Aufgaben:Aufgabe 4.5: Transinformation aus 2D-WDF - Versionsgeschichte

Guenter am 1. Oktober 2021 um 16:13 Uhr

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Guenter am 1. Oktober 2021 um 15:32 Uhr

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Guenter am 1. Oktober 2021 um 14:53 Uhr

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Guenter am 12. Februar 2020 um 15:39 Uhr

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Guenter am 12. Februar 2020 um 15:37 Uhr

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Guenter am 12. Februar 2020 um 15:17 Uhr

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Guenter am 18. Oktober 2018 um 08:03 Uhr

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Guenter am 18. Oktober 2018 um 07:43 Uhr

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Guenter am 18. Oktober 2018 um 07:37 Uhr

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Guenter am 18. Oktober 2018 um 07:13 Uhr

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	[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png \|right\|frame\|Weitere Beispiele für 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$]]		[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png \|right\|frame\|Weitere Beispiele für 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$]]
	*$I(X;Y)$  somit unabhängig von den WDF–Parametern  $A$  und  $B$.		*$I(X;Y)$  somit unabhängig von den WDF–Parametern  $A$  und  $B$.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID2887__Inf_A_4_5a.png|right|frame|„Rote” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]
+[[Datei:P_ID2887__Inf_A_4_5a.png|right|frame|„Rote” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen; <br>'''!''' Ordinate von  &nbsp;$f_{Y}(y)$&nbsp; ist nach links gerichtet '''!''']]
 '''(1)'''&nbsp; Bei der rechteckförmigen Verbund&ndash;WDF &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; gibt es  zwischen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; keine statistischen Bindungen  &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{I(X;Y) = 0}$.
 Formal lässt sich dieses Ergebnis mit der folgenden Gleichung nachweisen:
 :$$I(X;Y) = h(X) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} h(Y) \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}h(XY)\hspace{0.02cm}.$$
-*Die rote Fläche 2D&ndash;WDF &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; ist&nbsp; $F = 4$.&nbsp; Da &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; in diesem Gebiet konstant ist und das Volumen unter &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; gleich&nbsp; $1$&nbsp; sein muss, gilt für die Höhe&nbsp; $C = 1/F = 1/4$.
+*Die rote Fläche der 2D&ndash;WDF &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; ist&nbsp; $F = 4$.&nbsp; Da &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; in diesem Gebiet konstant ist und das Volumen unter &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; gleich&nbsp; $1$&nbsp; sein muss,&nbsp; gilt für die Höhe&nbsp; $C = 1/F = 1/4$.
 *Daraus folgt für die differentielle Verbundentropie in &bdquo;bit&rdquo;:
 :$$h(XY) \  =  \  \hspace{0.1cm}-\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})}
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   \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y)
   \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y = 2 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$
-*Es ist berücksichtigt, das das Doppelintegral gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist.&nbsp; Die Pseudo&ndash;Einheit &bdquo;bit&rdquo; korrespondiert mit dem <i>Logarithmus dualis</i> &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo;.
+*Es ist berücksichtigt, das das Doppelintegral gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist.&nbsp; Die Pseudo&ndash;Einheit &bdquo;bit&rdquo; korrespondiert mit dem&nbsp; "Logarithmus dualis" &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo;.
 Weiterhin gilt:
-* Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen &nbsp;$f_{X}(x)$&nbsp; und  &nbsp;$f_{Y}(y)$&nbsp; sind rechteckförmig &nbsp; &#8658; &nbsp; Gleichverteilung zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2$:
+* Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen &nbsp;$f_{X}(x)$&nbsp; und  &nbsp;$f_{Y}(y)$&nbsp; sind jeweils rechteckförmig &nbsp; &#8658; &nbsp; Gleichverteilung zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2$:
 :$$h(X) = h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) = 1 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$
 * Setzt man diese Ergebnisse in die obige Gleichung ein, so erhält man:
 :$$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY) = 1 \,{\rm bit} + 1 \,{\rm bit} - 2 \,{\rm bit} = 0 \,{\rm (bit)}
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-[[Datei:P_ID2888__Inf_A_4_5b_neu.png|right|frame|„Blaue” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]
