Aufgaben:Aufgabe 4.5: Nichtlineare Quantisierung - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^4.1 Pulscodemodulation^]]		[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^4.1 Pulscodemodulation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.5:_Non-Linear_Quantization]]

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2026-02-27T13:59:56Z

Fix 1 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

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	'''(4)'''  Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe  '''(3)'''  gilt mit dem Eingangswert  $q_{\rm A} = 0.04$:		'''(4)'''  Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe  '''(3)'''  gilt mit dem Eingangswert  $q_{\rm A} = 0.04$:
	:$$ \frac{1}{32} < q_{\rm A} \le \frac{1}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} q_{\rm K} = 2^2 \cdot 0.04 + \frac{2}{8}= 0.41$$		:$$ \frac{1}{32} < q_{\rm A} \le \frac{1}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} q_{\rm K} = 2^2 \cdot 0.04 + \frac{2}{8}= 0.41$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{52}{128} < q_{\rm K} = 0.41 \le \frac{53}{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 52 = 180\hspace{0.3cm}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{52}{128} < q_{\rm K} = 0.41 \le \frac{53}{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 52 = 180\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{52}{128} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.41} \hspace{0.05cm}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{52}{128} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.41} \hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 9. April 2022 um 15:09 Uhr

2022-04-09T15:09:29Z

Guenter am 9. April 2022 um 14:26 Uhr

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← Nächstältere Version		Version vom 9. April 2022, 16:26 Uhr
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	[[Datei:P_ID1620__Mod_A_4_5.png\|right\|frame\|PCM-System mit Kompandierung]]		[[Datei:P_ID1620__Mod_A_4_5.png\|right\|frame\|PCM-System mit Kompandierung]]
	Zur Untersuchung der  ''nichtlinearen Quantisierung''  gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus.		Zur Untersuchung der  "nichtlinearen Quantisierung"  gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus.
	* Den Einfluss des Kanals und der PCM–Codierung bzw. –Decodierung lassen wir außer Acht.		* Den Einfluss des Kanals und der PCM–Codierung bzw. –Decodierung lassen wir außer Acht.
	*Somit gilt stets  $v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$, wobei im Weiteren auf die Zeitangabe  $ν · T_{\rm A}$  verzichtet wird.		*Somit gilt stets  $v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$,  wobei im Weiteren auf die Zeitangabe  $ν · T_{\rm A}$  verzichtet wird.


	Durch den Vergleich von jeweils einer Ausgangsgröße mit einer Eingangsgröße kann man ~~den~~ Einfluss		Durch den Vergleich von jeweils einer Ausgangsgröße mit einer Eingangsgröße kann man analysieren:  Den Einfluss
	* des Kompressors   ⇒    $q_{\rm K}(q_{\rm A})$,		* des Kompressors   ⇒    $q_{\rm K}(q_{\rm A})$,
	* des linearen Quantisierers   ⇒    $q_{\rm Q}(q_{\rm K})$,		* des linearen Quantisierers   ⇒    $q_{\rm Q}(q_{\rm K})$,
	* des nichtlinearen Quantisierers   ⇒    $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$,		* des nichtlinearen Quantisierers   ⇒    $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$,
	* des Expanders   ⇒    $v_{\rm E}(v_{\rm Q})$ sowie		* des Expanders   ⇒    $v_{\rm E}(v_{\rm Q})$  sowie
	* des Gesamtsystems   ⇒    $v_{\rm E}(q_{\rm A})$		* des Gesamtsystems   ⇒    $v_{\rm E}(q_{\rm A})$.


	~~analysieren. ~~ Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:		Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:

	* Alle Abtastwerte  $q_{\rm A}$  liegen im Wertebereich  $±1$  vor.		* Alle Abtastwerte  $q_{\rm A}$  liegen im Wertebereich  $±1$  vor.
	* Der (lineare) Quantisierer arbeitet mit  $M = 256$  Quantisierungsstufen, die mit  $μ = 0$  bis  $μ = 255$  gekennzeichnet werden.		* Der  (lineare)  Quantisierer arbeitet mit  $M = 256$  Quantisierungsstufen,  die mit  $μ = 0$  bis  $μ = 255$  gekennzeichnet werden.
	* Zur Kompression wird die sogenannte 13–Segment–Kennlinie verwendet.		* Zur Kompression wird die sogenannte  "13–Segment–Kennlinie"  verwendet.


