Aufgaben:Aufgabe 4.5: Theorem der Irrelevanz - Versionsgeschichte

Guenter am 12. März 2019 um 13:47 Uhr

2019-03-12T13:47:45Z

Guenter am 12. März 2019 um 13:40 Uhr

2019-03-12T13:40:46Z

Guenter am 12. März 2019 um 13:37 Uhr

2019-03-12T13:37:33Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:53Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:33:18Z

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Guenter am 14. November 2017 um 11:07 Uhr

2017-11-14T11:07:09Z

Guenter am 14. November 2017 um 10:51 Uhr

2017-11-14T10:51:41Z

Guenter am 14. November 2017 um 10:34 Uhr

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Hussain am 6. November 2017 um 18:58 Uhr

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Hussain am 6. November 2017 um 18:49 Uhr

2017-11-06T18:49:17Z

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-'''(6)'''&nbsp; Setzt man $K_1 = 1$ und $\underline {K_2 = \, &ndash;1/2}$, so lautet die optimale Entscheidungsregel mit der Realisierung $\rho = \rho_1 \, &ndash; \rho_2/2$:
+'''(6)'''&nbsp; Setzt man $K_1 = 1$ und $\underline {K_2 = \, -0.5}$, so lautet die optimale Entscheidungsregel mit der Realisierung $\rho = \rho_1 \, &ndash; \rho_2/2$:
 :$$\mu =
 \left\{ \begin{array}{c} m_0 \\
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-'''(7)'''&nbsp; Mit $K_2 = \, &ndash;1/2$ erhält man für den Eingangswert des Entscheiders:
+'''(7)'''&nbsp; Mit $K_2 = \, -0.5$ erhält man für den Eingangswert des Entscheiders:
 :$$r = r_1 - r_2/2 = s + n_1 - (n_1 + n_2)/2 = s + n \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} n = \frac{n_1 - n_2}{2}\hspace{0.05cm}.$$

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 * Für die Fehlerwahrscheinlichkeit eines Systems&nbsp; $r = s + n$&nbsp; (wegen&nbsp; $N = 1$&nbsp; sind hier &nbsp;$s, n, r$&nbsp; Skalare) gilt
-:$$p_{\rm S} = {\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} )  = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2 E_s}/{N_0}}\right ) \hspace{0.05cm},$$
+::$$p_{\rm S} = {\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} )  = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2 E_s}/{N_0}}\right ) \hspace{0.05cm},$$
 :wobei ein binäres Nachrichtensignal&nbsp; $s &#8712; \{s_0, s_1\}$ mit
-:$$s_0 = \sqrt{E_s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}s_1 = -\sqrt{E_s}$$
+::$$s_0 = \sqrt{E_s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}s_1 = -\sqrt{E_s}$$
 :vorausgesetzt wird und die zweiseitige Rauschleistungsdichte der Größe &nbsp;$n$&nbsp; konstant gleich &nbsp;$\sigma^2 = N_0/2$&nbsp; ist.

