Aufgaben:Aufgabe 4.5: Koaxialkabel – Impulsantwort - Versionsgeschichte

Guenter am 12. November 2021 um 16:35 Uhr

2021-11-12T16:35:35Z

Guenter am 12. November 2021 um 16:28 Uhr

2021-11-12T16:28:27Z

Guenter am 7. November 2019 um 14:00 Uhr

2019-11-07T14:00:44Z

Guenter am 7. November 2019 um 13:52 Uhr

2019-11-07T13:52:29Z

Guenter am 7. November 2019 um 13:45 Uhr

2019-11-07T13:45:26Z

Guenter am 29. November 2018 um 07:10 Uhr

2018-11-29T07:10:27Z

Guenter am 29. November 2018 um 07:04 Uhr

2018-11-29T07:04:53Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:52Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 28. März 2018 um 15:50 Uhr

2018-03-28T15:50:39Z

Guenter am 28. März 2018 um 14:38 Uhr

2018-03-28T14:38:00Z

@@ Zeile 94: / Zeile 94: @@
 \cdot \sqrt{70\,\,{\rm MHz}}}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3\,\,{\rm km}}
    \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Mit den Substitutionen
@@ Zeile 114: / Zeile 113: @@
+'''(3)'''&nbsp; Setzt man das Ergebnis in die vorgegebene Gleichung ein,&nbsp; so erhält man (zur Vereinfachung verwenden wir &bdquo;${a}$&rdquo; anstelle von &bdquo;${a}_{\rm \star}$&rdquo;):
 :$$h_{\rm K}(t_{\rm max})   =  \frac{1}{T} \cdot \frac{ {a}}{  \sqrt{2  \pi^2 \cdot {{a}^6}/{(3\pi)^3}}}\hspace{0.1cm} \cdot
    {\rm exp} \left[ - \frac{{a}^2}{2\pi} \cdot
@@ Zeile 126: / Zeile 124: @@
 :$${\rm Max}\,[h_{\rm K}(t)]  = \frac{1.453}{{6.9\,}^2} \cdot {1}/{T}\hspace{0.15cm}\underline{\approx  0.03 \cdot {1}/{T}}
    \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(3)'''&nbsp; lautet die geeignete Bestimmungsgleichung:
@@ Zeile 135: / Zeile 132: @@
    \hspace{0.3cm}
 \hspace{0.15cm}\underline{t_{5\%}/T \approx 103.5} \hspace{0.05cm}.$$
-*Dieser Wert ist etwas zu groß, da der zweite Term&nbsp; ${\rm e}^{-0.05}\approx 0.95$&nbsp; vernachlässigt wurde.
+*Dieser Wert ist etwas zu groß,&nbsp; da der zweite Term&nbsp; ${\rm e}^{-0.05}\approx 0.95$&nbsp; vernachlässigt wurde.
 *Die exakte Berechnung liefert&nbsp; $t_{\rm 5\%}/T \approx 97$.
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>der zweite Lösungsvorschlag</u>:
 *Allgemein gilt:
 :$$g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t) = s_0 \cdot
 \int_{t-T/2}^{t+T/2} h_{\rm K}(\tau) \,{\rm d} \tau .$$
-*Da sich die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$ innerhalb einer Symboldauer nur unwesentlich ändert, kann auch geschrieben werden:
+*Da sich die Kanalimpulsantwort&nbsp; $h_{\rm K}(t)$&nbsp; innerhalb einer Symboldauer nur unwesentlich ändert,&nbsp; kann näherungdweise auch geschrieben werden:
 :$$g_r(t) = h_{\rm K}(t) \cdot s_0 \cdot T.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
    {\rm e}^{- (\alpha_2 + {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2) \hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l}
      \hspace{0.05cm}.$$
-Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen, der zweite Term auf die Querverluste. Dominant ist jedoch der Skineffekt, der durch den dritten Term ausgedrückt wird.
+Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen,&nbsp; der zweite Term auf die Querverluste.&nbsp; Dominant ist jedoch der Skineffekt,&nbsp; der durch den dritten Term ausgedrückt wird.
 Mit den für ein &bdquo;Normalkoaxialkabel&rdquo;&nbsp; $\text{(2.6 mm}$&nbsp; Kerndurchmesser,&nbsp; $\text{9.5 mm}$&nbsp; Außendurchmesser$)$&nbsp; gültigen Koeffizienten
