Aufgaben:Aufgabe 4.5Z: Tangens Hyperbolikus und Inverse - Versionsgeschichte

Guenter am 5. Juli 2019 um 15:02 Uhr

2019-07-05T15:02:01Z

Guenter am 5. Juli 2019 um 14:51 Uhr

2019-07-05T14:51:17Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:09Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 30. Januar 2018 um 09:30 Uhr

2018-01-30T09:30:14Z

Guenter am 30. Januar 2018 um 09:28 Uhr

2018-01-30T09:28:51Z

Guenter am 29. Januar 2018 um 17:05 Uhr

2018-01-29T17:05:00Z

Guenter am 29. Januar 2018 um 16:51 Uhr

2018-01-29T16:51:34Z

Guenter am 29. Januar 2018 um 16:49 Uhr

2018-01-29T16:49:05Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.5Z Tangens Hyperbolikus und Inverse nach Aufgaben:Aufgabe 4.5Z: Tangens Hyperbolikus und Inverse

2018-01-04T06:53:08Z

Guenter verschob die Seite 4.5Z Tangens Hyperbolikus und Inverse nach Aufgabe 4.5Z: Tangens Hyperbolikus und Inverse

Hussain am 16. Dezember 2017 um 15:02 Uhr

2017-12-16T15:02:19Z

@@ Zeile 97: / Zeile 97: @@
 '''(2)'''&nbsp; <u>Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2, 3 und 5</u>: Die Funktion
 :$$y ={\rm tanh}(x) = \frac{{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}
   = \frac{1-{\rm e}^{-2x}}{1+{\rm e}^{-2x}}$$
-ist für alle $x$&ndash;Werte berechenbar und es gilt $\tanh(-x) = -\tanh(x)$. Für große Werte von $x$ wird ${\rm e}^{-x}$ sehr klein, so dass man im Grenzfall $x &#8594; &#8734;$ den Grenzwert $y = 1$ erhält.
+ist für alle $x$&ndash;Werte berechenbar und es gilt $\tanh(-x) = -\tanh(x)$.
 '''(3)'''&nbsp; Da der Tangens Hyperbolikus nur Werte zwischen $&plusmn;1$ liefert, ist die Umkehrfunktion $x = \tanh^{-1}(y)$ auch nur für $|y| &#8804; 1$ auswertbar. Durch Umstellen der angegebenen Gleichung
 :$$x ={\rm tanh}^{-1}(y) = 1/2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1+y}{1-y}$$
@@ Zeile 121: / Zeile 127: @@
 Richtig sind demnach die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>.
@@ Zeile 126: / Zeile 133: @@
 :$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}  \frac{1 + \pi}{1 - \pi}$$
-kommt man mit dem Ergebnis von (3) zur äquivalenten Gleichung entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+kommt man mit dem Ergebnis von '''(3)''' zur äquivalenten Gleichung entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 :$$L_{\rm E}(i) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1}(\pi)\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erhält man
 * für den ersten extrinsischen $L$&ndash;Wert, da $\pi_1 = -0.0912$:
 :$$L_{\rm E}(1) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1}(-0.0912)= -2 \cdot {\rm tanh}^{-1}(0.0912)
@@ Zeile 145: / Zeile 153: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Das Ergebnis wurde mit Hilfe der roten Tabelleneinträge auf der Angabenseite ermittelt und stimmt bis auf Rundungsfehler (Multiplikation/Division durch $2$) mit den Ergebnissen der Teilaufgabe (1) überein.
+Das Ergebnis wurde mit Hilfe der roten Tabelleneinträge auf der Angabenseite ermittelt und stimmt bis auf Rundungsfehler (Multiplikation/Division durch $2$) mit den Ergebnissen der Teilaufgabe '''(1)''' überein.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^4.1 Soft–in Soft–out Decoder^]]