+'''(2)'''&nbsp; Auch bei diesem Parallelogramm ergibt sich&nbsp; $F = 4, \ C = 1/4$&nbsp; sowie&nbsp; $h(XY) = 2$ bit.
 *Die Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; ist hier wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2$&nbsp; gleichverteilt&nbsp; &rArr; &nbsp; $h(Y) = 1$ bit.
-*Dagegen ist&nbsp; $X$&nbsp; dreieckverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $4$&nbsp; $($mit Maximum bei $2)$.&nbsp;
+*Dagegen ist&nbsp; $X$&nbsp; dreieckverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $4$&nbsp; $($mit Maximum bei&nbsp; $2)$.&nbsp;
 *Es ergibt sich hierfür die gleiche differentielle Entropie&nbsp; $h(Y)$&nbsp; wie bei einer symmetrischen Dreieckverteilung im Bereich zwischen&nbsp; $&plusmn;2$&nbsp;  (siehe Angabenblatt):
 :$$h(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \big[\hspace{0.05cm}2 \cdot \sqrt{ e} \hspace{0.05cm}\big ]
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 \Rightarrow \hspace{0.3cm} h(XY)  =   {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; ist nun zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $A$&nbsp; gleichverteilt und die Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; ist  zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; dreieckverteilt:
+*Die Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; ist nun zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $A$&nbsp; gleichverteilt und die Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; ist  zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2B$&nbsp; dreieckverteilt $($mit Maximum bei&nbsp; $B)$:
 :$$h(X)   \ =  \   {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ e})
 \hspace{0.05cm},$$ $$
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-'''(4)'''&nbsp; <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> sind erforderlich.&nbsp;
+'''(4)'''&nbsp; <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> sind erforderlich.&nbsp; Nicht für jedes Parallelogramm werden aber die Forderungen&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; erfüllt.&nbsp;
-*Allerdings sind nicht für jedes Parallelogramm die Forderungen&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; zu erfüllen.&nbsp; Die nebenstehende Grafik zeigt zwei solche Konstellationen, wobei die Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; jeweils gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; ist.
 * Bei der oberen Grafik liegen die eingezeichneten Punkte auf einer Höhe &nbsp; &#8658; &nbsp; $f_{Y}(y)$&nbsp; ist dreieckverteilt &nbsp; &#8658; &nbsp; $I(X;Y) = 0.721$ bit.
-*Die untere Verbund&ndash;WDF besitzt eine andere Transinformation, da die beiden Punkte nicht auf gleicher Höhe liegen &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; die WDF&nbsp; $f_{Y}(y)$&nbsp; hat hier eine Trapezform.
+*Die untere Verbund&ndash;WDF besitzt eine andere Transinformation, da die beiden eingezeichneten Punkte nicht auf gleicher Höhe liegen &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; die WDF&nbsp; $f_{Y}(y)$&nbsp; hat hier eine Trapezform.
-*Gefühlsmäßig tippe ich auf&nbsp; $I(X;Y) < 0.721$&nbsp; bit, da sich das 2D&ndash;Gebiet eher einem Rechteck annähert.&nbsp; Wenn Sie noch Lust haben, so überprüfen Sie das bitte.
+*Gefühlsmäßig tippe ich auf&nbsp; $I(X;Y) < 0.721$&nbsp; bit, da sich das 2D&ndash;Gebiet eher einem Rechteck annähert.&nbsp; Wenn Sie noch Lust haben, so überprüfen Sie diese Aussage.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2886__Inf_A_4_5_neu.png|right|frame|Vorgegebene Verbund-WDF]]
-Vorgegeben sind hier die drei unterschiedlichen 2D&ndash;Gebiete&nbsp; $f_{XY}(x, y)$, die in der Aufgabe nach ihren Füllfarben mit
+Vorgegeben sind hier die drei unterschiedlichen 2D&ndash;Gebiete&nbsp; $f_{XY}(x, y)$,&nbsp; die in der Aufgabe nach ihren Füllfarben mit
 * rote Verbund-WDF,
 * blaue Verbund-WDF,&nbsp; und
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang]].
 *Gegeben seien zudem folgende differentielle Entropien:
-:* Ist&nbsp; $X$&nbsp; dreieckverteilt zwischen&nbsp; $x_{\rm min}$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm max}$, so gilt:
+:* Ist&nbsp; $X$&nbsp; dreieckverteilt zwischen&nbsp; $x_{\rm min}$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm max}$,&nbsp; so gilt:
 ::$$h(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} [\hspace{0.05cm}\sqrt{ e} \cdot (x_{\rm max} - x_{\rm min})/2\hspace{0.05cm}]\hspace{0.05cm}.$$
-:* Ist&nbsp; $Y$&nbsp; gleichverteilt zwischen&nbsp; $y_{\rm min}$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm max}$, so gilt:
+:* Ist&nbsp; $Y$&nbsp; gleichverteilt zwischen&nbsp; $y_{\rm min}$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm max}$,&nbsp; so gilt:
 ::$$h(Y) = {\rm log} \hspace{0.1cm} \big [\hspace{0.05cm}y_{\rm max} - y_{\rm min}\hspace{0.05cm}\big ]\hspace{0.05cm}.$$
 *Alle Ergebnisse sollen in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden.&nbsp; Dies erreicht man mit &nbsp; $\log$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $\log_2$.

