Aufgaben:Aufgabe 4.8: Numerische Auswertung der AWGN-Kanalkapazität - Versionsgeschichte

Guenter am 4. November 2021 um 08:39 Uhr

2021-11-04T08:39:14Z

Guenter am 4. November 2021 um 08:26 Uhr

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Guenter am 18. Februar 2020 um 16:48 Uhr

2020-02-18T16:48:18Z

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 '''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie an einem Beispiel gezeigt werden soll:
-'''(a)'''&nbsp; Gesucht ist die Kanalkapazität  &nbsp;$C$&nbsp; für &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp;$\E_{\rm B}/{N_0} = 31.62$.
+'''(a)'''&nbsp; Gesucht ist die Kanalkapazität  &nbsp;$C$&nbsp; für &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 15 \ {\rm dB}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0} = 31.62$.
 *Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit &nbsp;$x = 2C$:
 :$$31.62 = \frac{2^{x} -  1}   { x}
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 153: / Zeile 154: @@
 :$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} -  1}   { 2 \cdot C}
   = \frac{2^8 -  1}   { 8 } = 31.875
-\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
+$$
 \cdot  {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0}) = 15.03\,{\rm dB}
 \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2940__Inf_T_4_3_S4.png|right|frame|Kanalkapazitätskurven als Funktion von &nbsp;<br>$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; und &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; ]]
 Die Grafik zeigt die AWGN&ndash;Kanalkapazität abhängig von&nbsp;
 * $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$ &nbsp;&#8658;&nbsp; rote Kurve und  Zahlen; <br>diese geben die Kanalkapazität &nbsp;$C$&nbsp; für das vorgegebene &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; an;
-* $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$ &nbsp;&#8658;&nbsp; grüne Kurve und Zahlen; <br>diese geben das erforderliche &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; für die vorgegebene Kanalkapazität &nbsp;$C$&nbsp;  an.
+* $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$ &nbsp;&#8658;&nbsp; grüne Kurve und Zahlen; <br>diese geben das erforderliche &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; für die vorgegebene Kanalkapazität &nbsp;$C$&nbsp;  an.

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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;
 **[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax84-QINU.60.22.27.7F|Die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],
-**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax84-QINU.60.22.27.7F|Die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].
+**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax130-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax131-QINU.60.22.27.7F|Die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].
 *Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen  &bdquo;log&rdquo; &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; verwendet.

@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;
-**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],
+**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax84-QINU.60.22.27.7F|Die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],
-**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax130-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax131-QINU.60.22.27.7F|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].
+**[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax84-QINU.60.22.27.7F|Die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].
 *Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen  &bdquo;log&rdquo; &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; verwendet.

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
-$\text{Kanalkapazität C in Abhängigkeit der Energie pro Symbol}$:
+$\text{Kanalkapazität in Abhängigkeit der Energie pro Symbol}$:
 :$$C( E_{\rm S}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S}}{N_0})  .$$
 Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:
@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
-$\text{Kanalkapazität C in Abhängigkeit der Energie pro Bit}$:
+$\text{Kanalkapazität in Abhängigkeit der Energie pro Bit}$:
 :$$C( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
@@ Zeile 55: / Zeile 55: @@
 $\text{Min} \ \big[E_{\rm B}/{N_0}\big] \ = \ $ { 0.693 3% }
-{Welche Ergebnis erhält man in&nbsp; $\rm dB$?
+{Welches Ergebnis erhält man in&nbsp; $\rm dB$?
 |type="{}"}
 $\text{Min} \ \big[10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})\big] \ = \ $ { -1.62--0.156 } $ \ \rm dB$
@@ Zeile 65: / Zeile 65: @@
-{Geben Sie das erforderliche&nbsp; $E_{\rm B}/{N_0}$&nbsp; für fehlerfreie Übertragung mit&nbsp; $R = 1$&nbsp; an. &nbsp; <u>Hinweis:</u>&nbsp; Die Lösung findet man in der Tabelle auf der Angabenseite.
+{Geben Sie das erforderliche&nbsp; $E_{\rm B}/{N_0}$&nbsp; für fehlerfreie Übertragung mit&nbsp; $R = 1$&nbsp; an. &nbsp; <br><u>Hinweis:</u>&nbsp; Die Lösung findet man in der Tabelle auf der Angabenseite.
 |type="{}"}
 $\text{Min} \ \big[E_{\rm B}/{N_0}\big] \ = \ $ { 1.5 3% }
@@ Zeile 71: / Zeile 71: @@
 {Wie kann ein Punkt der &nbsp;$C(E_{\rm B}/{N_0})$&ndash;Kurve einfacher ermittelt werden?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Berechnung der Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; für das vorgegebene &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0}$.
 + Berechnung des  erforderlichen &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0}$&nbsp; für das vorgegebene&nbsp; $C$.

