Aufgaben:Aufgabe 4.5: 2D-Prüfungsauswertung - Versionsgeschichte

Guenter am 24. Februar 2022 um 15:40 Uhr

2022-02-24T15:40:05Z

Guenter am 24. Februar 2022 um 15:32 Uhr

2022-02-24T15:32:20Z

Guenter am 27. November 2019 um 11:03 Uhr

2019-11-27T11:03:28Z

Guenter am 27. November 2019 um 10:52 Uhr

2019-11-27T10:52:49Z

Guenter am 16. August 2018 um 09:17 Uhr

2018-08-16T09:17:10Z

Guenter am 16. August 2018 um 09:03 Uhr

2018-08-16T09:03:28Z

Guenter am 16. August 2018 um 08:57 Uhr

2018-08-16T08:57:39Z

Guenter am 16. August 2018 um 08:31 Uhr

2018-08-16T08:31:37Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:52Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.5 2D-Prüfungsauswertung nach Aufgaben:Aufgabe 4.5: 2D-Prüfungsauswertung

2018-01-03T13:41:44Z

Guenter verschob die Seite 4.5 2D-Prüfungsauswertung nach Aufgabe 4.5: 2D-Prüfungsauswertung

@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
 *Diese Funktion wurde mit Hilfe eines Auswertungsprogramms empirisch wie folgt  angen&auml;hert:
 :$$f_{tp}(t,\hspace{0.08cm}p) = \rm 13.263\cdot \rm exp \Bigg\{-\frac{(\it t - \rm 0.5)^{\rm 2}}{\rm 0.0288}-\frac{(\it p-\rm 0.7)^{\rm 2}}{\rm 0.0072} + \frac{(\it t-\rm 0.5)(\it p-\rm 0.7)}{\rm 0.0090}\Bigg\}.$$
@@ Zeile 78: / Zeile 76: @@
 *Die Standardabweichungen&nbsp; $\sigma_t$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_p$&nbsp; sowie der Korrelationskoeffizient&nbsp;  $\rho$&nbsp; lassen sich durch Koeffizientenvergleich ermitteln:
-*Ein Vergleich der beiden ersten Terme im Exponenten zeigt, dass&nbsp; $\sigma_t = 2 \cdot \sigma_p$&nbsp; gelten muss.&nbsp; Damit lautet die WDF:
+*Ein Vergleich der beiden ersten Terme im Exponenten zeigt,&nbsp; dass&nbsp; $\sigma_t = 2 \cdot \sigma_p$&nbsp; gelten muss.&nbsp; Damit lautet die WDF:
 :$$f_{\it tp}(\it  t,\hspace{0.08cm} \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 4\it \pi \cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2} \cdot\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot \hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 8\cdot (\rm 1-\rho^{\rm 2})\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it\rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it \rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot\sigma_{\it p}^{\rm 2}}\Bigg\}.$$
 *Aus dem zweiten Term des Exponenten folgt:
@@ Zeile 93: / Zeile 91: @@
 '''(4)'''&nbsp; Der <u>Lösungsvorschlag 1</u> ist richtig.
-*Im Grunde genommen ist&nbsp; $(t, p)$&nbsp; keine echte Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e,&nbsp; da beide Komponenten begrenzt sind.
+*Im Grunde genommen ist&nbsp; $(t,\hspace{0.08cm} p)$&nbsp; keine echte Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e,&nbsp; da beide Komponenten begrenzt sind.
-*Die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r die Ereignisse&nbsp; $t < 0$, &nbsp; &nbsp; $t >1$, &nbsp; &nbsp;  $p < 0$ und&nbsp; $p >1$&nbsp; sind somit Null.
+*Die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r die Ereignisse&nbsp; $t < 0$, &nbsp; &nbsp; $t >1$, &nbsp; &nbsp;  $p < 0$ &nbsp; und &nbsp; $p >1$ &nbsp; sind somit Null.
 *Bei Gau&szlig;schen Gr&ouml;&szlig;en mit den hier vorliegenden Mittelwerten und Streuungen ergeben sich jedoch