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 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y)  =  \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{B \cdot \sqrt{ {\rm e}} \cdot A}{A \cdot B} = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{ {\rm e}})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.721\,{\rm bit}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png |right|frame|Weitere Beispiele für&nbsp; $f_{XY}(x, y)$]]
+[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png |right|frame|Weitere Beispiele für 2D&ndash;WDF&nbsp; $f_{XY}(x, y)$]]
 *$I(X;Y)$&nbsp; somit unabhängig von den WDF&ndash;Parametern&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$.

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 {{ML-Kopf}}
 [[Datei:P_ID2887__Inf_A_4_5a.png|right|frame|„Rote” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]
-'''(1)'''&nbsp; Bei der rechteckförmigen Verbund&ndash;WDF &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; gibt es  zwischen $X$ und $Y$ keine statistischen Bindungen  &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{I(X;Y) = 0}$.
+'''(1)'''&nbsp; Bei der rechteckförmigen Verbund&ndash;WDF &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; gibt es  zwischen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; keine statistischen Bindungen  &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{I(X;Y) = 0}$.
 Formal lässt sich dieses Ergebnis mit der folgenden Gleichung nachweisen:
 :$$I(X;Y) = h(X) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} h(Y) \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}h(XY)\hspace{0.02cm}.$$
-*Die rote Fläche 2D&ndash;WDF &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; ist $F = 4$. Da &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; in diesem Gebiet konstant ist und das Volumen unter &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; gleich $1$ sein muss, gilt $C = 1/F = 1/4$.
+*Die rote Fläche 2D&ndash;WDF &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; ist&nbsp; $F = 4$.&nbsp; Da &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; in diesem Gebiet konstant ist und das Volumen unter &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; gleich&nbsp; $1$&nbsp; sein muss, gilt für die Höhe&nbsp; $C = 1/F = 1/4$.
 *Daraus folgt für die differentielle Verbundentropie in &bdquo;bit&rdquo;:
 :$$h(XY) \  =  \  \hspace{0.1cm}-\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})}
@@ Zeile 92: / Zeile 92: @@
   \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y)
   \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y = 2 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$
-Es ist berücksichtigt, das das Doppelintegral gleich $1$ ist. Die Pseudo&ndash;Einheit &bdquo;bit&rdquo; korrespondiert mit dem <i>Logarithmus dualis</i> &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo;.
+*Es ist berücksichtigt, das das Doppelintegral gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist.&nbsp; Die Pseudo&ndash;Einheit &bdquo;bit&rdquo; korrespondiert mit dem <i>Logarithmus dualis</i> &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo;.
 Weiterhin gilt:
-* Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen &nbsp;$f_{X}(x)$&nbsp; und  &nbsp;$f_{Y}(y)$&nbsp; sind rechteckförmig &nbsp; &#8658; &nbsp; Gleichverteilung zwischen $0$ und $2$:
+* Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen &nbsp;$f_{X}(x)$&nbsp; und  &nbsp;$f_{Y}(y)$&nbsp; sind rechteckförmig &nbsp; &#8658; &nbsp; Gleichverteilung zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2$:
 :$$h(X) = h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) = 1 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$
 * Setzt man diese Ergebnisse in die obige Gleichung ein, so erhält man:
 :$$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY) = 1 \,{\rm bit} + 1 \,{\rm bit} - 2 \,{\rm bit} = 0 \,{\rm (bit)}
 \hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID2888__Inf_A_4_5b_neu.png|right|frame|„Blaue” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]
-'''(2)'''&nbsp; Auch bei diesem Parallelogramm ergibt sich $F = 4, \ C = 1/4$ sowie $h(XY) = 2$ bit.
+'''(2)'''&nbsp; Auch bei diesem Parallelogramm ergibt sich&nbsp; $F = 4, \ C = 1/4$&nbsp; sowi&nbsp;e $h(XY) = 2$ bit.
-*Die Zufallsgröße $Y$ ist hier wie in der Teilaufgabe '''(1)''' zwischen $0$ und $2$ gleichverteilt. Somit gilt weiter $h(Y) = 1$ bit.