@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
 *Der entsprechende &nbsp;$\rm dB$&ndash;Wert ist um den Faktor &nbsp;$8.686$&nbsp; größer.&nbsp;
-*Bei einem Binärsystem gilt &nbsp;$R = 1/T$, so dass sich die charakteristische Kabeldämpfung auf die Frequenz &nbsp;$f = 1/(2T)$&nbsp; bezieht.
+*Bei einem Binärsystem gilt &nbsp;$R = 1/T$,&nbsp; so dass sich die charakteristische Kabeldämpfung auf die Frequenz &nbsp;$f = 1/(2T)$&nbsp; bezieht.
-Die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Fouriertransformation|Fouriertransformierte]]&nbsp; von &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; liefert die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t)$, die für ein Koaxialkabel mit den hier beschriebenen Näherungen in geschlossen&ndash;analytischer Form angebbar ist. Für ein Binärsystem gilt:
+Die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Fouriertransformation|Fouriertransformierte]]&nbsp; von &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; liefert die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t)$,&nbsp; die für ein Koaxialkabel mit den hier beschriebenen Näherungen in geschlossen&ndash;analytischer Form angebbar ist.&nbsp; Für ein Binärsystem gilt:
 :$$h_{\rm K}(t) =   \frac{ {a}_{\rm \star}/T}{  \sqrt{2  \pi^2 \cdot (t/T)^3}}\hspace{0.1cm} \cdot
    {\rm e}^{  - {{a}_{\rm \star}^2}/(2 \hspace{0.05cm} \pi  \cdot \hspace{0.05cm} t/T)}
    \hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.2cm}{\rm in}\hspace{0.2cm}{\rm Np}
 \hspace{0.05cm}.$$
-Die Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; bezieht sich auf den Empfangsgrundimpuls &nbsp;$g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t)$, wobei für &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; ein Rechteck mit Höhe &nbsp;$s_0$&nbsp; und Dauer &nbsp;$T$&nbsp; angenommen wird.
+Die Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; bezieht sich auf den Empfangsgrundimpuls &nbsp;$g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t)$,&nbsp; wobei für &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; ein Rechteck mit Höhe &nbsp;$s_0$&nbsp; und Dauer &nbsp;$T$&nbsp; angenommen wird.
 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].
-*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]&nbsp; benutzen.
+*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive SWF&ndash;Applet &nbsp;[[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]&nbsp; benutzen.
@@ Zeile 58: / Zeile 55: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Länge &nbsp;$l$&nbsp; eines Normalkoaxialkabels, wenn sich für die Bitrate &nbsp;$R = 140 \ \rm Mbit/s$&nbsp; die charakteristische Kabeldämpfung &nbsp;${a}_{\rm \star}  = 60 \ \rm dB$&nbsp; ergibt?
+{Wie groß ist die Länge &nbsp;$l$&nbsp; eines Normalkoaxialkabels,&nbsp; wenn sich für die Bitrate &nbsp;$R = 140 \ \rm Mbit/s$&nbsp; die charakteristische Kabeldämpfung &nbsp;${a}_{\rm \star}  = 60 \ \rm dB$&nbsp; ergibt?
 |type="{}"}
 $l \ =\ $  { 3 3% } $\ \rm km$
-{Zu welcher Zeit &nbsp;$t_{\rm max}$&nbsp; besitzt &nbsp;$h_{\rm K}(t)$&nbsp; sein Maximum? Es gelte weiter &nbsp;${a}_{\rm \star}  = 60 \ \rm dB$.
+{Zu welcher Zeit &nbsp;$t_{\rm max}$&nbsp; besitzt &nbsp;$h_{\rm K}(t)$&nbsp; sein Maximum?&nbsp; Es gelte weiter &nbsp;${a}_{\rm \star}  = 60 \ \rm dB$.
 |type="{}"}
   $t_{\rm max} \ = \ $ { 5 3% } $\ \cdot T$

