Aufgaben:Aufgabe 4.5: Nochmals zu den extrinsischen L–Werten - Versionsgeschichte

Guenter am 5. Juli 2019 um 13:37 Uhr

2019-07-05T13:37:51Z

Guenter am 5. Juli 2019 um 13:24 Uhr

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Guenter am 5. Juli 2019 um 13:23 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 29. Januar 2018 um 16:45 Uhr

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Guenter am 29. Januar 2018 um 16:31 Uhr

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2018-01-29T15:41:11Z

Guenter verschob die Seite Aufgabe 4.5: Verschiedene LE(i)–Ansätze nach Aufgabe 4.5: Nochmals zu den extrinsischen L–Werten

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID3027__KC_A_4_5a_v2.png|right|frame|$\underline{L}(+1.0, +0.4, –1.0)$–Ergebnistabelle]]
+[[Datei:P_ID3027__KC_A_4_5a_v2.png|right|frame|Ergebnisse für&nbsp; $\underline{L}=(+1.0, +0.4, –1.0)$]]
 '''(1)'''&nbsp; Entsprechend dem zweiten $L_{\rm E}(i)$&ndash;Ansatz gilt:
 :$${\rm sign} [L_{\rm E}(1)] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm sign} [L_{\rm E}(2)] \cdot {\rm sign} [L_{\rm E}(3)] = -1 \hspace{0.05cm},$$
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 \Rightarrow \hspace{0.3cm}L_{\rm E}(1) \hspace{0.15cm} \underline{-0.4}\hspace{0.05cm}.$$
-In gleicher Weise erhält man:
+*In gleicher Weise erhält man:
 :$$L_{\rm E}(2) \hspace{0.15cm} \underline{-1.0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
 L_{\rm E}(3) \hspace{0.15cm} \underline{+0.4}\hspace{0.05cm}.$$
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-  [[Datei:P_ID3030__KC_A_4_5d_v2.png|right|frame|$\underline{L}(+0.6, +1.0, –0.4)$–Ergebnistabelle]]
+  [[Datei:P_ID3030__KC_A_4_5d_v2.png|right|frame|Ergebnisse für&nbsp; $\underline{L}=(+0.6, +1.0, –0.4)$]]
 '''(4)'''&nbsp; Wie aus nebenstehender Tabelle hervorgeht, sind <u>die Antworten 1 und 3</u> richtig:
 *Die Entscheidung fällt also für das Codewort $\underline{x}_0 = (+1, +1, +1)$.
 *Ab $I = 1$ wäre dies auch die Entscheidung von <i>Hard Decision</i>.
 <br clear=all>
-[[Datei:P_ID3028__KC_A_4_5e_v2.png|right|frame|$\underline{L}(+0.6, +1.0, –0.8)$–Ergebnistabelle]]
+[[Datei:P_ID3028__KC_A_4_5e_v2.png|right|frame|Ergebnisse für&nbsp; $\underline{L}=(+0.6, +1.0, –0.8)$]]
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 2 und 3</u>:
-*Wegen $|L(3)| > |L(1)|$ gilt bereits ab $I = 1$:
+*Wegen $|L(3)| > |L(1)|$ gilt bereits ab $I = 1$: &nbsp; $L_1 < 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
   L_2 > 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
-L_3 < 0 \hspace{0.05cm}.$$
+L_3 < 0 \hspace{0.05cm}.$
 *Ab dieser Iterationsschleife liefert <i>Hard Decision</i> das Codewort $\underline{x}_2 = (-1, +1, -1)$.
 <br clear=all>
-  [[Datei: P_ID3029__KC_A_4_5f_v1.png|right|frame|$\underline{L}(+0.6, +1.0, –0.6)$–Ergebnistabelle]]
+  [[Datei: P_ID3029__KC_A_4_5f_v1.png|right|frame|Ergebnisse für&nbsp; $\underline{L}=(+0.6, +1.0, –0.6)$]]
 '''(6)'''&nbsp; Richtig sind der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
 *Die nebenstehende Tabelle zeigt, dass unter der Voraussetzung $|L(1)| = |L(3)|$ ab der Iterationsschleife $I = 1$ alle extrinsischen $L$&ndash;Werte Null  sind.

