Aufgaben:Aufgabe 4.5: Nichtlineare Quantisierung - Versionsgeschichte

Guenter am 9. April 2022 um 15:09 Uhr

2022-04-09T15:09:29Z

Guenter am 9. April 2022 um 14:26 Uhr

2022-04-09T14:26:42Z

Guenter am 1. April 2020 um 12:17 Uhr

2020-04-01T12:17:24Z

Guenter am 1. April 2020 um 12:02 Uhr

2020-04-01T12:02:59Z

Guenter am 10. Januar 2019 um 09:40 Uhr

2019-01-10T09:40:25Z

Guenter am 10. Januar 2019 um 09:33 Uhr

2019-01-10T09:33:01Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:57Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:28:43Z

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Guenter am 21. Juli 2017 um 14:38 Uhr

2017-07-21T14:38:41Z

Guenter am 20. Juli 2017 um 14:10 Uhr

2017-07-20T14:10:17Z

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|"Pulscodemodulation"]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung|Kompression und Expandierung]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung|"Kompression und Expandierung"]].
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der Abtastwert&nbsp; $q_{\rm A} = 0.4$&nbsp; gehört zum Segment&nbsp; $k = 5$, das den Bereich&nbsp; $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$&nbsp; abdeckt.&nbsp; Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit&nbsp; $k = 5$:
+'''(1)'''&nbsp; Der Abtastwert&nbsp; $q_{\rm A} = 0.4$&nbsp; gehört zum Segment&nbsp; $k = 5$,&nbsp; das den Bereich&nbsp; $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$&nbsp; abdeckt.&nbsp; Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit&nbsp; $k = 5$:
 :$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun&nbsp; $q_{\rm K} = 0.825$, so dass folgende Rechnung zutrifft:
+'''(2)'''&nbsp; Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun&nbsp; $q_{\rm K} = 0.825$,&nbsp; so dass folgende Rechnung zutrifft:
 :$${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Gemäß der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall&nbsp; $μ = 128 + m$&nbsp; durch den Wert&nbsp;
+'''(3)'''&nbsp; Gemäß der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall&nbsp; $μ = 128 + m$ &nbsp; durch den Wert &nbsp;
-$q_{\rm Q} = 1/256 + m/128$&nbsp; repräsentiert.&nbsp; Mit&nbsp; $m = 105$&nbsp; folgt daraus:
+$q_{\rm Q} = 1/256 + m/128$ &nbsp; repräsentiert.&nbsp; Mit &nbsp; $m = 105$ &nbsp; folgt daraus:
 :$$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$
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 [[Datei:Mod_A_4_5_ML_S2a_version2.png|right|frame|Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)]]
 '''(5)'''&nbsp; Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten:
-*Beim Kompressor hat&nbsp; $q_{\rm A} = 0.4$&nbsp; zum Ausgangswert&nbsp; $q_{\rm K} = 0.825$&nbsp; geführt und nach der Quantisierung zum Wert&nbsp; $q_{\rm Q} = 0.824$ &ndash; siehe Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''.&nbsp; Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik.
+*$q_{\rm A} = 0.4$&nbsp; hat zum Kompressorausgangswert &nbsp; $q_{\rm K} = 0.825$ &nbsp; geführt und nach der Quantisierung zum Wert&nbsp; $q_{\rm Q} = 0.824$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  siehe Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)''' &nbsp; &rArr; &nbsp; rote Markierungen in der Grafik.