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 Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen, der zweite Term auf die Querverluste. Dominant ist jedoch der Skineffekt, der durch den dritten Term ausgedrückt wird.
-Mit den für ein &bdquo;Normalkoaxialkabel&rdquo;&nbsp; $\text{(2.6 mm}$&nbsp; Kerndurchmesser,&nbsp; $\text{9.5 mm}$&nbsp; Außendurchmesser$)$ gültigen Koeffizienten
+Mit den für ein &bdquo;Normalkoaxialkabel&rdquo;&nbsp; $\text{(2.6 mm}$&nbsp; Kerndurchmesser,&nbsp; $\text{9.5 mm}$&nbsp; Außendurchmesser$)$&nbsp; gültigen Koeffizienten
 :$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}}
    \hspace{0.05cm},

@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die charakteristische Kabeldämpfung ${a}_{\rm \star}  = 60 \ \rm dB$ entspricht in etwa $6.9\ \rm  Np$. Deshalb muss gelten:
+'''(1)'''&nbsp; Die charakteristische Kabeldämpfung&nbsp; ${a}_{\rm \star}  = 60 \ \rm dB$&nbsp; entspricht in etwa&nbsp; $6.9\ \rm  Np$. Deshalb muss gelten:
 :$$\alpha_2 \cdot l \cdot {R}/{2} = 6.9\,\,{\rm
 Np}
@@ Zeile 102: / Zeile 102: @@
 :$$x =   \frac{ t}{  T}, \hspace{0.2cm} K_1 = \frac{ {a}_{\rm \star}/T}{\sqrt{2  \pi^2 }}, \hspace{0.2cm}
    K_2 = \frac{ {a}_{\rm \star}^2}{2  \pi}$$
-kann die Impulsantwort wie folgt beschrieben werden: &nbsp; $h_{\rm K}(x) =   K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}
+kann die Impulsantwort wie folgt beschrieben werden:
-   \hspace{0.05cm}.$
+:$$h_{\rm K}(x) =   K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}
-Durch Nullsetzen der Ableitung folgt daraus:
+   \hspace{0.05cm}.$$
 :$$- {3}/{2} \cdot  K_1 \cdot x^{-5/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}+ K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rm
    e}^{-K_2/x}\cdot (-K_2) \cdot (-x^{-2})= 0
@@ Zeile 112: / Zeile 113: @@
   x_{\rm max} = {2}/{3} \cdot  K_2 = \frac{{a}_{\rm \star}^2}{3  \pi}
    \hspace{0.05cm}.$$
-Daraus ergibt sich für $60 \ \rm dB$ Kabeldämpfung $({a}_{\rm \star}  \approx 6.9 \ \rm Np)$:
+*Daraus ergibt sich für&nbsp; $60 \ \rm dB$&nbsp; Kabeldämpfung&nbsp; $({a}_{\rm \star}  \approx 6.9 \ \rm Np)$:
 :$$x_{\rm max} =   { t_{\rm max}}/{  T}= { 6.9^2}/{(3\pi)}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 5 }\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 124: / Zeile 126: @@
   }{2}} \cdot {\rm e}^{-3/2} \approx  \frac{1}{T} \cdot \frac{1.453}{{a}^2}
    \hspace{0.05cm}.$$
-Mit $a = 6.9$ kommt man somit zum Endergebnis:
+*Mit&nbsp; $a = 6.9$&nbsp; kommt man somit zum Endergebnis:
 :$${\rm Max}\,[h_{\rm K}(t)]  = \frac{1.453}{{6.9\,}^2} \cdot {1}/{T}\hspace{0.15cm}\underline{\approx  0.03 \cdot {1}/{T}}
    \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus '''(3)''' lautet die geeignete Bestimmungsgleichung:
+'''(4)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(3)'''&nbsp; lautet die geeignete Bestimmungsgleichung:
 :$$\frac{ {a}/T}{  \sqrt{2  \pi^2 \cdot (t_{5\%}/T)^3}}= 0.05 \cdot 0.03 {1}/{T}
 \hspace{0.15cm}{= 0.0015  \cdot {1}/{T}}
@@ Zeile 136: / Zeile 138: @@
    \hspace{0.3cm}
 \hspace{0.15cm}\underline{t_{5\%}/T \approx 103.5} \hspace{0.05cm}.$$
-Dieser Wert ist etwas zu groß, da der zweite Term ${\rm e}^{-0.05}\approx 0.95$ vernachlässigt wurde. Die exakte Berechnung liefert $t_{\rm 5\%}/T \approx 97$.
+*Dieser Wert ist etwas zu groß, da der zweite Term&nbsp; ${\rm e}^{-0.05}\approx 0.95$&nbsp; vernachlässigt wurde.

