Aufgaben:Aufgabe 4.4Z: Höhenlinien der 2D-WDF - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^4.2 Gaußsche 2D-Zufallsgrößen^]]		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^4.2 Gaußsche 2D-Zufallsgrößen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.4Z:_Contour_Lines_of_the_"2D-PDF"]]

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Guenter am 24. Februar 2022 um 13:50 Uhr

2022-02-24T13:50:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2022, 15:50 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Auch ohne die Angabe  $\sigma_x = \sigma_y = 1$  könnte man erkennen, dass ~~die Streuungen~~  $\sigma_x$  ~~und  $\sigma_y$~~  ~~gleich sind,~~		'''(1)'''  Auch ohne die Angabe  $\sigma_x = \sigma_y = 1$  könnte man erkennen,  dass  $\sigma_x=\sigma_y$  gilt,  da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$  die Koeffizienten bei  $x^2$  und  $y^2$  gleich sind.
	*da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$  die Koeffizienten bei  $x^2$  und  $y^2$  gleich sind.
	*Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:		*Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:
	:$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}		:$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
Zeile 77:		Zeile 76:
	:$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan \ (\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$		:$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan \ (\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$

	*Gilt  $\sigma_x = \sigma_y$  und  $\rho_{xy} \ne 0$,  so ist der Winkel immer  $\alpha = \pm 45^\circ$, wobei das Vorzeichen gleich dem Vorzeichen von  $\rho_{xy}$  ist.		*Gilt  $\sigma_x = \sigma_y$  und  $\rho_{xy} \ne 0$,  so ist der Winkel immer  $\alpha = \pm 45^\circ$,  wobei das Vorzeichen gleich dem Vorzeichen von  $\rho_{xy}$  ist.
	*Im vorliegenden Fall gilt  $\alpha\hspace{0.15cm}\underline{ = -45^\circ}$.		*Im vorliegenden Fall gilt  $\alpha\hspace{0.15cm}\underline{ = -45^\circ}$.

Zeile 105:		Zeile 104:

	Nachfolgend der <u>Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage</u>:		Nachfolgend der <u>Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage</u>:
	*Löst man die Ellipsengleichung  $($mit  $z = 0.118)$,  also  $x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0$~~, ~~ nach  $y$  auf, so erhält man nach Lösung einer quadratischen Gleichung:		*Löst man die Ellipsengleichung  $($mit  $z = 0.118)$,  also
			:$$x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0,$$
			:nach  $y$  auf,  so erhält man nach Lösung einer quadratischen Gleichung:
	:$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}}		:$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}}
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$
	*Die vertikale Tangente ergibt sich für den Fall, dass die beiden Lösungen  $y_{\rm 1, \ 2}$  identisch sind.  Das heißt:   Der Wurzelausdruck muss Null ergeben.		*Die vertikale Tangente ergibt sich für den Fall,  dass die beiden Lösungen  $y_{\rm 1, \ 2}$  identisch sind.  Das heißt:   Der Wurzelausdruck muss Null ergeben.
	*Die Lösung für positives  $x$  lautet dann:   $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$		*Die Lösung für positives  $x$  lautet dann:   $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$
	*Eingesetzt in die Ellipsengleichung erhält man für den  $y$–Wert des Tangentialpunktes:		*Eingesetzt in die Ellipsengleichung erhält man für den  $y$–Wert des Tangentialpunktes:
Zeile 116:		Zeile 117:
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$

	*Daraus ergibt sich  $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$  Das bedeutet aber auch:   Der Tangentialpunkt  $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$  liegt exakt auf der Korrelationsgeraden  $y~~=K(x)~~=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$		*Daraus ergibt sich  $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$  Das bedeutet aber auch:   Der Tangentialpunkt  $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$  liegt exakt auf der Korrelationsgeraden  $y=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 24. Februar 2022 um 13:42 Uhr

