Aufgaben:Aufgabe 4.4: Koaxialkabel – Frequenzgang - Versionsgeschichte

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2026-03-16T14:04:00Z

Fix LaTeX typos: \rmNp

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Zeile 110:		Zeile 110:

	'''(5)'''  Für eine jede positive Größe $x$ gilt:		'''(5)'''  Für eine jede positive Größe $x$ gilt:
	:$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}}= \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot(20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\~~rmNp~~}\hspace{0.05cm}.$$		:$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}}= \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot(20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	Der Dämpfungswert  $4.555 \ {\rm Np}$  ist somit identisch mit  ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=39.56 \ \rm dB}$.		Der Dämpfungswert  $4.555 \ {\rm Np}$  ist somit identisch mit  ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=39.56 \ \rm dB}$.

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2026-03-16T12:37:41Z

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Zeile 137:		Zeile 137:

	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^4.2 Koaxialkabel^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^4.2 Koaxialkabel^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.4:_Coaxial_Cable_-_Frequency_Response]]

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2026-02-24T13:39:54Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Zeile 10:		Zeile 10:

	besitzt den folgenden Frequenzgang:		besitzt den folgenden Frequenzgang:
	:$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot		:$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot{\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot{\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot\sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
	{\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot
	{\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
	\sqrt{f}} \cdot
	{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot
	{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
	\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
	Die Dämpfungsparameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$ sind in &bdquo;Neper pro Kilometer”  (Np/km)  einzusetzen und die Phasenparameter  $\beta_1$ und  $\beta_2$ in &bdquo;Radian pro Kilometer”  (rad/km).  Es gelten folgende Zahlenwerte:		Die Dämpfungsparameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$ sind in &bdquo;Neper pro Kilometer”  (Np/km)  einzusetzen und die Phasenparameter  $\beta_1$ und  $\beta_2$ in &bdquo;Radian pro Kilometer”  (rad/km).  Es gelten folgende Zahlenwerte:
	:$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},$$		:$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},$$
Zeile 25:		Zeile 19:

	* die Dämpfungsfunktion  (in Np bzw. dB):		* die Dämpfungsfunktion  (in Np bzw. dB):
	:$${ a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}\|H_{\rm K}(f)\|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}\|H_{\rm K}(f)\|		:$${ a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}\|H_{\rm K}(f)\|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}\|H_{\rm K}(f)\|\hspace{0.05cm},$$
	\hspace{0.05cm},$$

	* die Phasenfunktion  (in rad bzw. Grad):		* die Phasenfunktion  (in rad bzw. Grad):
	:$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)		:$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	In der Praxis benutzt man häufig die Näherung		In der Praxis benutzt man häufig die Näherung
	:$$H_{\rm K}(f) =		:$$H_{\rm K}(f) ={\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot\sqrt{f}} \cdot{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot\sqrt{f}}$$
	{\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot\sqrt{f}, \hspace{0.8cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	\sqrt{f}} \cdot
	{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
	\sqrt{f}}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot
	\sqrt{f}, \hspace{0.8cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
	{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	Dies ist erlaubt,  da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden.		Dies ist erlaubt,  da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden.

Zeile 110:		Zeile 96:

	'''(2)'''  Mit  ${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l$  muss die folgende Gleichung erfüllt sein:		'''(2)'''  Mit  ${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l$  muss die folgende Gleichung erfüllt sein:
	:$${\rm e}^{- {\rm a}_0 } \ge 0.99		:$${\rm e}^{- {\rm a}_0 } \ge 0.99\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln}\hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln}
	\hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)}
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Damit erhält man für die maximale Kabellänge:		*Damit erhält man für die maximale Kabellänge:
	:$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}}		:$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:		'''(3)'''  Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:
	:$${a}_{\rm K}(f) = [\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot		:$${a}_{\rm K}(f) = [\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot\sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l = \big[0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} $$
	\sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l
	= \big[0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} $$
	:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) = \big[0.003 + 0.061 + 4.555 \hspace{0.05cm}\big]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) = \big[0.003 + 0.061 + 4.555 \hspace{0.05cm}\big]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 130:		Zeile 110:

	'''(5)'''  Für eine jede positive Größe $x$ gilt:		'''(5)'''  Für eine jede positive Größe $x$ gilt:
	:$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}}		:$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}}= \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot(20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rmNp}\hspace{0.05cm}.$$
	= \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot
	(20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm
	Np}\hspace{0.05cm}.$$
	Der Dämpfungswert  $4.555 \ {\rm Np}$  ist somit identisch mit  ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=39.56 \ \rm dB}$.		Der Dämpfungswert  $4.555 \ {\rm Np}$  ist somit identisch mit  ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=39.56 \ \rm dB}$.

