Aufgaben:Aufgabe 4.4: Zum Quantisierungsrauschen - Versionsgeschichte

Guenter am 9. April 2022 um 12:01 Uhr

2022-04-09T12:01:47Z

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2022-04-09T11:47:34Z

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2020-04-01T11:31:49Z

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2020-04-01T11:19:42Z

Guenter am 9. Januar 2019 um 17:04 Uhr

2019-01-09T17:04:07Z

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2019-01-09T16:56:36Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:56Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:28:15Z

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Guenter am 20. Juli 2017 um 10:43 Uhr

2017-07-20T10:43:40Z

Guenter am 20. Juli 2017 um 10:20 Uhr

2017-07-20T10:20:00Z

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 $P_{\rm S} \ = \ $  { 12 3% } $\ \rm V^2$
-{Welche Aussagen treffen für das Fehlersignal &nbsp;$ε(t)$&nbsp; zu?
+{Welche Aussagen treffen für das Fehlersignal &nbsp;$ε(t)= q_{\rm Q}(t)-q(t) $&nbsp; zu?
 |type="[]"}
 + $ε(t)$&nbsp; hat einen sägezahnförmigen Verlauf.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Die Signalleistung&nbsp; $P_{\rm S} $&nbsp; ist gleich dem quadratischen Mittelwert von&nbsp; $q(t)$, wenn der Bezugswiderstand&nbsp; $1 \ \rm Ω$&nbsp; verwendet und deshalb für die Leistung die Einheit&nbsp; $\ \rm V^2$&nbsp; in Kauf genommen wird.
+'''(1)'''&nbsp;  Die Signalleistung&nbsp; $P_{\rm S} $&nbsp; ist gleich dem zweiten Moment von&nbsp; $q(t)$,&nbsp; wenn der Bezugswiderstand&nbsp; $1 \ \rm Ω$&nbsp; verwendet und deshalb für die Leistung die Einheit&nbsp; $\ \rm V^2$&nbsp; in Kauf genommen wird.
 *Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung über den Zeitbereich&nbsp;  $T_0/2$:
 :$$P_{\rm S}  =  \frac{1}{T_0/2} \cdot \int_{0}^{T_0/2}q^2(t) \hspace{0.05cm}{\rm d}t = \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0/2}\left ( { 2 \cdot t}/{T_0} \right )^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t=  \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \frac{T_0}{2} \cdot \int_{0}^{1}x^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}x = \frac{q_{\rm max}^2}{3} \hspace{0.05cm}.$$
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 [[Datei:P_ID1616__Mod_A_4_4.png|right|frame|Fehlersignal für&nbsp; $Q_{\rm max} = q_{\rm max}$]]
-'''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
+'''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
 *Wir gehen hier von&nbsp; $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$&nbsp; aus.
 *Damit ergibt sich das sägezahnförmige Fehlersignal&nbsp; $ε(t)$&nbsp; zwischen&nbsp; $±1\ \rm V$.
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 '''(3)'''&nbsp;  Das Fehlersignal&nbsp; $ε(t)$&nbsp; verläuft ebenso wie&nbsp; $q(t)$&nbsp; sägezahnförmig.
 *Somit eignet sich zur Berechnung des quadratischen Mittelwertes dieselbe Gleichung wie in Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''.
-*Zu beachten ist allerdings die um den Faktor&nbsp; $M$&nbsp; kleinere Amplitude, während die unterschiedliche Periodendauer für die Mittelung keine Rolle spielt:
+*Zu beachten ist allerdings die um den Faktor&nbsp; $M$&nbsp; kleinere Amplitude,&nbsp; während die unterschiedliche Periodendauer für die Mittelung keine Rolle spielt:
 :$$P_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{M^2} = \frac{12\,{\rm V}^2}{36}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333\,{\rm V}^2 }\hspace{0.05cm}.$$
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 '''(6)'''&nbsp;  <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> müssen erfüllt sein:
 *Bei nichtlinearer Quantisierung gilt der einfache Zusammenhang&nbsp; $ρ_{\rm Q} = M^2$&nbsp; nicht.
-*Bei einer anderen Amplitudenverteilung als der Gleichverteilung ist&nbsp; $ρ_{\rm Q} = M^2$&nbsp; ebenfalls nur eine Näherung, die jedoch meist in Kauf genommen wird.
+*Bei einer anderen Amplitudenverteilung&nbsp; (WDF)&nbsp; als der Gleichverteilung ist&nbsp; $ρ_{\rm Q} = M^2$&nbsp; ebenfalls nur eine Näherung, die jedoch meist in Kauf genommen wird.
-*Ist &nbsp;$Q_{\rm max} < q_{\rm max}$, so kommt es zu einem Abschneiden der Spitzen, während mit &nbsp;$Q_{\rm max} > q_{\rm max}$&nbsp; die Quantisierungsintervalle größer sind als erforderlich.
+*Ist &nbsp;$Q_{\rm max} < q_{\rm max}$,&nbsp, so kommt es zu einem Abschneiden der Spitzen,&nbsp, während mit &nbsp;$Q_{\rm max} > q_{\rm max}$&nbsp; die Quantisierungsintervalle größer sind als erforderlich.
-[[Datei:P_ID1618__Mod_A_4_4f.png|right|frame|Quantisierung mit&nbsp; $Q_{\rm max} \ne q_{\rm max}$]]
+Die Grafik zeigt die Fehlersignale &nbsp;$ε(t)$&nbsp;
-<br><br><br><br>
+#für &nbsp;$Q_{\rm max} > q_{\rm max}$&nbsp; (links) und
-Die Grafik zeigt die Fehlersignale &nbsp;$ε(t)$&nbsp; für &nbsp;$Q_{\rm max} > q_{\rm max}$&nbsp; (links) und &nbsp;$Q_{\rm max} < q_{\rm max}$&nbsp; (rechts).
+#&nbsp;$Q_{\rm max} < q_{\rm max}$&nbsp; (rechts):

