big[E_{\rm B}/{N_0}\big] \ = \ $ { 0.693 3% }

	{~~Welche~~ Ergebnis erhält man in  $\rm dB$?		{Welches Ergebnis erhält man in  $\rm dB$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Min} \ \big[10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})\big] \ = \ $ { -1.62--0.156 } $ \ \rm dB$		$\text{Min} \ \big[10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})\big] \ = \ $ { -1.62--0.156 } $ \ \rm dB$
Zeile 65:		Zeile 65:


	{Geben Sie das erforderliche  $E_{\rm B}/{N_0}$  für fehlerfreie Übertragung mit  $R = 1$  an.   <u>Hinweis:</u>  Die Lösung findet man in der Tabelle auf der Angabenseite.		{Geben Sie das erforderliche  $E_{\rm B}/{N_0}$  für fehlerfreie Übertragung mit  $R = 1$  an.   <br><u>Hinweis:</u>  Die Lösung findet man in der Tabelle auf der Angabenseite.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Min} \ \big[E_{\rm B}/{N_0}\big] \ = \ $ { 1.5 3% }		$\text{Min} \ \big[E_{\rm B}/{N_0}\big] \ = \ $ { 1.5 3% }
Zeile 71:		Zeile 71:

	{Wie kann ein Punkt der  $C(E_{\rm B}/{N_0})$–Kurve einfacher ermittelt werden?		{Wie kann ein Punkt der  $C(E_{\rm B}/{N_0})$–Kurve einfacher ermittelt werden?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- Berechnung der Kanalkapazität  $C$  für das vorgegebene  $E_{\rm B}/{N_0}$.		- Berechnung der Kanalkapazität  $C$  für das vorgegebene  $E_{\rm B}/{N_0}$.
	+ Berechnung des erforderlichen  $E_{\rm B}/{N_0}$  für das vorgegebene  $C$.		+ Berechnung des erforderlichen  $E_{\rm B}/{N_0}$  für das vorgegebene  $C$.

Guenter am 19. Februar 2020 um 09:06 Uhr

2020-02-19T09:06:23Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2020, 11:06 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/~~AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang~~\|AWGN–Kanalkapazität bei ~~wertkontinuierlichem~~ Eingang]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten
	**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],		**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],

Guenter am 18. Februar 2020 um 17:02 Uhr

2020-02-18T17:02:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2020, 19:02 Uhr
Zeile 84:		Zeile 84:
	*Ausgehend von der Gleichung		*Ausgehend von der Gleichung
	:$$C = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + { 2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0}) $$		:$$C = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + { 2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0}) $$
	erhält man mit  $C = R$  und  $E_{\rm S} = R · E_{\rm B}$  die Gleichung gemäß Lösungsvorschlag 1:		:erhält man mit  $C = R$  und  $E_{\rm S} = R · E_{\rm B}$  die Gleichung gemäß Lösungsvorschlag 1:
	:$$R = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0})\hspace{0.05cm}. $$		:$$R = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0})\hspace{0.05cm}. $$
	*Bringt man den Faktor $1/2$ auf die linke Seite der Gleichung und bildet die Potenz zur Basis $2$, so erhält man den Vorschlag 2:		*Bringt man den Faktor  $1/2$  auf die linke Seite der Gleichung und bildet die Potenz zur Basis  $2$, so erhält man den Vorschlag 2:
	:$$2^{2R} = 1 + 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0}\hspace{0.05cm}. $$		:$$2^{2R} = 1 + 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0}\hspace{0.05cm}. $$
	*Löst man diese Gleichung nach  $E_{\rm B}/{N_0}$  auf, so ergibt sich		*Löst man diese Gleichung nach  $E_{\rm B}/{N_0}$  auf, so ergibt sich
Zeile 92:		Zeile 92:


	'''(2)'''  Über einen Kanal mit der Kanalkapazität $C$ ist eine fehlerfreie Übertragung möglich, solange die Coderate  $R ≤ C$  ist.
			'''(2)'''  Über einen Kanal mit der Kanalkapazität  $C$  ist eine fehlerfreie Übertragung möglich, solange die Coderate  $R ≤ C$  ist.
	*Die absolute Grenze ergibt sich im Grenzfall  $C=R = 0$.		*Die absolute Grenze ergibt sich im Grenzfall  $C=R = 0$.

	*Oder präziser ausgedrückt: Für ein beliebig kleines positives $ε$ muss gelten:   $C=R =ε$  mit  $ε → 0$.		*Oder präziser ausgedrückt:  Für ein beliebig kleines positives  $ε$  muss gelten:   $C=R =ε$  mit  $ε → 0$.

	*Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' lautet die Bestimmungsgleichung:		*Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(1)'''  lautet die Bestimmungsgleichung:
	:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[E_{\rm B}/{N_0}\big] = \lim\limits_{R \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{2R} - 1} { 2 R} \hspace{0.05cm}. $$		:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[E_{\rm B}/{N_0}\big] = \lim\limits_{R \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{2R} - 1} { 2 R} \hspace{0.05cm}. $$
	*Da hier der Quotient im Grenzübergang  $ R → 0$  das Ergebnis &bdquo;0 geteilt durch 0” liefert, ist hier die [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l’Hospital\|l'Hospitalsche Regel] anzuwenden: Man differenziert Zähler und Nenner, bildet den Quotienten und setzt schließlich  $R = 0$  ein. Mit  $x = 2R$  lautet das Ergebnis:		*Da hier der Quotient im Grenzübergang  $ R → 0$  das Ergebnis &bdquo;0 geteilt durch 0” liefert, ist hier die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l’Hospital l'Hospitalsche Regel]  anzuwenden:  <br>Man differenziert Zähler und Nenner, bildet den Quotienten und setzt schließlich  $R = 0$  ein.
			*Mit  $x = 2R$  lautet das Ergebnis:
	:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[E_{\rm B}/{N_0}\big] = \lim\limits_{x \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{x} - 1} { x} = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \cdot 2^{x} } { 1} \hspace{0.05cm}\bigg \|_{x=0}		:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[E_{\rm B}/{N_0}\big] = \lim\limits_{x \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{x} - 1} { x} = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \cdot 2^{x} } { 1} \hspace{0.05cm}\bigg \|_{x=0}
	= {\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.693}		= {\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.693}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$