Zeile 139:		Zeile 116:
	'''(6)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>.  Begründung:		'''(6)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>.  Begründung:
	*Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit  $\alpha_2$  gilt für den Frequenzgang:		*Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit  $\alpha_2$  gilt für den Frequenzgang:
	:$$H_{\rm K}(f) =		:$$H_{\rm K}(f) ={\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot\sqrt{f}} \cdot{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot f} \cdot{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
	{\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
	\sqrt{f}} \cdot
	{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot f} \cdot
	{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
	\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
	*Verzichtet man auf den  $\beta_1$–Phasenterm,  so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts.  Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden  (beide gleich)  um den Wert  $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/(2\pi)$  kleiner.		*Verzichtet man auf den  $\beta_1$–Phasenterm,  so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts.  Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden  (beide gleich)  um den Wert  $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/(2\pi)$  kleiner.

Zeile 151:		Zeile 123:
	::'''(b)''' Die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch  um $t = 0$,  was nicht den Gegebenheiten entspricht.		::'''(b)''' Die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch  um $t = 0$,  was nicht den Gegebenheiten entspricht.
	*Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:		*Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
	:$${a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot		:$${a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot\sqrt{f},$$
	\sqrt{f},$$		:$$ b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	:$$ b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
	{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	*Das heißt:  ${a}_{\rm K}(f)$  und  ${b}_{\rm K}(f)$  eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.		*Das heißt:  ${a}_{\rm K}(f)$  und  ${b}_{\rm K}(f)$  eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.

Zeile 160:		Zeile 130:
	*Ein System mit vierfacher Bitrate  $R/2 = 280 \ \rm Mbit/s$  und halber Länge  $(l = 1 \ \rm km)$  führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung.		*Ein System mit vierfacher Bitrate  $R/2 = 280 \ \rm Mbit/s$  und halber Länge  $(l = 1 \ \rm km)$  führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung.
	*Dagegen gilt für ein System mit  $R/2 = 35 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 2 \ \rm km$:		*Dagegen gilt für ein System mit  $R/2 = 35 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 2 \ \rm km$:
	:$${a}_\star = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{\rm 35\,MHz}		:$${a}_\star = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{\rm 35\,MHz}\cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
	\cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB}
	\hspace{0.05cm}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 12. November 2021 um 15:28 Uhr

2021-11-12T15:28:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. November 2021, 17:28 Uhr
Zeile 103:		Zeile 103:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
	*Der  $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung.		*Der  $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung.
	*Der  $\beta_1$–Term (lineare Phase) führt zu einer frequenzunabhängigen Laufzeit.		*Der  $\beta_1$–Term (lineare Phase) führt zu einer frequenzunabhängigen Laufzeit.
	*Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei.		*Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei.




Zeile 119:		Zeile 117:
	:$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}}		:$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$




Zeile 128:		Zeile 124:
	= \big[0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} $$		= \big[0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} $$
	:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) = \big[0.003 + 0.061 + 4.555 \hspace{0.05cm}\big]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) = \big[0.003 + 0.061 + 4.555 \hspace{0.05cm}\big]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$




	'''(4)'''  Entsprechend der Berechnung in der Teilaufgabe  '''(3)'''  erhält man hier den Dämpfungswert  ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=4.555 \ \rm Np}$.		'''(4)'''  Entsprechend der Berechnung in der Teilaufgabe  '''(3)'''  erhält man hier den Dämpfungswert  ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=4.555 \ \rm Np}$.




Zeile 145:		Zeile 137:


			'''(6)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>.  Begründung:
	'''(6)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>. Begründung:
	*Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit  $\alpha_2$  gilt für den Frequenzgang:		*Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit  $\alpha_2$  gilt für den Frequenzgang:
	:$$H_{\rm K}(f) =		:$$H_{\rm K}(f) =
Zeile 154:		Zeile 145:
	{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot		{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
	\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$		\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
	*Verzichtet man auf den  $\beta_1$–Phasenterm, so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts.  Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert  $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/(2\pi)$  kleiner.		*Verzichtet man auf den  $\beta_1$–Phasenterm,  so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts.  Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden  (beide gleich)  um den Wert  $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/(2\pi)$  kleiner.