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 Das Signal &nbsp;$q(t)$&nbsp; wird gemäß der Grafik mit &nbsp;$M = 6$&nbsp; Stufen quantisiert.&nbsp; Das quantisierte Signal ist &nbsp;$q_{\rm Q}(t)$, wobei gilt:
-*Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich &nbsp;$±Q_{\rm max}$&nbsp; ausgelegt, so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite &nbsp;${\it Δ} = 2/M · Q_{\rm max}$&nbsp; aufweist.
+*Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich &nbsp;$±Q_{\rm max}$&nbsp; ausgelegt,&nbsp; so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite &nbsp;${\it Δ} = 2/M · Q_{\rm max}$&nbsp; aufweist.
 *Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für &nbsp;$Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$.&nbsp; Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; ausgegangen werden.
-Die so genannte&nbsp; '''Quantisierungsrauschleistung'''&nbsp; ist als der quadratische Mittelwert des Differenzsignals &nbsp;$ε(t) = q_{\rm Q}(t) - q(t)$&nbsp; definiert. Es gilt
+Die so genannte&nbsp; '''Quantisierungsrauschleistung'''&nbsp; ist als das zweite Moment des Differenzsignals &nbsp;$ε(t) = q_{\rm Q}(t) - q(t)$&nbsp; definiert.&nbsp; Es gilt
 :$$P_{\rm Q} = \frac{1}{T_0' } \cdot \int_{0}^{T_0'}\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$
-wobei die Zeit &nbsp;$T_0'$&nbsp; geeignet zu wählen ist.
+wobei die Zeit &nbsp;$T_0'$&nbsp; geeignet zu wählen ist.&nbsp; Als Quantisierungs–SNR bezeichnet man das Verhältnis &nbsp; &nbsp;$\rho_{\rm Q} = {P_{\rm S}}/{P_{\rm Q}}\hspace{0.05cm}$,&nbsp; das meist logarithmisch&nbsp; (in dB)&nbsp; angegeben wird.
 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|"Pulscodemodulation"]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Quantisierung_und_Quantisierungsrauschen|"Quantisierung und Quantisierungsrauschen"]].
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 $N = 16\text{:}\hspace{0.15cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ ${ 96.32 3% } $\ \rm dB$
-{Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit die abgeleitete Gleichung für &nbsp;$ρ_{\rm Q}$&nbsp; angewandt werden kann?
+{Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein,&nbsp; damit die abgeleitete Gleichung für &nbsp;$ρ_{\rm Q}$&nbsp; angewandt werden kann?
 |type="[]"}
 + Alle Amplitudenwerte sind gleichwahrscheinlich.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Die Signalleistung $P_{\rm S} $ ist gleich dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$, wenn der Bezugswiderstand $1 \ \rm Ω$ verwendet und deshalb für die Leistung die Einheit $\ \rm V^2$ in Kauf genommen wird. Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung über den Zeitbereich  $T_0/2$:
+'''(1)'''&nbsp;  Die Signalleistung&nbsp; $P_{\rm S} $&nbsp; ist gleich dem quadratischen Mittelwert von&nbsp; $q(t)$, wenn der Bezugswiderstand&nbsp; $1 \ \rm Ω$&nbsp; verwendet und deshalb für die Leistung die Einheit&nbsp; $\ \rm V^2$&nbsp; in Kauf genommen wird.
 :$$P_{\rm S}  =  \frac{1}{T_0/2} \cdot \int_{0}^{T_0/2}q^2(t) \hspace{0.05cm}{\rm d}t = \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0/2}\left ( { 2 \cdot t}/{T_0} \right )^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t=  \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \frac{T_0}{2} \cdot \int_{0}^{1}x^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}x = \frac{q_{\rm max}^2}{3} \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei wurde die Substitution $x = 2 · t/T_0$ verwendet. Mit $q_{\rm max} = 6 \ \rm  V$ erhält man $P_\rm S = 12 \ V^2$.