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 [[Datei:P_ID2014__Dig_A_4_5.png|right|frame|Betrachtetes Optimalsystem mit Detektor und Entscheider]]
-Untersucht werden soll das durch die Grafik vorgegebene Kommunikationssystem. Die binäre Nachricht $m &#8712; \{m_0, m_1\}$ mit gleichen Auftrittswahrscheinlichkeiten
+Untersucht werden soll das durch die Grafik vorgegebene Kommunikationssystem. Die binäre Nachricht&nbsp; $m &#8712; \{m_0, m_1\}$&nbsp; mit gleichen Auftrittswahrscheinlichkeiten
 :$${\rm Pr} (m_0 ) = {\rm Pr} (m_1 ) = 0.5$$
@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 :$$s_0 = \sqrt{E_s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}s_1 = -\sqrt{E_s}$$
-dargestellt, wobei die Zuordnungen $m_0 &#8660; s_0$ und $m_1 &#8660; s_1$ eineindeutig sind. Der Detektor (im Bild grün hinterlegt) liefert zwei Entscheidungswerte
+dargestellt, wobei die Zuordnungen&nbsp; $m_0 &#8660; s_0$&nbsp; und&nbsp; $m_1 &#8660; s_1$&nbsp; eineindeutig sind.
 :$$r_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s + n_1\hspace{0.05cm},$$
 :$$r_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} n_1 + n_2\hspace{0.05cm},$$
-aus denen der Entscheider die Schätzwerte $\mu &#8712; \{m_0, m_1\}$ für die gesendete Nachricht $m$ bildet. Der Entscheider beinhaltet
+aus denen der Entscheider die Schätzwerte&nbsp; $\mu &#8712; \{m_0, m_1\}$&nbsp; für die gesendete Nachricht&nbsp; $m$&nbsp; bildet. Der Entscheider beinhaltet
-*zwei Gewichtungsfaktoren $K_1$ und $K_2$,
+*zwei Gewichtungsfaktoren&nbsp; $K_1$&nbsp; und&nbsp; $K_2$,
 *eine Summationsstelle, und
 *einen Schwellenwertentscheider mit der Schwelle bei $0$.
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 Betrachtet werden in dieser Aufgabe drei Auswertungen:
-* Entscheidung basierend auf $r_1$   ($K_1 &ne; 0, K_2 = 0$),
+* Entscheidung basierend auf&nbsp; $r_1$&nbsp;   ($K_1 &ne; 0, K_2 = 0$),
-* Entscheidung basierend auf $r_2$   ($K_1 = 0, K_2 &ne; 0$),
+* Entscheidung basierend auf&nbsp; $r_2$&nbsp;   ($K_1 = 0, K_2 &ne; 0$),
-* gemeinsame Auswertung von $r_1$ und $r_2$   ($K_1 &ne; 0, K_2 &ne; 0$).
+* gemeinsame Auswertung von&nbsp; $r_1$&nbsp; und&nbsp; $r_2$&nbsp;   $(K_1 &ne; 0, K_2 &ne; 0)$.
-Die zwei Rauschquellen $n_1$ und $n_2$ seien voneinander unabhängig und auch unabhängig vom Sendesignal $s &#8712; \{s_0, s_1\}$. $n_1$ und $n_2$ können jeweils durch AWGN&ndash;Rauschquellen (weiß, gaußverteilt, mittelwertfrei, Varianz $\sigma^2 = N_0/2$) modelliert werden. Verwenden Sie für numerische Berechnungen die Werte
+$n_1$&nbsp; und&nbsp; $n_2$&nbsp; können jeweils durch AWGN&ndash;Rauschquellen $($weiß, gaußverteilt, mittelwertfrei, Varianz&nbsp; $\sigma^2 = N_0/2)$&nbsp; modelliert werden. Verwenden Sie für numerische Berechnungen die Werte
 :$$E_s = 8 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}N_0 = 10^{-6}\,{\rm W/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
-Die [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] liefert folgende Ergebnisse:
+Die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]&nbsp; liefert folgende Ergebnisse:
 :$${\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{1.35cm}{\rm Q}(2^{0.5}) = 0.786 \cdot 10^{-1}\hspace{0.05cm},\hspace{1.1cm}{\rm Q}(2) = 0.227 \cdot 10^{-1}\hspace{0.05cm},$$
 :$${\rm Q}(2 \cdot 2^{0.5}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.234 \cdot 10^{-2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) = 0.317 \cdot 10^{-4}
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Q}(4 \cdot 2^{0.5}) = 0.771 \cdot 10^{-8}\hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers| Struktur des optimalen Empfängers]] dieses Buches.
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers| Struktur des optimalen Empfängers]]&nbsp; dieses Buches.
