Aufgaben:Aufgabe 4.6: Ortskurve bei ESB-AM - Versionsgeschichte

Guenter am 12. Mai 2021 um 09:37 Uhr

2021-05-12T09:37:10Z

Guenter am 12. Mai 2021 um 09:00 Uhr

2021-05-12T09:00:39Z

Guenter am 12. Mai 2021 um 08:42 Uhr

2021-05-12T08:42:50Z

Guenter am 12. Mai 2021 um 08:33 Uhr

2021-05-12T08:33:28Z

Guenter am 8. Oktober 2019 um 10:46 Uhr

2019-10-08T10:46:56Z

Guenter am 8. Oktober 2019 um 10:29 Uhr

2019-10-08T10:29:41Z

Guenter am 26. Juli 2018 um 15:03 Uhr

2018-07-26T15:03:34Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:53Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 24. Januar 2018 um 15:59 Uhr

2018-01-24T15:59:26Z

Guenter am 24. Januar 2018 um 15:43 Uhr

2018-01-24T15:43:31Z

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 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID766__Sig_A_4_6_a.png|250px|right|frame|Ortskurve <br>für OSB&ndash;Modulation]]
+[[Datei:P_ID766__Sig_A_4_6_a.png|250px|right|frame|Ortskurve für <br>OSB&ndash;Modulation]]
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 *Das Spektrum des äquivalenten TP–Signals lautet mit der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = f_{50} = 50 \ \text{kHz}$:
@@ Zeile 132: / Zeile 132: @@
-[[Datei:P_ID767__Sig_A_4_6_d.png|250px|right|frame|Ortskurve <br>für USB&ndash;Modulation]]
+[[Datei:P_ID767__Sig_A_4_6_d.png|250px|right|frame|Ortskurve für <br>USB&ndash;Modulation]]
 '''(4)'''&nbsp; Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{60} = 60 \ \text{ kHz}$&nbsp; lauten die Gleichungen für Zeit– und Frequenzbereich:

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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; für die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$&nbsp; an.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; für die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = 50 \ \text{ kHz}$&nbsp; an.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="()"}
 - Die Ortskurve beschreibt eine Ellipse.
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 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID766__Sig_A_4_6_a.png|250px|right|frame|Ortskurve für OSB]]
+[[Datei:P_ID766__Sig_A_4_6_a.png|250px|right|frame|Ortskurve <br>für OSB&ndash;Modulation]]
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 *Das Spektrum des äquivalenten TP–Signals lautet mit der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = f_{50} = 50 \ \text{kHz}$:
@@ Zeile 132: / Zeile 132: @@
-[[Datei:P_ID767__Sig_A_4_6_d.png|250px|right|frame|Ortskurve für USB]]
+[[Datei:P_ID767__Sig_A_4_6_d.png|250px|right|frame|Ortskurve <br>für USB&ndash;Modulation]]
 '''(4)'''&nbsp; Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{60} = 60 \ \text{ kHz}$&nbsp; lauten die Gleichungen für Zeit– und Frequenzbereich:

@@ Zeile 114: / Zeile 114: @@
-Der Phasenwert bei&nbsp; $t =75 \ &micro; \text{s}$&nbsp; muss dagegen durch Grenzübergang bestimmt werden, da hier sowohl der Real- als auch der Imaginärteil Null werden und somit das Argument der arctan–Funktion unbestimmt ist. Man erhält&nbsp; $\phi(t=75 \ &micro; \text{s}) \; \underline{= 0}.$ Dieses Ergebnis soll hier numerisch nachgewiesen werden:
+Der Phasenwert bei&nbsp; $t =75 \ &micro; \text{s}$&nbsp; muss dagegen durch Grenzübergang bestimmt werden, da hier sowohl der Real- als auch der Imaginärteil Null werden und somit das Argument der arctan–Funktion unbestimmt ist.&nbsp; Man erhält&nbsp; $\phi(t=75 \ &micro; \text{s}) \; \underline{= 0}.$&nbsp; Dieses Ergebnis soll hier numerisch nachgewiesen werden:
 *Berechnet man die Phasenfunktion für&nbsp; $t =74 \ {\rm &micro;} \text{s}$, so erhält man mit&nbsp; $\omega_{10} \cdot t = 1.48 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 266.4^\circ$:
@@ Zeile 141: / Zeile 141: @@
 j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }.$$
-In der Grafik ist&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; dargestellt. Man erkennt:
+In der Grafik ist&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; dargestellt.&nbsp; Man erkennt:
 *Die Ortskurve ist wiederum ein Kreis mit Radius&nbsp; $1$, aber nun mit Mittelpunkt&nbsp; $(0, –{\rm j})$.
 *Es gilt auch hier&nbsp; $s_{\rm TP}(t = 0) = 1 - {\rm j}$.

