Aufgaben:Aufgabe 4.4Z: Zeigerdiagramm bei ESB-AM - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:37:45Z

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	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^4. Bandpassartige Signale^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^4. Bandpassartige Signale^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.4Z:_Pointer_Diagram_for_SSB-AM]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:39:56Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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	[[Datei:P_ID732__Sig_Z_4_4_neu.png\|right\|frame\|Vorgegebenes Spektrum  $S_+(f)$]]		[[Datei:P_ID732__Sig_Z_4_4_neu.png\|right\|frame\|Vorgegebenes Spektrum  $S_+(f)$]]
	Betrachtet werden soll das analytische Signal  $s_+(t)$  mit dem Linienspektrum		Betrachtet werden soll das analytische Signal  $s_+(t)$  mit dem Linienspektrum
	:$$S_{+}(f) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm		:$$S_{+}(f) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm50})- {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f -f_{\rm 60}).$$
	50})- {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f -
	f_{\rm 60}).$$
	Hierbei stehen  $f_{50}$  und  $f_{60}$  als Abkürzungen für die Frequenzen  $50 \ \text{kHz}$  bzw.  $60 \ \text{kHz}$.		Hierbei stehen  $f_{50}$  und  $f_{60}$  als Abkürzungen für die Frequenzen  $50 \ \text{kHz}$  bzw.  $60 \ \text{kHz}$.

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	[[Datei:P_ID733__Sig_Z_4_4_ML.png\|right\|frame\|Drei verschiedene analytische Signale]]		[[Datei:P_ID733__Sig_Z_4_4_ML.png\|right\|frame\|Drei verschiedene analytische Signale]]
	'''(1)'''  Das analytische Signal lautet allgemein:		'''(1)'''  Das analytische Signal lautet allgemein:
	:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm		:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } - {\rm j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$
	j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } - {\rm
	j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
	j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$
	Zum Zeitpunkt  $t = 0$  nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert  $1$  an und man erhält (siehe linke Grafik):		Zum Zeitpunkt  $t = 0$  nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert  $1$  an und man erhält (siehe linke Grafik):
	*$\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= +1\ \text{V}}$,		*$\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= +1\ \text{V}}$,
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	<br clear=all>		<br clear=all>
	'''(2)'''  Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:		'''(2)'''  Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:
	:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm		:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm j} \cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}\cdot \sin({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t }) - {\rm j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm60}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({\omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$
	50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm j} \cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}
	\cdot \sin({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t }) - {\rm j}
	\cdot
	{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
	60}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({
	\omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$
	Der Realteil hiervon beschreibt das tatsächliche, physikalische Signal:		Der Realteil hiervon beschreibt das tatsächliche, physikalische Signal:
	:$$s(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm		:$$s(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({\omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$
	50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({
	\omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$

	Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:		Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
Zeile 92:		Zeile 79:

	Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{60}$  seinen „Rückstand” von  $90^{\circ} \; (\pi /2)$  gegenüber dem langsameren Zeiger  ($\omega_{50}$)  aufgeholt hat:		Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{60}$  seinen „Rückstand” von  $90^{\circ} \; (\pi /2)$  gegenüber dem langsameren Zeiger  ($\omega_{50}$)  aufgeholt hat:
	:$$\omega_{\rm 60} \cdot t_2 - \omega_{\rm		:$$\omega_{\rm 60} \cdot t_2 - \omega_{\rm50}\cdot t_2 = \frac{\pi}{2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}t_2 = \frac{\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}-f_{\rm 50})} = \frac{1}{4\cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$
	50}\cdot t_2 = \frac{\pi}{2} \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow\hspace{0.3cm}t_2 = \frac{\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}-
	f_{\rm 50})} = \frac{1}{4
	\cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$
	*Zu diesem Zeitpunkt haben die beiden Zeiger  $5/4$  bzw.  $6/4$  Umdrehungen zurückgelegt und weisen beide in Richtung der imaginären Achse (siehe rechte Grafik).		*Zu diesem Zeitpunkt haben die beiden Zeiger  $5/4$  bzw.  $6/4$  Umdrehungen zurückgelegt und weisen beide in Richtung der imaginären Achse (siehe rechte Grafik).
	*Das tatsächliche, physikalische Signal  $s(t)$ – also der Realteil von  $s_+(t)$ – ist deshalb in diesem Moment gleich Null.		*Das tatsächliche, physikalische Signal  $s(t)$ – also der Realteil von  $s_+(t)$ – ist deshalb in diesem Moment gleich Null.
Zeile 106:		Zeile 89:

