Aufgaben:Aufgabe 4.7: Kupfer-Doppelader 0.5 mm - Versionsgeschichte

Guenter am 24. November 2021 um 12:51 Uhr

2021-11-24T12:51:45Z

Guenter am 24. November 2021 um 12:42 Uhr

2021-11-24T12:42:53Z

Guenter am 8. November 2019 um 09:55 Uhr

2019-11-08T09:55:17Z

Guenter am 8. November 2019 um 09:45 Uhr

2019-11-08T09:45:19Z

Guenter am 30. November 2018 um 09:12 Uhr

2018-11-30T09:12:06Z

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2018-11-30T09:06:09Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:54Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 28. März 2018 um 16:13 Uhr

2018-03-28T16:13:57Z

Guenter am 28. März 2018 um 15:59 Uhr

2018-03-28T15:59:39Z

Guenter am 28. März 2018 um 15:58 Uhr

2018-03-28T15:58:44Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit&nbsp; $a_0 = \alpha_0 \cdot l \approx 0.76 \ \rm Np$&nbsp; erhält man für die Konstante&nbsp; $K$, die den Einfluss des Koeffizienten&nbsp; $ \alpha_0$&nbsp; auf die Impulsantwort angibt:
+'''(1)'''&nbsp; Mit&nbsp; ${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l \approx 0.76 \ \rm Np$&nbsp; erhält man für die Konstante&nbsp; $K$,&nbsp; die den Einfluss des Koeffizienten&nbsp; $ \alpha_0$&nbsp; auf die Impulsantwort angibt:
-:$$K = {\rm e}^{-{a}_0 }= {\rm e}^{-0.76} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.468} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$K = {\rm e}^{-{\rm a}_0 }= {\rm e}^{-0.76} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.468} \hspace{0.05cm}.$$
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-'''(3)'''&nbsp; Die Impulsantwort eines Koaxialkabels ist näherungsweise gleich&nbsp; $h_2(t)$, wenn das Kabel folgende charakteristische Kabeldämpfung aufweist:
+'''(3)'''&nbsp; Die Impulsantwort eines Koaxialkabels ist näherungsweise gleich&nbsp; $h_2(t)$,&nbsp; wenn das Kabel folgende charakteristische Kabeldämpfung aufweist:
-:$${a}_\star ={a}_2  =  \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}} =
+:$${\rm a}_\star ={\rm a}_2  =  \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}} =
 .1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot 1.5\,{\rm km} \cdot \sqrt{\frac{10\,{\rm MHz}}{2}}
    =  2.93\,{\rm Np} = 2.93\,{\rm Np} \cdot8.686\,\frac {\rm dB}{\rm Np} \hspace{0.15cm}\underline{ =25.5\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
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 '''(4)'''&nbsp; Richig sind die <u>Aussagen 1 und 2</u>:
-*Die Fouriertransformierte&nbsp; $H_1(f) = {\rm e}^{-A \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} |f|}$ mit $A = 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {a}_1/R$&nbsp; ist reell und gerade, so dass&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; ebenfalls reell und gerade ist.
+*Die Fouriertransformierte&nbsp; $H_1(f) = {\rm e}^{-A \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} |f|}$&nbsp; mit&nbsp; $A = 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {a}_1/R$&nbsp; ist reell und gerade,&nbsp; so dass&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; ebenfalls reell und gerade ist.
 *Aufgrund der Tiefpass&ndash;Charakteristik von&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; liegt das Maximum bei&nbsp; $t = 0$.
-*Die letzte Aussage ist dagegen falsch: &nbsp; Das Integral über&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; im gesamten Zeitbereich&nbsp; $ \pm \infty$&nbsp; ist gleich&nbsp; $H_1(f=0) = 1$.
+*Die letzte Aussage ist dagegen falsch: &nbsp; Das Integral über&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; ist im gesamten Zeitbereich&nbsp; $ \pm \infty$&nbsp; gleich&nbsp; $H_1(f=0) = 1$.
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 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur <u>der Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Die Teilimpulsantwort&nbsp;  $h_1(t ) \star h_2(t )$&nbsp; berücksichtigt den Einfluss von&nbsp; $\alpha_1$,&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; und&nbsp; $\beta_2$&nbsp; und damit alle Terme, die zu Verzerrungen führen.
+*Die Teilimpulsantwort&nbsp;  $h_1(t ) \star h_2(t )$&nbsp; berücksichtigt den Einfluss von&nbsp; $\alpha_1$,&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; und&nbsp; $\beta_2$&nbsp; und damit alle Terme,&nbsp; die zu Verzerrungen führen.
 *Dagegen führt&nbsp; $\alpha_0$&nbsp; nur zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung und&nbsp; $\beta_1$&nbsp; lediglich zu einer für alle Frequenzen konstanten Laufzeit.
-*Der Lösungsvorschlag 2 trifft dagegen nicht zu: &nbsp;  Zunächst&nbsp; (bei kleinen&nbsp; $t$&ndash;Werten)&nbsp; ist&nbsp; $h_1(t ) \star h_2(t )$&nbsp; kleiner als&nbsp; $h_2(t )$. Bei großen&nbsp; $t$&ndash;Werten liegt dann die blaue Kurve oberhalb der roten.
+*Der Lösungsvorschlag 2 trifft dagegen nicht zu: &nbsp;  Zunächst&nbsp; (bei kleinen&nbsp; $t$&ndash;Werten)&nbsp; ist&nbsp; $h_1(t ) \star h_2(t )$&nbsp; kleiner als&nbsp; $h_2(t )$.&nbsp;
 *Das bedeutet: &nbsp; $\alpha_1$&nbsp; und damit auch&nbsp; $h_1(t )$&nbsp; bewirken tatsächlich zusätzliche Verzerrungen,&nbsp; auch wenn diese nicht sehr ins Gewicht fallen.
 {{ML-Fuß}}

