Aufgaben:Aufgabe 4.4Z: Störabstand bei PCM - Versionsgeschichte

Guenter am 9. April 2022 um 12:54 Uhr

2022-04-09T12:54:05Z

Guenter am 9. April 2022 um 12:45 Uhr

2022-04-09T12:45:51Z

Guenter am 9. April 2022 um 12:44 Uhr

2022-04-09T12:44:30Z

Guenter am 1. April 2020 um 11:49 Uhr

2020-04-01T11:49:59Z

Guenter am 1. April 2020 um 11:39 Uhr

2020-04-01T11:39:03Z

Guenter am 9. Januar 2019 um 17:18 Uhr

2019-01-09T17:18:10Z

Guenter am 9. Januar 2019 um 17:11 Uhr

2019-01-09T17:11:55Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:57Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:28:29Z

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Guenter am 20. Juli 2017 um 12:58 Uhr

2017-07-20T12:58:52Z

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 '''(2)'''&nbsp;  Aus der obigen Näherung erhält man für&nbsp; $N_2\hspace{0.15cm}\underline { = 11}$&nbsp; Bit pro Abtastwert   &nbsp; ⇒  &nbsp; $M = 2048$&nbsp; den Störabstand&nbsp; $66  \ \rm dB$.
 *Mit&nbsp; $N = 10$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  $M = 1024$&nbsp; erreicht man nur ca.&nbsp; $60  \ \rm dB$.
-*Bei der Compact Disc (CD) werden die PCM–Parameter&nbsp; $N = 16$  &nbsp; ⇒  &nbsp;   $M = 65536$  &nbsp; ⇒  &nbsp;   $10 · \lg  \ ρ_v > 96 \ \rm dB$&nbsp; verwendet.
+*Bei der Compact Disc&nbsp; $\rm (CD)$&nbsp; werden die PCM–Parameter&nbsp; $N = 16$  &nbsp; ⇒  &nbsp;   $M = 65536$  &nbsp; ⇒  &nbsp;   $10 · \lg  \ ρ_v > 96 \ \rm dB$&nbsp; verwendet.
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-'''(4)'''&nbsp;  Der logarithmische Wert&nbsp; $30  \ \rm  dB$&nbsp; entspricht einer um den Faktor&nbsp; $10^3\hspace{0.15cm}\underline {  = 1000}$&nbsp; reduzierten Leistung.
+'''(4)'''&nbsp;  Der logarithmische Wert&nbsp; $30  \ \rm  dB$&nbsp; entspricht einer um den Faktor&nbsp; $10^3\hspace{0.15cm}\underline {  = 1000}$ &nbsp; reduzierten Leistung.
-'''(5)'''&nbsp;  Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass der Abszissenwert&nbsp; $10 · \lg \ ξ= 6 \ \rm  dB$&nbsp; den Störabstand&nbsp; $20 \ \rm  dB$&nbsp; zur Folge hat.
+'''(5)'''&nbsp;  Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man,&nbsp; dass der Abszissenwert&nbsp; $10 · \lg \ ξ= 6 \ \rm  dB$&nbsp; den Störabstand&nbsp; $20 \ \rm  dB$&nbsp; zur Folge hat.
-*Aus&nbsp; $10 · \lg \ ρ_v = 20  \ \rm   dB$&nbsp; folgt&nbsp; $ρ_v = 100$&nbsp; und damit weiter&nbsp; $($mit&nbsp; $N = N_1 = 8)$:
+*Aus&nbsp; $10 · \lg \ ρ_v = 20  \ \rm   dB$&nbsp; folgt &nbsp; $ρ_v = 100$ &nbsp; und damit weiter &nbsp; $($mit&nbsp; $N = N_1 = 8)$:
 :$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \approx \frac{1}{ 1.5 \cdot 10^{-5} + 4 \cdot p_{\rm B}} = 100 \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} = \frac{0.01 - 1.5 \cdot 10^{-5}}{ 4} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.5\%} \hspace{0.05cm}.$$
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 :$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-6 } + 4 \cdot p_{\rm B}} = \frac{1}{ 0.015625 + 0.01} \approx 39 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\upsilon}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
 Weiter ist anzumerken:
-*Bei nur drei Bit pro Abtastwert ist die Quantisierungsrauschleistung&nbsp; $(P_{\rm Q} = 0.015625)$&nbsp; schon größer als die Fehlerrauschleistung&nbsp; $(P_{\rm F} = 0.01)$.
+*Auch bei nur drei Bit pro Abtastwert ist die Quantisierungsrauschleistung&nbsp; $(P_{\rm Q} = 0.015625)$&nbsp; schon größer als die Fehlerrauschleistung&nbsp; $(P_{\rm F} = 0.01)$.
-*Durch Erhöhung der Sendeleistung könnte wegen der Quantisierung der Sinkenstörabstand maximal&nbsp; $10 · \lg \ ρ_v =18 \ \rm dB$&nbsp; betragen, wenn keine Bitfehler vorkommen&nbsp; $(P_{\rm F} = 0)$.
+*Durch Erhöhung der Sendeleistung könnte wegen der Quantisierung der Sinkenstörabstand maximal&nbsp; $10 · \lg \ ρ_v =18 \ \rm dB$&nbsp; betragen,&nbsp; wenn keine Bitfehler vorkommen&nbsp; $(P_{\rm F} = 0)$.
 {{ML-Fuß}}