	*Verzichtet man auf den  $\beta_2$–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:		*Verzichtet man auf den  $\beta_2$–Term,  so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
	::'''(a)''' Der Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen müsste  $H_{\rm K}(f)$  minimalphasig sein.		::'''(a)''' Der Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems;  bei einem solchen müsste  $H_{\rm K}(f)$  minimalphasig sein.
	::'''(b)''' Die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch  um $t = 0$, was nicht den Gegebenheiten entspricht.		::'''(b)''' Die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch  um $t = 0$,  was nicht den Gegebenheiten entspricht.
	*Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:		*Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
	:$${a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot		:$${a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot

Guenter am 12. November 2021 um 15:21 Uhr

2021-11-12T15:21:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. November 2021, 17:21 Uhr
Zeile 53:		Zeile 53:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln\|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln\|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].

	*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet  [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln\|Dämpfung von Kupferkabeln]]  benutzen.		*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive  "HTML 5/JS"–Applet  [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln\|Dämpfung von Kupferkabeln]]  benutzen.

Guenter am 12. November 2021 um 15:17 Uhr

2021-11-12T15:17:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. November 2021, 17:17 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot		{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
	\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$		\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
	Die Dämpfungsparameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$ sind in &bdquo;Neper pro Kilometer” (Np/km) einzusetzen und die Phasenparameter  $\beta_1$ und  $\beta_2$ in &bdquo;Radian pro Kilometer” (rad/km). Es gelten folgende Zahlenwerte:		Die Dämpfungsparameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$ sind in &bdquo;Neper pro Kilometer”  (Np/km)  einzusetzen und die Phasenparameter  $\beta_1$ und  $\beta_2$ in &bdquo;Radian pro Kilometer”  (rad/km).  Es gelten folgende Zahlenwerte:
	:$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},$$		:$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},$$
	:$$\alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm} {\rm Np}/{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},$$		:$$\alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm} {\rm Np}/{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},$$
	:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$

	~~Häufig verwendet man zur~~ systemtheoretischen Beschreibung eines ~~linearen zeitinvarianten Systems~~		Zur systemtheoretischen Beschreibung eines Koaxialkabels verwendet man

	* die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB):		* die Dämpfungsfunktion  (in Np bzw. dB):
	:$${ a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}\|H_{\rm K}(f)\|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}\|H_{\rm K}(f)\|		:$${ a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}\|H_{\rm K}(f)\|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}\|H_{\rm K}(f)\|
	\hspace{0.05cm},$$		\hspace{0.05cm},$$

	* die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad):		* die Phasenfunktion  (in rad bzw. Grad):
	:$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)		:$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 41:		Zeile 41:
	\sqrt{f}, \hspace{0.8cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot		\sqrt{f}, \hspace{0.8cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
	{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$		{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	Dies ist erlaubt, da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden.		Dies ist erlaubt,  da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden.

	Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)		Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
Zeile 50:		Zeile 50:


			Hinweise:



	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln\|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln\|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].

Zeile 73:		Zeile 69:


	{Welche Länge  $l_{\rm max}$  könnte ein solches Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als  $1\%$  gedämpft wird?		{Welche Länge  $l_{\rm max}$  könnte ein solches Kabel besitzen,  damit ein Gleichsignal um nicht mehr als  $1\%$  gedämpft wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$l_\text{max} \ = \ $ { 6.173 3% } $\ \rm km$		$l_\text{max} \ = \ $ { 6.173 3% } $\ \rm km$


	{Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz  $f = 70 \ \rm MHz$, wenn die Kabellänge  $\underline{l = 2 \ \rm km}$  beträgt?		{Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz  $f = 70 \ \rm MHz$,  wenn die Kabellänge  $\underline{l = 2 \ \rm km}$  beträgt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.619 3% } $\ \rm Np$		$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.619 3% } $\ \rm Np$