 :$$\rm Pr(\it t < \rm 0) = \rm Pr(\it t > \rm 1) = \rm Q(2.5)\approx 6\cdot 10^{-3},$$
@@ Zeile 100: / Zeile 98: @@
 :$$\rm Pr(\it p < \rm 0) = \rm Q(7)\approx 10^{-12}.$$
-*Der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho = 0.8$&nbsp; ist hier positiv. Hat der Pr&uuml;fling im Theorieteil eher gut abgeschnitten, so ist (zumindest bei dieser Aufgabe) zu erwarten, dass auch der praktische Teil gut l&auml;uft.
+*Der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho = 0.8$&nbsp; ist hier positiv:&nbsp; Hat der Pr&uuml;fling im Theorieteil eher gut abgeschnitten,&nbsp; so ist&nbsp; (zumindest bei dieser Aufgabe)&nbsp; zu erwarten,&nbsp; dass auch der praktische Teil gut l&auml;uft.
-*Hier ist also der Lösungsvorschlag 2 falsch. In der Praxis ist das sicher nicht immer so.
+*Hier ist also der Lösungsvorschlag 2 falsch.&nbsp; In der Praxis ist das sicher nicht immer so.
 '''(5)'''&nbsp; F&uuml;r diese Wahrscheinlichkeit gilt mit&nbsp; $\Delta t = \Delta p  = 0.02$:
-:$$\rm Pr\left [( \rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2}\le \it t \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2})\cap(\rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2}\le \it p \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2})\right ] \approx  \rm\Delta\it t\cdot\rm\Delta\it p\cdot \it f_{tp}{\rm (}t=\rm 0.5, \it p = \rm 0.5).$$
+:$$\rm Pr\left [( \rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2}\le \it t \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2})\cap(\rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2}\le \it p \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2})\right ] \approx  \rm\Delta\it t\cdot\rm\Delta\it p\cdot \it f_{tp}{\rm (}t=\rm 0.5,\hspace{0.08cm} \it p = \rm 0.5).$$
 *F&uuml;r die 2D-WDF gilt unter Ber&uuml;cksichtigung der Mittelwerte&nbsp; $m_t{= 0.5}$&nbsp; und&nbsp; $m_p{= 0.7}$:
-:$$f_{tp}(\it t=\rm 0.5, \it p=\rm 0.5) = \rm 13.263\cdot {\rm e}^{-(-0.2)^2/0.0072}\approx 0.0513.$$
+:$$f_{tp}(\it t=\rm 0.5,\hspace{0.08cm} \it p=\rm 0.5) = \rm 13.263\cdot {\rm e}^{-(-0.2)^2/0.0072}\approx 0.0513.$$
 *Damit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID267__Sto_A_4_5.png|right|frame|Betrachtete Gaußsche 2D-WDF&nbsp; $f_{tp}(t,p)$]]
+[[Datei:P_ID267__Sto_A_4_5.png|right|frame|Gegebene Gaußsche 2D-WDF&nbsp; $f_{tp}(t,\hspace{0.08cm}p)$]]
-In einer Studie wurden die Meisterpr&uuml;fungen f&uuml;r das Handwerk  untersucht, die sich stets aus einem theoretischen und zus&auml;tzlich einem praktischen Teil zusammensetzen. In der Grafik bezeichnet
+In einer Studie wurden die Meisterpr&uuml;fungen f&uuml;r das Handwerk  untersucht,&nbsp; die sich stets aus einem theoretischen und zus&auml;tzlich einem praktischen Teil zusammensetzen.&nbsp; In der Grafik bezeichnet
 * $t$&nbsp; die Punktzahl in der theoretischen Pr&uuml;fung,
 * $p$&nbsp;  die Punktzahl in der praktischen Pr&uuml;fung.
@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
 Beide  Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $(t$&nbsp; und&nbsp; $p)$&nbsp; sind dabei jeweils auf die Maximalpunktzahlen normiert und k&ouml;nnen deshalb nur Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; annehmen.