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-Für das PCM–System wurde auf der Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|"Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler"]]&nbsp; folgende Näherung für das Sinken–SNR angegeben,&nbsp; die auch Übertragungsfehler aufgrund des AWGN–Rauschens berücksichtigt:
+Für das PCM–System wurde auf der Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|"Abschätzung der SNR-Degradation durch Übertragungsfehler"]]&nbsp; folgende Näherung für das Sinken–SNR angegeben,&nbsp; die auch Übertragungsfehler aufgrund des AWGN–Rauschens berücksichtigt:
 :$$ \rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$
 *Hierbei bezeichnet &nbsp;$N$&nbsp; die Anzahl der Bit pro Abtastwert und &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|"Pulscodemodulation"]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Einfluss_von_.C3.9Cbertragungsfehlern|"Einfluss von Übertragungsfehlern"]]&nbsp; und&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|"Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler"]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Einfluss_von_.C3.9Cbertragungsfehlern|"Einfluss von Übertragungsfehlern"]]&nbsp; und&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|"Abschätzung der SNR-Degradation durch Übertragungsfehler"]].
 *Bei der hier betrachteten PCM handelt es sich um die&nbsp; '''PCM 30/32''',&nbsp; deren Systemparameter zum Beispiel in der&nbsp; [[Aufgaben:4.1_PCM–System_30/32 |Aufgabe 4.1]]&nbsp; angegeben sind.

