Aufgaben:Aufgabe 4.7Z: Zum Prinzip der Syndromdecodierung - Versionsgeschichte

Guenter am 8. Juli 2019 um 10:29 Uhr

2019-07-08T10:29:50Z

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2019-07-08T10:24:37Z

Guenter am 30. Januar 2018 um 13:57 Uhr

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Hussain am 10. Dezember 2017 um 15:29 Uhr

2017-12-10T15:29:36Z

Hussain am 10. Dezember 2017 um 15:14 Uhr

2017-12-10T15:14:18Z

Hussain am 10. Dezember 2017 um 15:13 Uhr

2017-12-10T15:13:03Z

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 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Nach den Aussagen im Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes| Decodierung linearer Blockcodes]] kann für das Syndrom auch $\underline{s} = \underline{e} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$ geschrieben werden. Damit erhält man für den fehlerfreien Fall &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$:
+*Nach den Aussagen im Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes| Decodierung linearer Blockcodes]] kann für das Syndrom auch $\underline{s} = \underline{e} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$ geschrieben werden.
 :$$\underline{s}= \left ( 0, \hspace{0.03cm} 0, \hspace{0.03cm}0, \hspace{0.03cm}0, \hspace{0.03cm}0, \hspace{0.03cm}0 \right ) \cdot
    \begin{pmatrix}
@@ Zeile 147: / Zeile 148: @@
 '''(4)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen</u> stimmen, wie aus der Musterlösung zur letzten Teilaufgabe zu ersehen ist:
 *Die Zeilen der transponierten Prüfmatrix ergeben von oben nach unten gelesen, die jeweiligen Syndrome für die Fehlermuster $\underline{e} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0), \hspace{0.05cm} \text{ ... } \hspace{0.05cm} , \ \underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1)$.