2022-02-24T13:42:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2022, 15:42 Uhr
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	[[Datei:P_ID297__Sto_Z_4_4.png\|right\|frame\|Gaußsche 2D-WDF:   Höhenlinien]]		[[Datei:P_ID297__Sto_Z_4_4.png\|right\|frame\|Gaußsche 2D-WDF:   Höhenlinien]]
	Gegeben ist eine zweidimensionale Gaußsche Zufallsgröße  $(x, y)$  mit Mittelwert  $(0, 0)$  und der 2D–WDF		Gegeben ist eine zweidimensionale Gaußsche Zufallsgröße  $(x,\hspace{0.05cm} y)$  mit Mittelwert  $(0,\hspace{0.05cm} 0)$  und der 2D–WDF
	:$$f_{xy}(x, y) = C\cdot{\rm e}^{-(x^{\rm 2} + y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y)}.$$		:$$f_{xy}(x,\hspace{0.05cm} y) = C\cdot{\rm e}^{-(x^{\rm 2} + y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y)}.$$

	Bekannt ist weiter, dass die beiden Streuungen  $\sigma_x$  und  $\sigma_y$  jeweils gleich  $1$  sind.		Bekannt ist weiter,  dass die beiden Streuungen  $\sigma_x$  und  $\sigma_y$  jeweils gleich  $1$  sind.

	In der Skizze eingetragen sind:		In der Skizze eingetragen sind:
	* Eine Höhenlinie dieser WDF für  $f_{xy}(x,y) =0.2$,		* Eine Höhenlinie dieser WDF für  $f_{xy}(x, y) =0.2$,
	* die (dunkelblaue) Ellipsenhauptachse  $\rm (EA)$, und		* die  (dunkelblaue)  Ellipsenhauptachse  $\rm (EA)$, und
	* die (rote) Korrelationsgerade  $~~y=K~~(x)$.		* die  (rote)  Korrelationsgerade  $\rm (KG)$.


Zeile 18:		Zeile 18:


			Hinweise:

	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].

	*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo  [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)\|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:		*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo  [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)\|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
	::Teil 1:   Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,		::Teil 1:   Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
Zeile 54:		Zeile 51:


	{Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Korrelationsgeraden  $K(x)$  zu?		{Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Korrelationsgeraden  $(KG)$  zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Die Korrelationsgerade ist steiler als die Ellipsenhauptachse.		- Die Korrelationsgerade ist steiler als die Ellipsenhauptachse.
	+ Der Winkel ~~von  $K(x)$ ~~ gegenüber der  $x$–Achse ist etwa  $-35^\circ$.		+ Der Winkel der Korrelationsgeraden gegenüber der  $x$–Achse ist etwa  $-35^\circ$.
	+ Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien dort, wo an die Ellipse eine vertikale Tangente angelegt werden kann.		+ Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien dort,  wo an die Ellipse eine vertikale Tangente angelegt werden kann.

Guenter am 27. November 2019 um 10:45 Uhr

2019-11-27T10:45:31Z

Guenter am 27. November 2019 um 10:25 Uhr

2019-11-27T10:25:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. November 2019, 12:25 Uhr
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	[[Datei:P_ID297__Sto_Z_4_4.png\|right\|frame\|Gaußsche 2D-WDF:   Höhenlinien]]		[[Datei:P_ID297__Sto_Z_4_4.png\|right\|frame\|Gaußsche 2D-WDF:   Höhenlinien]]
	Gegeben ist eine zweidimensionale Gaußsche Zufallsgröße $(x, y)$ mit Mittelwert $(0, 0)$ und der 2D–WDF		Gegeben ist eine zweidimensionale Gaußsche Zufallsgröße  $(x, y)$  mit Mittelwert  $(0, 0)$  und der 2D–WDF
	:$$f_{xy}(x, y) = C\cdot{\rm e}^{-(x^{\rm 2} + y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y)}.$$		:$$f_{xy}(x, y) = C\cdot{\rm e}^{-(x^{\rm 2} + y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y)}.$$

