Aufgaben:Aufgabe 4.6: Koordinatendrehung - Versionsgeschichte

Guenter am 24. Februar 2022 um 16:12 Uhr

2022-02-24T16:12:44Z

Guenter am 24. Februar 2022 um 16:09 Uhr

2022-02-24T16:09:44Z

Guenter am 24. Februar 2022 um 16:09 Uhr

2022-02-24T16:09:23Z

Guenter am 27. November 2019 um 11:25 Uhr

2019-11-27T11:25:54Z

Guenter am 27. November 2019 um 11:19 Uhr

2019-11-27T11:19:38Z

Guenter am 17. August 2018 um 07:49 Uhr

2018-08-17T07:49:26Z

Guenter am 17. August 2018 um 07:43 Uhr

2018-08-17T07:43:21Z

Guenter am 16. August 2018 um 09:17 Uhr

2018-08-16T09:17:04Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:53Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:41:59Z

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 :$$x = {1}/{2} \cdot  ( \xi - \eta ) ,\hspace{0.5cm}y = {1}/{2}\cdot ( \xi +\eta ) .$$
-*Setzt man diese Werte f&uuml;r den negativen Exponenten ein, so erh&auml;lt man:
+*Setzt man diese Werte f&uuml;r den negativen Exponenten ein,&nbsp; so erh&auml;lt man:
 :$$\frac{x^2}{2}  + \frac{y^2}{8} = \frac{1}{8} \cdot ( \xi - \eta )^2 +  \frac{1}{32} \cdot ( \xi + \eta )^2.$$
@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 :$$\frac{5}{32} \cdot  \xi^2 +  \frac{5}{32} \cdot  \eta^2 - \frac{3}{16} \cdot  \xi \cdot  \eta .$$
-*Da die Koeffizienten bei&nbsp; $\xi^2$&nbsp; und&nbsp; $\eta^2$&nbsp; gleich sind, gilt&nbsp; $\sigma_\xi = \sigma_\eta$.&nbsp; &nbsp;  <u>Der gesuchte Quotient ist somit 1</u>.
+*Da die Koeffizienten bei&nbsp; $\xi^2$&nbsp; und&nbsp; $\eta^2$&nbsp; gleich sind,&nbsp; gilt&nbsp; $\sigma_\xi = \sigma_\eta$.&nbsp; &nbsp;  <u>Der gesuchte Quotient ist somit 1</u>.
@@ Zeile 75: / Zeile 75: @@
 :$$\frac{\sigma_\xi^2 \cdot  (1 - \rho_{\xi\eta}^2)}{\rho_{\xi\eta}}=  \frac{16}{3}.$$
-*Setzt man die erste Gleichung in die zweite ein, so ergibt sich&nbsp; $\rho_{\xi\eta}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.6}$&nbsp;  und&nbsp; $\sigma_{\xi} = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.236}$.
+*Setzt man die erste Gleichung in die zweite ein,&nbsp; so ergibt sich &nbsp; $\rho_{\xi\eta}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.6}$ &nbsp;  und &nbsp; $\sigma_{\xi} = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.236}$.

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Drehung_des_Koordinatensystems|Drehung des Koordinatensystems]].

