Aufgaben:Aufgabe 4.8: Fehlerwahrscheinlichkeiten - Versionsgeschichte

Guenter am 15. April 2022 um 14:42 Uhr

2022-04-15T14:42:26Z

Guenter am 15. April 2022 um 14:36 Uhr

2022-04-15T14:36:35Z

Guenter am 20. April 2020 um 09:55 Uhr

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Guenter am 10. Januar 2019 um 14:29 Uhr

2019-01-10T14:29:40Z

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2019-01-10T14:18:41Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:29:37Z

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Guenter am 28. Juli 2017 um 15:05 Uhr

2017-07-28T15:05:13Z

Guenter am 24. Juli 2017 um 15:44 Uhr

2017-07-24T15:44:17Z

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 :$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx {\rm Q_{\rm S}}\left ( \sqrt{20} \right )= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {= 0.405 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
 *Nun beträgt der relative Fehler durch Verwendung von&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$&nbsp; nur noch&nbsp; $5 \%$.
-*Allgemein gilt: &nbsp; Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung&nbsp; ${\rm Q}(x) ≈ {\rm Q_S}(x)$.
+*Allgemein gilt: &nbsp; Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist,&nbsp; um so besser ist die Näherung&nbsp; ${\rm Q}(x) ≈ {\rm Q_S}(x)$.
-'''(3)'''&nbsp; Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von&nbsp; $9.6\ \rm  dB$&nbsp; erforderlich.
+'''(3)'''&nbsp; Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein&nbsp; (logarithmierter)&nbsp; Wert von&nbsp; $9.6\ \rm  dB$&nbsp; erforderlich.
 *Bei der ASK muss der logarithmierte Wert um etwa&nbsp; $3\ \rm  dB$&nbsp; erhöht werden &nbsp; ⇒ &nbsp; $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 12.6 \ \rm dB}$.
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 '''(4)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen DPSK–Gleichung gilt mit&nbsp; $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $:
 :$$p_{\rm B} = {\rm 1}/{2 }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.27 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Wie bereits aus der Grafik auf der Angabenseite ersichtlich, liegt die DPSK mit differentiell–kohärenter Demodulation zwischen der binären Phasenmodulation&nbsp; (BPSK)&nbsp; und der binären Amplitudenmodulation&nbsp; (ASK), wenn für beide eine kohärente Demodulation vorgesehen ist.
+*Wie bereits aus der Grafik auf der Angabenseite ersichtlich,&nbsp; liegt die DPSK mit differentiell–kohärenter Demodulation zwischen der binären Phasenmodulation&nbsp; (BPSK)&nbsp; und der binären Amplitudenmodulation&nbsp; (ASK),&nbsp; wenn für beide eine kohärente Demodulation vorgesehen ist.