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 Das Zeitverhalten einer Kupferdoppelader mit Durchmesser &nbsp;$d = 0.5 \ \rm mm$&nbsp; soll analysiert werden.
-Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge &nbsp;$l = 1.5 \ \rm km$&nbsp;  und der Bitrate &nbsp;$R = 10  \rm Mbit/s$:
+*Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge &nbsp;$l = 1.5 \ \rm km$&nbsp;  und der Bitrate &nbsp;$R = 10  \rm Mbit/s$:
 :$$H_{\rm K}(f)  =  {\rm e}^{-{\rm a}_0 } \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot  \hspace{0.01cm}\tau_{\rm P}}
    \cdot {\rm
@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
    e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Verwendet sind folgende Größen, die sich aus dem Dämpfungs&ndash; und Phasenmaß ableiten lassen:
+*Verwendet sind folgende Größen, die sich aus dem Dämpfungs&ndash; und Phasenmaß ableiten lassen:
-:$${a}_0  =  \alpha_0 \cdot l\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_0 = 0.5066\,\, \frac{\rm Np}{\rm km}\hspace{0.05cm},$$
+:$${\rm a}_0  =  \alpha_0 \cdot l\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_0 = 0.5066\,\, \frac{\rm Np}{\rm km}\hspace{0.05cm},$$
 :$$  \tau_{\rm P}  =  \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\beta_1 = 30.6\,\,
    \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
-:$$  {a}_1  =  \alpha_1 \cdot l \cdot {{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
+:$$  {\rm a}_1  =  \alpha_1 \cdot l \cdot {{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
    \alpha_1 = 0.136\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
-:$$  {a}_2  =  \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
+:$$  {\rm a}_2  =  \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
    \alpha_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$
 :$$  {b}_2  =  \beta_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
    \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
-Die Impulsantwort lässt sich somit in der Form
+*Die Impulsantwort lässt sich somit in der Form
 :$$h_{\rm K}(t )  = K \cdot \big [ \delta(t - \tau_{\rm P})\star h_{1}(t) \star h_{2}(t) \big ]$$
-darstellen, wobei
+:darstellen, wobei
-* die Teilimpulsantwort &nbsp;$h_1(t)$&nbsp; auf den dritten Term in obiger Gleichung zurückgeht, und
+:* die Teilimpulsantwort &nbsp;$h_1(t)$&nbsp; auf den dritten Term in obiger Gleichung&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; zurückgeht,&nbsp; und
-* $h_2(t)$&nbsp; die gemeinsame Zeitbereichsdarstellung der beiden letzten Terme angibt.
+:* $h_2(t)$&nbsp; die gemeinsame Zeitbereichsdarstellung der beiden letzten Terme angibt.
-Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; der Impulsantwort und das Faltungsprodukt &nbsp;$h_1(t) \star h_2(t)$&nbsp; &rArr; &nbsp; blauer Kurvenverlauf). <br>Dabei ist &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; gleich der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln#Impulsantwort_eines_Koaxialkabels|Koaxialkabel&ndash;Impulsantwort]] mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;${a}_\star = {a}_2$.
+Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; der Impulsantwort und das Faltungsprodukt &nbsp;$h_1(t) \star h_2(t)$&nbsp; &rArr; &nbsp; blauer Kurvenverlauf. <br>Dabei ist &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; gleich der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln#Impulsantwort_eines_Koaxialkabels|Koaxialkabel&ndash;Impulsantwort]] mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;${\rm a}_\star = {\rm a}_2$.
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 *Die Parameter &nbsp;$\alpha_0$, &nbsp;$\alpha_1$ und &nbsp;$\alpha_2$ wurden aus den &nbsp;$k$&ndash;Parametern umgerechnet, wie in&nbsp; [[Aufgaben:4.6_k-Parameter_und_Alpha-Parameter|Aufgabe 4.6]]&nbsp; gezeigt.
 *Der Phasenmaßparameter &nbsp;$\beta_2$&nbsp; wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; gesetzt.
-*Der Dämpfungsanteil &nbsp;${a}_2$&nbsp; und der Phasenanteil &nbsp;${b}_2$&nbsp; unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit.
+*Der Dämpfungsanteil &nbsp;${\rm a}_2$&nbsp; und der Phasenanteil &nbsp;${b}_2$&nbsp; unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit.
-*Auf der Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Diskussion_der_gefundenen_N.C3.A4herungsl.C3.B6sung|Diskussion der gefundenen Näherungslösung]]&nbsp; wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist.
+*Auf der Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Diskussion_der_gefundenen_N.C3.A4herungsl.C3.B6sung|Diskussion der gefundenen Näherungslösung]]&nbsp; wird dargelegt,&nbsp; warum diese Maßnahme erforderlich ist.
 *Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]&nbsp; benutzen.
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 {Berechnen Sie die Phasenlaufzeit &nbsp;$\tau_P$, bezogen auf die Symboldauer &nbsp;$T$.
 |type="{}"}
-$\tau_P/T \ = \ $ { 73 3% }
+$\tau_{\rm P}/T \ = \ $ { 73 3% }
-{Wie groß ist die charakteristische Dämpfung &nbsp;$a_\star$&nbsp; des vergleichbaren Koaxialkabels?
+{Wie groß ist die charakteristische Dämpfung &nbsp;${\rm a}_\star$&nbsp; des vergleichbaren Koaxialkabels?
 |type="{}"}
-$a_\star \ = \ $ { 25.5 } $\ \rm dB$
+${\rm a}_\star \ = \ $ { 25.5 } $\ \rm dB$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit $a_0 = \alpha_0 \cdot l \approx 0.76 \ \rm Np$ erhält man für die Konstante $K$, die den Einfluss des Koeffizienten $ \alpha_0$ auf die Impulsantwort angibt:
+'''(1)'''&nbsp; Mit&nbsp; $a_0 = \alpha_0 \cdot l \approx 0.76 \ \rm Np$&nbsp; erhält man für die Konstante&nbsp; $K$, die den Einfluss des Koeffizienten&nbsp; $ \alpha_0$&nbsp; auf die Impulsantwort angibt:
 :$$K = {\rm e}^{-{a}_0 }= {\rm e}^{-0.76} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.468} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 97: / Zeile 98: @@
 :$$\tau_{\rm P} = \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi}=  \frac{30.6 \cdot 1.5}{2 \pi}\, {\rm &micro; s}\approx 7.31\, {\rm &micro;
   s}\hspace{0.05cm},$$
-und auf die Symboldauer $T = 0.1 \  &micro; \rm s$  bezogen: &nbsp; ${\tau_{\rm P}}/{T} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 73}\hspace{0.05cm}.$
+und auf die Symboldauer&nbsp; $T = 0.1 \  &micro; \rm s$&nbsp;  bezogen: &nbsp;
