Aufgaben:Aufgabe 4.4: Maximum–a–posteriori und Maximum–Likelihood - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.2 Struktur des optimalen Empfängers^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.2 Struktur des optimalen Empfängers^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.4:_Maximum–a–posteriori_and_Maximum–Likelihood]]

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Zeile 18:		Zeile 18:
	Nach der Übertragung soll die gesendete Nachricht durch einen optimalen Empfänger geschätzt werden.  Zur Verfügung stehen:		Nach der Übertragung soll die gesendete Nachricht durch einen optimalen Empfänger geschätzt werden.  Zur Verfügung stehen:
	* der  '''Maximum–Likelihood–Empfänger'''  $\rm (ML$–Empfänger$)$,  der die Auftrittswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(s = s_i)$  nicht kennt, mit der Entscheidungsregel:		* der  '''Maximum–Likelihood–Empfänger'''  $\rm (ML$–Empfänger$)$,  der die Auftrittswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(s = s_i)$  nicht kennt, mit der Entscheidungsregel:
	:$$\hat{m}_{\rm ML} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ p_{r \|s } \hspace{0.05cm} (\rho		:$$\hat{m}_{\rm ML} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ p_{r \|s } \hspace{0.05cm} (\rho \|s_i ) \big]\hspace{0.05cm},$$
	\|s_i ) \big]\hspace{0.05cm},$$

	* der  '''Maximum–a–posteriori–Empfänger'''  $\rm (MAP$–Empfänger$)$;  dieser berücksichtigt bei seiner Entscheidung auch die Symbolwahrscheinlichkeiten der Quelle:		* der  '''Maximum–a–posteriori–Empfänger'''  $\rm (MAP$–Empfänger$)$;  dieser berücksichtigt bei seiner Entscheidung auch die Symbolwahrscheinlichkeiten der Quelle:
	:$$\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ {\rm Pr}( s = s_i) \cdot p_{r \|s } \hspace{0.05cm} (\rho		:$$\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ {\rm Pr}( s = s_i) \cdot p_{r \|s } \hspace{0.05cm} (\rho \|s_i ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$
	\|s_i ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 94:		Zeile 92:

	'''(2)'''  Für die erste gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit gilt:		'''(2)'''  Für die erste gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit gilt:
	:$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) = \frac{{\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}s_0 ) \cdot {\rm Pr} ( s_0)}{{\rm Pr} ( r = +1)}		:$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) = \frac{{\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}s_0 ) \cdot {\rm Pr} ( s_0)}{{\rm Pr} ( r = +1)} = \frac{0.8 \cdot 0.75}{0.6} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$
	= \frac{0.8 \cdot 0.75}{0.6} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$

	*Entsprechend erhält man für die weiteren Wahrscheinlichkeiten:		*Entsprechend erhält man für die weiteren Wahrscheinlichkeiten:

Guenter am 15. Juli 2022 um 15:22 Uhr

2022-07-15T15:22:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Juli 2022, 17:22 Uhr
Zeile 89:		Zeile 89:
	:$${\rm Pr} ( r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 - {\rm Pr} ( r = +1) - {\rm Pr} ( r = -1) = 1 - 0.6 - 0.15 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr} ( r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 - {\rm Pr} ( r = +1) - {\rm Pr} ( r = -1) = 1 - 0.6 - 0.15 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm}.$$

	Für die letzte Wahrscheinlichkeit gilt auch:		*Für die letzte Wahrscheinlichkeit gilt auch:
	:$${\rm Pr} ( r = 0) = 0.75 \cdot 0.2 + 0.25 \cdot 0.4 = 0.25\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr} ( r = 0) = 0.75 \cdot 0.2 + 0.25 \cdot 0.4 = 0.25\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 97:		Zeile 97:
	= \frac{0.8 \cdot 0.75}{0.6} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$		= \frac{0.8 \cdot 0.75}{0.6} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$

	Entsprechend erhält man für die weiteren Wahrscheinlichkeiten:		*Entsprechend erhält man für die weiteren Wahrscheinlichkeiten:
	:$${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{-0.1cm} \ = \ 1 - {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{-0.1cm} \ = \ 1 - {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = -1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = -1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$
Zeile 105:		Zeile 105:


	'''(3)'''  Es gelte $r = +1$. Dann entscheidet sich		'''(3)'''  Es gelte  $r = +1$.  Dann entscheidet sich
	* der MAP–Empfänger für $s_0$, da ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) = 1 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1)= 0\hspace{0.05cm},$		* der MAP–Empfänger für  $s_0$,  da ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) = 1 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1)= 0\hspace{0.05cm},$
	* der ML–Empfänger ebenfalls für $s_0$, da ${\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.8 > {\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_1) = 0 \hspace{0.05cm}.$

			* der ML–Empfänger ebenfalls für  $s_0$,  da ${\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.8 > {\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_1) = 0 \hspace{0.05cm}.$

	~~Richtig ist also <u>NEIN</u>.~~

			Richtig ist also  <u>NEIN</u>.