-Beide Zufallsgrößen sind zudem als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en zu interpretieren, das heißt: &nbsp; $t$&nbsp; und&nbsp; $p$&nbsp; sind nicht auf diskrete Zahlenwerte beschr&auml;nkt.
+Beide Zufallsgrößen sind zudem als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en zu interpretieren,&nbsp; das heißt: &nbsp; $t$&nbsp; und&nbsp; $p$&nbsp; sind nicht auf diskrete Zahlenwerte beschr&auml;nkt.
-*Die Grafik zeigt die WDF&nbsp; $f_{tp}(t, p)$&nbsp; der zweidimensionalen Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(t, p)$,&nbsp; die nach der Auswertung von insgesamt&nbsp; $N = 10\hspace{0.08cm}000$&nbsp; Abschlussarbeiten veröffentlicht wurde.
+*Die Grafik zeigt die WDF&nbsp; $f_{tp}(t,\hspace{0.08cm} p)$&nbsp; der zweidimensionalen Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(t,\hspace{0.08cm} p)$,&nbsp; die nach der Auswertung von insgesamt&nbsp; $N = 10\hspace{0.08cm}000$&nbsp; Abschlussarbeiten veröffentlicht wurde.
 *Diese Funktion wurde mit Hilfe eines Auswertungsprogramms empirisch wie folgt  angen&auml;hert:
-:$$f_{tp}(t,p) = \rm 13.263\cdot \rm exp \Bigg\{-\frac{(\it t - \rm 0.5)^{\rm 2}}{\rm 0.0288}-\frac{(\it p-\rm 0.7)^{\rm 2}}{\rm 0.0072} + \frac{(\it t-\rm 0.5)(\it p-\rm 0.7)}{\rm 0.0090}\Bigg\}.$$
+:$$f_{tp}(t,\hspace{0.08cm}p) = \rm 13.263\cdot \rm exp \Bigg\{-\frac{(\it t - \rm 0.5)^{\rm 2}}{\rm 0.0288}-\frac{(\it p-\rm 0.7)^{\rm 2}}{\rm 0.0072} + \frac{(\it t-\rm 0.5)(\it p-\rm 0.7)}{\rm 0.0090}\Bigg\}.$$
@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
@@ Zeile 41: / Zeile 38: @@
-{Wie gro&szlig; ist der Mittelwert&nbsp; $m_p$&nbsp; der im Praxisteilteil erzielten Ergebnisse?&nbsp; Geben Sie auch die WDF der mittelwertfreien Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(t\hspace{0.05cm}', p\hspace{0.05cm}')$&nbsp; an.
+{Wie gro&szlig; ist der Mittelwert&nbsp; $m_p$&nbsp; der im Praxisteilteil erzielten Ergebnisse?&nbsp; Geben Sie auch die WDF der mittelwertfreien Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(t\hspace{0.05cm}',\hspace{0.08cm} p\hspace{0.05cm}')$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $m_p \ =  \ $ { 0.7 3% }
@@ Zeile 56: / Zeile 53: @@
 |type="[]"}
 + Der Gauß-Ansatz ist f&uuml;r dieses Problem nur eine N&auml;herung.
-- War ein Pr&uuml;fling im Theoretieteil &uuml;berdurchschnittlich gut, so ist zu erwarten, dass er in der Praxis eher schlecht ist.
+- War ein Pr&uuml;fling im Theoretieteil &uuml;berdurchschnittlich gut,&nbsp; so ist zu erwarten,&nbsp; dass er in der Praxis eher schlecht ist.
@@ Zeile 71: / Zeile 68: @@
 *Die Mittelwerte&nbsp; $m_t\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$&nbsp;  und&nbsp; $m_p\hspace{0.15cm}\underline{= 0.7}$&nbsp; k&ouml;nnen aus der Skizze abgeschätzt und aus der angegebenen Gleichung exakt ermittelt werden.
 *Die 2D&ndash;WDF der mittelwertfreien Gr&ouml;&szlig;e lautet:
-:$$f_{\it t\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}'}(\it  t\hspace{0.05cm}', \it p\hspace{0.05cm}'{\rm )} = \rm 13.263\cdot \rm exp\Bigg (-\frac{\it {\rm (}t\hspace{0.05cm}'{\rm )}^{\rm 2}}{\rm 0.0288} - \frac{\it {\rm (}p\hspace{0.05cm}'{\rm )}^{\rm 2}}{\rm 0.0072}+\frac{\it t\hspace{0.05cm}'\cdot p\hspace{0.05cm}'}{\rm 0.0090}\Bigg ). $$