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 [[Datei:P_ID1703__Mod_A_4_7.png|right|frame|AWGN&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeitskurven von ASK, BPSK und DPSK]]
-Hier werden die  Bitfehlerwahrscheinlichkeiten &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; der digitalen Modulationsverfahren ASK und BPSK ohne weitere Herleitung angegeben.&nbsp; Beispielsweise erhält man mit der so genannten Q–Funktion
+Hier werden die  Bitfehlerwahrscheinlichkeiten &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; der digitalen Modulationsverfahren&nbsp; $\rm ASK$&nbsp; und&nbsp; $\rm BPSK$&nbsp; ohne weitere Herleitung angegeben.&nbsp; Beispielsweise erhält man mit der so genannten Q–Funktion
 :$$ {\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$
 für den AWGN–Kanal&nbsp; –&nbsp; gekennzeichnet durch den Quotienten&nbsp;  $E_{\rm B}/N_0$&nbsp; –&nbsp; und weiteren optimalen Voraussetzungen&nbsp; (zum Beispiel kohärente Demodulation)
-* für &nbsp;''Amplitude Shift Keying''&nbsp; $\rm (ASK)$:
+* für &nbsp;"Amplitude Shift Keying"&nbsp; $\rm (ASK)$:
 :$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm},$$
-* für &nbsp;''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; $\rm (BPSK)$:
+* für &nbsp;"Binary Phase Shift Keying"&nbsp; $\rm (BPSK)$:
 :$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
 Aber auch die ASK könnte nichtkohärent demoduliert werden.&nbsp; In diesem Fall würde gelten:
 :$$ p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/(2{N_0 })}\hspace{0.05cm}.$$
 Die drei ersten Fehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt.&nbsp; Beispielsweise erhält man für &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp;  entsprechend den exakten Funktionen:
 :$$ p_{\rm B} = 7.83 \cdot 10^{-4}\,\,{\rm (ASK)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_{\rm B} = 3.87 \cdot 10^{-6}\,\,{\rm (BPSK)}\hspace{0.05cm},$$
-Um bei BPSK die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$&nbsp; zu erreichen bzw. zu unterschreiten, muss &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ge 9.6 \ \rm dB$&nbsp; sein.
+Um bei BPSK die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$&nbsp; zu erreichen bzw. zu unterschreiten,&nbsp; $\rm ASK$&nbsp; muss &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ge 9.6 \ \rm dB$&nbsp; sein.
-''Hinweise:''
+Hinweise:
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|"Lineare digitale Modulation"]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick|Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick|"Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick"]].
-*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]]&nbsp; des Buches „Digitalsignalübertragung”.
+*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|"Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation"]]&nbsp; des Buches „Digitalsignalübertragung”.
 *Für die numerischen Auswertungen können Sie die folgende obere Schranke verwenden:
-:$$ {\rm Q}_{\rm S} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi} \cdot x}\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \ge {\rm Q} (x)\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ {\rm Q}_{\rm S} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi} \cdot x}\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \ge {\rm Q} ({\it x})\hspace{0.05cm}.$$
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die &nbsp;<u>ASK</u>–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; unter Verwendung der oberen Schranke&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$.
+{Berechnen Sie die &nbsp;'''ASK'''–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; unter Verwendung der oberen Schranke&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ = \ $  { 85 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
-{Berechnen Sie die &nbsp;<u>BPSK</u>–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; unter Verwendung der oberen Schranke&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$.
+{Berechnen Sie die &nbsp;'''BPSK'''–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; unter Verwendung der oberen Schranke&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ = \ $ { 0.405 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
-{Geben Sie für die &nbsp;<u>ASK</u>&nbsp; den minimalen Wert für &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (in dB) an, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$&nbsp; erreicht wird.
+{Geben Sie für die &nbsp;'''ASK'''&nbsp; den minimalen Wert für &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (in dB) an,&nbsp; damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$&nbsp; erreicht wird.
 |type="{}"}
 $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 12.6 3% } $\ \rm dB$
-{Berechnen Sie die &nbsp;<u>DPSK</u>–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$.
+{Berechnen Sie die &nbsp;'''DPSK'''–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ = \ $ { 2.27 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
-{Geben Sie für &nbsp;<u>DPSK</u>&nbsp; den minimalen Wert für &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (in dB) an, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$&nbsp; erreicht wird.
+{Geben Sie für &nbsp;'''DPSK'''&nbsp; den minimalen Wert für &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (in dB) an,&nbsp; damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$&nbsp; erreicht wird.
 |type="{}"}
 $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 10.4 3% } $\ \rm dB$
-{Welches &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (in dB)  benötigt man dagegen bei &nbsp;<u>inkohärenter ASK</u>, um &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$&nbsp; zu erreichen?
+{Welches &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (in dB)&nbsp;  benötigt man dagegen bei &nbsp;'''inkohärenter ASK''',&nbsp; um &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$&nbsp; zu erreichen?
 |type="{}"}
 $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 13.4 3% }  $\ \rm dB$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$ folgt $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $ und damit
+'''(1)'''&nbsp; Aus&nbsp; $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; folgt&nbsp; $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $&nbsp; und damit
