Aufgaben:Aufgabe 4.5: Koaxialkabel – Impulsantwort - Versionsgeschichte

Maintenance script: Fix LaTeX typos: \rmMHz, \rmNp, {\rme}

2026-03-16T14:04:00Z

Fix LaTeX typos: \rmMHz, \rmNp, {\rme}

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:37:46Z

Add English interlanguage link

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:37 Uhr
Zeile 105:		Zeile 105:

	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^4.2 Koaxialkabel^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^4.2 Koaxialkabel^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.5:_Coaxial_Cable_-_Impulse_Response]]

Maintenance script: Fix MathJax: add space after \cdot before letter

2026-02-25T13:19:28Z

Fix MathJax: add space after \cdot before letter

← Nächstältere Version		Version vom 25. Februar 2026, 15:19 Uhr
Zeile 79:		Zeile 79:
	*Durch Nullsetzen der Ableitung folgt daraus:		*Durch Nullsetzen der Ableitung folgt daraus:
	:$$- {3}/{2} \cdot K_1 \cdot x^{-5/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}+ K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rme}^{-K_2/x}\cdot (-K_2) \cdot (-x^{-2})= 0\hspace{0.05cm}.$$		:$$- {3}/{2} \cdot K_1 \cdot x^{-5/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}+ K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rme}^{-K_2/x}\cdot (-K_2) \cdot (-x^{-2})= 0\hspace{0.05cm}.$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} \cdot x^{-5/2} = K_2 \~~cdotx~~^{-7/2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}x_{\rm max} = {2}/{3} \cdot K_2 = \frac{{a}_{\rm \star}^2}{3 \pi}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} \cdot x^{-5/2} = K_2 \cdot x^{-7/2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}x_{\rm max} = {2}/{3} \cdot K_2 = \frac{{a}_{\rm \star}^2}{3 \pi}\hspace{0.05cm}.$$
	*Daraus ergibt sich für  $60 \ \rm dB$  Kabeldämpfung  $({a}_{\rm \star} \approx 6.9 \ \rm Np)$:		*Daraus ergibt sich für  $60 \ \rm dB$  Kabeldämpfung  $({a}_{\rm \star} \approx 6.9 \ \rm Np)$:
	:$$x_{\rm max} = { t_{\rm max}}/{ T}= { 6.9^2}/{(3\pi)}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 5 }\hspace{0.05cm}.$$		:$$x_{\rm max} = { t_{\rm max}}/{ T}= { 6.9^2}/{(3\pi)}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 5 }\hspace{0.05cm}.$$

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:39:57Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

Änderungen zeigen

Guenter am 12. November 2021 um 16:35 Uhr

2021-11-12T16:35:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. November 2021, 18:35 Uhr
Zeile 94:		Zeile 94:
	\cdot \sqrt{70\,\,{\rm MHz}}}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3\,\,{\rm km}}		\cdot \sqrt{70\,\,{\rm MHz}}}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3\,\,{\rm km}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Mit den Substitutionen		'''(2)'''  Mit den Substitutionen
Zeile 114:		Zeile 113:


			'''(3)'''  Setzt man das Ergebnis in die vorgegebene Gleichung ein,  so erhält man (zur Vereinfachung verwenden wir &bdquo;${a}$” anstelle von &bdquo;${a}_{\rm \star}$”):
	'''(3)'''  Setzt man das Ergebnis in die vorgegebene Gleichung ein, so erhält man (zur Vereinfachung verwenden wir &bdquo;${a}$”anstelle von &bdquo;${a}_{\rm \star}$”):
	:$$h_{\rm K}(t_{\rm max}) = \frac{1}{T} \cdot \frac{ {a}}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot {{a}^6}/{(3\pi)^3}}}\hspace{0.1cm} \cdot		:$$h_{\rm K}(t_{\rm max}) = \frac{1}{T} \cdot \frac{ {a}}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot {{a}^6}/{(3\pi)^3}}}\hspace{0.1cm} \cdot
	{\rm exp} \left[ - \frac{{a}^2}{2\pi} \cdot		{\rm exp} \left[ - \frac{{a}^2}{2\pi} \cdot
Zeile 126:		Zeile 124:
	:$${\rm Max}\,[h_{\rm K}(t)] = \frac{1.453}{{6.9\,}^2} \cdot {1}/{T}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.03 \cdot {1}/{T}}		:$${\rm Max}\,[h_{\rm K}(t)] = \frac{1.453}{{6.9\,}^2} \cdot {1}/{T}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.03 \cdot {1}/{T}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Mit dem Ergebnis aus  '''(3)'''  lautet die geeignete Bestimmungsgleichung:		'''(4)'''  Mit dem Ergebnis aus  '''(3)'''  lautet die geeignete Bestimmungsgleichung:
Zeile 135:		Zeile 132:
	\hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm}
	\hspace{0.15cm}\underline{t_{5\%}/T \approx 103.5} \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm}\underline{t_{5\%}/T \approx 103.5} \hspace{0.05cm}.$$
	*Dieser Wert ist etwas zu groß, da der zweite Term  ${\rm e}^{-0.05}\approx 0.95$  vernachlässigt wurde.		*Dieser Wert ist etwas zu groß,  da der zweite Term  ${\rm e}^{-0.05}\approx 0.95$  vernachlässigt wurde.
	*Die exakte Berechnung liefert  $t_{\rm 5\%}/T \approx 97$.		*Die exakte Berechnung liefert  $t_{\rm 5\%}/T \approx 97$.


			'''(5)'''  Richtig ist  <u>der zweite Lösungsvorschlag</u>:
	'''(5)'''  Richtig ist <u>der zweite Lösungsvorschlag</u>:
	*Allgemein gilt:		*Allgemein gilt:
	:$$g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t) = s_0 \cdot		:$$g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t) = s_0 \cdot
	\int_{t-T/2}^{t+T/2} h_{\rm K}(\tau) \,{\rm d} \tau .$$		\int_{t-T/2}^{t+T/2} h_{\rm K}(\tau) \,{\rm d} \tau .$$
	*Da sich die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$ innerhalb einer Symboldauer nur unwesentlich ändert, kann auch geschrieben werden:		*Da sich die Kanalimpulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  innerhalb einer Symboldauer nur unwesentlich ändert,  kann näherungdweise auch geschrieben werden:
	:$$g_r(t) = h_{\rm K}(t) \cdot s_0 \cdot T.$$		:$$g_r(t) = h_{\rm K}(t) \cdot s_0 \cdot T.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 12. November 2021 um 16:28 Uhr

2021-11-12T16:28:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. November 2021, 18:28 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	{\rm e}^{- (\alpha_2 + {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2) \hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l}		{\rm e}^{- (\alpha_2 + {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2) \hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen, der zweite Term auf die Querverluste. Dominant ist jedoch der Skineffekt, der durch den dritten Term ausgedrückt wird.		Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen,  der zweite Term auf die Querverluste.  Dominant ist jedoch der Skineffekt,  der durch den dritten Term ausgedrückt wird.

	Mit den für ein &bdquo;Normalkoaxialkabel”  $\text{(2.6 mm}$  Kerndurchmesser,  $\text{9.5 mm}$  Außendurchmesser$)$  gültigen Koeffizienten		Mit den für ein &bdquo;Normalkoaxialkabel”  $\text{(2.6 mm}$  Kerndurchmesser,  $\text{9.5 mm}$  Außendurchmesser$)$  gültigen Koeffizienten
Zeile 32:		Zeile 32:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Der entsprechende  $\rm dB$–Wert ist um den Faktor  $8.686$  größer.		*Der entsprechende  $\rm dB$–Wert ist um den Faktor  $8.686$  größer.
	*Bei einem Binärsystem gilt  $R = 1/T$, so dass sich die charakteristische Kabeldämpfung auf die Frequenz  $f = 1/(2T)$  bezieht.		*Bei einem Binärsystem gilt  $R = 1/T$,  so dass sich die charakteristische Kabeldämpfung auf die Frequenz  $f = 1/(2T)$  bezieht.


