Aufgaben:Aufgabe 4.4Z: Höhenlinien der 2D-WDF - Versionsgeschichte

Guenter am 24. Februar 2022 um 13:50 Uhr

2022-02-24T13:50:29Z

Guenter am 24. Februar 2022 um 13:42 Uhr

2022-02-24T13:42:02Z

Guenter am 27. November 2019 um 10:45 Uhr

2019-11-27T10:45:31Z

Guenter am 27. November 2019 um 10:25 Uhr

2019-11-27T10:25:10Z

Guenter am 16. August 2018 um 08:23 Uhr

2018-08-16T08:23:52Z

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2018-08-16T08:02:53Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:52Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:41:30Z

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Guenter am 20. März 2017 um 11:49 Uhr

2017-03-20T11:49:37Z

Guenter am 20. März 2017 um 10:50 Uhr

2017-03-20T10:50:12Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Auch ohne die Angabe&nbsp; $\sigma_x = \sigma_y  = 1$&nbsp; könnte man erkennen, dass die Streuungen&nbsp; $\sigma_x$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y$&nbsp; gleich sind,
+'''(1)'''&nbsp; Auch ohne die Angabe&nbsp; $\sigma_x = \sigma_y  = 1$&nbsp; könnte man erkennen,&nbsp; dass&nbsp; $\sigma_x=\sigma_y$&nbsp; gilt,&nbsp; da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$&nbsp; die Koeffizienten bei&nbsp; $x^2$&nbsp; und&nbsp; $y^2$&nbsp; gleich sind.
 *Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:
 :$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
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 :$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan \ (\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$
-*Gilt&nbsp; $\sigma_x = \sigma_y$&nbsp; und&nbsp; $\rho_{xy} \ne 0$,&nbsp; so ist der Winkel immer&nbsp; $\alpha = \pm 45^\circ$, wobei das Vorzeichen gleich dem Vorzeichen von&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; ist.
+*Gilt&nbsp; $\sigma_x = \sigma_y$&nbsp; und&nbsp; $\rho_{xy} \ne 0$,&nbsp; so ist der Winkel immer&nbsp; $\alpha = \pm 45^\circ$,&nbsp; wobei das Vorzeichen gleich dem Vorzeichen von&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; ist.
 *Im vorliegenden Fall gilt&nbsp; $\alpha\hspace{0.15cm}\underline{ = -45^\circ}$.
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 Nachfolgend der <u>Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage</u>:
-*L&ouml;st man die Ellipsengleichung&nbsp; $($mit&nbsp; $z = 0.118)$,&nbsp; also&nbsp; $x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0$,&nbsp; nach&nbsp; $y$&nbsp; auf, so erh&auml;lt man nach L&ouml;sung einer quadratischen Gleichung:
+*L&ouml;st man die Ellipsengleichung&nbsp; $($mit&nbsp; $z = 0.118)$,&nbsp; also&nbsp;
 :$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot  x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}}
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}  y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$
-*Die vertikale Tangente ergibt sich f&uuml;r den Fall, dass die beiden L&ouml;sungen&nbsp; $y_{\rm 1, \ 2}$&nbsp;  identisch sind.&nbsp; Das heißt: &nbsp;  Der Wurzelausdruck muss Null ergeben.
+*Die vertikale Tangente ergibt sich f&uuml;r den Fall,&nbsp; dass die beiden L&ouml;sungen&nbsp; $y_{\rm 1, \ 2}$&nbsp;  identisch sind.&nbsp; Das heißt: &nbsp;  Der Wurzelausdruck muss Null ergeben.
 *Die L&ouml;sung f&uuml;r positives&nbsp; $x$&nbsp; lautet dann: &nbsp; $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$
 *Eingesetzt in die Ellipsengleichung erh&auml;lt man f&uuml;r den&nbsp; $y$&ndash;Wert des Tangentialpunktes:
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 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) =  0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$
-*Daraus ergibt sich&nbsp; $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$&nbsp; Das bedeutet aber auch: &nbsp; Der Tangentialpunkt&nbsp; $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$&nbsp; liegt exakt auf der Korrelationsgeraden&nbsp;  $y=K(x)=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$
+*Daraus ergibt sich&nbsp; $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$&nbsp; Das bedeutet aber auch: &nbsp; Der Tangentialpunkt&nbsp; $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$&nbsp; liegt exakt auf der Korrelationsgeraden&nbsp;  $y=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID297__Sto_Z_4_4.png|right|frame|Gaußsche 2D-WDF: &nbsp; Höhenlinien]]
-Gegeben ist eine zweidimensionale Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x, y)$&nbsp; mit Mittelwert&nbsp; $(0, 0)$&nbsp; und der 2D&ndash;WDF