+*Hierbei wurde die Substitution&nbsp; $x = 2 · t/T_0$&nbsp; verwendet.&nbsp; Mit&nbsp; $q_{\rm max} = 6 \ \rm  V$&nbsp; erhält man&nbsp; $P_\rm S\hspace{0.15cm}\underline { = 12 \ V^2}$.
 '''(3)'''&nbsp;  Das Fehlersignal $ε(t)$ verläuft ebenso wie $q(t)$ sägezahnförmig. Somit eignet sich zur Berechnung des quadratischen Mittelwertes dieselbe Gleichung wie in Teilaufgabe '''(1)'''. Zu beachten ist allerdings die um den Faktor $M$ kleinere Amplitude, während die unterschiedliche Periodendauer für die Mittelung keine Rolle spielt:
 :$$P_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{M^2} = \frac{12\,{\rm V}^2}{36}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333\,{\rm V}^2 }\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp;  Die Ergebnisse der Teilaufgaben '''(1)''' und '''(3)''' führen zum Quantisierungs–SNR:
 :$$\rho_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}} = M^2 = 36 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q}\hspace{0.15cm}\underline { =15.56\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp;  Mit $M = 2^N$ erhält man allgemein:
-:$$ \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} =20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2)\cdot N \hspace{0.15cm}\underline {\approx 6.02\,{\rm dB}} \cdot N .$$
+'''(5)'''&nbsp;  Mit&nbsp; $M = 2^N$&nbsp; erhält man allgemein:
-Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:
+:$$ \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} =20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2)\cdot N \approx 6.02\,{\rm dB} \cdot N .$$
 :$$N = 8:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q}  \hspace{0.15cm}\underline {= 48.16\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm},$$
 :$$N = 16:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline { = 96.32\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp;  <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> müssen erfüllt sein:
-*Bei nichtlinearer Quantisierung gilt der einfache Zusammenhang $ρ_{\rm Q} = M^2$ nicht.
+*Bei nichtlinearer Quantisierung gilt der einfache Zusammenhang&nbsp; $ρ_{\rm Q} = M^2$&nbsp; nicht.
-*Bei einer anderen Amplitudenverteilung als der Gleichverteilung ist $ρ_{\rm Q} = M^2$ ebenfalls nur eine Näherung, die jedoch meist in Kauf genommen wird.
+*Bei einer anderen Amplitudenverteilung als der Gleichverteilung ist&nbsp; $ρ_{\rm Q} = M^2$&nbsp; ebenfalls nur eine Näherung, die jedoch meist in Kauf genommen wird.
 *Ist &nbsp;$Q_{\rm max} < q_{\rm max}$, so kommt es zu einem Abschneiden der Spitzen, während mit &nbsp;$Q_{\rm max} > q_{\rm max}$&nbsp; die Quantisierungsintervalle größer sind als erforderlich.
-[[Datei:P_ID1618__Mod_A_4_4f.png|center|frame|Quantisierung mit $Q_{\rm max} \ne q_{\rm max}$]]
+[[Datei:P_ID1618__Mod_A_4_4f.png|right|frame|Quantisierung mit&nbsp; $Q_{\rm max} \ne q_{\rm max}$]]
-Die Grafik zeigt die Fehlersignale &nbsp;$ε(t)$&nbsp; für &nbsp;$Q_{\rm max} > q_{\rm max}$&nbsp; (links) und &nbsp;$Q_{\rm max} < q_{\rm max}$&nbsp; (rechts). In beiden Fällen ergibt sich eine deutlich größere Quantisierungsrauschleistung als unter Punkt '''(3)''' berechnet.