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 In dieser Aufgabe soll der Verlauf des äquivalenten Tiefpass-Signals&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; analysiert werden, das in diesem Tutorial auch als &bdquo;Ortskurve&rdquo; bezeichnet wird.
-*In den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gehen wir davon aus, dass das Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; durch eine Einseitenband-Amplitudenmodulation des sinusförmigen Nachrichtensignals der Frequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$&nbsp; mit einem cosinusförmigen Träger bei&nbsp; $f_{\rm T} = f_{50}$&nbsp; entstanden ist, wobei nur das obere Seitenband übertragen wird (&bdquo;OSB-Modulation&rdquo;).
+*In den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gehen wir davon aus, dass das Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; durch eine Einseitenband-Amplitudenmodulation des sinusförmigen Nachrichtensignals der Frequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$&nbsp; mit einem cosinusförmigen Träger bei&nbsp; $f_{\rm T} = f_{50}$&nbsp; entstanden ist, wobei nur das obere Seitenband übertragen wird &nbsp; &rArr; &nbsp; $\text{OSB-Modulation}$.
-*Dagegen wird bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; von der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = f_{60}$&nbsp; ausgegangen. Diese Annahme setzt voraus, dass eine USB-Modulation stattgefunden hat.
+*Dagegen wird bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; von der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = f_{60}$&nbsp; ausgegangen. Diese Annahme setzt voraus, dass eine&nbsp; $\text{USB-Modulation}$&nbsp; stattgefunden hat.
@@ Zeile 26: / Zeile 23: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
-*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Ortskurve überprüfen.
+*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes Tiefpass-Signal]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Ortskurve überprüfen.
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; für die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$&nbsp; an. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; für die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$&nbsp; an.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="()"}
 - Die Ortskurve beschreibt eine Ellipse.
@@ Zeile 38: / Zeile 35: @@
 - Die Ortskurve beschreibt einen Kreisbogen.
-{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$. Wie groß ist der Wert&nbsp; $a_0$&nbsp; bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; sowie der Minimal– und der Maximalwert des Betrags?
+{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$.&nbsp; Wie groß ist der Wert&nbsp; $a_0$&nbsp; bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; sowie der Minimal– und der Maximalwert des Betrags?
 |type="{}"}
 $a_{\text{min}}\ = \ $ { 0. }
@@ Zeile 45: / Zeile 42: @@
-{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$. Wie groß sind die Phasenwerte bei&nbsp; $t = 0$&nbsp;  sowie bei&nbsp; $t=25 \ {\rm &micro;} \text{s}$? <br>Interpretieren Sie&nbsp; $\phi (t)$ im Bereich um&nbsp; $t=75 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
+{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$.&nbsp; Wie groß sind die Phasenwerte bei&nbsp; $t = 0$&nbsp;  sowie bei&nbsp; $t=25 \ {\rm &micro;} \text{s}$? <br>Interpretieren Sie&nbsp; $\phi (t)$ im Bereich um&nbsp; $t=75 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
 |type="{}"}
 $\phi(t=0 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { -46--44 } &nbsp;$\text{Grad}$
@@ Zeile 51: / Zeile 48: @@
 $\phi(t=75 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{Grad}$
-{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; für&nbsp; $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz} = f_{60}$&nbsp; an. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; für&nbsp; $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz} = f_{60}$&nbsp; an.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
 + Die Ortskurve ist ein Kreis mit Radius&nbsp; $1$&nbsp; um den Mittelpunkt&nbsp; $(0, –{\rm j})$ .