 :$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx {\rm Q_{\rm S}}\left ( \sqrt{10} \right )= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 20\pi} }\cdot \rm e^{-5 }\hspace{0.15cm}\underline {= 85 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $7.83 · 10^{–4}$. Die angegebene Gleichung ${\rm Q_S}(x)$ ist also tatsächlich eine obere Schranke für ${\rm Q}(x)$.
+*Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet&nbsp; $78.3 · 10^{–5}$.&nbsp;
-*Der relative Fehler bei Verwendung von  ${\rm Q_S}(x)$ anstelle von  ${\rm Q}(x)$ ist in diesem Fall kleiner als $10\%$.
+*Die angegebene Gleichung&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$&nbsp; ist also tatsächlich eine obere Schranke für&nbsp; ${\rm Q}(x)$.
 '''(2)'''&nbsp; Bei BPSK lautet die entsprechende Gleichung:
 :$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx {\rm Q_{\rm S}}\left ( \sqrt{20} \right )= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {= 0.405 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Nun beträgt der relative Fehler durch Verwendung von ${\rm Q_S}(x)$ nur noch $5 \%$.
+*Nun beträgt der relative Fehler durch Verwendung von&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$&nbsp; nur noch&nbsp; $5 \%$.
-*Allgemein gilt: &nbsp; Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung ${\rm Q}(x) ≈ {\rm Q_S}(x)$.
+*Allgemein gilt: &nbsp; Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung&nbsp; ${\rm Q}(x) ≈ {\rm Q_S}(x)$.
 '''(4)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen DPSK–Gleichung gilt mit $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $:
 :$$p_{\rm B} = {\rm 1}/{2 }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.27 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Wie bereits aus der Grafik auf der Angabenseite ersichtlich, liegt die DPSK mit differentiell–kohärenter Demodulation zwischen der binären Phasenmodulation (BPSK) und der binären Amplitudenmodulation (ASK), wenn für beide eine kohärente Demodulation vorgesehen ist.
+*Wie bereits aus der Grafik auf der Angabenseite ersichtlich, liegt die DPSK mit differentiell–kohärenter Demodulation zwischen der binären Phasenmodulation&nbsp; (BPSK)&nbsp; und der binären Amplitudenmodulation&nbsp; (ASK), wenn für beide eine kohärente Demodulation vorgesehen ist.
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-'''(6)'''&nbsp; Die inkohärente ASK ist entsprechend den angegebenen Gleichungen wieder um $3\ \rm  dB$ schlechter als die differentiell–kohärente DPSK. Daraus folgt für den gesuchten dB–Wert: &nbsp;  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \hspace{0.15cm}\underline {≈ 13.4 \ \rm dB}$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1703__Mod_A_4_7.png|right|frame|AWGN&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeitskurven von ASK, BPSK und DPSK]]
-Hier werden die  Bitfehlerwahrscheinlichkeiten &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; der digitalen Modulationsverfahren ASK und BPSK ohne weitere Herleitung angegeben. Beispielsweise erhält man mit der so genannten Q–Funktion
+Hier werden die  Bitfehlerwahrscheinlichkeiten &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; der digitalen Modulationsverfahren ASK und BPSK ohne weitere Herleitung angegeben.&nbsp; Beispielsweise erhält man mit der so genannten Q–Funktion
 :$$ {\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$
-für den AWGN–Kanal – gekennzeichnet durch den Quotienten  $E_{\rm B}/N_0$ – und weiteren optimalen Voraussetzungen (zum Beispiel kohärente Demodulation)
+für den AWGN–Kanal&nbsp; –&nbsp; gekennzeichnet durch den Quotienten&nbsp;  $E_{\rm B}/N_0$&nbsp; –&nbsp; und weiteren optimalen Voraussetzungen&nbsp; (zum Beispiel kohärente Demodulation)
-* für &nbsp;''Amplitude Shift Keying''&nbsp; (ASK):
+* für &nbsp;''Amplitude Shift Keying''&nbsp; $\rm (ASK)$:
 :$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm},$$
-* für &nbsp;''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK):
+* für &nbsp;''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; $\rm (BPSK)$:
 :$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
-Die entsprechende Gleichung für &nbsp;''Differential Phase Shift Keying''&nbsp; (DPSK) mit differentiell–kohärenter Demodulation lautet:
+Die Gleichung für &nbsp;''Differential Phase Shift Keying''&nbsp;  $\rm (DPSK)$&nbsp; mit differentiell–kohärenter Demodulation lautet:
 :$$p_{\rm B} ={1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{N_0 }}\hspace{0.05cm}.$$
-Aber auch die ASK könnte nichtkohärent demoduliert werden. In diesem Fall würde gelten:
+Aber auch die ASK könnte nichtkohärent demoduliert werden.&nbsp; In diesem Fall würde gelten:
 :$$ p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/(2{N_0 })}\hspace{0.05cm}.$$
-Die drei ersten Fehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt. Beispielsweise erhält man für &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp;  entsprechend den exakten Funktionen:
+Die drei ersten Fehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt.&nbsp; Beispielsweise erhält man für &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp;  entsprechend den exakten Funktionen:
 :$$ p_{\rm B} = 7.83 \cdot 10^{-4}\,\,{\rm (ASK)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_{\rm B} = 3.87 \cdot 10^{-6}\,\,{\rm (BPSK)}\hspace{0.05cm},$$
 Um bei BPSK die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$&nbsp; zu erreichen bzw. zu unterschreiten, muss &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ge 9.6 \ \rm dB$&nbsp; sein.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die &nbsp;<u>ASK</u>–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; unter Verwendung der oberen Schranke ${\rm Q_S}(x)$.
+{Berechnen Sie die &nbsp;<u>ASK</u>–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; unter Verwendung der oberen Schranke&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ = \ $  { 85 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
-{Berechnen Sie die &nbsp;<u>BPSK</u>–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; unter Verwendung der oberen Schranke ${\rm Q_S}(x)$.
+{Berechnen Sie die &nbsp;<u>BPSK</u>–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; unter Verwendung der oberen Schranke&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ = \ $ { 0.405 3% } $\ \cdot 10^{-5}$