 *Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus&nbsp; $v_{\rm Q} = 0.824$&nbsp; näherungsweise wieder der Wert&nbsp; $v_{\rm E} ≈ 0.4$&nbsp; ergibt&nbsp; &rArr; &nbsp;  braune Markierungen in der Grafik.
+*Aufgrund der Quantisierung ist dies jedoch nur eine Näherung.&nbsp; Exakt gilt:
 :$$ v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$
-Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar.&nbsp; Obwohl die Expanderkennlinie&nbsp; $v_E(υ_{\rm Q})$&nbsp; gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie&nbsp; $q_K(q_{\rm A})$&nbsp; ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $v_{\rm Q}$ des Expanders wertdiskret ist&nbsp; (Einfluss der Quantisierung).
+:Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar.&nbsp; Obwohl die Expanderkennlinie&nbsp; $v_E(υ_{\rm Q})$&nbsp; gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie&nbsp; $q_K(q_{\rm A})$&nbsp; ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $v_{\rm Q}$ des Expanders wertdiskret ist&nbsp; (Einfluss der Quantisierung).
-'''(6)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie anhand der folgenden linken Grafik nachgeprüft werden kann:
+'''(6)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Aussagen 1 und 4</u>,&nbsp; wie anhand der nächsten Grafik (links) nachgeprüft werden kann:
 [[Datei:P_ID1622__Mod_A_4_5f.png|right|frame|13–Segment–Kennlinien: links:&nbsp; $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$, &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; rechts:&nbsp; $v_{\rm E}(q_{\rm A})$]]
-*Die Breite der einzelnen Stufen ist in jedem Segment unterschiedlich.
+*Die Breite der einzelnen Stufen ist in jedem Segment unterschiedlich.&nbsp; Außen&nbsp; $(k = 6)$&nbsp; beträgt die Stufenbreite&nbsp;  $0.5/16 = 1/32$,&nbsp; im nächsten Segment&nbsp; $(k = 5)$&nbsp; nur mehr&nbsp; $0.25/16 = 1/64$.
 * Die Stufenbreiten in den weiteren Segmenten sind&nbsp; $1/128 \ (k = 4)$,&nbsp; $1/256 \ (k = 3)$,&nbsp; $1/512\  (k = 2)$&nbsp; und&nbsp; $1/1024 \  (k = 1)$.
-*Der innerste Bereich von&nbsp; $-1/64$&nbsp; bis&nbsp; $+1/64$&nbsp; wird in&nbsp; $64$&nbsp; Stufen unterteilt, woraus sich die Stufenbreite&nbsp; $1/2048$&nbsp; ergibt.
+*Der innerste Bereich von&nbsp; $-1/64$&nbsp; bis&nbsp; $+1/64$&nbsp; wird in&nbsp; $64$&nbsp; Stufen unterteilt &nbsp; &rArr; &nbsp; Stufenbreite&nbsp; $1/2048$.
-*Die Stufenhöhe ist dagegen in den Segmenten&nbsp; $k ≠ 0$&nbsp; konstant gleich&nbsp; $1/8$&nbsp; geteilt durch&nbsp; $16 = 1/128$&nbsp; und im mittleren Segment gleich&nbsp; $1/256$.
+*Die Stufenhöhe ist in den Segmenten&nbsp; $k ≠ 0$&nbsp; konstant gleich&nbsp; $1/8$&nbsp; geteilt durch&nbsp; $16 = 1/128$&nbsp; und im mittleren Segment gleich&nbsp; $1/256$.
-'''(7)'''&nbsp; Richtig ist hier <u>nur die zweite Aussage</u>:
+'''(7)'''&nbsp; Richtig ist hier&nbsp; <u>nur die zweite Aussage</u>:
 * Durch den Expander verläuft die Quantisierung nun entlang der Winkelhalbierenden.
 *In jedem Segment sind Stufenbreite und Stufenhöhe konstant.
-*Wie die rechte Grafik zeigt, sind aber im nächstinneren Segment die Breite und die Höhe nur mehr halb so groß.
+*Wie die rechte Grafik zeigt,&nbsp; sind aber im nächstinneren Segment die Breite und die Höhe nur mehr halb so groß.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1620__Mod_A_4_5.png|right|frame|PCM-System mit Kompandierung]]
