Aufgaben:Aufgabe 4.4Z: Ergänzung zur Aufgabe 4.4 - Versionsgeschichte

Guenter am 5. Juli 2019 um 12:48 Uhr

2019-07-05T12:48:57Z

Guenter am 5. Juli 2019 um 12:42 Uhr

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Guenter am 5. Juli 2019 um 12:41 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:09Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 29. Januar 2018 um 15:37 Uhr

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 [[Datei:P_ID2997__KC_Z_4_4b_v1.png|right|frame|Herleitung „$w_{\rm H}$ ist gerade” für die Codelänge $n = 3$]]
-'''(2)'''&nbsp; In der zweiten Tabelle sind die vier Kombinationen mit einer geraden Anzahl an Einsen blau markiert. Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Kombinationen sind in der letzten Spalte angegeben. Somit ergibt sich hier:
+'''(2)'''&nbsp; In der zweiten Tabelle sind die vier Kombinationen mit einer geraden Anzahl an Einsen blau markiert. Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Kombinationen sind in der letzten Spalte angegeben. Somit ergibt sich:
 :$$ {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] =  0.056 + 0.216 + 0.006 + 0.126 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.404}
 \hspace{0.05cm}.$$
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 :$${\rm Pr}({\rm rot}) = {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}\right] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  0.5 - 0.5 \cdot \pi  = 0.5 - 0.5 \cdot 0.0384\hspace{0.15cm} \underline{= 0.4808}\hspace{0.05cm}. $$
-Addiert man die blauen bzw. die roten Wahrscheinlichkeiten auf der Angabenseite, so erhält man exakt die hier berechneten Werte. Für den Quotienten ergibt sich:
+Addiert man die blauen bzw. die roten Wahrscheinlichkeiten auf der Angabenseite, so erhält man exakt die hier berechneten Werte.
 :$$Q = \frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right]} { {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}\right]} = \frac{0.5192}{0.4808}\hspace{0.15cm} \underline{= 1.0799}
 \hspace{0.05cm}. $$
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   \hspace{0.05cm}.$$
-Beim SPC (5, 4, 2) &nbsp;&#8658;&nbsp; $n = 5$ ergibt sich dieses Produkt für $i = 5$ aus folgenden vier Multiplikanden:
+Beim&nbsp; $\text{SPC (5, 4, 2}$) &nbsp; &#8658; &nbsp; $n = 5$ ergibt sich dieses Produkt für $i = 5$ aus folgenden vier Multiplikanden:
 :$$\pi = \prod\limits_{j = 1,  \hspace{0.05cm}2,  \hspace{0.05cm}3,  \hspace{0.05cm}4} \hspace{0.05cm}(1-2\cdot p_j) =
 (1-2\cdot p_1) \cdot (1-2\cdot p_2) \cdot (1-2\cdot p_3) \cdot (1-2\cdot p_4)
   \hspace{0.05cm}.$$
-Der Vergleich mit der Teilaufgabe (3) zeigt, dass $L_{\rm E}(i = 5) = \ln {Q} = \ln {(1.0799)} \ \underline{\approx 0.077}$ ist.
+Der Vergleich mit der Teilaufgabe '''(3)''' zeigt, dass $L_{\rm E}(i = 5) = \ln {Q} = \ln {(1.0799)} \ \underline{\approx 0.077}$ ist.

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 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Zur Berechnung der extrinsischen L&ndash;Werte]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Zur Berechnung der extrinsischen&nbsp; $L$&ndash;Werte]].
 *Die Aufgabe ist als Ergänzung zur&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Extrinsische_L–Werte_beim_SPC| Aufgabe 4.4]]&nbsp; gedacht.