@@ Zeile 65: / Zeile 65: @@
 [[Datei:P_ID766__Sig_A_4_6_a.png|250px|right|frame|Ortskurve für OSB]]
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Das Spektrum des äquivalenten TP–Signals lautet mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{50} = 50 \ \text{ kHz}$:
+*Das Spektrum des äquivalenten TP–Signals lautet mit der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = f_{50} = 50 \ \text{kHz}$:
 :$$S_{\rm TP}(f ) = S_{\rm +}(f+ f_{\rm 50}) = 1 \cdot \delta (f)-
 {\rm j} \cdot \delta (f - f_{\rm 10}) .$$
@@ Zeile 71: / Zeile 71: @@
 :$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 } - {\rm j} \cdot {\rm e}^{{\rm
 j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }.$$
-*Ausgehend vom Punkt $(1, –{\rm j})$ verläuft $s_{\rm TP}(t)$ auf einem Kreis mit  Mittelpunkt $(1, 0)$ und Radius $1$. Die Periodendauer ist gleich dem Kehrwert der Frequenz: &nbsp; $T_0 = 1/f_{10} = 100 \ \mu \text{s}$ &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; <u>Antwort 2</u>.
+*Ausgehend vom Punkt&nbsp; $(1, –{\rm j})$&nbsp; verläuft&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; auf einem Kreis mit  Mittelpunkt&nbsp; $(1, 0)$&nbsp; und Radius&nbsp; $1$.
@@ Zeile 79: / Zeile 81: @@
 -{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }).$$
-Dies führt zur Betragsfunktion
+*Dies führt zur Betragsfunktion
 :$$a(t)=  |s_{\rm TP}(t)|=\sqrt{{\rm Re}\left[s_{\rm
@@ Zeile 88: / Zeile 90: @@
   = \sqrt{2 \cdot ( 1 +  \sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t))}.$$
-*Für den Minimalwert erhält man unter Berücksichtigung von $\sin(\omega_{10} \cdot t) \geq -1$  &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; $a_{\text{min}} \; \underline{= 0}$.
+*Für den Minimalwert erhält man unter Berücksichtigung von&nbsp; $\sin(\omega_{10} \cdot t) \geq -1$&nbsp;  &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; $a_{\text{min}} \; \underline{= 0}$.
-*Der Maximalwert ergibt sich aus $\sin(\omega_{10} \cdot t \leq 1$ ) &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; $a_{\text{max}} \; \underline{= 2}$.
+*Der Maximalwert ergibt sich aus&nbsp; $\sin(\omega_{10} \cdot t \leq 1$ ) &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; $a_{\text{max}} \; \underline{= 2}$.
-*Bei $t = 0$ ist der Betrag gleich $a_0 = \sqrt{2 }\; \underline{\approx  1.414}$.
+*Bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist der Betrag gleich&nbsp; $a_0 = \sqrt{2 }\; \underline{\approx  1.414}$.
@@ Zeile 100: / Zeile 103: @@
 \sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t)}.$$
-Für $t = 0$ ist $\cos( \omega_{10} \cdot t ) = 1$ und $\sin( \omega_{10} \cdot t ) = 0$. Daraus folgt:
+*Für&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist&nbsp; $\cos( \omega_{10} \cdot t ) = 1$&nbsp; und&nbsp; $\sin( \omega_{10} \cdot t ) = 0$. Daraus folgt:
 :$$\phi(t = 0)= {\rm arctan} (-1) \hspace{0.15 cm}\underline{= -45^\circ}.$$
-Dagegen gilt für $t = T_0/4 =25 \ &micro; \text{s}$ :
+*Dagegen gilt für&nbsp; $t = T_0/4 =25 \ &micro; \text{s}$ :
 :$$\cos(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t) = 0;
@@ Zeile 111: / Zeile 114: @@
 \hspace{0.05cm} &micro; s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
-Die beiden bisher berechneten Winkel kann man auch aus obiger Grafik ablesen.
+*Die beiden bisher berechneten Winkel kann man auch aus obiger Grafik ablesen.
-Dieses Ergebnis soll hier numerisch nachgewiesen werden:
+Der Phasenwert bei&nbsp; $t =75 \ &micro; \text{s}$&nbsp; muss dagegen durch Grenzübergang bestimmt werden, da hier sowohl der Real- als auch der Imaginärteil Null werden und somit das Argument der arctan–Funktion unbestimmt ist. Man erhält&nbsp; $\phi(t=75 \ &micro; \text{s}) \; \underline{= 0}.$ Dieses Ergebnis soll hier numerisch nachgewiesen werden:
-*Berechnet man die Phasenfunktion für $t =74 \ {\rm &micro;} \text{s}$, so erhält man mit $\omega_{10} \cdot t = 1.48 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 266.4^\circ$:
+*Berechnet man die Phasenfunktion für&nbsp; $t =74 \ {\rm &micro;} \text{s}$, so erhält man mit&nbsp; $\omega_{10} \cdot t = 1.48 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 266.4^\circ$:
 :$$\phi(t = {\rm 74 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;} s})= {\rm arctan}
@@ Zeile 123: / Zeile 125: @@
 arctan}(31)\approx 88^\circ.$$
-*Entsprechend gilt für $t =76 \ {\rm &micro;} \text{s}$ mit $\omega_{10} \cdot t = 1.52 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 273.6^\circ$ :
+*Entsprechend gilt für&nbsp; $t =76 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; mit&nbsp; $\omega_{10} \cdot t = 1.52 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 273.6^\circ$ :
 :$$\phi(t = {\rm 76 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;} s})= {\rm arctan}
@@ Zeile 129: / Zeile 131: @@
 \approx {\rm arctan}(-31)\approx -88^\circ.$$
-*Diese Zahlenwerte lassen vermuten, dass die Grenzwerte für $t \; \rightarrow \; 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$ sich zu $\pm 90^\circ$ ergeben, je nachdem, ob man sich diesem Wert von oben oder unten nähert.
+*Die Zahlenwerte lassen vermuten, dass die Grenzwerte für&nbsp; $t \; \rightarrow \; 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; sich zu&nbsp; $\pm 90^\circ$&nbsp; ergeben, je nachdem, ob man sich diesem Wert von oben oder unten nähert.
-*Der Phasenwert bei exakt $t =75 \ {\rm &micro;} \text{s}$ ist gleich dem Mittelwert zwischen rechts- und linksseitigem Grenzwert, also tzatsächlich $0$.
+*Der Phasenwert bei exakt&nbsp; $t =75 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; ist gleich dem Mittelwert zwischen rechts- und linksseitigem Grenzwert, also tatsächlich Null.
 [[Datei:P_ID767__Sig_A_4_6_d.png|250px|right|frame|Ortskurve für USB]]
-'''(4)'''&nbsp; Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{60} = 60 \ \text{ kHz}$ lauten die Gleichungen für Zeit– und Frequenzbereich:
+'''(4)'''&nbsp; Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{60} = 60 \ \text{ kHz}$&nbsp; lauten die Gleichungen für Zeit– und Frequenzbereich:
 :$$S_{\rm TP}(f ) = S_{\rm +}(f+ f_{\rm 60}) = -{\rm j} \cdot \delta
@@ Zeile 142: / Zeile 144: @@
 j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }.$$
-In der Grafik ist $s_{\rm TP}(t)$ dargestellt. Man erkennt:
+In der Grafik ist&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; dargestellt. Man erkennt:
-*Die Ortskurve ist wiederum ein Kreis mit Radius $1$, aber nun mit Mittelpunkt $(0, –{\rm j})$.
+*Die Ortskurve ist wiederum ein Kreis mit Radius&nbsp; $1$, aber nun mit Mittelpunkt&nbsp; $(0, –{\rm j})$.
-*Es gilt auch hier $s_{\rm TP}(t = 0) = 1 - {\rm j}$.
+*Es gilt auch hier&nbsp; $s_{\rm TP}(t = 0) = 1 - {\rm j}$.
 *Man bewegt sich nun auf der Ortskurve im Uhrzeigersinn.
-*Die Periodendauer beträgt weiterhin $T_0 = 1/f_{10} = 100 \ &micro; \text{s}$.
+*Die Periodendauer beträgt weiterhin&nbsp; $T_0 = 1/f_{10} = 100 \ &micro; \text{s}$.
-*Die Ortskurve ist gegenüber der Teilaufgabe '''(1)''' nun um $90^\circ$ in der komplexen Ebene gedreht.
+*Die Ortskurve ist gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; nun&nbsp; um $90^\circ$&nbsp; in der komplexen Ebene gedreht.
-*Für alle Zeiten ergeben sich die gleichen Zeigerlängen wie für $f_{\rm T} = f_{50}$. Der Betrag bleibt gleich.
+*Für alle Zeiten ergeben sich die gleichen Zeigerlängen wie für&nbsp; $f_{\rm T} = f_{50}$. Der Betrag bleibt gleich.
-*Die Phasenfunktion $\phi(t)$ liefert nun Werte zwischen $-\pi$ und $0$, während die in der Teilaufgabe '''(3)''' berechnete Phasenfunktion Werte zwischen $-\pi/2$ und $+\pi /2$ angenommen hat. Es gilt für alle Zeiten $t$::
+*Die Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; liefert nun Werte zwischen&nbsp; $-\pi$&nbsp; und Null, während die in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnete Phasenfunktion Werte zwischen&nbsp; $-\pi/2$&nbsp; und&nbsp; $+\pi /2$&nbsp; angenommen hat. Es gilt für alle Zeiten&nbsp; $t$:
 :$$\phi_{\rm Teilaufgabe \ (4)}= -(\phi_{\rm Teilaufgabe \ (3)} + 90^\circ).$$