-Zur Untersuchung der&nbsp; ''nichtlinearen Quantisierung''&nbsp; gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus.
+Zur Untersuchung der&nbsp; "nichtlinearen Quantisierung"&nbsp; gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus.
 * Den Einfluss des Kanals und der PCM–Codierung bzw. –Decodierung lassen wir  außer Acht.
-*Somit gilt stets &nbsp;$v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$, wobei im Weiteren auf die Zeitangabe &nbsp;$ν · T_{\rm A}$&nbsp; verzichtet wird.
+*Somit gilt stets &nbsp;$v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$,&nbsp; wobei im Weiteren auf die Zeitangabe &nbsp;$ν · T_{\rm A}$&nbsp; verzichtet wird.
-Durch den Vergleich von jeweils einer Ausgangsgröße mit einer Eingangsgröße kann man den Einfluss
+Durch den Vergleich von jeweils einer Ausgangsgröße mit einer Eingangsgröße kann man analysieren:&nbsp; Den Einfluss
 * des Kompressors &nbsp; ⇒ &nbsp; &nbsp;$q_{\rm K}(q_{\rm A})$,
 * des linearen Quantisierers &nbsp; ⇒ &nbsp; &nbsp;$q_{\rm Q}(q_{\rm K})$,
 * des nichtlinearen Quantisierers &nbsp; ⇒ &nbsp; &nbsp;$q_{\rm Q}(q_{\rm A})$,
-* des Expanders &nbsp; ⇒ &nbsp; &nbsp;$v_{\rm E}(v_{\rm Q})$ sowie
+* des Expanders &nbsp; ⇒ &nbsp; &nbsp;$v_{\rm E}(v_{\rm Q})$&nbsp; sowie
-* des Gesamtsystems &nbsp; ⇒ &nbsp; &nbsp;$v_{\rm E}(q_{\rm A})$
+* des Gesamtsystems &nbsp; ⇒ &nbsp; &nbsp;$v_{\rm E}(q_{\rm A})$.
-analysieren.&nbsp; Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
+Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
 * Alle Abtastwerte &nbsp;$q_{\rm A}$&nbsp; liegen im Wertebereich &nbsp;$±1$&nbsp; vor.
-* Der (lineare) Quantisierer arbeitet mit &nbsp;$M = 256$&nbsp; Quantisierungsstufen, die mit &nbsp;$μ = 0$&nbsp; bis &nbsp;$μ = 255$&nbsp; gekennzeichnet werden.
+* Der&nbsp; (lineare)&nbsp; Quantisierer arbeitet mit &nbsp;$M = 256$&nbsp; Quantisierungsstufen,&nbsp; die mit &nbsp;$μ = 0$&nbsp; bis &nbsp;$μ = 255$&nbsp; gekennzeichnet werden.
-* Zur Kompression wird die sogenannte 13–Segment–Kennlinie verwendet.
+* Zur Kompression wird die sogenannte&nbsp; "13–Segment–Kennlinie"&nbsp; verwendet.
 Das bedeutet:
 *Im Bereich &nbsp;$|q_{\rm A}| ≤ 1/64$&nbsp; gilt &nbsp;$q_{\rm K} = q_{\rm A}$.
-*Für &nbsp;$q_{\rm A} > 1/64$&nbsp; ergeben sich mit &nbsp;$k = 1$, ... , $6$&nbsp; folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie:
+*Für &nbsp;$q_{\rm A} > 1/64$&nbsp; ergeben sich mit &nbsp;$k = 1$, ... , $6$&nbsp; folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie:<br>&nbsp; &rArr; &nbsp; Bereich $k\hspace{0.3cm}{\rm (falls}\hspace{0.3cm} 2^{k-7}< q_{\rm A} \le 2^{k-6}) \hspace{0.05cm}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}.$
-:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}\hspace{0.9cm} {\rm im\,\,Bereich}\hspace{0.9cm}2^{k-7}< q_{\rm A} \le 2^{k-6} \hspace{0.05cm}.$$
+*Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen &nbsp;$q_{\rm A}$–Werte mit &nbsp;$k = -1$, ... , $-6$,&nbsp; die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen.&nbsp; Diese werden in dieser Aufgabe jedoch nicht weiter betrachtet.
 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|"Pulscodemodulation"]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung|Kompression und Expandierung]].