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 [[Datei:P_ID2994__KC_Z_4_4_v3.png |right|frame|Hamming–Gewichte und Sequenzwahrscheinlichkeiten ]]
-Der Informationstheoretiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Robert_Gray_Gallager Robert G. Gallager] hat sich bereits 1963 mit folgender Fragestellung beschäftigt:
+Der Informationstheoretiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Robert_Gray_Gallager Robert G. Gallager]&nbsp; hat sich bereits 1963 mit folgender Fragestellung beschäftigt:
-* Gegeben ist ein Zufallsvektor $\underline{x} = (x_1, \, x_2, \hspace{-0.04cm} \text{ ...} \hspace{0.08cm} , x_n)$ mit $n$ binären Elementen $x_i &#8712; \{0, \, 1\}$.
+* Gegeben ist ein Zufallsvektor&nbsp; $\underline{x} = (x_1, \, x_2, \hspace{-0.04cm} \text{ ...} \hspace{0.08cm} , x_n)$&nbsp; mit&nbsp; $n$&nbsp; binären Elementen&nbsp; $x_i &#8712; \{0, \, 1\}$.
-* Bekannt sind alle Wahrscheinlichkeiten $p_i = {\rm Pr}(x_i = 1)$ und $q_i = {\rm Pr}(x_i = 0) = 1 - p_i$ mit Index $i = 1, \hspace{-0.04cm}\text{ ...} \hspace{0.08cm} ,\ n$.
+* Bekannt sind alle Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_i = {\rm Pr}(x_i = 1)$&nbsp; und&nbsp; $q_i = {\rm Pr}(x_i = 0) = 1 - p_i$&nbsp; mit Index&nbsp; $i = 1, \hspace{-0.04cm}\text{ ...} \hspace{0.08cm} ,\ n$.
 * Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Einsen in diesem Vektor geradzahlig ist.
-* Oder ausgedrückt mit dem [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming&ndash;Gewicht]]: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) {\rm \ ist \ gerade}]$?
+* Oder ausgedrückt mit dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming&ndash;Gewicht]]: &nbsp; Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) {\rm \ ist \ gerade}]$?
-Die Grafik verdeutlicht die Aufgabenstellung für das Beispiel $n = 4$ sowie $p_1 = 0.2$, $p_2 = 0.9$, $p_3 = 0.3$ und $p_4 = 0.6$.
+Die Grafik verdeutlicht die Aufgabenstellung für das Beispiel&nbsp; $n = 4$&nbsp; sowie&nbsp; $p_1 = 0.2$,&nbsp; $p_2 = 0.9$,&nbsp; $p_3 = 0.3$&nbsp; und&nbsp; $p_4 = 0.6$.
-* Für die grün hinterlegte Zeile &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1)$ gilt $w_{\rm H}(\underline{x}) = 2$ und
+* Für die grün hinterlegte Zeile &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1)$&nbsp; gilt&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{x}) = 2$&nbsp; und
 :$${\rm Pr}(\underline{x}) = p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot p_4 = 0.0084.$$
 * Blaue Schrift bedeutet &bdquo;$w_{\rm H}(\underline{x})$ ist gerade&rdquo;. Rote Schrift steht für &bdquo;$w_{\rm H}(\underline{x})$ ist ungerade&rdquo;.
-* Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) {\rm \ ist \ gerade}]$ ist die Summe der blauen Zahlen in der letzten Spalte.
+* Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) {\rm \ ist \ gerade}]$&nbsp; ist die Summe der blauen Zahlen in der letzten Spalte.
-*Die Summe der roten Zahlen ergibt ${\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) {\rm \ ist \ ungerade}] = 1 - {\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) {\rm \ ist \ gerade}]$.
+*Die Summe der roten Zahlen ergibt&nbsp; ${\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) {\rm \ ist \ ungerade}] = 1 - {\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) {\rm \ ist \ gerade}]$.
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   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Gleichung wendet man zum Beispiel an, um die extrinsischen $L$&ndash;Werte eines <i>Single Parity&ndash;check Codes</i> zu berechnen. Wie bereits in [[Aufgaben:4.4_Extrinsische_L%E2%80%93Werte_beim_SPC| Aufgabe A4.4]] dargelegt, lautet nämlich der extrinsische $L$&ndash;Wert mit dem Hamming&ndash;Gewicht $w_{\rm H}$ der verkürzten Folge $\underline{x}^{(-i)}$:
+Die Gleichung wendet man zum Beispiel an, um die extrinsischen&nbsp; $L$&ndash;Werte eines&nbsp; <i>Single Parity&ndash;check Codes</i>&nbsp; zu berechnen.