	*Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe  '''(3)'''  gilt deshalb:		*Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe  '''(3)'''  gilt deshalb:
	:$$t_3 = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{=		:$$t_3 = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{={\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$
	{\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 7. Mai 2021 um 13:48 Uhr

2021-05-07T13:48:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Mai 2021, 15:48 Uhr
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	'''(3)'''  Der Maximalwert von  $\|s_+(t)\|$  wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen. Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; also  $\underline {2\ \text{ V}}$.		'''(3)'''  Der Maximalwert von  $\|s_+(t)\|$  wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen.  Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; also  $\underline {2\ \text{ V}}$.

	Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{60}$  seinen „Rückstand” von  $90^{\circ} \; (\pi /2)$  gegenüber dem langsameren Zeiger  ($\omega_{50}$)  aufgeholt hat:		Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{60}$  seinen „Rückstand” von  $90^{\circ} \; (\pi /2)$  gegenüber dem langsameren Zeiger  ($\omega_{50}$)  aufgeholt hat:

Guenter am 7. Mai 2021 um 13:44 Uhr

2021-05-07T13:44:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Mai 2021, 15:44 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	Hierbei stehen  $f_{50}$  und  $f_{60}$  als Abkürzungen für die Frequenzen  $50 \ \text{kHz}$  bzw.  $60 \ \text{kHz}$.		Hierbei stehen  $f_{50}$  und  $f_{60}$  als Abkürzungen für die Frequenzen  $50 \ \text{kHz}$  bzw.  $60 \ \text{kHz}$.

	Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der  [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation\|Einseitenband–Amplitudenmodulation]]  $\text{(ESB-AM)}$  eines sinusförmigen Nachrichtensignals  $($Frequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$  mit einem cosinusförmigen Trägersignal  $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$  auftreten, wobei <u>nur das obere Seitenband</u> übertragen wird  $\text{(OSB-Modulation)}$.		Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der  [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation\|Einseitenband–Amplitudenmodulation]]  $\text{(ESB-AM)}$  eines sinusförmigen Nachrichtensignals  $($Frequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$  mit einem cosinusförmigen Trägersignal  $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$  auftreten, wobei <u>nur das obere Seitenband</u> übertragen wird  $\text{(OSB–Modulation)}$.

	Das analytische Signal könnte aber auch durch eine  $\text{(USB-Modulation)}$  des gleichen Sinussignals entstehen, wenn ein sinusförmiges Trägersignal mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$  verwendet wird.		Das analytische Signal könnte aber auch durch eine  $\text{(USB–Modulation)}$  des gleichen Sinussignals entstehen, wenn ein sinusförmiges Trägersignal mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$  verwendet wird.

Guenter am 7. Mai 2021 um 13:43 Uhr

2021-05-07T13:43:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Mai 2021, 15:43 Uhr
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	Hierbei stehen  $f_{50}$  und  $f_{60}$  als Abkürzungen für die Frequenzen  $50 \ \text{kHz}$  bzw.  $60 \ \text{kHz}$.		Hierbei stehen  $f_{50}$  und  $f_{60}$  als Abkürzungen für die Frequenzen  $50 \ \text{kHz}$  bzw.  $60 \ \text{kHz}$.

	Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der  [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation\|Einseitenband–Amplitudenmodulation]]  (ESB-AM) eines sinusförmigen Nachrichtensignals  $($Frequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$  mit einem cosinusförmigen Trägersignal  $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$  auftreten, wobei <u>nur das obere Seitenband</u> übertragen wird ~~(''OSB-Modulation'').~~		Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der  [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation\|Einseitenband–Amplitudenmodulation]]  $\text{(ESB-AM)}$  eines sinusförmigen Nachrichtensignals  $($Frequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$  mit einem cosinusförmigen Trägersignal  $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$  auftreten, wobei <u>nur das obere Seitenband</u> übertragen wird  $\text{(OSB-Modulation)}$.

	~~Das analytische Signal könnte aber auch durch eine  ''USB-Modulation''  des gleichen Sinussignals entstehen, wenn ein sinusförmiges Trägersignal mit der Trägerfrequenz~~  $~~f_{\rm T} = 60 \~~ \text{~~kHz~~}$~~  verwendet wird~~.



			Das analytische Signal könnte aber auch durch eine  $\text{(USB-Modulation)}$  des gleichen Sinussignals entstehen, wenn ein sinusförmiges Trägersignal mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$  verwendet wird.


Zeile 31:		Zeile 28:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Geben Sie das analytische Signal  $s_+(t)$  formelmäßig an. Welcher Wert ergibt sich zum Startzeitpunkt  $t = 0$?		{Geben Sie das analytische Signal  $s_+(t)$  formelmäßig an.  Welcher Wert ergibt sich zum Startzeitpunkt  $t = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Re}[s_+(t = 0)]\ = \ $ { 1 3% }  $\text{V}$		$\text{Re}[s_+(t = 0)]\ = \ $ { 1 3% }  $\text{V}$
Zeile 44:		Zeile 41:


	{Welchen Maximalwert nimmt der Betrag  $\|s_+(t)\|$  an? Zu welchem Zeitpunkt  $t_2$  wird dieser Maximalwert zum ersten Mal erreicht?		{Welchen Maximalwert nimmt der Betrag  $\|s_+(t)\|$  an?  Zu welchem Zeitpunkt  $t_2$  wird dieser Maximalwert zum ersten Mal erreicht?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|s_+(t)\|_{\rm max}\ = \ ${ 2 3% }  $\text{V}$		$\|s_+(t)\|_{\rm max}\ = \ ${ 2 3% }  $\text{V}$

Guenter am 4. Oktober 2019 um 15:54 Uhr

2019-10-04T15:54:01Z

Guenter am 4. Oktober 2019 um 15:44 Uhr

2019-10-04T15:44:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Oktober 2019, 17:44 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:

	{Zu welcher Zeit  $t_1$  tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals  $s(t)$  relativ zum ersten Nulldurchgang des  $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$  auf? <br>''Hinweis:''   Letzterer ist zur Zeit  $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ µ \text{s}$.		{Zu welcher Zeit  $t_1$  tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals  $s(t)$  relativ zum ersten Nulldurchgang des  $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$  auf? <br>''Hinweis:''   Letzterer ist zur Zeit  $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ µ \text{s}$.
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- Es gilt  $t_1 < 5 \ {\rm µ} \text{s}$.		- Es gilt  $t_1 < 5 \ {\rm µ} \text{s}$.
	- Es gilt  $t_1 = 5 \ {\rm µ}\text{s}$.		- Es gilt  $t_1 = 5 \ {\rm µ}\text{s}$.

Guenter am 4. Oktober 2019 um 15:43 Uhr

2019-10-04T15:43:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Oktober 2019, 17:43 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID732__Sig_Z_4_4_neu.png\|right\|frame\|Vorgegebenes Spektrum $S_+(f)$]]		[[Datei:P_ID732__Sig_Z_4_4_neu.png\|right\|frame\|Vorgegebenes Spektrum  $S_+(f)$]]
	Betrachtet werden soll das analytische Signal $s_+(t)$ mit dem Linienspektrum		Betrachtet werden soll das analytische Signal  $s_+(t)$  mit dem Linienspektrum
	:$$S_{+}(f) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm		:$$S_{+}(f) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm
	50})- {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f -		50})- {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f -
	f_{\rm 60}).$$		f_{\rm 60}).$$
	Hierbei stehen $f_{50}$ und $f_{60}$ als Abkürzungen für die Frequenzen $50 \ \text{kHz}$ bzw. $60 \ \text{kHz}$.		Hierbei stehen  $f_{50}$  und  $f_{60}$  als Abkürzungen für die Frequenzen  $50 \ \text{kHz}$  bzw.  $60 \ \text{kHz}$.

			Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der  [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation\|Einseitenband–Amplitudenmodulation]]  (ESB-AM) eines sinusförmigen Nachrichtensignals  $($Frequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$  mit einem cosinusförmigen Trägersignal  $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$  auftreten, wobei <u>nur das obere Seitenband</u> übertragen wird (''OSB-Modulation'').

			Das analytische Signal könnte aber auch durch eine  ''USB-Modulation''  des gleichen Sinussignals entstehen, wenn ein sinusförmiges Trägersignal mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$  verwendet wird.


	Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation\|Einseitenband–Amplitudenmodulation]] (ESB-AM) eines sinusförmigen Nachrichtensignals (Frequenz $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz}$) mit einem cosinusförmigen Trägersignal ($f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$) auftreten, wobei <u>nur das obere Seitenband</u> übertragen wird (''OSB-Modulation'').

	Das analytische Signal könnte aber auch durch eine ''USB-Modulation'' des gleichen Sinussignals entstehen, wenn ein sinusförmiges Trägersignal mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$ verwendet wird.


Zeile 19:		Zeile 22:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].

	*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] überprüfen.		*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]  überprüfen.


Zeile 28:		Zeile 31:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Geben Sie das analytische Signal $s_+(t)$ formelmäßig an. Welcher Wert ergibt sich zum Startzeitpunkt $t = 0$?		{Geben Sie das analytische Signal  $s_+(t)$  formelmäßig an. Welcher Wert ergibt sich zum Startzeitpunkt  $t = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Re}[s_+(t = 0)]\ = \ $ { 1 3% }  $\text{V}$		$\text{Re}[s_+(t = 0)]\ = \ $ { 1 3% }  $\text{V}$
Zeile 34:		Zeile 37:


	{Zu welcher Zeit $t_1$ tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals $s(t)$ relativ zum ersten Nulldurchgang des $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$ auf? <br>''Hinweis:''   Letzterer ist zur Zeit $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ µ \text{s}$.		{Zu welcher Zeit  $t_1$  tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals  $s(t)$  relativ zum ersten Nulldurchgang des  $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$  auf? <br>''Hinweis:''   Letzterer ist zur Zeit  $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ µ \text{s}$.
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es gilt $t_1 < 5 \ {\rm µ} \text{s}$.		- Es gilt  $t_1 < 5 \ {\rm µ} \text{s}$.
	- Es gilt $t_1 = 5 \ {\rm µ}\text{s}$.		- Es gilt  $t_1 = 5 \ {\rm µ}\text{s}$.
	+ Es gilt $t_1 > 5 \ {\rm µ} \text{s}$.		+ Es gilt  $t_1 > 5 \ {\rm µ} \text{s}$.


	{Welchen Maximalwert nimmt der Betrag $\|s_+(t)\|$ an? Zu welchem Zeitpunkt $t_2$ wird dieser Maximalwert zum ersten Mal erreicht?		{Welchen Maximalwert nimmt der Betrag  $\|s_+(t)\|$  an? Zu welchem Zeitpunkt  $t_2$  wird dieser Maximalwert zum ersten Mal erreicht?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|s_+(t)\|_{\rm max}\ = \ ${ 2 3% }  $\text{V}$		$\|s_+(t)\|_{\rm max}\ = \ ${ 2 3% }  $\text{V}$
Zeile 47:		Zeile 50:


	{Zu welchem Zeitpunkt $t_3$ ist die Zeigerlänge $\|s_+(t)\|$ erstmalig gleich ~~$0$~~?		{Zu welchem Zeitpunkt  $t_3$  ist die Zeigerlänge  $\|s_+(t)\|$  erstmalig gleich Null?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$t_3\ = \ $ { 75 3% }  ${\rm µ s}$		$t_3\ = \ $ { 75 3% }  ${\rm µ s}$

Guenter am 26. Juli 2018 um 08:55 Uhr

2018-07-26T08:55:25Z

Guenter am 26. Juli 2018 um 08:28 Uhr

2018-07-26T08:28:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2018, 10:28 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].

	*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Applets:~~Zeigerdiagramm_–_Darstellung_des_analytischen_Signals_(Applet)~~\|~~Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals~~]] überprüfen.		*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] überprüfen.

← Nächstältere Version		Version vom 4. Oktober 2019, 17:54 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
			[[Datei:P_ID733__Sig_Z_4_4_ML.png\|right\|frame\|Drei verschiedene analytische Signale]]
	'''(1)'''  Das analytische Signal lautet allgemein:		'''(1)'''  Das analytische Signal lautet allgemein:
	:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm		:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
Zeile 65:		Zeile 66:
	j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm		j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
	j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$		j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$
	Zum Zeitpunkt $t = 0$ nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert $1$ an und man erhält (siehe linke Grafik):		Zum Zeitpunkt  $t = 0$  nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert  $1$  an und man erhält (siehe linke Grafik):
	*$\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= +1\ \text{V}}$,		*$\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= +1\ \text{V}}$,
	*$\text{Im}[s_+(t = 0)]\; \underline{ = \,-\hspace{-0.08cm}1\ \text{V}}$.		*$\text{Im}[s_+(t = 0)]\; \underline{ = \,-\hspace{-0.08cm}1\ \text{V}}$.

	~~[[Datei:P_ID733__Sig_Z_4_4_ML.png\|left\|frame\|Drei verschiedene analytische Signale]]~~
	<br clear=all>		<br clear=all>
	'''(2)'''  Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:		'''(2)'''  Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:
Zeile 85:		Zeile 84:

	Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:		Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
	*Bei alleiniger Berücksichtigung des $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$ würde der erste Nulldurchgang bei $t_1 = T_0/4$ auftreten, also nach $5 \ {\rm µ s}$, wobei $T_0 = 1/f_{50} = 20 \ {\rm µ s}$ die Periodendauer dieses Signals bezeichnet.		*Bei alleiniger Berücksichtigung des  $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$  würde der erste Nulldurchgang bei  $t_1 = T_0/4$  auftreten, also nach  $5 \ {\rm µ s}$, wobei  $T_0 = 1/f_{50} = 20 \ {\rm µ s}$  die Periodendauer dieses Signals bezeichnet.
	*Das Sinussignal mit der Frequenz $60 \ \text{kHz}$ ist während der gesamten ersten Halbwelle $(0 \, \text{...} \, 8.33\ {\rm µ s})$ positiv.		*Das Sinussignal mit der Frequenz  $60 \ \text{kHz}$  ist während der gesamten ersten Halbwelle  $(0 \, \text{...} \, 8.33\ {\rm µ s})$  positiv.
	*Aufgrund des Pluszeichens verzögert sich der erste Nulldurchgang von $s(t) \ \Rightarrow \ t_1 > 5\ {\rm µ s}$.		*Aufgrund des Pluszeichens verzögert sich der erste Nulldurchgang von  $s(t) \ \Rightarrow \ t_1 > 5\ {\rm µ s}$.
	*Die mittlere Grafik zeigt das analytische Signal zum Zeitpunkt $t = T_0/4$, zu dem der rote Träger seinen Nulldurchgang hätte.		*Die mittlere Grafik zeigt das analytische Signal zum Zeitpunkt  $t = T_0/4$, zu dem der rote Träger seinen Nulldurchgang hätte.
	*Der Nulldurchgang des violetten Summenzeigers tritt erst dann auf, wenn dieser in Richtung der imaginären Achse zeigt. Dann gilt $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.		*Der Nulldurchgang des violetten Summenzeigers tritt erst dann auf, wenn dieser in Richtung der imaginären Achse zeigt. Dann gilt  $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.


