Aufgaben:Aufgabe 4.7: Gewichtete Summe und Differenz - Versionsgeschichte

Guenter am 25. Februar 2022 um 16:32 Uhr

2022-02-25T16:32:13Z

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Guenter am 22. März 2017 um 13:42 Uhr

2017-03-22T13:42:52Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Da die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; mittelwertfrei sind&nbsp; $(m = 0)$, ist  auch die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; mittelwertfrei:
+'''(1)'''&nbsp; Da die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; mittelwertfrei sind&nbsp; $(m = 0)$,&nbsp; ist  auch die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; mittelwertfrei:
 :$$m_x = (A +B) \cdot m \hspace{0.15cm}\underline{ =0}.$$
 *F&uuml;r die Varianz und die Streuung gelten:
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-'''(2)'''&nbsp; Da&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; die gleiche Streuung besitzen, gilt auch&nbsp; $\sigma_y =\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}$.
+'''(2)'''&nbsp; Da&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; die gleiche Streuung besitzen,&nbsp; gilt auch&nbsp; $\sigma_y =\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}$.
 *Wegen&nbsp; $m=0$&nbsp; gilt zudem&nbsp; $m_y = m_x \hspace{0.15cm}\underline{ =0}.$
-*Bei mittelwertbehafteten Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; erg&auml;be sich dagegen  f&uuml;r&nbsp; $m_y = (A -B) \cdot m$&nbsp; ein anderer Wert als f&uuml;r&nbsp; $m_x = (A +B) \cdot m$.
+*Bei mittelwertbehafteten Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; erg&auml;be sich dagegen  f&uuml;r&nbsp; $m_y = (A -B) \cdot m$ &nbsp; ein anderer Wert als f&uuml;r&nbsp; $m_x = (A +B) \cdot m$.
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 :$$\mu_{xy} = m_{xy} - m_{x} \cdot m_{y}=  (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2) - (A + B)(A-B) \cdot m^2  = (A^2 - B^2) \cdot \sigma^2.$$
-*Mit&nbsp; $\sigma = 1$,&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$&nbsp; erh&auml;lt man&nbsp; $\mu_{xy}  \hspace{0.15cm}\underline{ =-3}$&nbsp; und zwar  unabh&auml;ngig vom Mittelwert&nbsp; $m$&nbsp; der Größen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$.
+*Mit&nbsp; $\sigma = 1$,&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$&nbsp; erh&auml;lt man&nbsp; $\mu_{xy}  \hspace{0.15cm}\underline{ =-3}$, &nbsp; und zwar  unabh&auml;ngig vom Mittelwert&nbsp; $m$&nbsp; der Größen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$.
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 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>:
-*Aus&nbsp; $B= 0$&nbsp; folgt&nbsp; $\rho_{xy} = 1$&nbsp; (strenge Korrelation).&nbsp; Man  erkennt weiter, dass in diesem Fall&nbsp; $x = u$&nbsp; und&nbsp; $y = u$&nbsp; identische Zufallsgr&ouml;&szlig;en sind.
+'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>:
 *Die zweite Aussage ist nicht zutreffend: &nbsp; F&uuml;r&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B= -2$&nbsp; ergibt sich ebenfalls&nbsp; $\rho_{xy} = -0.6$.
-*Das Vorzeichen des Quotienten spielt also keine Rolle, weil in der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; berechneten Gleichung der Quotient&nbsp; $B/A$&nbsp; nur quadratisch auftritt.
+*Das Vorzeichen des Quotienten spielt also keine Rolle,&nbsp; weil in der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; berechneten Gleichung der Quotient&nbsp; $B/A$&nbsp; nur quadratisch auftritt.
-*Ist&nbsp; $B \gg A$, so werden sowohl&nbsp; $x$&nbsp; als auch&nbsp; $y$&nbsp; fast ausschlie&szlig;lich durch die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $v$&nbsp; bestimmt und es ist&nbsp; $ y \approx -x$.&nbsp; Dies entspricht dem Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy} = -1$.