	Das bedeutet:		Das bedeutet:
	*Im Bereich  $\|q_{\rm A}\| ≤ 1/64$  gilt  $q_{\rm K} = q_{\rm A}$.		*Im Bereich  $\|q_{\rm A}\| ≤ 1/64$  gilt  $q_{\rm K} = q_{\rm A}$.
	*Für  $q_{\rm A} > 1/64$  ergeben sich mit  $k = 1$, ... , $6$  folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie:		*Für  $q_{\rm A} > 1/64$  ergeben sich mit  $k = 1$, ... , $6$  folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie:<br>  ⇒   Bereich $k\hspace{0.3cm}{\rm (falls}\hspace{0.3cm} 2^{k-7}< q_{\rm A} \le 2^{k-6}) \hspace{0.05cm}$   ⇒   $q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}.$
	:$~~$q_~~{\rm K}~~(q_~~{~~\rm A~~}~~) =~~ 2^{4-k} ~~\cdot~~ q_{\rm A} + {k}~~/{8}~~\hspace{0.~~9cm~~} {\rm ~~im\,\,Bereich~~}\~~hspace{0.9cm~~}2^{k-7}< q_{\rm A} ~~\le 2^~~{k-6} ~~\hspace~~{~~0.05cm~~}.$$		*Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen  $q_{\rm A}$–Werte mit  $k = -1$, ... , $-6$,  die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen.  Diese werden in dieser Aufgabe jedoch nicht weiter betrachtet.
	*Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen  $q_{\rm A}$–Werte mit  $k = -1$, ... , $-6$, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen.
	*Diese werden in dieser Aufgabe jedoch nicht weiter betrachtet.




			Hinweise:
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|"Pulscodemodulation"]].



	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|Pulscodemodulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung\|Kompression und Expandierung]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung\|Kompression und Expandierung]].

Guenter am 1. April 2020 um 12:17 Uhr

2020-04-01T12:17:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. April 2020, 14:17 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Der Abtastwert $q_{\rm A} = 0.4$ gehört zum Segment $k = 5$, das den Bereich $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$ abdeckt. Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit $k = 5$:		'''(1)'''  Der Abtastwert  $q_{\rm A} = 0.4$  gehört zum Segment  $k = 5$, das den Bereich  $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$  abdeckt.  Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit  $k = 5$:
	:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$		:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun $q_{\rm K} = 0.825$, so dass folgende Rechnung zutrifft:
			'''(2)'''  Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun  $q_{\rm K} = 0.825$, so dass folgende Rechnung zutrifft:
	:$${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$		:$${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  ~~Entsprechend~~ der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall $μ = 128 + m$ durch den Wert
	$q_{\rm Q} = 1/256 + m/128$ repräsentiert. Mit $m = 105$ folgt daraus:		'''(3)'''  Gemäß der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall  $μ = 128 + m$  durch den Wert
			$q_{\rm Q} = 1/256 + m/128$  repräsentiert.  Mit  $m = 105$  folgt daraus:
	:$$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$		:$$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe '''(3)''' gilt mit dem Eingangswert $q_{\rm A} = 0.04$:
			'''(4)'''  Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe  '''(3)'''  gilt mit dem Eingangswert  $q_{\rm A} = 0.04$:
	:$$ \frac{1}{32} < q_{\rm A} \le \frac{1}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} q_{\rm K} = 2^2 \cdot 0.04 + \frac{2}{8}= 0.41$$		:$$ \frac{1}{32} < q_{\rm A} \le \frac{1}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} q_{\rm K} = 2^2 \cdot 0.04 + \frac{2}{8}= 0.41$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{52}{128} < q_{\rm K} = 0.41 \le \frac{53}{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 52 = 180\hspace{0.3cm}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{52}{128} < q_{\rm K} = 0.41 \le \frac{53}{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 52 = 180\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{52}{128} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.41} \hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm}q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{52}{128} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.41} \hspace{0.05cm}.$$



	[[Datei:Mod_A_4_5_ML_S2a_version2.png\|right\|frame\|Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)]]		[[Datei:Mod_A_4_5_ML_S2a_version2.png\|right\|frame\|Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)]]
	'''(5)'''  Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten:		'''(5)'''  Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten:
	*Beim Kompressor hat $q_{\rm A} = 0.4$ zum Ausgangswert $q_{\rm K} = 0.825$ geführt und nach der Quantisierung zum Wert $q_{\rm Q} = 0.824$ – siehe Teilaufgaben '''(1)''' und '''(3)'''. Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik.		*Beim Kompressor hat  $q_{\rm A} = 0.4$  zum Ausgangswert  $q_{\rm K} = 0.825$  geführt und nach der Quantisierung zum Wert  $q_{\rm Q} = 0.824$ – siehe Teilaufgaben  '''(1)'''  und  '''(3)'''.  Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik.
	*Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus $v_{\rm Q} = 0.824$ näherungsweise wieder der Wert $υ_{\rm E} ≈ 0.4$ ergibt  ⇒   braune Markierungen in der Grafik.		*Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus  $v_{\rm Q} = 0.824$  näherungsweise wieder der Wert  $v_{\rm E} ≈ 0.4$  ergibt  ⇒   braune Markierungen in der Grafik.


