Aufgaben:Aufgabe 4.5: Transinformation aus 2D-WDF - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:37:49Z

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	[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^4.2 AWGN & kontinuierlicher Eingang^]]		[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^4.2 AWGN & kontinuierlicher Eingang^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.5:_Mutual_Information_from_2D-PDF]]

Maintenance script: Fix 1 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

2026-02-27T13:59:57Z

Fix 1 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

← Nächstältere Version		Version vom 27. Februar 2026, 15:59 Uhr
Zeile 103:		Zeile 103:
	:$$F = A \cdot B \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} C = \frac{1}{A \cdot B}\hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} h(XY) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B) \hspace{0.05cm}.$$		:$$F = A \cdot B \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} C = \frac{1}{A \cdot B}\hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} h(XY) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B) \hspace{0.05cm}.$$
	*Die Zufallsgröße  $Y$  ist nun zwischen  $0$  und  $A$  gleichverteilt und die Zufallsgröße  $X$  ist zwischen  $0$  und  $2B$  dreieckverteilt $($mit Maximum bei  $B)$:		*Die Zufallsgröße  $Y$  ist nun zwischen  $0$  und  $A$  gleichverteilt und die Zufallsgröße  $X$  ist zwischen  $0$  und  $2B$  dreieckverteilt $($mit Maximum bei  $B)$:
	:$$h(X) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ e}) \hspace{0.05cm},$$ $$		:$$h(X) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ e}) \hspace{0.05cm},$$ $$ h(Y) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A)\hspace{0.05cm}.$$*Damit ergibt sich für die Transinformation zwischen  $X$  und  $Y$::$$I(X;Y) \ = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ {\rm e}}) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) - {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)$$
	h(Y) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A)\hspace{0.05cm}.$$*Damit ergibt sich für die Transinformation zwischen  $X$  und  $Y$::$$I(X;Y) \ = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ {\rm e}}) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) - {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{B \cdot \sqrt{ {\rm e}} \cdot A}{A \cdot B} = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{ {\rm e}})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.721\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{B \cdot \sqrt{ {\rm e}} \cdot A}{A \cdot B} = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{ {\rm e}})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.721\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
	[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png \|right\|frame\|Weitere Beispiele für 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$]]		[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png \|right\|frame\|Weitere Beispiele für 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:39:58Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:

	Für die hier verwendeten differentiellen Entropien gelten die folgenden Gleichungen:		Für die hier verwendeten differentiellen Entropien gelten die folgenden Gleichungen:
	:$$h(X) = -\hspace{-0.7cm} \int\limits_{x \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}{\rm supp}(f_X)} \hspace{-0.55cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big[f_X(x)\big] \hspace{0.1cm}{\rm d}x		:$$h(X) = -\hspace{-0.7cm} \int\limits_{x \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}{\rm supp}(f_X)} \hspace{-0.55cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big[f_X(x)\big] \hspace{0.1cm}{\rm d}x\hspace{0.05cm},$$
	\hspace{0.05cm},$$		:$$h(Y) = -\hspace{-0.7cm} \int\limits_{y \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}{\rm supp}(f_Y)} \hspace{-0.55cm} f_Y(y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big[f_Y(y)\big] \hspace{0.1cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm},$$
	:$$h(Y) = -\hspace{-0.7cm} \int\limits_{y \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}{\rm supp}(f_Y)} \hspace{-0.55cm} f_Y(y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big[f_Y(y)\big] \hspace{0.1cm}{\rm d}y		:$$h(XY) = \hspace{0.1cm}-\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big[ f_{XY}(x, y) \big]\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm},$$
	:$$h(XY) = \hspace{0.1cm}-\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{XY}\hspace{-0.08cm})}
	\hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big[ f_{XY}(x, y) \big]
	\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$
	*Für die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen gilt dabei:		*Für die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen gilt dabei:
	:$$f_X(x) = \hspace{-0.5cm} \int\limits_{\hspace{-0.2cm}y \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{Y}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_{XY}(x, y)		:$$f_X(x) = \hspace{-0.5cm} \int\limits_{\hspace{-0.2cm}y \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{Y}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_{XY}(x, y) \hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm},$$
	\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm},$$		:$$f_Y(y) = \hspace{-0.5cm} \int\limits_{\hspace{-0.2cm}x \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{X}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_{XY}(x, y) \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.05cm}.$$
	:$$f_Y(y) = \hspace{-0.5cm} \int\limits_{\hspace{-0.2cm}x \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{X}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_{XY}(x, y)
	\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 83:		Zeile 77:
	*Die rote Fläche der 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  ist  $F = 4$.  Da  $f_{XY}(x, y)$  in diesem Gebiet konstant ist und das Volumen unter  $f_{XY}(x, y)$  gleich  $1$  sein muss,  gilt für die Höhe  $C = 1/F = 1/4$.		*Die rote Fläche der 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  ist  $F = 4$.  Da  $f_{XY}(x, y)$  in diesem Gebiet konstant ist und das Volumen unter  $f_{XY}(x, y)$  gleich  $1$  sein muss,  gilt für die Höhe  $C = 1/F = 1/4$.
	*Daraus folgt für die differentielle Verbundentropie in &bdquo;bit”:		*Daraus folgt für die differentielle Verbundentropie in &bdquo;bit”:
	:$$h(XY) \ = \ \hspace{0.1cm}-\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})}		:$$h(XY) \ = \ \hspace{0.1cm}-\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [ f_{XY}(x, y) ]\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y$$
	\hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [ f_{XY}(x, y) ]		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(XY) \ = \ \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (4) \cdot \hspace{0.02cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y = 2 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(XY) \ = \ \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (4) \cdot \hspace{0.02cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})}
	\hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y)
	\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y = 2 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$
	*Es ist berücksichtigt, das das Doppelintegral gleich  $1$  ist.  Die Pseudo–Einheit &bdquo;bit” korrespondiert mit dem  "Logarithmus dualis"  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>”.		*Es ist berücksichtigt, das das Doppelintegral gleich  $1$  ist.  Die Pseudo–Einheit &bdquo;bit” korrespondiert mit dem  "Logarithmus dualis"  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>”.

