Aufgaben:Aufgabe 4.4: Zeigerdiagramm bei ZSB-AM - Versionsgeschichte

Guenter am 7. Mai 2021 um 13:38 Uhr

2021-05-07T13:38:55Z

Guenter am 7. Mai 2021 um 13:32 Uhr

2021-05-07T13:32:32Z

Guenter am 4. Oktober 2019 um 15:11 Uhr

2019-10-04T15:11:05Z

Guenter am 4. Oktober 2019 um 15:00 Uhr

2019-10-04T15:00:46Z

Guenter am 26. Juli 2018 um 08:38 Uhr

2018-07-26T08:38:51Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:52Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 24. Januar 2018 um 14:08 Uhr

2018-01-24T14:08:40Z

Guenter am 24. Januar 2018 um 11:42 Uhr

2018-01-24T11:42:25Z

Guenter am 24. Januar 2018 um 11:29 Uhr

2018-01-24T11:29:02Z

Guenter am 24. Januar 2018 um 11:15 Uhr

2018-01-24T11:15:28Z

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 Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen.
 *In obiger Gleichung bedeutet beispielsweise&nbsp;  $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$.
-*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse (siehe linke Grafik).
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse&nbsp; (siehe linke Grafik).
 *Man erhält den <u>rein reellen</u> Wert&nbsp; $s_+(t = 0) \;\underline{=  1.8 \ \text{V}}$.
-[[Datei:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|left|frame|Drei verschiedene analytische Signale]]
+[[Datei:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|right|frame|Drei verschiedene analytische Signale]]
 <br clear=all>
-'''(2)'''&nbsp;  Die <u>erste Aussage</u> ist richtig und ergibt sich aus der [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert-Transformation]]. Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht:
+'''(2)'''&nbsp;  Die <u>erste Aussage</u> ist richtig und ergibt sich aus der&nbsp; [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert-Transformation]].&nbsp; Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht:
 *$s_+(t)$&nbsp; ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls&nbsp; $s(t) = 0$.
 *Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
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-'''(4)'''&nbsp;  Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm &micro;} \text{s}$ hat der blaue Zeiger bereits $72^{\circ}$ mehr zurückgelegt und der grüne Zeiger dementsprechend  $72^{\circ}$ weniger. Die Summe der drei Zeiger ist wieder <u>rein reell</u> und ergibt entsprechend der  rechten Grafik:
+'''(4)'''&nbsp;  Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm &micro;} \text{s}$ hat der blaue Zeiger bereits $72^{\circ}$ mehr zurückgelegt und der grüne Zeiger dementsprechend  $72^{\circ}$ weniger.&nbsp; Die Summe der drei Zeiger ist wieder <u>rein reell</u> und ergibt entsprechend der  rechten Grafik:
 :$${\rm Re}\left[s_{+}({\rm 20 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s})\right] =
@@ Zeile 142: / Zeile 142: @@
 .4 \hspace{0.05cm} V} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 0.2 \hspace{0.05cm} V}}.$$
-Innerhalb einer Periode&nbsp; $T_0$&nbsp; des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von&nbsp; $\pm72^{\circ}$&nbsp; auf. Daraus folgt:
+Innerhalb einer Periode&nbsp; $T_0$&nbsp; des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von&nbsp; $\pm72^{\circ}$&nbsp; auf.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$t_{\text{min}} = 180^{\circ}/72^{\circ} \cdot T_0 = 2.5 \cdot T_0  \;\underline{= 50 \ {\rm &micro;} \text{s}}.$$
 {{ML-Fuß}}

