Aufgaben:Aufgabe 4.5Z: Nochmals Impulsantwort - Versionsgeschichte

Guenter am 7. November 2019 um 14:16 Uhr

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Guenter am 29. November 2018 um 07:24 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 28. März 2018 um 15:00 Uhr

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Guenter am 15. Februar 2017 um 16:48 Uhr

2017-02-15T16:48:58Z

Guenter am 15. Februar 2017 um 16:47 Uhr

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur die Aussage 1</u>:
-*Die Spektraldarstellung eines Laufzeitgliedes lautet ${\rm e}^{-{\rm j} 2 \pi f \tau}$.
+*Die Spektraldarstellung eines Laufzeitgliedes lautet&nbsp; ${\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\tau}$.
-*Ein Vergleich mit der Angabenseite zeigt, dass $H_1(f)$ genau diesem Ansatz genügt.
+*Ein Vergleich mit der Angabenseite zeigt, dass&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; genau diesem Ansatz genügt.
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   T = \frac {34.7\,{\rm &micro; s}}{700} \approx
 .05\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm}.$$
-Die Bitrate ist gleich dem Kehrwert der Symboldauer: $\underline{R = 20 \ \rm Mbit/s}$.
+*Die Bitrate ist gleich dem Kehrwert der Symboldauer:
@@ Zeile 109: / Zeile 112: @@
 .2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot \sqrt {10\,{\rm MHz}} \cdot 10\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{\approx
 .6\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
-Der entsprechende dB&ndash;Wert ist ${a}_{\rm \star} = 75 \ \rm dB$.
+*Der entsprechende dB&ndash;Wert ist&nbsp; ${a}_{\rm \star} = 75 \ \rm dB$.
-'''(4)'''&nbsp; Mit der angegebenen Gleichung und dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(3)''' ergibt sich:
+'''(4)'''&nbsp; Mit der angegebenen Gleichung und dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; ergibt sich:
 :$${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big]   \approx
   \frac {1.453 }{{a}_{\rm \star}^2} = \frac {1.453 }{8.6^2}
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-Dagegen sollte man zur Berechnung der Impulsantwort auf keinen Fall auf  $H_2(f)$ oder  $H_3(f)$ verzichten, da es sonst es zu gravierenden Fehlern kommen würde:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur die Aussage 1</u>: &nbsp; $H_1(f)$&nbsp; beschreibt die frequenzunabhängige Laufzeit, die keine Verzerrung zur Folge hat.
 * Die Impulsantwort $h_2(t)$ als die Fourierrücktransformierte von  $H_2(f)$ ist eine gerade Funktion mit dem Maximum bei $t = 0$ und erstreckt sich in beide Richtungen über Hunderte von Symbolen.
-* Dagegen ist die Fourierrücktransformierte von $H_3(f)$ eine ungerade Funktion mit einer Sprungstelle bei $t = 0$.
+Dagegen sollte man zur Berechnung der Impulsantwort auf keinen Fall auf&nbsp;  $H_2(f)$&nbsp; oder&nbsp;  $H_3(f)$&nbsp; verzichten, da es sonst es zu gravierenden Fehlern kommen würde:
-*Für $t > 0$ fällt $h_3(t)$ ähnlich &ndash; aber nicht exakt &ndash; wie eine Exponentialfunktion ab. Für negative Zeiten $t$ gilt $h_3(t) = - h_3(|t|)$.
+* Die Impulsantwort&nbsp; $h_2(t)$&nbsp; als die Fourierrücktransformierte von&nbsp;  $H_2(f)$&nbsp; ist eine gerade Funktion mit dem Maximum bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und erstreckt sich in beide Richtungen über Hunderte von Symbolen.
-* Erst die Faltung $h_2(t) \star h_3(t)$ liefert die kausale Impulsantwort, allerdings ohne die Phasenlaufzeit $\tau$, die durch $H_1(f)$  berücksichtigt wird.
+* Dagegen ist die Fourierrücktransformierte von&nbsp; $H_3(f)$&nbsp; eine ungerade Funktion mit einer Sprungstelle bei&nbsp; $t = 0$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1815__LZI_Z_4_5.png|right|frame|Impulsantwort eines Koaxialkabels (Darstellung mit bzw. ohne Laufzeit)]]