	{Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Voraussetzungen, wenn man nur den  $\alpha_2$–Term berücksichtigt?		{Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Voraussetzungen,  wenn man nur den  $\alpha_2$–Term berücksichtigt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.555 3% } $\ \rm Np$		$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.555 3% } $\ \rm Np$


	{Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen  $\rm Np$ und  $\rm dB$?  Welcher  $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter  '''(4)'''  berechnete Dämpfung?		{Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen  $\rm Np$  und  $\rm dB$?  Welcher  $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter  '''(4)'''  berechnete Dämpfung?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 39.56 3% } $\ \rm dB$		$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 39.56 3% } $\ \rm dB$

Guenter am 6. November 2019 um 16:55 Uhr

2019-11-06T16:55:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2019, 18:55 Uhr
Zeile 108:		Zeile 108:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
	*Der $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung.		*Der  $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung.
	*Der $\beta_1$–Term (lineare Phase) führt zu einer frequenzunabhängigen Laufzeit.		*Der  $\beta_1$–Term (lineare Phase) führt zu einer frequenzunabhängigen Laufzeit.
	*Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei.		*Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei.



	'''(2)'''  Mit ${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l$ muss die folgende Gleichung erfüllt sein:
			'''(2)'''  Mit  ${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l$  muss die folgende Gleichung erfüllt sein:
	:$${\rm e}^{- {\rm a}_0 } \ge 0.99		:$${\rm e}^{- {\rm a}_0 } \ge 0.99
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln}		\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln}
	\hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)}		\hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Damit erhält man für die maximale Kabellänge:		*Damit erhält man für die maximale Kabellänge:
	:$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}}		:$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$



Zeile 133:		Zeile 135:


	'''(4)'''  Entsprechend der Berechnung in der Teilaufgabe '''(3)''' erhält man hier den Dämpfungswert ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=4.555 \ \rm Np}$.
			'''(4)'''  Entsprechend der Berechnung in der Teilaufgabe  '''(3)'''  erhält man hier den Dämpfungswert  ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=4.555 \ \rm Np}$.



Zeile 142:		Zeile 146:
	(20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm		(20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm
	Np}\hspace{0.05cm}.$$		Np}\hspace{0.05cm}.$$
	Der Dämpfungswert $4.555 \ {\rm Np}$ ist somit identisch mit ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=39.56 \ \rm dB}$.		Der Dämpfungswert  $4.555 \ {\rm Np}$  ist somit identisch mit  ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=39.56 \ \rm dB}$.



	'''(6)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>. Begründung:		'''(6)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>. Begründung:
	*Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit $\alpha_2$ gilt für den Frequenzgang:		*Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit  $\alpha_2$  gilt für den Frequenzgang:
	:$$H_{\rm K}(f) =		:$$H_{\rm K}(f) =
	{\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot		{\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
Zeile 154:		Zeile 158:
	{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot		{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
	\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$		\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
	*Verzichtet man auf den $\beta_1$–Phasenterm, so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/(2\pi)$ kleiner.		*Verzichtet man auf den  $\beta_1$–Phasenterm, so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts.  Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert  $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/(2\pi)$  kleiner.

	*Verzichtet man auf den $\beta_2$–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:		*Verzichtet man auf den  $\beta_2$–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
	::'''(a)''' Der Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen müsste $H_{\rm K}(f)$ minimalphasig sein.		::'''(a)''' Der Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen müsste  $H_{\rm K}(f)$  minimalphasig sein.
	::'''(b)''' Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um $t = 0$, was nicht den Gegebenheiten entspricht.		::'''(b)''' Die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch  um $t = 0$, was nicht den Gegebenheiten entspricht.
	*Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:		*Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
	:$${a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot		:$${a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot
	\sqrt{f}, ~~\hspace{0.2cm}~~b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot		\sqrt{f},$$
			:$$ b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
	{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$		{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	*Das heißt: ${a}_{\rm K}(f)$ und ${b}_{\rm K}(f)$ eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.		*Das heißt:  ${a}_{\rm K}(f)$  und  ${b}_{\rm K}(f)$  eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.