	~~'''(4)'''  <u>NEIN</u> gilt auch unter der Voraussetzung &bdquo;$r = \, –1$”, da keine Verbindung zwischen $s_0$ und &bdquo;$r = \, –1$” besteht.~~

			'''(4)'''  <u>NEIN</u>  gilt auch unter der Voraussetzung  &bdquo;$r = \, –1$”,  da keine Verbindung zwischen  $s_0$  und  &bdquo;$r = \, –1$”  besteht.

	'''(5)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
	*Der MAP–Empfänger entscheidet sich für das Ereignis $s_0$, da ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.6 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.4 \hspace{0.05cm}.$		'''(5)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
	*Dagegen wird sich der ML–Empfänger für $s_1$ entscheiden, da ${\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_1) = 0.4 > {\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$		*Der MAP–Empfänger entscheidet sich für das Ereignis  $s_0$,  da  ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.6 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.4 \hspace{0.05cm}.$
			*Dagegen wird sich der ML–Empfänger für  $s_1$  entscheiden,  da ${\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_1) = 0.4 > {\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$


	'''(6)'''  Der Maximum–Likelihood–Empfänger		'''(6)'''  Der Maximum–Likelihood–Empfänger
	* entscheidet sich nur für $s_0$, wenn $r = +1$ ist,		* entscheidet sich nur für  $s_0$,  wenn  $r = +1$  ist,
	* macht also keinen Fehler, wenn $s_1$ gesendet wurde,
			* macht also keinen Fehler,  wenn  $s_1$  gesendet wurde,

	* macht nur einen Fehler bei der Kombination &bdquo;$s_0$” und &bdquo;$r = 0$”:		* macht nur einen Fehler bei der Kombination &bdquo;$s_0$” und &bdquo;$r = 0$”:
	:$${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.75 \cdot 0.2 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.15} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.75 \cdot 0.2 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.15} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(7)'''  Der MAP–Empfänger entscheidet sich dagegen bei &bdquo;$r = 0$” für $s_0$. Einen Symbolfehler gibt es also nur in der Kombination &bdquo;$s_1$” und &bdquo;$r = 0$”. Daraus folgt:		'''(7)'''  Der MAP–Empfänger entscheidet sich dagegen bei  &bdquo;$r = 0$”  für  $s_0$.
			* Einen Symbolfehler gibt es also nur in der Kombination &bdquo;$s_1$” und &bdquo;$r = 0$”.  Daraus folgt:
	:$${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.25 \cdot 0.4 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.25 \cdot 0.4 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1} \hspace{0.05cm}.$$

	*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist hier geringer als beim ML–Empfänger,		*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist hier geringer als beim ML–Empfänger,
	*da nun auch die unterschiedlichen ~~Apriori~~–Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(s_0)$ und ${\rm Pr}(s_1)$ berücksichtigt werden.		*da nun auch die unterschiedlichen A-priori–Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(s_0)$  und  ${\rm Pr}(s_1)$  berücksichtigt werden.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 15. Juli 2022 um 14:57 Uhr

2022-07-15T14:57:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Juli 2022, 16:57 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:

	[[Datei:P_ID2013__Dig_A_4_4.png\|right\|frame\|Kanalübergangswahrscheinlichkeiten]]		[[Datei:P_ID2013__Dig_A_4_4.png\|right\|frame\|Kanalübergangswahrscheinlichkeiten]]
	Zur Verdeutlichung von MAP– und ML–Entscheidung konstruieren wir nun ein sehr einfaches Beispiel mit nur zwei möglichen Nachrichten  $m_0 = 0$  und  $m_1 = 1$, die durch die Signalwerte  $s_0$  bzw.  $s_1$  dargestellt werden:		Zur Verdeutlichung von  "Maximum–a–posteriori"  $\rm (MAP)$–   und  "Maximum–Likelihood"  $\rm (ML)$–Entscheidung konstruieren wir nun ein sehr einfaches Beispiel mit nur zwei möglichen Nachrichten  $m_0 = 0$  und  $m_1 = 1$,  die durch die Signalwerte  $s_0$  bzw.  $s_1$  dargestellt werden:
	:$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_0 = +1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_0 = 0\hspace{0.05cm},$$		:$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_0 = +1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_0 = 0\hspace{0.05cm},$$
	:$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_1 = -1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_1 = 1\hspace{0.05cm}.$$		:$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_1 = -1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_1 = 1\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 10:		Zeile 10:
	:$${\rm Pr}(s = s_0) = 0.75,\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(s = s_1) = 0.25 \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(s = s_0) = 0.75,\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(s = s_1) = 0.25 \hspace{0.05cm}.$$