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-In der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; ist nach dem Betrag von&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; gefragt. Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.
+In der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; ist nach dem Betrag von&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; gefragt.&nbsp; Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.
@@ Zeile 46: / Zeile 46: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet das analytische Signal&nbsp; $s_+(t)$. Wie groß ist dieses zur Zeit&nbsp; $t  = 0$?
+{Wie lautet das analytische Signal&nbsp; $s_+(t)$.&nbsp; Wie groß ist dieses zur Zeit&nbsp; $t  = 0$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_+(t=0)]\ = \ $  { 1.8 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 $\text{Im}[s_+(t=20 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-{Wie groß ist die kleinstmögliche Zeigerlänge? Zu welchem Zeitpunkt&nbsp; $t_{\text{min}}$&nbsp; tritt dieser Wert zum ersten Mal auf?
+{Wie groß ist die kleinstmögliche Zeigerlänge?&nbsp; Zu welchem Zeitpunkt&nbsp; $t_{\text{min}}$&nbsp; tritt dieser Wert zum ersten Mal auf?
 |type="{}"}
 $|s_+(t)|_{\text{min}}\ = \ $ { 0.2 3% } &nbsp;$\text{V}$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Durch Fourierrücktransformation von $S_+(f)$ unter Berücksichtigung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]] gilt:
+'''(1)'''&nbsp;  Durch Fourierrücktransformation von&nbsp; $S_+(f)$&nbsp; unter Berücksichtigung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]&nbsp; gilt:
 :$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
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 Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen.
-*In obiger Gleichung bedeutet beispielsweise  $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$.
+*In obiger Gleichung bedeutet beispielsweise&nbsp;  $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$.
-*Zum Zeitpunkt $t = 0$ zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse (siehe linke Grafik).
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse (siehe linke Grafik).
-*Man erhält den <u>rein reellen</u> Wert $s_+(t = 0) \;\underline{=  1.8 \ \text{V}}$.
+*Man erhält den <u>rein reellen</u> Wert&nbsp; $s_+(t = 0) \;\underline{=  1.8 \ \text{V}}$.
 [[Datei:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|left|frame|Drei verschiedene analytische Signale]]
 <br clear=all>
 '''(2)'''&nbsp;  Die <u>erste Aussage</u> ist richtig und ergibt sich aus der [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert-Transformation]]. Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht:
-*$s_+(t)$ ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls $s(t) = 0$.
+*$s_+(t)$&nbsp; ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls&nbsp; $s(t) = 0$.
 *Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
 *Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung.
-*Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und $s_+(t)$ ist rein reell.
+*Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; ist rein reell.
 '''(3)'''&nbsp;   Die Periodendauer des Trägersignals beträgt $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
-*Nach $t = 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$  (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um $90^{\circ}$ gedreht.
+'''(3)'''&nbsp;   Die Periodendauer des Trägersignals beträgt&nbsp; $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
-*Der blaue Zeiger (OSB) dreht um 20% schneller, der grüne (USB) um 20% langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal):
+*Nach&nbsp; $t = 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp;  (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um&nbsp; $90^{\circ}$&nbsp; gedreht.
 :$$s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s})  =  {\rm 1
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 {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.$$
-*Somit sind die in $ 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$ zurückgelegten Winkel von OSB und USB $108^{\circ}$ bzw. $72^{\circ}$.
+*Somit sind die in&nbsp; $ 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; zurückgelegten Winkel von OSB und USB&nbsp; $108^{\circ}$&nbsp; bzw.&nbsp; $72^{\circ}$.
-*Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist $s_+(t=5  \ {\rm &micro;}  \text{s})$  <u>rein imaginär</u> und man erhält:
+*Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist&nbsp; $s_+(t=5  \ {\rm &micro;}  \text{s})$&nbsp;  <u>rein imaginär</u> und man erhält:
 :$${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s})\right] =