Zeile 97:		Zeile 87:
	[[Datei:P_ID2888__Inf_A_4_5b_neu.png\|right\|frame\|„Blaue” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]		[[Datei:P_ID2888__Inf_A_4_5b_neu.png\|right\|frame\|„Blaue” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]
	* Setzt man diese Ergebnisse in die obige Gleichung ein, so erhält man:		* Setzt man diese Ergebnisse in die obige Gleichung ein, so erhält man:
	:$$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY) = 1 \,{\rm bit} + 1 \,{\rm bit} - 2 \,{\rm bit} = 0 \,{\rm (bit)}		:$$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY) = 1 \,{\rm bit} + 1 \,{\rm bit} - 2 \,{\rm bit} = 0 \,{\rm (bit)}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 107:		Zeile 96:
	*Dagegen ist  $X$  dreieckverteilt zwischen  $0$  und  $4$  $($mit Maximum bei  $2)$.		*Dagegen ist  $X$  dreieckverteilt zwischen  $0$  und  $4$  $($mit Maximum bei  $2)$.
	*Es ergibt sich hierfür die gleiche differentielle Entropie  $h(Y)$  wie bei einer symmetrischen Dreieckverteilung im Bereich zwischen  $±2$  (siehe Angabenblatt):		*Es ergibt sich hierfür die gleiche differentielle Entropie  $h(Y)$  wie bei einer symmetrischen Dreieckverteilung im Bereich zwischen  $±2$  (siehe Angabenblatt):
	:$$h(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \big[\hspace{0.05cm}2 \cdot \sqrt{ e} \hspace{0.05cm}\big ]		:$$h(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \big[\hspace{0.05cm}2 \cdot \sqrt{ e} \hspace{0.05cm}\big ]= 1.721 \,{\rm bit}$$
	= 1.721 \,{\rm bit}$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = 1.721 \,{\rm bit} + 1 \,{\rm bit} - 2 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}\underline{ = 0.721 \,{\rm (bit)}}\hspace{0.05cm}.$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = 1.721 \,{\rm bit} + 1 \,{\rm bit} - 2 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}\underline{ = 0.721 \,{\rm (bit)}}
	\hspace{0.05cm}.$$
	<br clear=all>		<br clear=all>
	[[Datei:P_ID2889__Inf_A_4_5c_neu.png\|right\|frame\|„Grüne” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]		[[Datei:P_ID2889__Inf_A_4_5c_neu.png\|right\|frame\|„Grüne” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]
	'''(3)'''  Bei den grünen Gegebenheiten ergeben sich folgende Eigenschaften:		'''(3)'''  Bei den grünen Gegebenheiten ergeben sich folgende Eigenschaften:
	:$$F = A \cdot B \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} C = \frac{1}{A \cdot B}		:$$F = A \cdot B \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} C = \frac{1}{A \cdot B}\hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} h(XY) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B) \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(XY) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Die Zufallsgröße  $Y$  ist nun zwischen  $0$  und  $A$  gleichverteilt und die Zufallsgröße  $X$  ist zwischen  $0$  und  $2B$  dreieckverteilt $($mit Maximum bei  $B)$:		*Die Zufallsgröße  $Y$  ist nun zwischen  $0$  und  $A$  gleichverteilt und die Zufallsgröße  $X$  ist zwischen  $0$  und  $2B$  dreieckverteilt $($mit Maximum bei  $B)$:
	:$$h(X) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ e})		:$$h(X) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ e}) \hspace{0.05cm},$$ $$
	\hspace{0.05cm},$$ $$		h(Y) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A)\hspace{0.05cm}.$$*Damit ergibt sich für die Transinformation zwischen  $X$  und  $Y$::$$I(X;Y) \ = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ {\rm e}}) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) - {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)$$
	h(Y) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{B \cdot \sqrt{ {\rm e}} \cdot A}{A \cdot B} = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{ {\rm e}})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.721\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
	*Damit ergibt sich für die Transinformation zwischen  $X$  und  $Y$:
	:$$I(X;Y) \ = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ {\rm e}}) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) - {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{B \cdot \sqrt{ {\rm e}} \cdot A}{A \cdot B} = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{ {\rm e}})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.721\,{\rm bit}}
	\hspace{0.05cm}.$$
	[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png \|right\|frame\|Weitere Beispiele für 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$]]		[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png \|right\|frame\|Weitere Beispiele für 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$]]
	*$I(X;Y)$  somit unabhängig von den WDF–Parametern  $A$  und  $B$.		*$I(X;Y)$  somit unabhängig von den WDF–Parametern  $A$  und  $B$.