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Produktcodes}}
-[[Datei:P_ID3013__KC_Z_4_7_v1.png|right|frame|Nebenklassenanführer für $\rm HC \  (7, \ 4, \ 3)$]]
+[[Datei:P_ID3013__KC_Z_4_7_v1.png|right|frame|Nebenklassenanführer für den betrachteten Code&nbsp; $\rm HC \  (7, \ 4, \ 3)$]]
-Die Syndromdecodierung wurde bereits im Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes| Decodierung linearer Blockcodes]] ausführlich behandelt. Bei allen Hammingcodes, die ja bekanntlich perfekt sind, ergibt sich hiermit ein gleich gutes Decodierergebnis wie mit der (im allgemeinen) deutlich komplizierteren Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Decodierung.
+Die Syndromdecodierung wurde bereits im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes| Decodierung linearer Blockcodes]]&nbsp; ausführlich behandelt. Bei allen Hammingcodes, die ja bekanntlich perfekt sind, ergibt sich hiermit ein gleich gutes Decodierergebnis wie mit der (im allgemeinen) deutlich komplizierteren Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Decodierung.
 Bei der Syndromdecodierung geht man wie folgt vor:
-* Man bildet aus dem Empfangsvektor $\underline{y}$ der Länge $n$ und der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ das Syndrom:
+* Man bildet aus dem Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; der Länge&nbsp; $n$&nbsp; und der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; das Syndrom:
 :$$\underline{s} = \underline{y} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} \in {\rm GF}(2^m)
    \hspace{0.05cm},  \hspace{0.5cm}{\rm Anmerkung\hspace{-0.10cm}:} \hspace{0.15cm}m = n-k \hspace{0.05cm}. $$
-* Das Empfangswort $\underline{y} = \underline{x} \ {\rm (Codewort)} + \underline{e} \ {\rm (Fehlervektor)}$ ist nicht notwendigermaßen ein Element von ${\rm GF}(2^m)$, sicher aber ein Element von ${\rm GF}(2^n)$ und es gilt wegen $\underline{x} \cdot \mathbf{H}^{\rm T} = \underline{0}$ gleichermaßen:
+* Das Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = \underline{x} \ {\rm (Codewort)} + \underline{e} \ {\rm (Fehlervektor)}$&nbsp; ist nicht notwendigermaßen ein Element von&nbsp; ${\rm GF}(2^m)$, sicher aber ein Element von&nbsp; ${\rm GF}(2^n)$&nbsp; und es gilt wegen&nbsp; $\underline{x} \cdot \mathbf{H}^{\rm T} = \underline{0}$&nbsp; gleichermaßen:
 :$$\underline{s} = \underline{e} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T}\hspace{0.05cm}. $$
-* Viele Fehlermuster $\underline{e}$ führen zum gleichen Syndrom $\underline{s}$. Man fasst nun diejenigen Fehlermuster mit gleichem Syndrom $\underline{s}_{\mu}$ zur Nebenklasse ${\it \Psi}_{\mu}$ zusammen.
+* Viele Fehlermuster&nbsp; $\underline{e}$&nbsp; führen zum gleichen Syndrom&nbsp; $\underline{s}$. Man fasst nun diejenigen Fehlermuster mit gleichem Syndrom&nbsp; $\underline{s}_{\mu}$&nbsp; zur Nebenklasse&nbsp; ${\it \Psi}_{\mu}$&nbsp; zusammen.
-* Als Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$ bezeichnet man denjenigen Fehlervektor, der innerhalb der Klasse ${\it \Psi}_{\mu}$ das geringste Hamming&ndash;Gewicht aufweist und dementsprechend am wahrscheinlichsten ist.
+* Als Nebenklassenanführer&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp; bezeichnet man denjenigen Fehlervektor, der innerhalb der Klasse&nbsp; ${\it \Psi}_{\mu}$&nbsp; das geringste Hamming&ndash;Gewicht aufweist und dementsprechend am wahrscheinlichsten ist.
-Die  obige Tabelle zeigt die Liste der Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$ für die einzelnen $\underline{s}_{\mu}$ beim Hammingcode $\rm HC \  (7, \ 4, \ 3)$. Diese Tabelle wird für die Teilaufgabe (1) benötigt.