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Soft–in Soft–out Decoder}}
-[[Datei:P_ID3025__KC_Z_4_5_v1.png|right|frame|Funktionstabelle: <br>$y = \tanh {(x)}$]]
+[[Datei:P_ID3025__KC_Z_4_5_v1.png|right|frame|$y = \tanh {(x)}$&nbsp; als Tabelle]]
-Im [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Theorieteil]] wurde am Beispiel des <i>Single Parity&ndash;check Codes</i> gezeigt, dass der extrinsische $L$&ndash;Wert bezüglich des $i$&ndash;ten Symbols wie folgt definiert ist:
+Im&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Theorieteil]]&nbsp; wurde am Beispiel des&nbsp; <i>Single Parity&ndash;check Codes</i>&nbsp; gezeigt, dass der extrinsische&nbsp; $L$&ndash;Wert bezüglich des&nbsp; $i$&ndash;ten Symbols wie folgt definiert ist:
 :$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}\frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Gleichung ist auch bei vielen anderen Kanalcodes anwendbar. Das Codewort $\underline{x}^{(-i)}$ in dieser Definition beinhaltet alle Symbole mit Ausnahme von $x_i$ und hat somit die Länge $n-1$.
+Diese Gleichung ist auch bei vielen anderen Kanalcodes anwendbar. Das Codewort&nbsp; $\underline{x}^{(-i)}$&nbsp; in dieser Definition beinhaltet alle Symbole mit Ausnahme von&nbsp; $x_i$&nbsp; und hat somit nur die Länge&nbsp; $n-1$.
-In der [[Aufgaben:4.4_Extrinsische_L%E2%80%93Werte_beim_SPC|Aufgabe 4.4]] wurde gezeigt, dass der extrinsische $L$&ndash;Wert auch wie folgt geschrieben werden kann:
+In der&nbsp; [[Aufgaben:4.4_Extrinsische_L%E2%80%93Werte_beim_SPC|Aufgabe 4.4]]&nbsp; wurde gezeigt, dass der extrinsische&nbsp; $L$&ndash;Wert auch wie folgt geschrieben werden kann:
 :$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}  \frac{1 + \pi}{1 - \pi}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
 {\rm mit} \hspace{0.3cm} \pi = \prod\limits_{j \ne i}^{n} \hspace{0.15cm}{\rm tanh}(L_j/2)
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 In dieser Aufgabe soll nun noch nach einer weiteren Berechnungsmöglichkeit gesucht werden.
@@ Zeile 20: / Zeile 23: @@
 ''Hinweise:''
-* * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
+* * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Zur Berechnung der extrinsischen L&ndash;Werte]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Zur Berechnung der extrinsischen&nbsp; $L$&ndash;Werte]].
-* Oben sehen Sie eine Tabelle mit den Zahlenwerten der Funktion $y = \tanh {(x)}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Tangens Hyperbolikus</i>. Mit den rot hinterlegten Zeilen kann man die Werte der inversen Funktion $x = \tanh^{-1}{(y)}$ ablesen, die für die Teilaufgabe (5) benötigt werden.
+* Oben sehen Sie eine Tabelle mit den Zahlenwerten der Funktion&nbsp; $y = \tanh(x)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Tangens Hyperbolikus</i>.
@@ Zeile 29: / Zeile 33: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Es gelte $\underline{L}_{\rm APP} = (+1.0, +0.4, -1.0)$. Berechnen Sie die extrinsischen $L$&ndash;Werte &nbsp;&#8658;&nbsp; $\underline{L}_E = (L_{\rm E}(1), \ L_{\rm E}(2), \ L_{\rm E}(3))$ nach der zweiten angegebenen Gleichung:
+{Es gelte&nbsp; $\underline{L}_{\rm APP} = (+1.0, +0.4, -1.0)$. Berechnen Sie die extrinsischen&nbsp; $L$&ndash;Werte &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{L}_E = \big (L_{\rm E}(1), \ L_{\rm E}(2), \ L_{\rm E}(3) \big)$&nbsp; nach der zweiten angegebenen Gleichung:
 |type="{}"}
 $L_{\rm E}(1) \ = \ ${ -0.188387--0.177413 }
@@ Zeile 35: / Zeile 39: @@
 $L_{\rm E}(3) \ = \ ${ 0.1829 3% }
-{Welche der Eigenschaften weist die Funktion $y = \tanh\hspace{-0.05cm}  {(x)}$ auf?
+{Welche der Eigenschaften weist die Funktion&nbsp; $y = \tanh\hspace{-0.05cm}{(x)}$&nbsp; auf?
 |type="[]"}
-+ Es gilt $\tanh\hspace{-0.05cm} {(x)} = ({\rm e}^x - {\rm e}^{-x}) \ / \ ({\rm e}^x + {\rm e}^{-x})$.
++ Es gilt&nbsp; $\tanh\hspace{-0.05cm} {(x)} = ({\rm e}^x - {\rm e}^{-x}) \ / \ ({\rm e}^x + {\rm e}^{-x})$.
-+ Es gilt $\tanh\hspace{-0.05cm}  {(x)} = (1 - {\rm e}^{-2x}) \ / \ (1 + {\rm e}^{-2x})$.
++ Es gilt&nbsp; $\tanh\hspace{-0.05cm}  {(x)} = (1 - {\rm e}^{-2x}) \ / \ (1 + {\rm e}^{-2x})$.
-+ Die Funktion $y = \tanh\hspace{-0.05cm}  {(x)}$ ist für alle $x$&ndash;Werte definiert.
++ Die Funktion&nbsp; $y = \tanh\hspace{-0.05cm}  {(x)}$&nbsp; ist für alle&nbsp; $x$&ndash;Werte definiert.
-- Es gilt $y_{\rm min} = 0$ &nbsp;und&nbsp; $y_{\rm max} &#8594; &#8734;$