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	'''(4)'''  Der Abszissenwert lautet somit in nichtlogarithmierter Form:   $E_{\rm B}/{N_0} = 1$. Daraus folgt mit  $C=R$:
			'''(4)'''  Der Abszissenwert lautet somit in nichtlogarithmierter Form:   $E_{\rm B}/{N_0} = 1$.  Daraus folgt mit  $C=R$:
	:$$\frac{2^{2C} - 1} { 2 C} \stackrel{!}{=} 1		:$$\frac{2^{2C} - 1} { 2 C} \stackrel{!}{=} 1
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{C = 0.5}		\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{C = 0.5}
	\hspace{0.05cm}. $$		\hspace{0.05cm}. $$



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	C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1		C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist abzulesen:		*Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist abzulesen:
	:$$ C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$ C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	E_{\rm S}/{N_0} = 1.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		E_{\rm S}/{N_0} = 1.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	\underline{E_{\rm B}/{N_0} = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$		\underline{E_{\rm B}/{N_0} = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$
	Der dazugehörige dB–Wert ist  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76 \ \rm dB$.		*Der dazugehörige dB–Wert ist  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76 \ \rm dB$.

	Zum gleichen Ergebnis kommt man mit  $R = 1$  über die Gleichung		*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit  $R = 1$  über die Gleichung
	:$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R}		:$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R}
	= \frac{4 - 1} { 2 } = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$		= \frac{4 - 1} { 2 } = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$



	'''(6)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie an einem Beispiel gezeigt werden soll:		'''(6)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie an einem Beispiel gezeigt werden soll:
	* Gesucht ist die Kanalkapazität  $C$  für  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$   ⇒    $\E_{\rm B}/{N_0} = 31.62$.
			'''(a)'''  Gesucht ist die Kanalkapazität  $C$  für  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$   ⇒    $\E_{\rm B}/{N_0} = 31.62$.
	*Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit  $x = 2C$:		*Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit  $x = 2C$:
	:$$31.62 = \frac{2^{x} - 1} { x}		:$$31.62 = \frac{2^{x} - 1} { x}
Zeile 142:		Zeile 149:
	*Die Lösung $x = 7.986$   ⇒   $C = 3.993 \ \rm (bit/use)$ kann nur grafisch oder iterativ gefunden werden.		*Die Lösung $x = 7.986$   ⇒   $C = 3.993 \ \rm (bit/use)$ kann nur grafisch oder iterativ gefunden werden.

	* Gesucht ist der notwendige Abszissenwert  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  für die Kapazität  $C = 4 \ \rm bit/Symbol$:
			'''(b)'''  Gesucht ist der notwendige Abszissenwert  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  für die Kapazität  $C = 4 \ \rm bit/Symbol$:
	:$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} - 1} { 2 \cdot C}		:$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} - 1} { 2 \cdot C}
	= \frac{2^8 - 1} { 8 } = 31.875		= \frac{2^8 - 1} { 8 } = 31.875
Zeile 149:		Zeile 157:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	~~Die Grafik zeigt die AWGN–Kanalkapazität abhängig von~~		[[Datei:P_ID2940__Inf_T_4_3_S4.png\|right\|frame\|Kanalkapazitätskurven als Funktion von  <br>$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  und  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  ]]
	[[Datei:P_ID2940__Inf_T_4_3_S4.png\|right\|frame\|Kanalkapazitätskurven als Funktion von  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  und  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  ]]		Die Grafik zeigt die AWGN–Kanalkapazität abhängig von
			* $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  ⇒  rote Kurve und Zahlen; <br>diese geben die Kanalkapazität  $C$  für das vorgegebene  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  an;
			* $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  ⇒  grüne Kurve und Zahlen; <br>diese geben das erforderliche  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  für die vorgegebene Kanalkapazität  $C$  an.

	* $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  ⇒  rote Kurve und Zahlen; <br>diese geben die Kanalkapazität  $C$  für das vorgegebene  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  an;
	* $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  ⇒  grüne Kurve und Zahlen; <br>diese geben das erforderliche  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  für die vorgegebene Kanalkapazität  $C$  an.		Der Schnittpunkt der beiden Kurven liegt bei  $1.76\ \rm dB$.
	*Der Schnittpunkt der beiden Kurven liegt bei  $1.76\ \rm dB$.

Guenter am 18. Februar 2020 um 16:48 Uhr

2020-02-18T16:48:18Z

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	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten
	**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],		**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],
	**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax128~~-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax129~~-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].		**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax130-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax131-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].
	*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen &bdquo;log”   ⇒   &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.		*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen &bdquo;log”   ⇒   &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.

Guenter am 18. Februar 2020 um 16:47 Uhr

2020-02-18T16:47:08Z

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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten
	**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax78~~-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-~~MathJax79~~-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],		**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F\|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],
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	*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen &bdquo;log”   ⇒   &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.		*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen &bdquo;log”   ⇒   &bdquo;log<sub>2</sub>” verwendet.