+Die  obige Tabelle zeigt die Liste der Nebenklassenanführer&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp; für die einzelnen&nbsp; $\underline{s}_{\mu}$&nbsp; beim Hammingcode&nbsp; $\rm HC \  (7, \ 4, \ 3)$. Diese Tabelle wird für die Teilaufgabe '''(1)''' benötigt.
-Eine ähnliche Tabelle soll für den verkürzten Hammingcode $\rm HC \  (6, \ 3, \ 3)$erstellt werden. Dieser wurde bereits in der [[Aufgaben:4.6_Produktcode%E2%80%93Generierung| Aufgabe 4.6]] sowie der  [[Aufgaben:4.6Z_Grundlagen_der_Produktcodes| Aufgabe 4.6Z]] benutzt und ist durch seine Generatormatrix vorgegeben:
+Eine ähnliche Tabelle soll für den verkürzten Hammingcode&nbsp; $\rm HC \  (6, \ 3, \ 3)$&nbsp; erstellt werden. Dieser wurde bereits in der&nbsp; [[Aufgaben:4.6_Produktcode%E2%80%93Generierung| Aufgabe 4.6]]&nbsp; sowie der&nbsp;  [[Aufgaben:4.6Z_Grundlagen_der_Produktcodes| Aufgabe 4.6Z]]&nbsp; benutzt und ist durch seine Generatormatrix gegeben:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}
 =  \begin{pmatrix}
@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 	\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Im Gegensatz zum originalen $\rm   (7, \ 4, \ 3)$&ndash;Hammingcode ist der verkürzte $\rm   (6, \ 3, \ 3)$&ndash;Hammingcode nicht perfekt, so dass sich nicht für alle möglichen $\underline{s}_{\mu}$ ein Einfehler&ndash;Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$ finden lässt.
+Im Gegensatz zum originalen&nbsp; $\rm   (7, \ 4, \ 3)$&ndash;Hammingcode ist der verkürzte&nbsp; $\rm   (6, \ 3, \ 3)$&ndash;Hammingcode nicht perfekt, so dass sich nicht für alle möglichen&nbsp; $\underline{s}_{\mu}$&nbsp; ein Einfehler&ndash;Nebenklassenanführer&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp; finden lässt.
@@ Zeile 34: / Zeile 38: @@
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes| Grundlegendes zu den Produktcodes]] und ist als Ergänzung zur [[Aufgaben:4.7_Produktcode%E2%80%93Decodierung| Aufgabe A4.7]] gedacht.
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes| Grundlegendes zu den Produktcodes]]&nbsp; und ist als Ergänzung zur&nbsp; [[Aufgaben:4.7_Produktcode%E2%80%93Decodierung| Aufgabe A4.7]]&nbsp; gedacht.
-* Ähnliche Aufgabenstellungen wurden in [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung| Aufgabe 1.11]] und [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung| Aufgabe 1.11Z]] im Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]] behandelt.
+* Ähnliche Aufgabenstellungen wurden in der&nbsp; [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung| Aufgabe 1.11]]&nbsp; und der&nbsp; [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung| Aufgabe 1.11Z]]&nbsp; im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]]&nbsp; behandelt.
-* Der Zusammenhang zwischen der Generatormatrix $\mathbf{G}$ und der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ von systematischen Codes ist im Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes| Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]] angegeben.
+* Der Zusammenhang zwischen Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; und Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; von systematischen Codes ist im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes| Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]]&nbsp; angegeben.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Das Empfangswort sei $\underline{y} = (0, \, 1, \, 1,\, 0, \, 1, \, 1, \, 0)$, das Syndrom $\underline{s} = (0, \, 1, \, 1)$. Für welches Codewort $\underline{x}$ von $\mathcal{C}_1$ entscheidet sich der Syndromdecoder?
+{Das Empfangswort sei&nbsp; $\underline{y} = (0, \, 1, \, 1,\, 0, \, 1, \, 1, \, 0)$, das Syndrom&nbsp; $\underline{s} = (0, \, 1, \, 1)$. Für welches Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; von&nbsp; $\mathcal{C}_1$&nbsp; entscheidet sich der Syndromdecoder?
