Aufgaben:Aufgabe 4.4Z: Zeigerdiagramm bei ESB-AM - Versionsgeschichte

Guenter am 7. Mai 2021 um 13:48 Uhr

2021-05-07T13:48:44Z

Guenter am 7. Mai 2021 um 13:44 Uhr

2021-05-07T13:44:37Z

Guenter am 7. Mai 2021 um 13:43 Uhr

2021-05-07T13:43:42Z

Guenter am 4. Oktober 2019 um 15:54 Uhr

2019-10-04T15:54:01Z

Guenter am 4. Oktober 2019 um 15:44 Uhr

2019-10-04T15:44:30Z

Guenter am 4. Oktober 2019 um 15:43 Uhr

2019-10-04T15:43:12Z

Guenter am 26. Juli 2018 um 08:55 Uhr

2018-07-26T08:55:25Z

Guenter am 26. Juli 2018 um 08:28 Uhr

2018-07-26T08:28:53Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:52Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 24. Januar 2018 um 13:00 Uhr

2018-01-24T13:00:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Mai 2021, 13:48 Uhr
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−	'''(3)'''  Der Maximalwert von  $\|s_+(t)\|$  wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen. Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; also  $\underline {2\ \text{ V}}$.	+	'''(3)'''  Der Maximalwert von  $\|s_+(t)\|$  wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen.  Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; also  $\underline {2\ \text{ V}}$.

	Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{60}$  seinen „Rückstand” von  $90^{\circ} \; (\pi /2)$  gegenüber dem langsameren Zeiger  ($\omega_{50}$)  aufgeholt hat:		Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{60}$  seinen „Rückstand” von  $90^{\circ} \; (\pi /2)$  gegenüber dem langsameren Zeiger  ($\omega_{50}$)  aufgeholt hat:

@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 Hierbei stehen&nbsp; $f_{50}$&nbsp; und&nbsp; $f_{60}$&nbsp; als Abkürzungen für die Frequenzen&nbsp; $50 \ \text{kHz}$&nbsp; bzw.&nbsp; $60 \ \text{kHz}$.
-Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der&nbsp; [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenband–Amplitudenmodulation]]&nbsp; $\text{(ESB-AM)}$&nbsp; eines sinusförmigen Nachrichtensignals&nbsp; $($Frequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$&nbsp; mit einem cosinusförmigen Trägersignal&nbsp; $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$&nbsp; auftreten, wobei <u>nur das obere Seitenband</u> übertragen wird&nbsp; $\text{(OSB-Modulation)}$.
+Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der&nbsp; [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenband–Amplitudenmodulation]]&nbsp; $\text{(ESB-AM)}$&nbsp; eines sinusförmigen Nachrichtensignals&nbsp; $($Frequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$&nbsp; mit einem cosinusförmigen Trägersignal&nbsp; $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$&nbsp; auftreten, wobei <u>nur das obere Seitenband</u> übertragen wird&nbsp; $\text{(OSB&ndash;Modulation)}$.
-Das analytische Signal könnte aber auch durch eine&nbsp; $\text{(USB-Modulation)}$&nbsp; des gleichen Sinussignals entstehen, wenn ein sinusförmiges Trägersignal mit der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$&nbsp; verwendet wird.
+Das analytische Signal könnte aber auch durch eine&nbsp; $\text{(USB&ndash;Modulation)}$&nbsp; des gleichen Sinussignals entstehen, wenn ein sinusförmiges Trägersignal mit der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$&nbsp; verwendet wird.

@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 Hierbei stehen&nbsp; $f_{50}$&nbsp; und&nbsp; $f_{60}$&nbsp; als Abkürzungen für die Frequenzen&nbsp; $50 \ \text{kHz}$&nbsp; bzw.&nbsp; $60 \ \text{kHz}$.
-Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der&nbsp; [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenband–Amplitudenmodulation]]&nbsp; (ESB-AM) eines sinusförmigen Nachrichtensignals&nbsp; $($Frequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$&nbsp; mit einem cosinusförmigen Trägersignal&nbsp; $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$&nbsp; auftreten, wobei <u>nur das obere Seitenband</u> übertragen wird (''OSB-Modulation'').
+Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der&nbsp; [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenband–Amplitudenmodulation]]&nbsp; $\text{(ESB-AM)}$&nbsp; eines sinusförmigen Nachrichtensignals&nbsp; $($Frequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$&nbsp; mit einem cosinusförmigen Trägersignal&nbsp; $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$&nbsp; auftreten, wobei <u>nur das obere Seitenband</u> übertragen wird&nbsp; $\text{(OSB-Modulation)}$.
@@ Zeile 31: / Zeile 28: @@
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie das analytische Signal&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; formelmäßig an. Welcher Wert ergibt sich zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
+{Geben Sie das analytische Signal&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; formelmäßig an.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_+(t = 0)]\ = \ $  { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 44: / Zeile 41: @@
-{Welchen Maximalwert nimmt der Betrag&nbsp; $|s_+(t)|$&nbsp; an? Zu welchem Zeitpunkt&nbsp; $t_2$&nbsp; wird dieser Maximalwert zum ersten Mal erreicht?
+{Welchen Maximalwert nimmt der Betrag&nbsp; $|s_+(t)|$&nbsp; an?&nbsp; Zu welchem Zeitpunkt&nbsp; $t_2$&nbsp; wird dieser Maximalwert zum ersten Mal erreicht?
 |type="{}"}
 $|s_+(t)|_{\rm max}\ = \ ${ 2 3% } &nbsp;$\text{V}$

