Aufgaben:Aufgabe 4.7: Mehrere parallele Gaußkanäle - Versionsgeschichte

Guenter am 4. Oktober 2021 um 12:16 Uhr

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Guenter am 4. Oktober 2021 um 12:07 Uhr

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Guenter am 12. Februar 2020 um 17:08 Uhr

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Guenter am 18. Oktober 2018 um 12:27 Uhr

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Guenter am 18. Oktober 2018 um 11:35 Uhr

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Guenter am 18. Oktober 2018 um 10:40 Uhr

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Der Parameter&nbsp; $K$&nbsp; ist gleich der Dimension der Signalraumdarstellung:
-* Für <u>ASK und BPSK</u> ist&nbsp; $\underline{K=1}$.
+* Für&nbsp; <u>ASK und BPSK</u> &nbsp;ist&nbsp; $\underline{K=1}$.
-* Für die <u> Konstellationen 3 bis 5</u> gilt dagegen&nbsp; $\underline{K=2}$&nbsp; (orthogonale Modulation mit Cosinus und Sinus).
+* Für die&nbsp; <u> Konstellationen 3 bis 5</u>&nbsp; gilt dagegen&nbsp; $\underline{K=2}$&nbsp; (orthogonale Modulation mit Cosinus und Sinus).
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 *Für jeden der Kanäle&nbsp; $(1 &#8804; k &#8804; K)$&nbsp; beträgt die Kanalkapazität&nbsp; $C = 1/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + (P_X/K) /P_N) \big]$.&nbsp; Die Gesamtkapazität ist dann um den Faktor&nbsp; $K$&nbsp; größer:
 :$$C_K(P_X)  = \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}C_k = \frac{K}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{K \cdot P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$
-*Der Lösungsvorschlag 1 ist zu positiv. Dieser würde bei Begrenzung der Gesamtleistung auf&nbsp; $K &middot; P_X$&nbsp;  gelten.
+*Der Lösungsvorschlag 1 ist zu positiv.&nbsp; Dieser würde bei Begrenzung der Gesamtleistung auf&nbsp; $K &middot; P_X$&nbsp;  gelten.
 *Der Vorschlag 3 würde bedeuten, dass man durch die Nutzung mehrerer unabhängiger Kanäle keine Kapazitätssteigerung erreicht, was offensichtlich nicht zutrifft.
-'''(3)'''&nbsp; Die Tabelle zeigt die Ergebnisse für&nbsp; $K = 1$,&nbsp; $K = 2$&nbsp; und&nbsp; $K = 4$&nbsp; sowie verschiedene Signal&ndash;zu&ndash;Störleistungsverhältnisse&nbsp; $\xi = P_X/P_N$. Für&nbsp; $\xi = P_X/P_N = 15$&nbsp; (markierte Spalte) ergibt sich:
+[[Datei:P_ID2902__Inf_A_4_7c.png|right|frame|Kanalkapazität&nbsp; $C_K$&nbsp; von&nbsp; $K$&nbsp; parallelen Gaußkanälen für verschiedene&nbsp; $\xi = P_X/P_N$]]
-[[Datei:P_ID2902__Inf_A_4_7c.png|right|frame|Kanalkapazität&nbsp; $C_K$&nbsp; von&nbsp; $K$&nbsp; parallelen Gaußkanälen für verschiedene&nbsp; $\xi = P_X/P_N$]]
+'''(3)'''&nbsp; Die Tabelle zeigt die Ergebnisse für&nbsp; $K = 1$,&nbsp; $K = 2$&nbsp; und&nbsp; $K = 4$&nbsp; und verschiedene Signal&ndash;zu&ndash;Störleistungsverhältnisse&nbsp; $\xi = P_X/P_N$. Für&nbsp; $\xi = P_X/P_N = 15$&nbsp; (markierte Spalte) ergibt sich:
 *  $K=1$:&nbsp;&nbsp; $C_K = 1/2 &middot; \log_2 \ (16)\hspace{0.05cm}\underline{ = 2.000}$ bit,
 * $K=2$:&nbsp;&nbsp; $C_K = 1/2 &middot; \log_2 \ (8.5)\hspace{0.05cm}\underline{ = 3.087}$ bit,
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 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Vorschläge 3 und 4</u>, wie die folgenden Rechnungen  zeigen:
 *Schon aus obiger Tabelle ist ersichtlich, dass der erste Lösungsvorschlag falsch sein muss.
-* Wir schreiben nun die Kanalkapazität mit dem natürlichen Logarithmus und der Abkürzung&nbsp; $\xi = P_X/P_N$:
+* Wir schreiben nun die Kanalkapazität mit dem natürlichen Logarithmus und der Abkürzung &nbsp; $\xi = P_X/P_N$:
 :$$C_{\rm nat}(\xi, K)  ={K}/{2} \cdot  {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {\xi}/{K} \right )\hspace{0.05cm}.$$
 * Für große&nbsp; $K$&ndash;Werte, also für kleine Werte des Quotienten&nbsp; $\varepsilon =\xi/K$&nbsp; gilt dann:

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 * [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Amplitude Shift Keying]]&nbsp; (ASK),
 * [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|Binary Phase Shift Keying]]&nbsp; (BPSK),
-* [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Quadratur.E2.80.93Amplitudenmodulation_.28QAM.29]]&nbsp; (hier: &nbsp; 4-QAM),
+* [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Quadratur.E2.80.93Amplitudenmodulation_.28QAM.29|Quadratur-Amplitudenmodulation]]&nbsp; (hier: &nbsp; 4-QAM),
 *[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_des_GSM#Enhanced_Data_Rates_for_GSM_Evolution|Phase Shift Keying]]&nbsp; (hier: &nbsp; 8&ndash;PSK für GSM Evolution),
 * [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen|Kombinierte ASK/PSK-Modulation]]&nbsp; (hier: &nbsp; 16-ASK/PSK).

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 * [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Amplitude Shift Keying]]&nbsp; (ASK),
 * [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|Binary Phase Shift Keying]]&nbsp; (BPSK),
-* [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Quadratur.E2.80.93Amplitudenmodulation|Quadratur-Amplitudenmodulation]]&nbsp; (hier: &nbsp; 4-QAM),
+* [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Quadratur.E2.80.93Amplitudenmodulation_.28QAM.29]]&nbsp; (hier: &nbsp; 4-QAM),
 *[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_des_GSM#Enhanced_Data_Rates_for_GSM_Evolution|Phase Shift Keying]]&nbsp; (hier: &nbsp; 8&ndash;PSK für GSM Evolution),
 * [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen|Kombinierte ASK/PSK-Modulation]]&nbsp; (hier: &nbsp; 16-ASK/PSK).

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-{Welche Kanalkapazität &nbsp;$C_K$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $K$&nbsp; gleich gute Kanäle&nbsp; (jeweils mit der Störleistung  &nbsp;$P_N$&nbsp; und der Sendeleistung &nbsp;$P_X(K)$?
+{Welche Kanalkapazität &nbsp;$C_K$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $K$&nbsp; gleich gute Kanäle,&nbsp; jeweils mit der Störleistung  &nbsp;$P_N$&nbsp; und der Sendeleistung &nbsp;$P_X(K)$?
 |type="()"}
 - Es gilt &nbsp; $C_K = K/2 \cdot  \log_2 \ \big[1 + P_X/P_N \big]$.