 |type="()"}
-- Das wahrscheinlichste Codewort ist $\ \underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0)$.
+- Das wahrscheinlichste Codewort ist&nbsp; $\ \underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0)$.
-+ Das wahrscheinlichste Codewort ist $\ \underline{x} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0)$.
++ Das wahrscheinlichste Codewort ist&nbsp; $\ \underline{x} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0)$.
-- Das wahrscheinlichste Codewort ist $\ \underline{x} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1)$.
+- Das wahrscheinlichste Codewort ist&nbsp; $\ \underline{x} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1)$.
-{Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ des verkürzten Codes $\mathcal{C}_2$?
+{Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; des verkürzten Codes&nbsp; $\mathcal{C}_2$?
 |type="[]"}
-- Es handelt sich um eine $4 &times 6$&ndash;Matrix.
+- Es handelt sich um eine&nbsp; $4 &times 6$&ndash;Matrix.
-+ Die erste Zeile dieser Matrix lautet: $\ 110100$.
++ Die erste Zeile dieser Matrix lautet: &nbsp;$\ 110100$.
-+ Die zweite Zeile dieser Matrix lautet: $\ 101010$.
++ Die zweite Zeile dieser Matrix lautet: &nbsp;$\ 101010$.
-+ Die dritte Zeile dieser Matrix lautet: $\ 011001$.
++ Die dritte Zeile dieser Matrix lautet: &nbsp;$\ 011001$.
-{Welches Syndrom $\underline{s}$ ergibt sich für das Fehlermuster $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$?
+{Welches Syndrom&nbsp; $\underline{s}$&nbsp; ergibt sich für das Fehlermuster&nbsp; $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$?
 |type="()"}
 + $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0) \ \Rightarrow \ \underline{s} = \underline{s}_0 = (0, \, 0, \, 0)$,
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 {Welche der folgenden Aussagen stimmen bezüglich der Einfehlermuster?
 |type="[]"}
-+ Einfehlermuster $\underline{e} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Syndrom $\underline{s}_6 = (1, \, 1, \, 0)$,
++ Einfehlermuster &nbsp; $\underline{e} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Syndrom $\underline{s}_6 = (1, \, 1, \, 0)$,
-+ Einfehlermuster $\underline{e} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Syndrom $\underline{s}_5 = (1, \, 0, \, 1)$,
++ Einfehlermuster &nbsp; $\underline{e} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Syndrom $\underline{s}_5 = (1, \, 0, \, 1)$,
-+ Einfehlermuster $\underline{e} = (0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Syndrom $\underline{s}_3 = (0, \, 1, \, 1)$,
++ Einfehlermuster &nbsp; $\underline{e} = (0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Syndrom $\underline{s}_3 = (0, \, 1, \, 1)$,
-+ Einfehlermuster $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Syndrom $\underline{s}_4 = (1, \, 0, \, 0)$,
++ Einfehlermuster &nbsp; $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Syndrom $\underline{s}_4 = (1, \, 0, \, 0)$,
-+ Einfehlermuster $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Syndrom $\underline{s}_2 = (0, \, 1, \, 0)$,
++ Einfehlermuster &nbsp; $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Syndrom $\underline{s}_2 = (0, \, 1, \, 0)$,
-+ Einfehlermuster $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Syndrom $\underline{s}_1 = (0, \, 0, \, 1)$,
++ Einfehlermuster &nbsp; $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Syndrom $\underline{s}_1 = (0, \, 0, \, 1)$,
-{Welche der folgenden Fehlermuster führen zum Syndrom $\underline{s}_7 = (1, \, 1, \, 1)$?
+{Welche der folgenden Fehlermuster führen zum Syndrom&nbsp; $\underline{s}_7 = (1, \, 1, \, 1)$?
 |type="[]"}
 - $\underline{e} = (1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$,