	Aufgrund der Quantisierung ist dies jedoch nur eine Näherung. Exakt gilt:		Aufgrund der Quantisierung ist dies jedoch nur eine Näherung.  Exakt gilt:
	:$$ v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$

	Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar. Obwohl die Expanderkennlinie $~~υ_E~~(υ_{\rm Q})$ gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie $q_K(q_{\rm A})$ ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $υ_{\rm Q}$ des Expanders wertdiskret ist (Einfluss der Quantisierung).		Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar.  Obwohl die Expanderkennlinie  $v_E(υ_{\rm Q})$  gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie  $q_K(q_{\rm A})$  ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $v_{\rm Q}$ des Expanders wertdiskret ist  (Einfluss der Quantisierung).



	'''(6)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie anhand der folgenden linken Grafik nachgeprüft werden kann:		'''(6)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie anhand der folgenden linken Grafik nachgeprüft werden kann:
	[[Datei:P_ID1622__Mod_A_4_5f.png\|right\|frame\|13–Segment–Kennlinien: links: $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$,             rechts: $v_{\rm E}(q_{\rm A})$]]		[[Datei:P_ID1622__Mod_A_4_5f.png\|right\|frame\|13–Segment–Kennlinien: links:  $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$,             rechts:  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$]]
	*Die Breite der einzelnen Stufen ist in jedem Segment unterschiedlich.		*Die Breite der einzelnen Stufen ist in jedem Segment unterschiedlich.
	*Im äußersten Segment ($k = 6$) beträgt die Stufenbreite $0.5/16 = 1/32$, im nächsten Segment ($k = 5$) nur mehr $0.25/16 = 1/64$.		*Im äußersten Segment  $(k = 6)$  beträgt die Stufenbreite  $0.5/16 = 1/32$, im nächsten Segment  $(k = 5)$  nur mehr  $0.25/16 = 1/64$.
	* Die Stufenbreiten in den weiteren Segmenten sind $1/128 \ (k = 4)$, $1/256 \ (k = 3)$, $1/512\ (k = 2)$ und $1/1024 \ (k = 1)$.		* Die Stufenbreiten in den weiteren Segmenten sind  $1/128 \ (k = 4)$,  $1/256 \ (k = 3)$,  $1/512\ (k = 2)$  und  $1/1024 \ (k = 1)$.
	*Der innerste Bereich von $-1/64$ bis $+1/64$ wird in $64$ Stufen unterteilt, woraus sich die Stufenbreite $1/2048$ ergibt.		*Der innerste Bereich von  $-1/64$  bis  $+1/64$  wird in  $64$  Stufen unterteilt, woraus sich die Stufenbreite  $1/2048$  ergibt.
	*Die Stufenhöhe ist dagegen in den Segmenten $k ≠ 0$ konstant gleich $1/8$ geteilt durch $16 = 1/128$ und im mittleren Segment gleich $1/256$.		*Die Stufenhöhe ist dagegen in den Segmenten  $k ≠ 0$  konstant gleich  $1/8$  geteilt durch  $16 = 1/128$  und im mittleren Segment gleich  $1/256$.

Guenter am 1. April 2020 um 12:02 Uhr

2020-04-01T12:02:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. April 2020, 14:02 Uhr
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	[[Datei:P_ID1620__Mod_A_4_5.png\|right\|frame\|PCM-System mit Kompandierung]]		[[Datei:P_ID1620__Mod_A_4_5.png\|right\|frame\|PCM-System mit Kompandierung]]
	Zur Untersuchung der ''nichtlinearen Quantisierung'' gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus.		Zur Untersuchung der  ''nichtlinearen Quantisierung''  gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus.
	* Den Einfluss des Kanals und der PCM–Codierung bzw. –Decodierung lassen wir außer Acht.		* Den Einfluss des Kanals und der PCM–Codierung bzw. –Decodierung lassen wir außer Acht.
	*Somit gilt stets  $v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$, wobei im Weiteren auf die Zeitangabe  $ν · T_{\rm A}$  verzichtet wird.		*Somit gilt stets  $v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$, wobei im Weiteren auf die Zeitangabe  $ν · T_{\rm A}$  verzichtet wird.
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	analysieren. Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:		analysieren.  Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:

	* Alle Abtastwerte  $q_{\rm A}$  liegen im Wertebereich  $±1$  vor.		* Alle Abtastwerte  $q_{\rm A}$  liegen im Wertebereich  $±1$  vor.
Zeile 28:		Zeile 28:
	*Für  $q_{\rm A} > 1/64$  ergeben sich mit  $k = 1$, ... , $6$  folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie:		*Für  $q_{\rm A} > 1/64$  ergeben sich mit  $k = 1$, ... , $6$  folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie:
	:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}\hspace{0.9cm} {\rm im\,\,Bereich}\hspace{0.9cm}2^{k-7}< q_{\rm A} \le 2^{k-6} \hspace{0.05cm}.$$		:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}\hspace{0.9cm} {\rm im\,\,Bereich}\hspace{0.9cm}2^{k-7}< q_{\rm A} \le 2^{k-6} \hspace{0.05cm}.$$
	*Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen  $q_{\rm A}$–Werte mit  $k = -1$, ... , $-6$, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen. Diese werden in dieser Aufgabe jedoch nicht weiter betrachtet.		*Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen  $q_{\rm A}$–Werte mit  $k = -1$, ... , $-6$, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen.
			*Diese werden in dieser Aufgabe jedoch nicht weiter betrachtet.





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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Es gelte  $q_{\rm A} = 0.4$. Welchen Ausgangswert  $q_{\rm K}$  liefert der Kompressor?		{Es gelte  $q_{\rm A} = 0.4$.  Welchen Ausgangswert  $q_{\rm K}$  liefert der Kompressor?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$q_{\rm K} \ = \ $ { 0.825 3% }		$q_{\rm K} \ = \ $ { 0.825 3% }
Zeile 61:		Zeile 65:
	$q_{\rm Q} \ = \ $ { 0.41 3% }		$q_{\rm Q} \ = \ $ { 0.41 3% }

	{Beim Empfänger liegt der Eingangswert  $v_{\rm Q} = 211/256 ≈ 0.824$  an. ~~<br>~~Welchen Wert  $v_{\rm E}$  liefert der Expander?		{Beim Empfänger liegt der Eingangswert  $v_{\rm Q} = 211/256 ≈ 0.824$  an.  Welchen Wert  $v_{\rm E}$  liefert der Expander?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$v_{\rm E} \ = \ $ { 0.398 3% }		$v_{\rm E} \ = \ $ { 0.398 3% }
Zeile 69:		Zeile 73:
	+ Die Kennlinie  $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$  approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.		+ Die Kennlinie  $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$  approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.
	- Die Kennlinie  $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$  approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.		- Die Kennlinie  $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$  approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.
	- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$  gleich groß.		- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten  $($außer für  $k = 0)$  gleich groß.
	+ Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$  gleich groß.		+ Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten  $($außer für  $k = 0)$  gleich groß.

	{Welche Eigenschaften weist die Kennlinie  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$  auf?		{Welche Eigenschaften weist die Kennlinie  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$  auf?
Zeile 76:		Zeile 80:
	- Die Kennlinie  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$  approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.		- Die Kennlinie  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$  approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.
	+ Die Kennlinie  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$  approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.		+ Die Kennlinie  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$  approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.
	- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$  gleich groß.		- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten  $($außer für  $k = 0)$  gleich groß.
	- Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$  gleich groß.		- Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten  $($außer für  $k = 0)$  gleich groß.
	</quiz>		</quiz>

Guenter am 10. Januar 2019 um 09:40 Uhr

2019-01-10T09:40:25Z

Guenter am 10. Januar 2019 um 09:33 Uhr

2019-01-10T09:33:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Januar 2019, 11:33 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID1620__Mod_A_4_5.png\|right\|frame\|PCM-System mit Kompandierung]]		[[Datei:P_ID1620__Mod_A_4_5.png\|right\|frame\|PCM-System mit Kompandierung]]
	Zur Untersuchung der ''nichtlinearen Quantisierung'' gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus~~, wobei wir den~~ Einfluss des Kanals und der PCM–Codierung bzw. –Decodierung außer Acht ~~lassen~~. Somit gilt stets $v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$, wobei im Weiteren auf die Zeitangabe $ν · T_{\rm A}$ verzichtet wird.		Zur Untersuchung der ''nichtlinearen Quantisierung'' gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus.
			* Den Einfluss des Kanals und der PCM–Codierung bzw. –Decodierung lassen wir außer Acht.
			*Somit gilt stets  $v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$, wobei im Weiteren auf die Zeitangabe  $ν · T_{\rm A}$  verzichtet wird.