Guenter am 1. Oktober 2021 um 16:13 Uhr

2021-10-01T16:13:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. Oktober 2021, 18:13 Uhr
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	[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png \|right\|frame\|Weitere Beispiele für 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$]]		[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png \|right\|frame\|Weitere Beispiele für 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$]]
	*$I(X;Y)$  somit unabhängig von den WDF–Parametern  $A$  und  $B$.		*$I(X;Y)$  somit unabhängig von den WDF–Parametern  $A$  und  $B$.

Guenter am 1. Oktober 2021 um 15:32 Uhr

2021-10-01T15:32:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. Oktober 2021, 17:32 Uhr
Zeile 76:		Zeile 76:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID2887__Inf_A_4_5a.png\|right\|frame\|„Rote” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]		[[Datei:P_ID2887__Inf_A_4_5a.png\|right\|frame\|„Rote” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen; <br>'''!''' Ordinate von  $f_{Y}(y)$  ist nach links gerichtet '''!''']]
	'''(1)'''  Bei der rechteckförmigen Verbund–WDF  $f_{XY}(x, y)$  gibt es zwischen  $X$  und  $Y$  keine statistischen Bindungen   ⇒   $\underline{I(X;Y) = 0}$.		'''(1)'''  Bei der rechteckförmigen Verbund–WDF  $f_{XY}(x, y)$  gibt es zwischen  $X$  und  $Y$  keine statistischen Bindungen   ⇒   $\underline{I(X;Y) = 0}$.

	Formal lässt sich dieses Ergebnis mit der folgenden Gleichung nachweisen:		Formal lässt sich dieses Ergebnis mit der folgenden Gleichung nachweisen:
	:$$I(X;Y) = h(X) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} h(Y) \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}h(XY)\hspace{0.02cm}.$$		:$$I(X;Y) = h(X) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} h(Y) \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}h(XY)\hspace{0.02cm}.$$
	*Die rote Fläche 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  ist  $F = 4$.  Da  $f_{XY}(x, y)$  in diesem Gebiet konstant ist und das Volumen unter  $f_{XY}(x, y)$  gleich  $1$  sein muss, gilt für die Höhe  $C = 1/F = 1/4$.		*Die rote Fläche der 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  ist  $F = 4$.  Da  $f_{XY}(x, y)$  in diesem Gebiet konstant ist und das Volumen unter  $f_{XY}(x, y)$  gleich  $1$  sein muss,  gilt für die Höhe  $C = 1/F = 1/4$.
	*Daraus folgt für die differentielle Verbundentropie in &bdquo;bit”:		*Daraus folgt für die differentielle Verbundentropie in &bdquo;bit”:
	:$$h(XY) \ = \ \hspace{0.1cm}-\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})}		:$$h(XY) \ = \ \hspace{0.1cm}-\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})}
Zeile 89:		Zeile 89:
	\hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y)		\hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y)
	\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y = 2 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y = 2 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$
	*Es ist berücksichtigt, das das Doppelintegral gleich  $1$  ist.  Die Pseudo–Einheit &bdquo;bit” korrespondiert mit dem ~~<i>~~Logarithmus dualis~~</i>~~  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>”.		*Es ist berücksichtigt, das das Doppelintegral gleich  $1$  ist.  Die Pseudo–Einheit &bdquo;bit” korrespondiert mit dem  "Logarithmus dualis"  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>”.


	Weiterhin gilt:		Weiterhin gilt:
	* Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$  sind rechteckförmig   ⇒   Gleichverteilung zwischen  $0$  und  $2$:		* Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$  sind jeweils rechteckförmig   ⇒   Gleichverteilung zwischen  $0$  und  $2$:
	:$$h(X) = h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) = 1 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$		:$$h(X) = h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) = 1 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$
			[[Datei:P_ID2888__Inf_A_4_5b_neu.png\|right\|frame\|„Blaue” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]
	* Setzt man diese Ergebnisse in die obige Gleichung ein, so erhält man:		* Setzt man diese Ergebnisse in die obige Gleichung ein, so erhält man:
	:$$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY) = 1 \,{\rm bit} + 1 \,{\rm bit} - 2 \,{\rm bit} = 0 \,{\rm (bit)}		:$$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY) = 1 \,{\rm bit} + 1 \,{\rm bit} - 2 \,{\rm bit} = 0 \,{\rm (bit)}
Zeile 101:		Zeile 102:


	~~[[Datei:P_ID2888__Inf_A_4_5b_neu.png\|right\|frame\|„Blaue” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]~~		'''(2)'''  Auch bei diesem Parallelogramm ergibt sich  $F = 4, \ C = 1/4$  sowie  $h(XY) = 2$ bit.
	'''(2)'''  Auch bei diesem Parallelogramm ergibt sich  $F = 4, \ C = 1/4$  ~~sowi~~ e $h(XY) = 2$ bit.
	*Die Zufallsgröße  $Y$  ist hier wie in der Teilaufgabe  '''(1)'''  zwischen  $0$  und  $2$  gleichverteilt  ⇒   $h(Y) = 1$ bit.		*Die Zufallsgröße  $Y$  ist hier wie in der Teilaufgabe  '''(1)'''  zwischen  $0$  und  $2$  gleichverteilt  ⇒   $h(Y) = 1$ bit.