-* Insbesondere wird hier auf das [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Das_Theorem_der_Irrelevanz| Theorem der Irrelevanz]] Bezug genommen, daneben aber auch auf den [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Optimaler_Empf.C3.A4nger_f.C3.BCr_den_AWGN-Kanal|Optimalen Empfänger für den AWGN&ndash;Kanal]].
+* Insbesondere wird hier auf das&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Das_Theorem_der_Irrelevanz| Theorem der Irrelevanz]]&nbsp; Bezug genommen, daneben aber auch auf den&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Optimaler_Empf.C3.A4nger_f.C3.BCr_den_AWGN-Kanal|Optimalen Empfänger für den AWGN&ndash;Kanal]].
 * Weitere Informationen zu den für diese Aufgabe relevanten Themen finden Sie unter folgenden Links:
@@ Zeile 44: / Zeile 50: @@
 ** [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_der_Empfangswerte|Bedingte Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen]].
-* Für die Fehlerwahrscheinlichkeit eines Systems $r = s + n$ (wegen $N = 1$ sind hier $s, n, r$ Skalare) gilt
+* Für die Fehlerwahrscheinlichkeit eines Systems&nbsp; $r = s + n$&nbsp; (wegen&nbsp; $N = 1$&nbsp; sind hier &nbsp;$s, n, r$&nbsp; Skalare) gilt
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} )  = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2 E_s}/{N_0}}\right ) \hspace{0.05cm},$$
-wobei ein binäres Nachrichtensignal $s &#8712; \{s_0, s_1\}$ mit
+:wobei ein binäres Nachrichtensignal&nbsp; $s &#8712; \{s_0, s_1\}$ mit
 :$$s_0 = \sqrt{E_s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}s_1 = -\sqrt{E_s}$$
-vorausgesetzt wird und die zweiseitige Rauschleistungsdichte der Größe $n$ konstant gleich $\sigma^2 = N_0/2$ ist.
+:vorausgesetzt wird und die zweiseitige Rauschleistungsdichte der Größe &nbsp;$n$&nbsp; konstant gleich &nbsp;$\sigma^2 = N_0/2$&nbsp; ist.
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 + Beide Empfänger liefern hier das gleiche Ergebnis.
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $K_2 = 0$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit&nbsp; $K_2 = 0$?
 |type="{}"}
-${\rm Pr(Symbolfehler)}$ = { 0.00317 3% } $\ \%$
+${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $  { 0.00317 3% } $\ \%$
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $K_1 = 0$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit&nbsp; $K_1 = 0$?
 |type="{}"}
-${\rm Pr(Symbolfehler)}$ = { 50 3% } $\ \%$
+${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $ { 50 3% } $\ \%$
-{Kann durch die Verwendung von $r_1$ <b>und</b> $r_2$ eine Verbesserung erzielt werden?
+{Kann durch die Verwendung von&nbsp; $r_1$&nbsp; <b>und</b> &nbsp;$r_2$&nbsp; eine Verbesserung erzielt werden?
 |type="()"}
 + Ja.
 - Nein.
-{Welche Gleichungen gelten für den Schätzwert ($\mu$) bei AWGN&ndash;Rauschen?
+{Welche Gleichungen gelten für den Schätzwert &nbsp;$(\mu)$&nbsp; bei AWGN&ndash;Rauschen?
 |type="[]"}
-- $\mu = {\rm arg \ min} \, [(\rho_1 + \rho_2) \cdot s_i]$,
+- $\mu = {\rm arg \ min} \, \big[(\rho_1 + \rho_2) \cdot s_i \big]$,
-+ $\mu = {\rm arg \ min} \, [(\rho_2 \, - 2 \rho_1) \cdot s_i]$,
++ $\mu = {\rm arg \ min} \, \big[(\rho_2 \, - 2 \rho_1) \cdot s_i \big]$,
-+ $\mu = {\rm arg \ max} \, [(\rho_1 - \rho_2/2) \cdot s_i]$.
++ $\mu = {\rm arg \ max} \, \big[(\rho_1 - \rho_2/2) \cdot s_i \big]$.
-{Wie kann diese Regel mit dem vorgegebenen Entscheider (Schwelle bei $0$) exakt umgesetzt werden? Es gelte $K_1 = 1$.
+{Wie kann diese Regel mit dem vorgegebenen Entscheider (Schwelle bei Null) exakt umgesetzt werden? Es gelte &nbsp;$K_1 = 1$.
 |type="{}"}
 $K_2 \ = \ $ { -0.515--0.485 }
-{Welche (minimale) Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit der Realisierung entsprechend der Teilaufgabe (6)?
+{Welche (minimale) Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit der Realisierung entsprechend der Teilaufgabe '''(6)'''?
 |type="{}"}
-${\rm Minimum \ [Pr(Symbolfehler)]} \ = \ $ { 0.771 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;8}$
+${\rm Minimum \ \big[Pr(Symbolfehler)\big]} \ = \ $ { 0.771 3% } $\ \cdot 10^{\rm -8}$
 </quiz>