	Durch den Vergleich von jeweils einer Ausgangsgröße mit einer Eingangsgröße kann man den Einfluss		Durch den Vergleich von jeweils einer Ausgangsgröße mit einer Eingangsgröße kann man den Einfluss
	* des Kompressors   ⇒   $q_{\rm K}(q_{\rm A})$,		* des Kompressors   ⇒    $q_{\rm K}(q_{\rm A})$,
	* des linearen Quantisierers   ⇒   $q_{\rm Q}(q_{\rm K})$,		* des linearen Quantisierers   ⇒    $q_{\rm Q}(q_{\rm K})$,
	* des nichtlinearen Quantisierers   ⇒   $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$,		* des nichtlinearen Quantisierers   ⇒    $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$,
	* des Expanders   ⇒   $v_{\rm E}(~~v_Q~~)$ sowie		* des Expanders   ⇒    $v_{\rm E}(v_{\rm Q})$ sowie
	* des Gesamtsystems   ⇒   $v_{\rm E}(q_{\rm A})$		* des Gesamtsystems   ⇒    $v_{\rm E}(q_{\rm A})$


	analysieren. Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:		analysieren. Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:

	* Alle Abtastwerte $q_{\rm A}$ liegen im Wertebereich $±1$ vor.		* Alle Abtastwerte  $q_{\rm A}$  liegen im Wertebereich  $±1$  vor.
	* Der (lineare) Quantisierer arbeitet mit $M = 256$ Quantisierungsstufen, die mit $μ = 0$ bis $μ = 255$ gekennzeichnet werden.		* Der (lineare) Quantisierer arbeitet mit  $M = 256$  Quantisierungsstufen, die mit  $μ = 0$  bis  $μ = 255$  gekennzeichnet werden.
	* Zur Kompression wird die sogenannte 13–Segment–Kennlinie verwendet.		* Zur Kompression wird die sogenannte 13–Segment–Kennlinie verwendet.


	Das bedeutet:		Das bedeutet:
	*Im Bereich $\|q_{\rm A}\| ≤ 1/64$ gilt $q_{\rm K} = q_{\rm A}$.		*Im Bereich  $\|q_{\rm A}\| ≤ 1/64$  gilt  $q_{\rm K} = q_{\rm A}$.
	*Für $q_{\rm A} > 1/64$ ergeben sich mit $k = 1$, ... , $6$ folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie:		*Für  $q_{\rm A} > 1/64$  ergeben sich mit  $k = 1$, ... , $6$  folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie:
	:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}\hspace{0.9cm} {\rm im\,\,Bereich}\hspace{0.9cm}2^{k-7}< q_{\rm A} \le 2^{k-6} \hspace{0.05cm}.$$		:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}\hspace{0.9cm} {\rm im\,\,Bereich}\hspace{0.9cm}2^{k-7}< q_{\rm A} \le 2^{k-6} \hspace{0.05cm}.$$
	*Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen $q_{\rm A}$–Werte mit $k = -1$, ... , $-6$, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen. Diese werden in dieser Aufgabe jedoch nicht weiter betrachtet.		*Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen  $q_{\rm A}$–Werte mit  $k = -1$, ... , $-6$, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen. Diese werden in dieser Aufgabe jedoch nicht weiter betrachtet.






	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|Pulscodemodulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|Pulscodemodulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung\|Kompression und Expandierung]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung\|Kompression und Expandierung]].


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Es gelte $q_{\rm A} = 0.4$. Welchen Ausgangswert $q_{\rm K}$ liefert der Kompressor?		{Es gelte  $q_{\rm A} = 0.4$. Welchen Ausgangswert  $q_{\rm K}$  liefert der Kompressor?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$q_{\rm K} \ = \ $ { 0.825 3% }		$q_{\rm K} \ = \ $ { 0.825 3% }


	{Zu welchem Quantisierungsintervall $μ$ gehört $q_{\rm A} = 0.4$?		{Zu welchem Quantisierungsintervall  $μ$  gehört  $q_{\rm A} = 0.4$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\mu \ = \ $ { 233 }		$\mu \ = \ $ { 233 }