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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder|Soft&ndash;in Soft&ndash;Out Decoder]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder|Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Zur Berechnung der extrinsischen L&ndash;Werte]].
 * Behandelt wird hier ausschließlich der&nbsp; '''zweite Lösungsansatz'''.

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 * Behandelt wird hier ausschließlich der '''zweite Lösungsansatz'''.
 * Zum ersten Lösungsansatz verweisen wir auf die [[Aufgaben:Aufgabe_4.5Z:_Tangens_Hyperbolikus_und_Inverse|Aufgabe 4.5Z]] .
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Entsprechend dem zweiten $L_{\rm E}(i)$&ndash;Ansatz gilt:
 :$${\rm sign} [L_{\rm E}(1)] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm sign} [L_{\rm E}(2)] \cdot {\rm sign} [L_{\rm E}(3)] = -1 \hspace{0.05cm},$$
-:$$|L_{\rm E}(1)| \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Min} \left ( |L_{\rm E}(2)|\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}|L_{\rm E}(3)| \right )  = {\rm Min} \left ( 0.4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}1.0 \right ) = 0.4$$
+:$$|L_{\rm E}(1)| \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Min} \left ( |L_{\rm E}(2)|\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}|L_{\rm E}(3)| \right )  = {\rm Min} \left ( 0.4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}1.0 \right ) = 0.4\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}L_{\rm E}(1) \hspace{0.15cm} \underline{-0.4}\hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}L_{\rm E}(1) \hspace{0.15cm} \underline{-0.4}\hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID3027__KC_A_4_5a_v2.png|right|frame|$\underline{L}(+1.0, +0.4, –1.0)$–Ergebnistabelle]] In gleicher Weise erhält man:
+In gleicher Weise erhält man:
 :$$L_{\rm E}(2) \hspace{0.15cm} \underline{-1.0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
 L_{\rm E}(3) \hspace{0.15cm} \underline{+0.4}\hspace{0.05cm}.$$
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-'''(3)'''&nbsp; Wie aus obiger Tabelle hervorgeht, sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> richtig im Gegensatz zur Antwort 3: Mit jeder neuen Iteration werden die Beträge von $L(1), \ L(2)$ und $L(3)$ signifikant größer.
+'''(3)'''&nbsp; Wie aus obiger Tabelle hervorgeht, sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> richtig im Gegensatz zur Antwort 3:
-'''(4)'''&nbsp; [[Datei:P_ID3030__KC_A_4_5d_v2.png|right|frame|$\underline{L}(+0.6, +1.0, –0.4)$–Ergebnistabelle]] Wie aus nebenstehender Tabelle hervorgeht, sind <u>die Antworten 1 und 3</u> richtig. Die Entscheidung fällt also für das Codewort $\underline{x}_0 = (+1, +1, +1)$. Ab $I = 1$ wäre dies auch die Entscheidung von <i>Hard Decision</i>.
+ [[Datei:P_ID3030__KC_A_4_5d_v2.png|right|frame|$\underline{L}(+0.6, +1.0, –0.4)$–Ergebnistabelle]]
+'''(4)'''&nbsp; Wie aus nebenstehender Tabelle hervorgeht, sind <u>die Antworten 1 und 3</u> richtig:
+*Die Entscheidung fällt also für das Codewort $\underline{x}_0 = (+1, +1, +1)$.
-[[Datei:P_ID3028__KC_A_4_5e_v2.png|left|frame|$\underline{L}(+0.6, +1.0, –0.8)$–Ergebnistabelle]]
+*Ab $I = 1$ wäre dies auch die Entscheidung von <i>Hard Decision</i>.
-'''(5)'''&nbsp; Wegen $|L(3)| > |L(1)|$ gilt bereits ab $I = 1$:
+<br clear=all>
 :$$L_1 < 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
   L_2 > 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 L_3 < 0 \hspace{0.05cm}.$$
+*Ab dieser Iterationsschleife liefert <i>Hard Decision</i> das Codewort $\underline{x}_2 = (-1, +1, -1)$.
-Ab dieser Iterationsschleife liefert <i>Hard Decision</i> das Codewort $\underline{x}_2 = (-1, +1, -1)$. Richtig sind somit die <u>Antworten 2 und 3</u>.
+<br clear=all>
+ [[Datei: P_ID3029__KC_A_4_5f_v1.png|right|frame|$\underline{L}(+0.6, +1.0, –0.6)$–Ergebnistabelle]]
+'''(6)'''&nbsp; Richtig sind der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-'''(6)'''&nbsp; [[Datei: P_ID3029__KC_A_4_5f_v1.png|right|frame|$\underline{L}(+0.6, +1.0, –0.6)$–Ergebnistabelle]] Die nebenstehende Tabelle zeigt, dass unter der Voraussetzung $|L(1)| = |L(3)|$ ab der Iterationsschleife $I = 1$ alle extrinsischen $L$&ndash;Werte $0$ sind. Damit bleiben die Aposteriori&ndash;$L$&ndash;Werte auch für $I > 1$ konstant gleich $\underline{L} = (0., +0.4, 0.)$, was keinem Codewort zugeordnet werden kann &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
+*Die nebenstehende Tabelle zeigt, dass unter der Voraussetzung $|L(1)| = |L(3)|$ ab der Iterationsschleife $I = 1$ alle extrinsischen $L$&ndash;Werte Null  sind.
 {{ML-Fuß}}

