Aufgaben:Aufgabe 4.7: Zum RAKE-Empfänger - Versionsgeschichte

Guenter am 20. August 2019 um 13:51 Uhr

2019-08-20T13:51:41Z

Guenter am 20. August 2019 um 13:37 Uhr

2019-08-20T13:37:56Z

Guenter am 20. August 2019 um 12:40 Uhr

2019-08-20T12:40:16Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:57Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 5. März 2018 um 16:59 Uhr

2018-03-05T16:59:51Z

Guenter am 5. März 2018 um 16:41 Uhr

2018-03-05T16:41:07Z

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2018-03-05T16:37:50Z

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2018-03-05T16:26:41Z

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Guenter am 8. Februar 2018 um 12:34 Uhr

2018-02-08T12:34:59Z

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2018-01-04T07:05:01Z

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 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt $\Rightarrow s(t) = \delta(t)$.
+*Die Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm K}(t)$&nbsp; ergibt sich als das Empfangssignal&nbsp; $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt&nbsp; $\Rightarrow s(t) = \delta(t)$.
-* Daraus folgt
+* Daraus folgt:
 :$$h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:
+*Der Kanalfrequenzgang&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm K}(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:
 :$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
 *Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen:
-*$H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit $1/\tau$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
+*$H_{\rm K}(f)$&nbsp; ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit&nbsp; $1/\tau$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
 :$$|H_{\rm K}(f)|^2  = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 =  \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] +  2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.$$
-*Für $f = 0$ ist $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/\tau$ wiederholt sich dieser Wert.
+*Für&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist&nbsp; $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand&nbsp; $1/\tau$&nbsp; wiederholt sich dieser Wert.
 '''(3)'''&nbsp; Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß $K = 1$. Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$. Um die vorgegebene $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $\tau_{0} = 0$ gelten oder $\tau_{1}= 0$. Mit $\tau_{0} = 0$ erhält man für die Impulsantwort:
 :$$ h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
-Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann $\tau_{1} = \tau$ gewählt werden. Mit $h_{0} = 0.6$ und $h_{1} = 0.4$ erhält man dann $A_{0} \neq A_{2}$:
+*Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann&nbsp; $\tau_{1} = \tau$&nbsp; gewählt werden. Mit&nbsp; $h_{0} = 0.6$&nbsp; und&nbsp; $h_{1} = 0.4$&nbsp; erhält man dann&nbsp; $A_{0} \neq A_{2}$:
 :$$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.48 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen ergibt sich mit $h_{0} = 0.6$, $h_{1} = 0.4, \tau_{0} = \tau$ und $\tau_{1} = 0$:
+*Dagegen ergibt sich mit&nbsp; $h_{0} = 0.6$,&nbsp; $h_{1} = 0.4,&nbsp; \tau_{0} = \tau$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1} = 0$:
-:$$h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)] \hspace{0.05cm}.$$
+:$$h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot \big[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)\big] \hspace{0.05cm}.$$
-Hier ist die Zusatzbedingung $A_{0} = A_{2}$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:
+*Hier ist die Zusatzbedingung&nbsp; $A_{0} = A_{2}$&nbsp; erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:
-:$$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm &micro; s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Es gilt entsprechend der angegebenen Gleichung
 :$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 1.923 } \hspace{0.05cm}.$$
-Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort (es gilt $0.24/0.52 = 6/13$):
+*Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort&nbsp; (es gilt&nbsp; $0.24/0.52 = 6/13$):
 :$$h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Für das Empfangssignal $r(t)$ und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$ gilt:
-:$$ r(t) \ = \ 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$
+'''(5)'''&nbsp; Für das Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; und für das RAKE–Ausgangssignal&nbsp; $b(t)$&nbsp; gelten:
 [[Datei:P_ID1980__Mod_Z_5_5e.png|right|frame|Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers]]
 Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie die Grafik zeigt.
-Bezüglich des AWGN–Rauschverhaltens sind $r(t)$ und $b(t)$ vergleichbar.
+Bezüglich des AWGN–Rauschverhaltens sind&nbsp; $r(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$&nbsp; vergleichbar.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS}}