	{Welcher Quantisierungswert $q_{\rm Q}$ gehört zu $q_{\rm A} = 0.4$?		{Welcher Quantisierungswert  $q_{\rm Q}$  gehört zu  $q_{\rm A} = 0.4$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$q_{\rm Q} \ = \ $ { 0.824 3% }		$q_{\rm Q} \ = \ $ { 0.824 3% }

	{Welcher Quantisierungswert $q_{\rm Q}$ gehört dagegen zu $q_{\rm A} = 0.04$?		{Welcher Quantisierungswert  $q_{\rm Q}$  gehört dagegen zu  $q_{\rm A} = 0.04$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$q_{\rm Q} \ = \ $ { 0.41 3% }		$q_{\rm Q} \ = \ $ { 0.41 3% }

	{Beim Empfänger liegt der Eingangswert $v_{\rm Q} = 211/256 ≈ 0.824$ an. Welchen Wert $v_{\rm E}$ liefert der Expander?		{Beim Empfänger liegt der Eingangswert  $v_{\rm Q} = 211/256 ≈ 0.824$  an. <br>Welchen Wert  $v_{\rm E}$  liefert der Expander?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$v_{\rm E} \ = \ $ { 0.398 3% }		$v_{\rm E} \ = \ $ { 0.398 3% }

	{Welche Eigenschaften weist die Kennlinie $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$ auf?		{Welche Eigenschaften weist die Kennlinie  $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$  auf?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Kennlinie $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$ approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.		+ Die Kennlinie  $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$  approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.
	- Die Kennlinie $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$ approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.		- Die Kennlinie  $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$  approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.
	- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten (außer für $k = 0$) gleich groß.		- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$  gleich groß.
	+ Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten (außer für $k = 0$) gleich groß.		+ Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$  gleich groß.

	{Welche Eigenschaften weist die Kennlinie $v_{\rm E}(q_{\rm A})$ auf?		{Welche Eigenschaften weist die Kennlinie  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$  auf?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Die Kennlinie $v_{\rm E}(q_{\rm A})$ approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.		- Die Kennlinie  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$  approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.
	+ Die Kennlinie $v_{\rm E}(q_{\rm A})$ approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.		+ Die Kennlinie  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$  approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.
	- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten (außer für $k = 0$) gleich groß.		- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$  gleich groß.
	- Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten (außer für $k = 0$) gleich groß.		- Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$  gleich groß.
	</quiz>		</quiz>

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:57Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 15:19 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|Pulscodemodulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|Pulscodemodulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung\|Kompression und Expandierung]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung\|Kompression und Expandierung]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.5 Nichtlineare Quantisierung nach Aufgaben:Aufgabe 4.5: Nichtlineare Quantisierung

2018-01-03T14:28:43Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.5 Nichtlineare Quantisierung nach Aufgaben:Aufgabe 4.5: Nichtlineare Quantisierung

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 16:28 Uhr
(kein Unterschied)

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	Hinweise:		Hinweise:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|"Pulscodemodulation"]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|"Pulscodemodulation"]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung\|Kompression und Expandierung]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung\|"Kompression und Expandierung"]].


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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Der Abtastwert  $q_{\rm A} = 0.4$  gehört zum Segment  $k = 5$, das den Bereich  $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$  abdeckt.  Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit  $k = 5$:		'''(1)'''  Der Abtastwert  $q_{\rm A} = 0.4$  gehört zum Segment  $k = 5$,  das den Bereich  $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$  abdeckt.  Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit  $k = 5$:
	:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$		:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$



	'''(2)'''  Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun  $q_{\rm K} = 0.825$, so dass folgende Rechnung zutrifft:		'''(2)'''  Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun  $q_{\rm K} = 0.825$,  so dass folgende Rechnung zutrifft:
	:$${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$		:$${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$



	'''(3)'''  Gemäß der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall  $μ = 128 + m$  durch den Wert		'''(3)'''  Gemäß der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall  $μ = 128 + m$   durch den Wert
	$q_{\rm Q} = 1/256 + m/128$  repräsentiert.  Mit  $m = 105$  folgt daraus:		$q_{\rm Q} = 1/256 + m/128$   repräsentiert.  Mit   $m = 105$   folgt daraus:
	:$$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$		:$$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$