+*Ist&nbsp; $B \gg A$,&nbsp; so werden sowohl&nbsp; $x$&nbsp; als auch&nbsp; $y$&nbsp; fast ausschlie&szlig;lich durch die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $v$&nbsp; bestimmt und es ist&nbsp; $ y \approx -x$.&nbsp; Dies entspricht dem Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy} \approx -1$.
 *Dagegen ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $B/A = 1$&nbsp; stets der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho_{xy} = 0$&nbsp; und damit die Unkorreliertheit zwischen&nbsp;  $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.

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 [[Datei:P_ID400__Sto_A_4_7.png|right|frame|Summe und Differenz <br>von Zufallsgrößen]]
 Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; seien statistisch voneinander unabh&auml;ngig,&nbsp; jeweils mit Mittelwert&nbsp; $m$&nbsp; und Varianz&nbsp; $\sigma^2$.
-*Beide Größen besitzen eine gleiche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion WDF und VTF.
+*Beide Größen besitzen eine gleiche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm  (WDF)$&nbsp; und Verteilungsfunktion&nbsp; $\rm  (VTF)$.
 *Über den Verlauf dieser Funktionen sei zun&auml;chst nichts bekannt.
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 :$$y= A \cdot u - B \cdot v.$$
-Hierbei bezeichnen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; (beliebige) konstante Werte.
+Hierbei bezeichnen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; (beliebige)&nbsp; konstante Werte.
 *F&uuml;r die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(4)'''&nbsp; gelte &nbsp; $m= 0$, &nbsp; $\sigma = 1$, &nbsp;  $A = 1$&nbsp;  und&nbsp;  $B = 2$.
-*Bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; wird vorausgesetzt, dass&nbsp;  $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; jeweils gau&szlig;verteilt mit Mittelwert&nbsp; $m= 1$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma = 0.5$&nbsp; seien. F&uuml;r die Konstanten gelte hier &nbsp; $A = B = 1$.
+*Bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; wird vorausgesetzt,&nbsp; dass&nbsp;  $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; jeweils gau&szlig;verteilt mit Mittelwert&nbsp; $m= 1$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma = 0.5$&nbsp; seien.&nbsp; F&uuml;r die Konstanten gelte hier &nbsp; $A = B = 1$.
 *F&uuml;r die Aufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; gelte weiterhin&nbsp; $A = B = 1$.&nbsp; Hier seien die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; symmetrisch zweipunktverteilt auf&nbsp; $\pm$1:
 :$${\rm Pr}(u=+1) = {\rm Pr}(u=-1) = {\rm Pr}(v=+1) = {\rm Pr}(v=-1) =0.5.$$
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+Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
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-{Wie gro&szlig; sind Mittelwert und Streuung von &nbsp;$y$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$?
+{Wie gro&szlig; sind Mittelwert und Streuung von &nbsp;$y$ &nbsp; f&uuml;r&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$?
 |type="{}"}
 $m_y \ =  \ $ { 0. }
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-{Welche Aussagen sind zutreffend, wenn&nbsp; $A =B = 1$&nbsp; gilt und &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; jeweils gau&szlig;verteilt sind mit Mittelwert &nbsp;$m = 1$&nbsp; und Streuung &nbsp;$\sigma = 0.5$&nbsp;?
+{Welche Aussagen sind zutreffend,&nbsp; wenn&nbsp; $A =B = 1$&nbsp; gilt und &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; jeweils gau&szlig;verteilt sind mit Mittelwert &nbsp;$m = 1$&nbsp; und Streuung &nbsp;$\sigma = 0.5$&nbsp;?
 |type="[]"}
 + Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; sind unkorreliert.
@@ Zeile 71: / Zeile 67: @@
-{Welche Aussagen treffen zu, wenn &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; symmetrisch zweipunktverteilt sind und&nbsp; $A =B = 1$&nbsp; gilt?