	Die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Fouriertransformation\|Fouriertransformierte]]  von  $H_{\rm K}(f)$  liefert die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$, die für ein Koaxialkabel mit den hier beschriebenen Näherungen in geschlossen–analytischer Form angebbar ist. Für ein Binärsystem gilt:		Die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Fouriertransformation\|Fouriertransformierte]]  von  $H_{\rm K}(f)$  liefert die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$,  die für ein Koaxialkabel mit den hier beschriebenen Näherungen in geschlossen–analytischer Form angebbar ist.  Für ein Binärsystem gilt:
	:$$h_{\rm K}(t) = \frac{ {a}_{\rm \star}/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t/T)^3}}\hspace{0.1cm} \cdot		:$$h_{\rm K}(t) = \frac{ {a}_{\rm \star}/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t/T)^3}}\hspace{0.1cm} \cdot
	{\rm e}^{ - {{a}_{\rm \star}^2}/(2 \hspace{0.05cm} \pi \cdot \hspace{0.05cm} t/T)}		{\rm e}^{ - {{a}_{\rm \star}^2}/(2 \hspace{0.05cm} \pi \cdot \hspace{0.05cm} t/T)}
	\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.2cm}{\rm in}\hspace{0.2cm}{\rm Np}		\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.2cm}{\rm in}\hspace{0.2cm}{\rm Np}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Die Teilaufgabe  '''(5)'''  bezieht sich auf den Empfangsgrundimpuls  $g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t)$, wobei für  $g_s(t)$  ein Rechteck mit Höhe  $s_0$  und Dauer  $T$  angenommen wird.		Die Teilaufgabe  '''(5)'''  bezieht sich auf den Empfangsgrundimpuls  $g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t)$,  wobei für  $g_s(t)$  ein Rechteck mit Höhe  $s_0$  und Dauer  $T$  angenommen wird.




			Hinweise:


	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln\|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln\|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].

	*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet  [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln\|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]  benutzen.		*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive SWF–Applet  [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln\|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]  benutzen.


Zeile 58:		Zeile 55:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß ist die Länge  $l$  eines Normalkoaxialkabels, wenn sich für die Bitrate  $R = 140 \ \rm Mbit/s$  die charakteristische Kabeldämpfung  ${a}_{\rm \star} = 60 \ \rm dB$  ergibt?		{Wie groß ist die Länge  $l$  eines Normalkoaxialkabels,  wenn sich für die Bitrate  $R = 140 \ \rm Mbit/s$  die charakteristische Kabeldämpfung  ${a}_{\rm \star} = 60 \ \rm dB$  ergibt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$l \ =\ $ { 3 3% } $\ \rm km$		$l \ =\ $ { 3 3% } $\ \rm km$


	{Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  besitzt  $h_{\rm K}(t)$  sein Maximum? Es gelte weiter  ${a}_{\rm \star} = 60 \ \rm dB$.		{Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  besitzt  $h_{\rm K}(t)$  sein Maximum?  Es gelte weiter  ${a}_{\rm \star} = 60 \ \rm dB$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$t_{\rm max} \ = \ $ { 5 3% } $\ \cdot T$		$t_{\rm max} \ = \ $ { 5 3% } $\ \cdot T$

Guenter am 7. November 2019 um 14:00 Uhr

2019-11-07T14:00:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. November 2019, 16:00 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen, der zweite Term auf die Querverluste. Dominant ist jedoch der Skineffekt, der durch den dritten Term ausgedrückt wird.		Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen, der zweite Term auf die Querverluste. Dominant ist jedoch der Skineffekt, der durch den dritten Term ausgedrückt wird.