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID764__Sig_A_4_6.png|250px|right|frame|Spektrum des analytischen Signals]]
-Wir betrachten das analytische Signal $s_+(t)$ mit der Spektralfunktion
+Wir betrachten das analytische Signal&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; mit der Spektralfunktion
 :$$S_{\rm +}(f) = 1 \cdot \delta (f - f_{\rm 50})- {\rm j} \cdot
 \delta (f - f_{\rm 60}) .$$
-Hierbei stehen $f_{50}$ und $f_{60}$ als Abkürzungen für die Frequenzen $50 \ \rm kHz$ bzw. $60 \ \rm kHz$.
+Hierbei stehen&nbsp; $f_{50}$&nbsp; und&nbsp; $f_{60}$&nbsp; als Abkürzungen für die Frequenzen&nbsp; $50 \ \rm kHz$&nbsp; bzw.&nbsp; $60 \ \rm kHz$.
@@ Zeile 21: / Zeile 24: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
-*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Ortskurve überprüfen.
+*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Ortskurve überprüfen.
@@ Zeile 29: / Zeile 32: @@
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal $s_{\rm TP}(t)$ für die Trägerfrequenz $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$ an. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; für die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$&nbsp; an. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="()"}
 - Die Ortskurve beschreibt eine Ellipse.
@@ Zeile 35: / Zeile 38: @@
 - Die Ortskurve beschreibt einen Kreisbogen.
-{Berechnen Sie die Betragsfunktion $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$. Wie groß ist der Wert $a_0$ bei $t = 0$ sowie der Maximal– und Minimalwert des Betrags?
+{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$. Wie groß ist der Wert&nbsp; $a_0$&nbsp; bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; sowie der Minimal– und der Maximalwert des Betrags?
 |type="{}"}
 $a_{\text{min}}\ = \ $ { 0. }
@@ Zeile 42: / Zeile 45: @@
-{Berechnen Sie die Phasenfunktion $\phi(t)$. Wie groß sind die Phasenwerte bei $t = 0$  sowie bei $t=25 \ {\rm &micro;} \text{s}$? <br>Interpretieren Sie $\phi (t)$ im Bereich um $t=75 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
+{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$. Wie groß sind die Phasenwerte bei&nbsp; $t = 0$&nbsp;  sowie bei&nbsp; $t=25 \ {\rm &micro;} \text{s}$? <br>Interpretieren Sie&nbsp; $\phi (t)$ im Bereich um&nbsp; $t=75 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
 |type="{}"}
 $\phi(t=0 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { -46--44 } &nbsp;$\text{Grad}$
@@ Zeile 48: / Zeile 51: @@
 $\phi(t=75 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{Grad}$
-{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal $s_{\rm TP}(t)$ für $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz} = f_{60}$ an. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Geben Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; für&nbsp; $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz} = f_{60}$&nbsp; an. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Die Ortskurve ist ein Kreis mit Radius $1$ um den Mittelpunkt $(0, –{\rm j})$ .
++ Die Ortskurve ist ein Kreis mit Radius&nbsp; $1$&nbsp; um den Mittelpunkt&nbsp; $(0, –{\rm j})$ .
-- Es gilt nun $s_{\rm TP}(t = 0) = 1 + {\rm j}$.
+- Es gilt nun&nbsp; $s_{\rm TP}(t = 0) = 1 + {\rm j}$.
-+ Die Betragsfunktion $a(t)$ ist gegenüber $f_{\rm T} = f_{50}$ unverändert.
++ Die Betragsfunktion&nbsp; $a(t)$&nbsp; ist gegenüber&nbsp; $f_{\rm T} = f_{50}$&nbsp; unverändert.
-- Die Phasenfunktion $\phi (t)$ ist gegenüber $f_{\rm T} = f_{50}$ unverändert.
+- Die Phasenfunktion&nbsp; $\phi (t)$&nbsp; ist gegenüber&nbsp; $f_{\rm T} = f_{50}$&nbsp; unverändert.
 </quiz>