	Bekannt ist weiter, dass die beiden Streuungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ jeweils gleich $1$ sind. In der Skizze eingetragen sind:		Bekannt ist weiter, dass die beiden Streuungen  $\sigma_x$  und  $\sigma_y$  jeweils gleich  $1$  sind.
	* Eine Höhenlinie dieser WDF für $f_{xy}(x,y) =0.2$,
	* die Ellipsenhauptachse $\rm (EA)$, und		In der Skizze eingetragen sind:
	* die Korrelationsgerade $y=K(x)$.		* Eine Höhenlinie dieser WDF für  $f_{xy}(x,y) =0.2$,
			* die (dunkelblaue) Ellipsenhauptachse  $\rm (EA)$, und
			* die (rote) Korrelationsgerade  $y=K(x)$.





Zeile 16:		Zeile 21:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].

	*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)\|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:		*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo  [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)\|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
	::Teil 1:   Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,		::Teil 1:   Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
	::Teil 2:   Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.		::Teil 2:   Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.
Zeile 29:		Zeile 34:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß ist der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy}$?		{Wie groß ist der Korrelationskoeffizient  $\rho_{xy}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\rho_{xy} \ = \ $ { -0.727--0.687 }		$\rho_{xy} \ = \ $ { -0.727--0.687 }


	{Wie groß ist der Maximalwert $C = f_{xy}(0, 0)$ der WDF?		{Wie groß ist der Maximalwert  $C = f_{xy}(0, 0)$  der WDF?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$C \ = \ $ { 0.225 3% }		$C \ = \ $ { 0.225 3% }


	{Wie groß ist der Winkel $\alpha$ zwischen Ellipsenhauptachse $\rm (EA)$ und $x$–Achse?		{Wie groß ist der Winkel  $\alpha$  zwischen Ellipsenhauptachse  $\rm (EA)$  und  $x$–Achse?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\alpha\ = \ $ { -46--44 } $ \ \rm Grad$		$\alpha\ = \ $ { -46--44 } $ \ \rm Grad$


	{Bei welchen Werten $x_0$ bzw. $y_0$ schneidet die Höhenlinie $f_{xy}(x,y) = 0.2$ die Ellipsenhauptachse?		{Bei welchen Werten  $x_0$  bzw.  $y_0$  schneidet die Höhenlinie  $f_{xy}(x,y) = 0.2$  die Ellipsenhauptachse?  Welcher Zusammenhang besteht zwischen  $x_0$  und  $y_0$?
	~~<br>~~Welcher Zusammenhang besteht zwischen $x_0$ und $y_0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$x_0/y_0 \ = \ $ { -1.03--0.97 }		$x_0/y_0 \ = \ $ { -1.03--0.97 }


	{Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Korrelationsgeraden $K(x)$ zu?		{Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Korrelationsgeraden  $K(x)$  zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Die Korrelationsgerade ist steiler als die Ellipsenhauptachse.		- Die Korrelationsgerade ist steiler als die Ellipsenhauptachse.
	+ Der Winkel von $K(x)$ gegenüber der $x$–Achse ist etwa $-35^\circ$.		+ Der Winkel von  $K(x)$  gegenüber der  $x$–Achse ist etwa  $-35^\circ$.
	+ Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien dort, wo an die Ellipse eine vertikale Tangente angelegt werden kann.		+ Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien dort, wo an die Ellipse eine vertikale Tangente angelegt werden kann.