+- Es gilt&nbsp; $y_{\rm min} = 0$ &nbsp;und&nbsp; $y_{\rm max} &#8594; &#8734;$
-+ Es gilt $y_{\rm min} = -1$ &nbsp;und&nbsp; $y_{\rm max} = +1$.
++ Es gilt&nbsp; $y_{\rm min} = -1$ &nbsp;und&nbsp; $y_{\rm max} = +1$.
-{Welche Eigenschaften weist die inverse Funktion $x = \tanh^{-1}\hspace{-0.08cm} {(y)}$ auf?
+{Welche Eigenschaften weist die inverse Funktion&nbsp; $x = \tanh^{-1}\hspace{-0.08cm} {(y)}$&nbsp; auf?
 |type="[]"}
-- Die Funktion $x = \tanh^{-1}\hspace{-0.05cm} (y)$ ist für alle $y$&ndash;Werte definiert.
+- Die Funktion&nbsp; $x = \tanh^{-1}\hspace{-0.05cm} (y)$&nbsp; ist für alle&nbsp; $y$&ndash;Werte definiert.
-+ Es gilt $x = \tanh^{-1}\hspace{-0.08cm} {(y)} = 1/2 \cdot \ln {[(1 + y) \ / \ (1 - y)]}$.
++ Es gilt&nbsp; $x = \tanh^{-1}\hspace{-0.08cm} {(y)} = 1/2 \cdot \ln {[(1 + y) \ / \ (1 - y)]}$.
-- Es gilt $x_{\rm min} = -1$ &nbsp;und&nbsp; $x_{\rm max} = +1$.
+- Es gilt&nbsp; $x_{\rm min} = -1$ &nbsp;und&nbsp; $x_{\rm max} = +1$.
-+ Es gilt $x_{\rm min} &#8594; -&#8734;$ &nbsp;und&nbsp; $x_{\rm max} &#8594; +&#8734;$.
++ Es gilt&nbsp; $x_{\rm min} &#8594; -&#8734;$ &nbsp;und&nbsp; $x_{\rm max} &#8594; +&#8734;$.
-{Wie lässt sich $L_{\rm E}(i)$ auch darstellen? Es sei $\pi$ wie auf der Angabenseite definiert.
+{Wie lässt sich&nbsp; $L_{\rm E}(i)$&nbsp; auch darstellen? Es sei&nbsp; $\pi$&nbsp; wie auf der Angabenseite definiert.
 |type="[]"}
-- Es gilt $L_{\rm E}(i) = \tanh^{-1}\hspace{-0.08cm} {(\pi)}$.
+- Es gilt&nbsp; $L_{\rm E}(i) = \tanh^{-1}\hspace{-0.08cm} {(\pi)}$.
-+ Es gilt $L_{\rm E}(i) = 2 \cdot \tanh^{-1}\hspace{-0.08cm} {(\pi)}$.
++ Es gilt&nbsp; $L_{\rm E}(i) = 2 \cdot \tanh^{-1}\hspace{-0.08cm} {(\pi)}$.
-- Es gilt $L_{\rm E}(i) = 2 \cdot \tanh^{-1}\hspace{-0.05cm}\big [ {\ln {[(1 + \pi) \ / \ (1 - \pi)]}}\big ]$.
+- Es gilt&nbsp; $L_{\rm E}(i) = 2 \cdot \tanh^{-1}\hspace{-0.05cm}\big [ {\ln {[(1 + \pi) \ / \ (1 - \pi)]}}\big ]$.
-{Berechnen Sie die extrinsischen $L$&ndash;Werte mit der Gleichung gemäß Aufgabe (4). Verwenden Sie hierzu die Tabelle auf der Angabenseite.
+{Berechnen Sie die extrinsischen&nbsp; $L$&ndash;Werte mit der Gleichung gemäß Aufgabe '''(4)'''. Verwenden Sie hierzu die Tabelle auf der Angabenseite.
 |type="{}"}
 $L_{\rm E}(1) \ = \ ${ -0.18849--0.17751 }