 :$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass man für $L_{\rm E}(i)$ nur die anderen Symbole $(j &ne; i)$ heranziehen darf:
+Hierbei ist berücksichtigt, dass man für&nbsp; $L_{\rm E}(i)$&nbsp; nur die anderen Symbole&nbsp; $(j &ne; i)$&nbsp; heranziehen darf:
 :$$\underline{x}^{(-i)} = \big ( \hspace{0.03cm}x_1, \hspace{-0.04cm} \text{ ...} \hspace{0.08cm}  , \hspace{0.03cm} x_{i-1}, \hspace{0.43cm} x_{i+1},  \hspace{-0.04cm} \text{ ...} \hspace{0.08cm}  , x_{n} \hspace{0.03cm} \big )\hspace{0.03cm}. $$
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Zur Berechnung der extrinsischen L&ndash;Werte]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Zur Berechnung der extrinsischen L&ndash;Werte]].
-*Sie ist als Ergänzung zur [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Extrinsische_L–Werte_beim_SPC| Aufgabe 4.4]] gedacht.
+*Die Aufgabe ist als Ergänzung zur&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Extrinsische_L–Werte_beim_SPC| Aufgabe 4.4]]&nbsp; gedacht.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wir betrachten den Vektor $\underline{x} = (x_1, \, x_2) \ \Rightarrow \ n = 2$ mit $x_i &#8712; \{0, \, 1\}$ und $p_1 = 0.2, \ p_2 = 0.9$.  <br>Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $\underline{x}$ eine gerade Anzahl an Einsen beinhaltet?
+{Wir betrachten den Vektor&nbsp; $\underline{x} = (x_1, \, x_2) \ \Rightarrow \ n = 2$&nbsp; mit&nbsp; $x_i &#8712; \{0, \, 1\}$&nbsp; und&nbsp; $p_1 = 0.2, \ p_2 = 0.9$.  <br>Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; eine gerade Anzahl an Einsen beinhaltet?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) \ {\rm ist \ gerade}] \ = \ ${ 0.26 3% }
+${\rm Pr}\big [w_{\rm H}(\underline{x}) \ {\rm ist \ gerade}\big ] \ = \ ${ 0.26 3% }
-{Berechnen Sie die gleiche Wahrscheinlichkeit für $\underline{x} = (x_1, \, x_2, \, x_3) \ \Rightarrow \ n = 3$ für  und $p_1 = 0.2, \ p_2 = 0.9, \ p_3 = 0.3$.
+{Berechnen Sie die gleiche Wahrscheinlichkeit für&nbsp; $\underline{x} = (x_1, \, x_2, \, x_3) \ \Rightarrow \ n = 3$&nbsp;   und&nbsp; $p_1 = 0.2, \ p_2 = 0.9, \ p_3 = 0.3$.
 |type="{}"}
-${\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) \ {\rm ist \ gerade}] \ = \ ${ 0.404 3% }
+${\rm Pr}\big [w_{\rm H}(\underline{x}) \ {\rm ist \ gerade}\big ] \ = \ ${ 0.404 3% }
-{Nun gelte $n = 4$ und $p_1 = 0.2, \ p_2 = 0.9, \ p_3 = 0.3, \ p_4 = 0.6$. Berechnen Sie nach der Gallager&ndash;Gleichung folgende Größen:
+{Nun gelte&nbsp; $n = 4$&nbsp; und&nbsp; $p_1 = 0.2, \ p_2 = 0.9, \ p_3 = 0.3, \ p_4 = 0.6$. Berechnen Sie nach der Gallager&ndash;Gleichung folgende Größen:
 |type="{}"}
-${\rm Pr(blau) = Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) \ {\rm ist \ gerade}] \hspace{0.33cm} = \ ${ 0.5192 3% }
+${\rm Pr(blau) = Pr}\big [w_{\rm H}(\underline{x}) \ {\rm ist \ gerade}\big ] \hspace{0.33cm} = \ ${ 0.5192 3% }
-${\rm Pr(rot) = Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) \ {\rm ist \ ungerade}] \hspace{0.1cm} = \ ${ 0.4808 3% }
+${\rm Pr(rot) = Pr}\big [w_{\rm H}(\underline{x}) \ {\rm ist \ ungerade}\big ] \hspace{0.1cm} = \ ${ 0.4808 3% }
 $\text{Quotient }Q = {\rm Pr(blau)/Pr(rot)} \hspace{0.4cm} = \ ${ 1.0799 3% }
-{Wie groß ist der extrinsische $L$&ndash;Wert für das Symbol $i = 5$ beim SPC (5, 4, 2) mit $p_1 = 0.2, \ p_2 = 0.9, \ p_3 = 0.3, \ p_4 = 0.6, \ p_5 = 0.9$?