+Gegeben ist eine zweidimensionale Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x,\hspace{0.05cm} y)$&nbsp; mit Mittelwert&nbsp; $(0,\hspace{0.05cm} 0)$&nbsp; und der 2D&ndash;WDF
-:$$f_{xy}(x, y) = C\cdot{\rm e}^{-(x^{\rm 2} + y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y)}.$$
+:$$f_{xy}(x,\hspace{0.05cm} y) = C\cdot{\rm e}^{-(x^{\rm 2} + y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y)}.$$
-Bekannt ist weiter, dass die beiden Streuungen&nbsp; $\sigma_x$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y$&nbsp; jeweils gleich&nbsp; $1$&nbsp; sind.
+Bekannt ist weiter,&nbsp; dass die beiden Streuungen&nbsp; $\sigma_x$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y$&nbsp; jeweils gleich&nbsp; $1$&nbsp; sind.
 In der Skizze eingetragen sind:
-* Eine H&ouml;henlinie dieser WDF f&uuml;r&nbsp; $f_{xy}(x,y) =0.2$,
+* Eine H&ouml;henlinie dieser WDF f&uuml;r&nbsp; $f_{xy}(x,&nbsp;y) =0.2$,
-* die (dunkelblaue) Ellipsenhauptachse&nbsp; $\rm (EA)$, und
+* die&nbsp; (dunkelblaue)&nbsp; Ellipsenhauptachse&nbsp; $\rm (EA)$, und
-* die (rote)  Korrelationsgerade&nbsp; $y=K(x)$.
+* die&nbsp; (rote)&nbsp;  Korrelationsgerade&nbsp; $\rm (KG)$.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
 *Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo&nbsp; [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
 ::Teil 1: &nbsp; Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
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-{Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Korrelationsgeraden&nbsp; $K(x)$&nbsp; zu?
+{Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Korrelationsgeraden&nbsp; $(KG)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
 - Die Korrelationsgerade ist steiler als die Ellipsenhauptachse.
-+ Der Winkel von&nbsp; $K(x)$&nbsp; gegen&uuml;ber der&nbsp; $x$&ndash;Achse ist etwa&nbsp; $-35^\circ$.
++ Der Winkel der Korrelationsgeraden gegen&uuml;ber der&nbsp; $x$&ndash;Achse ist etwa&nbsp; $-35^\circ$.
-+ Die Korrelationsgerade schneidet alle H&ouml;henlinien dort, wo an die Ellipse eine vertikale Tangente angelegt werden kann.
++ Die Korrelationsgerade schneidet alle H&ouml;henlinien dort,&nbsp; wo an die Ellipse eine vertikale Tangente angelegt werden kann.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Auch ohne die Angabe $\sigma_x = \sigma_y  = 1$ könnte man erkennen, dass die Streuungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ gleich sind, da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$ die Koeffizienten bei $x^2$ und $y^2$ gleich sind. Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:
+'''(1)'''&nbsp; Auch ohne die Angabe&nbsp; $\sigma_x = \sigma_y  = 1$&nbsp; könnte man erkennen, dass die Streuungen&nbsp; $\sigma_x$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y$&nbsp; gleich sind,
 :$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
 \rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Mit den unter Punkt '''(1)''' berechneten Zahlenwerten erhalten wir zudem:
+'''(2)'''&nbsp; Mit den unter Punkt&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechneten Zahlenwerten erhalten wir zudem:
 :$$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}}
 =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$
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 '''(3)'''&nbsp; Die allgemeine Gleichung lautet:
-:$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan(\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$
+:$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan \ (\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$
 '''(4)'''&nbsp; F&uuml;r die eingezeichnete H&ouml;henlinie gilt:
-:$$f_{xy}(x, y)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(\it x^{\rm 2} +  y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=\rm 0.2$$
+:$$f_{xy}(x, y)=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(x^{2} +  y^{2} + \sqrt{2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=0.2\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{-( x^{\rm 2} +  y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{-(x^{2} +  y^{2} + \sqrt{2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}  x^{\rm 2} +  y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$
-Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist $\alpha = -45^\circ$. Deshalb muss $y_0 = - x_0$ gelten. Daraus folgt weiter:
+*Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist&nbsp; $\alpha = -45^\circ$.&nbsp; Deshalb muss&nbsp; $y_0 = - x_0$&nbsp; gelten. Daraus folgt weiter:
 :$$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it  x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118}
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$
-*Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten H&ouml;henlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei $(+0.45, -0.45)$ und $(-0.45, +0.45)$.
+*Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten H&ouml;henlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei&nbsp; $(+0.45, -0.45)$&nbsp; und&nbsp; $(-0.45, +0.45)$.
-*Der Quotient ist in beiden Fällen  $x_0/y_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = -1}$.
+*Der Quotient ist in beiden Fällen&nbsp;  $x_0/y_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = -1}$.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Mit $\sigma_x = \sigma_y$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' gilt f&uuml;r den Winkel der Korrelationsgeraden:
+*Mit&nbsp; $\sigma_x = \sigma_y$&nbsp; und dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; gilt f&uuml;r den Winkel der Korrelationsgeraden:
 :$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x} = \arctan (\rho_{\it xy})=\arctan(-{\rm 1}/{\sqrt{\rm 2}})\approx -\rm 35.3^{\circ}.$$
-*Das bedeutet: Die erste Aussage ist falsch und die zweite richtig.
+*Das bedeutet: &nbsp; Die erste Aussage ist falsch und die zweite richtig.
 Nachfolgend der <u>Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage</u>:
-*L&ouml;st man die Ellipsengleichung (mit $z = 0.118$), also $x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0 ,$ nach $y$ auf, so erh&auml;lt man nach L&ouml;sung einer quadratischen Gleichung
+*L&ouml;st man die Ellipsengleichung&nbsp; $($mit&nbsp; $z = 0.118)$,&nbsp; also&nbsp; $x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0$,&nbsp; nach&nbsp; $y$&nbsp; auf, so erh&auml;lt man nach L&ouml;sung einer quadratischen Gleichung:
 :$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot  x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}}
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}  y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$
-*Die vertikale Tangente ergibt sich f&uuml;r den Fall, dass die beiden L&ouml;sungen $y_{\rm 1, \ 2}$  identisch sind. Das heißt: &nbsp;  Der Wurzelausdruck muss den Wert $0$ ergeben.
+*Die vertikale Tangente ergibt sich f&uuml;r den Fall, dass die beiden L&ouml;sungen&nbsp; $y_{\rm 1, \ 2}$&nbsp;  identisch sind.&nbsp; Das heißt: &nbsp;  Der Wurzelausdruck muss Null ergeben.
-*Die L&ouml;sung f&uuml;r positives $x$ lautet dann: &nbsp; $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$
+*Die L&ouml;sung f&uuml;r positives&nbsp; $x$&nbsp; lautet dann: &nbsp; $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$
-*Eingesetzt in die Ellipsengleichung erh&auml;lt man f&uuml;r den $y$-Wert des Tangentialpunktes:
+*Eingesetzt in die Ellipsengleichung erh&auml;lt man f&uuml;r den&nbsp; $y$&ndash;Wert des Tangentialpunktes:
 :$$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} -  z = 0$$
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 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) =  0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$
-*Daraus ergibt sich $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$ Das bedeutet aber auch: &nbsp; Der Tangentialpunkt $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$ liegt exakt auf der Korrelationsgeraden  $y=K(x)=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$
+*Daraus ergibt sich&nbsp; $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$&nbsp; Das bedeutet aber auch: &nbsp; Der Tangentialpunkt&nbsp; $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$&nbsp; liegt exakt auf der Korrelationsgeraden&nbsp;  $y=K(x)=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID297__Sto_Z_4_4.png|right|frame|Gaußsche 2D-WDF: &nbsp; Höhenlinien]]
-Gegeben ist eine zweidimensionale Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e $(x, y)$ mit Mittelwert $(0, 0)$ und der 2D&ndash;WDF
+Gegeben ist eine zweidimensionale Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x, y)$&nbsp; mit Mittelwert&nbsp; $(0, 0)$&nbsp; und der 2D&ndash;WDF
 :$$f_{xy}(x, y) = C\cdot{\rm e}^{-(x^{\rm 2} + y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y)}.$$