-Wir betrachten wieder wie in der &nbsp;[[Aufgaben:4.5_Koaxialkabel_–_Impulsantwort|Aufgabe 4.5]]&nbsp; ein binäres Übertragungssystem mit der Bitrate &nbsp;$R$&nbsp; und der Symboldauer &nbsp;$T= 1/R$.
+Wir betrachten wie in &nbsp;[[Aufgaben:4.5_Koaxialkabel_–_Impulsantwort|Aufgabe 4.5]]&nbsp; ein binäres Übertragungssystem mit der Bitrate &nbsp;$R$&nbsp; &rArr; &nbsp; Symboldauer &nbsp;$T= 1/R$.
-Als Übertragungsmedium wird ein Normalkoaxialkabel (Innendurchmesser: 2.6 mm, Außendurchmesser: 9.5 mm) der Länge &nbsp;$l = 1 \ \rm km$&nbsp; mit folgendem Frequenzgang verwendet:
+Als Übertragungsmedium wird ein &bdquo;Normalkoaxialkabel&rdquo;&nbsp; $\text{(2.6 mm}$&nbsp; Kerndurchmesser,&nbsp; $\text{9.5 mm}$&nbsp; Außendurchmesser$)$&nbsp; der Länge &nbsp;$l = 1 \ \rm km$&nbsp; mit folgendem Frequenzgang verwendet:
 :$$H_{\rm K}(f)     =  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}  f
    \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l}
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   =   H_1(f) \cdot H_2(f) \cdot H_3(f)$$
-Die Teilfrequenzgänge &nbsp;$H_1(f)$, &nbsp;$H_2(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_3(f)$&nbsp; dienen hier nur als Abkürzung. Die Leitungsparameter lauten:
+Die Teilfrequenzgänge &nbsp;$H_1(f)$, &nbsp;$H_2(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_3(f)$&nbsp; dienen hier nur als Abkürzung.&nbsp; Die Leitungsparameter lauten:
 :$$\beta_1 = 21.78\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm}, $$
 :$$ \alpha_2 = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$
 :$$ \beta_2 = 0.2722\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t\hspace{0.03cm}')$, wobei &nbsp;$t\hspace{0.03cm}' = t/T$&nbsp; die normierte Zeit darstellt. Ohne Berücksichtigung der (normierten) Phasenlaufzeit &nbsp;$\tau\hspace{0.03cm}' = \tau/T$&nbsp; kann &nbsp;$h_{\rm K}(t\hspace{0.03cm}')$&nbsp; wie folgt geschrieben werden:
+Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}')$, wobei &nbsp;$t\hspace{0.05cm}' = t/T$&nbsp; die normierte Zeit darstellt. Ohne Berücksichtigung der (normierten) Phasenlaufzeit &nbsp;$\tau\hspace{0.05cm}' = \tau/T$&nbsp; kann &nbsp;$h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; wie folgt geschrieben werden:
-:$$h_{\rm K}(t')  = \frac {1}{T} \cdot \frac {a_\rm \star/\pi}{ \sqrt{2
+:$$h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}')  = \frac {1}{T} \cdot \frac {a_\rm \star/\pi}{ \sqrt{2
-    \hspace{0.05cm}t'^3}}\cdot {\rm exp} \left [ -\frac {a_\rm \star^2}{ {2\pi
+    \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}'^3}}\cdot {\rm e}^{ -{a_\rm \star^2}/( {2\pi
-  \hspace{0.05cm}t'}} \right ] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm}
+  \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}')} } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm}
   {\rm mit}\hspace{0.15cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm}
   {\rm in}\hspace{0.15cm}
@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 *Diese Gleichung gibt die Fourierrücktransformierte des Produkts &nbsp;$H_2(f) \cdot H_3(f)$&nbsp; an.
 *Verwendet ist dabei die charakteristische Kabeldämpfung &nbsp;${a}_{\rm \star} =  \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$
@@ Zeile 61: / Zeile 63: @@
-{Bestimmen Sie die Bitrate des Binärsystems, wenn &nbsp;$\tau\hspace{0.03cm}' = \tau/T = 694$&nbsp; beträgt.
+{Bestimmen Sie die Bitrate des Binärsystems, wenn &nbsp;$\tau\hspace{0.05cm}' = \tau/T = 694$&nbsp; beträgt.
 |type="{}"}
 $R \ = \ $  { 20 3% } $\ \rm Mbit/s$