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der Abtastwert $q_{\rm A} = 0.4$ gehört zum Segment $k = 5$, das den Bereich $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$ abdeckt. Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit $k = 5$:
+'''(1)'''&nbsp; Der Abtastwert&nbsp; $q_{\rm A} = 0.4$&nbsp; gehört zum Segment&nbsp; $k = 5$, das den Bereich&nbsp; $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$&nbsp; abdeckt.&nbsp; Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit&nbsp; $k = 5$:
 :$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun $q_{\rm K} = 0.825$, so dass folgende Rechnung zutrifft:
 :$${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Entsprechend der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall $μ = 128 + m$ durch den Wert
-$q_{\rm Q} = 1/256 + m/128$ repräsentiert. Mit $m = 105$ folgt daraus:
+'''(3)'''&nbsp; Gemäß der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall&nbsp; $μ = 128 + m$&nbsp; durch den Wert&nbsp;
 :$$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe '''(3)''' gilt mit dem Eingangswert $q_{\rm A} = 0.04$:
 :$$ \frac{1}{32} < q_{\rm A} \le \frac{1}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} q_{\rm K} = 2^2 \cdot 0.04 + \frac{2}{8}= 0.41$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{52}{128} < q_{\rm K} = 0.41 \le \frac{53}{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 52 = 180\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{52}{128} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.41} \hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:Mod_A_4_5_ML_S2a_version2.png|right|frame|Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)]]
 '''(5)'''&nbsp; Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten:
-*Beim Kompressor hat $q_{\rm A} = 0.4$ zum Ausgangswert $q_{\rm K} = 0.825$ geführt und nach der Quantisierung zum Wert $q_{\rm Q} = 0.824$ &ndash; siehe Teilaufgaben '''(1)''' und '''(3)'''. Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik.
+*Beim Kompressor hat&nbsp; $q_{\rm A} = 0.4$&nbsp; zum Ausgangswert&nbsp; $q_{\rm K} = 0.825$&nbsp; geführt und nach der Quantisierung zum Wert&nbsp; $q_{\rm Q} = 0.824$ &ndash; siehe Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''.&nbsp; Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik.
-*Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus $v_{\rm Q} = 0.824$ näherungsweise wieder der Wert $υ_{\rm E} ≈ 0.4$ ergibt&nbsp; &rArr; &nbsp;  braune Markierungen in der Grafik.
+*Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus&nbsp; $v_{\rm Q} = 0.824$&nbsp; näherungsweise wieder der Wert&nbsp; $v_{\rm E} ≈ 0.4$&nbsp; ergibt&nbsp; &rArr; &nbsp;  braune Markierungen in der Grafik.
-Aufgrund der Quantisierung ist dies jedoch nur eine Näherung. Exakt gilt:
+Aufgrund der Quantisierung ist dies jedoch nur eine Näherung.&nbsp; Exakt gilt:
 :$$ v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$
-Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar. Obwohl die Expanderkennlinie $υ_E(υ_{\rm Q})$ gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie $q_K(q_{\rm A})$ ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $υ_{\rm Q}$ des Expanders wertdiskret ist (Einfluss der Quantisierung).
+Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar.&nbsp; Obwohl die Expanderkennlinie&nbsp; $v_E(υ_{\rm Q})$&nbsp; gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie&nbsp; $q_K(q_{\rm A})$&nbsp; ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $v_{\rm Q}$ des Expanders wertdiskret ist&nbsp; (Einfluss der Quantisierung).
 '''(6)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie anhand der folgenden linken Grafik nachgeprüft werden kann:
-[[Datei:P_ID1622__Mod_A_4_5f.png|right|frame|13–Segment–Kennlinien: links: $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$, &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; rechts: $v_{\rm E}(q_{\rm A})$]]
+[[Datei:P_ID1622__Mod_A_4_5f.png|right|frame|13–Segment–Kennlinien: links:&nbsp; $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$, &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; rechts:&nbsp; $v_{\rm E}(q_{\rm A})$]]
 *Die Breite der einzelnen Stufen ist in jedem Segment unterschiedlich.
-*Im äußersten Segment ($k = 6$) beträgt die Stufenbreite  $0.5/16 = 1/32$, im nächsten Segment ($k = 5$) nur mehr $0.25/16 = 1/64$.
+*Im äußersten Segment&nbsp; $(k = 6)$&nbsp; beträgt die Stufenbreite&nbsp;  $0.5/16 = 1/32$, im nächsten Segment&nbsp; $(k = 5)$&nbsp; nur mehr&nbsp; $0.25/16 = 1/64$.
-* Die Stufenbreiten in den weiteren Segmenten sind $1/128 \ (k = 4)$, $1/256 \ (k = 3)$, $1/512\  (k = 2)$ und $1/1024 \  (k = 1)$.
+* Die Stufenbreiten in den weiteren Segmenten sind&nbsp; $1/128 \ (k = 4)$,&nbsp; $1/256 \ (k = 3)$,&nbsp; $1/512\  (k = 2)$&nbsp; und&nbsp; $1/1024 \  (k = 1)$.
-*Der innerste Bereich von $-1/64$ bis $+1/64$ wird in $64$ Stufen unterteilt, woraus sich die Stufenbreite $1/2048$ ergibt.
+*Der innerste Bereich von&nbsp; $-1/64$&nbsp; bis&nbsp; $+1/64$&nbsp; wird in&nbsp; $64$&nbsp; Stufen unterteilt, woraus sich die Stufenbreite&nbsp; $1/2048$&nbsp; ergibt.
-*Die Stufenhöhe ist dagegen in den Segmenten $k ≠ 0$ konstant gleich $1/8$ geteilt durch $16 = 1/128$ und im mittleren Segment gleich $1/256$.
+*Die Stufenhöhe ist dagegen in den Segmenten&nbsp; $k ≠ 0$&nbsp; konstant gleich&nbsp; $1/8$&nbsp; geteilt durch&nbsp; $16 = 1/128$&nbsp; und im mittleren Segment gleich&nbsp; $1/256$.