 '''(3)'''&nbsp; Die Impulsantwort eines Koaxialkabels ist näherungsweise gleich $h_2(t)$, wenn das Kabel folgende charakteristische Kabeldämpfung aufweist:
 :$${a}_\star ={a}_2  =  \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}} =
 .1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot 1.5\,{\rm km} \cdot \sqrt{\frac{10\,{\rm MHz}}{2}}
    =  2.93\,{\rm Np} = 2.93\,{\rm Np} \cdot8.686\,\frac {\rm dB}{\rm Np} \hspace{0.15cm}\underline{ =25.5\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richig sind die <u>Aussagen 1 und 2</u>:
-*Die Fouriertransformierte $H_1(f) = {\rm e}^{-A \cdot |f|}$ mit $A = 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {a}_1/R$ ist reell und gerade, so dass $h_1(t)$ ebenfalls reell und gerade ist.
+*Die Fouriertransformierte&nbsp; $H_1(f) = {\rm e}^{-A \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} |f|}$ mit $A = 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {a}_1/R$&nbsp; ist reell und gerade, so dass&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; ebenfalls reell und gerade ist.
-*Aufgrund der Tiefpass&ndash;Charakteristik von $H_1(f)$ liegt das Maximum bei $t = 0$.
+*Aufgrund der Tiefpass&ndash;Charakteristik von&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; liegt das Maximum bei&nbsp; $t = 0$.
-*Die letzte Aussage ist dagegen falsch: &nbsp; Das Integral über $h_1(t)$ im gesamten Zeitbereich $ \pm \infty$ ist gleich $H_1(f=0) = 1$.
+*Die letzte Aussage ist dagegen falsch: &nbsp; Das Integral über&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; im gesamten Zeitbereich&nbsp; $ \pm \infty$&nbsp; ist gleich&nbsp; $H_1(f=0) = 1$.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur <u>der Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Die Teilimpulsantwort  $h_1(t ) \star h_2(t )$ berücksichtigt den Einfluss von $\alpha_1$, $\alpha_2$ und $\beta_2$ und damit alle Terme, die zu Verzerrungen führen. Dagegen führt $\alpha_0$ nur zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung und$\beta_1$ lediglich zu einer für alle Frequenzen konstanten Laufzeit.
+*Die Teilimpulsantwort&nbsp;  $h_1(t ) \star h_2(t )$&nbsp; berücksichtigt den Einfluss von&nbsp; $\alpha_1$,&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; und&nbsp; $\beta_2$&nbsp; und damit alle Terme, die zu Verzerrungen führen.
-*Der Lösungsvorschlag 2 trifft dagegen nicht zu: &nbsp;  Zunächst (bei kleinen $t$&ndash;Werten) ist $h_1(t ) \star h_2(t )$ kleiner als $h_2(t )$. Bei großen $t$&ndash;Werten liegt dann die blaue Kurve oberhalb der roten.
+*Dagegen führt&nbsp; $\alpha_0$&nbsp; nur zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung und&nbsp; $\beta_1$&nbsp; lediglich zu einer für alle Frequenzen konstanten Laufzeit.
-*Das bedeutet: &nbsp; $\alpha_1$ und damit auch $h_1(t )$ bewirken tatsächlich zusätzliche Verzerrungen, auch wenn diese nicht sehr ins Gewicht fallen.
+*Der Lösungsvorschlag 2 trifft dagegen nicht zu: &nbsp;  Zunächst&nbsp; (bei kleinen&nbsp; $t$&ndash;Werten)&nbsp; ist&nbsp; $h_1(t ) \star h_2(t )$&nbsp; kleiner als&nbsp; $h_2(t )$. Bei großen&nbsp; $t$&ndash;Werten liegt dann die blaue Kurve oberhalb der roten.
 {{ML-Fuß}}