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-'''(4)'''&nbsp; Mit der angegebenen Gleichung und dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) ergibt sich:
+'''(4)'''&nbsp; Mit der angegebenen Gleichung und dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(3)''' ergibt sich:
-:$${\rm Max}\, [T \cdot h_{\rm K}(t)]   \approx
+:$${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big]   \approx
   \frac {1.453 }{{a}_{\rm \star}^2} = \frac {1.453 }{8.6^2}
 \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.02}\hspace{0.05cm}.$$

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 [[Datei:P_ID1815__LZI_Z_4_5.png|right|frame|Impulsantwort eines Koaxialkabels (Darstellung mit bzw. ohne Laufzeit)]]
-Wir betrachten wieder wie in der [[Aufgaben:4.5_Koaxialkabel_–_Impulsantwort|Aufgabe 4.5]] ein binäres Übertragungssystem mit der Bitrate $R$ und der Symboldauer $T= 1/R$.
+Wir betrachten wieder wie in der &nbsp;[[Aufgaben:4.5_Koaxialkabel_–_Impulsantwort|Aufgabe 4.5]]&nbsp; ein binäres Übertragungssystem mit der Bitrate &nbsp;$R$&nbsp; und der Symboldauer &nbsp;$T= 1/R$.
-Als Übertragungsmedium wird ein Normalkoaxialkabel (Innendurchmesser: 2.6 mm, Außendurchmesser: 9.5 mm) der Länge $l = 1 \ \rm km$ mit folgendem Frequenzgang verwendet:
+Als Übertragungsmedium wird ein Normalkoaxialkabel (Innendurchmesser: 2.6 mm, Außendurchmesser: 9.5 mm) der Länge &nbsp;$l = 1 \ \rm km$&nbsp; mit folgendem Frequenzgang verwendet:
 :$$H_{\rm K}(f)     =  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}  f
    \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l}
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
   =   H_1(f) \cdot H_2(f) \cdot H_3(f)$$
-Die Teilfrequenzgänge $H_1(f)$, $H_2(f)$ und $H_3(f)$ dienen hier nur als Abkürzung. Die Leitungsparameter lauten:
+Die Teilfrequenzgänge &nbsp;$H_1(f)$, &nbsp;$H_2(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_3(f)$&nbsp; dienen hier nur als Abkürzung. Die Leitungsparameter lauten:
-:$$\beta_1 = 21.78\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
+:$$\beta_1 = 21.78\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm}, $$
- \alpha_2 = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
+:$$ \alpha_2 = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$
- \beta_2 = 0.2722\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}
+:$$ \beta_2 = 0.2722\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm K}(t\hspace{0.03cm}')$, wobei $t\hspace{0.03cm}' = t/T$ die normierte Zeit darstellt. Ohne Berücksichtigung der (normierten) Phasenlaufzeit $\tau\hspace{0.03cm}' = \tau/T$ kann $h_{\rm K}(t\hspace{0.03cm}')$ wie folgt geschrieben werden:
+Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t\hspace{0.03cm}')$, wobei &nbsp;$t\hspace{0.03cm}' = t/T$&nbsp; die normierte Zeit darstellt. Ohne Berücksichtigung der (normierten) Phasenlaufzeit &nbsp;$\tau\hspace{0.03cm}' = \tau/T$&nbsp; kann &nbsp;$h_{\rm K}(t\hspace{0.03cm}')$&nbsp; wie folgt geschrieben werden:
 :$$h_{\rm K}(t')  = \frac {1}{T} \cdot \frac {a_\rm \star/\pi}{ \sqrt{2