+{Welche Aussagen treffen zu,&nbsp; wenn &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; symmetrisch zweipunktverteilt sind und&nbsp; $A =B = 1$&nbsp; gilt?
 |type="[]"}
 + Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; sind unkorreliert.

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 }}
-[[Datei:P_ID400__Sto_A_4_7.png|right|frame|Summe und Differenz von Zufallsgrößen]]
+[[Datei:P_ID400__Sto_A_4_7.png|right|frame|Summe und Differenz <br>von Zufallsgrößen]]
-Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; seien statistisch voneinander unabh&auml;ngig, jeweils mit Mittelwert&nbsp; $m$&nbsp; und Varianz&nbsp; $\sigma^2$.
+Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; seien statistisch voneinander unabh&auml;ngig,&nbsp; jeweils mit Mittelwert&nbsp; $m$&nbsp; und Varianz&nbsp; $\sigma^2$.
-*Beide Größen besitzen gleiche WDF und VTF.
+*Beide Größen besitzen eine gleiche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion WDF und VTF.
 *Über den Verlauf dieser Funktionen sei zun&auml;chst nichts bekannt.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Da die Zufallsgr&ouml;&szlig;en $u$ und $v$ mittelwertfrei sind $(m = 0)$, ist  auch die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ mittelwertfrei:
+'''(1)'''&nbsp; Da die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; mittelwertfrei sind&nbsp; $(m = 0)$, ist  auch die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; mittelwertfrei:
 :$$m_x = (A +B) \cdot m \hspace{0.15cm}\underline{ =0}.$$
-F&uuml;r die Varianz und die Streuung gelten:
+*F&uuml;r die Varianz und die Streuung gelten:
 :$$\sigma_x^2 = (A^2 +B^2) \cdot \sigma^2 = 5; \hspace{0.5cm} \sigma_x = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Wir gehen hier in der Musterlösung von dem allgemeineren Fall $m \ne 0$ aus. Dann gilt f&uuml;r das gemeinsame Moment:
 :$$m_{xy} = {\rm E} \big[x \cdot y \big] = {\rm E} \big[(A \cdot u + B \cdot v) (A \cdot u - B \cdot v)\big] . $$
-Nach den allgemeinen Rechenregeln f&uuml;r Erwartungswerte folgt daraus:
+*Nach den allgemeinen Rechenregeln f&uuml;r Erwartungswerte folgt daraus:
 :$$m_{xy} = A^2 \cdot {\rm E} \big[u^2 \big] - B^2 \cdot {\rm E} \big[v^2 \big] = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2).$$
-Damit ergibt sich die Kovarianz  zu
+*Damit ergibt sich die Kovarianz  zu
 :$$\mu_{xy} = m_{xy} - m_{x} \cdot m_{y}=  (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2) - (A + B)(A-B) \cdot m^2  = (A^2 - B^2) \cdot \sigma^2.$$
-Mit $\sigma = 1$, $A = 1$ und $B = 2$ erh&auml;lt man $\mu_{xy}  \hspace{0.15cm}\underline{ =-3}$ und zwar  unabh&auml;ngig vom Mittelwert $m$ der Größen $u$ und $v$.
+*Mit&nbsp; $\sigma = 1$,&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$&nbsp; erh&auml;lt man&nbsp; $\mu_{xy}  \hspace{0.15cm}\underline{ =-3}$&nbsp; und zwar  unabh&auml;ngig vom Mittelwert&nbsp; $m$&nbsp; der Größen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$.
-[[Datei:P_ID403__Sto_A_4_7_d_neu.png|right|frame|Korrelationskoeffizient in Abhängigkeit des Quotienten $B/A$]]
+[[Datei:P_ID403__Sto_A_4_7_d_neu.png|right|frame|Korrelationskoeffizient in Abhängigkeit des Quotienten&nbsp; $B/A$]]
 '''(4)'''&nbsp; Der Korrelationskoeffizient ergibt sich zu
 :$$\rho_{xy} =\frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac{(A^2 - B^2) \cdot \sigma^2}{(A^2 +B^2) \cdot \sigma^2}
 \hspace{0.5 cm}\Rightarrow \hspace{0.5 cm}\rho_{xy} =\frac{1 - (B/A)^2} {1 +(B/A)^2}.$$
-Mit $B/A = 2$ folgt daraus $\rho_{xy}  \hspace{0.15cm}\underline{ =-0.6}$.