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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Es gelte $\underline{L} = (+1.0, +0.4, -1.0)$. Ermitteln Sie die extrinsischen $L$&ndash;Werte nach dem zweiten $L_{\rm E}(i)$&ndash;Ansatz ohne vorherige Iteration.
+{Es gelte $\underline{L} = (+1.0, +0.4, -1.0)$. Ermitteln Sie die extrinsischen $L$&ndash;Werte nach dem zweiten $L_{\rm E}(i)$&ndash;Ansatz ohne vorherige Iteration $\underline{(I = 0)}$.
 |type="{}"}
-$I = 0 \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm E}(1) \ = \ ${ -0.412--0.388 }
+$L_{\rm E}(1) \ = \ ${ -0.412--0.388 }
-$\hspace{1.35cm} L_{\rm E}(2) \ = \ ${ -1.03--0.97 }
+$L_{\rm E}(2) \ = \ ${ -1.03--0.97 }
-$\hspace{1.35cm} L_{\rm E}(3) \ = \ ${ 0.4 3% }
+$L_{\rm E}(3) \ = \ ${ 0.4 3% }
-{Wie lauten die Aposteriori&ndash;$L$&ndash;Werte für die erste Iteration?
+{Wie lauten die Aposteriori&ndash;$L$&ndash;Werte für die erste Iteration $\underline{(I = 1)}$?
 |type="{}"}
-$I = 1 \text{:} \hspace{0.2cm} L_(1) \ = \ ${ 0.6 3% }
+$L_(1) \ = \ ${ 0.6 3% }
-$\hspace{1.35cm} L_(2) \ = \ ${ -0.618--0.582 }
+$L_(2) \ = \ ${ -0.618--0.582 }
-$\hspace{1.35cm} L_(3) \ = \ ${ -0.618--0.582 }
+$L_(3) \ = \ ${ -0.618--0.582 }
 {Welcher der folgenden Aussagen gelten für $\underline{L} = (+1.0, +0.4, -1.0)$?
 |type="[]"}
-+ <i>Hard Decision</i> bei $I = 1$ führt zum Codewort $\underline{x}_1 = (+1, -1, -1)$.
++ <i>Hard Decision</i> nach $I = 1$ führt zum Codewort $\underline{x}_1 = (+1, -1, -1)$.
 + Daran ändert sich auch nach weiteren Iterationen nichts.
 - Weitere Iterationen erhöhen die Zuverlässigkeit für $\underline{x}_1$ nicht.