@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;
 **[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],

@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
 *Ausgehend von der Gleichung
 :$$C = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +  { 2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0}) $$
-erhält man mit &nbsp;$C = R$&nbsp; und &nbsp;$E_{\rm S} = R &middot; E_{\rm B}$&nbsp; die Gleichung gemäß Lösungsvorschlag 1:
+:erhält man mit &nbsp;$C = R$&nbsp; und &nbsp;$E_{\rm S} = R &middot; E_{\rm B}$&nbsp; die Gleichung gemäß Lösungsvorschlag 1:
 :$$R = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +  { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0})\hspace{0.05cm}. $$
-*Bringt man den Faktor $1/2$ auf die linke Seite der Gleichung und bildet die Potenz zur Basis $2$, so erhält man den Vorschlag 2:
+*Bringt man den Faktor&nbsp; $1/2$&nbsp; auf die linke Seite der Gleichung und bildet die Potenz zur Basis&nbsp; $2$, so erhält man den Vorschlag 2:
 :$$2^{2R} =  1 +   2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0}\hspace{0.05cm}. $$
 *Löst man diese Gleichung nach &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0}$&nbsp; auf, so ergibt sich
@@ Zeile 92: / Zeile 92: @@
 '''(2)'''&nbsp; Über einen Kanal mit der Kanalkapazität $C$ ist eine fehlerfreie Übertragung möglich, solange die Coderate &nbsp;$R &#8804; C$&nbsp; ist.
 *Die absolute Grenze ergibt sich im Grenzfall &nbsp;$C=R = 0$.
-*Oder präziser ausgedrückt: Für ein beliebig kleines positives $&epsilon;$ muss gelten: &nbsp; $C=R =&epsilon;$&nbsp; mit &nbsp;$&epsilon; &#8594; 0$.
+*Oder präziser ausgedrückt:&nbsp; Für ein beliebig kleines positives&nbsp; $&epsilon;$&nbsp; muss gelten: &nbsp; $C=R =&epsilon;$&nbsp; mit &nbsp;$&epsilon; &#8594; 0$.
-*Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' lautet die Bestimmungsgleichung:
+*Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; lautet die Bestimmungsgleichung:
 :$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[E_{\rm B}/{N_0}\big] = \lim\limits_{R \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{2R} -  1}   { 2 R}  \hspace{0.05cm}. $$
-*Da hier der Quotient im Grenzübergang &nbsp;$ R &#8594; 0$&nbsp; das Ergebnis &bdquo;0 geteilt durch 0&rdquo; liefert, ist hier die [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l’Hospital|l'Hospitalsche Regel] anzuwenden: Man differenziert Zähler und Nenner, bildet den Quotienten und setzt schließlich &nbsp;$R = 0$&nbsp; ein. Mit &nbsp;$x = 2R$&nbsp;  lautet das Ergebnis:
+*Da hier der Quotient im Grenzübergang &nbsp;$ R &#8594; 0$&nbsp; das Ergebnis &bdquo;0 geteilt durch 0&rdquo; liefert, ist hier die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l’Hospital l'Hospitalsche Regel]&nbsp; anzuwenden:&nbsp; <br>Man differenziert Zähler und Nenner, bildet den Quotienten und setzt schließlich &nbsp;$R = 0$&nbsp; ein.&nbsp;
 :$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[E_{\rm B}/{N_0}\big] = \lim\limits_{x \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{x} -  1}   { x} = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \cdot 2^{x} }   { 1} \hspace{0.05cm}\bigg |_{x=0}
 = {\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.693}
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 111: / Zeile 114: @@
 '''(4)'''&nbsp; Der Abszissenwert lautet somit in nichtlogarithmierter Form: &nbsp; $E_{\rm B}/{N_0} = 1$. Daraus folgt mit &nbsp;$C=R$:
 :$$\frac{2^{2C} -  1}   { 2 C} \stackrel{!}{=} 1
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{C = 0.5}
 \hspace{0.05cm}. $$
@@ Zeile 121: / Zeile 126: @@
 C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1
 \hspace{0.05cm}.$$
-Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist abzulesen:
+*Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist abzulesen:
 :$$ C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 E_{\rm S}/{N_0} = 1.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \underline{E_{\rm B}/{N_0} = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$
-Der dazugehörige dB&ndash;Wert ist &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76 \ \rm dB$.
+*Der dazugehörige dB&ndash;Wert ist &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76 \ \rm dB$.
-Zum gleichen Ergebnis kommt man mit &nbsp;$R = 1$&nbsp; über die Gleichung
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit &nbsp;$R = 1$&nbsp; über die Gleichung
 :$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} -  1}   { 2 \cdot R}
   = \frac{4 -  1}   { 2 } = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie an einem Beispiel gezeigt werden soll:
-* Gesucht ist die Kanalkapazität  &nbsp;$C$&nbsp; für &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp;$\E_{\rm B}/{N_0} = 31.62$.
 *Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit &nbsp;$x = 2C$:
 :$$31.62 = \frac{2^{x} -  1}   { x}
@@ Zeile 142: / Zeile 149: @@
 *Die Lösung $x = 7.986$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $C = 3.993 \ \rm (bit/use)$ kann nur grafisch oder iterativ gefunden werden.
-* Gesucht ist der notwendige Abszissenwert &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; für die Kapazität &nbsp;$C = 4 \ \rm bit/Symbol$:
 :$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} -  1}   { 2 \cdot C}
   = \frac{2^8 -  1}   { 8 } = 31.875
@@ Zeile 149: / Zeile 157: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt die AWGN&ndash;Kanalkapazität abhängig von
+[[Datei:P_ID2940__Inf_T_4_3_S4.png|right|frame|Kanalkapazitätskurven als Funktion von &nbsp;<br>$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; und &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; ]]
-[[Datei:P_ID2940__Inf_T_4_3_S4.png|right|frame|Kanalkapazitätskurven als Funktion von &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; und &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$&nbsp; ]]
+Die Grafik zeigt die AWGN&ndash;Kanalkapazität abhängig von&nbsp;
-* $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$ &nbsp;&#8658;&nbsp; rote Kurve und  Zahlen; <br>diese geben die Kanalkapazität &nbsp;$C$&nbsp; für das vorgegebene &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; an;
-* $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$ &nbsp;&#8658;&nbsp; grüne Kurve und Zahlen; <br>diese geben das erforderliche &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$&nbsp; für die vorgegebene Kanalkapazität &nbsp;$C$&nbsp;  an.
+Der Schnittpunkt der beiden Kurven liegt bei &nbsp;$1.76\ \rm  dB$.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2936__Inf_A_4_8_Tab.png|right|frame|Kapazität $C$ für gegebenes $E_{\rm S}/{N_0}$]]
+[[Datei:P_ID2936__Inf_A_4_8_Tab.png|right|frame|$C$&nbsp; als Funktion von&nbsp; $E_{\rm S}/{N_0}$]]
-Für die Kanalkapazität $C$ des AWGN&ndash;Kanals als obere Schranke für die Coderate $R$ bei Digitalsignalübertragung gibt es zwei verschiedene Gleichungen:
+Für die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; des AWGN&ndash;Kanals als obere Schranke für die Coderate&nbsp; $R$&nbsp; bei Digitalsignalübertragung gibt es zwei verschiedene Gleichungen:
-'''Kanalkapazität $C$ in Abhängigkeit der Energie pro Symbol: '''
 :$$C( E_{\rm S}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S}}{N_0})  .$$
 Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:
-* $E_{\rm S}$ bezeichnet die (mittlere) Energie pro Symbol des Digitalsignals,
+* $E_{\rm S}$&nbsp; bezeichnet die (mittlere) Energie pro Symbol des Digitalsignals,
-* $N_0$ gibt die AWGN&ndash;Rauschleistungsdichte an.
+* $N_0$&nbsp; gibt die AWGN&ndash;Rauschleistungsdichte an.
-'''Kanalkapazität $C$ in Abhängigkeit der Energie pro Bit: '''
 :$$C( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