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 Die Grafik zeigt den Sinken–Störabstand &nbsp;$10 · \lg \ ρ_v$&nbsp; für die Pulscodemodulation&nbsp; $\rm (PCM)$&nbsp; im Vergleich zur analogen Zweiseitenband–Amplitudenmodulation, abgekürzt mit&nbsp; $\rm  ZSB–AM$.&nbsp;
-Für letztere gilt &nbsp;$ρ_v = ξ$, wobei die Leistungskenngröße
+Für letztere gilt &nbsp;$ρ_v = ξ$,&nbsp; wobei die Leistungskenngröße
 :$$\xi = \frac{\alpha^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot f_{\rm N}} $$
 folgende Systemparameter zusammenfasst:
 :* den frequenzunabhängigen Übertragungsfaktor &nbsp;$α$&nbsp; des Übertragungskanals,
-:* die Leistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; des Sendsignals &nbsp;$s(t)$, auch kurz Sendeleistung genannt,
+:* die Leistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; des Sendsignals &nbsp;$s(t)$,&nbsp; auch kurz&nbsp; "Sendeleistung" genannt,
-:* die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; (Bandbreite) des cosinusförmigen Quellensignals &nbsp;$q(t)$,
+:* die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; (Bandbreite)&nbsp; des cosinusförmigen Quellensignals &nbsp;$q(t)$,
-:* die Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; des AWGN–Rauschens.
+:* die&nbsp; (einseitige)&nbsp; Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; des AWGN–Rauschens.
-Für das PCM–System wurde auf der Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler]]&nbsp; folgende Näherung für das Sinken–SNR angegeben, die auch Übertragungsfehler aufgrund des AWGN–Rauschens berücksichtigt:
+Für das PCM–System wurde auf der Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|"Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler"]]&nbsp; folgende Näherung für das Sinken–SNR angegeben,&nbsp; die auch Übertragungsfehler aufgrund des AWGN–Rauschens berücksichtigt:
 :$$ \rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$
 *Hierbei bezeichnet &nbsp;$N$&nbsp; die Anzahl der Bit pro Abtastwert und &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
-* Da &nbsp;$ξ$&nbsp; bei digitaler Modulation auch als die ''Signalenergie pro Bit''&nbsp; bezogen auf die ''Rauschleistungsdichte'' $(E_{\rm B}/N_0)$ interpretiert werden kann, gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlersignal &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; näherungsweise:
+* Da die Leistungskenngröße &nbsp;$ξ$&nbsp; bei digitaler Modulation auch als die&nbsp; "Signalenergie pro Bit"&nbsp; bezogen auf die&nbsp; "Rauschleistungsdichte"&nbsp; $(E_{\rm B}/N_0)$&nbsp; interpretiert werden kann,&nbsp; gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlersignal &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; näherungsweise:
 :$$ p_{\rm B}= {\rm Q} \left ( \sqrt{2 \xi }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
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 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|"Pulscodemodulation"]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Einfluss_von_.C3.9Cbertragungsfehlern|"Einfluss von Übertragungsfehlern"]]&nbsp; und&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|"Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler"]].
-''Hinweise:''
+*Bei der hier betrachteten PCM handelt es sich um die&nbsp; '''PCM 30/32''',&nbsp; deren Systemparameter zum Beispiel in der&nbsp; [[Aufgaben:4.1_PCM–System_30/32 |Aufgabe 4.1]]&nbsp; angegeben sind.
@@ Zeile 42: / Zeile 39: @@
 $N_1 \ = \ $ { 8 3% }
-{Wieviele Bit pro Abtastwert  &nbsp; &rArr; &nbsp; $N = N_2$&nbsp; müsste man verwenden, damit &nbsp;$10 · \lg \ ρ_v > 64 \ \rm dB$&nbsp; (Musikqualität) erreicht wird?
+{Wieviele Bit pro Abtastwert  &nbsp; &rArr; &nbsp; $N = N_2$&nbsp; müsste man verwenden,&nbsp;  damit &nbsp;$10 · \lg \ ρ_v > 64 \ \rm dB$&nbsp; ("Musikqualität")&nbsp;  erreicht wird?
 |type="{}"}
 $N_2 \ = \ $ { 11 3%  }
-{Welche (logarithmierte) Leistungskenngröße &nbsp;$ξ_{40\ \rm dB}$&nbsp; ist erforderlich, damit bei 8–Bit–PCM der Sinkenstörabstand gleich &nbsp;$40\ \rm  dB$&nbsp; ist?
+{Welche&nbsp;   (logarithmierte)&nbsp; Leistungskenngröße &nbsp;$ξ_{40\ \rm dB}$&nbsp; ist erforderlich,&nbsp; damit bei 8–Bit–PCM der Sinkenstörabstand gleich &nbsp;$40\ \rm  dB$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 $10 · \lg \ ξ_{40\ \rm dB} \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm dB$
-{Um welchen Faktor könnte man bei PCM die Sendeleistung gegenüber der ZSB–AM reduzieren, um trotzdem &nbsp;$10 · \lg  \ ρ_v = 40\ \rm   dB$&nbsp; zu erreichen?
+{Um welchen Faktor könnte man bei PCM die Sendeleistung gegenüber der ZSB–AM reduzieren,&nbsp;  um trotzdem &nbsp;$10 · \lg  \ ρ_v = 40\ \rm   dB$&nbsp; zu erreichen?
 |type="{}"}
 $K_\text{AM → PCM} \ = \ $ { 1000 3% }