+:$$f_{\it t\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}'}(\it  t\hspace{0.05cm}',\hspace{0.08cm} \it p\hspace{0.05cm}'{\rm )} = \rm 13.263\cdot \rm exp\Bigg (-\frac{\it {\rm (}t\hspace{0.05cm}'{\rm )}^{\rm 2}}{\rm 0.0288} - \frac{\it {\rm (}p\hspace{0.05cm}'{\rm )}^{\rm 2}}{\rm 0.0072}+\frac{\it t\hspace{0.05cm}'\cdot p\hspace{0.05cm}'}{\rm 0.0090}\Bigg ). $$
 *Zur Vereinfachung wird im Folgenden auf den Apostroph zur Kennzeichnung mittelwertfreier Gr&ouml;&szlig;en verzichtet.&nbsp;
 *Sowohl&nbsp; $t$&nbsp; als auch&nbsp; $p$&nbsp; sind bis einschlie&szlig;lich der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; als mittelwertfrei zu verstehen.
@@ Zeile 78: / Zeile 75: @@
 '''(3)'''&nbsp; Die allgemeine Gleichung einer mittelwertfreien 2D-Zufallsgr&ouml;&szlig;e lautet:
-:$$f_{\it tp}(\it  t, \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it \pi \cdot \sigma_{\it t}\cdot \sigma_{\it p} \cdot\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot \hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\rho^{\rm 2})\cdot \sigma_{\it t}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it\rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{ (\rm 1-\it \rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot\sigma_{\it t}\cdot\sigma_{\it p}}\Bigg\}.$$
+:$$f_{\it tp}(\it  t,\hspace{0.08cm} \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it \pi \cdot \sigma_{\it t}\cdot \sigma_{\it p} \cdot\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot \hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\rho^{\rm 2})\cdot \sigma_{\it t}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it\rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{ (\rm 1-\it \rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot\sigma_{\it t}\cdot\sigma_{\it p}}\Bigg\}.$$
 *Die Standardabweichungen&nbsp; $\sigma_t$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_p$&nbsp; sowie der Korrelationskoeffizient&nbsp;  $\rho$&nbsp; lassen sich durch Koeffizientenvergleich ermitteln:
 *Ein Vergleich der beiden ersten Terme im Exponenten zeigt, dass&nbsp; $\sigma_t = 2 \cdot \sigma_p$&nbsp; gelten muss.&nbsp; Damit lautet die WDF:
-:$$f_{\it tp}(\it  t, \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 4\it \pi \cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2} \cdot\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot \hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 8\cdot (\rm 1-\rho^{\rm 2})\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it\rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it \rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot\sigma_{\it p}^{\rm 2}}\Bigg\}.$$
+:$$f_{\it tp}(\it  t,\hspace{0.08cm} \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 4\it \pi \cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2} \cdot\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot \hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 8\cdot (\rm 1-\rho^{\rm 2})\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it\rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it \rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot\sigma_{\it p}^{\rm 2}}\Bigg\}.$$
 *Aus dem zweiten Term des Exponenten folgt:
 :$$2\cdot(1-\rho^{\rm 2})\cdot\sigma_{p}^{ 2}=0.0072\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{p}^{2} = \frac{ 0.0036}{(1-\rho^{\rm 2})}.$$