@@ Zeile 54: / Zeile 54: @@
 $p_{\rm B} \ = \ $ { 2.27 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
-{Geben Sie für &nbsp;<u>BPSK</u>&nbsp; den minimalen Wert für &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (in dB) an, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$&nbsp; erreicht wird.
+{Geben Sie für &nbsp;<u>DPSK</u>&nbsp; den minimalen Wert für &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (in dB) an, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$&nbsp; erreicht wird.
 |type="{}"}
 $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 10.4 3% } $\ \rm dB$
@@ Zeile 70: / Zeile 70: @@
 '''(1)'''&nbsp; Aus $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$ folgt $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $ und damit
 :$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx {\rm Q_{\rm S}}\left ( \sqrt{10} \right )= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 20\pi} }\cdot \rm e^{-5 }\hspace{0.15cm}\underline {= 85 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
-Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $7.83 · 10^{–4}$. Die angegebene Gleichung ${\rm Q_S}(x)$ ist also tatsächlich eine obere Schranke für ${\rm Q}(x)$. Der relative Fehler bei Verwendung von  ${\rm Q_S}(x)$ anstelle von  ${\rm Q}(x)$ ist in diesem Fall kleiner als $10\%$.
+*Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $7.83 · 10^{–4}$. Die angegebene Gleichung ${\rm Q_S}(x)$ ist also tatsächlich eine obere Schranke für ${\rm Q}(x)$.
 '''(2)'''&nbsp; Bei BPSK lautet die entsprechende Gleichung:
 :$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx {\rm Q_{\rm S}}\left ( \sqrt{20} \right )= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {= 0.405 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Nun beträgt der relative Fehler durch Verwendung von ${\rm Q_S}(x)$ nur noch $\5\%$.
+*Nun beträgt der relative Fehler durch Verwendung von ${\rm Q_S}(x)$ nur noch $5 \%$.
-*Allgemein gilt: Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung ${\rm Q}(x) ≈ {\rm Q_S}(x)$.
+*Allgemein gilt: &nbsp; Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung ${\rm Q}(x) ≈ {\rm Q_S}(x)$.
-'''(3)'''&nbsp; Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6\ \rm  dB$ erforderlich. Bei der ASK muss der logarithmierte Wert um etwa $3\ \rm  dB$ erhöht werden &nbsp; ⇒ &nbsp; $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 12.6 \ \rm dB}$.
+'''(3)'''&nbsp; Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6\ \rm  dB$ erforderlich.
 '''(4)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen DPSK–Gleichung gilt mit $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $:
 :$$p_{\rm B} = {\rm 1}/{2 }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.27 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
-Wie bereits aus der Grafik auf der Angabenseite ersichtlich, liegt die DPSK mit differentiell–kohärenter Demodulation zwischen der binären Phasenmodulation (BPSK) und der binären Amplitudenmodulation (ASK), wenn für beide eine kohärente Demodulation vorgesehen ist.
+*Wie bereits aus der Grafik auf der Angabenseite ersichtlich, liegt die DPSK mit differentiell–kohärenter Demodulation zwischen der binären Phasenmodulation (BPSK) und der binären Amplitudenmodulation (ASK), wenn für beide eine kohärente Demodulation vorgesehen ist.
 '''(5)'''&nbsp; Aus der Umkehrfunktion der angegebenen Gleichung erhält man:
 :$$ \frac{E_{\rm B}} {N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{E_{\rm B}} {N_{\rm 0}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 10.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Die inkohärente ASK ist entsprechend den angegebenen Gleichungen wieder um $3\ \rm  dB$ schlechter als die differentiell–kohärente DPSK. Daraus folgt für den gesuchten dB–Wert: &nbsp;  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \hspace{0.15cm}\underline {≈ 13.4 \ \rm dB}$.

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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick|Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick]].
 *Die Herleitungen finden Sie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]] desBuches „Digitalsignalübertragung”.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 *Für die numerischen Auswertungen können Sie die folgende obere Schranke verwenden:
 :$$ \rm Q_{\rm S} (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi} \cdot x}\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \ge \rm Q (\it x)\hspace{0.05cm}.$$

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 Die drei ersten Fehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt. Beispielsweise erhält man für $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$  entsprechend den exakten Funktionen:
 :$$ p_{\rm B} = 7.83 \cdot 10^{-4}\,\,{\rm (ASK)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_{\rm B} = 3.87 \cdot 10^{-6}\,\,{\rm (BPSK)}\hspace{0.05cm},$$
-Um bei BPSK die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_B = 10^{–5}$ zu erreichen bzw. zu unterschreiten, muss $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ge 9.6 \ \rm dB$ sein.
+Um bei BPSK die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = 10^{–5}$ zu erreichen bzw. zu unterschreiten, muss $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ge 9.6 \ \rm dB$ sein.