	Mit den für ein &bdquo;Normalkoaxialkabel”  $\text{(2.6 mm}$  Kerndurchmesser,  $\text{9.5 mm}$  Außendurchmesser$)$ gültigen Koeffizienten		Mit den für ein &bdquo;Normalkoaxialkabel”  $\text{(2.6 mm}$  Kerndurchmesser,  $\text{9.5 mm}$  Außendurchmesser$)$  gültigen Koeffizienten
	:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}}		:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}}
	\hspace{0.05cm},		\hspace{0.05cm},

Guenter am 7. November 2019 um 13:52 Uhr

2019-11-07T13:52:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. November 2019, 15:52 Uhr
Zeile 90:		Zeile 90:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die charakteristische Kabeldämpfung ${a}_{\rm \star} = 60 \ \rm dB$ entspricht in etwa $6.9\ \rm Np$. Deshalb muss gelten:		'''(1)'''  Die charakteristische Kabeldämpfung  ${a}_{\rm \star} = 60 \ \rm dB$  entspricht in etwa  $6.9\ \rm Np$. Deshalb muss gelten:
	:$$\alpha_2 \cdot l \cdot {R}/{2} = 6.9\,\,{\rm		:$$\alpha_2 \cdot l \cdot {R}/{2} = 6.9\,\,{\rm
	Np}		Np}
Zeile 102:		Zeile 102:
	:$$x = \frac{ t}{ T}, \hspace{0.2cm} K_1 = \frac{ {a}_{\rm \star}/T}{\sqrt{2 \pi^2 }}, \hspace{0.2cm}		:$$x = \frac{ t}{ T}, \hspace{0.2cm} K_1 = \frac{ {a}_{\rm \star}/T}{\sqrt{2 \pi^2 }}, \hspace{0.2cm}
	K_2 = \frac{ {a}_{\rm \star}^2}{2 \pi}$$		K_2 = \frac{ {a}_{\rm \star}^2}{2 \pi}$$
	kann die Impulsantwort wie folgt beschrieben werden: ~~ ~~ $h_{\rm K}(x) = K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}		kann die Impulsantwort wie folgt beschrieben werden:
	\hspace{0.05cm}.$		:$$h_{\rm K}(x) = K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}
	Durch Nullsetzen der Ableitung folgt daraus:		\hspace{0.05cm}.$$
			*Durch Nullsetzen der Ableitung folgt daraus:
	:$$- {3}/{2} \cdot K_1 \cdot x^{-5/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}+ K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rm		:$$- {3}/{2} \cdot K_1 \cdot x^{-5/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}+ K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rm
	e}^{-K_2/x}\cdot (-K_2) \cdot (-x^{-2})= 0		e}^{-K_2/x}\cdot (-K_2) \cdot (-x^{-2})= 0
Zeile 112:		Zeile 113:
	x_{\rm max} = {2}/{3} \cdot K_2 = \frac{{a}_{\rm \star}^2}{3 \pi}		x_{\rm max} = {2}/{3} \cdot K_2 = \frac{{a}_{\rm \star}^2}{3 \pi}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Daraus ergibt sich für $60 \ \rm dB$ Kabeldämpfung $({a}_{\rm \star} \approx 6.9 \ \rm Np)$:		*Daraus ergibt sich für  $60 \ \rm dB$  Kabeldämpfung  $({a}_{\rm \star} \approx 6.9 \ \rm Np)$:
	:$$x_{\rm max} = { t_{\rm max}}/{ T}= { 6.9^2}/{(3\pi)}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 5 }\hspace{0.05cm}.$$		:$$x_{\rm max} = { t_{\rm max}}/{ T}= { 6.9^2}/{(3\pi)}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 5 }\hspace{0.05cm}.$$