@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
-Das Signal &nbsp;$q(t)$&nbsp; wird gemäß der Grafik mit &nbsp;$M = 6$&nbsp; Stufen quantisiert. Das quantisierte Signal ist &nbsp;$q_{\rm Q}(t)$, wobei gilt:
+Das Signal &nbsp;$q(t)$&nbsp; wird gemäß der Grafik mit &nbsp;$M = 6$&nbsp; Stufen quantisiert.&nbsp; Das quantisierte Signal ist &nbsp;$q_{\rm Q}(t)$, wobei gilt:
 *Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich &nbsp;$±Q_{\rm max}$&nbsp; ausgelegt, so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite &nbsp;${\it Δ} = 2/M · Q_{\rm max}$&nbsp; aufweist.
-*Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für &nbsp;$Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$. Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich Teilaufgabe '''(5)''' ausgegangen werden.
+*Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für &nbsp;$Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$.&nbsp; Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; ausgegangen werden.
-Die so genannte '''Quantisierungsrauschleistung''' ist als der quadratische Mittelwert des Differenzsignals &nbsp;$ε(t) = q_{\rm Q}(t) - q(t)$&nbsp; definiert. Es gilt
+Die so genannte&nbsp; '''Quantisierungsrauschleistung'''&nbsp; ist als der quadratische Mittelwert des Differenzsignals &nbsp;$ε(t) = q_{\rm Q}(t) - q(t)$&nbsp; definiert. Es gilt
 :$$P_{\rm Q} = \frac{1}{T_0' } \cdot \int_{0}^{T_0'}\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$
 wobei die Zeit &nbsp;$T_0'$&nbsp; geeignet zu wählen ist.
 Als Quantisierungs–SNR bezeichnet man das Verhältnis &nbsp; &nbsp;$\rho_{\rm Q} = {P_{\rm S}}/{P_{\rm Q}}\hspace{0.05cm},$ das meist logarithmisch (in dB) angegeben wird.