+*Die Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; ist hier wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2$&nbsp; gleichverteilt&nbsp; &rArr; &nbsp; $h(Y) = 1$ bit.
-*Dagegen ist $Y$ dreieckverteilt zwischen $0$ und $4$ (mit Maximum bei $2$). Es ergibt sich hierfür die gleiche differentielle Entropie $h(Y)$ wie bei einer symmetrischen Dreieckverteilung im Bereich zwischen $&plusmn;2$  (siehe Angabenblatt):
+*Dagegen ist&nbsp; $X$&nbsp; dreieckverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $4$&nbsp; $($mit Maximum bei $2)$.&nbsp;
 :$$h(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \big[\hspace{0.05cm}2 \cdot \sqrt{ e} \hspace{0.05cm}\big ]
 = 1.721 \,{\rm bit}$$
@@ Zeile 118: / Zeile 121: @@
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} h(XY)  =   {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)
 \hspace{0.05cm}.$$
-Die Zufallsgröße $Y$ ist nun zwischen $0$ und $A$ gleichverteilt und die Zufallsgröße $Y$ ist  zwischen $0$ und $B$ dreieckverteilt:
+*Die Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; ist nun zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $A$&nbsp; gleichverteilt und die Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; ist  zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; dreieckverteilt:
 :$$h(X)   \ =  \   {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ e})
 \hspace{0.05cm},$$ $$
   h(Y)  \  =  \   {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A)\hspace{0.05cm}.$$
-Damit ergibt sich für die Transinformation zwischen $X$ und $Y$:
+*Damit ergibt sich für die Transinformation zwischen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$:
 :$$I(X;Y)   \  =      {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ {\rm e}}) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) - {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y)  =  \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{B \cdot \sqrt{ {\rm e}} \cdot A}{A \cdot B} = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{ {\rm e}})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.721\,{\rm bit}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png |right|frame|Weitere Beispiele für $f_{XY}(x, y)$]]
+[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png |right|frame|Weitere Beispiele für&nbsp; $f_{XY}(x, y)$]]
-$I(X;Y)$ somit unabhängig von den WDF&ndash;Parametern $A$ und $B$.
+*$I(X;Y)$&nbsp; somit unabhängig von den WDF&ndash;Parametern&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$.
-'''(4)'''&nbsp; <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> sind erforderlich. Allerdings sind nicht für jedes Parallelogramm die Forderungen 2 und 3 zu erfüllen. Nebenstehende Grafik zeigt zwei solche Konstellationen, wobei nun die Zufallsgröße $X$ jeweils gleichverteilt ist zwischen $0$ und $1$.
+'''(4)'''&nbsp; <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> sind erforderlich.&nbsp;
-* Bei der oberen Grafik liegen die beiden eingezeichneten Punkte auf einer Höhe &nbsp; &#8658; &nbsp; $f_{Y}(y)$ ist dreieckverteilt &nbsp; &#8658; &nbsp; $I(X;Y) = 0.721$ bit.
+*Allerdings sind nicht für jedes Parallelogramm die Forderungen&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; zu erfüllen.&nbsp; Die nebenstehende Grafik zeigt zwei solche Konstellationen, wobei die Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; jeweils gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; ist.
-*Die untere Verbund&ndash;WDF besitzt eine andere Transinformation, da die beiden Punkte nicht auf gleicher Höhe liegen &nbsp; &#8658; &nbsp; die WDF $f_{Y}(y)$ hat hier eine Trapezform.
+* Bei der oberen Grafik liegen die eingezeichneten Punkte auf einer Höhe &nbsp; &#8658; &nbsp; $f_{Y}(y)$&nbsp; ist dreieckverteilt &nbsp; &#8658; &nbsp; $I(X;Y) = 0.721$ bit.
-*Gefühlsmäßig tippe ich auf $I(X;Y) < 0.721$ bit, da sich das 2D&ndash;Gebiet eher einem Rechteck annähert. Wenn Sie noch  Lust haben, so überprüfen Sie das bitte.
+*Die untere Verbund&ndash;WDF besitzt eine andere Transinformation, da die beiden Punkte nicht auf gleicher Höhe liegen &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; die WDF&nbsp; $f_{Y}(y)$&nbsp; hat hier eine Trapezform.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2886__Inf_A_4_5_neu.png|right|frame|Vorgegebene Verbund-WDF]]