Guenter am 16. August 2018 um 08:23 Uhr

2018-08-16T08:23:52Z

Guenter am 16. August 2018 um 08:02 Uhr

2018-08-16T08:02:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. August 2018, 10:02 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID297__Sto_Z_4_4.png\|right\|~~Höhenlinien der Gaußschen~~ 2D-WDF]]		[[Datei:P_ID297__Sto_Z_4_4.png\|right\|frame\|Gaußsche 2D-WDF:   Höhenlinien]]
	Gegeben ist eine zweidimensionale Gaußsche Zufallsgröße $(x, y)$ mit ~~dem~~ Mittelwert $(0, 0)$ und der 2D–WDF		Gegeben ist eine zweidimensionale Gaußsche Zufallsgröße $(x, y)$ mit Mittelwert $(0, 0)$ und der 2D–WDF
	:$$f_{xy}(x, y) = C\cdot{\rm e}^{-(x^{\rm 2} + y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y)}.$$		:$$f_{xy}(x, y) = C\cdot{\rm e}^{-(x^{\rm 2} + y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y)}.$$

	Bekannt ist weiter, dass die beiden Streuungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ jeweils gleich $1$ sind. In der Skizze eingetragen sind:		Bekannt ist weiter, dass die beiden Streuungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ jeweils gleich $1$ sind. In der Skizze eingetragen sind:
	* ~~eine~~ Höhenlinie dieser WDF für $f_{xy}(x,y) =0.2$,		* Eine Höhenlinie dieser WDF für $f_{xy}(x,y) =0.2$,
	* die Ellipsenhauptachse (EA), und		* die Ellipsenhauptachse $\rm (EA)$, und
	* die Korrelationsgerade $y=K(x)$.		* die Korrelationsgerade $y=K(x)$.




	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].

			*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)\|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
			::Teil 1:   Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
			::Teil 2:   Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.

	*Die hier behandelte Thematik ist in zwei Lernvideos zusammengefasst:
	~~:[[Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen]]~~
	~~:[[Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen]]~~


Zeile 26:		Zeile 31:
	{Wie groß ist der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy}$?		{Wie groß ist der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\rho_{xy} \ =$ { -0.727--0.687 }		$\rho_{xy} \ = \ $ { -0.727--0.687 }


	{Wie groß ist der Maximalwert $C = f_{xy}(0, 0)$ der WDF?		{Wie groß ist der Maximalwert $C = f_{xy}(0, 0)$ der WDF?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$C \ =$ { 0.225 3% }		$C \ = \ $ { 0.225 3% }


	{Wie groß ist der Winkel $\alpha$ zwischen Ellipsenhauptachse (EA) und $x$-Achse?		{Wie groß ist der Winkel $\alpha$ zwischen Ellipsenhauptachse $\rm (EA)$ und $x$–Achse?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\alpha\ =$ { -46--44 } $ \ \rm Grad$		$\alpha\ = \ $ { -46--44 } $ \ \rm Grad$


	{Bei welchen Werten $x_0$ bzw. $y_0$ schneidet die Höhenlinie $f_{xy}(x,y) =0.2$ die Ellipsenhauptachse?		{Bei welchen Werten $x_0$ bzw. $y_0$ schneidet die Höhenlinie $f_{xy}(x,y) = 0.2$ die Ellipsenhauptachse?
	<br>Welcher Zusammenhang besteht zwischen $x_0$ und $y_0$?		<br>Welcher Zusammenhang besteht zwischen $x_0$ und $y_0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$x_0/y_0 \ =$ { -1.03--0.97 }		$x_0/y_0 \ = \ $ { -1.03--0.97 }


Zeile 48:		Zeile 53:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Die Korrelationsgerade ist steiler als die Ellipsenhauptachse.		- Die Korrelationsgerade ist steiler als die Ellipsenhauptachse.
	+ Der Winkel von $K(x)$ gegenüber der $x$-Achse ist etwa $-35^\circ$.		+ Der Winkel von $K(x)$ gegenüber der $x$–Achse ist etwa $-35^\circ$.
	+ Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien dort, wo an die Ellipse eine vertikale Tangente angelegt werden kann.		+ Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien dort, wo an die Ellipse eine vertikale Tangente angelegt werden kann.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:52Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Die hier behandelte Thematik ist in zwei Lernvideos zusammengefasst:		*Die hier behandelte Thematik ist in zwei Lernvideos zusammengefasst:
	:[[Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen]]		:[[Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen]]