-[[Datei:P_ID1976__Mod_Z_5_5.png|right|frame|Zweiwegekanal & RAKE&ndash;Empfänger]]
+[[Datei:P_ID1976__Mod_Z_5_5.png|right|frame|Zweiwegekanal & RAKE]]
 Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet:
@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 :$$r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
-Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei&nbsp; $\tau = 1 \ \rm &micro; s$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten&nbsp; $K, h_{0}, h_{1}, \tau_{0}$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1}$.
+Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei&nbsp; $\tau = 1 \ \rm &micro; s$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten&nbsp; $K, \ h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1}$.
 Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 :$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$
-angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten&nbsp; $h_{0}, h_{1}, \tau_{0}$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1}$&nbsp; geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von&nbsp; $h_{\rm KR}(t)$&nbsp; soll bei&nbsp; $t = \tau$&nbsp; liegen.
+angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten&nbsp; $h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1}$&nbsp; geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von&nbsp; $h_{\rm KR}(t)$&nbsp; soll bei&nbsp; $t = \tau$&nbsp; liegen.
 Die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; ist aus Normierungsgründen notwendig. Um den Einfluss von AWGN–Rauschen nicht zu verfälschen, muss folgende Bedingung erfüllt sein:
 :$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$
-Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale&nbsp; $r(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$, wenn&nbsp; $s(t)$&nbsp; ein Rechteck der Höhe&nbsp; $1$&nbsp; und der Breite&nbsp; $T = 5 \ \rm &micro; s$&nbsp; ist.
+Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale&nbsp; $r(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$, wenn&nbsp; $s(t)$&nbsp; ein Rechteck der Höhe&nbsp; $1$&nbsp; und der Breite&nbsp; $T = 5 \ \rm &micro; s$&nbsp; beschreibt.
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 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen gelten für die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$?
+{Welche Aussagen gelten für die Kanalimpulsantwort&nbsp; $h_{\rm K}(t)$&nbsp;?
 |type="[]"}
-+ $h_{\rm K}(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen.
++ $h_{\rm K}(t)$&nbsp; besteht aus zwei Diracfunktionen.
-- $h_{\rm K}(t)$ ist komplexwertig.
+- $h_{\rm K}(t)$&nbsp; ist komplexwertig.
-- $h_{\rm K}(t)$ ist eine mit der Verzögerungszeit $\tau$ periodische Funktion.
+- $h_{\rm K}(t)$&nbsp; ist eine mit der Verzögerungszeit&nbsp; $\tau$&nbsp; periodische Funktion.
-{Welche Aussagen gelten für den Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$?
+{Welche Aussagen gelten für den Kanalfrequenzgang&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp;?
 |type="[]"}
-- Es gilt $H_{\rm K}(f = 0) = 2$.
+- Es gilt&nbsp; $H_{\rm K}(f = 0) = 2$.
-+ $H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig.
++ $H_{\rm K}(f)$&nbsp; ist komplexwertig.
-+ $|H_{\rm K}(f)$| ist eine mit der Frequenz $1/ \tau$ periodische Funktion.
++ $|H_{\rm K}(f)|$&nbsp; ist eine mit der Frequenz&nbsp; $1/ \tau$&nbsp; periodische Funktion.
-{Setzen Sie $K = 1, h_{0} = 0.6$, $h_{1} = 0.4$. Bestimmen Sie die Verzögerungen $\tau_{0}$ und $\tau_{1}$, damit die $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung mit $A_{0} = A_{2}$ erfüllt wird.
+{Setzen Sie&nbsp; $K = 1, \ h_{0} = 0.6$&nbsp; und &nbsp; $h_{1} = 0.4$. Bestimmen Sie die Verzögerungen&nbsp; $\tau_{0}$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1}$, damit die&nbsp; $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung mit&nbsp; $A_{0} = A_{2}$&nbsp; erfüllt wird.
 |type="{}"}
 $\tau_{0} \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm &micro; s$
 $\tau_{1} \ = \ $ { 0 3% } $\ \rm&micro; s$
-{Welcher Wert ist für die Konstante $K$ zu wählen?
+{Welcher Wert ist für die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; zu wählen?
 |type="{}"}
 $K \ = \ $ { 1.923 3% }
-{Welche Aussagen gelten für die Signale $r(t)$ und $b(t)$?
+{Welche Aussagen gelten für die Signale&nbsp; $r(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$&nbsp;?
 |type="[]"}
-+ Der Maximalwert von $r(t)$ ist $1$.
++ Der Maximalwert von&nbsp; $r(t)$&nbsp; ist&nbsp; $1$.
-- Die Breite von $r(t)$ ist $7 \ \rm &micro; s$.
+- Die Breite von&nbsp; $r(t)$&nbsp; ist&nbsp; $7 \ \rm &micro; s$.
-- Der Maximalwert von $b(t)$ ist $1 \ \rm &micro; s$.
+- Der Maximalwert von&nbsp; $b(t)$&nbsp; ist&nbsp; $1 \ \rm &micro; s$.
-+ Die Breite von $b(t)$ ist $7 \ \rm &micro; s$.
++ Die Breite von&nbsp; $b(t)$&nbsp; ist&nbsp; $7 \ \rm &micro; s$.
 </quiz>