@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
-Die Tabelle oben zeigt die Liste der Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$ für die einzelnen $\underline{s}_{\mu}$ beim Hammingcode $\rm HC \  (7, \ 4, \ 3)$. Diese Tabelle wird für die Teilaufgabe (1) benötigt.
+Die  obige Tabelle zeigt die Liste der Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$ für die einzelnen $\underline{s}_{\mu}$ beim Hammingcode $\rm HC \  (7, \ 4, \ 3)$. Diese Tabelle wird für die Teilaufgabe (1) benötigt.
 Eine ähnliche Tabelle soll für den verkürzten Hammingcode $\rm HC \  (6, \ 3, \ 3)$erstellt werden. Dieser wurde bereits in der [[Aufgaben:4.6_Produktcode%E2%80%93Generierung| Aufgabe 4.6]] sowie der  [[Aufgaben:4.6Z_Grundlagen_der_Produktcodes| Aufgabe 4.6Z]] benutzt und ist durch seine Generatormatrix vorgegeben:
@@ Zeile 80: / Zeile 80: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus der [[Aufgaben:4.7Z_Syndromdecodierung_%E2%80%93_Prinzip| Syndromtabelle]] auf der Angabenseite &ndash; gültig für den (7, 4, 3) Hammingcode &ndash; kann man ablesen, dass das Syndrom $\underline{s} = \underline{s}_3 = (0, \, 1, \, 1)$ mit dem Fehlermuster $\underline{e} = (0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$ korrespondiert. Damit ist das Codewort
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-:$$\underline{x} = (0, 1, 1, 0, 1, 1, 0) \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}(0, 0, 1, 0, 0, 0, 0)
+*Aus der [[Aufgaben:4.7Z_Syndromdecodierung_%E2%80%93_Prinzip| Syndromtabelle]] auf der Angabenseite &ndash; gültig für den $\rm (7, \ 4, \ 3)$&ndash;Hammingcode &ndash; kann man ablesen, dass das Syndrom $\underline{s} = \underline{s}_3 = (0, \, 1, \, 1)$ mit dem Fehlermuster $\underline{e} = (0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$ korrespondiert. Damit ist das Codewort
 \hspace{0.15cm}= \hspace{0.15cm}(0, 1, 0, 0, 1, 1, 0)$$
-am wahrscheinlichsten und der Syndromdecoder gibt dieses als Ergebnis aus &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+am wahrscheinlichsten und der Syndromdecoder gibt dieses als Ergebnis aus.
-'''(2)'''&nbsp; Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ des verkürzten (6, 3)&ndash;Hammingcodes $C_2$ hat $m = n - k = 3$ Zeilen und $n$ Spalten. Es handelt sich demzufolge und eine $3 &times 6$&ndash;Matrix &nbsp;&#8658;&nbsp; die Aussage 1 ist falsch.
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>:
-Da es sich auch bei $C_2$ um einen systematischen Code handelt, kann die Generatormatrix $\mathbf{G}$ in folgender Form dargestellt werden:
+*Da es sich auch bei $\mathcal{C}_2$ um einen systematischen Code handelt, kann die Generatormatrix $\mathbf{G}$ in folgender Form dargestellt werden:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}
 =  \begin{pmatrix}
@@ Zeile 106: / Zeile 108: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Somit kann für die Prüfmatrix geschrieben werden:
+*Somit kann für die Prüfmatrix geschrieben werden:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}
 =   \left ( { \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T} ;  \hspace{0.15cm} { \boldsymbol{\rm I}}_3  \right )
@@ Zeile 116: / Zeile 118: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei bezeichnet $\mathbf{I}_3$ eine $3 &times 3$&ndash;Diagonalmatrix, die typisch ist für den systematischen Code.
+*Hierbei bezeichnet $\mathbf{I}_3$ eine $3 &times 3$&ndash;Diagonalmatrix, die typisch ist für den systematischen Code.
-<u>Die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u> sind somit richtig:
+*Die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4 sind somit richtig:
-* Zeile 1: $\ 110100$,
+:* Zeile 1: &nbsp; $\ 110100$,
-* Zeile 2: $\ 101010$,
+:* Zeile 2: &nbsp; $\ 101010$,
-* Zeile 3: $\ 011001$.
+:* Zeile 3: &nbsp; $\ 011001$.
-'''(3)'''&nbsp; Nach den Aussagen im Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes| Decodierung linearer Blockcodes]] kann für das Syndrom auch $\underline{s} = \underline{e} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$ geschrieben werden. Damit erhält man für den fehlerfreien Fall &nbsp;&#8658;&nbsp; $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 :$$\underline{s}= \left ( 0, \hspace{0.03cm} 0, \hspace{0.03cm}0, \hspace{0.03cm}0, \hspace{0.03cm}0, \hspace{0.03cm}0 \right ) \cdot