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 L_3 = -1.0\hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Die extrinsischen $L$&ndash;Werte für die nullte Iteration ergeben sich zu $L_{\rm E}(1) = -0.1829, \ L_{\rm E}(2) = -0.4337$ und $L_{\rm E}(3) = +0.1829$. Diese Werte werden in der [[Aufgaben:Aufgabe_4.5Z:_Tangens_Hyperbolikus_und_Inverse|Aufgabe Z4.5Z]] berechnet.
+'''(2)'''&nbsp; Die extrinsischen $L$&ndash;Werte für die nullte Iteration ergeben sich zu $L_{\rm E}(1) = -0.1829, \ L_{\rm E}(2) = -0.4337$ und $L_{\rm E}(3) = +0.1829$. Diese Werte werden in der [[Aufgaben:Aufgabe_4.5Z:_Tangens_Hyperbolikus_und_Inverse|Aufgabe 4.5Z]] berechnet.
 '''(3)'''&nbsp; Die Aposteriori&ndash;Werte zu Beginn der ersten Iteration sind damit
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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Zur Berechnung der extrinsischen L&ndash;Werte]].
 * Behandelt wird hier ausschließlich der '''zweite Lösungsansatz'''.
-* Zum ersten Lösungsansatz verweisen wir auf [[Aufgaben:Aufgabe_4.5Z_Tangens_Hyperbolikus_und_Inverse|Aufgabe 4.5Z]].
+* Zum ersten Lösungsansatz verweisen wir auf die [[Aufgaben:Aufgabe_4.5Z:_Tangens_Hyperbolikus_und_Inverse|Aufgabe 4.5Z]] .
 * Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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 [[Datei:P_ID3026__KC_A_4_5_v2.png|right|frame|Ergebnistabelle nach dem ersten $L_{\rm E}(i)$–Ansatz]]
-Wir gehen wie im [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Theorieteil]] vom <i>Single Parity&ndash;check Code</i> &nbsp;$\rm SPC \, (3, \, 2, \, 2)$ aus. Die möglichen Codeworte sind:
+Wir gehen wie im [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Theorieteil]] vom <i>Single Parity&ndash;check Code</i> &nbsp; $\rm SPC \, (3, \, 2, \, 2)$ aus. Die möglichen Codeworte sind $\underline{x} \hspace{-0.01cm}\in \hspace{-0.01cm}
 \{ \underline{x}_0,\hspace{0.05cm}
 \underline{x}_1,\hspace{0.05cm}
 \underline{x}_2,\hspace{0.05cm}
-\underline{x}_3\}\hspace{0.15cm}{\rm mit}$$
+\underline{x}_3\}$ mit
 :$$\underline{x}_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (0\hspace{-0.03cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{-0.03cm},\hspace{0.05cm}0)\hspace{0.35cm}{\rm bzw. } \hspace{0.35cm}
 \underline{x}_0 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} (+1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm}+1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm}+1)\hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 19: / Zeile 18: @@
 In der Aufgabe verwenden wir meist die zweite (bipolare) Darstellung der Codesymbole: $x_i &#8712; \{+1, -1\}$.
-Es ist nicht so, dass der $\rm SPC \, (3, \, 2, \, 2)$ von großem praktischen Interesse wäre, da zum Beispiel bei <i>Hard Decision</i> wegen $d_{\rm min} = 2$ nur ein Fehler erkannt und kein einziger korrigiert werden kann. Der Code ist aber wegen des überschaubaren Aufwands für Übungs&ndash; und Demonstrationszwecke gut geeignet.
+*Es ist nicht so, dass der $\rm SPC \, (3, \, 2, \, 2)$ von großem praktischen Interesse wäre, da zum Beispiel bei <i>Hard Decision</i> wegen $d_{\rm min} = 2$ nur ein Fehler erkannt und kein einziger korrigiert werden kann. Der Code ist aber wegen des überschaubaren Aufwands für Übungs&ndash; und Demonstrationszwecke gut geeignet.
-Mit <span style="color: rgb(204, 0, 0);"><b> iterativer symbolweiser Decodierung</b></span> kann man auch einen Fehler korrigieren. Beim vorliegenden Code müssen die extrinsischen $L$&ndash;Werte $\underline{L}_{\rm E} = L_{\rm E}(1), \ L_{\rm E}(2), \ L_{\rm E}(3)$ entsprechend der Gleichung