@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; und '''(2)'''&nbsp;
-*Die Mittelwerte $m_t\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$  und $m_p\hspace{0.15cm}\underline{= 0.7}$ k&ouml;nnen aus der Skizze abgeschätzt und aus der angegebenen Gleichung exakt ermittelt werden.
+*Die Mittelwerte&nbsp; $m_t\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$&nbsp;  und&nbsp; $m_p\hspace{0.15cm}\underline{= 0.7}$&nbsp; k&ouml;nnen aus der Skizze abgeschätzt und aus der angegebenen Gleichung exakt ermittelt werden.
 *Die 2D&ndash;WDF der mittelwertfreien Gr&ouml;&szlig;e lautet:
 :$$f_{\it t\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}'}(\it  t\hspace{0.05cm}', \it p\hspace{0.05cm}'{\rm )} = \rm 13.263\cdot \rm exp\Bigg (-\frac{\it {\rm (}t\hspace{0.05cm}'{\rm )}^{\rm 2}}{\rm 0.0288} - \frac{\it {\rm (}p\hspace{0.05cm}'{\rm )}^{\rm 2}}{\rm 0.0072}+\frac{\it t\hspace{0.05cm}'\cdot p\hspace{0.05cm}'}{\rm 0.0090}\Bigg ). $$
-*Zur Vereinfachung wird im Folgenden auf den Apostroph zur Kennzeichnung mittelwertfreier Gr&ouml;&szlig;en verzichtet. Sowohl $t$ als auch $p$ sind bis einschlie&szlig;lich der Teilaufgabe '''(4)''' als mittelwertfrei zu verstehen.
+*Zur Vereinfachung wird im Folgenden auf den Apostroph zur Kennzeichnung mittelwertfreier Gr&ouml;&szlig;en verzichtet.&nbsp;
@@ Zeile 78: / Zeile 80: @@
 :$$f_{\it tp}(\it  t, \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it \pi \cdot \sigma_{\it t}\cdot \sigma_{\it p} \cdot\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot \hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\rho^{\rm 2})\cdot \sigma_{\it t}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it\rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{ (\rm 1-\it \rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot\sigma_{\it t}\cdot\sigma_{\it p}}\Bigg\}.$$
-Die Standardabweichungen $\sigma_t$ und $\sigma_p$ sowie der Korrelationskoeffizient  $\rho$ lassen sich durch Koeffizientenvergleich ermitteln:
+*Die Standardabweichungen&nbsp; $\sigma_t$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_p$&nbsp; sowie der Korrelationskoeffizient&nbsp;  $\rho$&nbsp; lassen sich durch Koeffizientenvergleich ermitteln:
-*Ein Vergleich der beiden ersten Terme im Exponenten zeigt, dass $\sigma_t = 2 \cdot \sigma_p$ gelten muss. Damit lautet die WDF:
+*Ein Vergleich der beiden ersten Terme im Exponenten zeigt, dass&nbsp; $\sigma_t = 2 \cdot \sigma_p$&nbsp; gelten muss.&nbsp; Damit lautet die WDF:
 :$$f_{\it tp}(\it  t, \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 4\it \pi \cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2} \cdot\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot \hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 8\cdot (\rm 1-\rho^{\rm 2})\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it\rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it \rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot\sigma_{\it p}^{\rm 2}}\Bigg\}.$$
 *Aus dem zweiten Term des Exponenten folgt:
 :$$2\cdot(1-\rho^{\rm 2})\cdot\sigma_{p}^{ 2}=0.0072\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{p}^{2} = \frac{ 0.0036}{(1-\rho^{\rm 2})}.$$
-*Der Faktor $K = 13.263$ liefert nun das Ergebnis
+*Der Faktor&nbsp; $K = 13.263$&nbsp; liefert nun das Ergebnis
 :$$K = \frac{\sqrt{\rm 1-\it\rho^{\rm 2}}}{\rm 4\it\pi\cdot \rm 0.0036}=\rm 13.263 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\sqrt{\rm 1-\it\rho^{\rm 2}}=\rm 0.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\hspace{0.15cm}\underline{ \rm \rho = \rm 0.8}.$$
-*Daraus ergeben sich die Streuungen zu $\sigma_t\hspace{0.15cm}\underline{= 0.2}$ und  $\sigma_p\hspace{0.15cm}\underline{= 0.1}$.