@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Der horizontale Abschnitt der PCM–Kurve wird allein durch das Quantisierungsrauschen bestimmt. Hier gilt mit der Quantisierungsstufenzahl $M = 2^N$:
+'''(1)'''&nbsp;  Der horizontale Abschnitt der PCM–Kurve wird allein durch das Quantisierungsrauschen bestimmt.&nbsp;
 :$$ \rho_{v} (\xi \rightarrow \infty) = \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{v} \approx 6\,{\rm dB} \cdot N\hspace{0.05cm}.$$
-Aus dem ablesbaren Störabstand $10 · \lg \ ρ_v ≈ 48 \ \rm dB$ folgt daraus $N_1\hspace{0.15cm}\underline { = 8}$ Bit pro Abtastwert und für die Quantisierungsstufenzahl $M = 256$.
+*Aus dem ablesbaren Störabstand&nbsp; $10 · \lg \ ρ_v ≈ 48 \ \rm dB$&nbsp; folgt daraus&nbsp; $N_1\hspace{0.15cm}\underline { = 8}$&nbsp; Bit pro Abtastwert und für die Quantisierungsstufenzahl&nbsp; $M = 256$.
-'''(4)'''&nbsp;  Der logarithmische Wert $30  \ \rm  dB$ entspricht einer um den Faktor $10^3\hspace{0.15cm}\underline {  = 1000}$ reduzierten Leistung.
+'''(3)'''&nbsp;  Bei Zweiseitenband–Amplitudenmodulation wären hierfür&nbsp; $10 · \lg  \ ξ = 40\ \rm  dB$&nbsp; erforderlich.
-'''(5)'''&nbsp;  Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass der Abszissenwert $10 · \lg \ ξ= 6 \ \rm  dB$ den Störabstand $20 \ \rm  dB$ zur Folge hat. Aus $10 · \lg \ ρ_v = 20  \ \rm   dB$ folgt $ρ_v = 100$ und damit weiter (mit $N = N_1 = 8$):
 :$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \approx \frac{1}{ 1.5 \cdot 10^{-5} + 4 \cdot p_{\rm B}} = 100 \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} = \frac{0.01 - 1.5 \cdot 10^{-5}}{ 4} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.5\%} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp;  Bei gleichem $ξ$ ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit weiterhin $p_{\rm B} = 0.025$. Damit erhält man mit $N = 3$ (Bit pro Abtastwert):
 :$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-6 } + 4 \cdot p_{\rm B}} = \frac{1}{ 0.015625 + 0.01} \approx 39 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\upsilon}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
 Weiter ist anzumerken:
-*Bei nur drei Bit pro Abtastwert ist die Quantisierungsrauschleistung $(P_{\rm Q} = 0.015625)$ schon größer als die Fehlerrauschleistung $(P_{\rm F} = 0.01)$.
+*Bei nur drei Bit pro Abtastwert ist die Quantisierungsrauschleistung&nbsp; $(P_{\rm Q} = 0.015625)$&nbsp; schon größer als die Fehlerrauschleistung&nbsp; $(P_{\rm F} = 0.01)$.
-*Durch Erhöhung der Sendeleistung könnte wegen der Quantisierung der Sinkenstörabstand maximal $10 · \lg \ ρ_v =18 \ \rm dB$ betragen, wenn keine Bitfehler vorkommen $(P_{\rm F} = 0)$.
+*Durch Erhöhung der Sendeleistung könnte wegen der Quantisierung der Sinkenstörabstand maximal&nbsp; $10 · \lg \ ρ_v =18 \ \rm dB$&nbsp; betragen, wenn keine Bitfehler vorkommen&nbsp; $(P_{\rm F} = 0)$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID1619__Mod_Z_4_4.png|right|frame|Störabstand von PCM 30/32 im Vergleich zur ZSB–Amplitudenmodulation]]