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID764__Sig_A_4_6.png|250px|right|frame|Gegebenes Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals]]
+[[Datei:P_ID764__Sig_A_4_6.png|250px|right|frame|Spektrum des analytischen Signals]]
 Wir betrachten das analytische Signal $s_+(t)$ mit der Spektralfunktion
@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 Hierbei stehen $f_{50}$ und $f_{60}$ als Abkürzungen für die Frequenzen $50 \ \rm kHz$ bzw. $60 \ \rm kHz$.
-In dieser Aufgabe soll der Verlauf des äquivalenten Tiefpass-Signals $s_{TP}(t)$ analysiert werden, das in diesem Tutorial auch als &bdquo;Ortskurve&rdquo; bezeichnet wird.
+In dieser Aufgabe soll der Verlauf des äquivalenten Tiefpass-Signals $s_{\rm TP}(t)$ analysiert werden, das in diesem Tutorial auch als &bdquo;Ortskurve&rdquo; bezeichnet wird.
-*In den Teilaufgaben (1) bis (3) gehen wir davon aus, dass das Signal $s(t)$ durch eine Einseitenband-Amplitudenmodulation des sinusförmigen Nachrichtensignals der Frequenz $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$ mit einem cosinusförmigen Träger bei $f_{\rm T} = f_{50}$ entstanden ist, wobei nur das obere Seitenband übertragen wird (&bdquo;OSB-Modulation&rdquo;).
+*In den Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(3)''' gehen wir davon aus, dass das Signal $s(t)$ durch eine Einseitenband-Amplitudenmodulation des sinusförmigen Nachrichtensignals der Frequenz $f_{\rm N} = 10 \ \text{ kHz}$ mit einem cosinusförmigen Träger bei $f_{\rm T} = f_{50}$ entstanden ist, wobei nur das obere Seitenband übertragen wird (&bdquo;OSB-Modulation&rdquo;).
-*Dagegen wird bei der Teilaufgabe (4) von der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{60}$ ausgegangen. Diese Annahme setzt voraus, dass eine USB-Modulation stattgefunden hat.
+*Dagegen wird bei der Teilaufgabe '''(4)''' von der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{60}$ ausgegangen. Diese Annahme setzt voraus, dass eine USB-Modulation stattgefunden hat.
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
-*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Ortskurve_–_Darstellung_des_äquivalenten_Tiefpass-Signals_(Applet)|Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals]] überprüfen.
+*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Ortskurve überprüfen.
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 *Für den Minimalwert erhält man unter Berücksichtigung von $\sin(\omega_{10} \cdot t) \geq -1$  &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; $a_{\text{min}} \; \underline{= 0}$.
-*Der Maximalwert ergibt sich aus sin( $\omega_{10} \cdot t \leq 1$ ) &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; $a_{\text{max}} \; \underline{= 2}$.
+*Der Maximalwert ergibt sich aus $\sin(\omega_{10} \cdot t \leq 1$ ) &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; $a_{\text{max}} \; \underline{= 2}$.
 *Bei $t = 0$ ist der Betrag gleich $a_0 = \sqrt{2 }\; \underline{\approx  1.414}$.
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 :$$\phi(t = 0)= {\rm arctan} (-1) \hspace{0.15 cm}\underline{= -45^\circ}.$$
-Dagegen gilt für $t = T_0/4 =25 \ \mu \text{s}$ :
+Dagegen gilt für $t = T_0/4 =25 \ &micro; \text{s}$ :
 :$$\cos(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t) = 0;
 \hspace{0.2cm}\sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t) = 1
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = {\rm 25
-\hspace{0.05cm} \mu s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
+\hspace{0.05cm} &micro; s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
 Die beiden bisher berechneten Winkel kann man auch aus obiger Grafik ablesen.
-Der Phasenwert bei $t =75 \ \mu \text{s}$ muss dagegen durch Grenzübergang bestimmt werden, da hier sowohl der Real- als auch der Imaginärteil $0$ werden und somit das Argument der arctan–Funktion unbestimmt ist. Man erhält $\phi(t=75 \ \mu \text{s}) \; \underline{= 0}.$
+Der Phasenwert bei $t =75 \ &micro; \text{s}$ muss dagegen durch Grenzübergang bestimmt werden, da hier sowohl der Real- als auch der Imaginärteil $0$ werden und somit das Argument der arctan–Funktion unbestimmt ist. Man erhält $\phi(t=75 \ &micro; \text{s}) \; \underline{= 0}.$
 Dieses Ergebnis soll hier numerisch nachgewiesen werden:
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 \approx {\rm arctan}(-31)\approx -88^\circ.$$
-*Diese Zahlenwerte lassen darauf schließen, dass die Grenzwerte für $t \; \rightarrow \; 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$ sich zu $\pm 90^\circ$ ergeben, je nachdem, ob man sich diesem Wert von oben oder unten nähert.
+*Diese Zahlenwerte lassen vermuten, dass die Grenzwerte für $t \; \rightarrow \; 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$ sich zu $\pm 90^\circ$ ergeben, je nachdem, ob man sich diesem Wert von oben oder unten nähert.
 *Der Phasenwert bei exakt $t =75 \ {\rm &micro;} \text{s}$ ist gleich dem Mittelwert zwischen rechts- und linksseitigem Grenzwert, also tzatsächlich $0$.
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 In der Grafik ist $s_{\rm TP}(t)$ dargestellt. Man erkennt:
 *Die Ortskurve ist wiederum ein Kreis mit Radius $1$, aber nun mit Mittelpunkt $(0, –{\rm j})$.
-*Es gilt auch hier $s_{\rm TP}(t = 0) = 1 – {\rm j}$.
+*Es gilt auch hier $s_{\rm TP}(t = 0) = 1 - {\rm j}$.
 *Man bewegt sich nun auf der Ortskurve im Uhrzeigersinn.
-*Die Periodendauer beträgt weiterhin $T_0 = 1/f_{10} = 100 \ \mu \text{s}$.
+*Die Periodendauer beträgt weiterhin $T_0 = 1/f_{10} = 100 \ &micro; \text{s}$.
-*Die Ortskurve ist gegenüber der Teilaufgabe (1) nun um $90^\circ$ in der komplexen Ebene gedreht.
+*Die Ortskurve ist gegenüber der Teilaufgabe '''(1)''' nun um $90^\circ$ in der komplexen Ebene gedreht.
 *Für alle Zeiten ergeben sich die gleichen Zeigerlängen wie für $f_{\rm T} = f_{50}$. Der Betrag bleibt gleich.
-*Die Phasenfunktion $\phi(t)$ liefert nun Werte zwischen $-\pi$ und $0$, während die in der Teilaufgabe (3) berechnete Phasenfunktion Werte zwischen $-\pi/2$ und $+\pi /2$ angenommen hat. Es gilt für alle Zeiten $t$::
+*Die Phasenfunktion $\phi(t)$ liefert nun Werte zwischen $-\pi$ und $0$, während die in der Teilaufgabe '''(3)''' berechnete Phasenfunktion Werte zwischen $-\pi/2$ und $+\pi /2$ angenommen hat. Es gilt für alle Zeiten $t$::
 :$$\phi_{\rm Teilaufgabe \ (4)}= -(\phi_{\rm Teilaufgabe \ (3)} + 90^\circ).$$