	*Dagegen ist  $X$  dreieckverteilt zwischen  $0$  und  $4$  $($mit Maximum bei $2)$.		*Dagegen ist  $X$  dreieckverteilt zwischen  $0$  und  $4$  $($mit Maximum bei  $2)$.
	*Es ergibt sich hierfür die gleiche differentielle Entropie  $h(Y)$  wie bei einer symmetrischen Dreieckverteilung im Bereich zwischen  $±2$  (siehe Angabenblatt):		*Es ergibt sich hierfür die gleiche differentielle Entropie  $h(Y)$  wie bei einer symmetrischen Dreieckverteilung im Bereich zwischen  $±2$  (siehe Angabenblatt):
	:$$h(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \big[\hspace{0.05cm}2 \cdot \sqrt{ e} \hspace{0.05cm}\big ]		:$$h(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \big[\hspace{0.05cm}2 \cdot \sqrt{ e} \hspace{0.05cm}\big ]
Zeile 118:		Zeile 118:
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(XY) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)		\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(XY) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Die Zufallsgröße  $Y$  ist nun zwischen  $0$  und  $A$  gleichverteilt und die Zufallsgröße  $X$  ist zwischen  $0$  und  $B$  dreieckverteilt:		*Die Zufallsgröße  $Y$  ist nun zwischen  $0$  und  $A$  gleichverteilt und die Zufallsgröße  $X$  ist zwischen  $0$  und  $2B$  dreieckverteilt $($mit Maximum bei  $B)$:
	:$$h(X) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ e})		:$$h(X) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ e})
	\hspace{0.05cm},$$ $$		\hspace{0.05cm},$$ $$
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	'''(4)'''  <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> sind erforderlich.		'''(4)'''  <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> sind erforderlich.  Nicht für jedes Parallelogramm werden aber die Forderungen  '''(2)'''  und  '''(3)'''  erfüllt.
	*Allerdings sind nicht für jedes Parallelogramm die Forderungen  '''(2)'''  und  '''(3)'''  ~~zu erfüllen~~.  Die nebenstehende Grafik zeigt zwei ~~solche~~ Konstellationen, wobei die Zufallsgröße  $X$  jeweils gleichverteilt zwischen  $0$  und  $1$  ist.
			*Die nebenstehende Grafik zeigt zwei Konstellationen, wobei die Zufallsgröße  $X$  jeweils gleichverteilt zwischen  $0$  und  $1$  ist.
	* Bei der oberen Grafik liegen die eingezeichneten Punkte auf einer Höhe   ⇒   $f_{Y}(y)$  ist dreieckverteilt   ⇒   $I(X;Y) = 0.721$ bit.		* Bei der oberen Grafik liegen die eingezeichneten Punkte auf einer Höhe   ⇒   $f_{Y}(y)$  ist dreieckverteilt   ⇒   $I(X;Y) = 0.721$ bit.
	*Die untere Verbund–WDF besitzt eine andere Transinformation, da die beiden Punkte nicht auf gleicher Höhe liegen   <br>⇒   die WDF  $f_{Y}(y)$  hat hier eine Trapezform.		*Die untere Verbund–WDF besitzt eine andere Transinformation, da die beiden eingezeichneten Punkte nicht auf gleicher Höhe liegen   <br>⇒   die WDF  $f_{Y}(y)$  hat hier eine Trapezform.
	*Gefühlsmäßig tippe ich auf  $I(X;Y) < 0.721$  bit, da sich das 2D–Gebiet eher einem Rechteck annähert.  Wenn Sie noch Lust haben, so überprüfen Sie ~~das bitte~~.		*Gefühlsmäßig tippe ich auf  $I(X;Y) < 0.721$  bit, da sich das 2D–Gebiet eher einem Rechteck annähert.  Wenn Sie noch Lust haben, so überprüfen Sie diese Aussage.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 1. Oktober 2021 um 14:53 Uhr

2021-10-01T14:53:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. Oktober 2021, 16:53 Uhr
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	[[Datei:P_ID2886__Inf_A_4_5_neu.png\|right\|frame\|Vorgegebene Verbund-WDF]]		[[Datei:P_ID2886__Inf_A_4_5_neu.png\|right\|frame\|Vorgegebene Verbund-WDF]]
	Vorgegeben sind hier die drei unterschiedlichen 2D–Gebiete  $f_{XY}(x, y)$, die in der Aufgabe nach ihren Füllfarben mit		Vorgegeben sind hier die drei unterschiedlichen 2D–Gebiete  $f_{XY}(x, y)$,  die in der Aufgabe nach ihren Füllfarben mit
	* rote Verbund-WDF,		* rote Verbund-WDF,
	* blaue Verbund-WDF,  und		* blaue Verbund-WDF,  und
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			Hinweise:


	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang\|AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang]].