+*Mit&nbsp; $B/A = 2$&nbsp; folgt daraus&nbsp; $\rho_{xy}  \hspace{0.15cm}\underline{ =-0.6}$.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>:
-*Aus $B= 0$ folgt $\rho_{xy} = 1$ (strenge Korrelation). Man  erkennt weiter, dass in diesem Fall $x = u$ und $y = u$ identische Zufallsgr&ouml;&szlig;en sind.
+*Aus&nbsp; $B= 0$&nbsp; folgt&nbsp; $\rho_{xy} = 1$&nbsp; (strenge Korrelation).&nbsp; Man  erkennt weiter, dass in diesem Fall&nbsp; $x = u$&nbsp; und&nbsp; $y = u$&nbsp; identische Zufallsgr&ouml;&szlig;en sind.
-*Die zweite Aussage ist nicht zutreffend: &nbsp; F&uuml;r $A = 1$ und $B= -2$ ergibt sich ebenfalls $\rho_{xy} = -0.6$.
+*Die zweite Aussage ist nicht zutreffend: &nbsp; F&uuml;r&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B= -2$&nbsp; ergibt sich ebenfalls&nbsp; $\rho_{xy} = -0.6$.
-*Das Vorzeichen des Quotienten spielt also keine Rolle, weil in der in der Teilaufgabe (4) berechneten Gleichung der Quotient $B/A$ nur quadratisch auftritt.
+*Das Vorzeichen des Quotienten spielt also keine Rolle, weil in der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; berechneten Gleichung der Quotient&nbsp; $B/A$&nbsp; nur quadratisch auftritt.
-*Ist $B \gg A$, so werden sowohl $x$ als auch $y$ fast ausschlie&szlig;lich durch die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $v$ bestimmt und es ist $ y \approx -x$. Dies entspricht dem Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy} = -1$.
+*Ist&nbsp; $B \gg A$, so werden sowohl&nbsp; $x$&nbsp; als auch&nbsp; $y$&nbsp; fast ausschlie&szlig;lich durch die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $v$&nbsp; bestimmt und es ist&nbsp; $ y \approx -x$.&nbsp; Dies entspricht dem Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy} = -1$.
-*Dagegen ergibt sich f&uuml;r $B/A = 1$ stets der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy} = 0$ und damit die Unkorreliertheit zwischen  $x$ und $y$.
+*Dagegen ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $B/A = 1$&nbsp; stets der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho_{xy} = 0$&nbsp; und damit die Unkorreliertheit zwischen&nbsp;  $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.
 '''(6)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen richtig</u> sind richtig:
-*Bei $A=B$ sind $x$ und $y$ stets (d. h. bei jeder beliebigen WDF der Gr&ouml;&szlig;en $u$ und $v$) unkorreliert.
+*Bei&nbsp; $A=B$&nbsp; sind&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; stets&nbsp; $($also bei jeder beliebigen WDF der Gr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v)$&nbsp; unkorreliert.
-*Die neuen Zufallsgr&ouml;&szlig;en $x$ und $y$ sind hier also ebenfalls gau&szlig;verteilt.
+*Die neuen Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; sind hier also ebenfalls gau&szlig;verteilt.
 *Bei Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;en folgt aber aus der Unkorreliertheit auch die statistische Unabh&auml;ngigkeit und umgekehrt.