-Die Grafik zeigt den Sinken–Störabstand &nbsp;$10 · \lg \ ρ_v$&nbsp; für die Pulscodemodulation (PCM) im Vergleich zur analogen Zweiseitenband–Amplitudenmodulation, abgekürzt mit ZSB–AM. Für letztere gilt &nbsp;$ρ_v = ξ$, wobei die Leistungskenngröße
+Die Grafik zeigt den Sinken–Störabstand &nbsp;$10 · \lg \ ρ_v$&nbsp; für die Pulscodemodulation&nbsp; $\rm (PCM)$&nbsp; im Vergleich zur analogen Zweiseitenband–Amplitudenmodulation, abgekürzt mit&nbsp; $\rm  ZSB–AM$.&nbsp;
 :$$\xi = \frac{\alpha^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot f_{\rm N}} $$
 folgende Systemparameter zusammenfasst:
-:* den frequenzunabhängigen Dämpfungsfaktor &nbsp;$α$&nbsp; des Übertragungskanals,
+:* den frequenzunabhängigen Übertragungsfaktor &nbsp;$α$&nbsp; des Übertragungskanals,
 :* die Leistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; des Sendsignals &nbsp;$s(t)$, auch kurz Sendeleistung genannt,
 :* die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; (Bandbreite) des cosinusförmigen Quellensignals &nbsp;$q(t)$,
@@ Zeile 13: / Zeile 15: @@
-Für das PCM–System wurde auf der Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler]] folgende Näherung für das Sinken–SNR angegeben, die auch Übertragungsfehler aufgrund des AWGN–Rauschens berücksichtigt:
+Für das PCM–System wurde auf der Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler]]&nbsp; folgende Näherung für das Sinken–SNR angegeben, die auch Übertragungsfehler aufgrund des AWGN–Rauschens berücksichtigt:
 :$$ \rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$
 *Hierbei bezeichnet &nbsp;$N$&nbsp; die Anzahl der Bit pro Abtastwert und &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
 * Da &nbsp;$ξ$&nbsp; bei digitaler Modulation auch als die ''Signalenergie pro Bit''&nbsp; bezogen auf die ''Rauschleistungsdichte'' $(E_{\rm B}/N_0)$ interpretiert werden kann, gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlersignal &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; näherungsweise:
 :$$ p_{\rm B}= {\rm Q} \left ( \sqrt{2 \xi }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 26: / Zeile 31: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Einfluss_von_.C3.9Cbertragungsfehlern|Einfluss von Übertragungsfehlern]]&nbsp; und&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler]].
-*Bei der hier betrachteten PCM handelt es sich um die '''PCM 30/32''', deren Systemparameter zum Beispiel in der [[Aufgaben:4.1_PCM–System_30/32 |Aufgabe 4.1]] angegeben sind.
+*Bei der hier betrachteten PCM handelt es sich um die&nbsp; '''PCM 30/32''', deren Systemparameter zum Beispiel in der&nbsp; [[Aufgaben:4.1_PCM–System_30/32 |Aufgabe 4.1]]&nbsp; angegeben sind.
@@ Zeile 49: / Zeile 54: @@
 $K_\text{AM → PCM} \ = \ $ { 1000 3% }
-{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; ergibt sich für &nbsp;$10 · \lg \ ξ = 6\ \rm  dB$&nbsp; und &nbsp;$N = N_1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)'''?
+{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; ergibt sich für &nbsp;$10 · \lg \ ξ = 6\ \rm  dB$&nbsp; und &nbsp;$N = N_1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \%$