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2018-01-03T13:41:30Z

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(kein Unterschied)

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Zeile 64:		Zeile 64:
	'''(1)'''  Auch ohne die Angabe  $\sigma_x = \sigma_y = 1$  könnte man erkennen,  dass  $\sigma_x=\sigma_y$  gilt,  da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$  die Koeffizienten bei  $x^2$  und  $y^2$  gleich sind.		'''(1)'''  Auch ohne die Angabe  $\sigma_x = \sigma_y = 1$  könnte man erkennen,  dass  $\sigma_x=\sigma_y$  gilt,  da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$  die Koeffizienten bei  $x^2$  und  $y^2$  gleich sind.
	*Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:		*Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:
	:$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}		:$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$
	\rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$


	'''(2)'''  Mit den unter Punkt  '''(1)'''  berechneten Zahlenwerten erhalten wir zudem:		'''(2)'''  Mit den unter Punkt  '''(1)'''  berechneten Zahlenwerten erhalten wir zudem:
	:$$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}}		:$$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}}=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$
	=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$


Zeile 82:		Zeile 80:

	'''(4)'''  Für die eingezeichnete Höhenlinie gilt:		'''(4)'''  Für die eingezeichnete Höhenlinie gilt:
	:$$f_{xy}(x, y)=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(x^{2} + y^{2} + \sqrt{2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=0.2\hspace{0.3cm}		:$$f_{xy}(x, y)=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(x^{2} + y^{2} + \sqrt{2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=0.2\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{-(x^{2} + y^{2} + \sqrt{2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{-(x^{2} + y^{2} + \sqrt{2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$

	*Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist  $\alpha = -45^\circ$.  Deshalb muss  $y_0 = - x_0$  gelten. Daraus folgt weiter:		*Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist  $\alpha = -45^\circ$.  Deshalb muss  $y_0 = - x_0$  gelten. Daraus folgt weiter:
	:$$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$		:$$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$

	*Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten Höhenlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei  $(+0.45, -0.45)$  und  $(-0.45, +0.45)$.		*Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten Höhenlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei  $(+0.45, -0.45)$  und  $(-0.45, +0.45)$.
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	:$$x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0,$$		:$$x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0,$$
	:nach  $y$  auf,  so erhält man nach Lösung einer quadratischen Gleichung:		:nach  $y$  auf,  so erhält man nach Lösung einer quadratischen Gleichung:
	:$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}}		:$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$
	*Die vertikale Tangente ergibt sich für den Fall,  dass die beiden Lösungen  $y_{\rm 1, \ 2}$  identisch sind.  Das heißt:   Der Wurzelausdruck muss Null ergeben.		*Die vertikale Tangente ergibt sich für den Fall,  dass die beiden Lösungen  $y_{\rm 1, \ 2}$  identisch sind.  Das heißt:   Der Wurzelausdruck muss Null ergeben.
	*Die Lösung für positives  $x$  lautet dann:   $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$		*Die Lösung für positives  $x$  lautet dann:   $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$
	*Eingesetzt in die Ellipsengleichung erhält man für den  $y$–Wert des Tangentialpunktes:		*Eingesetzt in die Ellipsengleichung erhält man für den  $y$–Wert des Tangentialpunktes:
	:$$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0		:$$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} - z = 0$$
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} - z = 0$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} + z = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} + z = 0
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$

	*Daraus ergibt sich  $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$  Das bedeutet aber auch:   Der Tangentialpunkt  $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$  liegt exakt auf der Korrelationsgeraden  $y=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$		*Daraus ergibt sich  $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$  Das bedeutet aber auch:   Der Tangentialpunkt  $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$  liegt exakt auf der Korrelationsgeraden  $y=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$