 [[Datei:P_ID404__Sto_A_4_7_g.png|right|frame|2D-WDF und Rand-WDF]]
 '''(7)'''&nbsp;  Hier ist nur die <u>Aussage 1</u> zutreffend:
-*Der Korrelationskoeffizient ergibt sich mit $A=B= 1$ auch hier zu $\rho_{xy} = 0$. Das hei&szlig;t, dass $x$ und $y$ unkorreliert sind.
+*Der Korrelationskoeffizient ergibt sich mit&nbsp; $A=B= 1$&nbsp; auch hier zu&nbsp; $\rho_{xy} = 0$.&nbsp; Das hei&szlig;t:&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; sind auch hier unkorreliert.
-*Dagegen erkennt man aus der skizzierten 2D-WDF, dass die Bedingung der statistischen Unabh&auml;ngigkeit im nun vorliegenden Fall nicht mehr gegeben ist. Vielmehr gilt nun:
+*Dagegen erkennt man aus der skizzierten 2D-WDF, dass die Bedingung der statistischen Unabh&auml;ngigkeit im nun vorliegenden Fall nicht mehr gegeben ist.&nbsp; Vielmehr gilt nun:
 :$$f_{xy}(x, y) \ne f_{x}(x) \cdot  f_{y}(y).$$

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 [[Datei:P_ID400__Sto_A_4_7.png|right|frame|Summe und Differenz von Zufallsgrößen]]
-Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en $u$ und $v$ seien statistisch voneinander unabh&auml;ngig, jeweils mit Mittelwert $m$ und Varianz $\sigma^2$.
+Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; seien statistisch voneinander unabh&auml;ngig, jeweils mit Mittelwert&nbsp; $m$&nbsp; und Varianz&nbsp; $\sigma^2$.
 *Beide Größen besitzen gleiche WDF und VTF.
 *Über den Verlauf dieser Funktionen sei zun&auml;chst nichts bekannt.
-Es werden nun zwei neue Zufallsgr&ouml;&szlig;en $x$ und $y$ entsprechend den nachfolgenden Gleichungen gebildet:
+Es werden nun zwei neue Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; entsprechend den nachfolgenden Gleichungen gebildet:
 :$$x = A \cdot u + B \cdot v,$$
 :$$y= A \cdot u - B \cdot v.$$
-Hierbei bezeichnen $A$ und $B$ (beliebige) konstante Werte.
+Hierbei bezeichnen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; (beliebige) konstante Werte.
-*F&uuml;r die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' gelte &nbsp; $m= 0$, &nbsp; $\sigma = 1$, &nbsp;  $A = 1$&nbsp;  und&nbsp;  $B = 2$.
+*F&uuml;r die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(4)'''&nbsp; gelte &nbsp; $m= 0$, &nbsp; $\sigma = 1$, &nbsp;  $A = 1$&nbsp;  und&nbsp;  $B = 2$.
-*Bei der Teilaufgabe '''(6)''' wird vorausgesetzt, dass  $u$ und $v$ jeweils gau&szlig;verteilt mit Mittelwert $m= 1$ und Streuung $\sigma = 0.5$ seien. F&uuml;r die Konstanten gelte hier &nbsp; $A = B = 1$.
+*Bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; wird vorausgesetzt, dass&nbsp;  $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; jeweils gau&szlig;verteilt mit Mittelwert&nbsp; $m= 1$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma = 0.5$&nbsp; seien. F&uuml;r die Konstanten gelte hier &nbsp; $A = B = 1$.
-*F&uuml;r die Aufgabe '''(7)''' gelte weiterhin $A = B = 1$. Hier seien die Zufallsgr&ouml;&szlig;en $u$ und $v$ symmetrisch zweipunktverteilt auf $\pm$1:
+*F&uuml;r die Aufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; gelte weiterhin&nbsp; $A = B = 1$.&nbsp; Hier seien die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; symmetrisch zweipunktverteilt auf&nbsp; $\pm$1:
 :$${\rm Pr}(u=+1) = {\rm Pr}(u=-1) = {\rm Pr}(v=+1) = {\rm Pr}(v=-1) =0.5.$$
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 ''Hinweis:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind Mittelwert und Streuung von &nbsp;$x$&nbsp; f&uuml;r $A = 1$ und $B = 2$?