@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Einfluss_von_.C3.9Cbertragungsfehlern|Einfluss von Übertragungsfehlern]] und [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler]].
 *Bei der hier betrachteten PCM handelt es sich um die PCM 30/32, deren Systemparameter zum Beispiel in der [[Aufgaben:4.1_PCM–System_30/32 |Aufgabe 4.1]] angegeben sind.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID1619__Mod_Z_4_4.png|right|frame|Störabstand von PCM 30/32 im Vergleich zu AM]]
+[[Datei:P_ID1619__Mod_Z_4_4.png|right|frame|Störabstand von PCM 30/32 im Vergleich zur ZSB–Amplitudenmodulation]]
 Die Grafik zeigt den Sinken–Störabstand $10 · \lg \ ρ_v$ für die Pulscodemodulation (PCM) im Vergleich zur analogen Zweiseitenband–Amplitudenmodulation, abgekürzt mit ZSB–AM. Für letztere gilt $ρ_v = ξ$, wobei die Leistungskenngröße
 :$$\xi = \frac{\alpha^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot f_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
-Für das PCM–System wurde auf der Seite [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|Abschätzung der SNR-Degradation durch Übertragungsfehler]] folgende Näherung für das Sinken–SNR angegeben, die auch Bitfehler aufgrund des AWGN–Rauschens berücksichtigt:
+Für das PCM–System wurde auf der Seite [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler]] folgende Näherung für das Sinken–SNR angegeben, die auch Übertragungsfehler aufgrund des AWGN–Rauschens berücksichtigt:
 :$$ \rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei bezeichnet $N$ die Anzahl der Bit pro Abtastwert und $p_{\rm B}$ die Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Da $ξ$ bei digitaler Modulation auch als die ''Signalenergie pro Bit''&nbsp; bezogen auf die ''Rauschleistungsdichte'' ($E_{\rm B}/N_0$) interpretiert werden kann, gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlersignal ${\rm Q}(x)$ näherungsweise:
@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Einfluss_von_.C3.9Cbertragungsfehlern|Einfluss von Übertragungsfehlern]] und [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|Abschätzung der SNR-Degradation durch Übertragungsfehler]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Einfluss_von_.C3.9Cbertragungsfehlern|Einfluss von Übertragungsfehlern]] und [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler]].
 *Bei der hier betrachteten PCM handelt es sich um die PCM 30/32, deren Systemparameter zum Beispiel in der [[Aufgaben:4.1_PCM–System_30/32 |Aufgabe 4.1]] angegeben sind.
 *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 {Wieviele Bit pro Abtastwert  &nbsp; &rArr; &nbsp; $N = N_2$ müsste man verwenden, damit $10 · \lg \ ρ_v > 64 \ \rm dB$ (Musikqualität) erreicht wird?
 |type="{}"}
-$N_1 \ = \ $ { 11 3%  }
+$N_2 \ = \ $ { 11 3%  }
 {Welche (logarithmierte) Leistungskenngröße $ξ_{40\ \rm dB}$ ist erforderlich, damit bei 8–Bit–PCM der Sinkenstörabstand gleich $40\ \rm  dB$ ist?
@@ Zeile 41: / Zeile 41: @@
 $10 · \lg \ ξ_{40\ \rm dB} \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm dB$
-{Um welchen Faktor könnte man bei PCM die Sendeleistung gegenüber der ZSB–Amplitudenmodulation reduzieren, um trotzdem $10 · \lg  \ ρ_v = 40\ \rm   dB$ zu erreichen?
+{Um welchen Faktor könnte man bei PCM die Sendeleistung gegenüber der ZSB–AM reduzieren, um trotzdem $10 · \lg  \ ρ_v = 40\ \rm   dB$ zu erreichen?
 |type="{}"}
 $K_\text{AM → PCM} \ = \ $ { 1000 3% }
@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Der horizontale Abschnitt der PCM–Kurve wird allein durch das Quantisierungsrauschen bestimmt. Hier gilt mit der Quantisierungsstufenzahl $M = 2^N$:
+'''(1)'''&nbsp;  Der horizontale Abschnitt der PCM–Kurve wird allein durch das Quantisierungsrauschen bestimmt. Hier gilt mit der Quantisierungsstufenzahl $M = 2^N$:
-$$ \rho_{v} (\xi \rightarrow \infty) = \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{v} \approx 6\,{\rm dB} \cdot N\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ \rho_{v} (\xi \rightarrow \infty) = \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{v} \approx 6\,{\rm dB} \cdot N\hspace{0.05cm}.$$