@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  Das analytische Signal lautet allgemein:
 :$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
@@ Zeile 65: / Zeile 66: @@
 j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$
-Zum Zeitpunkt $t = 0$ nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert $1$ an und man erhält (siehe linke Grafik):
+Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert&nbsp; $1$&nbsp; an und man erhält (siehe linke Grafik):
 *$\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= +1\ \text{V}}$,
 *$\text{Im}[s_+(t = 0)]\; \underline{ = \,-\hspace{-0.08cm}1\ \text{V}}$.
 <br clear=all>
 '''(2)'''&nbsp;  Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:
@@ Zeile 85: / Zeile 84: @@
 Richtig ist  der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Bei alleiniger Berücksichtigung des $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$ würde der erste Nulldurchgang bei $t_1 = T_0/4$ auftreten, also nach $5 \ {\rm &micro; s}$, wobei $T_0 = 1/f_{50} = 20 \ {\rm &micro; s}$ die Periodendauer dieses Signals bezeichnet.
+*Bei alleiniger Berücksichtigung des&nbsp; $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$&nbsp; würde der erste Nulldurchgang bei&nbsp; $t_1 = T_0/4$&nbsp; auftreten, also nach&nbsp; $5 \ {\rm &micro; s}$, wobei&nbsp; $T_0 = 1/f_{50} = 20 \ {\rm &micro; s}$&nbsp; die Periodendauer dieses Signals bezeichnet.
-*Das Sinussignal mit der Frequenz $60 \ \text{kHz}$ ist während der gesamten ersten Halbwelle $(0 \, \text{...} \, 8.33\ {\rm &micro; s})$ positiv.
+*Das Sinussignal mit der Frequenz&nbsp; $60 \ \text{kHz}$&nbsp; ist während der gesamten ersten Halbwelle&nbsp; $(0 \, \text{...} \, 8.33\ {\rm &micro; s})$&nbsp; positiv.
-*Aufgrund des Pluszeichens verzögert sich der erste Nulldurchgang von $s(t) \ \Rightarrow \ t_1 > 5\ {\rm &micro; s}$.
+*Aufgrund des Pluszeichens verzögert sich der erste Nulldurchgang von&nbsp; $s(t) \ \Rightarrow \ t_1 > 5\ {\rm &micro; s}$.
-*Die mittlere Grafik zeigt das analytische Signal zum Zeitpunkt $t = T_0/4$, zu dem der rote Träger seinen Nulldurchgang hätte.
+*Die mittlere Grafik zeigt das analytische Signal zum Zeitpunkt&nbsp; $t = T_0/4$, zu dem der rote Träger seinen Nulldurchgang hätte.
-*Der Nulldurchgang des violetten Summenzeigers tritt erst dann auf, wenn dieser in Richtung der imaginären Achse zeigt. Dann gilt $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.
+*Der Nulldurchgang des violetten Summenzeigers tritt erst dann auf, wenn dieser in Richtung der imaginären Achse zeigt. Dann gilt&nbsp; $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.
-Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega_{60}$ seinen „Rückstand” von $90^{\circ} \; (\pi /2)$ gegenüber dem langsameren Zeiger ($\omega_{50}$) aufgeholt hat:
+'''(3)'''&nbsp;  Der Maximalwert von&nbsp; $|s_+(t)|$&nbsp; wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen. Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; also&nbsp; $\underline {2\ \text{ V}}$.
 :$$\omega_{\rm 60} \cdot  t_2 - \omega_{\rm
 }\cdot t_2 = \frac{\pi}{2} \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
 f_{\rm 50})} =   \frac{1}{4
 \cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} {\rm &micro; s}}}.$$
-*Zu diesem Zeitpunkt haben die beiden Zeiger $5/4$ bzw. $6/4$ Umdrehungen zurückgelegt und weisen beide in Richtung der imaginären Achse (siehe rechte Grafik).
+*Zu diesem Zeitpunkt haben die beiden Zeiger&nbsp; $5/4$&nbsp; bzw.&nbsp; $6/4$&nbsp; Umdrehungen zurückgelegt und weisen beide in Richtung der imaginären Achse (siehe rechte Grafik).
-*Das tatsächliche, physikalische Signal $s(t)$ – also der Realteil von $s_+(t)$ – ist deshalb in diesem Moment gleich Null.
+*Das tatsächliche, physikalische Signal&nbsp; $s(t)$ – also der Realteil von&nbsp; $s_+(t)$ – ist deshalb in diesem Moment gleich Null.
-'''(4)'''&nbsp;  Bedingung für $|s_+(t_3)| = 0$ ist, dass zwischen den beiden gleich langen Zeigern ein Phasenversatz von $180^\circ$ besteht, sodass sie sich auslöschen.
+'''(4)'''&nbsp;  Bedingung für&nbsp; $|s_+(t_3)| = 0$&nbsp; ist, dass zwischen den beiden gleich langen Zeigern ein Phasenversatz von&nbsp; $180^\circ$&nbsp; besteht, sodass sie sich auslöschen.
-*Dies bedeutet weiter, dass der schnellere Zeiger um $3\pi /2$ weiter gedreht hat als der $50 \ \text{kHz-Anteil}$.
+*Dies bedeutet weiter, dass der schnellere Zeiger um&nbsp; $3\pi /2$&nbsp; weiter gedreht hat als der&nbsp; $50 \ \text{kHz-Anteil}$.
-*Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe '''(3)''' gilt deshalb:
+*Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gilt deshalb:
 :$$t_3  = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{=
   {\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm &micro; s}}}.$$