@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen, der zweite Term auf die Querverluste. Dominant ist jedoch der Skineffekt, der durch den dritten Term ausgedrückt wird.
-Mit den für ein so genanntes Normalkoaxialkabel (2.6 mm Kerndurchmesser und 9.5 mm Außendurchmesser) gültigen Koeffizienten
+Mit den für ein &bdquo;Normalkoaxialkabel&rdquo;&nbsp; $\text{(2.6 mm}$&nbsp; Kerndurchmesser,&nbsp; $\text{9.5 mm}$&nbsp; Außendurchmesser$)$ gültigen Koeffizienten
 :$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}}
    \hspace{0.05cm},
@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
    \hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f/{\rm MHz}}}
      \hspace{0.05cm}.$$
-Das heißt: Der Dämpfungsverlauf &nbsp;${a}_{\rm K}(f)$&nbsp; und der Phasenverlauf &nbsp;$b_{\rm K}(f)$&nbsp; sind bis auf die Pseudoeinheiten &bdquo;Np&rdquo; bzw. &bdquo;rad&rdquo; identisch.
+&rArr; &nbsp; Dämpfungsverlauf &nbsp;${a}_{\rm K}(f)$&nbsp; und Phasenverlauf &nbsp;$b_{\rm K}(f)$&nbsp; sind bis auf die Pseudoeinheiten &bdquo;Np&rdquo; bzw. &bdquo;rad&rdquo; identisch.
-Definiert man die charakteristische Kabeldämpfung &nbsp;${a}_{\rm *}$&nbsp; bei der halben Bitrate $($also bei &nbsp;$R/2)$, so kann man  Digitalsysteme unterschiedlicher Bitrate und Länge einheitlich behandeln:
+Definiert man die charakteristische Kabeldämpfung &nbsp;${a}_{\rm *}$&nbsp; bei der halben Bitrate&nbsp; $($also bei &nbsp;$R/2)$&nbsp; und normiert die Frequenz auf&nbsp; $R$,&nbsp; so kann man  Digitalsysteme unterschiedlicher Bitrate und Länge einheitlich behandeln:
 :$${a}_{\rm \star} = {a}_{\rm K}(f ={R}/{2})
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-
 {a}_{\rm \star} \cdot \sqrt{2f/R}}\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {a}_{\star} \cdot \sqrt{2f/R}}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{a}_{\star}\hspace{0.2cm}{\rm in}\hspace{0.2cm}{\rm Np}
    \hspace{0.05cm}.$$
-Der entsprechende &nbsp;$\rm dB$&ndash;Wert ist um den Faktor &nbsp;$8.686$&nbsp; größer. Bei einem Binärsystem gilt &nbsp;$R = 1/T$, so dass sich die charakteristische Kabeldämpfung auf die Frequenz &nbsp;$f = 1/(2T)$&nbsp; bezieht.
+*Der entsprechende &nbsp;$\rm dB$&ndash;Wert ist um den Faktor &nbsp;$8.686$&nbsp; größer.&nbsp;
 Die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Fouriertransformation|Fouriertransformierte]] von &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; liefert die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t)$, die für ein Koaxialkabel mit den hier beschriebenen Näherungen in geschlossen&ndash;analytischer Form angebbar ist. Für ein Binärsystem gilt:
 :$$h_{\rm K}(t) =   \frac{ {a}_{\rm \star}/T}{  \sqrt{2  \pi^2 \cdot (t/T)^3}}\hspace{0.1cm} \cdot
-   {\rm exp} \left[ - \frac{{a}_{\rm \star}^2}{2  \pi  \cdot t/T}\hspace{0.1cm}\right]
+   {\rm e}^{  - {{a}_{\rm \star}^2}/(2 \hspace{0.05cm} \pi  \cdot \hspace{0.05cm} t/T)}
    \hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.2cm}{\rm in}\hspace{0.2cm}{\rm Np}
 \hspace{0.05cm}.$$
-Die Teilaufgabe '''(5)''' bezieht sich auf den Empfangsgrundimpuls &nbsp;$g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t)$, wobei für &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; ein Rechteckimpuls mit der Höhe &nbsp;$s_0$&nbsp; und der Dauer &nbsp;$T$&nbsp; angenommen werden soll.
+Die Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; bezieht sich auf den Empfangsgrundimpuls &nbsp;$g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t)$, wobei für &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; ein Rechteck mit Höhe &nbsp;$s_0$&nbsp; und Dauer &nbsp;$T$&nbsp; angenommen wird.
@@ Zeile 68: / Zeile 73: @@
-{Ab welcher Zeit &nbsp;$t_{\rm 5\%}$&nbsp; ist &nbsp;$h_{\rm K}(t)$&nbsp; kleiner als &nbsp;$5\%$&nbsp; des Maximums? <br>Berücksichtigen Sie als Näherung nur den ersten Term der angegebenen Formel.
+{Ab welcher Zeit &nbsp;$t_{\rm 5\%}$&nbsp; ist &nbsp;$h_{\rm K}(t)$&nbsp; kleiner als &nbsp;$5\%$&nbsp; des Maximums?&nbsp; Berücksichtigen Sie als Näherung nur den ersten Term der angegebenen Formel.
 |type="{}"}
 $t_{\rm 5\%} \ = \ $  { 103.5 3% } $\ \cdot T$

@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]] benutzen.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID1814__LZI_A_4_5.png|right|frame|mpulsantwort eines Koaxialkabels]]
+[[Datei:P_ID1814__LZI_A_4_5.png|right|frame|Impulsantwort eines Koaxialkabels]]
 Der Frequenzgang eines Koaxialkabels der Länge $l$ ist durch folgende Formel darstellbar:
 :$$H_{\rm K}(f)  = {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}