     \hspace{0.05cm}t'^3}}\cdot {\rm exp} \left [ -\frac {a_\rm \star^2}{ {2\pi
@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
   {\rm in}\hspace{0.15cm}
   {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$
-Diese Gleichung gibt die Fourierrücktransformierte des Produkts $H_2(f) \cdot H_3(f)$ an. Verwendet ist dabei die charakteristische Kabeldämpfung ${a}_{\rm \star} =  \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$
+*Diese Gleichung gibt die Fourierrücktransformierte des Produkts &nbsp;$H_2(f) \cdot H_3(f)$&nbsp; an.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].
-*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]] benutzen.
+*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]&nbsp; benutzen.
-*In der [[Aufgaben:4.5_Koaxialkabel_–_Impulsantwort|Aufgabe 4.5]] wurde der Maximalwert der normierten Impulsantwort wie folgt berechnet:
+*In der &nbsp;[[Aufgaben:4.5_Koaxialkabel_–_Impulsantwort|Aufgabe 4.5]]&nbsp; wurde der Maximalwert der normierten Impulsantwort wie folgt berechnet:
-:$${\rm Max}\, [T \cdot h_{\rm K}(t)]  = \frac {\sqrt{13.5 \pi} \cdot {\rm e}^{-1.5} }{{a}_{\rm \star}^2} \approx
+:$${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big ]  = \frac {\sqrt{13.5 \pi} \cdot {\rm e}^{-1.5} }{{a}_{\rm \star}^2} \approx
   \frac {1.453 }{{a}_{\rm \star}^2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm}
   {\rm mit}\hspace{0.15cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm}
@@ Zeile 53: / Zeile 54: @@
 <quiz display=simple>
-{Welcher Teilfrequenzgang ist für die Phasenlaufzeit $\tau$ verantwortlich?
+{Welcher Teilfrequenzgang ist für die Phasenlaufzeit &nbsp;$\tau$&nbsp; verantwortlich?
 |type="()"}
 + $H_1(f)$,
@@ Zeile 60: / Zeile 61: @@
-{Bestimmen Sie die Bitrate des Binärsystems, wenn $\tau\hspace{0.03cm}' = \tau/T = 694$ beträgt.
+{Bestimmen Sie die Bitrate des Binärsystems, wenn &nbsp;$\tau\hspace{0.03cm}' = \tau/T = 694$&nbsp; beträgt.
 |type="{}"}
 $R \ = \ $  { 20 3% } $\ \rm Mbit/s$
-{Geben Sie die charakteristische Kabeldämpfung ${a}_{\rm \star}$ zur gemeinsamen Beschreibung der Frequenzgänge $H_2(f)$ und $H_3(f)$ an.
+{Geben Sie die charakteristische Kabeldämpfung &nbsp;${a}_{\rm \star}$&nbsp; zur gemeinsamen Beschreibung der Frequenzgänge &nbsp;$H_2(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_3(f)$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 ${a}_{\rm \star} \ = \ $  { 8.6 3% } $\ \rm Np$
@@ Zeile 72: / Zeile 73: @@
 {Bestimmen Sie den (normierten) Maximalwert der Impulsantwort.
 |type="{}"}
-${\rm Max}\, [T \cdot h_{\rm K}(t)] \ = \ $ { 0.02 3% }
+${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big] \ = \ $ { 0.02 3% }
 {Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Verzerrungen werden ohne $H_1(f)$ richtig wiedergegeben.
++ Verzerrungen werden ohne &nbsp;$H_1(f)$&nbsp; richtig wiedergegeben.
-- Verzerrungen werden ohne $H_2(f)$ richtig wiedergegeben.
+- Verzerrungen werden ohne &nbsp;$H_2(f)$&nbsp; richtig wiedergegeben.
-- Verzerrungen werden ohne $H_3(f)$ richtig wiedergegeben.
+- Verzerrungen werden ohne &nbsp;$H_3(f)$&nbsp; richtig wiedergegeben.