@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
 {Zu welcher Zeit&nbsp; $t_1$&nbsp; tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals&nbsp; $s(t)$&nbsp; relativ zum ersten Nulldurchgang des&nbsp; $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$&nbsp; auf? <br>''Hinweis:'' &nbsp; Letzterer ist zur Zeit&nbsp; $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ &micro; \text{s}$.
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Es gilt&nbsp; $t_1 < 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
 - Es gilt&nbsp; $t_1 = 5 \ {\rm &micro;}\text{s}$.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID732__Sig_Z_4_4_neu.png|right|frame|Vorgegebenes Spektrum $S_+(f)$]]
+[[Datei:P_ID732__Sig_Z_4_4_neu.png|right|frame|Vorgegebenes Spektrum&nbsp; $S_+(f)$]]
-Betrachtet werden soll das analytische Signal $s_+(t)$ mit dem Linienspektrum
+Betrachtet werden soll das analytische Signal&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; mit dem Linienspektrum
 :$$S_{+}(f) =  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm
 })- {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f -
 f_{\rm 60}).$$
-Hierbei stehen $f_{50}$ und $f_{60}$ als Abkürzungen für die Frequenzen $50 \ \text{kHz}$ bzw. $60 \ \text{kHz}$.
+Hierbei stehen&nbsp; $f_{50}$&nbsp; und&nbsp; $f_{60}$&nbsp; als Abkürzungen für die Frequenzen&nbsp; $50 \ \text{kHz}$&nbsp; bzw.&nbsp; $60 \ \text{kHz}$.
@@ Zeile 19: / Zeile 22: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
-*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]  überprüfen.
+*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]&nbsp;  überprüfen.
@@ Zeile 28: / Zeile 31: @@
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie das analytische Signal $s_+(t)$ formelmäßig an. Welcher Wert ergibt sich zum Startzeitpunkt $t = 0$?
+{Geben Sie das analytische Signal&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; formelmäßig an. Welcher Wert ergibt sich zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_+(t = 0)]\ = \ $  { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 34: / Zeile 37: @@
-{Zu welcher Zeit $t_1$ tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals $s(t)$ relativ zum ersten Nulldurchgang des $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$ auf? <br>''Hinweis:'' &nbsp; Letzterer ist zur Zeit $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ &micro; \text{s}$.
+{Zu welcher Zeit&nbsp; $t_1$&nbsp; tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals&nbsp; $s(t)$&nbsp; relativ zum ersten Nulldurchgang des&nbsp; $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$&nbsp; auf? <br>''Hinweis:'' &nbsp; Letzterer ist zur Zeit&nbsp; $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ &micro; \text{s}$.
 |type="[]"}
-- Es gilt $t_1 < 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
+- Es gilt&nbsp; $t_1 < 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
-- Es gilt $t_1 = 5 \ {\rm &micro;}\text{s}$.
+- Es gilt&nbsp; $t_1 = 5 \ {\rm &micro;}\text{s}$.
-+ Es gilt $t_1 > 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
++ Es gilt&nbsp; $t_1 > 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
-{Welchen Maximalwert nimmt der Betrag $|s_+(t)|$ an? Zu welchem Zeitpunkt $t_2$ wird dieser Maximalwert zum ersten Mal erreicht?
+{Welchen Maximalwert nimmt der Betrag&nbsp; $|s_+(t)|$&nbsp; an? Zu welchem Zeitpunkt&nbsp; $t_2$&nbsp; wird dieser Maximalwert zum ersten Mal erreicht?
 |type="{}"}
 $|s_+(t)|_{\rm max}\ = \ ${ 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 47: / Zeile 50: @@
-{Zu welchem Zeitpunkt $t_3$ ist die Zeigerlänge $|s_+(t)|$ erstmalig gleich $0$?
+{Zu welchem Zeitpunkt&nbsp; $t_3$&nbsp; ist die Zeigerlänge&nbsp; $|s_+(t)|$&nbsp; erstmalig gleich Null?
 |type="{}"}
 $t_3\ = \ $ { 75 3% }  &nbsp;${\rm &micro; s}$