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 * Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers| Struktur des optimalen Empfängers]] dieses Buches.
 * Insbesondere wird hier auf das [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Das_Theorem_der_Irrelevanz| Theorem der Irrelevanz]] Bezug genommen, daneben aber auch auf den [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Optimaler_Empf.C3.A4nger_f.C3.BCr_den_AWGN-Kanal|Optimalen Empfänger für den AWGN&ndash;Kanal]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 * Weitere Informationen zu den für diese Aufgabe relevanten Themen finden Sie unter folgenden Links:
 ** [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Fundamentaler_Ansatz_zum_optimalen_Empf.C3.A4ngerentwurf|Entscheidungsregeln für MAP&ndash; und ML&ndash;Empfänger]],

@@ Zeile 91: / Zeile 91: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>letzte Lösungsalternative</u>. Im Allgemeinen führt der MAP&ndash;Empfänger zu einer kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit. Sind aber die Auftrittswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m = m_0) = {\rm Pr}(m = m_1) = 0.5$ gleich, so liefern beide Empfänger das gleiche Ergebnis.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>letzte Lösungsalternative</u>:
 '''(2)'''&nbsp; Mit $K_2 = 0$ und $K_1 = 1$ ergibt sich
 :$$r = r_1 = s + n_1\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 102: / Zeile 104: @@
 Mit $E_s = 8 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$ und $N_0 = 10^{\rm &ndash;6} \ \rm W/Hz$ erhält man weiter:
-:$$p_{\rm S}  = {\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 8 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}{10^{-6}\,{\rm W/Hz} }}\right ) = {\rm Q}  (4)  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$p_{\rm S}  = {\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 8 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}{10^{-6}\,{\rm W/Hz} }}\right ) = {\rm Q}  (4)  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.00317 \%}\hspace{0.05cm}.$$
 Dieses Ergebnis ist unabhängig von $K_1$, da durch eine Verstärkung oder Dämpfung die Nutzleistung in gleicher Weise verändert wird wie die Rauschleistung.
@@ Zeile 111: / Zeile 113: @@
 Diese beinhaltet keine Informationen über das Nutzsignal, sondern nur Rauschen, und es gilt unabhängig von $K_2$:
-:$$p_{\rm S}  = {\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) =  {\rm Q}  (0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$p_{\rm S}  = {\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) =  {\rm Q}  (0) \hspace{0.15cm}\underline {= 50\%} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Die Entscheidungsregel des optimalen Empfängers (egal, ob als MAP oder als ML realisiert) lautet wegen ${\rm Pr}(m = m_0) = {\rm Pr}(m = m_1)$:
-:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [  p_{m \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}r_1, \hspace{0.05cm}r_2  } \hspace{0.05cm} (m_i \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\rho_1, \hspace{0.05cm}\rho_2  ) ] = $$
+:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [  p_{m \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}r_1, \hspace{0.05cm}r_2  } \hspace{0.05cm} (m_i \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\rho_1, \hspace{0.05cm}\rho_2  ) ] =  {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [  p_{r_1, \hspace{0.05cm}r_2  \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m} \hspace{0.05cm} ( \rho_1, \hspace{0.05cm}\rho_2 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \cdot  {\rm Pr} (m = m_i)] = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [  p_{r_1, \hspace{0.05cm}r_2  \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} s} \hspace{0.05cm} ( \rho_1, \hspace{0.05cm}\rho_2 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} s_i ) ]
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 127: / Zeile 127: @@
-'''(5)'''&nbsp; Bei AWGN&ndash;Rauschen mit der Varianz $\sigma^2$ ergeben sich für die beiden in der letzten Teilaufgabe eingeführten Verbunddichten und deren Produkt $P$:
+'''(5)'''&nbsp; Bei AWGN&ndash;Rauschen mit der Varianz $\sigma^2$ ergeben sich für die beiden in (4) eingeführten Verbunddichten und deren Produkt $P$:
-:$$p_{r_1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} s}(\rho_1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s_i) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma}\cdot {\rm exp} \left [ - \frac{(\rho_1 - s_i)^2}{2 \sigma^2}\right ]\hspace{0.05cm},$$
+:$$p_{r_1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} s}(\rho_1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s_i) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma}\cdot {\rm exp} \left [ - \frac{(\rho_1 - s_i)^2}{2 \sigma^2}\right ]\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}
-:$$ p_{r_2\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}r_1,\hspace{0.05cm} s}(\rho_2\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\rho_1, \hspace{0.05cm}s_i) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma}\cdot {\rm exp} \left [ - \frac{(\rho_2 - (\rho_1 - s_i))^2}{2 \sigma^2}\right ]\hspace{0.05cm}$$
+p_{r_2\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}r_1,\hspace{0.05cm} s}(\rho_2\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\rho_1, \hspace{0.05cm}s_i) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma}\cdot {\rm exp} \left [ - \frac{(\rho_2 - (\rho_1 - s_i))^2}{2 \sigma^2}\right ]\hspace{0.05cm}$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 P \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{{2\pi} \cdot \sigma^2}\cdot {\rm exp} \left [ - \frac{1}{2 \sigma^2} \cdot \left \{ (\rho_1 - s_i)^2
@@ Zeile 136: / Zeile 136: @@
 Gesucht wird dasjenige Argument, das dieses Produkt $P$ maximiert, was gleichzeitig bedeutet, dass der Ausdruck in den geschweiften Klammern den kleinstmöglichen Wert annehmen soll:
 :$$\mu = \hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}{\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} P  = {\rm arg} \min _i \hspace{0.1cm} \left \{ (\rho_1 - s_i)^2
-+ (\rho_2 - (\rho_1 - s_i))^2\right \}= $$
++ (\rho_2 - (\rho_1 - s_i))^2\right \} $$
-:$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}{\rm arg} \min _i \hspace{0.1cm}\left \{ \rho_1^2 - 2\rho_1 s_i + s_i^2
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = \hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}{\rm arg} \min _i \hspace{0.1cm}\left \{ \rho_1^2 - 2\rho_1 s_i + s_i^2
 + \rho_2^2 - 2\rho_1 \rho_2 + 2\rho_2 s_i+ \rho_1^2 - 2\rho_1 s_i + s_i^2\right \}
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 152: / Zeile 152: @@
-'''(6)'''&nbsp; Setzt man die Konstanten $K_1 = 1$ und $\underline {K_2 = \, &ndash;1/2}$, so lautet die optimale Entscheidungsregel mit der Realisierung $\rho = \rho_1 \, &ndash; \rho_2/2$:
+'''(6)'''&nbsp; Setzt man $K_1 = 1$ und $\underline {K_2 = \, &ndash;1/2}$, so lautet die optimale Entscheidungsregel mit der Realisierung $\rho = \rho_1 \, &ndash; \rho_2/2$:
 :$$\mu =
 \left\{ \begin{array}{c} m_0 \\
@@ Zeile 174: / Zeile 174: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Durch Berücksichtigung von $r_2$ lässt sich also die Fehlerwahrscheinlichkeit von $0.317 \cdot 10^{\rm &ndash;4}$ auf den deutlich kleineren Wert $0.771 \cdot 10^8$ absenken, obwohl die Entscheidungskomponente $r_2$ nur Rauschen beinhaltet. Dieses Rauschen $r_2$ erlaubt aber eine Schätzung der Rauschkomponente $n_1$ von $r_1$.
+*Durch Berücksichtigung von $r_2$ lässt sich also die Fehlerwahrscheinlichkeit von $0.317 \cdot 10^{\rm &ndash;4}$ auf den deutlich kleineren Wert $0.771 \cdot 10^{-8}$ absenken, obwohl die Entscheidungskomponente $r_2$ nur Rauschen beinhaltet. Dieses Rauschen $r_2$ erlaubt aber eine Schätzung der Rauschkomponente $n_1$ von $r_1$.
-Halbiert man die Sendeenergie von $8 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$ auf $4 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$, so ergibt sich hier immer noch die Fehlerwahrscheinlichkeit $0.317 \cdot 10^{\rm &ndash;4}$, wie in der Teilaufgabe (2) berechnet. Bei alleiniger Auswertung von $r_1$ würde die Fehlerwahrscheinlichkeit dagegen $0.234 \cdot 10^{\rm &ndash;2}$ betragen.
+*Halbiert man die Sendeenergie von $8 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$ auf $4 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$, so ergibt sich hier immer noch die Fehlerwahrscheinlichkeit $0.317 \cdot 10^{\rm &ndash;4}$, wie in der Teilaufgabe (2) berechnet. Bei alleiniger Auswertung von $r_1$ würde die Fehlerwahrscheinlichkeit dagegen $0.234 \cdot 10^{\rm &ndash;2}$ betragen.
 {{ML-Fuß}}