@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Zur Berechnung der extrinsischen L&ndash;Werte]].
 * Oben sehen Sie eine Tabelle mit den Zahlenwerten der Funktion $y = \tanh {(x)}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Tangens Hyperbolikus</i>. Mit den rot hinterlegten Zeilen kann man die Werte der inversen Funktion $x = \tanh^{-1}{(y)}$ ablesen, die für die Teilaufgabe (5) benötigt werden.
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 106: / Zeile 106: @@
 :$${\rm e}^{2x} =  \frac{1+y}{1-y} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 {\rm e}^{-2x} =  \frac{1-y}{1+y} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
-(1+y) \cdot {\rm e}^{-2x} =  1-y $$
+(1+y) \cdot {\rm e}^{-2x} =  1-y \hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = \frac{1-{\rm e}^{-2x}}{1+{\rm e}^{-2x}} =
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = \frac{1-{\rm e}^{-2x}}{1+{\rm e}^{-2x}} =
 {\rm tanh}(x) \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 * Berechnung von $L_{\rm E}(1)$:
-:$$\pi = {\rm tanh}(L_2/2) \cdot {\rm tanh}(L_3/2) = (+0.1974) \cdot (-0.4621) = - 0.0912$$
+:$$\pi = {\rm tanh}(L_2/2) \cdot {\rm tanh}(L_3/2) = (+0.1974) \cdot (-0.4621) = - 0.0912\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm E}(1) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}  \frac{1 -0.0912}{1 +0.0912}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.1829}
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm E}(1) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}  \frac{1 -0.0912}{1 +0.0912}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.1829}
   \hspace{0.05cm}.$$
 * Berechnung von $L_{\rm E}(2)$:
-:$$\pi = {\rm tanh}(L_1/2) \cdot {\rm tanh}(L_3/2) = (+0.4621) \cdot (-0.4621) = - 0.2135$$
+:$$\pi = {\rm tanh}(L_1/2) \cdot {\rm tanh}(L_3/2) = (+0.4621) \cdot (-0.4621) = - 0.2135\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm E}(2) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}  \frac{1 -0.2135}{1 +0.2135}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.4337}
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm E}(2) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}  \frac{1 -0.2135}{1 +0.2135}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.4337}
   \hspace{0.05cm}.$$
 * Berechnung von $L_{\rm E}(3)$:
-:$$\pi = {\rm tanh}(L_1/2) \cdot {\rm tanh}(L_2/2) = (+0.4621) \cdot (+0.1974) = + 0.0912$$
+:$$\pi = {\rm tanh}(L_1/2) \cdot {\rm tanh}(L_2/2) = (+0.4621) \cdot (+0.1974) = + 0.0912\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm E}(3) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}  \frac{1 +0.0912}{1 -0.0912}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.1829}= - L_{\rm E}(1)
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm E}(3) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}  \frac{1 +0.0912}{1 -0.0912}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.1829}= - L_{\rm E}(1)
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 97: / Zeile 97: @@
   = \frac{1-{\rm e}^{-2x}}{1+{\rm e}^{-2x}}$$
-ist für alle $x$&ndash;Werte berechenbar und es gilt $\tanh{(-x)} = -\tanh{(x)}$. Für große Werte von $x$ wird $e^{-x}$ sehr klein, so dass man im Grenzfall $x &#8594; &#8734;$ den Grenzwert $y = 1$ erhält.
+ist für alle $x$&ndash;Werte berechenbar und es gilt $\tanh(-x) = -\tanh(x)$. Für große Werte von $x$ wird ${\rm e}^{-x}$ sehr klein, so dass man im Grenzfall $x &#8594; &#8734;$ den Grenzwert $y = 1$ erhält.
-'''(3)'''&nbsp; Da der Tangens Hyperbolikus nur Werte zwischen $&plusmn;1$ liefert, ist die Umkehrfunktion $x = \tanh^{-1}{(y)}$ auch nur für $|y| &#8804; 1$ auswertbar. Durch Umstellen der angegebenen Gleichung
+'''(3)'''&nbsp; Da der Tangens Hyperbolikus nur Werte zwischen $&plusmn;1$ liefert, ist die Umkehrfunktion $x = \tanh^{-1}(y)$ auch nur für $|y| &#8804; 1$ auswertbar. Durch Umstellen der angegebenen Gleichung
 :$$x ={\rm tanh}^{-1}(y) = 1/2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1+y}{1-y}$$
@@ Zeile 112: / Zeile 112: @@
 Das bedeutet:
 * Die im Lösungsvorschlag 2 angegebene Gleichung ist richtig.
-* Im Grenzfall $y &#8594; 1$ gilt $x = \tanh^{-1}{(y)} &#8594; &#8734;$.
+* Im Grenzfall $y &#8594; 1$ gilt $x = \tanh^{-1}(y) &#8594; &#8734;$.
 * Auch die Umkehrfunktion ist ungerade &nbsp;&#8658;&nbsp; im Grenzfall $y &#8594; -1$ geht $x &#8594; -&#8734;$.

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	* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision\|Kapitel 4.1]].		* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision\|Kapitel 4.1]].
	* Rechts oben sehen Sie eine Tabelle mit den Zahlenwerten der Funktion $y = \tanh {(x)}$  ⇒  <i>Tangens Hyperbolikus</i>. Mit den rot hinterlegten Zeilen kann man die Werte der inversen Funktion $x = \tanh^{-1}{(y)}$ ablesen, die für die Teilaufgabe (5) benötigt werden.		* Rechts oben sehen Sie eine Tabelle mit den Zahlenwerten der Funktion $y = \tanh {(x)}$  ⇒  <i>Tangens Hyperbolikus</i>. Mit den rot hinterlegten Zeilen kann man die Werte der inversen Funktion $x = \tanh^{-1}{(y)}$ ablesen, die für die Teilaufgabe (5) benötigt werden.
		+	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.