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS}}
-[[Datei:P_ID1976__Mod_Z_5_5.png|right|frame|Zweiwegekanal & RAKE]]
+[[Datei:P_ID1976__Mod_Z_5_5.png|right|frame|Zweiwegekanal & RAKE&ndash;Empfänger]]
 Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet:
@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 :$$r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
-Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei $\tau = 1 \ \rm &micro; s$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten $K, h_{0}, h_{1}, \tau_{0}$ und $\tau_{1}$.
+Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei&nbsp; $\tau = 1 \ \rm &micro; s$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten&nbsp; $K, h_{0}, h_{1}, \tau_{0}$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1}$.
 Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 :$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$
-angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten $h_{0}, h_{1}, \tau_{0}$ und $\tau_{1}$ geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von $h_{\rm KR}(t)$ soll bei $t = \tau$ liegen.
+angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten&nbsp; $h_{0}, h_{1}, \tau_{0}$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1}$&nbsp; geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von&nbsp; $h_{\rm KR}(t)$&nbsp; soll bei&nbsp; $t = \tau$&nbsp; liegen.
-Die Konstante $K$ ist aus Normierungsgründen notwendig. Um den Einfluss von AWGN–Rauschen nicht zu verfälschen, muss folgende Bedingung erfüllt sein:
+Die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; ist aus Normierungsgründen notwendig. Um den Einfluss von AWGN–Rauschen nicht zu verfälschen, muss folgende Bedingung erfüllt sein:
 :$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$
-Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale $r(t)$ und $b(t)$, wenn $s(t)$ ein Rechteck der Höhe $1$ und der Breite $T = 5 \ \rm &micro; s$ ist.
+Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale&nbsp; $r(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$, wenn&nbsp; $s(t)$&nbsp; ein Rechteck der Höhe&nbsp; $1$&nbsp; und der Breite&nbsp; $T = 5 \ \rm &micro; s$&nbsp; ist.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabegehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS|Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS]].
+*Die Aufgabegehört zum Kapitel&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS|Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS]].
-*Bezug genommen wird auch auf die Seite [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Untersuchungen_zum_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4nger|Untersuchungen zum RAKE&ndash;Empfänger]] im Buch „Modulationsverfahren”.
+*Bezug genommen wird auch auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Untersuchungen_zum_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4nger|Untersuchungen zum RAKE&ndash;Empfänger]] im Buch „Modulationsverfahren”.

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 *Die Aufgabegehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS|Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS]].
 *Bezug genommen wird auch auf die Seite [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Untersuchungen_zum_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4nger|Untersuchungen zum RAKE&ndash;Empfänger]] im Buch „Modulationsverfahren”.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt $\Rightarrow s(t) = \delta(t)$. Daraus folgt
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 :$$h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:
 :$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
-Der <u>erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen:</u> $H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit $1/\tau$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
+*Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen:
-:$$|H_{\rm K}(f)|^2 \ = \ \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = $$
-:$$\hspace{1.53cm} \ = \ \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + $$
+*$H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit $1/\tau$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
-:$$\hspace{1.53cm} \ + \ 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$
+:$$|H_{\rm K}(f)|^2  = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 =  \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] +  2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.$$
-Für $f = 0$ ist $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/\tau$ wiederholt sich dieser Wert.
+*Für $f = 0$ ist $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/\tau$ wiederholt sich dieser Wert.
 '''(3)'''&nbsp; Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß $K = 1$. Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$. Um die vorgegebene $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $\tau_{0} = 0$ gelten oder $\tau_{1}= 0$. Mit $\tau_{0} = 0$ erhält man für die Impulsantwort:
-:$$ h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) +$$
+:$$ h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
 Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann $\tau_{1} = \tau$ gewählt werden. Mit $h_{0} = 0.6$ und $h_{1} = 0.4$ erhält man dann $A_{0} \neq A_{2}$:
-:$$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.48 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
 Dagegen ergibt sich mit $h_{0} = 0.6$, $h_{1} = 0.4, \tau_{0} = \tau$ und $\tau_{1} = 0$:
-:$$h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) +$$
+:$$h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)] \hspace{0.05cm}.$$
 Hier ist die Zusatzbedingung $A_{0} = A_{2}$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:
 :$$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Es gilt entsprechend der angegebenen Gleichung
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 Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort (es gilt $0.24/0.52 = 6/13$):
 :$$h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Für das Empfangssignal $r(t)$ und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$ gilt:
 :$$ r(t) \ = \ 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$
 :$$ b(t) \ = \ \frac{6}{13} \cdot s(t) + 1.00 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s}) + \frac{6}{13} \cdot s (t - 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie die Grafik zeigt. Bezüglich des AWGN–Rauschverhaltens sind $r(t)$ und $b(t)$ vergleichbar.
+[[Datei:P_ID1980__Mod_Z_5_5e.png|right|frame|Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers]]
-[[Datei:P_ID1980__Mod_Z_5_5e.png|center|frame|Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers]]
+Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie die Grafik zeigt.

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