+{Wie groß ist der extrinsische&nbsp; $L$&ndash;Wert für das Symbol&nbsp; $i = 5$&nbsp; beim&nbsp; $\text{SPC (5, 4, 2)}$&nbsp; mit&nbsp; $p_1 = 0.2, \ p_2 = 0.9, \ p_3 = 0.3, \ p_4 = 0.6, \ p_5 = 0.9$?
 |type="{}"}
 $L_{\rm E}(i = 5) \ = \ ${ 0.077 3% }
-{Wie ändert sich $L_{\rm E}(i = 5)$, wenn man stattdessen von $p_5 = 0.1$ ausgeht?
+{Wie ändert sich&nbsp; $L_{\rm E}(i = 5)$, wenn man stattdessen von&nbsp; $p_5 = 0.1$&nbsp; ausgeht?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- $L_{\rm E}(i = 5)$ wird größer.
+- $L_{\rm E}(i = 5)$&nbsp; wird größer.
-- $L_{\rm E}(i = 5)$ wird kleiner.
+- $L_{\rm E}(i = 5)$&nbsp; wird kleiner.
-+ $L_{\rm E}(i = 5)$ wird gegenüber Teilaufgabe (4) nicht verändert.
++ $L_{\rm E}(i = 5)$&nbsp; wird gegenüber Teilaufgabe '''(4)''' nicht verändert.
 </quiz>

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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte|Zur Berechnung der extrinsischen L&ndash;Werte]].
 *Sie ist als Ergänzung zur [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Extrinsische_L–Werte_beim_SPC| Aufgabe 4.4]] gedacht.
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Soft–in Soft–out Decoder}}
-[[Datei:P_ID2994__KC_Z_4_4_v3.png |right|frame|Hamming–Gewichte und Wahrscheinlichkeiten ]]
+[[Datei:P_ID2994__KC_Z_4_4_v3.png |right|frame|Hamming–Gewichte und Sequenzwahrscheinlichkeiten ]]
 Der Informationstheoretiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Robert_Gray_Gallager Robert G. Gallager] hat sich bereits 1963 mit folgender Fragestellung beschäftigt:
 * Gegeben ist ein Zufallsvektor $\underline{x} = (x_1, \, x_2, \hspace{-0.04cm} \text{ ...} \hspace{0.08cm} , x_n)$ mit $n$ binären Elementen $x_i &#8712; \{0, \, 1\}$.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; [[Datei:P_ID2996__KC_Z_4_4a_v1.png|frame|right|Herleitung „$w_{\rm H}$ ist gerade” für $n = 2$]] Entsprechend nebenstehender Tabelle gilt:
+[[Datei:P_ID2996__KC_Z_4_4a_v1.png|frame|right|Herleitung „$w_{\rm H}$ ist gerade” für die Codelänge $n = 2$]]
 :$${\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.10cm}{\rm ist \hspace{0.10cm} gerade}\right ] =
 {\rm Pr} \left [w_{\rm H} = 0 \right] + {\rm Pr} \left [w_{\rm H} = 2 \right]
@@ Zeile 95: / Zeile 96: @@
 Die Gallager&ndash;Gleichung liefert für den gleichen Parametersatz:
-:$${\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  0.5 + 0.5 \cdot \prod\limits_{i =1}^{2} \hspace{0.25cm}(1-2\cdot p_i) =$$
+:$${\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  0.5 + 0.5 \cdot \prod\limits_{i =1}^{2} \hspace{0.25cm}(1-2\cdot p_i) = 0.5 + 0.5 \cdot  (1 - 2 \cdot 0.2)\cdot  (1 - 2 \cdot 0.9) = 0.26
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 102: / Zeile 102: @@