Zeile 124:		Zeile 126:
	}{2}} \cdot {\rm e}^{-3/2} \approx \frac{1}{T} \cdot \frac{1.453}{{a}^2}		}{2}} \cdot {\rm e}^{-3/2} \approx \frac{1}{T} \cdot \frac{1.453}{{a}^2}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Mit $a = 6.9$ kommt man somit zum Endergebnis:		*Mit  $a = 6.9$  kommt man somit zum Endergebnis:
	:$${\rm Max}\,[h_{\rm K}(t)] = \frac{1.453}{{6.9\,}^2} \cdot {1}/{T}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.03 \cdot {1}/{T}}		:$${\rm Max}\,[h_{\rm K}(t)] = \frac{1.453}{{6.9\,}^2} \cdot {1}/{T}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.03 \cdot {1}/{T}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Mit dem Ergebnis aus '''(3)''' lautet die geeignete Bestimmungsgleichung:		'''(4)'''  Mit dem Ergebnis aus  '''(3)'''  lautet die geeignete Bestimmungsgleichung:
	:$$\frac{ {a}/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t_{5\%}/T)^3}}= 0.05 \cdot 0.03 {1}/{T}		:$$\frac{ {a}/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t_{5\%}/T)^3}}= 0.05 \cdot 0.03 {1}/{T}
	\hspace{0.15cm}{= 0.0015 \cdot {1}/{T}}		\hspace{0.15cm}{= 0.0015 \cdot {1}/{T}}
Zeile 136:		Zeile 138:
	\hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm}
	\hspace{0.15cm}\underline{t_{5\%}/T \approx 103.5} \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm}\underline{t_{5\%}/T \approx 103.5} \hspace{0.05cm}.$$
	Dieser Wert ist etwas zu groß, da der zweite Term ${\rm e}^{-0.05}\approx 0.95$ vernachlässigt wurde. Die exakte Berechnung liefert $t_{\rm 5\%}/T \approx 97$.		*Dieser Wert ist etwas zu groß, da der zweite Term  ${\rm e}^{-0.05}\approx 0.95$  vernachlässigt wurde.
			*Die exakte Berechnung liefert  $t_{\rm 5\%}/T \approx 97$.

Guenter am 7. November 2019 um 13:45 Uhr

2019-11-07T13:45:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. November 2019, 15:45 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen, der zweite Term auf die Querverluste. Dominant ist jedoch der Skineffekt, der durch den dritten Term ausgedrückt wird.		Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen, der zweite Term auf die Querverluste. Dominant ist jedoch der Skineffekt, der durch den dritten Term ausgedrückt wird.

	Mit den für ein ~~so genanntes~~ Normalkoaxialkabel (2.6 mm Kerndurchmesser ~~und~~ 9.5 mm Außendurchmesser) gültigen Koeffizienten		Mit den für ein &bdquo;Normalkoaxialkabel”  $\text{(2.6 mm}$  Kerndurchmesser,  $\text{9.5 mm}$  Außendurchmesser$)$ gültigen Koeffizienten
	:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}}		:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}}
	\hspace{0.05cm},		\hspace{0.05cm},
Zeile 23:		Zeile 23:
	\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f/{\rm MHz}}}		\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f/{\rm MHz}}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	~~Das heißt: Der~~ Dämpfungsverlauf  ${a}_{\rm K}(f)$  und ~~der~~ Phasenverlauf  $b_{\rm K}(f)$  sind bis auf die Pseudoeinheiten &bdquo;Np” bzw. &bdquo;rad” identisch.		⇒   Dämpfungsverlauf  ${a}_{\rm K}(f)$  und Phasenverlauf  $b_{\rm K}(f)$  sind bis auf die Pseudoeinheiten &bdquo;Np” bzw. &bdquo;rad” identisch.