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-Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; der Impulsantwort und das Faltungsprodukt &nbsp;$h_1(t) \star h_2(t)$&nbsp; (blauer Kurvenverlauf). Dabei ist &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; gleich der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln#Impulsantwort_eines_Koaxialkabels|Koaxialkabel&ndash;Impulsantwort]] mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;${a}_\star = {a}_2$.
+Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; der Impulsantwort und das Faltungsprodukt &nbsp;$h_1(t) \star h_2(t)$&nbsp; &rArr; &nbsp; blauer Kurvenverlauf). <br>Dabei ist &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; gleich der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln#Impulsantwort_eines_Koaxialkabels|Koaxialkabel&ndash;Impulsantwort]] mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;${a}_\star = {a}_2$.
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 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern|Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern]].
-*Die Parameter &nbsp;$\alpha_0$, &nbsp;$\alpha_1$ und &nbsp;$\alpha_2$ wurden aus den &nbsp;$k$&ndash;Parametern umgerechnet, wie in [[Aufgaben:4.6_k-Parameter_und_Alpha-Parameter|Aufgabe 4.6]] gezeigt.
+*Die Parameter &nbsp;$\alpha_0$, &nbsp;$\alpha_1$ und &nbsp;$\alpha_2$ wurden aus den &nbsp;$k$&ndash;Parametern umgerechnet, wie in&nbsp; [[Aufgaben:4.6_k-Parameter_und_Alpha-Parameter|Aufgabe 4.6]]&nbsp; gezeigt.
-*Der Phasenmaßparameter &nbsp;$\beta_2$&nbsp; wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter $\alpha_2$ gesetzt.
+*Der Phasenmaßparameter &nbsp;$\beta_2$&nbsp; wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; gesetzt.
 *Der Dämpfungsanteil &nbsp;${a}_2$&nbsp; und der Phasenanteil &nbsp;${b}_2$&nbsp; unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit.
-*Auf der Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Diskussion_der_gefundenen_N.C3.A4herungsl.C3.B6sung|Diskussion der gefundenen Näherungslösung]] wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist.
+*Auf der Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Diskussion_der_gefundenen_N.C3.A4herungsl.C3.B6sung|Diskussion der gefundenen Näherungslösung]]&nbsp; wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist.
 *Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]&nbsp; benutzen.