	'''(3)'''  Der Maximalwert von $\|s_+(t)\|$ wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen. Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; also $\underline {2\ \text{ V}}$.

	Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega_{60}$ seinen „Rückstand” von $90^{\circ} \; (\pi /2)$ gegenüber dem langsameren Zeiger ($\omega_{50}$) aufgeholt hat:		'''(3)'''  Der Maximalwert von  $\|s_+(t)\|$  wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen. Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; also  $\underline {2\ \text{ V}}$.

			Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{60}$  seinen „Rückstand” von  $90^{\circ} \; (\pi /2)$  gegenüber dem langsameren Zeiger  ($\omega_{50}$)  aufgeholt hat:
	:$$\omega_{\rm 60} \cdot t_2 - \omega_{\rm		:$$\omega_{\rm 60} \cdot t_2 - \omega_{\rm
	50}\cdot t_2 = \frac{\pi}{2} \hspace{0.3cm}		50}\cdot t_2 = \frac{\pi}{2} \hspace{0.3cm}
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	f_{\rm 50})} = \frac{1}{4		f_{\rm 50})} = \frac{1}{4
	\cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$		\cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$
	*Zu diesem Zeitpunkt haben die beiden Zeiger $5/4$ bzw. $6/4$ Umdrehungen zurückgelegt und weisen beide in Richtung der imaginären Achse (siehe rechte Grafik).		*Zu diesem Zeitpunkt haben die beiden Zeiger  $5/4$  bzw.  $6/4$  Umdrehungen zurückgelegt und weisen beide in Richtung der imaginären Achse (siehe rechte Grafik).
	*Das tatsächliche, physikalische Signal $s(t)$ – also der Realteil von $s_+(t)$ – ist deshalb in diesem Moment gleich Null.		*Das tatsächliche, physikalische Signal  $s(t)$ – also der Realteil von  $s_+(t)$ – ist deshalb in diesem Moment gleich Null.



	'''(4)'''  Bedingung für $\|s_+(t_3)\| = 0$ ist, dass zwischen den beiden gleich langen Zeigern ein Phasenversatz von $180^\circ$ besteht, sodass sie sich auslöschen.		'''(4)'''  Bedingung für  $\|s_+(t_3)\| = 0$  ist, dass zwischen den beiden gleich langen Zeigern ein Phasenversatz von  $180^\circ$  besteht, sodass sie sich auslöschen.
	*Dies bedeutet weiter, dass der schnellere Zeiger um $3\pi /2$ weiter gedreht hat als der $50 \ \text{kHz-Anteil}$.		*Dies bedeutet weiter, dass der schnellere Zeiger um  $3\pi /2$  weiter gedreht hat als der  $50 \ \text{kHz-Anteil}$.

	*Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe '''(3)''' gilt deshalb:		*Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe  '''(3)'''  gilt deshalb:
	:$$t_3 = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{=		:$$t_3 = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{=
	{\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$		{\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$

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	{Zu welcher Zeit $t_1$ tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals $s(t)$ relativ zum ersten Nulldurchgang des $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$ auf? ''Hinweis:'' Letzterer ist zur Zeit $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ ~~\mu~~ \text{s}$.		{Zu welcher Zeit $t_1$ tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals $s(t)$ relativ zum ersten Nulldurchgang des $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$ auf? <br>''Hinweis:''   Letzterer ist zur Zeit $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ µ \text{s}$.
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	- Es gilt $t_1 < 5 \ {\rm µ} \text{s}$.		- Es gilt $t_1 < 5 \ {\rm µ} \text{s}$.
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	j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm		j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
	j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$		j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$
	Zum Zeitpunkt $t = 0$ nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert $1$ an und man erhält $\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= +1\ \text{V}}$ ~~und~~ $\text{Im}[s_+(t = 0)]\; \underline{ = \,-\hspace{-0.08cm}1\ \text{V}}$ ~~(siehe linke Grafik)~~.		Zum Zeitpunkt $t = 0$ nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert $1$ an und man erhält (siehe linke Grafik):
			*$\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= +1\ \text{V}}$,
	~~[[Datei:P_ID733__Sig_Z_4_4_ML.png\|center\|frame\|Drei verschiedene analytische Signale]]~~		*$\text{Im}[s_+(t = 0)]\; \underline{ = \,-\hspace{-0.08cm}1\ \text{V}}$.