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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Auch ohne die Angabe $\sigma_x = \sigma_y = 1$ könnte man erkennen, dass die Streuungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ gleich sind, da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$ die Koeffizienten bei $x^2$ und $y^2$ gleich sind. Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:		'''(1)'''  Auch ohne die Angabe  $\sigma_x = \sigma_y = 1$  könnte man erkennen, dass die Streuungen  $\sigma_x$  und  $\sigma_y$  gleich sind,
			*da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$  die Koeffizienten bei  $x^2$  und  $y^2$  gleich sind.
			*Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:
	:$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}		:$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
	\rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$		\rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$


	'''(2)'''  Mit den unter Punkt '''(1)''' berechneten Zahlenwerten erhalten wir zudem:		'''(2)'''  Mit den unter Punkt  '''(1)'''  berechneten Zahlenwerten erhalten wir zudem:
	:$$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}}		:$$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}}
	=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$		=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$
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	'''(3)'''  Die allgemeine Gleichung lautet:		'''(3)'''  Die allgemeine Gleichung lautet:
	:$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan(\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$		:$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan \ (\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$

			*Gilt  $\sigma_x = \sigma_y$  und  $\rho_{xy} \ne 0$,  so ist der Winkel immer  $\alpha = \pm 45^\circ$, wobei das Vorzeichen gleich dem Vorzeichen von  $\rho_{xy}$  ist.
			*Im vorliegenden Fall gilt  $\alpha\hspace{0.15cm}\underline{ = -45^\circ}$.

	*Gilt $\sigma_x = \sigma_y$ und $\rho_{xy} \ne 0$, so ist der Winkel immer $\alpha = \pm 45^\circ$, wobei das Vorzeichen gleich dem Vorzeichen von $\rho_{xy}$ ist.
	*Im vorliegenden Fall gilt $\alpha\hspace{0.15cm}\underline{ = -45^\circ}$.


	'''(4)'''  Für die eingezeichnete Höhenlinie gilt:		'''(4)'''  Für die eingezeichnete Höhenlinie gilt:
	:$$f_{xy}(x, y)=\frac{~~\rm~~ 1}{\sqrt{~~\rm~~ 2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(~~\it~~ x^{~~\rm~~ 2} + y^{~~\rm~~ 2} + \sqrt{~~\rm~~ 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=\rm 0.~~2$$~~		:$$f_{xy}(x, y)=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(x^{2} + y^{2} + \sqrt{2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=0.2\hspace{0.3cm}
	~~:$$~~\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{-( x^{~~\rm~~ 2} + y^{~~\rm~~ 2} + \sqrt{~~\rm~~ 2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885		\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{-(x^{2} + y^{2} + \sqrt{2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$

	Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist $\alpha = -45^\circ$. Deshalb muss $y_0 = - x_0$ gelten. Daraus folgt weiter:		*Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist  $\alpha = -45^\circ$.  Deshalb muss  $y_0 = - x_0$  gelten. Daraus folgt weiter:
	:$$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$		:$$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118}
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$

	*Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten Höhenlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei $(+0.45, -0.45)$ und $(-0.45, +0.45)$.		*Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten Höhenlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei  $(+0.45, -0.45)$  und  $(-0.45, +0.45)$.
	*Der Quotient ist in beiden Fällen $x_0/y_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = -1}$.		*Der Quotient ist in beiden Fällen  $x_0/y_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = -1}$.




	'''(5)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(5)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Mit $\sigma_x = \sigma_y$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' gilt für den Winkel der Korrelationsgeraden:		*Mit  $\sigma_x = \sigma_y$  und dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(1)'''  gilt für den Winkel der Korrelationsgeraden:
	:$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x} = \arctan (\rho_{\it xy})=\arctan(-{\rm 1}/{\sqrt{\rm 2}})\approx -\rm 35.3^{\circ}.$$		:$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x} = \arctan (\rho_{\it xy})=\arctan(-{\rm 1}/{\sqrt{\rm 2}})\approx -\rm 35.3^{\circ}.$$
	*Das bedeutet: Die erste Aussage ist falsch und die zweite richtig.		*Das bedeutet:   Die erste Aussage ist falsch und die zweite richtig.