 {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}
 V}\cdot \cos (18^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.761 \hspace{0.05cm} V}}.$$
@@ Zeile 135: / Zeile 137: @@
-'''(5)'''&nbsp; Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um $180^{\circ}$ versetzt sind. Daraus folgt:
+'''(5)'''&nbsp; Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um&nbsp; $180^{\circ}$&nbsp; versetzt sind. Daraus folgt:
 :$$|s_{+}(t)|_{\rm min} = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - 2 \cdot {\rm
 .4 \hspace{0.05cm} V} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 0.2 \hspace{0.05cm} V}}.$$
-Innerhalb einer Periode $T_0$ des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von $\pm72^{\circ}$ auf. Daraus folgt:
+Innerhalb einer Periode&nbsp; $T_0$&nbsp; des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von&nbsp; $\pm72^{\circ}$&nbsp; auf. Daraus folgt:
 :$$t_{\text{min}} = 180^{\circ}/72^{\circ} \cdot T_0 = 2.5 \cdot T_0  \;\underline{= 50 \ {\rm &micro;} \text{s}}.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID718__Sig_A_4_4.png|250px|right|frame|Spektrum des analytischen Signals]]
-Wir gehen aus von einem cosinusförmigen Quellensignal $q(t)$ mit
+Wir gehen aus von einem cosinusförmigen Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit
-*der Amplitude $A_{\rm N} = 0.8 \ \text{V}$  und
+*der Amplitude&nbsp; $A_{\rm N} = 0.8 \ \text{V}$&nbsp;  und
-*der Frequenz $f_{\rm N}= 10 \ \text{kHz}$.
+*der Frequenz&nbsp; $f_{\rm N}= 10 \ \text{kHz}$.
-Die Frequenzumsetzung erfolgt mittels [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]], abgekürzt ZSB–AM.
+Die Frequenzumsetzung erfolgt mittels&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]], abgekürzt ZSB–AM.
-Das modulierte Signal $s(t)$ lautet mit dem (normierten) Träger $z(t) = \text{cos}(\omega_{\rm T} \cdot t)$ und dem Gleichanteil $q_0 = 1 \ \text{V}$:
+Das modulierte Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; lautet mit dem (normierten) Träger&nbsp; $z(t) = \text{cos}(\omega_{\rm T} \cdot t)$&nbsp; und dem Gleichanteil&nbsp; $q_0 = 1 \ \text{V}$:
 :$$\begin{align*} s(t) & =  \left(q_0 + q(t)\right) \cdot z(t)= \left({\rm 1 \hspace{0.05cm}
@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 Der erste Term beschreibt den Träger, der zweite Term das sogenannte obere Seitenband (OSB) und der letzte Term das untere Seitenband (USB).
-Die Skizze zeigt das Spektrum $S_+(f)$ des dazugehörigen analytischen Signals für $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$. Man erkennt
+Die Skizze zeigt das Spektrum&nbsp; $S_+(f)$&nbsp; des dazugehörigen analytischen Signals für&nbsp; $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$. Man erkennt
 *den Träger (rot),
 *das obere Seitenband (blau) und
@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
-In der Teilaufgabe '''(5)''' ist nach dem Betrag von $s_+(t)$ gefragt. Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.
+In der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; ist nach dem Betrag von&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; gefragt. Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.
@@ Zeile 34: / Zeile 37: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
-*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]  überprüfen.
+*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]&nbsp;  überprüfen.
@@ Zeile 43: / Zeile 46: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet das analytische Signal $s_+(t)$. Wie groß ist dieses zur Zeit $t  = 0$?
+{Wie lautet das analytische Signal&nbsp; $s_+(t)$. Wie groß ist dieses zur Zeit&nbsp; $t  = 0$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_+(t=0)]\ = \ $  { 1.8 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 50: / Zeile 53: @@
 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ $s_+(t)$ ergibt sich aus $s(t)$, wenn man $\cos(\text{...})$ durch ${\rm e}^{{\rm j}(\text{...})}$ ersetzt.
++ $s_+(t)$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; $s(t)$, wenn man&nbsp; $\cos(\text{...})$&nbsp; durch&nbsp; ${\rm e}^{{\rm j}(\text{...})}$&nbsp; ersetzt.
-- Ist $s(t)$ eine gerade Zeitfunktion, so ist $s_+(t)$ rein reell.
+- Ist&nbsp; $s(t)$&nbsp; eine gerade Zeitfunktion, so ist&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; rein reell.
-- Zu keinem Zeitpunkt verschwindet der Imaginärteil von $s_+(t)$.
+- Zu keinem Zeitpunkt verschwindet der Imaginärteil von&nbsp; $s_+(t)$.
-{Welchen Wert besitzt das analytische Signal zur Zeit $t = 5 \ {\rm &micro;}\text{s}$?
+{Welchen Wert besitzt das analytische Signal zur Zeit&nbsp; $t = 5 \ {\rm &micro;}\text{s}$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_+(t=5  \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