-Vorgegeben sind hier die drei unterschiedlichen 2D&ndash;Gebiete $f_{XY}(x, y)$, die in der Aufgabe nach ihren Füllfarben mit
+Vorgegeben sind hier die drei unterschiedlichen 2D&ndash;Gebiete&nbsp; $f_{XY}(x, y)$, die in der Aufgabe nach ihren Füllfarben mit
-* ''rote'' Verbund-WDF
+* rote Verbund-WDF,
-* ''blaue'' Verbund-WDF
+* blaue Verbund-WDF,&nbsp; und
-* ''grüne'' Verbund-WDF
+* grüne Verbund-WDF
-bezeichnet werden. In den dargestellten Gebieten gelte jeweils $f_{XY}(x, y) = C = \rm const.$
+bezeichnet werden.&nbsp; Innerhalb der dargestellten Gebieten gelte jeweils&nbsp; $f_{XY}(x, y) = C = \rm const.$
-Die Transinformation zwischen den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen $X$ und $Y$ kann zum Beispiel wie folgt berechnet werden:
+Die Transinformation zwischen den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; kann man zum Beispiel wie folgt berechnen:
 :$$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY)\hspace{0.05cm}.$$
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   \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big[ f_{XY}(x, y) \big]
   \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$
-Für die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen gilt dabei:
+*Für die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen gilt dabei:
 :$$f_X(x) = \hspace{-0.5cm}  \int\limits_{\hspace{-0.2cm}y \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{Y}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_{XY}(x, y)
   \hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm},$$
 :$$f_Y(y) = \hspace{-0.5cm}  \int\limits_{\hspace{-0.2cm}x \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{X}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_{XY}(x, y)
   \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 37: / Zeile 40: @@
 *Gegeben seien zudem folgende differentielle Entropien:
-:* Ist $X$ dreieckverteilt zwischen $x_{\rm min}$ und $x_{\rm max}$, so gilt:
+:* Ist&nbsp; $X$&nbsp; dreieckverteilt zwischen&nbsp; $x_{\rm min}$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm max}$, so gilt:
 ::$$h(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} [\hspace{0.05cm}\sqrt{ e} \cdot (x_{\rm max} - x_{\rm min})/2\hspace{0.05cm}]\hspace{0.05cm}.$$
-:* Ist $Y$ gleichverteilt zwischen $y_{\rm min}$ und $y_{\rm max}$, so gilt:
+:* Ist&nbsp; $Y$&nbsp; gleichverteilt zwischen&nbsp; $y_{\rm min}$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm max}$, so gilt:
 ::$$h(Y) = {\rm log} \hspace{0.1cm} \big [\hspace{0.05cm}y_{\rm max} - y_{\rm min}\hspace{0.05cm}\big ]\hspace{0.05cm}.$$
-*Alle Ergebnisse sollen in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden. Dies erreicht man mit &nbsp; $\log$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $\log_2$.
+*Alle Ergebnisse sollen in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden.&nbsp; Dies erreicht man mit &nbsp; $\log$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $\log_2$.
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Transinformation <u>der roten Verbund-WDF</u>?
+{Wie groß ist die Transinformation&nbsp; <u>der roten Verbund-WDF</u>?
 |type="{}"}
 $I(X; Y) \ = \ $ { 0. } $\ \rm bit$
-{Wie groß ist die Transinformation <u>der blauen Verbund-WDF</u>?
+{Wie groß ist die Transinformation&nbsp; <u>der blauen Verbund-WDF</u>?
 |type="{}"}
 $I(X; Y) \ = \ $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$
-{Wie groß ist die Transinformation <u>der grünen Verbund-WDF</u>?
+{Wie groß ist die Transinformation&nbsp; <u>der grünen Verbund-WDF</u>?
 |type="{}"}
 $I(X; Y) \ = \ $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$
-{Welche Voraussetzungen müssen die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ gleichzeitig erfüllen, damit allgemein &nbsp;$I(X;Y)  = 1/2 \cdot \log (\rm e)$&nbsp; gilt:
+{Welche Voraussetzungen müssen die Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; gleichzeitig erfüllen, damit allgemein &nbsp;$I(X;Y)  = 1/2 \cdot \log (\rm e)$&nbsp; gilt:
 |type="[]"}
 + Die Verbund-WDF &nbsp;$f_{XY}(x, y)$&nbsp; ergibt ein Parallelogramm.
-+ Eine der Zufallsgrößen $(X$ oder $Y)$ ist gleichverteilt.
++ Eine der Zufallsgrößen&nbsp; $(X$ &nbsp;oder&nbsp; $Y)$&nbsp; ist gleichverteilt.
-+ Die andere Zufallsgröße $(X$ oder $Y)$ ist dreieckverteilt.
++ Die andere Zufallsgröße&nbsp; $(Y$&nbsp; oder&nbsp; $X)$&nbsp; ist dreieckverteilt.