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-[[Datei:P_ID1616__Mod_A_4_4.png|right|frame|Fehlersignal für <i>Q</i><sub>max</sub> = <i>q</i><sub>max</sub>]]
+[[Datei:P_ID1616__Mod_A_4_4.png|right|frame|Fehlersignal für $Q_{\rm max} = q_{\rm max}$]]
 '''(2)'''&nbsp;  Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
 *Wir gehen hier von $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$ aus.
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-'''(3)'''&nbsp;  Das Fehlersignal $ε(t)$ verläuft ebenso wie $q(t)$ sägezahnförmig. Somit eignet sich zur Berechnung des quadratischen Mittelwertes dieselbe Gleichung wie in Teilaufgabe (1). Zu beachten ist allerdings die um den Faktor $M$ kleinere Amplitude, während die unterschiedliche Periodendauer für die Mittelung keine Rolle spielt:
+'''(3)'''&nbsp;  Das Fehlersignal $ε(t)$ verläuft ebenso wie $q(t)$ sägezahnförmig. Somit eignet sich zur Berechnung des quadratischen Mittelwertes dieselbe Gleichung wie in Teilaufgabe '''(1)'''. Zu beachten ist allerdings die um den Faktor $M$ kleinere Amplitude, während die unterschiedliche Periodendauer für die Mittelung keine Rolle spielt:
 :$$P_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{M^2} = \frac{12\,{\rm V}^2}{36}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333\,{\rm V}^2 }\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp;  Die Ergebnisse der Teilaufgaben (1) und (3) führen zum Quantisierungs–SNR:
 :$$\rho_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}} = M^2 = 36 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q}\hspace{0.15cm}\underline { =15.56\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp;  Mit $M = 2^N$ erhält man allgemein:
@@ Zeile 93: / Zeile 95: @@
 :$$N = 8:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q}  \hspace{0.15cm}\underline {= 48.16\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm},$$
 :$$N = 16:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline { = 96.32\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp;  <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> müssen erfüllt sein:
 *Bei nichtlinearer Quantisierung gilt der einfache Zusammenhang $ρ_{\rm Q} = M^2$ nicht.
 *Bei einer anderen Amplitudenverteilung als der Gleichverteilung ist $ρ_{\rm Q} = M^2$ ebenfalls nur eine Näherung, die jedoch meist in Kauf genommen wird.
-*Ist $Q_{\rm max} < q_{\rm max}$, so kommt es zu einem unzulässigen Abschneiden der Spitzen, während mit $Q_{\rm max} > q_{\rm max}$ die Quantisierungsintervalle größer sind als erforderlich.
+*Ist &nbsp;$Q_{\rm max} < q_{\rm max}$, so kommt es zu einem Abschneiden der Spitzen, während mit &nbsp;$Q_{\rm max} > q_{\rm max}$&nbsp; die Quantisierungsintervalle größer sind als erforderlich.
-[[Datei:P_ID1618__Mod_A_4_4f.png|center|frame|Quantisierung mit <i>Q</i><sub>max</sub> ≠ <i>q</i><sub>max</sub>]]
+[[Datei:P_ID1618__Mod_A_4_4f.png|center|frame|Quantisierung mit $Q_{\rm max} \ne q_{\rm max}$]]
-Die Grafik zeigt die Fehlersignale $ε(t)$ für $Q_{\rm max} > q_{\rm max}$ (links) und $Q_{\rm max} < q_{\rm max}$ (rechts). In beiden Fällen ergibt sich eine deutlich größere Quantisierungsrauschleistung als unter Punkt (3) berechnet.
+Die Grafik zeigt die Fehlersignale &nbsp;$ε(t)$&nbsp; für &nbsp;$Q_{\rm max} > q_{\rm max}$&nbsp; (links) und &nbsp;$Q_{\rm max} < q_{\rm max}$&nbsp; (rechts). In beiden Fällen ergibt sich eine deutlich größere Quantisierungsrauschleistung als unter Punkt '''(3)''' berechnet.