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 [[Datei:P_ID1620__Mod_A_4_5.png|right|frame|PCM-System mit Kompandierung]]
-Zur Untersuchung der ''nichtlinearen Quantisierung'' gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus.
+Zur Untersuchung der&nbsp; ''nichtlinearen Quantisierung''&nbsp; gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus.
 * Den Einfluss des Kanals und der PCM–Codierung bzw. –Decodierung lassen wir  außer Acht.
 *Somit gilt stets &nbsp;$v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$, wobei im Weiteren auf die Zeitangabe &nbsp;$ν · T_{\rm A}$&nbsp; verzichtet wird.
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
-analysieren. Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
+analysieren.&nbsp; Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
 * Alle Abtastwerte &nbsp;$q_{\rm A}$&nbsp; liegen im Wertebereich &nbsp;$±1$&nbsp; vor.
@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 *Für &nbsp;$q_{\rm A} > 1/64$&nbsp; ergeben sich mit &nbsp;$k = 1$, ... , $6$&nbsp; folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie:
 :$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}\hspace{0.9cm} {\rm im\,\,Bereich}\hspace{0.9cm}2^{k-7}< q_{\rm A} \le 2^{k-6} \hspace{0.05cm}.$$
-*Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen &nbsp;$q_{\rm A}$–Werte mit &nbsp;$k = -1$, ... , $-6$, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen. Diese werden in dieser Aufgabe jedoch nicht weiter betrachtet.
+*Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen &nbsp;$q_{\rm A}$–Werte mit &nbsp;$k = -1$, ... , $-6$, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen.
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 <quiz display=simple>
-{Es gelte &nbsp;$q_{\rm A} = 0.4$. Welchen Ausgangswert &nbsp;$q_{\rm K}$&nbsp; liefert der Kompressor?
+{Es gelte &nbsp;$q_{\rm A} = 0.4$.&nbsp; Welchen Ausgangswert &nbsp;$q_{\rm K}$&nbsp; liefert der Kompressor?
 |type="{}"}
 $q_{\rm K} \ = \ $ { 0.825 3% }
@@ Zeile 61: / Zeile 65: @@
 $q_{\rm Q} \ = \ $ { 0.41 3% }
-{Beim Empfänger liegt der Eingangswert &nbsp;$v_{\rm Q} = 211/256 ≈ 0.824$&nbsp; an. <br>Welchen Wert &nbsp;$v_{\rm E}$&nbsp; liefert der Expander?
+{Beim Empfänger liegt der Eingangswert &nbsp;$v_{\rm Q} = 211/256 ≈ 0.824$&nbsp; an.&nbsp; Welchen Wert &nbsp;$v_{\rm E}$&nbsp; liefert der Expander?
 |type="{}"}
 $v_{\rm E} \ = \ $ { 0.398 3% }
@@ Zeile 69: / Zeile 73: @@
 + Die Kennlinie &nbsp;$q_{\rm Q}(q_{\rm A})$&nbsp; approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.
 - Die Kennlinie &nbsp;$q_{\rm Q}(q_{\rm A})$&nbsp; approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.
-- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$&nbsp; gleich groß.
+- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten&nbsp; $($außer für&nbsp; $k = 0)$&nbsp; gleich groß.
-+ Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$&nbsp; gleich groß.
++ Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten&nbsp; $($außer für&nbsp; $k = 0)$&nbsp; gleich groß.
 {Welche Eigenschaften weist die Kennlinie &nbsp;$v_{\rm E}(q_{\rm A})$&nbsp; auf?
@@ Zeile 76: / Zeile 80: @@
 - Die Kennlinie  &nbsp;$v_{\rm E}(q_{\rm A})$&nbsp; approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.
 + Die Kennlinie  &nbsp;$v_{\rm E}(q_{\rm A})$&nbsp; approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.
-- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$&nbsp; gleich groß.
+- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten&nbsp; $($außer für&nbsp; $k = 0)$&nbsp; gleich groß.
-- Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten $($außer für $k = 0)$&nbsp; gleich groß.
+- Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten&nbsp; $($außer für&nbsp; $k = 0)$&nbsp; gleich groß.
 </quiz>