Zeile 104:		Zeile 104:
	[[Datei:Mod_A_4_5_ML_S2a_version2.png\|right\|frame\|Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)]]		[[Datei:Mod_A_4_5_ML_S2a_version2.png\|right\|frame\|Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)]]
	'''(5)'''  Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten:		'''(5)'''  Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten:
	*~~Beim Kompressor hat ~~ $q_{\rm A} = 0.4$  zum ~~Ausgangswert~~  $q_{\rm K} = 0.825$  geführt und nach der Quantisierung zum Wert  $q_{\rm Q} = 0.824$ &~~ndash~~; siehe Teilaufgaben  '''(1)'''  und  '''(3)'''.  ~~Beachten Sie die roten~~ Markierungen in der Grafik.		*$q_{\rm A} = 0.4$  hat zum Kompressorausgangswert   $q_{\rm K} = 0.825$   geführt und nach der Quantisierung zum Wert  $q_{\rm Q} = 0.824$   ⇒   siehe Teilaufgaben  '''(1)'''  und  '''(3)'''   ⇒   rote Markierungen in der Grafik.
	*Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus  $v_{\rm Q} = 0.824$  näherungsweise wieder der Wert  $v_{\rm E} ≈ 0.4$  ergibt  ⇒   braune Markierungen in der Grafik.		*Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus  $v_{\rm Q} = 0.824$  näherungsweise wieder der Wert  $v_{\rm E} ≈ 0.4$  ergibt  ⇒   braune Markierungen in der Grafik.
			*Aufgrund der Quantisierung ist dies jedoch nur eine Näherung.  Exakt gilt:

	Aufgrund der Quantisierung ist dies jedoch nur eine Näherung.  Exakt gilt:
	:$$ v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$

	Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar.  Obwohl die Expanderkennlinie  $v_E(υ_{\rm Q})$  gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie  $q_K(q_{\rm A})$  ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $v_{\rm Q}$ des Expanders wertdiskret ist  (Einfluss der Quantisierung).		:Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar.  Obwohl die Expanderkennlinie  $v_E(υ_{\rm Q})$  gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie  $q_K(q_{\rm A})$  ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $v_{\rm Q}$ des Expanders wertdiskret ist  (Einfluss der Quantisierung).



	'''(6)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie anhand der ~~folgenden linken~~ Grafik nachgeprüft werden kann:		'''(6)'''  Richtig sind die  <u>Aussagen 1 und 4</u>,  wie anhand der nächsten Grafik (links) nachgeprüft werden kann:
	[[Datei:P_ID1622__Mod_A_4_5f.png\|right\|frame\|13–Segment–Kennlinien: links:  $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$,             rechts:  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$]]		[[Datei:P_ID1622__Mod_A_4_5f.png\|right\|frame\|13–Segment–Kennlinien: links:  $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$,             rechts:  $v_{\rm E}(q_{\rm A})$]]
	*Die Breite der einzelnen Stufen ist in jedem Segment unterschiedlich.		*Die Breite der einzelnen Stufen ist in jedem Segment unterschiedlich.  Außen  $(k = 6)$  beträgt die Stufenbreite  $0.5/16 = 1/32$,  im nächsten Segment  $(k = 5)$  nur mehr  $0.25/16 = 1/64$.
	*Im äußersten Segment  $(k = 6)$  beträgt die Stufenbreite  $0.5/16 = 1/32$, im nächsten Segment  $(k = 5)$  nur mehr  $0.25/16 = 1/64$.
	* Die Stufenbreiten in den weiteren Segmenten sind  $1/128 \ (k = 4)$,  $1/256 \ (k = 3)$,  $1/512\ (k = 2)$  und  $1/1024 \ (k = 1)$.		* Die Stufenbreiten in den weiteren Segmenten sind  $1/128 \ (k = 4)$,  $1/256 \ (k = 3)$,  $1/512\ (k = 2)$  und  $1/1024 \ (k = 1)$.
	*Der innerste Bereich von  $-1/64$  bis  $+1/64$  wird in  $64$  Stufen unterteilt~~, woraus sich die~~ Stufenbreite  $1/2048$~~  ergibt~~.		*Der innerste Bereich von  $-1/64$  bis  $+1/64$  wird in  $64$  Stufen unterteilt   ⇒   Stufenbreite  $1/2048$.
	*Die Stufenhöhe ist ~~dagegen~~ in den Segmenten  $k ≠ 0$  konstant gleich  $1/8$  geteilt durch  $16 = 1/128$  und im mittleren Segment gleich  $1/256$.		*Die Stufenhöhe ist in den Segmenten  $k ≠ 0$  konstant gleich  $1/8$  geteilt durch  $16 = 1/128$  und im mittleren Segment gleich  $1/256$.