-Aus dem ablesbaren Störabstand $10 · lg ρ_υ ≈ 48 dB$ folgt daraus $N = 8 Bit$ pro Abtastwert und für die Quantisierungsstufenzahl $M = 256$.
+Aus dem ablesbaren Störabstand $10 · \lg \ ρ_v ≈ 48 \ \rm dB$ folgt daraus $N_1\hspace{0.15cm}\underline { = 8}$ Bit pro Abtastwert und für die Quantisierungsstufenzahl $M = 256$.
-'''2.''' Aus der obigen Näherung erhält man für $N = 11  ⇒  M = 2048$ den Störabstand $66 dB$. Mit $N = 10 ⇒ M = 1024$ erreicht man nur ca. $60 dB$. Bei der Compact Disc (CD) werden die PCM–Parameter $N = 16  ⇒  M = 65536  ⇒  10 · lg ρ_υ > 96 dB$ verwendet.
+'''(2)'''&nbsp;  Aus der obigen Näherung erhält man für $N_2\hspace{0.15cm}\underline { = 11}$ Bit pro Abtastwert   &nbsp; ⇒  &nbsp; $M = 2048$ den Störabstand $66  \ \rm dB$.
-'''3.''' Bei Zweiseitenband–Amplitudenmodulation wären hierfür $10 · lg ξ = 40 dB$ erforderlich. Wie aus der Grafik auf der Angabenseite hervorgeht, ist dieser Abszissenwert für die vorgegebene PCM um $30 dB$ geringer  ⇒  $10 · lg ξ_·{40 dB} = 10 dB$.
+'''(3)'''&nbsp;  Bei Zweiseitenband–Amplitudenmodulation wären hierfür $10 · \lg  \ ξ = 40\ \rm  dB$ erforderlich. Wie aus der Grafik auf der Angabenseite hervorgeht, ist dieser Abszissenwert für die vorgegebene PCM um $30 dB$ geringer  ⇒  $10 · \lg \ ξ_{40\ \rm dB}\hspace{0.15cm}\underline { = 10 \ \rm dB}$.
-'''4.'''  Der logarithmische Wert $30 dB$ entspricht einer um den $Faktor 10^3 = 1000$ reduzierten Leistung.
+'''(4)'''&nbsp;  Der logarithmische Wert $30  \ \rm  dB$ entspricht einer um den $Faktor 10^3\hspace{0.15cm}\underline {  = 1000}$ reduzierten Leistung.
-'''5.''' Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass der Abszissenwert $10 · lg ξ = 6 dB$ den Störabstand $20 dB$ zur Folge hat. Aus $10 · lg ρ_υ = 20 dB$ folgt $ρ_υ = 100$ und damit weiter (mit $N = 8$):
+'''(5)'''&nbsp;  Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass der Abszissenwert $10 · \lg \ ξ= 6 \ \rm  dB$ den Störabstand $20 \ \rm  dB$ zur Folge hat. Aus $10 · \lg \ ρ_v = 20  \ \rm   dB$ folgt $ρ_v = 100$ und damit weiter (mit $N = N_1 = 8$):
-$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \approx \frac{1}{ 1.5 \cdot 10^{-5} + 4 \cdot p_{\rm B}} = 100$$
+:$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \approx \frac{1}{ 1.5 \cdot 10^{-5} + 4 \cdot p_{\rm B}} = 100 \hspace{0.3cm}
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} = \frac{0.01 - 1.5 \cdot 10^{-5}}{ 4} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.025} \hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} = \frac{0.01 - 1.5 \cdot 10^{-5}}{ 4} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.5\%} \hspace{0.05cm}.$$
-'''6.'''Bei gleichem $ξ$ kann wieder mit der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_B = 0.025$ gerechnet werden. Damit erhält man mit $N = 3$ (Bit pro Abtastwert)
+'''(6)'''&nbsp;  Bei gleichem $ξ$ ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit weiterhin $p_{\rm B} = 0.025$ gerechnet werden. Damit erhält man mit $N = 3$ (Bit pro Abtastwert):
-$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-6 } + 4 \cdot p_{\rm B}} = \frac{1}{ 0.015625 + 0.01} \approx 39 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\upsilon}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-6 } + 4 \cdot p_{\rm B}} = \frac{1}{ 0.015625 + 0.01} \approx 39 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\upsilon}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
-Bei 3 Bit pro Abtastwert ist die Quantisierungsrauschleistung ($P_Q = 0.015625$) schon größer als die Fehlerrauschleistung ($P_F = 0.01$). Durch Erhöhung der Sendeleistung könnte wegen der Quantisierung der Sinkenstörabstand maximal 18 dB betragen, wenn keine Bitfehler vorkommen ($P_F = 0$).
+Weiter ist anzumerken:
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