	Definiert man die charakteristische Kabeldämpfung  ${a}_{\rm *}$  bei der halben Bitrate $($also bei  $R/2)$, so kann man Digitalsysteme unterschiedlicher Bitrate und Länge einheitlich behandeln:		Definiert man die charakteristische Kabeldämpfung  ${a}_{\rm *}$  bei der halben Bitrate  $($also bei  $R/2)$  und normiert die Frequenz auf  $R$,  so kann man Digitalsysteme unterschiedlicher Bitrate und Länge einheitlich behandeln:
	:$${a}_{\rm \star} = {a}_{\rm K}(f ={R}/{2})		:$${a}_{\rm \star} = {a}_{\rm K}(f ={R}/{2})
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-		\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-
	{a}_{\rm \star} \cdot \sqrt{2f/R}}\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {a}_{\star} \cdot \sqrt{2f/R}}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{a}_{\star}\hspace{0.2cm}{\rm in}\hspace{0.2cm}{\rm Np}		{a}_{\rm \star} \cdot \sqrt{2f/R}}\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {a}_{\star} \cdot \sqrt{2f/R}}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{a}_{\star}\hspace{0.2cm}{\rm in}\hspace{0.2cm}{\rm Np}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Der entsprechende  $\rm dB$–Wert ist um den Faktor  $8.686$  größer. Bei einem Binärsystem gilt  $R = 1/T$, so dass sich die charakteristische Kabeldämpfung auf die Frequenz  $f = 1/(2T)$  bezieht.		*Der entsprechende  $\rm dB$–Wert ist um den Faktor  $8.686$  größer.
			*Bei einem Binärsystem gilt  $R = 1/T$, so dass sich die charakteristische Kabeldämpfung auf die Frequenz  $f = 1/(2T)$  bezieht.

	Die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Fouriertransformation\|Fouriertransformierte]] von  $H_{\rm K}(f)$  liefert die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$, die für ein Koaxialkabel mit den hier beschriebenen Näherungen in geschlossen–analytischer Form angebbar ist. Für ein Binärsystem gilt:
			Die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Fouriertransformation\|Fouriertransformierte]]  von  $H_{\rm K}(f)$  liefert die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$, die für ein Koaxialkabel mit den hier beschriebenen Näherungen in geschlossen–analytischer Form angebbar ist. Für ein Binärsystem gilt:
	:$$h_{\rm K}(t) = \frac{ {a}_{\rm \star}/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t/T)^3}}\hspace{0.1cm} \cdot		:$$h_{\rm K}(t) = \frac{ {a}_{\rm \star}/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t/T)^3}}\hspace{0.1cm} \cdot
	{\rm ~~exp~~} ~~\left[~~ - ~~\frac~~{{a}_{\rm \star}^2}{2 \pi \cdot ~~t/T}~~\hspace{0.~~1cm~~}~~\right]~~		{\rm e}^{ - {{a}_{\rm \star}^2}/(2 \hspace{0.05cm} \pi \cdot \hspace{0.05cm} t/T)}
	\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.2cm}{\rm in}\hspace{0.2cm}{\rm Np}		\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.2cm}{\rm in}\hspace{0.2cm}{\rm Np}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Die Teilaufgabe '''(5)''' bezieht sich auf den Empfangsgrundimpuls  $g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t)$, wobei für  $g_s(t)$  ein ~~Rechteckimpuls~~ mit ~~der~~ Höhe  $s_0$  und ~~der~~ Dauer  $T$  angenommen ~~werden soll~~.		Die Teilaufgabe  '''(5)'''  bezieht sich auf den Empfangsgrundimpuls  $g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t)$, wobei für  $g_s(t)$  ein Rechteck mit Höhe  $s_0$  und Dauer  $T$  angenommen wird.





Zeile 68:		Zeile 73:


	{Ab welcher Zeit  $t_{\rm 5\%}$  ist  $h_{\rm K}(t)$  kleiner als  $5\%$  des Maximums? ~~<br>~~Berücksichtigen Sie als Näherung nur den ersten Term der angegebenen Formel.		{Ab welcher Zeit  $t_{\rm 5\%}$  ist  $h_{\rm K}(t)$  kleiner als  $5\%$  des Maximums?  Berücksichtigen Sie als Näherung nur den ersten Term der angegebenen Formel.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$t_{\rm 5\%} \ = \ $ { 103.5 3% } $\ \cdot T$		$t_{\rm 5\%} \ = \ $ { 103.5 3% } $\ \cdot T$

Guenter am 29. November 2018 um 07:10 Uhr

2018-11-29T07:10:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 16:04 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:

	Mit den für ein &bdquo;Normalkoaxialkabel”  $\text{(2.6 mm}$  Kerndurchmesser,  $\text{9.5 mm}$  Außendurchmesser$)$  gültigen Koeffizienten		Mit den für ein &bdquo;Normalkoaxialkabel”  $\text{(2.6 mm}$  Kerndurchmesser,  $\text{9.5 mm}$  Außendurchmesser$)$  gültigen Koeffizienten
	:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \beta_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{\~~rmMHz~~}}\hspace{0.05cm}$$		:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \beta_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}$$
	lässt sich dieser Frequenzgang auch wie folgt darstellen:		lässt sich dieser Frequenzgang auch wie folgt darstellen:
	:$$H_{\rm K}(f) \approx {\rm e}^{- 0.2722 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l/{\rm km}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f/{\rm MHz}} } \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}0.2722 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l/{\rm km}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f/{\rm MHz}}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$H_{\rm K}(f) \approx {\rm e}^{- 0.2722 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l/{\rm km}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f/{\rm MHz}} } \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}0.2722 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l/{\rm km}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f/{\rm MHz}}}\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 71:		Zeile 71:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die charakteristische Kabeldämpfung  ${a}_{\rm \star} = 60 \ \rm dB$  entspricht in etwa  $6.9\ \rm Np$. Deshalb muss gelten:		'''(1)'''  Die charakteristische Kabeldämpfung  ${a}_{\rm \star} = 60 \ \rm dB$  entspricht in etwa  $6.9\ \rm Np$. Deshalb muss gelten:
	:$$\alpha_2 \cdot l \cdot {R}/{2} = 6.9\,\,{\~~rmNp~~}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} l = \frac{6.9\,\,{\~~rmNp~~}}{0.2722 \,\, {\rm Np}/({\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}})\cdot \sqrt{70\,\,{\rm MHz}}}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3\,\,{\rm km}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\alpha_2 \cdot l \cdot {R}/{2} = 6.9\,\,{\rm Np}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} l = \frac{6.9\,\,{\rm Np}}{0.2722 \,\, {\rm Np}/({\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}})\cdot \sqrt{70\,\,{\rm MHz}}}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3\,\,{\rm km}}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(2)'''  Mit den Substitutionen		'''(2)'''  Mit den Substitutionen
Zeile 78:		Zeile 78:
	:$$h_{\rm K}(x) = K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}\hspace{0.05cm}.$$		:$$h_{\rm K}(x) = K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}\hspace{0.05cm}.$$
	*Durch Nullsetzen der Ableitung folgt daraus:		*Durch Nullsetzen der Ableitung folgt daraus:
	:$$- {3}/{2} \cdot K_1 \cdot x^{-5/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}+ K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\~~rme~~}^{-K_2/x}\cdot (-K_2) \cdot (-x^{-2})= 0\hspace{0.05cm}.$$		:$$- {3}/{2} \cdot K_1 \cdot x^{-5/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}+ K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}\cdot (-K_2) \cdot (-x^{-2})= 0\hspace{0.05cm}.$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} \cdot x^{-5/2} = K_2 \cdot x^{-7/2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}x_{\rm max} = {2}/{3} \cdot K_2 = \frac{{a}_{\rm \star}^2}{3 \pi}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} \cdot x^{-5/2} = K_2 \cdot x^{-7/2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}x_{\rm max} = {2}/{3} \cdot K_2 = \frac{{a}_{\rm \star}^2}{3 \pi}\hspace{0.05cm}.$$
	*Daraus ergibt sich für  $60 \ \rm dB$  Kabeldämpfung  $({a}_{\rm \star} \approx 6.9 \ \rm Np)$:		*Daraus ergibt sich für  $60 \ \rm dB$  Kabeldämpfung  $({a}_{\rm \star} \approx 6.9 \ \rm Np)$:

← Nächstältere Version		Version vom 29. November 2018, 09:10 Uhr
Zeile 107:		Zeile 107:
	x_{\rm max} = {2}/{3} \cdot K_2 = \frac{{a}_{\rm \star}^2}{3 \pi}		x_{\rm max} = {2}/{3} \cdot K_2 = \frac{{a}_{\rm \star}^2}{3 \pi}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Daraus ergibt sich für $60 \ \rm dB$ Kabeldämpfung (${a}_{\rm \star} \approx 6.9 \ \rm Np$):		Daraus ergibt sich für $60 \ \rm dB$ Kabeldämpfung $({a}_{\rm \star} \approx 6.9 \ \rm Np)$:
	:$$x_{\rm max} = { t_{\rm max}}/{ T}= { 6.9^2}/{(3\pi)}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 5 }\hspace{0.05cm}.$$		:$$x_{\rm max} = { t_{\rm max}}/{ T}= { 6.9^2}/{(3\pi)}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 5 }\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Setzt man das ~~letzte~~ Ergebnis in die vorgegebene Gleichung ein, so erhält man (zur Vereinfachung verwenden wir &bdquo;${a}$”anstelle von &bdquo;${a}_{\rm \star}$”):		'''(3)'''  Setzt man das Ergebnis in die vorgegebene Gleichung ein, so erhält man (zur Vereinfachung verwenden wir &bdquo;${a}$”anstelle von &bdquo;${a}_{\rm \star}$”):
	:$$h_{\rm K}(t_{\rm max}) = \frac{1}{T} \cdot \frac{ {a}}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot {{a}^6}/{(3\pi)^3}}}\hspace{0.1cm} \cdot		:$$h_{\rm K}(t_{\rm max}) = \frac{1}{T} \cdot \frac{ {a}}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot {{a}^6}/{(3\pi)^3}}}\hspace{0.1cm} \cdot
	{\rm exp} \left[ - \frac{{a}^2}{2\pi} \cdot		{\rm exp} \left[ - \frac{{a}^2}{2\pi} \cdot
Zeile 124:		Zeile 124:


	'''(4)'''  Mit dem Ergebnis aus (3) lautet die geeignete Bestimmungsgleichung:		'''(4)'''  Mit dem Ergebnis aus '''(3)''' lautet die geeignete Bestimmungsgleichung:
	:$$\frac{ {a}/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t_{5\%}/T)^3}}= 0.05 \cdot 0.03 {1}/{T}		:$$\frac{ {a}/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t_{5\%}/T)^3}}= 0.05 \cdot 0.03 {1}/{T}
	\hspace{0.15cm}{= 0.0015 \cdot {1}/{T}}		\hspace{0.15cm}{= 0.0015 \cdot {1}/{T}}
	\hspace{0.~~3cm~~} \Rightarrow \hspace{0.~~3cm~~} (t_{5\%}/T)^{3/2} = \frac{a}{\sqrt{2} \cdot \pi \cdot		\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} (t_{5\%}/T)^{3/2} = \frac{a}{\sqrt{2} \cdot \pi \cdot
	0.0015}\approx 1036 \hspace{0.3cm}\Rightarrow		0.0015}\approx 1036 \hspace{0.3cm}\Rightarrow
	\hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm}
Zeile 138:		Zeile 138:
	:$$g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t) = s_0 \cdot		:$$g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t) = s_0 \cdot
	\int_{t-T/2}^{t+T/2} h_{\rm K}(\tau) \,{\rm d} \tau .$$		\int_{t-T/2}^{t+T/2} h_{\rm K}(\tau) \,{\rm d} \tau .$$
	*Da sich die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$ innerhalb einer Symboldauer nur unwesentlich ändert, kann ~~hierfür~~ auch geschrieben werden:		*Da sich die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$ innerhalb einer Symboldauer nur unwesentlich ändert, kann auch geschrieben werden:
	:$$g_r(t) = h_{\rm K}(t) \cdot s_0 \cdot T.$$		:$$g_r(t) = h_{\rm K}(t) \cdot s_0 \cdot T.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}