-'''(2)'''&nbsp; [[Datei:P_ID2997__KC_Z_4_4b_v1.png|right|frame|Herleitung „$w_{\rm H}$ ist gerade” für $n = 3$]] In der nebenstehenden Tabelle sind die vier Kombinationen mit einer geraden Anzahl an Einsen blau markiert. Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Kombinationen sind in der letzten Spalte angegeben. Somit ergibt sich hier:
+[[Datei:P_ID2997__KC_Z_4_4b_v1.png|right|frame|Herleitung „$w_{\rm H}$ ist gerade” für die Codelänge $n = 3$]]
-:$$ {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] =  0.056 + $$
+'''(2)'''&nbsp; In der zweiten Tabelle sind die vier Kombinationen mit einer geraden Anzahl an Einsen blau markiert. Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Kombinationen sind in der letzten Spalte angegeben. Somit ergibt sich hier:
-:$$+0.216 + 0.006 + 0.126 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.404}
+:$$ {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] =  0.056 + 0.216 + 0.006 + 0.126 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.404}
 \hspace{0.05cm}.$$
 Die roten Zeilen liefern das Komplementärereignis:
-:$$ {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}\right] =  0.024 + $$
+:$$ {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}\right] =  0.024 + 0.504 + 0.014 + 0.054= 0.596
 \hspace{0.05cm}.$$
-Die Gallager&ndash;Gleichung liefert auch hier wieder das exakt gleiche Ergebnis.
+Die Gallager&ndash;Gleichung liefert auch hier wieder das exakt gleiche Ergebnis, wobei anzumerken ist, dass diese Gleichung für alle $n$ und alle beliebigen Wahrscheinlichkeiten gültig ist:
-:$${\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  0.5 + 0.5 \cdot \prod\limits_{i =1}^{3} \hspace{0.25cm}(1-2\cdot p_i) =$$
+:$${\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  0.5 + 0.5 \cdot \prod\limits_{i =1}^{3} \hspace{0.25cm}(1-2\cdot p_i) $$
-:$$\ = \ \hspace{-0.15cm} 0.5 + 0.5 \cdot  (+0.6) \cdot  (-0.8) \cdot  (+0.4) = 0.404
+:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0.5 + 0.5 \cdot  (+0.6) \cdot  (-0.8) \cdot  (+0.4) = 0.404
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Entsprechend der Angabenseite gilt:
-:$$\pi = \prod\limits_{i =1}^{4} \hspace{0.25cm}(1-2\cdot p_i) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (1 - 2 \cdot 0.2) \cdot  (1 - 2 \cdot 0.9) \cdot  (1 - 2 \cdot 0.3) \cdot  (1 - 2 \cdot 0.6) =$$
+:$$\pi = \prod\limits_{i =1}^{4} \hspace{0.25cm}(1-2\cdot p_i) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (1 - 2 \cdot 0.2) \cdot  (1 - 2 \cdot 0.9) \cdot  (1 - 2 \cdot 0.3) \cdot  (1 - 2 \cdot 0.6) $$
-:$$\ = \ \hspace{-0.15cm} (+0.6) \cdot  (-0.8) \cdot  (+0.4) \cdot  (-0.2) = 0.0384
+:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\pi = \prod\limits_{i =1}^{4} \hspace{0.25cm}(1-2\cdot p_i) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(+0.6) \cdot  (-0.8) \cdot  (+0.4) \cdot  (-0.2) = 0.0384
   \hspace{0.05cm}.$$