@@ Zeile 106: / Zeile 106: @@
 *Die Fouriertransformierte $H_1(f) = {\rm e}^{-A \cdot |f|}$ mit $A = 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {a}_1/R$ ist reell und gerade, so dass $h_1(t)$ ebenfalls reell und gerade ist.
 *Aufgrund der Tiefpass&ndash;Charakteristik von $H_1(f)$ liegt das Maximum bei $t = 0$.
-*Die letzte Aussage ist dagegen falsch : Das Integral über $h_1(t)$ im gesamten Zeitbereich $ \pm \infty$ ist gleich $H_1(f=0) = 1$.
+*Die letzte Aussage ist dagegen falsch: &nbsp; Das Integral über $h_1(t)$ im gesamten Zeitbereich $ \pm \infty$ ist gleich $H_1(f=0) = 1$.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur <u>der Lösungsvorschlag 1</u>:
 *Die Teilimpulsantwort  $h_1(t ) \star h_2(t )$ berücksichtigt den Einfluss von $\alpha_1$, $\alpha_2$ und $\beta_2$ und damit alle Terme, die zu Verzerrungen führen. Dagegen führt $\alpha_0$ nur zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung und$\beta_1$ lediglich zu einer für alle Frequenzen konstanten Laufzeit.
-*Der Lösungsvorschlag 2 trifft dagegen nicht zu. Zunächst (bei kleinen $t$&ndash;Werten) ist $h_1(t ) \star h_2(t )$ kleiner als $h_2(t )$. Bei großen $t$&ndash;Werten liegt dann die blaue Kurve oberhalb der roten.
+*Der Lösungsvorschlag 2 trifft dagegen nicht zu: &nbsp;  Zunächst (bei kleinen $t$&ndash;Werten) ist $h_1(t ) \star h_2(t )$ kleiner als $h_2(t )$. Bei großen $t$&ndash;Werten liegt dann die blaue Kurve oberhalb der roten.
-*Das bedeutet: $\alpha_1$ und damit auch $h_1(t )$ bewirken tatsächlich zusätzliche Verzerrungen, auch wenn diese nicht sehr ins Gewicht fallen.
+*Das bedeutet: &nbsp; $\alpha_1$ und damit auch $h_1(t )$ bewirken tatsächlich zusätzliche Verzerrungen, auch wenn diese nicht sehr ins Gewicht fallen.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1818__LZI_A_4_7.png|right|frame|Impulsantwort der Kupfer-Doppelader]]
-Das Zeitverhalten einer Kupferdoppelader mit Durchmesser $d = 0.5 \ \rm mm$ soll analysiert werden.
+Das Zeitverhalten einer Kupferdoppelader mit Durchmesser &nbsp;$d = 0.5 \ \rm mm$&nbsp; soll analysiert werden.
-Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge $l = 1.5 \ \rm km$  und der Bitrate $R = 10  \rm Mbit/s$:
+Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge &nbsp;$l = 1.5 \ \rm km$&nbsp;  und der Bitrate &nbsp;$R = 10  \rm Mbit/s$:
 :$$H_{\rm K}(f)  =  {\rm e}^{-{\rm a}_0 } \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot  \hspace{0.01cm}\tau_{\rm P}}
    \cdot {\rm
@@ Zeile 26: / Zeile 26: @@
 Die Impulsantwort lässt sich somit in der Form
-:$$h_{\rm K}(t )  = K \cdot \left [ \delta(t - \tau_{\rm P})\star h_{1}(t) \star h_{2}(t) \right ]$$
+:$$h_{\rm K}(t )  = K \cdot \big [ \delta(t - \tau_{\rm P})\star h_{1}(t) \star h_{2}(t) \big ]$$
 darstellen, wobei
-* die Teilimpulsantwort $h_1(t)$ auf den dritten Term in obiger Gleichung zurückgeht, und
+* die Teilimpulsantwort &nbsp;$h_1(t)$&nbsp; auf den dritten Term in obiger Gleichung zurückgeht, und
-* $h_2(t)$ die gemeinsame Zeitbereichsdarstellung der beiden letzten Terme angibt.
+* $h_2(t)$&nbsp; die gemeinsame Zeitbereichsdarstellung der beiden letzten Terme angibt.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern|Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern|Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern]].
-*Die Parameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ wurden aus den $k$&ndash;Parametern umgerechnet, wie in [[Aufgaben:4.6_k-Parameter_und_Alpha-Parameter|Aufgabe 4.6]] gezeigt.
+*Die Parameter &nbsp;$\alpha_0$, &nbsp;$\alpha_1$ und &nbsp;$\alpha_2$ wurden aus den &nbsp;$k$&ndash;Parametern umgerechnet, wie in [[Aufgaben:4.6_k-Parameter_und_Alpha-Parameter|Aufgabe 4.6]] gezeigt.