+:Hierbei bezeichnet $\underline{x}^{(-1)}$ alle Symbole mit Ausnahme von $x_i$ und ist somit ein Vektor der Länge $n - 1 = 2$.
-Als den <span style="color: rgb(204, 0, 0);"><b>ersten $L_{\rm E}(i)$&ndash;Ansatz </b></span> bezeichnen wir die Vorgehensweise entsprechend
+Als den '''ersten $L_{\rm E}(i)$&ndash;Ansatz''' bezeichnen wir die Vorgehensweise entsprechend den Gleichungen
 :$$L_{\rm E}(1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \left [{\rm tanh}(L_2/2) \cdot {\rm tanh}(L_3/2) \right ] \hspace{0.05cm},$$
 :$$L_{\rm E}(2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \left [{\rm tanh}(L_1/2) \cdot {\rm tanh}(L_3/2) \right ] \hspace{0.05cm},$$
 :$$L_{\rm E}(3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \left [{\rm tanh}(L_1/2) \cdot {\rm tanh}(L_2/2) \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-Dieser erste $L_{\rm E}(i)$&ndash;Ansatz liegt der obigen Ergebnistabelle (rote Einträge) zugrunde, wobei von folgenden Aposteriori&ndash;$L$&ndash;Werten ausgegangen wird:
+'''(1)'''&nbsp; Dieser $L_{\rm E}(i)$&ndash;Ansatz liegt der obigen Ergebnistabelle (rote Einträge) zugrunde, wobei von folgenden Aposteriori&ndash;$L$&ndash;Werten ausgegangen wird:
 :$$\underline {L}_{\rm APP} = (+1.0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}+0.4\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}-1.0)  \hspace{0.5cm}{\rm kurz\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.25cm}
 L_1 = +1.0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}
@@ Zeile 37: / Zeile 36: @@
 L_3 = -1.0\hspace{0.05cm}.$$
-Die extrinsischen $L$&ndash;Werte für die nullte Iteration ergeben sich zu $L_{\rm E}(1) = -0.1829, \ L_{\rm E}(2) = -0.4337$ und $L_{\rm E}(3) = +0.1829$. Diese Werte werden in der [[Aufgaben:4.5Z_Tangens_Hyperbolikus_und_Inverse|Aufgabe Z4.5]] berechnet &nbsp;&#8658;&nbsp; siehe [[Aufgaben:4.5Z_Tangens_Hyperbolikus_und_Inverse|Musterlösung]].
+'''(2)'''&nbsp; Die extrinsischen $L$&ndash;Werte für die nullte Iteration ergeben sich zu $L_{\rm E}(1) = -0.1829, \ L_{\rm E}(2) = -0.4337$ und $L_{\rm E}(3) = +0.1829$. Diese Werte werden in der [[Aufgaben:Aufgabe_4.5Z:_Tangens_Hyperbolikus_und_Inverse|Aufgabe Z4.5Z]] berechnet.
-Die Aposteriori&ndash;Werte zu Beginn der ersten Iteration sind damit
+'''(3)'''&nbsp; Die Aposteriori&ndash;Werte zu Beginn der ersten Iteration sind damit
 :$$\underline{L}^{(I=1)} = \underline{L}^{(I=0)}  + \underline{L}_{\hspace{0.02cm}\rm E}^{(I=0)}  =
 (+0.8171\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}-0.0337\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}-0.8171)
 \hspace{0.05cm} .  $$
-Daraus ergeben sich die neuen extrinsischen Werte für die Iterationsschleife $I = 1$ wie folgt:
+'''(4)'''&nbsp; Daraus ergeben sich die neuen extrinsischen Werte für die Iterationsschleife $I = 1$ wie folgt:
 :$$L_{\rm E}(1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \left [{\rm tanh}(-0.0337/2) \cdot {\rm tanh}(-0.8171/2) \right ] = 0.0130 = -L_{\rm E}(3)\hspace{0.05cm},$$
 :$$L_{\rm E}(2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \left [{\rm tanh}(+0.8171/2) \cdot {\rm tanh}(-0.8171/2) \right ]  = - 0.3023\hspace{0.05cm}.$$
 Weiter erkennt man aus der oberen Tabelle:
-* Eine harte Entscheidung entsprechend den Vorzeichen vor der ersten Iteration &nbsp;&#8658;&nbsp; $I = 0$ scheitert, da $(+1, +1, -1)$ kein gültiges SPC (3, 2, 2)&ndash;Codewort ist.
+* Eine harte Entscheidung entsprechend den Vorzeichen vor der ersten Iteration &nbsp; &#8658; &nbsp; Iteration $I = 0$ scheitert, da $(+1, +1, -1)$ kein gültiges $\rm SPC \, (3, \, 2, \, 2)$&ndash;Codewort ist.