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 [[Datei:P_ID431__Sto_A_4_6_neu.png|right|frame|Koordinatendrehung einer 2D-WDF]]
-Wir betrachten in der Aufgabe eine zweidimensionale Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x, y)$&nbsp; mit statistisch unabh&auml;ngigen Komponenten.&nbsp;  Die Streuungen der beiden Komponenten seien&nbsp;  $\sigma_x = 1$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y = 2$.
+Wir betrachten in der Aufgabe eine zweidimensionale Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x,\hspace{0.08cm} y)$&nbsp; mit statistisch unabh&auml;ngigen Komponenten.&nbsp;  Die Streuungen der beiden Komponenten seien&nbsp;  $\sigma_x = 1$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y = 2$.
-Berechnet werden soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweidimensionale Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x, y)$&nbsp; innerhalb des gr&uuml;n schraffiert eingezeichneten Bereichs liegt:
+Berechnet werden soll die Wahrscheinlichkeit dafür,&nbsp; dass die zweidimensionale Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x,\hspace{0.08cm} y)$&nbsp; innerhalb des gr&uuml;n schraffiert eingezeichneten Bereichs liegt:
 :$$-C \le x + y \le +C.$$
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 *Aus&nbsp; $x+y= \pm C$&nbsp; folgt damit&nbsp; $\xi=\pm C$.
 *Die beiden zweidimensionalen Dichtefunktionen lauten dann:
-:$$f_{xy} (x,y) = \frac{1}{4 \pi} \cdot \exp \left [ - ( x^2\hspace {-0.1cm} /2 + y^2\hspace {-0.1cm} /8) \right ] ,$$
+:$$f_{xy} (x,\hspace{0.08cm}y) = \frac{1}{4 \pi} \cdot \exp \left [ - ( x^2\hspace {-0.1cm} /2 + y^2\hspace {-0.1cm} /8) \right ] ,$$
-:$$f_{\xi\eta} (\xi, \eta) = \frac{1}{2 \pi \cdot \sigma_\xi \cdot \sigma_\eta \cdot \sqrt{1 - \rho_{\xi\eta}^2}} \cdot \exp \left [ - \frac{1}{2 \cdot (1 - \rho_{\xi\eta}^2)} \cdot ( \frac {\xi^2}{\sigma_\xi^2} +  \frac {\eta^2}{\sigma_\eta^2 }- 2 \rho_{\xi\eta}\cdot \frac {\xi \cdot \eta}{\sigma_\xi \cdot \sigma_\eta}) \right ] .$$
+:$$f_{\xi\eta} (\xi,\hspace{0.08cm} \eta) = \frac{1}{2 \pi \cdot \sigma_\xi \cdot \sigma_\eta \cdot \sqrt{1 - \rho_{\xi\eta}^2}} \cdot \exp \left [ - \frac{1}{2 \cdot (1 - \rho_{\xi\eta}^2)} \cdot ( \frac {\xi^2}{\sigma_\xi^2} +  \frac {\eta^2}{\sigma_\eta^2 }- 2 \rho_{\xi\eta}\cdot \frac {\xi \cdot \eta}{\sigma_\xi \cdot \sigma_\eta}) \right ] .$$
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 <quiz display=simple>
-{Ermitteln Sie durch Koeffizientenvergleich das Verh&auml;ltnis der beiden Streuungen der neuen Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(\xi, \eta)$.
+{Ermitteln Sie durch Koeffizientenvergleich das Verh&auml;ltnis der beiden Streuungen der neuen Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(\xi,\hspace{0.08cm} \eta)$.
 |type="{}"}
 $\sigma_\xi/\sigma_\eta \ = \ $  { 1 3% }
@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $ |\hspace{0.05cm}x+y\hspace{0.05cm}| \le C$&nbsp; gilt.&nbsp; Wie gro&szlig; ist&nbsp; $C$&nbsp; zu w&auml;hlen, damit&nbsp; $99\%$&nbsp; aller Gr&ouml;&szlig;en im schraffierten Bereich liegen?
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $ |\hspace{0.05cm}x+y\hspace{0.05cm}| \le C$&nbsp; gilt.&nbsp; Wie gro&szlig; ist&nbsp; $C$&nbsp; zu w&auml;hlen, damit&nbsp; $99\%$&nbsp; aller Gr&ouml;&szlig;en im schraffierten Bereich liegen?
 |type="{}"}
 $C_{99\%} \ =  \ $ { 5.814 3% }