	*Das Empfangssignal kann – warum auch immer – drei verschiedene Werte annehmen, nämlich		*Das Empfangssignal kann – warum auch immer – drei verschiedene Werte annehmen,  nämlich
	:$$r = +1,\hspace{0.2cm}r = 0,\hspace{0.2cm}r = -1 \hspace{0.05cm}.$$		:$$r = +1,\hspace{0.2cm}r = 0,\hspace{0.2cm}r = -1 \hspace{0.05cm}.$$

Zeile 16:		Zeile 16:


	Nach der Übertragung soll die gesendete Nachricht durch einen optimalen Empfänger geschätzt werden. Zur Verfügung stehen:		Nach der Übertragung soll die gesendete Nachricht durch einen optimalen Empfänger geschätzt werden.  Zur Verfügung stehen:
	* der  '''Maximum–Likelihood–Empfänger'''  (ML–Empfänger), der die Auftrittswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(s = s_i)$  nicht kennt, mit der Entscheidungsregel:		* der  '''Maximum–Likelihood–Empfänger'''  $\rm (ML$–Empfänger$)$,  der die Auftrittswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(s = s_i)$  nicht kennt, mit der Entscheidungsregel:
	:$$\hat{m}_{\rm ML} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ p_{r \|s } \hspace{0.05cm} (\rho		:$$\hat{m}_{\rm ML} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ p_{r \|s } \hspace{0.05cm} (\rho
	\|s_i ) \big]\hspace{0.05cm},$$		\|s_i ) \big]\hspace{0.05cm},$$

	* der  '''Maximum–a–posteriori–Empfänger'''  (MAP–Empfänger); dieser berücksichtigt bei ~~seinem Entscheidungsprozess~~ auch die Symbolwahrscheinlichkeiten der Quelle:		* der  '''Maximum–a–posteriori–Empfänger'''  $\rm (MAP$–Empfänger$)$;  dieser berücksichtigt bei seiner Entscheidung auch die Symbolwahrscheinlichkeiten der Quelle:
	:$$\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ {\rm Pr}( s = s_i) \cdot p_{r \|s } \hspace{0.05cm} (\rho		:$$\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ {\rm Pr}( s = s_i) \cdot p_{r \|s } \hspace{0.05cm} (\rho
	\|s_i ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$		\|s_i ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 28:		Zeile 28:


			Hinweise:
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien\| "Optimale Empfängerstrategien"]].

			*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers\| "Struktur des optimalen Empfängers"]].

	~~''Hinweise:''~~		* Die notwendigen statistischen Grundlagen finden Sie im Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit\| "Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit"]]  des Buches  &bdquo;Stochastische Signaltheorie”.
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien\| Optimale Empfängerstrategien]].
	*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers\| Struktur des optimalen Empfängers]].
	* Die notwendigen statistischen Grundlagen finden Sie im Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit\| Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]  des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie”.


Zeile 73:		Zeile 73:
	+ Der ML–Empfänger entscheidet sich für  $s_1$.		+ Der ML–Empfänger entscheidet sich für  $s_1$.

	{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des  '''ML–Empfängers'''.		{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des   '''ML–Empfängers'''.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $ { 0.15 3% }		${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $ { 0.15 3% }

	{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des  '''MAP–Empfängers'''.		{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des   '''MAP–Empfängers'''.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $ { 0.1 3% }		${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $ { 0.1 3% }

Guenter am 12. März 2019 um 13:17 Uhr

2019-03-12T13:17:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. März 2019, 15:17 Uhr
Zeile 131:		Zeile 131:
	:$${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.25 \cdot 0.4 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr} ({\rm Symbolfehler} ) = {\rm Pr} ({\cal E } ) = 0.25 \cdot 0.4 \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1} \hspace{0.05cm}.$$

	Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist hier geringer als beim ML–Empfänger, da nun auch die unterschiedlichen Apriori–Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(s_0)$ und ${\rm Pr}(s_1)$ berücksichtigt werden.		*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist hier geringer als beim ML–Empfänger,
			*da nun auch die unterschiedlichen Apriori–Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(s_0)$ und ${\rm Pr}(s_1)$ berücksichtigt werden.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 12. März 2019 um 13:10 Uhr

2019-03-12T13:10:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. März 2019, 15:10 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:

	[[Datei:P_ID2013__Dig_A_4_4.png\|right\|frame\|Kanalübergangswahrscheinlichkeiten]]		[[Datei:P_ID2013__Dig_A_4_4.png\|right\|frame\|Kanalübergangswahrscheinlichkeiten]]
	Zur Verdeutlichung von MAP– und ML–Entscheidung konstruieren wir nun ein sehr einfaches Beispiel mit nur zwei möglichen Nachrichten $m_0 = 0$ und $m_1 = 1$, die durch die Signalwerte $s_0$ bzw. $s_1$ dargestellt werden:		Zur Verdeutlichung von MAP– und ML–Entscheidung konstruieren wir nun ein sehr einfaches Beispiel mit nur zwei möglichen Nachrichten  $m_0 = 0$  und  $m_1 = 1$, die durch die Signalwerte  $s_0$  bzw.  $s_1$  dargestellt werden:
	:$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_0 = +1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_0 = 0\hspace{0.05cm},$$		:$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_0 = +1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_0 = 0\hspace{0.05cm},$$
	:$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_1 = -1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_1 = 1\hspace{0.05cm}.$$		:$$s \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}s_1 = -1 \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm}m = m_1 = 1\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 14:		Zeile 14:

	*Die bedingten Kanalwahrscheinlichkeiten können der Grafik entnommen werden.		*Die bedingten Kanalwahrscheinlichkeiten können der Grafik entnommen werden.


	Nach der Übertragung soll die gesendete Nachricht durch einen optimalen Empfänger geschätzt werden. Zur Verfügung stehen:		Nach der Übertragung soll die gesendete Nachricht durch einen optimalen Empfänger geschätzt werden. Zur Verfügung stehen:
	* der '''Maximum–Likelihood–Empfänger''' (ML–Empfänger), der die Auftrittswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(s = s_i)$ nicht kennt, mit der Entscheidungsregel:		* der  '''Maximum–Likelihood–Empfänger'''  (ML–Empfänger), der die Auftrittswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(s = s_i)$  nicht kennt, mit der Entscheidungsregel:
	:$$\hat{m}_{\rm ML} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ p_{r \|s } \hspace{0.05cm} (\rho		:$$\hat{m}_{\rm ML} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ p_{r \|s } \hspace{0.05cm} (\rho
	\|s_i ) ]\hspace{0.05cm},$$		\|s_i ) \big]\hspace{0.05cm},$$

			* der  '''Maximum–a–posteriori–Empfänger'''  (MAP–Empfänger); dieser berücksichtigt bei seinem Entscheidungsprozess auch die Symbolwahrscheinlichkeiten der Quelle:
			:$$\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ {\rm Pr}( s = s_i) \cdot p_{r \|s } \hspace{0.05cm} (\rho
			\|s_i ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$




	* der '''Maximum–a–posteriori–Empfänger''' (MAP–Empfänger); dieser berücksichtigt bei seinem Entscheidungsprozess auch die Symbolwahrscheinlichkeiten der Quelle:
	~~:$$\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ {\rm Pr}( s = s_i) \cdot p_{r \|s } \hspace{0.05cm} (\rho~~
	~~\|s_i ) ]\hspace{0.05cm}.$$~~


	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien\| Optimale Empfängerstrategien]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien\| Optimale Empfängerstrategien]].
	*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers\| Struktur des optimalen Empfängers]].		*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers\| Struktur des optimalen Empfängers]].
	* Die notwendigen statistischen Grundlagen finden Sie im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit\| Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie”.		* Die notwendigen statistischen Grundlagen finden Sie im Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit\| Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]  des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie”.


Zeile 51:		Zeile 56:
	${\rm Pr}(s_1\|r = 0) \hspace{0.45cm} = \ $ { 0.4 3% }		${\rm Pr}(s_1\|r = 0) \hspace{0.45cm} = \ $ { 0.4 3% }

	{Unterscheiden sich MAP– und ML–Empfänger unter der Voraussetzung &bdquo;$r = +1$”?		{Unterscheiden sich MAP– und ML–Empfänger unter der Voraussetzung  &bdquo;$r = +1$”?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- ja,		- ja,
	+ nein.		+ nein.