    \begin{pmatrix}
@@ Zeile 136: / Zeile 139: @@
 \left ( 0, \hspace{0.03cm} 0, \hspace{0.03cm}0 \right ) = \underline{s}_0.$$
-'''(4)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen</u> stimmen, wie aus der Musterlösung zur letzten Teilaufgabe zu ersehen ist: Die Zeilen der transponierten Prüfmatrix ergeben von oben nach unten gelesen, die jeweiligen Syndrome für die Fehlermuster $\underline{e} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0), \ ... \ , \ \underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1)$.
+'''(4)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen</u> stimmen, wie aus der Musterlösung zur letzten Teilaufgabe zu ersehen ist:
-'''(5)'''&nbsp; Die erste Aussage ist falsch, da die beiden ersten Zeilen der transponierten Prüfmatrix $\mathbf{H}^{\rm T}$ aufsummiert $(1, \, 1, \, 0) + (1, \, 0, \, 1) = (0, \, 1, \, 1) = \underline{s_3} &ne; \underline{s}_7$ ergibt. Die <u>Aussagen 2, 3 und 4</u> sind richtig:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>:
-* Erste und letzte Zeile: $\ (1, \, 1, \, 0) + (0, \, 0, \, 1) = (1, \, 1, \, 1) = \underline{s}_7$,
+*Die erste Aussage ist falsch, da die beiden ersten Zeilen der transponierten Prüfmatrix $\mathbf{H}^{\rm T}$ aufsummiert $(1, \, 1, \, 0) + (1, \, 0, \, 1) = (0, \, 1, \, 1) = \underline{s_3} &ne; \underline{s}_7$ ergibt.
-* zweite und fünfte Zeile: $\ (1, \, 0, \, 1) + (0, \, 1, \, 0) = (1, \, 1, \, 1) = \underline{s}_7$,
+*Die Aussagen 2, 3 und 4  sind dagegen richtig:
-* Die Summe über alle Zeilen ergibt ebenfalls $\underline{s}_7$, da es in jeder Matrixspalte genau drei Einsen gibt.
+:* Erste und letzte Zeile: $\ (1, \, 1, \, 0) + (0, \, 0, \, 1) = (1, \, 1, \, 1) = \underline{s}_7$,
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes| Grundlegendes zu den Produktcodes]] und ist als Ergänzung zur [[Aufgaben:4.7_Produktcode%E2%80%93Decodierung| Aufgabe A4.7]] gedacht.
-* Ähnliche Aufgabenstellungen wurden in [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung| Aufgabe A1.11]] und [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung| Aufgabe Z1.11]] im Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]] behandelt.
+* Ähnliche Aufgabenstellungen wurden in [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung| Aufgabe 1.11]] und [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung| Aufgabe 1.11Z]] im Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]] behandelt.
 * Der Zusammenhang zwischen der Generatormatrix $\mathbf{G}$ und der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ von systematischen Codes ist im Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes| Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]] angegeben.
@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Das Empfangswort sei $\underline{y} = (0, \, 1, \, 1,\, 0, \, 1, \, 1, \, 0)$, das Syndrom $\underline{s} = (0, \, 1, \, 1)$. Für welches Codewort $\underline{x}$ von $C_1$ entscheidet sich der Syndromdecoder?
+{Das Empfangswort sei $\underline{y} = (0, \, 1, \, 1,\, 0, \, 1, \, 1, \, 0)$, das Syndrom $\underline{s} = (0, \, 1, \, 1)$. Für welches Codewort $\underline{x}$ von $\mathcal{C}_1$ entscheidet sich der Syndromdecoder?
 |type="()"}
 - Das wahrscheinlichste Codewort ist $\ \underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0)$.
@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
 - Das wahrscheinlichste Codewort ist $\ \underline{x} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1)$.
-{Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ des verkürzten Codes $C_2$?
+{Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ des verkürzten Codes $\mathcal{C}_2$?
 |type="[]"}
 - Es handelt sich um eine $4 &times 6$&ndash;Matrix.
@@ Zeile 56: / Zeile 56: @@
 {Welches Syndrom $\underline{s}$ ergibt sich für das Fehlermuster $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0) \ \Rightarrow \ \underline{s} = \underline{s}_0 = (0, \, 0, \, 0)$,
 - $\underline{e} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0) \ \Rightarrow \ \underline{s} = \underline{s}_1 = (0, \, 0, \, 1)$,