-* Schon nach $I = 1$ Iterationen liefert eine harte Entscheidung ein gültiges Codewort, nämlich $\underline{x}_2 = (+1, -1, -1)$. Auch in späteren Grafiken sind erstmals richtige HD&ndash;Entscheidungen blau hinterlegt.
+* Schon nach $I = 1$ Iterationen liefert eine harte Entscheidung ein gültiges Codewort, nämlich $\underline{x}_2 = (+1, -1, -1)$. Auch in späteren Grafiken sind die Zeilen erstmals richtige HD&ndash;Entscheidungen blau hinterlegt.
 * Harte Entscheidungen nach weiteren Iterationen $(I &#8805; 2)$ führen jeweils zum gleichen Codewort $\underline{x}_2$. Diese Aussage gilt nicht nur für dieses Beispiel, sondern ganz allgemein.
-Daneben betrachten wir hier einen <span style="color: rgb(204, 0, 0);"><b>zweiten $L_{\rm E}(i)$&ndash;Ansatz</b></span>, der hier am Beispiel für das erste Symbol $(i = 1)$ angegeben wird:
+Daneben betrachten wir in dieser Aufgabe einen '''zweiten $L_{\rm E}(i)$&ndash;Ansatz''', der hier am Beispiel für das erste Symbol $(i = 1)$ angegeben wird:
-:$${\rm sign} [L_{\rm E}(1)] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm sign} [L_{\rm E}(2)] \cdot {\rm sign} [L_{\rm E}(3)]\hspace{0.05cm},$$
+:$${\rm sign} [L_{\rm E}(1)] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm sign} [L_{\rm E}(2)] \cdot {\rm sign} [L_{\rm E}(3)]\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}
-:$$|L_{\rm E}(1)| \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Min} \left ( |L_{\rm E}(2)|\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}|L_{\rm E}(3)| \right )  \hspace{0.05cm}.$$
+|L_{\rm E}(1)| \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Min} \left ( |L_{\rm E}(2)|\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}|L_{\rm E}(3)| \right )  \hspace{0.05cm}.$$
-Dieser Ansatz basiert auf der Annahme, dass die Zuverlässigkeit von $L_{\rm E}(i)$ im wesentlichen durch das unzuverlässige Nachbarsymbol bestimmt wird. Das bessere (größere) Eingangs&ndash;LLR wird dabei völlig außer Acht gelassen. &ndash; Betrachten wir hierzu zwei Beispiele:
+Dieser zweite Ansatz basiert auf der Annahme, dass die Zuverlässigkeit von $L_{\rm E}(i)$ im wesentlichen durch das unzuverlässige Nachbarsymbol bestimmt wird. Das bessere (größere) Eingangs&ndash;LLR wird dabei völlig außer Acht gelassen. &ndash; Betrachten wir hierzu zwei Beispiele:
-Für $L_2 = 1.0$ und $L_3 = 5.0$ ergibt sich beispielsweise
+'''(1)'''&nbsp; Für $L_2 = 1.0$ und $L_3 = 5.0$ ergibt sich beispielsweise
-* nach dem ersten Ansatz:
+* nach dem ersten Ansatz: &nbsp; $L_{\rm E}(1) =2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \left [{\rm tanh}(0.5) \cdot {\rm tanh}(2.5) \right ]  =2 \cdot {\rm tanh}^{-1}(0.4559) = 0.984\hspace{0.05cm},$
-:$$L_{\rm E}(1) =2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \left [{\rm tanh}(0.5) \cdot {\rm tanh}(2.5) \right ]  =2 \cdot {\rm tanh}^{-1}(0.4559) = 0.984\hspace{0.05cm},$$
+* nach dem zweiten Ansatz: &nbsp; $|L_{\rm E}(1)| \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Min} \left ( 1.0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}5.0 \right )  = 1.000 \hspace{0.05cm}.$
 * nach dem zweiten Ansatz:
-:$$|L_{\rm E}(1)| \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Min} \left ( 1.0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}5.0 \right )  = 1.000 \hspace{0.05cm}.$$
 Man erkennt die deutliche Diskrepanz zwischen beiden Ansätzen. Der zweite Ansatz (Näherung) ist deutlich positiver als der erste (richtige) Ansatz. Wichtig ist eigentlich aber nur, dass die Iterationen zum gewünschten Decodierergebnis führt.
 ''Hinweise:''

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(kein Unterschied)