 $\text{Im}[s_+(t=5 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 1.761 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Welchen Wert besitzt $s_+(t)$ zum Zeitpunkt $t = 20 \ {\rm &micro;}\text{s}$?
+{Welchen Wert besitzt&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 20 \ {\rm &micro;}\text{s}$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_+(t=20 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 1.236 3% } &nbsp;$\text{V}$
 $\text{Im}[s_+(t=20 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-{Wie groß ist die kleinstmögliche Zeigerlänge? Zu welchem Zeitpunkt $t_{\text{min}}$ tritt dieser Wert zum ersten Mal auf?
+{Wie groß ist die kleinstmögliche Zeigerlänge? Zu welchem Zeitpunkt&nbsp; $t_{\text{min}}$&nbsp; tritt dieser Wert zum ersten Mal auf?
 |type="{}"}
 $|s_+(t)|_{\text{min}}\ = \ $ { 0.2 3% } &nbsp;$\text{V}$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID718__Sig_A_4_4.png|250px|right|frame|Vorgegebenes Spektrum $S_+(f)$  des analytischen Signals]]
+[[Datei:P_ID718__Sig_A_4_4.png|250px|right|frame|Spektrum des analytischen Signals]]
 Wir gehen aus von einem cosinusförmigen Quellensignal $q(t)$ mit
 *der Amplitude $A_{\rm N} = 0.8 \ \text{V}$  und
 *der Frequenz $f_{\rm N}= 10 \ \text{kHz}$.
 Die Frequenzumsetzung erfolgt mittels [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]], abgekürzt ZSB–AM.
@@ Zeile 27: / Zeile 28: @@
-In der Teilaufgabe (5) ist nach dem Betrag von $s_+(t)$ gefragt. Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.
+In der Teilaufgabe '''(5)''' ist nach dem Betrag von $s_+(t)$ gefragt. Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.
@@ Zeile 35: / Zeile 36: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
-*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Applets:Zeigerdiagramm_–_Darstellung_des_analytischen_Signals_(Applet)|Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals]] überprüfen.
+*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]  überprüfen.
@@ Zeile 89: / Zeile 90: @@
 *Man erhält den <u>rein reellen</u> Wert $s_+(t = 0) \;\underline{=  1.8 \ \text{V}}$.
-[[Datei:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|center|frame|Drei verschiedene analytische Signale]]
+[[Datei:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|left|frame|Drei verschiedene analytische Signale]]
+<br clear=all>
 '''(2)'''&nbsp;  Die <u>erste Aussage</u> ist richtig und ergibt sich aus der [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert-Transformation]]. Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht:
-*$s_+(t)$ ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls $s(t) = 0$. Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
+*$s_+(t)$ ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls $s(t) = 0$.
-*Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung. Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und $s_+(t)$ ist rein reell.
+*Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
-'''(3)'''&nbsp;   Die Periodendauer des Trägersignals beträgt $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm &micro;} \text{s}$. Nach $t = 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$  (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um $90^{\circ}$ gedreht. Der blaue Zeiger (OSB) dreht um 20% schneller, der grüne (USB) um 20% langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal):
+'''(3)'''&nbsp;   Die Periodendauer des Trägersignals beträgt $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
 :$$s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s})  =  {\rm 1
@@ Zeile 112: / Zeile 117: @@
 {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.$$
-Somit sind die in $ 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$ zurückgelegten Winkel von OSB und USB $108^{\circ}$ bzw. $72^{\circ}$. Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist $s_+(t=5  \ {\rm &micro;}  \text{s})$  <u>rein imaginär</u> und man erhält:
+*Somit sind die in $ 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$ zurückgelegten Winkel von OSB und USB $108^{\circ}$ bzw. $72^{\circ}$.
 :$${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s})\right] =
@@ Zeile 132: / Zeile 138: @@
 Innerhalb einer Periode $T_0$ des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von $\pm72^{\circ}$ auf. Daraus folgt:
-:$$t_{\text{min}} = 2.5 \cdot T_0  \;\underline{= 50 \ {\rm &micro;} \text{s}}.$$
+:$$t_{\text{min}} = 180^{\circ}/72^{\circ} \cdot T_0 = 2.5 \cdot T_0  \;\underline{= 50 \ {\rm &micro;} \text{s}}.$$
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]