+*Daraus ergeben sich die Streuungen zu&nbsp; $\sigma_t\hspace{0.15cm}\underline{= 0.2}$&nbsp; und&nbsp;  $\sigma_p\hspace{0.15cm}\underline{= 0.1}$.
 *Zur Kontrolle verwenden wir den letzten Term des Exponenten:
 :$$\frac{(1 - \rho^{2})\cdot  \sigma_{\it t}\cdot\sigma_{\it p}}{\it \rho} = \frac{0.36\cdot 0.1\cdot 0.2}{0.8} = \rm 0.009.$$
 *Dies stimmt mit dem vorgegebenen Wert &uuml;berein.
 '''(4)'''&nbsp; Der <u>Lösungsvorschlag 1</u> ist richtig.
-*Im Grunde genommen ist $(t, p)$ keine echte Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e, da beide Komponenten begrenzt sind.
+*Im Grunde genommen ist&nbsp; $(t, p)$&nbsp; keine echte Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e,&nbsp; da beide Komponenten begrenzt sind.
-*Die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r die Ereignisse $t < 0$, &nbsp; &nbsp; $t >1$, &nbsp; &nbsp;  $p < 0$ und $p >1$ sind somit Null.
+*Die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r die Ereignisse&nbsp; $t < 0$, &nbsp; &nbsp; $t >1$, &nbsp; &nbsp;  $p < 0$ und&nbsp; $p >1$&nbsp; sind somit Null.
 *Bei Gau&szlig;schen Gr&ouml;&szlig;en mit den hier vorliegenden Mittelwerten und Streuungen ergeben sich jedoch
 :$$\rm Pr(\it t < \rm 0) = \rm Pr(\it t > \rm 1) = \rm Q(2.5)\approx 6\cdot 10^{-3},$$
@@ Zeile 100: / Zeile 103: @@
 :$$\rm Pr(\it p < \rm 0) = \rm Q(7)\approx 10^{-12}.$$
-*Der Korrelationskoeffizient $\rho = 0.8$ ist hier positiv. Hat der Pr&uuml;fling im Theorieteil eher gut abgeschnitten, so ist (zumindest bei dieser Aufgabe) zu erwarten, dass auch der praktische Teil gut l&auml;uft.
+*Der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho = 0.8$&nbsp; ist hier positiv. Hat der Pr&uuml;fling im Theorieteil eher gut abgeschnitten, so ist (zumindest bei dieser Aufgabe) zu erwarten, dass auch der praktische Teil gut l&auml;uft.
 *Hier ist also der Lösungsvorschlag 2 falsch. In der Praxis ist das sicher nicht immer so.
 '''(5)'''&nbsp; F&uuml;r diese Wahrscheinlichkeit gilt mit $\Delta t = \Delta p  = 0.02$:
 :$$\rm Pr\left [( \rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2}\le \it t \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2})\cap(\rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2}\le \it p \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2})\right ] \approx  \rm\Delta\it t\cdot\rm\Delta\it p\cdot \it f_{tp}{\rm (}t=\rm 0.5, \it p = \rm 0.5).$$
-F&uuml;r die 2D-WDF gilt unter Ber&uuml;cksichtigung der Mittelwerte $m_t{= 0.5}$ und $m_p{= 0.7}$:
+*F&uuml;r die 2D-WDF gilt unter Ber&uuml;cksichtigung der Mittelwerte&nbsp; $m_t{= 0.5}$&nbsp; und&nbsp; $m_p{= 0.7}$:
 :$$f_{tp}(\it t=\rm 0.5, \it p=\rm 0.5) = \rm 13.263\cdot {\rm e}^{-(-0.2)^2/0.0072}\approx 0.0513.$$
-Damit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu
+*Damit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu
 :$${\rm Pr}\big[(0.49 ≤ t ≤0.51)∩(0.49≤ p ≤0.51)\big] =0.02 \cdot 0.02 \cdot 0.0513\hspace{0.15cm}\underline{\approx 2 &middot; 10^{-5}}.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID267__Sto_A_4_5.png|right|frame|Betrachtete Gaußsche 2D-WDF $f_{tp}(t,p)$]]
+[[Datei:P_ID267__Sto_A_4_5.png|right|frame|Betrachtete Gaußsche 2D-WDF&nbsp; $f_{tp}(t,p)$]]
 In einer Studie wurden die Meisterpr&uuml;fungen f&uuml;r das Handwerk  untersucht, die sich stets aus einem theoretischen und zus&auml;tzlich einem praktischen Teil zusammensetzen. In der Grafik bezeichnet
 * $t$&nbsp; die Punktzahl in der theoretischen Pr&uuml;fung,
@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
-Beide  Zufallsgr&ouml;&szlig;en ($t$ und $p$) sind dabei jeweils auf die Maximalpunktezahlen normiert und k&ouml;nnen deshalb nur Werte zwischen $0$ und $1$ annehmen.