	*Gegeben seien zudem folgende differentielle Entropien:		*Gegeben seien zudem folgende differentielle Entropien:
	:* Ist  $X$  dreieckverteilt zwischen  $x_{\rm min}$  und  $x_{\rm max}$, so gilt:		:* Ist  $X$  dreieckverteilt zwischen  $x_{\rm min}$  und  $x_{\rm max}$,  so gilt:
	::$$h(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} [\hspace{0.05cm}\sqrt{ e} \cdot (x_{\rm max} - x_{\rm min})/2\hspace{0.05cm}]\hspace{0.05cm}.$$		::$$h(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} [\hspace{0.05cm}\sqrt{ e} \cdot (x_{\rm max} - x_{\rm min})/2\hspace{0.05cm}]\hspace{0.05cm}.$$
	:* Ist  $Y$  gleichverteilt zwischen  $y_{\rm min}$  und  $y_{\rm max}$, so gilt:		:* Ist  $Y$  gleichverteilt zwischen  $y_{\rm min}$  und  $y_{\rm max}$,  so gilt:
	::$$h(Y) = {\rm log} \hspace{0.1cm} \big [\hspace{0.05cm}y_{\rm max} - y_{\rm min}\hspace{0.05cm}\big ]\hspace{0.05cm}.$$		::$$h(Y) = {\rm log} \hspace{0.1cm} \big [\hspace{0.05cm}y_{\rm max} - y_{\rm min}\hspace{0.05cm}\big ]\hspace{0.05cm}.$$
	*Alle Ergebnisse sollen in &bdquo;bit” angegeben werden.  Dies erreicht man mit   $\log$  ⇒  $\log_2$.		*Alle Ergebnisse sollen in &bdquo;bit” angegeben werden.  Dies erreicht man mit   $\log$  ⇒  $\log_2$.

Guenter am 12. Februar 2020 um 15:39 Uhr

2020-02-12T15:39:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Februar 2020, 17:39 Uhr
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	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{B \cdot \sqrt{ {\rm e}} \cdot A}{A \cdot B} = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{ {\rm e}})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.721\,{\rm bit}}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{B \cdot \sqrt{ {\rm e}} \cdot A}{A \cdot B} = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{ {\rm e}})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.721\,{\rm bit}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png \|right\|frame\|Weitere Beispiele für  $f_{XY}(x, y)$]]		[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png \|right\|frame\|Weitere Beispiele für 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$]]
	*$I(X;Y)$  somit unabhängig von den WDF–Parametern  $A$  und  $B$.		*$I(X;Y)$  somit unabhängig von den WDF–Parametern  $A$  und  $B$.

Guenter am 12. Februar 2020 um 15:37 Uhr

2020-02-12T15:37:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Februar 2020, 17:37 Uhr
Zeile 80:		Zeile 80:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID2887__Inf_A_4_5a.png\|right\|frame\|„Rote” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]		[[Datei:P_ID2887__Inf_A_4_5a.png\|right\|frame\|„Rote” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]
	'''(1)'''  Bei der rechteckförmigen Verbund–WDF  $f_{XY}(x, y)$  gibt es zwischen $X$ und $Y$ keine statistischen Bindungen   ⇒   $\underline{I(X;Y) = 0}$.		'''(1)'''  Bei der rechteckförmigen Verbund–WDF  $f_{XY}(x, y)$  gibt es zwischen  $X$  und  $Y$  keine statistischen Bindungen   ⇒   $\underline{I(X;Y) = 0}$.

	Formal lässt sich dieses Ergebnis mit der folgenden Gleichung nachweisen:		Formal lässt sich dieses Ergebnis mit der folgenden Gleichung nachweisen:
	:$$I(X;Y) = h(X) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} h(Y) \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}h(XY)\hspace{0.02cm}.$$		:$$I(X;Y) = h(X) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} h(Y) \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}h(XY)\hspace{0.02cm}.$$
	*Die rote Fläche 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  ist $F = 4$. Da  $f_{XY}(x, y)$  in diesem Gebiet konstant ist und das Volumen unter  $f_{XY}(x, y)$  gleich $1$ sein muss, gilt $C = 1/F = 1/4$.		*Die rote Fläche 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  ist  $F = 4$.  Da  $f_{XY}(x, y)$  in diesem Gebiet konstant ist und das Volumen unter  $f_{XY}(x, y)$  gleich  $1$  sein muss, gilt für die Höhe  $C = 1/F = 1/4$.
	*Daraus folgt für die differentielle Verbundentropie in &bdquo;bit”:		*Daraus folgt für die differentielle Verbundentropie in &bdquo;bit”:
	:$$h(XY) \ = \ \hspace{0.1cm}-\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})}		:$$h(XY) \ = \ \hspace{0.1cm}-\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})}
Zeile 92:		Zeile 92:
	\hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y)		\hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y)
	\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y = 2 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y = 2 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$
	Es ist berücksichtigt, das das Doppelintegral gleich $1$ ist. Die Pseudo–Einheit &bdquo;bit” korrespondiert mit dem <i>Logarithmus dualis</i>  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>”.		*Es ist berücksichtigt, das das Doppelintegral gleich  $1$  ist.  Die Pseudo–Einheit &bdquo;bit” korrespondiert mit dem <i>Logarithmus dualis</i>  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>”.