-Bekannt ist weiter, dass die beiden Streuungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ jeweils gleich $1$ sind. In der Skizze eingetragen sind:
+Bekannt ist weiter, dass die beiden Streuungen&nbsp; $\sigma_x$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y$&nbsp; jeweils gleich&nbsp; $1$&nbsp; sind.
 * Eine H&ouml;henlinie dieser WDF f&uuml;r $f_{xy}(x,y) =0.2$,
-* die Ellipsenhauptachse $\rm (EA)$, und
+In der Skizze eingetragen sind:
-* die Korrelationsgerade $y=K(x)$.
+* Eine H&ouml;henlinie dieser WDF f&uuml;r&nbsp; $f_{xy}(x,y) =0.2$,
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
-*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
+*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo&nbsp; [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
 ::Teil 1: &nbsp; Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
 ::Teil 2: &nbsp; Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.
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 <quiz display=simple>
-{Wie gro&szlig; ist der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy}$?
+{Wie gro&szlig; ist der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho_{xy}$?
 |type="{}"}
 $\rho_{xy} \ = \ $ { -0.727--0.687 }
-{Wie gro&szlig; ist der Maximalwert $C = f_{xy}(0, 0)$ der WDF?
+{Wie gro&szlig; ist der Maximalwert&nbsp; $C = f_{xy}(0, 0)$&nbsp; der WDF?
 |type="{}"}
 $C \ = \ $ { 0.225 3% }
-{Wie groß ist der Winkel $\alpha$ zwischen Ellipsenhauptachse $\rm (EA)$ und $x$&ndash;Achse?
+{Wie groß ist der Winkel&nbsp; $\alpha$&nbsp; zwischen Ellipsenhauptachse&nbsp; $\rm (EA)$&nbsp; und&nbsp; $x$&ndash;Achse?
 |type="{}"}
 $\alpha\ = \ $ { -46--44 } $ \ \rm Grad$
-{Bei welchen Werten $x_0$ bzw. $y_0$ schneidet die H&ouml;henlinie $f_{xy}(x,y) = 0.2$ die Ellipsenhauptachse?
+{Bei welchen Werten&nbsp; $x_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $y_0$&nbsp; schneidet die H&ouml;henlinie&nbsp; $f_{xy}(x,y) = 0.2$&nbsp; die Ellipsenhauptachse?&nbsp; Welcher Zusammenhang besteht zwischen&nbsp; $x_0$&nbsp; und&nbsp; $y_0$?
 |type="{}"}
 $x_0/y_0 \ = \ $ { -1.03--0.97 }
-{Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Korrelationsgeraden $K(x)$ zu?
+{Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Korrelationsgeraden&nbsp; $K(x)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
 - Die Korrelationsgerade ist steiler als die Ellipsenhauptachse.
-+ Der Winkel von $K(x)$ gegen&uuml;ber der $x$&ndash;Achse ist etwa $-35^\circ$.
++ Der Winkel von&nbsp; $K(x)$&nbsp; gegen&uuml;ber der&nbsp; $x$&ndash;Achse ist etwa&nbsp; $-35^\circ$.
 + Die Korrelationsgerade schneidet alle H&ouml;henlinien dort, wo an die Ellipse eine vertikale Tangente angelegt werden kann.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Auch ohne die Angabe $\sigma_x = \sigma_y  = 1$ könnte man erkennen, dass die beiden Streuungen gleich sind, da im Exponenten der 2D&ndash;WDF $f_{xy}(x, y)$ die Koeffizienten bei $x^2$ und $y^2$ gleich sind. Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:
+'''(1)'''&nbsp; Auch ohne die Angabe $\sigma_x = \sigma_y  = 1$ könnte man erkennen, dass die Streuungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ gleich sind, da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$ die Koeffizienten bei $x^2$ und $y^2$ gleich sind. Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:
 :$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
 \rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Mit den unter Punkt (1) berechneten Zahlenwerten erhalten wir:
 :$$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}}
 =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die allgemeine Gleichung lautet:
-:$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan(\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}).$$
+:$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan(\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$
 '''(4)'''&nbsp; F&uuml;r die eingezeichnete H&ouml;henlinie gilt:
 :$$f_{xy}(x, y)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(\it x^{\rm 2} +  y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=\rm 0.2$$
-:$$\Rightarrow {\rm e}^{-( x^{\rm 2} +  y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{-( x^{\rm 2} +  y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}  x^{\rm 2} +  y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$
-Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist $\alpha{ = -45^\circ}$. Deshalb muss $y_0 = - x_0$ gelten. Daraus folgt weiter:
+Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist $\alpha = -45^\circ$. Deshalb muss $y_0 = - x_0$ gelten. Daraus folgt weiter:
 :$$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$
-:$$\Rightarrow (\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it  x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118}
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it  x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118}
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$
-Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten H&ouml;henlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei $(+0.45, -0.45)$ und $(-0.45, +0.45)$. Der Quotient ist in beiden Fällen  $x_0/y_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = -1}$.
+*Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten H&ouml;henlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei $(+0.45, -0.45)$ und $(-0.45, +0.45)$.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Mit $\sigma_x = \sigma_y$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) gilt f&uuml;r den Winkel der Korrelationsgeraden:
+*Mit $\sigma_x = \sigma_y$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' gilt f&uuml;r den Winkel der Korrelationsgeraden:
-:$$\theta_{y\rightarrow x} = \arctan (\rho_{\it xy})=\arctan(-{\rm 1}/{\sqrt{\rm 2}})\approx -\rm 35.3^{\circ}.$$
+:$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x} = \arctan (\rho_{\it xy})=\arctan(-{\rm 1}/{\sqrt{\rm 2}})\approx -\rm 35.3^{\circ}.$$
-:Das bedeutet: Die erste Aussage ist falsch und die zweite richtig.
+*Das bedeutet: Die erste Aussage ist falsch und die zweite richtig.
-*Nachfolgend der Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage: L&ouml;st man die Ellipsengleichung (mit $z = 0.118$), also $x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0 ,$ nach $y$ auf, so erh&auml;lt man nach L&ouml;sung einer quadratischen Gleichung
 :$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot  x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}}
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}  y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$
-*Die vertikale Tangente ergibt sich f&uuml;r den Fall, dass die beiden L&ouml;sungen $y_{\rm 1, \ 2}$  identisch sind. Das heißt: der Wurzelausdruck muss den Wert $0$ ergeben. Die L&ouml;sung f&uuml;r positives $x$ lautet dann: &nbsp; $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$
+*Die vertikale Tangente ergibt sich f&uuml;r den Fall, dass die beiden L&ouml;sungen $y_{\rm 1, \ 2}$  identisch sind. Das heißt: &nbsp;  Der Wurzelausdruck muss den Wert $0$ ergeben.
 *Eingesetzt in die Ellipsengleichung erh&auml;lt man f&uuml;r den $y$-Wert des Tangentialpunktes:
 :$$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} -  z = 0$$
-:$$\Rightarrow y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot  y_{\rm T} +  z = 0
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot  y_{\rm T} +  z = 0
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) =  0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$
-*Daraus ergibt sich $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$ Das bedeutet aber auch: Der Tangentialpunkt $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$ liegt exakt auf der Korrelationsgeraden  $y=K(x)=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$
+*Daraus ergibt sich $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$ Das bedeutet aber auch: &nbsp; Der Tangentialpunkt $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$ liegt exakt auf der Korrelationsgeraden  $y=K(x)=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$
 {{ML-Fuß}}

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Die hier behandelte Thematik ist in zwei Lernvideos zusammengefasst:
 :[[Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen]]

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 {Wie gro&szlig; ist der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy}$?
 |type="{}"}
-$\rho_{xy} \ =$ { -0.777--0.637 }
+$\rho_{xy} \ =$ { -0.727--0.687 }
@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 {Wie groß ist der Winkel $\alpha$ zwischen Ellipsenhauptachse (EA) und $x$-Achse?
 |type="{}"}
-$\alpha\ =$ { 45 3% } $ \ \rm Grad$
+$\alpha\ =$ { -46--44 } $ \ \rm Grad$