			[[Datei:P_ID733__Sig_Z_4_4_ML.png\|left\|frame\|Drei verschiedene analytische Signale]]
			<br clear=all>
	'''(2)'''  Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:		'''(2)'''  Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:
	:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm		:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
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	Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:		Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
	*Bei alleiniger Berücksichtigung des $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$ würde der erste Nulldurchgang bei $t_1 = T_0/4$ auftreten, also nach $5 \ {\rm µ s}$, wobei $T_0 = 1/f_{50} = 20 \ {\rm µ s}$ die Periodendauer dieses Signals bezeichnet.		*Bei alleiniger Berücksichtigung des $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$ würde der erste Nulldurchgang bei $t_1 = T_0/4$ auftreten, also nach $5 \ {\rm µ s}$, wobei $T_0 = 1/f_{50} = 20 \ {\rm µ s}$ die Periodendauer dieses Signals bezeichnet.
	*Das Sinussignal mit der Frequenz $60 \ \text{ kHz}$ ist während der gesamten ersten Halbwelle $(0 \, \text{...} \, 8.33\ {\rm µ s})$ positiv.		*Das Sinussignal mit der Frequenz $60 \ \text{kHz}$ ist während der gesamten ersten Halbwelle $(0 \, \text{...} \, 8.33\ {\rm µ s})$ positiv.
	*Aufgrund des Pluszeichens verzögert sich der erste Nulldurchgang von $s(t) \Rightarrow t_1 > 5\ {\rm µ s}$.		*Aufgrund des Pluszeichens verzögert sich der erste Nulldurchgang von $s(t) \ \Rightarrow \ t_1 > 5\ {\rm µ s}$.
	*Die mittlere Grafik zeigt das analytische Signal zum Zeitpunkt $t = T_0/4$, zu dem der rote Träger seinen Nulldurchgang hätte.		*Die mittlere Grafik zeigt das analytische Signal zum Zeitpunkt $t = T_0/4$, zu dem der rote Träger seinen Nulldurchgang hätte.
	*Der Nulldurchgang des violetten Summenzeigers tritt erst dann auf, wenn dieser in Richtung der imaginären Achse zeigt. Dann gilt $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.		*Der Nulldurchgang des violetten Summenzeigers tritt erst dann auf, wenn dieser in Richtung der imaginären Achse zeigt. Dann gilt $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.
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	'''(4)'''  Bedingung für $\|s_+(t_3)\| = 0$ ist, dass zwischen den beiden gleich langen Zeigern ein Phasenversatz von $180^\circ$ besteht, sodass sie sich auslöschen. Dies bedeutet weiter, dass der schnellere Zeiger um $3\pi /2$ weiter gedreht hat als der $50 \ \text{kHz-Anteil}$.		'''(4)'''  Bedingung für $\|s_+(t_3)\| = 0$ ist, dass zwischen den beiden gleich langen Zeigern ein Phasenversatz von $180^\circ$ besteht, sodass sie sich auslöschen.
			*Dies bedeutet weiter, dass der schnellere Zeiger um $3\pi /2$ weiter gedreht hat als der $50 \ \text{kHz-Anteil}$.

	Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe (3) gilt deshalb:		*Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe '''(3)''' gilt deshalb:
	:$$t_3 = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{=		:$$t_3 = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{=
	{\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$		{\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$