	'''(7)'''  Richtig ist hier <u>nur die zweite Aussage</u>:		'''(7)'''  Richtig ist hier  <u>nur die zweite Aussage</u>:
	* Durch den Expander verläuft die Quantisierung nun entlang der Winkelhalbierenden.		* Durch den Expander verläuft die Quantisierung nun entlang der Winkelhalbierenden.
	*In jedem Segment sind Stufenbreite und Stufenhöhe konstant.		*In jedem Segment sind Stufenbreite und Stufenhöhe konstant.
	*Wie die rechte Grafik zeigt, sind aber im nächstinneren Segment die Breite und die Höhe nur mehr halb so groß.		*Wie die rechte Grafik zeigt,  sind aber im nächstinneren Segment die Breite und die Höhe nur mehr halb so groß.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 10. Januar 2019, 11:40 Uhr
Zeile 84:		Zeile 84:
	'''(1)'''  Der Abtastwert $q_{\rm A} = 0.4$ gehört zum Segment $k = 5$, das den Bereich $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$ abdeckt. Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit $k = 5$:		'''(1)'''  Der Abtastwert $q_{\rm A} = 0.4$ gehört zum Segment $k = 5$, das den Bereich $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$ abdeckt. Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit $k = 5$:
	:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$		:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun $q_{\rm K} = 0.825$, so dass folgende Rechnung zutrifft:		'''(2)'''  Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun $q_{\rm K} = 0.825$, so dass folgende Rechnung zutrifft:
	:$${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$		:$${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Entsprechend der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall $μ = 128 + m$ durch den Wert		'''(3)'''  Entsprechend der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall $μ = 128 + m$ durch den Wert
Zeile 92:		Zeile 94:
	:$$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$		:$$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$

	'''(4)'''  Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe (3) gilt mit dem Eingangswert $q_{\rm A} = 0.04$:
			'''(4)'''  Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe '''(3)''' gilt mit dem Eingangswert $q_{\rm A} = 0.04$:
	:$$ \frac{1}{32} < q_{\rm A} \le \frac{1}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} q_{\rm K} = 2^2 \cdot 0.04 + \frac{2}{8}= 0.41$$		:$$ \frac{1}{32} < q_{\rm A} \le \frac{1}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} q_{\rm K} = 2^2 \cdot 0.04 + \frac{2}{8}= 0.41$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{52}{128} < q_{\rm K} = 0.41 \le \frac{53}{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 52 = 180\hspace{0.3cm}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{52}{128} < q_{\rm K} = 0.41 \le \frac{53}{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 52 = 180\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{52}{128} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.41} \hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm}q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{52}{128} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.41} \hspace{0.05cm}.$$


	[[Datei:Mod_A_4_5_ML_S2a_version2.png\|right\|frame\|Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)]]		[[Datei:Mod_A_4_5_ML_S2a_version2.png\|right\|frame\|Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)]]
	'''(5)'''  Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten:		'''(5)'''  Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten:
	*Beim Kompressor hat $q_{\rm A} = 0.4$ zum Ausgangswert $q_{\rm K} = 0.825$ geführt und nach der Quantisierung zum Wert $q_{\rm Q} = 0.824$ – siehe Teilaufgaben (1) und (3). Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik.		*Beim Kompressor hat $q_{\rm A} = 0.4$ zum Ausgangswert $q_{\rm K} = 0.825$ geführt und nach der Quantisierung zum Wert $q_{\rm Q} = 0.824$ – siehe Teilaufgaben '''(1)''' und '''(3)'''. Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik.
	*Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus $v_{\rm Q} = 0.824$ näherungsweise wieder der Wert $υ_{\rm E} ≈ 0.4$ ergibt  ⇒   braune Markierungen in der Grafik.		*Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus $v_{\rm Q} = 0.824$ näherungsweise wieder der Wert $υ_{\rm E} ≈ 0.4$ ergibt  ⇒   braune Markierungen in der Grafik.

Zeile 106:		Zeile 110:
	:$$ v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$

	Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar. Obwohl die Expanderkennlinie $υ_E(~~υ_Q~~)$ gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie $q_K(~~q_A~~)$ ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $~~υ_Q~~$ des Expanders wertdiskret ist (Einfluss der Quantisierung).		Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar. Obwohl die Expanderkennlinie $υ_E(υ_{\rm Q})$ gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie $q_K(q_{\rm A})$ ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $υ_{\rm Q}$ des Expanders wertdiskret ist (Einfluss der Quantisierung).