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 {Welche Kanalkapazität &nbsp;$C_K$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $K$&nbsp; gleich gute Kanäle&nbsp; (jeweils mit der Störleistung  &nbsp;$P_N$&nbsp; und der Sendeleistung &nbsp;$P_X(K)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Es gilt &nbsp; $C_K = K/2 \cdot  \log_2 \ \big[1 + P_X/P_N \big]$.
 + Es gilt &nbsp; $C_K = K/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + P_X/(K \cdot P_N) \big]$.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der Parameter $K$ ist gleich der Dimension der Signalraumdarstellung:
+'''(1)'''&nbsp; Der Parameter&nbsp; $K$&nbsp; ist gleich der Dimension der Signalraumdarstellung:
-* Für <u>ASK und BPSK</u> ist $\underline{K=1}$.
+* Für <u>ASK und BPSK</u> ist&nbsp; $\underline{K=1}$.
-* Für die <u> Konstellationen 3 bis 5</u> gilt dagegen $\underline{K=2}$ (orthogonale Modulation mit Cosinus und Sinus).
+* Für die <u> Konstellationen 3 bis 5</u> gilt dagegen&nbsp; $\underline{K=2}$&nbsp; (orthogonale Modulation mit Cosinus und Sinus).
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Für jeden der Kanäle $(1 &#8804; k &#8804; K)$ beträgt die Kanalkapazität $C = 1/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + (P_X/K) /P_N) \big]$. Die Gesamtkapazität ist dann um den Faktor $K$ größer:
+*Für jeden der Kanäle&nbsp; $(1 &#8804; k &#8804; K)$&nbsp; beträgt die Kanalkapazität&nbsp; $C = 1/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + (P_X/K) /P_N) \big]$.&nbsp; Die Gesamtkapazität ist dann um den Faktor&nbsp; $K$&nbsp; größer:
 :$$C_K(P_X)  = \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}C_k = \frac{K}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{K \cdot P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$
-*Der Lösungsvorschlag 1 ist zu positiv. Dieser würde bei Begrenzung der Gesamtleistung auf $K &middot; P_X$  gelten.
+*Der Lösungsvorschlag 1 ist zu positiv. Dieser würde bei Begrenzung der Gesamtleistung auf&nbsp; $K &middot; P_X$&nbsp;  gelten.
-*Der Vorschlag 3 würde dagegen bedeuten, dass man durch die Nutzung mehrerer unabhängiger Kanäle keine Kapazitätssteigerung erreicht, was offensichtlich nicht zutrifft.
+*Der Vorschlag 3 würde bedeuten, dass man durch die Nutzung mehrerer unabhängiger Kanäle keine Kapazitätssteigerung erreicht, was offensichtlich nicht zutrifft.
-'''(3)'''&nbsp; Die Tabelle zeigt die Ergebnisse für $K = 1$, $K = 2$ und $K = 4$ und verschiedene Signal&ndash;zu&ndash;Störleistungsverhältnisse $\xi = P_X/P_N$. Für $\xi = P_X/P_N = 15$ (markierte Spalte) ergibt sich:
+'''(3)'''&nbsp; Die Tabelle zeigt die Ergebnisse für&nbsp; $K = 1$,&nbsp; $K = 2$&nbsp; und&nbsp; $K = 4$&nbsp; sowie verschiedene Signal&ndash;zu&ndash;Störleistungsverhältnisse&nbsp; $\xi = P_X/P_N$. Für&nbsp; $\xi = P_X/P_N = 15$&nbsp; (markierte Spalte) ergibt sich:
 *  $K=1$:&nbsp;&nbsp; $C_K = 1/2 &middot; \log_2 \ (16)\hspace{0.05cm}\underline{ = 2.000}$ bit,
 * $K=2$:&nbsp;&nbsp; $C_K = 1/2 &middot; \log_2 \ (8.5)\hspace{0.05cm}\underline{ = 3.087}$ bit,
-* $K=1$:&nbsp;&nbsp; $C_K = 1/2 &middot; \log_2 \ (4.75)\hspace{0.05cm}\underline{ = 4.496}$ bit.
+* $K=4$:&nbsp;&nbsp; $C_K = 1/2 &middot; \log_2 \ (4.75)\hspace{0.05cm}\underline{ = 4.496}$ bit.
+<br clear=all>
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Vorschläge 3 und 4</u>, wie die folgenden Rechnungen  zeigen:
 *Schon aus obiger Tabelle ist ersichtlich, dass der erste Lösungsvorschlag falsch sein muss.
-* Wir schreiben nun die Kanalkapazität mit $\ln$ und der Abkürzung $\xi = P_X/P_N$:
+* Wir schreiben nun die Kanalkapazität mit dem natürlichen Logarithmus und der Abkürzung&nbsp; $\xi = P_X/P_N$:
 :$$C_{\rm nat}(\xi, K)  ={K}/{2} \cdot  {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {\xi}/{K} \right )\hspace{0.05cm}.$$
-* Für große $K$&ndash;Werte, also für kleine Werte des Quotienten $\varepsilon =\xi/K$ gilt dann:
+* Für große&nbsp; $K$&ndash;Werte, also für kleine Werte des Quotienten&nbsp; $\varepsilon =\xi/K$&nbsp; gilt dann:
 :$${\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \varepsilon \right )=
 \varepsilon - \frac{\varepsilon^2}{2} + \frac{\varepsilon^3}{3} - ...
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 \frac{\xi^2}{3K^2} -\frac{\xi^3}{4K^3} +
 \frac{\xi^4}{5K^4}  - \text{...}  \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-* Für $K &#8594; &#8734;$ ergibt sich der vorgeschlagene Wert:
+* Für&nbsp; $K &#8594; &#8734;$&nbsp; ergibt sich der vorgeschlagene Wert:
 :$$C_{\rm bit}(\xi, K \rightarrow\infty)  = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} =
 \frac{P_X/P_N}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \hspace{0.05cm}.$$
-* Für kleinere Werte von $K$ ergibt sich stets ein kleinerer $C$&ndash;Wert, da
+* Für kleinere Werte von&nbsp; $K$&nbsp; ergibt sich stets ein kleinerer&nbsp; $C$&ndash;Wert, da
 :$$\frac{\xi}{2K} > \frac{\xi^2}{3K^2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
 \frac{\xi^3}{4K^3} > \frac{\xi^4}{5K^4}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}  {\rm usw.}$$
-Die letzte Tabellenzeile zeigt: &nbsp; Mit  $K = 4$ ist man für große $\xi$&ndash;Werte noch weit vom theoretischen Maximum $($für $K &#8594; &#8734;)$ entfernt.
+Die letzte Tabellenzeile zeigt: &nbsp; Mit&nbsp;  $K = 4$&nbsp; ist man für große&nbsp; $\xi$&ndash;Werte noch weit vom theoretischen Maximum&nbsp; $($für $K &#8594; &#8734;)$&nbsp; entfernt.