@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]] benutzen.
 *In der [[Aufgaben:4.5_Koaxialkabel_–_Impulsantwort|Aufgabe 4.5]] wurde der Maximalwert der normierten Impulsantwort wie folgt berechnet:

@@ Zeile 87: / Zeile 87: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Spektraldarstellung eines Laufzeitgliedes lautet ${\rm e}^{-{\rm j} 2 \pi f \tau}$. Ein Vergleich mit der Angabenseite zeigt, dass $H_1(f)$ genau diesem Ansatz genügt &nbsp; &#8658; &nbsp;<u>Alternative 1</u>.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur die Aussage 1</u>:
 '''(2)'''&nbsp; Entsprechend dem Angabenblatt gilt:
-$$2\pi \cdot f \cdot \tau = \beta_1 \cdot f \cdot l \Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} =
+:$$2\pi \cdot f \cdot \tau = \beta_1 \cdot f \cdot l \Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} =
   \frac {21.78\, {\rm rad}/{({\rm km \cdot MHz})}\cdot 10\,{\rm km}}{2\pi} =
-.7\,{\rm \mu s}$$
+.7\,{\rm &micro; s}$$
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau '=  {\tau}/{T}  = 694 \Rightarrow \hspace{0.3cm}
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau '=  {\tau}/{T}  = 694 \Rightarrow \hspace{0.3cm}
-  T = \frac {34.7\,{\rm \mu s}}{700} \approx
+  T = \frac {34.7\,{\rm &micro; s}}{700} \approx
-.05\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}.$$
+.05\,{\rm &micro; s}\hspace{0.05cm}.$$
 Die Bitrate ist gleich dem Kehrwert der Symboldauer: $\underline{R = 20 \ \rm Mbit/s}$.
 '''(3)'''&nbsp; Für die charakteristische Kabeldämpfung erhält man somit:
-$${\rm a}_{\rm \star} =  \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l =
+:$${a}_{\rm \star} =  \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l =
 .2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot \sqrt {10\,{\rm MHz}} \cdot 10\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{\approx
 .6\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
-Der entsprechende dB&ndash;Wert ist $75 \ \rm dB$.
+Der entsprechende dB&ndash;Wert ist ${a}_{\rm \star} = 75 \ \rm dB$.
 '''(4)'''&nbsp; Mit der angegebenen Gleichung und dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) ergibt sich:
-$${\rm Max}[T \cdot h_{\rm K}(t)]   \approx
+:$${\rm Max}\, [T \cdot h_{\rm K}(t)]   \approx
-  \frac {1.453 }{{\rm a}_{\rm \star}^2} = \frac {1.453 }{8.6^2}
+  \frac {1.453 }{{a}_{\rm \star}^2} = \frac {1.453 }{8.6^2}
 \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.02}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur Aussage 1</u>: $H_1(f)$ beschreibt die frequenzunabhängige Laufzeit, die keine Verzerrung zur Folge hat.
 Dagegen sollte man zur Berechnung der Impulsantwort auf keinen Fall auf  $H_2(f)$ oder  $H_3(f)$ verzichten, da es sonst es zu gravierenden Fehlern kommen würde:
 * Die Impulsantwort $h_2(t)$ als die Fourierrücktransformierte von  $H_2(f)$ ist eine gerade Funktion mit dem Maximum bei $t = 0$ und erstreckt sich in beide Richtungen über Hunderte von Symbolen.
-* Dagegen ist die Fourierrücktransformierte von $H_3(f)$ eine ungerade Funktion mit einer Sprungstelle bei $t = 0$. Für $t > 0$ fällt $h_3(t)$ ähnlich &ndash; aber nicht exakt &ndash; wie eine Exponentialfunktion ab. Für negative Zeiten $t$ gilt $h_3(t) = - h_3(|t|)$.
+* Dagegen ist die Fourierrücktransformierte von $H_3(f)$ eine ungerade Funktion mit einer Sprungstelle bei $t = 0$.
 * Erst die Faltung $h_2(t) \star h_3(t)$ liefert die kausale Impulsantwort, allerdings ohne die Phasenlaufzeit $\tau$, die durch $H_1(f)$  berücksichtigt wird.
 {{ML-Fuß}}