	Weiterhin gilt:		Weiterhin gilt:
	* Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$  sind rechteckförmig   ⇒   Gleichverteilung zwischen $0$ und $2$:		* Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$  sind rechteckförmig   ⇒   Gleichverteilung zwischen  $0$  und  $2$:
	:$$h(X) = h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) = 1 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$		:$$h(X) = h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) = 1 \,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$
	* Setzt man diese Ergebnisse in die obige Gleichung ein, so erhält man:		* Setzt man diese Ergebnisse in die obige Gleichung ein, so erhält man:
	:$$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY) = 1 \,{\rm bit} + 1 \,{\rm bit} - 2 \,{\rm bit} = 0 \,{\rm (bit)}		:$$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY) = 1 \,{\rm bit} + 1 \,{\rm bit} - 2 \,{\rm bit} = 0 \,{\rm (bit)}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$



	[[Datei:P_ID2888__Inf_A_4_5b_neu.png\|right\|frame\|„Blaue” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]		[[Datei:P_ID2888__Inf_A_4_5b_neu.png\|right\|frame\|„Blaue” Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]]
	'''(2)'''  Auch bei diesem Parallelogramm ergibt sich $F = 4, \ C = 1/4$ ~~sowie~~ $h(XY) = 2$ bit.		'''(2)'''  Auch bei diesem Parallelogramm ergibt sich  $F = 4, \ C = 1/4$  sowi e $h(XY) = 2$ bit.
	*Die Zufallsgröße $Y$ ist hier wie in der Teilaufgabe '''(1)''' zwischen $0$ und $2$ gleichverteilt~~. Somit gilt weiter~~ $h(Y) = 1$ bit.		*Die Zufallsgröße  $Y$  ist hier wie in der Teilaufgabe  '''(1)'''  zwischen  $0$  und  $2$  gleichverteilt  ⇒   $h(Y) = 1$ bit.

	*Dagegen ist $Y$ dreieckverteilt zwischen $0$ und $4$ (mit Maximum bei $2$). Es ergibt sich hierfür die gleiche differentielle Entropie $h(Y)$ wie bei einer symmetrischen Dreieckverteilung im Bereich zwischen $±2$ (siehe Angabenblatt):		*Dagegen ist  $X$  dreieckverteilt zwischen  $0$  und  $4$  $($mit Maximum bei $2)$.
			*Es ergibt sich hierfür die gleiche differentielle Entropie  $h(Y)$  wie bei einer symmetrischen Dreieckverteilung im Bereich zwischen  $±2$  (siehe Angabenblatt):
	:$$h(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \big[\hspace{0.05cm}2 \cdot \sqrt{ e} \hspace{0.05cm}\big ]		:$$h(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \big[\hspace{0.05cm}2 \cdot \sqrt{ e} \hspace{0.05cm}\big ]
	= 1.721 \,{\rm bit}$$		= 1.721 \,{\rm bit}$$
Zeile 118:		Zeile 121:
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(XY) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)		\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(XY) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Die Zufallsgröße $Y$ ist nun zwischen $0$ und $A$ gleichverteilt und die Zufallsgröße $Y$ ist zwischen $0$ und $B$ dreieckverteilt:		*Die Zufallsgröße  $Y$  ist nun zwischen  $0$  und  $A$  gleichverteilt und die Zufallsgröße  $X$  ist zwischen  $0$  und  $B$  dreieckverteilt:
	:$$h(X) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ e})		:$$h(X) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ e})
	\hspace{0.05cm},$$ $$		\hspace{0.05cm},$$ $$
	h(Y) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A)\hspace{0.05cm}.$$		h(Y) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A)\hspace{0.05cm}.$$
	Damit ergibt sich für die Transinformation zwischen $X$ und $Y$:		*Damit ergibt sich für die Transinformation zwischen  $X$  und  $Y$:
	:$$I(X;Y) \ = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ {\rm e}}) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) - {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)$$		:$$I(X;Y) \ = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (B \cdot \sqrt{ {\rm e}}) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) - {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A \cdot B)$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{B \cdot \sqrt{ {\rm e}} \cdot A}{A \cdot B} = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{ {\rm e}})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.721\,{\rm bit}}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{B \cdot \sqrt{ {\rm e}} \cdot A}{A \cdot B} = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{ {\rm e}})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.721\,{\rm bit}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png \|right\|frame\|Weitere Beispiele für $f_{XY}(x, y)$]]		[[Datei: P_ID2890__Inf_A_4_5d.png \|right\|frame\|Weitere Beispiele für  $f_{XY}(x, y)$]]
	$I(X;Y)$ somit unabhängig von den WDF–Parametern $A$ und $B$.		*$I(X;Y)$  somit unabhängig von den WDF–Parametern  $A$  und  $B$.