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 Hierbei ist berücksichtigt, dass
 * in jedem Kanal die gleiche Störleistung&nbsp; $P_N$&nbsp; vorliegt,
-* somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung erhält,
+* somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung&nbsp; $(P_X/K)$&nbsp; erhält,
 * die Gesamtleistung genau wie im Fall&nbsp; $K = 1$&nbsp; gleich&nbsp; $P_X$ ist.

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 }}
-[[Datei:P_ID2905__Inf_A_4_7_neu.png|right|frame|Einige häufig verwendete  Signalraumkonstellationen]]
+[[Datei:P_ID2905__Inf_A_4_7_neu.png|right|frame|Signalraumpunkte bei digitaler Modulation]]
-Die Kanalkapazität des AWGN&ndash;Kanals &nbsp; &#8658; &nbsp; $Y = X + N$&nbsp; wurde im [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Kanalkapazit.C3.A4t_des_AWGN.E2.80.93Kanals|Theorieteil]] wie folgt angegeben <br>(mit der Zusatz&ndash;Einheit &bdquo;bit&rdquo;):
+Die Kanalkapazität des AWGN&ndash;Kanals mit dem Kennzeichen $Y = X + N$&nbsp; wurde im&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Kanalkapazit.C3.A4t_des_AWGN.E2.80.93Kanals|Theorieteil]]&nbsp; wie folgt angegeben <br>(mit der Zusatz&ndash;Einheit &bdquo;bit&rdquo;):
-:$$C_{\rm AWGN}(P_X) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {P_X}/{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$
+:$$C_{\rm AWGN}(P_X,\ P_N) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {P_X}/{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$
 Die verwendeten Größen haben folgende Bedeutung:
-* $P_X$ ist die Sendeleistung &nbsp; &#8658; &nbsp; Varianz der Zufallsgröße $X$,
+* $P_X$&nbsp; ist die Sendeleistung &nbsp; &#8658; &nbsp; Varianz der Zufallsgröße&nbsp; $X$,
-* $P_N$ ist die Störleistung &nbsp; &#8658; &nbsp; Varianz der Zufallsgröße $N$.
+* $P_N$&nbsp; ist die Störleistung &nbsp; &#8658; &nbsp; Varianz der Zufallsgröße&nbsp; $N$.
-Werden $K$ identische Gaußkanäle parallel genutzt, so gilt für die Gesamtkapazität:
+Werden&nbsp; $K$&nbsp; identische Gaußkanäle parallel genutzt, so gilt für die Gesamtkapazität:
-:$$C_K(P_X)  = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K) \hspace{0.05cm}.$$
+:$$C_K(P_X,\ P_N)  = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K, \ P_N) \hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei ist berücksichtigt, dass
-* in jedem Kanal die gleiche Störleistung $P_N$ vorliegt,
+* in jedem Kanal die gleiche Störleistung&nbsp; $P_N$&nbsp; vorliegt,
 * somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung erhält,
-* die Gesamtleistung genau wie im Fall $K = 1$ gleich $P_X$ ist.
+* die Gesamtleistung genau wie im Fall&nbsp; $K = 1$&nbsp; gleich&nbsp; $P_X$ ist.
 In nebenstehender Grafik sind die Signalraumpunkte für einige digitale Modulationsverfahren angegeben:
-* [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Amplitude Shift Keying]] (ASK),
+* [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|Amplitude Shift Keying]]&nbsp; (ASK),
-* [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|Binary Phase Shift Keying]] (BPSK),
+* [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|Binary Phase Shift Keying]]&nbsp; (BPSK),
-* [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Quadratur.E2.80.93Amplitudenmodulation|Quadratur-Amplitudenmodulation]] (hier: &nbsp; 4-QAM),
+* [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Quadratur.E2.80.93Amplitudenmodulation|Quadratur-Amplitudenmodulation]]&nbsp; (hier: &nbsp; 4-QAM),
-*[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_des_GSM#Enhanced_Data_Rates_for_GSM_Evolution|Phase Shift Keying]] (hier: &nbsp; 8&ndash;PSK für GSM Evolution),
+*[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_des_GSM#Enhanced_Data_Rates_for_GSM_Evolution|Phase Shift Keying]]&nbsp; (hier: &nbsp; 8&ndash;PSK für GSM Evolution),
-* [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen|Kombinierte ASK/PSK-Modulation]] (hier: &nbsp; 16-ASK/PSK).
+* [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen|Kombinierte ASK/PSK-Modulation]]&nbsp; (hier: &nbsp; 16-ASK/PSK).
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 <quiz display=simple>
-{Welche Parameter $K$ gelten für die folgenden Modulationsverfahren?
+{Welche Parameter&nbsp; $K$&nbsp; gelten für die folgenden Modulationsverfahren?
 |type="{}"}
 $K \ = \ $ { 1 3% } $\text{ (bei ASK)}$
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-{Welche Kanalkapazität &nbsp;$C_K$&nbsp; ergibt sich für $K$ gleich gute Kanäle (jeweils mit der Störleistung  &nbsp;$P_N$&nbsp; und der Sendeleistung &nbsp;$P_X(K)$?
+{Welche Kanalkapazität &nbsp;$C_K$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $K$&nbsp; gleich gute Kanäle&nbsp; (jeweils mit der Störleistung  &nbsp;$P_N$&nbsp; und der Sendeleistung &nbsp;$P_X(K)$?
 |type="[]"}
 - Es gilt &nbsp; $C_K = K/2 \cdot  \log_2 \ \big[1 + P_X/P_N \big]$.
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-{Gibt es bezüglich der Kanalzahl $K$ ein (theoretisches) Optimum?
+{Gibt es bezüglich der Kanalzahl&nbsp; $K$&nbsp; ein (theoretisches) Optimum?
 |type="[]"}
 - Ja: &nbsp; Die größte Kanalkapazität ergibt sich für &nbsp;$K = 2$.
 - Ja: &nbsp; Die größte Kanalkapazität ergibt sich für &nbsp;$K = 4$.
-+ Nein: &nbsp;  Je größer $K$, desto größer ist die Kanalkapazität.
++ Nein: &nbsp;  Je größer&nbsp; $K$, desto größer ist die Kanalkapazität.
-+ Der Grenzwert für $K \to \infty$ (in bit) ist &nbsp;$C_K = P_X/P_N/2/\ln (2)$&nbsp; in &bdquo;bit&rdquo;.
++ Der Grenzwert für&nbsp; $K \to \infty$&nbsp; (in bit)&nbsp; ist &nbsp;$C_K = P_X/P_N/2/\ln (2)$&nbsp; in &bdquo;bit&rdquo;.