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 '''(1)'''&nbsp; Der Abtastwert $q_{\rm A} = 0.4$ gehört zum Segment $k = 5$, das den Bereich $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$ abdeckt. Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit $k = 5$:
 :$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun $q_{\rm K} = 0.825$, so dass folgende Rechnung zutrifft:
 :$${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Entsprechend der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall $μ = 128 + m$ durch den Wert
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 :$$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe (3) gilt mit dem Eingangswert $q_{\rm A} = 0.04$:
 :$$ \frac{1}{32} < q_{\rm A} \le \frac{1}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} q_{\rm K} = 2^2 \cdot 0.04 + \frac{2}{8}= 0.41$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{52}{128} < q_{\rm K} = 0.41 \le \frac{53}{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 52 = 180\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{52}{128} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.41} \hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:Mod_A_4_5_ML_S2a_version2.png|right|frame|Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)]]
 '''(5)'''&nbsp; Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten:
-*Beim Kompressor hat $q_{\rm A} = 0.4$ zum Ausgangswert $q_{\rm K} = 0.825$ geführt und nach der Quantisierung zum Wert $q_{\rm Q} = 0.824$ &ndash; siehe Teilaufgaben (1) und (3). Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik.
+*Beim Kompressor hat $q_{\rm A} = 0.4$ zum Ausgangswert $q_{\rm K} = 0.825$ geführt und nach der Quantisierung zum Wert $q_{\rm Q} = 0.824$ &ndash; siehe Teilaufgaben '''(1)''' und '''(3)'''. Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik.
 *Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus $v_{\rm Q} = 0.824$ näherungsweise wieder der Wert $υ_{\rm E} ≈ 0.4$ ergibt&nbsp; &rArr; &nbsp;  braune Markierungen in der Grafik.
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 :$$ v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$
-Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar. Obwohl die Expanderkennlinie $υ_E(υ_Q)$ gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie $q_K(q_A)$ ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $υ_Q$ des Expanders wertdiskret ist (Einfluss der Quantisierung).
+Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar. Obwohl die Expanderkennlinie $υ_E(υ_{\rm Q})$ gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie $q_K(q_{\rm A})$ ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $υ_{\rm Q}$ des Expanders wertdiskret ist (Einfluss der Quantisierung).

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung|Kompression und Expandierung]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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(kein Unterschied)