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 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID766__Sig_A_4_6_a.png|250px|right|Ortskurve für OSB]]
+[[Datei:P_ID766__Sig_A_4_6_a.png|250px|right|frame|Ortskurve für OSB]]
-'''1.''' Das Spektrum des äquivalenten TP–Signals lautet mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{50} = 50 \ \text{ kHz}$:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+*Das Spektrum des äquivalenten TP–Signals lautet mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{50} = 50 \ \text{ kHz}$:
-$$S_{\rm TP}(f ) = S_{\rm +}(f+ f_{\rm 50}) = 1 \cdot \delta (f)-
+:$$S_{\rm TP}(f ) = S_{\rm +}(f+ f_{\rm 50}) = 1 \cdot \delta (f)-
 {\rm j} \cdot \delta (f - f_{\rm 10}) .$$
+*Damit ergibt sich für das dazugehörige Zeitsignal:
-Damit ergibt sich für das dazugehörige Zeitsignal:
+:$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 } - {\rm j} \cdot {\rm e}^{{\rm
 j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }.$$
-'''2.''' Spaltet man obige Gleichung nach Real- und Imaginäranteil auf, so erhält man:
+'''(2)'''&nbsp; Spaltet man obige Gleichung nach Real- und Imaginäranteil auf, so erhält man:
-$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 } + \sin({ \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t })
+:$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 } + \sin({ \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t })
 -{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }).$$
 Dies führt zur Betragsfunktion
-$$\begin{align*}a(t)& =  |s_{\rm TP}(t)|=\sqrt{{\rm Re}\left[s_{\rm
+:$$a(t)=  |s_{\rm TP}(t)|=\sqrt{{\rm Re}\left[s_{\rm
-TP}(t)\right]^2 + {\rm Im}\left[s_{\rm TP}(t)\right]^2 }= \\ & =
+TP}(t)\right]^2 + {\rm Im}\left[s_{\rm TP}(t)\right]^2 }=
 \sqrt{1 + 2 \sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t)+
 \sin^2(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t)+  \cos^2(\omega_{\rm
 }\hspace{0.05cm} t)}
-  = \sqrt{2 \cdot ( 1 +  \sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t))}.\end{align*}$$
+  = \sqrt{2 \cdot ( 1 +  \sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t))}.$$
 *Der Maximalwert ergibt sich aus sin( $\omega_{10} \cdot t \leq 1$ ) &nbsp;&nbsp; ⇒ &nbsp;&nbsp; $a_{\text{max}} \; \underline{= 2}$.
 *Bei $t = 0$ ist der Betrag gleich $a_0 = \sqrt{2 }\; \underline{\approx  1.414}$.
-'''3.''' Entsprechend der allgemeinen Definition gilt:
+'''(3)'''&nbsp; Entsprechend der allgemeinen Definition gilt:
-$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm
+:$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm
 TP}(t)\right]}{{\rm Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}= {\rm arctan}
 \hspace{0.1cm}\frac{-\cos(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t)}{1 +
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 Für $t = 0$ ist $\cos( \omega_{10} \cdot t ) = 1$ und $\sin( \omega_{10} \cdot t ) = 0$. Daraus folgt:
-$$\phi(t = 0)= {\rm arctan} (-1) \hspace{0.15 cm}\underline{= -45^\circ}.$$
+:$$\phi(t = 0)= {\rm arctan} (-1) \hspace{0.15 cm}\underline{= -45^\circ}.$$
 Dagegen gilt für $t = T_0/4 =25 \ \mu \text{s}$ :
-$$\cos(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t) = 0;
+:$$\cos(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t) = 0;
 \hspace{0.2cm}\sin(\omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t) = 1
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = {\rm 25
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 Dieses Ergebnis soll hier numerisch nachgewiesen werden:
-*Berechnet man die Phasenfunktion für $t =74 \ \mu \text{s}$, so erhält man mit $\omega_{10} \cdot t = 1.48 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 266.4^\circ$:
+*Berechnet man die Phasenfunktion für $t =74 \ {\rm &micro;} \text{s}$, so erhält man mit $\omega_{10} \cdot t = 1.48 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 266.4^\circ$:
-:$$\phi(t = {\rm 74 \hspace{0.05cm} \mu s})= {\rm arctan}
+:$$\phi(t = {\rm 74 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;} s})= {\rm arctan}
 \hspace{0.1cm}\frac{\cos(86.4^\circ)}{1 - \sin(86.4^\circ)} = {\rm
 arctan} \hspace{0.1cm}\frac{0.062}{1 - 0.998} \approx {\rm
 arctan}(31)\approx 88^\circ.$$
-*Entsprechend gilt für $t =76 \ \mu \text{s}$ mit $\omega_{10} \cdot t = 1.52 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 273.6^\circ$ :
+*Entsprechend gilt für $t =76 \ {\rm &micro;} \text{s}$ mit $\omega_{10} \cdot t = 1.52 \cdot \pi \; \Rightarrow \; 273.6^\circ$ :
-:$$\phi(t = {\rm 76 \hspace{0.05cm} \mu s})= {\rm arctan}
+:$$\phi(t = {\rm 76 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;} s})= {\rm arctan}
 \hspace{0.1cm}\frac{-\cos(86.4^\circ)}{1 - \sin(86.4^\circ)}
 \approx {\rm arctan}(-31)\approx -88^\circ.$$
-*Diese Zahlenwerte lassen darauf schließen, dass die Grenzwerte für $t \; \rightarrow \; 75 \ \mu \text{s}$ sich zu $\pm 90^\circ$ ergeben, je nachdem, ob man sich diesem Wert von oben oder unten nähert.
+*Diese Zahlenwerte lassen darauf schließen, dass die Grenzwerte für $t \; \rightarrow \; 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$ sich zu $\pm 90^\circ$ ergeben, je nachdem, ob man sich diesem Wert von oben oder unten nähert.
-*Der Phasenwert bei exakt $t =75 \ \mu \text{s}$ ist gleich dem Mittelwert zwischen rechts- und linksseitigem Grenzwert, also tzatsächlich $0$.
+*Der Phasenwert bei exakt $t =75 \ {\rm &micro;} \text{s}$ ist gleich dem Mittelwert zwischen rechts- und linksseitigem Grenzwert, also tzatsächlich $0$.
-'''4.''' Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{60} = 60 \ \text{ kHz}$ lauten die Gleichungen für Zeit– und Frequenzbereich:
+[[Datei:P_ID767__Sig_A_4_6_d.png|250px|right|frame|Ortskurve für USB]]
-$$S_{\rm TP}(f ) = S_{\rm +}(f+ f_{\rm 60}) = -{\rm j} \cdot \delta
+:$$S_{\rm TP}(f ) = S_{\rm +}(f+ f_{\rm 60}) = -{\rm j} \cdot \delta
 (f) + \delta (f + f_{\rm 10}) ;$$
-$$s_{\rm TP}(t) =  - {\rm j} + 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
+:$$s_{\rm TP}(t) =  - {\rm j} + 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
 j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }.$$
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 *Man bewegt sich nun auf der Ortskurve im Uhrzeigersinn.
 *Die Periodendauer beträgt weiterhin $T_0 = 1/f_{10} = 100 \ \mu \text{s}$.
-*Die Ortskurve ist gegenüber drer Teiaufgabe (1) nur um $90^\circ$ in der komplexen Ebene gedreht. Für alle Zeiten ergeben sich die gleichen Zeigerlängen wie für $f_{\rm T} = f_{50}$. Der Betrag bleibt gleich.
+*Die Ortskurve ist gegenüber der Teilaufgabe (1) nun um $90^\circ$ in der komplexen Ebene gedreht.
-*Die Phasenfunktion $\phi(t)$ liefert nun Werte zwischen $–\pi$ und $0$, während die in der Teilaufgabe (3) berechnete Phasenfunktion Werte zwischen $–\pi/2$ und $+\pi /2$ angenommen hat. Es gilt für alle Zeiten $t$::
+*Für alle Zeiten ergeben sich die gleichen Zeigerlängen wie für $f_{\rm T} = f_{50}$. Der Betrag bleibt gleich.
-$$\phi_{\rm Teilaufgabe(4)}= -(\phi_{\rm Teilaufgabe(3)} + 90^\circ).$$
+:$$\phi_{\rm Teilaufgabe \ (4)}= -(\phi_{\rm Teilaufgabe \ (3)} + 90^\circ).$$
 Richtig sind somit der <u>erste und der dritte Lösungsvorschlag</u>.