	'''(4)'''  <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> sind erforderlich. Allerdings sind nicht für jedes Parallelogramm die Forderungen 2 und 3 zu erfüllen. ~~Nebenstehende~~ Grafik zeigt zwei solche Konstellationen, wobei ~~nun~~ die Zufallsgröße $X$ jeweils gleichverteilt ~~ist~~ zwischen $0$ und $1$.		'''(4)'''  <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> sind erforderlich.
	* Bei der oberen Grafik liegen die ~~beiden~~ eingezeichneten Punkte auf einer Höhe   ⇒   $f_{Y}(y)$ ist dreieckverteilt   ⇒   $I(X;Y) = 0.721$ bit.		*Allerdings sind nicht für jedes Parallelogramm die Forderungen  '''(2)'''  und  '''(3)'''  zu erfüllen.  Die nebenstehende Grafik zeigt zwei solche Konstellationen, wobei die Zufallsgröße  $X$  jeweils gleichverteilt zwischen  $0$  und  $1$  ist.
	*Die untere Verbund–WDF besitzt eine andere Transinformation, da die beiden Punkte nicht auf gleicher Höhe liegen   ⇒   die WDF $f_{Y}(y)$ hat hier eine Trapezform.		* Bei der oberen Grafik liegen die eingezeichneten Punkte auf einer Höhe   ⇒   $f_{Y}(y)$  ist dreieckverteilt   ⇒   $I(X;Y) = 0.721$ bit.
	*Gefühlsmäßig tippe ich auf $I(X;Y) < 0.721$ bit, da sich das 2D–Gebiet eher einem Rechteck annähert. Wenn Sie noch Lust haben, so überprüfen Sie das bitte.		*Die untere Verbund–WDF besitzt eine andere Transinformation, da die beiden Punkte nicht auf gleicher Höhe liegen   <br>⇒   die WDF  $f_{Y}(y)$  hat hier eine Trapezform.
			*Gefühlsmäßig tippe ich auf  $I(X;Y) < 0.721$  bit, da sich das 2D–Gebiet eher einem Rechteck annähert.  Wenn Sie noch Lust haben, so überprüfen Sie das bitte.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 12. Februar 2020 um 15:17 Uhr

2020-02-12T15:17:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Februar 2020, 17:17 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID2886__Inf_A_4_5_neu.png\|right\|frame\|Vorgegebene Verbund-WDF]]		[[Datei:P_ID2886__Inf_A_4_5_neu.png\|right\|frame\|Vorgegebene Verbund-WDF]]
	Vorgegeben sind hier die drei unterschiedlichen 2D–Gebiete $f_{XY}(x, y)$, die in der Aufgabe nach ihren Füllfarben mit		Vorgegeben sind hier die drei unterschiedlichen 2D–Gebiete  $f_{XY}(x, y)$, die in der Aufgabe nach ihren Füllfarben mit
	* ''rote'' Verbund-WDF		* rote Verbund-WDF,
	* ''blaue'' Verbund-WDF		* blaue Verbund-WDF,  und
	* ''grüne'' Verbund-WDF		* grüne Verbund-WDF


	bezeichnet werden. ~~In den~~ dargestellten Gebieten gelte jeweils $f_{XY}(x, y) = C = \rm const.$		bezeichnet werden.  Innerhalb der dargestellten Gebieten gelte jeweils  $f_{XY}(x, y) = C = \rm const.$

	Die Transinformation zwischen den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen $X$ und $Y$ kann zum Beispiel wie folgt ~~berechnet werden~~:		Die Transinformation zwischen den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  kann man zum Beispiel wie folgt berechnen:
	:$$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY)\hspace{0.05cm}.$$		:$$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY)\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 23:		Zeile 23:
	\hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big[ f_{XY}(x, y) \big]		\hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big[ f_{XY}(x, y) \big]
	\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$
	Für die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen gilt dabei:		*Für die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen gilt dabei:
	:$$f_X(x) = \hspace{-0.5cm} \int\limits_{\hspace{-0.2cm}y \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{Y}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_{XY}(x, y)		:$$f_X(x) = \hspace{-0.5cm} \int\limits_{\hspace{-0.2cm}y \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{Y}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_{XY}(x, y)
	\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm},$$		\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm},$$
	:$$f_Y(y) = \hspace{-0.5cm} \int\limits_{\hspace{-0.2cm}x \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{X}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_{XY}(x, y)		:$$f_Y(y) = \hspace{-0.5cm} \int\limits_{\hspace{-0.2cm}x \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{X}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_{XY}(x, y)
	\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.05cm}.$$





Zeile 37:		Zeile 40:

	*Gegeben seien zudem folgende differentielle Entropien:		*Gegeben seien zudem folgende differentielle Entropien:
	:* Ist $X$ dreieckverteilt zwischen $x_{\rm min}$ und $x_{\rm max}$, so gilt:		:* Ist  $X$  dreieckverteilt zwischen  $x_{\rm min}$  und  $x_{\rm max}$, so gilt:
	::$$h(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} [\hspace{0.05cm}\sqrt{ e} \cdot (x_{\rm max} - x_{\rm min})/2\hspace{0.05cm}]\hspace{0.05cm}.$$		::$$h(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} [\hspace{0.05cm}\sqrt{ e} \cdot (x_{\rm max} - x_{\rm min})/2\hspace{0.05cm}]\hspace{0.05cm}.$$
	:* Ist $Y$ gleichverteilt zwischen $y_{\rm min}$ und $y_{\rm max}$, so gilt:		:* Ist  $Y$  gleichverteilt zwischen  $y_{\rm min}$  und  $y_{\rm max}$, so gilt:
	::$$h(Y) = {\rm log} \hspace{0.1cm} \big [\hspace{0.05cm}y_{\rm max} - y_{\rm min}\hspace{0.05cm}\big ]\hspace{0.05cm}.$$		::$$h(Y) = {\rm log} \hspace{0.1cm} \big [\hspace{0.05cm}y_{\rm max} - y_{\rm min}\hspace{0.05cm}\big ]\hspace{0.05cm}.$$
	*Alle Ergebnisse sollen in &bdquo;bit” angegeben werden. Dies erreicht man mit   $\log$  ⇒  $\log_2$.		*Alle Ergebnisse sollen in &bdquo;bit” angegeben werden.  Dies erreicht man mit   $\log$  ⇒  $\log_2$.