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 [[Datei:P_ID1616__Mod_A_4_4.png|right|frame|Quantisierungsfehler bei sägezahnförmigem Eingang]]
-Zur Berechnung der Quantisierungsrauschleistung $P_{\rm Q}$ gehen wir von einem periodischen sägezahnförmigen Quellensignal $q(t)$ mit dem Wertebereich $±q_{\rm max}$ und der Periodendauer $T_0$ aus.
+Zur Berechnung der Quantisierungsrauschleistung &nbsp;$P_{\rm Q}$&nbsp; gehen wir von einem periodischen sägezahnförmigen Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit dem Wertebereich &nbsp;$±q_{\rm max}$&nbsp; und der Periodendauer &nbsp;$T_0$&nbsp; aus.
-*Im mittleren Zeitbereich $-T_0/2 ≤ t ≤ T_0/2$ gilt: &nbsp; $q(t) = q_{\rm max} \cdot \left ( {2 \cdot t}/{T_0} \right ).$
+*Im mittleren Zeitbereich &nbsp;$-T_0/2 ≤ t ≤ T_0/2$&nbsp; gilt: &nbsp; $q(t) = q_{\rm max} \cdot \left ( {2 \cdot t}/{T_0} \right ).$
-*Die Leistung des Signals $q(t)$ bezeichnen wir hier als die Sendeleistung $P_{\rm S}$ .
+*Die Leistung des Signals &nbsp;$q(t)$&nbsp; bezeichnen wir hier als die Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$.
-$q(t)$ wird entsprechend der Grafik mit $M = 6$ Stufen quantisiert:
+Das Signal &nbsp;$q(t)$&nbsp; wird gemäß der Grafik mit &nbsp;$M = 6$&nbsp; Stufen quantisiert. Das quantisierte Signal ist &nbsp;$q_{\rm Q}(t)$, wobei gilt:
-*Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich $±Q_{\rm max}$ ausgelegt, so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite ${\it Δ} = 2/M · Q_{\rm max}$ aufweist.
+*Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich &nbsp;$±Q_{\rm max}$&nbsp; ausgelegt, so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite &nbsp;${\it Δ} = 2/M · Q_{\rm max}$&nbsp; aufweist.
-*Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$. Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich Teilaufgabe (5) ausgegangen werden.
+*Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für &nbsp;$Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$. Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich Teilaufgabe '''(5)''' ausgegangen werden.
-Die so genannte '''Quantisierungsrauschleistung''' ist als der quadratische Mittelwert des Differenzsignals $ε(t) = q_{\rm Q}(t) – q(t)$ definiert. Es gilt
 :$$P_{\rm Q} = \frac{1}{T_0' } \cdot \int_{0}^{T_0'}\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$
-wobei die Zeit $T_0'$ geeignet zu wählen ist.
+wobei die Zeit &nbsp;$T_0'$&nbsp; geeignet zu wählen ist.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Quantisierung_und_Quantisierungsrauschen|Quantisierung und Quantisierungsrauschen]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Quantisierung_und_Quantisierungsrauschen|Quantisierung und Quantisierungsrauschen]].
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Signalleistung $P_{\rm S}$ (auf den Widerstand $1 \ \rm Ω$ bezogen).
+{Berechnen Sie die Signalleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; (auf den Widerstand $1 \ \rm Ω$&nbsp; bezogen).
 |type="{}"}
 $P_{\rm S} \ = \ $  { 12 3% } $\ \rm V^2$
-{Welche Aussagen treffen für das Fehlersignal $ε(t)$ zu?
+{Welche Aussagen treffen für das Fehlersignal &nbsp;$ε(t)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ $ε(t)$ hat einen sägezahnförmigen Verlauf.
++ $ε(t)$&nbsp; hat einen sägezahnförmigen Verlauf.
-- $ε(t)$ hat einen stufenförmigen Verlauf.
+- $ε(t)$&nbsp; hat einen stufenförmigen Verlauf.
-+ $ε(t)$ ist auf den Bereich $±{\it Δ}/2 = ±1 \ \rm V$ beschränkt.
++ $ε(t)$&nbsp; ist auf den Bereich &nbsp;$±{\it Δ}/2 = ±1 \ \rm V$&nbsp; beschränkt.
-+ $ε(t)$ besitzt die Periodendauer $T_0' = T_0/M$.
++ $ε(t)$&nbsp; besitzt die Periodendauer &nbsp;$T_0' = T_0/M$.
-{Wie groß ist die Quantisierungsrauschleistung $P_{\rm Q}$ für $M=6$?
+{Wie groß ist die Quantisierungsrauschleistung &nbsp;$P_{\rm Q}$&nbsp; für &nbsp;$M=6$?
 |type="{}"}
 $P_{\rm Q} \ = \ $ { 0.333 3%  } $\ \rm V^2$
-{Berechnen Sie den Quantisierungsrauschabstand für $M = 6$.
+{Berechnen Sie den Quantisierungsrauschabstand für &nbsp;$M = 6$.
 |type="{}"}
 $10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $ { 15.56 3% } $\ \rm dB$
-{Welche Werte ergeben sich bei Quantisierung mit $N = 8$ bzw. $N = 16$ Bit?
+{Welche Werte ergeben sich bei Quantisierung mit &nbsp;$N = 8$&nbsp; bzw. &nbsp;$N = 16$ Bit?
 |type="{}"}
 $N = 8\text{:}\hspace{0.35cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $ { 48.16 3% } $\ \rm dB$
 $N = 16\text{:}\hspace{0.15cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ ${ 96.32 3% } $\ \rm dB$
-{Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit die abgeleitete Gleichung für $ρ_{\rm Q}$ angewandt werden kann?
+{Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit die abgeleitete Gleichung für &nbsp;$ρ_{\rm Q}$&nbsp; angewandt werden kann?
 |type="[]"}
 + Alle Amplitudenwerte sind gleichwahrscheinlich.
 + Es liegt ein linearer Quantisierer vor.
-+ Der Quantisierer ist genau an das Signal angepasst ($Q_{\rm max} = q_{\rm max}$).
++ Der Quantisierer ist genau an das Signal angepasst &nbsp;$(Q_{\rm max} = q_{\rm max})$.