	{Unterscheiden sich MAP– und ML–Empfänger unter der Voraussetzung &bdquo;$r = -1$”?		{Unterscheiden sich MAP– und ML–Empfänger unter der Voraussetzung  &bdquo;$r = -1$”?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- ja,		- ja,
	+ nein.		+ nein.

	{Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung &bdquo;$r = 0$”?		{Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung  &bdquo;$r = 0$”?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Der MAP–Empfänger entscheidet sich für $s_0$.		+ Der MAP–Empfänger entscheidet sich für  $s_0$.
	- Der MAP–Empfänger entscheidet sich für $s_1$.		- Der MAP–Empfänger entscheidet sich für  $s_1$.
	- Der ML–Empfänger entscheidet sich für $s_0$.		- Der ML–Empfänger entscheidet sich für  $s_0$.
	+ Der ML–Empfänger entscheidet sich für $s_1$.		+ Der ML–Empfänger entscheidet sich für  $s_1$.

	{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des '''ML–Empfängers'''.		{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des  '''ML–Empfängers'''.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $ { 0.15 3% }		${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $ { 0.15 3% }

	{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des '''MAP–Empfängers'''.		{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des  '''MAP–Empfängers'''.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $ { 0.1 3% }		${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $ { 0.1 3% }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:52Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 29:		Zeile 29:
	*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers\| Struktur des optimalen Empfängers]].		*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers\| Struktur des optimalen Empfängers]].
	* Die notwendigen statistischen Grundlagen finden Sie im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit\| Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie”.		* Die notwendigen statistischen Grundlagen finden Sie im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit\| Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie”.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.4 Maximum–a–posteriori und Maximum–Likelihood nach Aufgaben:Aufgabe 4.4: Maximum–a–posteriori und Maximum–Likelihood

2018-01-04T06:33:02Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.4 Maximum–a–posteriori und Maximum–Likelihood nach Aufgaben:Aufgabe 4.4: Maximum–a–posteriori und Maximum–Likelihood

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 08:33 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter am 14. November 2017 um 10:23 Uhr

2017-11-14T10:23:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. November 2017, 12:23 Uhr
Zeile 94:		Zeile 94:
	Entsprechend erhält man für die weiteren Wahrscheinlichkeiten:		Entsprechend erhält man für die weiteren Wahrscheinlichkeiten:
	:$${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{-0.1cm} \ = \ 1 - {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{-0.1cm} \ = \ 1 - {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = -1) \hspace{-0.~~1cm~~} ~~\ = \~~ \hspace{-0.~~1cm~~} 0, \hspace{0.~~4cm~~}{\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = -1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = -1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$
			:$${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = -1) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{{\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}s_0 ) \cdot {\rm Pr} ( s_0)}{{\rm Pr} ( r = 0 )}= \frac{0.2 \cdot 0.75}{0.25} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.6}\hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{{\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}s_0 ) \cdot {\rm Pr} ( s_0)}{{\rm Pr} ( r = 0 )}= \frac{0.2 \cdot 0.75}{0.25} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.6}\hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1- {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.4} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1- {\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.4} \hspace{0.05cm}.$$
Zeile 100:		Zeile 101:

	'''(3)'''  Es gelte $r = +1$. Dann entscheidet sich		'''(3)'''  Es gelte $r = +1$. Dann entscheidet sich
	* der MAP–Empfänger für $s_0$, da		* der MAP–Empfänger für $s_0$, da ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) = 1 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1)= 0\hspace{0.05cm},$
	:$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1) = 1 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = +1)= 0\hspace{0.05cm},$$		* der ML–Empfänger ebenfalls für $s_0$, da ${\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.8 > {\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_1) = 0 \hspace{0.05cm}.$
	* der ML–Empfänger ebenfalls für $s_0$, da
	:$${\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.8 > {\rm Pr} ( r = +1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_1) = 0 \hspace{0.05cm}.$$

	Richtig ist also <u>NEIN</u>.		Richtig ist also <u>NEIN</u>.