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Produktcodes}}
-[[Datei:P_ID3013__KC_Z_4_7_v1.png|right|frame|Nebenklassenanführer für HC (7, 4, 3)]]
+[[Datei:P_ID3013__KC_Z_4_7_v1.png|right|frame|Nebenklassenanführer für $\rm HC \  (7, \ 4, \ 3)$]]
-Die Syndromdecodierung wurde bereits im Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes| Decodierung linearer Blockcodes]] ausführlich behandelt. Bei allen Hammingcodes, die ja bekanntlich perfekt sind, ergibt sich hiermit ein gleich gutes Decodierergebnis wie mit der (im allgemeinen) deutlich komplizierteren Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Detektion.
+Die Syndromdecodierung wurde bereits im Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes| Decodierung linearer Blockcodes]] ausführlich behandelt. Bei allen Hammingcodes, die ja bekanntlich perfekt sind, ergibt sich hiermit ein gleich gutes Decodierergebnis wie mit der (im allgemeinen) deutlich komplizierteren Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Decodierung.
 Bei der Syndromdecodierung geht man wie folgt vor:
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-Die Tabelle oben zeigt die Liste der Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$ für die einzelnen $\underline{s}_{\mu}$ beim Hammingcode (7, 4, 3). Diese Tabelle wird für die Teilaufgabe (1) benötigt.
+Die Tabelle oben zeigt die Liste der Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$ für die einzelnen $\underline{s}_{\mu}$ beim Hammingcode $\rm HC \  (7, \ 4, \ 3)$. Diese Tabelle wird für die Teilaufgabe (1) benötigt.
-Eine ähnliche Tabelle soll für den verkürzten Hammingcode (6, 3, 3) erstellt werden. Dieser wurde bereits in [[Aufgaben:4.6_Produktcode%E2%80%93Generierung| Aufgabe A4.6]] sowie [[Aufgaben:4.6Z_Grundlagen_der_Produktcodes| Aufgabe Z4.6]] benutzt und ist durch seine Generatormatrix vorgegeben:
+Eine ähnliche Tabelle soll für den verkürzten Hammingcode $\rm HC \  (6, \ 3, \ 3)$erstellt werden. Dieser wurde bereits in der [[Aufgaben:4.6_Produktcode%E2%80%93Generierung| Aufgabe 4.6]] sowie der  [[Aufgaben:4.6Z_Grundlagen_der_Produktcodes| Aufgabe 4.6Z]] benutzt und ist durch seine Generatormatrix vorgegeben:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}
 =  \begin{pmatrix}
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 	\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Im Gegensatz zum originalen (7, 4, 3)&ndash;Hammingcode ist der verkürzte (6, 3, 3)&ndash;Hammingcode nicht perfekt, so dass sich nicht für alle möglichen $\underline{s}_{\mu}$ ein Einfehler&ndash;Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$ finden lässt.
+Im Gegensatz zum originalen $\rm   (7, \ 4, \ 3)$&ndash;Hammingcode ist der verkürzte $\rm   (6, \ 3, \ 3)$&ndash;Hammingcode nicht perfekt, so dass sich nicht für alle möglichen $\underline{s}_{\mu}$ ein Einfehler&ndash;Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$ finden lässt.
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes| Grundlegendes zu den Produktcodes]] und ist als Ergänzung zur [[Aufgaben:4.7_Produktcode%E2%80%93Decodierung| Aufgabe A4.7]] gedacht.
-* Ähnliche Aufgabenstellungen wurden in [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung| Aufgabe A1.11]] und [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung| Aufgabe Z1.11]] im Kapitel 1.5 behandelt.
+* Ähnliche Aufgabenstellungen wurden in [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung| Aufgabe A1.11]] und [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung| Aufgabe Z1.11]] im Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]] behandelt.
 * Der Zusammenhang zwischen der Generatormatrix $\mathbf{G}$ und der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ von systematischen Codes ist im Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes| Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]] angegeben.