+Beide  Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $(t$&nbsp; und&nbsp; $p)$&nbsp; sind dabei jeweils auf die Maximalpunktzahlen normiert und k&ouml;nnen deshalb nur Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; annehmen.
-Beide Zufallsgrößen sind zudem als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en zu interpretieren, das heißt: &nbsp; $t$ und $p$ sind nicht auf diskrete Zahlenwerte beschr&auml;nkt.
+Beide Zufallsgrößen sind zudem als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en zu interpretieren, das heißt: &nbsp; $t$&nbsp; und&nbsp; $p$&nbsp; sind nicht auf diskrete Zahlenwerte beschr&auml;nkt.
-*Die Grafik zeigt die WDF $f_{tp}(t, p)$ der zweidimensionalen Zufallsgr&ouml;&szlig;e $(t, p)$, die nach der Auswertung von insgesamt $N = 10\hspace{0.05cm}000$ Abschlussarbeiten veröffentlicht wurde.
+*Die Grafik zeigt die WDF&nbsp; $f_{tp}(t, p)$&nbsp; der zweidimensionalen Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(t, p)$,&nbsp; die nach der Auswertung von insgesamt&nbsp; $N = 10\hspace{0.08cm}000$&nbsp; Abschlussarbeiten veröffentlicht wurde.
 *Diese Funktion wurde mit Hilfe eines Auswertungsprogramms empirisch wie folgt  angen&auml;hert:
 :$$f_{tp}(t,p) = \rm 13.263\cdot \rm exp \Bigg\{-\frac{(\it t - \rm 0.5)^{\rm 2}}{\rm 0.0288}-\frac{(\it p-\rm 0.7)^{\rm 2}}{\rm 0.0072} + \frac{(\it t-\rm 0.5)(\it p-\rm 0.7)}{\rm 0.0090}\Bigg\}.$$
@@ Zeile 22: / Zeile 25: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
-*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
+*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo&nbsp; [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
 ::Teil 1: &nbsp; Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
 ::Teil 2: &nbsp; Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.
@@ Zeile 33: / Zeile 36: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie gro&szlig; ist der Mittelwert $m_t$ der im Theorieteil erzielten Ergebnisse?
+{Wie gro&szlig; ist der Mittelwert&nbsp; $m_t$&nbsp; der im Theorieteil erzielten Ergebnisse?
 |type="{}"}
 $m_t \ = \ $ { 0.5 3% }
-{Wie gro&szlig; ist der Mittelwert $m_p$ der im Praxisteilteil erzielten Ergebnisse? Geben Sie auch die WDF der mittelwertfreien Zufallsgr&ouml;&szlig;e $(t\hspace{0.05cm}', p\hspace{0.05cm}')$ an.
+{Wie gro&szlig; ist der Mittelwert&nbsp; $m_p$&nbsp; der im Praxisteilteil erzielten Ergebnisse?&nbsp; Geben Sie auch die WDF der mittelwertfreien Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(t\hspace{0.05cm}', p\hspace{0.05cm}')$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $m_p \ =  \ $ { 0.7 3% }
-{Berechnen Sie die Streuungen (Standardabweichungen) $\sigma_t$ und $\sigma_p$ sowie den Korrelationskoeffizienten $\rho$ zwischen den beiden Gr&ouml;&szlig;en an.
+{Berechnen Sie die Streuungen (Standardabweichungen)&nbsp; $\sigma_t$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_p$&nbsp; sowie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho$&nbsp; zwischen den beiden Gr&ouml;&szlig;en.
 |type="{}"}
 $\sigma_t \ =  \ $ { 0.2 3% }
@@ Zeile 56: / Zeile 59: @@
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Teilnehmer in der Theorie&ndash; und der Praxis&ndash;Pr&uuml;fung jeweils zwischen $49\%$ und $51\%$ der Punkte erreicht?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Teilnehmer in der Theorie&ndash; und der Praxis&ndash;Pr&uuml;fung jeweils zwischen&nbsp; $49\%$&nbsp; und&nbsp; $51\%$&nbsp; der Punkte erreicht?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big [(0.49 ≤ t ≤0.51)∩(0.49≤ p ≤0.51)\big]\ =  \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{-5}$