	Nachfolgend der <u>Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage</u>:		Nachfolgend der <u>Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage</u>:
	*Löst man die Ellipsengleichung (mit $z = 0.118$), also $x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0 ,$ nach $y$ auf, so erhält man nach Lösung einer quadratischen Gleichung		*Löst man die Ellipsengleichung  $($mit  $z = 0.118)$,  also  $x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0$,  nach  $y$  auf, so erhält man nach Lösung einer quadratischen Gleichung:
	:$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}}		:$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}}
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$
	*Die vertikale Tangente ergibt sich für den Fall, dass die beiden Lösungen $y_{\rm 1, \ 2}$ identisch sind. Das heißt:   Der Wurzelausdruck muss ~~den Wert $0$~~ ergeben.		*Die vertikale Tangente ergibt sich für den Fall, dass die beiden Lösungen  $y_{\rm 1, \ 2}$  identisch sind.  Das heißt:   Der Wurzelausdruck muss Null ergeben.
	*Die Lösung für positives $x$ lautet dann:   $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$		*Die Lösung für positives  $x$  lautet dann:   $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$
	*Eingesetzt in die Ellipsengleichung erhält man für den $y$-Wert des Tangentialpunktes:		*Eingesetzt in die Ellipsengleichung erhält man für den  $y$–Wert des Tangentialpunktes:
	:$$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0		:$$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} - z = 0$$		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} - z = 0$$
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	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$

	*Daraus ergibt sich $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$ Das bedeutet aber auch:   Der Tangentialpunkt $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$ liegt exakt auf der Korrelationsgeraden $y=K(x)=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$		*Daraus ergibt sich  $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$  Das bedeutet aber auch:   Der Tangentialpunkt  $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$  liegt exakt auf der Korrelationsgeraden  $y=K(x)=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 16. August 2018, 10:23 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Auch ohne die Angabe $\sigma_x = \sigma_y = 1$ könnte man erkennen, dass die ~~beiden~~ Streuungen gleich sind, da im Exponenten ~~der 2D–WDF~~ $f_{xy}(x, y)$ die Koeffizienten bei $x^2$ und $y^2$ gleich sind. Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:		'''(1)'''  Auch ohne die Angabe $\sigma_x = \sigma_y = 1$ könnte man erkennen, dass die Streuungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ gleich sind, da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$ die Koeffizienten bei $x^2$ und $y^2$ gleich sind. Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:
	:$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}		:$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
	\rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$		\rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$

	'''(2)'''  Mit den unter Punkt (1) berechneten Zahlenwerten erhalten wir:
			'''(2)'''  Mit den unter Punkt '''(1)''' berechneten Zahlenwerten erhalten wir zudem:
	:$$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}}		:$$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}}
	=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$		=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$


	'''(3)'''  Die allgemeine Gleichung lautet:		'''(3)'''  Die allgemeine Gleichung lautet:
	:$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan(\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}).$$		:$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan(\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$

			*Gilt $\sigma_x = \sigma_y$ und $\rho_{xy} \ne 0$, so ist der Winkel immer $\alpha = \pm 45^\circ$, wobei das Vorzeichen gleich dem Vorzeichen von $\rho_{xy}$ ist.
			*Im vorliegenden Fall gilt $\alpha\hspace{0.15cm}\underline{ = -45^\circ}$.

	Gilt $\sigma_x = \sigma_y$ und $\rho_{xy} \ne 0$, so ist der Winkel immer $\alpha = \pm 45^\circ$, wobei das Vorzeichen gleich dem Vorzeichen von $\rho_{xy}$ ist. Im vorliegenden Fall gilt $\alpha\hspace{0.15cm}\underline{ = -45^\circ}$.