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>

	{Wie groß ist die Transinformation <u>der roten Verbund-WDF</u>?		{Wie groß ist die Transinformation  <u>der roten Verbund-WDF</u>?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$I(X; Y) \ = \ $ { 0. } $\ \rm bit$		$I(X; Y) \ = \ $ { 0. } $\ \rm bit$

	{Wie groß ist die Transinformation <u>der blauen Verbund-WDF</u>?		{Wie groß ist die Transinformation  <u>der blauen Verbund-WDF</u>?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$I(X; Y) \ = \ $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$		$I(X; Y) \ = \ $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$


	{Wie groß ist die Transinformation <u>der grünen Verbund-WDF</u>?		{Wie groß ist die Transinformation  <u>der grünen Verbund-WDF</u>?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$I(X; Y) \ = \ $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$		$I(X; Y) \ = \ $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$

	{Welche Voraussetzungen müssen die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ gleichzeitig erfüllen, damit allgemein  $I(X;Y) = 1/2 \cdot \log (\rm e)$  gilt:		{Welche Voraussetzungen müssen die Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  gleichzeitig erfüllen, damit allgemein  $I(X;Y) = 1/2 \cdot \log (\rm e)$  gilt:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Verbund-WDF  $f_{XY}(x, y)$  ergibt ein Parallelogramm.		+ Die Verbund-WDF  $f_{XY}(x, y)$  ergibt ein Parallelogramm.
	+ Eine der Zufallsgrößen $(X$ oder $Y)$ ist gleichverteilt.		+ Eine der Zufallsgrößen  $(X$  oder  $Y)$  ist gleichverteilt.
	+ Die andere Zufallsgröße $(X$ oder $Y)$ ist dreieckverteilt.		+ Die andere Zufallsgröße  $(Y$  oder  $X)$  ist dreieckverteilt.

Guenter am 18. Oktober 2018 um 08:03 Uhr

2018-10-18T08:03:47Z

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	'''(4)'''  <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> sind erforderlich. Allerdings sind nicht für jedes Parallelogramm die Forderungen 2 und 3 zu erfüllen. Nebenstehende Grafik zeigt zwei solche Konstellationen, wobei nun die Zufallsgröße ~~<i>~~X~~</i>~~ jeweils gleichverteilt ist zwischen 0 und 1.		'''(4)'''  <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> sind erforderlich. Allerdings sind nicht für jedes Parallelogramm die Forderungen 2 und 3 zu erfüllen. Nebenstehende Grafik zeigt zwei solche Konstellationen, wobei nun die Zufallsgröße $X$ jeweils gleichverteilt ist zwischen $0$ und $1$.
	* Bei der oberen Grafik liegen die beiden eingezeichneten Punkte auf einer Höhe  ⇒  ~~<i>f<sub>~~Y~~</sub></i>~~(~~<i>~~y~~</i>~~) ist dreieckverteilt  ⇒  ~~<i>~~I~~</i>~~(~~<i>~~X~~</i>~~; ~~<i>~~Y~~</i>~~) = 0.721 bit.		* Bei der oberen Grafik liegen die beiden eingezeichneten Punkte auf einer Höhe   ⇒   $f_{Y}(y)$ ist dreieckverteilt   ⇒   $I(X;Y) = 0.721$ bit.
	*Die untere Verbund–WDF besitzt eine andere Transinformation, da die beiden Punkte nicht auf gleicher Höhe liegen  ⇒  die WDF ~~<i>f<sub>~~Y~~</sub></i>~~(~~<i>~~y~~</i>~~) hat hier eine Trapezform.		*Die untere Verbund–WDF besitzt eine andere Transinformation, da die beiden Punkte nicht auf gleicher Höhe liegen   ⇒   die WDF $f_{Y}(y)$ hat hier eine Trapezform.
	*Gefühlsmäßig tippe ich auf ~~<i>~~I~~</i>~~(~~<i>~~X~~</i>;&nbsp~~;~~<i>~~Y~~</i>~~)~~ ~~<~~ ~~0.721 bit, da sich das 2D–Gebiet eher einem Rechteck annähert. Wenn Sie noch Lust haben, so überprüfen Sie das bitte.		*Gefühlsmäßig tippe ich auf $I(X;Y) < 0.721$ bit, da sich das 2D–Gebiet eher einem Rechteck annähert. Wenn Sie noch Lust haben, so überprüfen Sie das bitte.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}