	'''(4)'''  ~~Zum gleichen Ergebnis~~ <u>NEIN</u> ~~kommt man~~ unter der Voraussetzung &bdquo;$r = \, –1$”, da keine Verbindung zwischen $s_0$ und &bdquo;$r = \, –1$” besteht.		'''(4)'''  <u>NEIN</u> gilt auch unter der Voraussetzung &bdquo;$r = \, –1$”, da keine Verbindung zwischen $s_0$ und &bdquo;$r = \, –1$” besteht.


	~~'''(5)'''  Der MAP–Empfänger entscheidet sich für das Ereignis $s_0$, da~~
	~~:$${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.6 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.4 \hspace{0.05cm}.$$~~

	~~Dagegen wird sich der ML–Empfänger für $s_1$ entscheiden, da~~
	~~:$${\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_1) = 0.4 > {\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$$~~

	Richtig sind ~~also~~ die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>.		'''(5)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
			*Der MAP–Empfänger entscheidet sich für das Ereignis $s_0$, da ${\rm Pr} (s_0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.6 > {\rm Pr} (s_1 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}r = 0) = 0.4 \hspace{0.05cm}.$
			*Dagegen wird sich der ML–Empfänger für $s_1$ entscheiden, da ${\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_1) = 0.4 > {\rm Pr} ( r = 0 \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}s_0) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$

Guenter am 14. November 2017 um 10:10 Uhr

2017-11-14T10:10:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. November 2017, 12:10 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	${\rm Pr}(r = +1) \ = \ $ { 0.6 3% }		${\rm Pr}(r = +1) \ = \ $ { 0.6 3% }
	${\rm Pr}(r = -1) \ = \ $ { 0.15 3% }		${\rm Pr}(r = -1) \ = \ $ { 0.15 3% }
	${\rm Pr}(r = 0) \hspace{0.~~4cm~~} = \ $ { 0.25 3% }		${\rm Pr}(r = 0) \hspace{0.45cm} = \ $ { 0.25 3% }

	{Berechnen Sie alle Rückschlusswahrscheinlichkeiten.		{Berechnen Sie alle Rückschlusswahrscheinlichkeiten.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(s_0\|r = +1) \ = \ $ { 1 3% }		${\rm Pr}(s_0\|r = +1) \ = \ $ { 1 3% }
	${\rm Pr}(s_1\|r = +1) \ = \ $ { 0 3% }		${\rm Pr}(s_1\|r = +1) \ = \ $ { 0. }
	${\rm Pr}(s_0\|r = -1) \ = \ $ { 0 3% }		${\rm Pr}(s_0\|r = -1) \ = \ $ { 0. }
	${\rm Pr}(s_1\|r = -1) \ = \ ${ 1 3% }		${\rm Pr}(s_1\|r = -1) \ = \ $ { 1 3% }
	${\rm Pr}(s_0\|r = 0) \ = \ $ { 0.6 3% }		${\rm Pr}(s_0\|r = 0) \hspace{0.45cm} = \ $ { 0.6 3% }
	${\rm Pr}(s_1\|r = 0) \ = \ $ { 0.4 3% }		${\rm Pr}(s_1\|r = 0) \hspace{0.45cm} = \ $ { 0.4 3% }

	{Unterscheiden sich MAP– und ML–Empfänger ~~für~~ $r = +1$?		{Unterscheiden sich MAP– und ML–Empfänger unter der Voraussetzung &bdquo;$r = +1$”?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- ja,		- ja,
	+ nein.		+ nein.

	{Unterscheiden sich MAP– und ML–Empfänger ~~für~~ $r = \, &~~ndash~~;1$?		{Unterscheiden sich MAP– und ML–Empfänger unter der Voraussetzung &bdquo;$r = -1$”?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- ja,		- ja,
Zeile 68:		Zeile 68:
	+ Der ML–Empfänger entscheidet sich für $s_1$.		+ Der ML–Empfänger entscheidet sich für $s_1$.

	{Berechnen Sie die ~~Fehlerwahrscheinlichkeit~~ des ML–Empfängers.		{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des '''ML–Empfängers'''.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm ~~ML\text{:} \hspace{0.15cm}~~ Pr(Symbolfehler)}$ = { 0.15 3% }		${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $ { 0.15 3% }

	{Berechnen Sie die ~~Fehlerwahrscheinlichkeit~~ des MAP–Empfängers.		{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des '''MAP–Empfängers'''.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm ~~MAP\text{:} \hspace{0.15cm}~~ Pr(Symbolfehler)}$ = { 0.1 3% }		${\rm Pr(Symbolfehler)}\ = \ $ { 0.1 3% }
	</quiz>		</quiz>