@@ Zeile 71: / Zeile 71: @@
 :$$\frac{5}{32} \cdot  \xi^2 +  \frac{5}{32} \cdot  \eta^2 - \frac{3}{16} \cdot  \xi \cdot  \eta .$$
-*Da die Koeffizienten bei $\xi^2$ und $\eta^2$ gleich sind, gilt $\sigma_\xi = \sigma_\eta$ <u>Der gesuchte Quotient ist somit 1</u>.
+*Da die Koeffizienten bei&nbsp; $\xi^2$&nbsp; und&nbsp; $\eta^2$&nbsp; gleich sind, gilt&nbsp; $\sigma_\xi = \sigma_\eta$.&nbsp; &nbsp;  <u>Der gesuchte Quotient ist somit 1</u>.
-Setzt man die erste Gleichung in die zweite ein, so ergibt sich $\rho_{\xi\eta}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.6}$  und $\sigma_{\xi} = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.236}$.
+'''(2)'''&nbsp; Durch Koeffizientenvergleich erh&auml;lt man für&nbsp; $\sigma_\xi = \sigma_\eta$&nbsp; das Gleichungssystem:
@@ Zeile 87: / Zeile 89: @@
 :$${\rm Pr} ( | x + y | \le C ) = 1 - 2 \cdot {\rm Q} (  {C}/{\sigma_\xi}) = 0.99 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q} (  {C}/{\sigma_\xi}) = 0.005.$$
-*Mit dem angegebenen Wert ${\rm Q}(2.6) \approx 0.005$ erh&auml;lt man somit das Ergebnis:
+*Mit dem angegebenen Wert&nbsp; ${\rm Q}(2.6) \approx 0.005$&nbsp; erh&auml;lt man somit das Ergebnis:
 :$$C \approx 2.6 \cdot \sigma_{\xi}\hspace{0.15cm}\underline {= 5.814}.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID431__Sto_A_4_6_neu.png|right|frame|Koordinatendrehung einer 2D-WDF]]
-Wir betrachten in der Aufgabe eine zweidimensionale Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e $(x, y)$ mit statistisch unabh&auml;ngigen Komponenten.  Die Streuungen der beiden Komponenten seien  $\sigma_x = 1$ und $\sigma_y = 2$.
+Wir betrachten in der Aufgabe eine zweidimensionale Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x, y)$&nbsp; mit statistisch unabh&auml;ngigen Komponenten.&nbsp;  Die Streuungen der beiden Komponenten seien&nbsp;  $\sigma_x = 1$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y = 2$.
-Berechnet werden soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweidimensionale Zufallsgr&ouml;&szlig;e $(x, y)$ innerhalb des gr&uuml;n schraffiert eingezeichneten Bereichs liegt:
+Berechnet werden soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweidimensionale Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x, y)$&nbsp; innerhalb des gr&uuml;n schraffiert eingezeichneten Bereichs liegt:
-:$$-C \le x + y \le C.$$
+:$$-C \le x + y \le +C.$$
 Führen Sie zur L&ouml;sung eine Koordinatentransformation durch:
@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 :$$\eta= -x +y .$$
-Dies entspricht einer Drehung des Koordinatensystems um $45^\circ$.
+Dies entspricht einer Drehung des Koordinatensystems um&nbsp; $45^\circ$.
-*Aus $x+y= \pm C$ folgt damit $\xi\pm C$.
+*Aus&nbsp; $x+y= \pm C$&nbsp; folgt damit&nbsp; $\xi=\pm C$.
 *Die beiden zweidimensionalen Dichtefunktionen lauten dann:
 :$$f_{xy} (x,y) = \frac{1}{4 \pi} \cdot \exp \left [ - ( x^2\hspace {-0.1cm} /2 + y^2\hspace {-0.1cm} /8) \right ] ,$$
 :$$f_{\xi\eta} (\xi, \eta) = \frac{1}{2 \pi \cdot \sigma_\xi \cdot \sigma_\eta \cdot \sqrt{1 - \rho_{\xi\eta}^2}} \cdot \exp \left [ - \frac{1}{2 \cdot (1 - \rho_{\xi\eta}^2)} \cdot ( \frac {\xi^2}{\sigma_\xi^2} +  \frac {\eta^2}{\sigma_\eta^2 }- 2 \rho_{\xi\eta}\cdot \frac {\xi \cdot \eta}{\sigma_\xi \cdot \sigma_\eta}) \right ] .$$
@@ Zeile 24: / Zeile 27: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Drehung_des_Koordinatensystems|Drehung des Koordinatensystems]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Drehung_des_Koordinatensystems|Drehung des Koordinatensystems]].
-*Gegeben sind die Näherungen ${\rm Q}(2.3) \approx 0.01$ und ${\rm Q}(2.6) \approx 0.005$ für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral.
+*Gegeben sind die Näherungen&nbsp; ${\rm Q}(2.3) \approx 0.01$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Q}(2.6) \approx 0.005$&nbsp; für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral.
-*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
+*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo&nbsp; [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
 ::Teil 1: &nbsp; Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
 ::Teil 2: &nbsp; Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.
@@ Zeile 39: / Zeile 42: @@
 <quiz display=simple>
-{Ermitteln Sie durch Koeffizientenvergleich das Verh&auml;ltnis der beiden Streuungen der neuen Zufallsgr&ouml;&szlig;e $(\xi, \eta)$.
+{Ermitteln Sie durch Koeffizientenvergleich das Verh&auml;ltnis der beiden Streuungen der neuen Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(\xi, \eta)$.
 |type="{}"}
 $\sigma_\xi/\sigma_\eta \ = \ $  { 1 3% }
-{Berechnen Sie die Streuung $\sigma_\xi$ und den Korrelationskoeffizienten $\rho_{\xi\eta}$ zwischen den neuen Zufallsgrößen $\xi$ und $\eta$.
+{Berechnen Sie die Streuung&nbsp; $\sigma_\xi$&nbsp; und den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{\xi\eta}$&nbsp; zwischen den neuen Zufallsgrößen&nbsp; $\xi$&nbsp; und&nbsp; $\eta$.
 |type="{}"}
 $\sigma_\xi \ =  \ $ { 2.236 3% }
@@ Zeile 50: / Zeile 53: @@
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $ |\hspace{0.05cm}x+y\hspace{0.05cm}| \le C$ gilt. <br>Wie gro&szlig; ist $C$ zu w&auml;hlen, damit $99\%$ aller Gr&ouml;&szlig;en im schraffierten Bereich liegen?
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $ |\hspace{0.05cm}x+y\hspace{0.05cm}| \le C$&nbsp; gilt.&nbsp; Wie gro&szlig; ist&nbsp; $C$&nbsp; zu w&auml;hlen, damit&nbsp; $99\%$&nbsp; aller Gr&ouml;&szlig;en im schraffierten Bereich liegen?
 |type="{}"}
 $C_{99\%} \ =  \ $ { 5.814 3% }