-*Der Phasenmaßparameter $\beta_2$ wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter $\alpha_2$ gesetzt. Der Dämpfungsanteil ${a}_2$ und der Phasenanteil ${b}_2$ unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit.
+*Der Phasenmaßparameter &nbsp;$\beta_2$&nbsp; wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter $\alpha_2$ gesetzt.
-*Auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Diskussion_der_gefundenen_N.C3.A4herungsl.C3.B6sung|Diskussion der gefundenen Näherungslösung]] wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist.
+*Der Dämpfungsanteil &nbsp;${a}_2$&nbsp; und der Phasenanteil &nbsp;${b}_2$&nbsp; unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit.
-*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]] benutzen.
+*Auf der Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Diskussion_der_gefundenen_N.C3.A4herungsl.C3.B6sung|Diskussion der gefundenen Näherungslösung]] wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Konstante $K$ der Impulsantwort $h_{\rm K}(t )$.
+{Berechnen Sie die Konstante &nbsp;$K$&nbsp; der Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t )$.
 |type="{}"}
 $K \ = \ $  { 0.468 3% }
-{Berechnen Sie die Phasenlaufzeit $\tau_P$, bezogen auf die Symboldauer $T$.
+{Berechnen Sie die Phasenlaufzeit &nbsp;$\tau_P$, bezogen auf die Symboldauer &nbsp;$T$.
 |type="{}"}
 $\tau_P/T \ = \ $ { 73 3% }
-{Wie groß ist die charakteristische Dämpfung $a_\star$ des vergleichbaren Koaxialkabels?
+{Wie groß ist die charakteristische Dämpfung &nbsp;$a_\star$&nbsp; des vergleichbaren Koaxialkabels?
 |type="{}"}
 $a_\star \ = \ $ { 25.5 } $\ \rm dB$
-{Welche Eigenschaften weist die Teilimpulsantwort $h_{\rm 1}(t )$ auf?
+{Welche Eigenschaften weist die Teilimpulsantwort &nbsp;$h_{\rm 1}(t )$&nbsp; auf?
 |type="[]"}
-+  $h_{\rm 1}(t )$ ist eine gerade Funktion.
++  $h_{\rm 1}(t )$&nbsp; ist eine gerade Funktion.
-+ Das Maximum von  $h_{\rm 1}(t )$ liegt bei $t = 0$.
++ Das Maximum von  &nbsp;$h_{\rm 1}(t )$&nbsp; liegt bei &nbsp;$t = 0$.
-- Das Integral über $h_{\rm 1}(t )$ ergibt den Wert $2$.
+- Das Integral über &nbsp;$h_{\rm 1}(t )$&nbsp; ergibt den Wert &nbsp;$2$.
-{Welche Eigenschaften erkennt man an der Funktion $h_1(t ) \star h_2(t )$?
+{Welche Eigenschaften erkennt man an der Funktion &nbsp;$h_1(t ) \star h_2(t )$?
 |type="[]"}
-+ $h_1(t ) \star h_2(t )$ gibt die Verzerrungen von $h_{\rm K}(t )$ vollständig wieder.
++ $h_1(t ) \star h_2(t )$&nbsp; gibt die Verzerrungen von &nbsp;$h_{\rm K}(t )$&nbsp; vollständig wieder.
-- $h_1(t ) \star h_2(t )$ unterscheidet sich von $h_{\rm K}(t )$ nur durch einen Faktor.
+- $h_1(t ) \star h_2(t )$&nbsp; unterscheidet sich von &nbsp;$h_{\rm K}(t )$&nbsp; nur durch einen Faktor.

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−	Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil $h_2(t)$ der Impulsantwort und das Faltungsprodukt $h_1(t) \star h_2(t)$ (blauer Kurvenverlauf). Dabei ist $h_2(t)$ gleich der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln#~~Impulsantworten_von_Koaxialkabeln~~\|Koaxialkabel–Impulsantwort]] mit der charakteristischen Kabeldämpfung ${a}_\star = {a}_2$.	+	Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil $h_2(t)$ der Impulsantwort und das Faltungsprodukt $h_1(t) \star h_2(t)$ (blauer Kurvenverlauf). Dabei ist $h_2(t)$ gleich der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln#Impulsantwort_eines_Koaxialkabels\|Koaxialkabel–Impulsantwort]] mit der charakteristischen Kabeldämpfung ${a}_\star = {a}_2$.