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2018, 08:28 Uhr
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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].

−	*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Applets:~~Zeigerdiagramm_–_Darstellung_des_analytischen_Signals_(Applet)~~\|~~Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals~~]] überprüfen.	+	*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] überprüfen.

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Applets:Zeigerdiagramm_–_Darstellung_des_analytischen_Signals_(Applet)|Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals]] überprüfen.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Das analytische Signal lautet allgemein:
+'''(1)'''&nbsp;  Das analytische Signal lautet allgemein:
 :$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } - {\rm
 j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$
-Zum Zeitpunkt $t = 0$ nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert $1$ an und man erhält $\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= 1\ \text{V}}$ und $\text{Im}[s_+(t = 0)]\; \underline{ = \,–\hspace{-0.08cm}1\ \text{V}}$ (siehe linke Grafik).
+Zum Zeitpunkt $t = 0$ nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert $1$ an und man erhält $\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= +1\ \text{V}}$ und $\text{Im}[s_+(t = 0)]\; \underline{ = \,-\hspace{-0.08cm}1\ \text{V}}$ (siehe linke Grafik).
-[[Datei:P_ID733__Sig_Z_4_4_ML.png|center|Drei verschiedene analytische Signale]]
+[[Datei:P_ID733__Sig_Z_4_4_ML.png|center|frame|Drei verschiedene analytische Signale]]
-'''2.'''  Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:
+'''(2)'''&nbsp;  Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:
 :$$s_{+}(t)  =  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
 }\hspace{0.05cm} t }) + {\rm j} \cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}
-\cdot \sin({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t })+\\  - {\rm j}
+\cdot \sin({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t })  - {\rm j}
 \cdot
   {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
@@ Zeile 79: / Zeile 79: @@
 }\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({
 \omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$
-Die mittlere Grafik zeigt das analytische Signal zum Zeitpunkt $t = T_0/4$, zu dem der rote Träger seinen Nulldurchgang hätte. Der Nulldurchgang des violetten Summenzeigers tritt erst dann auf, wenn dieser in Richtung der imaginären Achse zeigt. Dann gilt $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.
+Richtig ist  der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-'''3.'''  Der Maximalwert von $|s_+(t)|$ wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen. Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; also $\underline {2\ \text{ V}}$.
+'''(3)'''&nbsp;  Der Maximalwert von $|s_+(t)|$ wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen. Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; also $\underline {2\ \text{ V}}$.
 Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega_{60}$ seinen „Rückstand” von $90^{\circ} \; (\pi /2)$ gegenüber dem langsameren Zeiger ($\omega_{50}$) aufgeholt hat:
@@ Zeile 91: / Zeile 95: @@
 \Rightarrow\hspace{0.3cm}t_2  = \frac{\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}-
 f_{\rm 50})} =   \frac{1}{4
-\cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} \mu s}}.$$
+\cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} {\rm &micro; s}}}.$$
-Zu diesem Zeitpunkt haben die beiden Zeiger $5/4$ bzw. $6/4$ Umdrehungen zurückgelegt und weisen beide in Richtung der imaginären Achse (siehe rechte Grafik). Das tatsächliche Signal $s(t)$ – also der Realteil von $s_+(t)$ – ist deshalb in diesem Moment gleich $0$.
+*Zu diesem Zeitpunkt haben die beiden Zeiger $5/4$ bzw. $6/4$ Umdrehungen zurückgelegt und weisen beide in Richtung der imaginären Achse (siehe rechte Grafik).
-'''4.'''  Bedingung für $|s_+(t_3)| = 0$ ist, dass zwischen den beiden gleich langen Zeigern ein Phasenversatz von $180^\circ$ besteht, sodass sie sich auslöschen. Dies bedeutet weiter, dass der schnellere Zeiger um $3\pi /2$ weiter gedreht hat als der $50 \ \text{kHz-Anteil}$. Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe (3) gilt deshalb:
 :$$t_3  = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{=
-  {\rm 75 \hspace{0.05cm} \mu s}}.$$
+  {\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm &micro; s}}}.$$
 {{ML-Fuß}}