 *Zu berücksichtigen ist der Zusammenhang &nbsp;$E_{\rm S} = R \cdot E_{\rm B}$, wobei &nbsp;$R$&nbsp; die Coderate der bestmöglichen Kanalcodierung angibt.
-*Eine fehlerfreie Übertragung (unter Berücksichtigung des optimalen Codes) ist für das gegebene &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; möglich, so lange &nbsp;$R \le C$&nbsp; gilt &nbsp; &#8658; &nbsp;  [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Definition_und_Bedeutung_der_Kanalkapazit.C3.A4t|Kanalcodierungstheorem von Shannon]].
+*Eine fehlerfreie Übertragung (bei optimalem Code) ist für das gegebene &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; möglich, so lange &nbsp;$R \le C$&nbsp; gilt &nbsp; &#8658; &nbsp;  [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Definition_und_Bedeutung_der_Kanalkapazit.C3.A4t|Kanalcodierungstheorem von Shannon]].
@@ Zeile 31: / Zeile 36: @@
 **[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax78-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax79-QINU.60.22.27.7F|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]],
 **[[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax128-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax129-QINU.60.22.27.7F|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].
-*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen  &bdquo;log&rdquo; &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; verwendet.
+*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen  &bdquo;log&rdquo; &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; verwendet.
@@ Zeile 39: / Zeile 44: @@
 <quiz display=simple>
-{Welche Gleichungen beschreiben den Zusammenhang zwischen &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0}$&nbsp; und der Rate $R$ beim AWGN&ndash;Kanal exakt?
+{Welche Gleichungen beschreiben den Zusammenhang zwischen &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0}$&nbsp; und der Rate&nbsp; $R$&nbsp; beim AWGN&ndash;Kanal exakt?
 |type="[]"}
 + Es gilt: &nbsp; $R = 1/2 \cdot \log_2  (1 + 2 \cdot  R \cdot E_{\rm B}/{N_0})$.
@@ Zeile 50: / Zeile 55: @@
 $\text{Min} \ \big[E_{\rm B}/{N_0}\big] \ = \ $ { 0.693 3% }
-{Welche Ergebnis erhält man in $\rm dB$?
+{Welche Ergebnis erhält man in&nbsp; $\rm dB$?
 |type="{}"}
 $\text{Min} \ \big[10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})\big] \ = \ $ { -1.62--0.156 } $ \ \rm dB$
-{Geben Sie die AWGN&ndash;Kanalkapazität $C$ für &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})  = 0$&nbsp; dB an.
+{Geben Sie die AWGN&ndash;Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; für &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})  = 0$&nbsp; dB an.
 |type="{}"}
 $C \ = \ $ { 0.5 3% } $ \ \rm bit/Kanalzugriff$
-{Geben Sie das erforderliche $E_{\rm B}/{N_0}$ für fehlerfreie Übertragung mit $R = 1$ an. <br><u>Hinweis:</u> Die Lösung findet man in der Tabelle auf der Angabenseite.
+{Geben Sie das erforderliche&nbsp; $E_{\rm B}/{N_0}$&nbsp; für fehlerfreie Übertragung mit&nbsp; $R = 1$&nbsp; an. &nbsp; <u>Hinweis:</u>&nbsp; Die Lösung findet man in der Tabelle auf der Angabenseite.
 |type="{}"}
 $\text{Min} \ \big[E_{\rm B}/{N_0}\big] \ = \ $ { 1.5 3% }
@@ Zeile 67: / Zeile 72: @@
 {Wie kann ein Punkt der &nbsp;$C(E_{\rm B}/{N_0})$&ndash;Kurve einfacher ermittelt werden?
 |type="[]"}
-- Berechnung der Kanalkapazität $C$ für das vorgegebene &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0}$.
+- Berechnung der Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; für das vorgegebene &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0}$.
-+ Berechnung des  erforderlichen &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0}$ für das vorgegebene $C$.
++ Berechnung des  erforderlichen &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0}$&nbsp; für das vorgegebene&nbsp; $C$.