@@ Zeile 59: / Zeile 59: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus $\xi = x + y$ und $\eta = -x + y$ folgt direkt:
+'''(1)'''&nbsp; Aus &nbsp;$\xi = x + y$&nbsp; und &nbsp;$\eta = -x + y$&nbsp; folgt direkt:
 :$$x = {1}/{2} \cdot  ( \xi - \eta ) ,\hspace{0.5cm}y = {1}/{2}\cdot ( \xi +\eta ) .$$
-Setzt man diese Werte f&uuml;r den negativen Exponenten ein, so erh&auml;lt man:
+*Setzt man diese Werte f&uuml;r den negativen Exponenten ein, so erh&auml;lt man:
 :$$\frac{x^2}{2}  + \frac{y^2}{8} = \frac{1}{8} \cdot ( \xi - \eta )^2 +  \frac{1}{32} \cdot ( \xi + \eta )^2.$$
-Ausmultipliziert ergibt dies:
+*Ausmultipliziert ergibt dies:
 :$$\frac{5}{32} \cdot  \xi^2 +  \frac{5}{32} \cdot  \eta^2 - \frac{3}{16} \cdot  \xi \cdot  \eta .$$
-Da die Koeffizienten bei $\xi^2$ und $\eta^2$ gleich sind, gilt $\sigma_\xi = \sigma_\eta$ <u>Der gesuchte Quotient ist somit 1</u>.
+*Da die Koeffizienten bei $\xi^2$ und $\eta^2$ gleich sind, gilt $\sigma_\xi = \sigma_\eta$ <u>Der gesuchte Quotient ist somit 1</u>.
 '''(2)'''&nbsp; Durch Koeffizientenvergleich erh&auml;lt man für $\sigma_\xi = \sigma_\eta$ das Gleichungssystem:
@@ Zeile 75: / Zeile 76: @@
 Setzt man die erste Gleichung in die zweite ein, so ergibt sich $\rho_{\xi\eta}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.6}$  und $\sigma_{\xi} = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.236}$.
 '''(3)'''&nbsp; Nach Koordinatentransformation kann man f&uuml;r diese Wahrscheinlichkeit schreiben:
 :$${\rm Pr} ( | x + y | \le C ) = {\rm Pr} ( | \xi | \le C ) = 1 - 2 \cdot {\rm Pr} (  \xi >C ).$$
-Mit dem komplement&auml;ren Gau&szlig;schen Fehlerintegral folgt daraus weiter:
+*Mit dem komplement&auml;ren Gau&szlig;schen Fehlerintegral folgt daraus weiter:
 :$${\rm Pr} ( | x + y | \le C ) = 1 - 2 \cdot {\rm Q} (  {C}/{\sigma_\xi}) = 0.99 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q} (  {C}/{\sigma_\xi}) = 0.005.$$
-Mit dem angegebenen Wert ${\rm Q}(2.6) \approx 0.005$ erh&auml;lt man somit das Ergebnis: $C \approx 2.6 \cdot \sigma_{\xi}\hspace{0.15cm}\underline {= 5.814}$.
+*Mit dem angegebenen Wert ${\rm Q}(2.6) \approx 0.005$ erh&auml;lt man somit das Ergebnis:
 {{ML-Fuß}}

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Guenter am 27. November 2019 um 11:19 Uhr

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Guenter am 17. August 2018 um 07:43 Uhr

Guenter am 16. August 2018 um 09:17 Uhr

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