@@ Zeile 75: / Zeile 75: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Durch Fourierrücktransformation von $S_+(f)$ unter Berücksichtigung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]] gilt:
+'''(1)'''&nbsp;  Durch Fourierrücktransformation von $S_+(f)$ unter Berücksichtigung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]] gilt:
-$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
+:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } + {\rm 0.4
 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}
@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
 }\hspace{0.05cm} t }.$$
-Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen. In obiger Gleichung bedeutet beispielsweise  $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$. Zum Zeitpunkt $t = 0$ zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse (siehe linke Grafik), und man erhält den <u>rein reellen</u> Wert $s_+(t = 0) \;\underline{=  1.8 \ \text{V}}$.
+Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen.
-[[Datei:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|center|Drei verschiedene nalytische Signale]]
+[[Datei:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|center|frame|Drei verschiedene analytische Signale]]
+'''(2)'''&nbsp;  Die <u>erste Aussage</u> ist richtig und ergibt sich aus der [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert-Transformation]]. Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht:
 *$s_+(t)$ ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls $s(t) = 0$. Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
 *Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung. Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und $s_+(t)$ ist rein reell.
-'''3.'''   Die Periodendauer des Trägersignals beträgt $T_0 = 1/f_T = 20 \ μ\text{s}$. Nach $t = 5 \ μ\text{s}$  (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um $90^{\circ}$ gedreht. Der blaue Zeiger (OSB) dreht um 20% schneller, der grüne (USB) um 20% langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal):
+'''(3)'''&nbsp;   Die Periodendauer des Trägersignals beträgt $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm &micro;} \text{s}$. Nach $t = 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$  (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um $90^{\circ}$ gedreht. Der blaue Zeiger (OSB) dreht um 20% schneller, der grüne (USB) um 20% langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal):
-$$\begin{align*}s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} \mu s}) & =  {\rm 1
+:$$s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s})  =  {\rm 1
 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi
 \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}50 \hspace{0.03cm} \cdot
@@ Zeile 104: / Zeile 106: @@
 }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}40
-\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 } =\\ & =  {\rm 1
+\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 } =  {\rm 1
 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 90^\circ
 }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 j}\hspace{0.05cm} 108^\circ }+{\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot
-{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.\end{align*}$$
+{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.$$
-Somit sind die in $ 5 \ μ\text{s}$ zurückgelegten Winkel von OSB und USB $108^{\circ}$ bzw. $72^{\circ}$. Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist $s_+(t=5  \ \mu \text{s})$  <u>rein imaginär</u> und man erhält:
+Somit sind die in $ 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$ zurückgelegten Winkel von OSB und USB $108^{\circ}$ bzw. $72^{\circ}$. Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist $s_+(t=5  \ {\rm &micro;}  \text{s})$  <u>rein imaginär</u> und man erhält:
-$${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} \mu s})\right] =
+:$${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s})\right] =
 {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}
 V}\cdot \cos (18^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.761 \hspace{0.05cm} V}}.$$
-'''4.'''  Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0 = 20 \ μ\text{s}$ hat der blaue Zeiger bereits $72^{\circ}$ mehr zurückgelegt und der grüne Zeiger dementsprechend  $72^{\circ}$ weniger. Die Summe der drei Zeiger ist wieder <u>rein reell</u> und ergibt entsprechend der  rechten Grafik:
+'''(4)'''&nbsp;  Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm &micro;} \text{s}$ hat der blaue Zeiger bereits $72^{\circ}$ mehr zurückgelegt und der grüne Zeiger dementsprechend  $72^{\circ}$ weniger. Die Summe der drei Zeiger ist wieder <u>rein reell</u> und ergibt entsprechend der  rechten Grafik:
-$${\rm Re}\left[s_{+}({\rm 20 \hspace{0.05cm} \mu s})\right] =
+:$${\rm Re}\left[s_{+}({\rm 20 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;}  s})\right] =
 {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}
 V}\cdot \cos (72^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.236 \hspace{0.05cm} V}}.$$
-'''5.''' Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um $180^{\circ}$ versetzt sind. Daraus folgt:
+'''(5)'''&nbsp; Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um $180^{\circ}$ versetzt sind. Daraus folgt:
-$$|s_{+}(t)|_{\rm min} = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - 2 \cdot {\rm
+:$$|s_{+}(t)|_{\rm min} = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - 2 \cdot {\rm
 .4 \hspace{0.05cm} V} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 0.2 \hspace{0.05cm} V}}.$$
 Innerhalb einer Periode $T_0$ des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von $\pm72^{\circ}$ auf. Daraus folgt:
-$$t_{\text{min}} = 2.5 \cdot T_0  \;\underline{= 50 \ μ\text{s}}.$$
+:$$t_{\text{min}} = 2.5 \cdot T_0  \;\underline{= 50 \ {\rm &micro;} \text{s}}.$$
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]