@@ Zeile 87: / Zeile 87: @@
 :$$\frac{(1 - \rho^{2})\cdot  \sigma_{\it t}\cdot\sigma_{\it p}}{\it \rho} = \frac{0.36\cdot 0.1\cdot 0.2}{0.8} = \rm 0.009.$$
 *Dies stimmt mit dem vorgegebenen Wert &uuml;berein.
 '''(4)'''&nbsp; Der <u>Lösungsvorschlag 1</u> ist richtig.
-*Im Grunde genommen ist $(t, p)$keine echte Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e, da beide Komponenten begrenzt sind.
+*Im Grunde genommen ist $(t, p)$ keine echte Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e, da beide Komponenten begrenzt sind.
-*Die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r die Ereignisse $t < 0$, $t >1$, $p < 0$ und $p >1$ sind somit Null.
+*Die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r die Ereignisse $t < 0$, &nbsp; &nbsp; $t >1$, &nbsp; &nbsp;  $p < 0$ und $p >1$ sind somit Null.
 *Bei Gau&szlig;schen Gr&ouml;&szlig;en mit den hier vorliegenden Mittelwerten und Streuungen ergeben sich jedoch
 :$$\rm Pr(\it t < \rm 0) = \rm Pr(\it t > \rm 1) = \rm Q(2.5)\approx 6\cdot 10^{-3},$$
@@ Zeile 98: / Zeile 97: @@
 :$$\rm Pr(\it p < \rm 0) = \rm Q(7)\approx 10^{-12}.$$
-Der Korrelationskoeffizient $\rho = 0.8$ ist hier positiv. Hat der Pr&uuml;fling im Theorieteil eher gut abgeschnitten, so ist (zumindest bei dieser Aufgabe) zu erwarten, dass auch der praktische Teil gut l&auml;uft. Hier ist also der Lösungsvorschlag 2 falsch. In der Praxis ist das sicher nicht immer so.
+*Der Korrelationskoeffizient $\rho = 0.8$ ist hier positiv. Hat der Pr&uuml;fling im Theorieteil eher gut abgeschnitten, so ist (zumindest bei dieser Aufgabe) zu erwarten, dass auch der praktische Teil gut l&auml;uft.
 '''(5)'''&nbsp; F&uuml;r diese Wahrscheinlichkeit gilt mit $\Delta t = \Delta p  = 0.02$:
-:$$\rm Pr\left [( \rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2}\le \it t \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2})\cap(\rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2}\le \it p \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2})\right ] \approx  \rm\Delta\it t\cdot\rm\Delta\it p\cdot \it f_{tp}(t=\rm 0.5, \it p = \rm 0.5).$$
+:$$\rm Pr\left [( \rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2}\le \it t \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2})\cap(\rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2}\le \it p \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2})\right ] \approx  \rm\Delta\it t\cdot\rm\Delta\it p\cdot \it f_{tp}{\rm (}t=\rm 0.5, \it p = \rm 0.5).$$
 F&uuml;r die 2D-WDF gilt unter Ber&uuml;cksichtigung der Mittelwerte $m_t{= 0.5}$ und $m_p{= 0.7}$:
-:$$f_{tp}(\it t=\rm 0.5, \it p=\rm 0.5) = \rm 13.263\cdot exp(-\frac{(-0.2)^{2}}{0.0072})\approx 0.0513.$$
+:$$f_{tp}(\it t=\rm 0.5, \it p=\rm 0.5) = \rm 13.263\cdot {\rm e}^{-(-0.2)^2/0.0072}\approx 0.0513.$$
-Damit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu ${\rm Pr}[(0.49 ≤ t ≤0.51)∩(0.49≤ p ≤0.51)] =0.02 \cdot 0.02 \cdot 0.0513\hspace{0.15cm}\underline{\approx 2 &middot; 10^{-5}}$.
+Damit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Die hier behandelte Thematik ist in zwei Lernvideos zusammengefasst:
 :[[Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen]]