+{Wie groß sind Mittelwert und Streuung von &nbsp;$x$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$?
 |type="{}"}
 $m_x \ = \ $ { 0. }
@@ Zeile 38: / Zeile 41: @@
-{Wie gro&szlig; sind Mittelwert und Streuung von &nbsp;$y$&nbsp; f&uuml;r $A = 1$ und $B = 2$?
+{Wie gro&szlig; sind Mittelwert und Streuung von &nbsp;$y$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$?
 |type="{}"}
 $m_y \ =  \ $ { 0. }
@@ Zeile 44: / Zeile 47: @@
-{Berechnen Sie die Kovarianz $\mu_{xy}$. Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r $A = 1$ und $B = 2$?
+{Berechnen Sie die Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy}$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$?
 |type="{}"}
 $\mu_{xy} \ =  \ $  { -3.09--2.91 }
-{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy}$ in Abh&auml;ngigkeit des Quotienten $B/A$. Welcher Koeffizient ergibt sich f&uuml;r $A = 1$ und $B = 2$?
+{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; in Abh&auml;ngigkeit des Quotienten&nbsp; $B/A$.&nbsp; Welcher Koeffizient ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $A = 1$&nbsp; und&nbsp; $B = 2$?
 |type="{}"}
 $\rho_{xy}\ =  \ $ { -0.618--0.582 }
@@ Zeile 58: / Zeile 61: @@
 + F&uuml;r &nbsp;$B = 0$&nbsp; sind die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; streng korreliert.
 - Es gilt &nbsp;$\rho_{xy}(-B/A) = -\rho_{xy}(B/A)$.
-+ Im Grenzfall $B/A \to \infty$ sind die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; streng korreliert.
++ Im Grenzfall&nbsp; $B/A \to \infty$&nbsp; sind die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; streng korreliert.
-+ F&uuml;r $A =B$ sind die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; unkorreliert.
++ F&uuml;r&nbsp; $A =B$&nbsp; sind die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; unkorreliert.
-{Welche Aussagen sind zutreffend, wenn $A =B = 1$ gilt und &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; jeweils gau&szlig;verteilt sind mit Mittelwert &nbsp;$m = 1$ und Streuung &nbsp;$\sigma = 0.5$?
+{Welche Aussagen sind zutreffend, wenn&nbsp; $A =B = 1$&nbsp; gilt und &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; jeweils gau&szlig;verteilt sind mit Mittelwert &nbsp;$m = 1$&nbsp; und Streuung &nbsp;$\sigma = 0.5$&nbsp;?
 |type="[]"}
 + Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; sind unkorreliert.
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-{Welche Aussagen treffen zu, wenn &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; symmetrisch zweipunktverteilt sind und $A =B = 1$ gilt?
+{Welche Aussagen treffen zu, wenn &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; symmetrisch zweipunktverteilt sind und&nbsp; $A =B = 1$&nbsp; gilt?
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 + Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en &nbsp;$x$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; sind unkorreliert.

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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 '''(6)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen richtig</u> sind richtig:
-Bei $A=B$ sind $x$ und $y$ stets (d. h. bei jeder beliebigen WDF der Gr&ouml;&szlig;en $u$ und $v$) unkorreliert. Die neuen Zufallsgr&ouml;&szlig;en $x$ und $y$ sind hier also ebenfalls gau&szlig;verteilt.
+*Bei $A=B$ sind $x$ und $y$ stets (d. h. bei jeder beliebigen WDF der Gr&ouml;&szlig;en $u$ und $v$) unkorreliert. Die neuen Zufallsgr&ouml;&szlig;en $x$ und $y$ sind hier also ebenfalls gau&szlig;verteilt.
 *Bei Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;en folgt aber aus der Unkorreliertheit auch die statistische Unabh&auml;ngigkeit und umgekehrt.