	'''(4)'''  Für die eingezeichnete Höhenlinie gilt:		'''(4)'''  Für die eingezeichnete Höhenlinie gilt:
	:$$f_{xy}(x, y)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(\it x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=\rm 0.2$$		:$$f_{xy}(x, y)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(\it x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=\rm 0.2$$
	:$$\Rightarrow {\rm e}^{-( x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{-( x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$

	Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist $\alpha{ = -45^\circ}$. Deshalb muss $y_0 = - x_0$ gelten. Daraus folgt weiter:		Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist $\alpha = -45^\circ$. Deshalb muss $y_0 = - x_0$ gelten. Daraus folgt weiter:
	:$$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$		:$$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$
	:$$\Rightarrow (\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118}
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$

	Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten Höhenlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei $(+0.45, -0.45)$ und $(-0.45, +0.45)$. Der Quotient ist in beiden Fällen $x_0/y_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = -1}$.		*Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten Höhenlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei $(+0.45, -0.45)$ und $(-0.45, +0.45)$.
			*Der Quotient ist in beiden Fällen $x_0/y_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = -1}$.



	'''(5)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(5)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Mit $\sigma_x = \sigma_y$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) gilt für den Winkel der Korrelationsgeraden:		*Mit $\sigma_x = \sigma_y$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' gilt für den Winkel der Korrelationsgeraden:
	:$$\theta_{y\rightarrow x} = \arctan (\rho_{\it xy})=\arctan(-{\rm 1}/{\sqrt{\rm 2}})\approx -\rm 35.3^{\circ}.$$		:$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x} = \arctan (\rho_{\it xy})=\arctan(-{\rm 1}/{\sqrt{\rm 2}})\approx -\rm 35.3^{\circ}.$$
	:Das bedeutet: Die erste Aussage ist falsch und die zweite richtig.		*Das bedeutet: Die erste Aussage ist falsch und die zweite richtig.
	*Nachfolgend der Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage: Löst man die Ellipsengleichung (mit $z = 0.118$), also $x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0 ,$ nach $y$ auf, so erhält man nach Lösung einer quadratischen Gleichung

			Nachfolgend der <u>Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage</u>:
			*Löst man die Ellipsengleichung (mit $z = 0.118$), also $x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0 ,$ nach $y$ auf, so erhält man nach Lösung einer quadratischen Gleichung
	:$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}}		:$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}}
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$
	*Die vertikale Tangente ergibt sich für den Fall, dass die beiden Lösungen $y_{\rm 1, \ 2}$ identisch sind. Das heißt: ~~der~~ Wurzelausdruck muss den Wert $0$ ergeben. Die Lösung für positives $x$ lautet dann:   $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$		*Die vertikale Tangente ergibt sich für den Fall, dass die beiden Lösungen $y_{\rm 1, \ 2}$ identisch sind. Das heißt:   Der Wurzelausdruck muss den Wert $0$ ergeben.
			*Die Lösung für positives $x$ lautet dann:   $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$
	*Eingesetzt in die Ellipsengleichung erhält man für den $y$-Wert des Tangentialpunktes:		*Eingesetzt in die Ellipsengleichung erhält man für den $y$-Wert des Tangentialpunktes:
	:$$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0		:$$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} - z = 0$$		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} - z = 0$$
	:$$\Rightarrow y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} + z = 0		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} + z = 0
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$

	*Daraus ergibt sich $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$ Das bedeutet aber auch: Der Tangentialpunkt $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$ liegt exakt auf der Korrelationsgeraden $y=K(x)=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$		*Daraus ergibt sich $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$ Das bedeutet aber auch:   Der Tangentialpunkt $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$ liegt exakt auf der Korrelationsgeraden $y=K(x)=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$

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