	*Bei einem Digitalsystem mit der Bitrate $R = 140 \ \rm Mbit/s$   ⇒   $R/2 = 70 \ \rm Mbit/s$ und der Kabellänge $l = 2 \ \rm km$ gilt tatsächlich $a_\star \approx 40 \ \rm dB$ (siehe Musterlösung zur letzten Teilaufgabe).		*Bei einem Digitalsystem mit der Bitrate  $R = 140 \ \rm Mbit/s$   ⇒   $R/2 = 70 \ \rm Mbit/s$  und der Kabellänge  $l = 2 \ \rm km$  gilt tatsächlich  $a_\star \approx 40 \ \rm dB$  (siehe Musterlösung zur letzten Teilaufgabe).
	*Ein System mit vierfacher Bitrate$R/2 = 280 \ \rm Mbit/s$ und halber Länge ($l = 1 \ \rm km$) führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung.		*Ein System mit vierfacher Bitrate  $R/2 = 280 \ \rm Mbit/s$  und halber Länge  $(l = 1 \ \rm km)$  führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung.
	*Dagegen gilt für ein System mit $R/2 = 35 \ \rm Mbit/s$ und $l = 2 \ \rm km$:		*Dagegen gilt für ein System mit  $R/2 = 35 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 2 \ \rm km$:
	:$${a}_\star = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{\rm 35\,MHz}		:$${a}_\star = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{\rm 35\,MHz}
	\cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB}		\cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB}

Guenter am 6. November 2019 um 16:45 Uhr

2019-11-06T16:45:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2019, 18:45 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	[[Datei:LZI_A_4_4_vers3.png\|right\|frame\|Verschiedene Koaxialkabel]]		[[Datei:LZI_A_4_4_vers3.png\|right\|frame\|Verschiedene Koaxialkabel]]
	Ein so genanntes Normalkoaxialkabel der Länge  $l$  mit		Ein so genanntes Normalkoaxialkabel der Länge  $l$  mit
	*dem Kerndurchmesser 2.6 mm,		*dem Kerndurchmesser  $\text{2.6 mm}$,  und
	*dem Außendurchmesser 9.5 mm~~, und~~		*dem Außendurchmesser  $\text{9.5 mm}$


Zeile 41:		Zeile 41:
	\sqrt{f}, \hspace{0.8cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot		\sqrt{f}, \hspace{0.8cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
	{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$		{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	Dies ist erlaubt, da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden. Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)		Dies ist erlaubt, da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden.

			Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
	:$${a}_{\rm \star(Np)} = {a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = 0.1151 \cdot {a}_{\rm \star(dB)}$$		:$${a}_{\rm \star(Np)} = {a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = 0.1151 \cdot {a}_{\rm \star(dB)}$$
	lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate  $R$  und Kabellänge  $l$  einheitlich behandeln.		lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate  $R$  und Kabellänge  $l$  einheitlich behandeln.




Zeile 84:		Zeile 88:


	{Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen  $\rm Np$ und  $\rm dB$? Welcher  $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter '''(4)''' berechnete Dämpfung?		{Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen  $\rm Np$ und  $\rm dB$?  Welcher  $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter  '''(4)'''  berechnete Dämpfung?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 39.56 3% } $\ \rm dB$		$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 39.56 3% } $\ \rm dB$

Guenter am 29. November 2018 um 06:48 Uhr

2018-11-29T06:48:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. November 2018, 08:48 Uhr
Zeile 107:		Zeile 107:
	*Der $\beta_1$–Term (lineare Phase) führt zu einer frequenzunabhängigen Laufzeit.		*Der $\beta_1$–Term (lineare Phase) führt zu einer frequenzunabhängigen Laufzeit.
	*Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei.		*Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei.



Zeile 117:		Zeile 118:
	:$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}}		:$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$



Zeile 122:		Zeile 124:
	:$${a}_{\rm K}(f) = [\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot		:$${a}_{\rm K}(f) = [\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot
	\sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l		\sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l
	= [0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} $$		= \big[0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} $$
	:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) = [0.003 + 0.061 + 4.555 \hspace{0.05cm}]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) = \big[0.003 + 0.061 + 4.555 \hspace{0.05cm}\big]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Entsprechend der Berechnung in der Teilaufgabe (3) erhält man hier den Dämpfungswert ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=4.555 \ \rm Np}$.
			'''(4)'''  Entsprechend der Berechnung in der Teilaufgabe '''(3)''' erhält man hier den Dämpfungswert ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=4.555 \ \rm Np}$.



Zeile 135:		Zeile 139:
	Np}\hspace{0.05cm}.$$		Np}\hspace{0.05cm}.$$
	Der Dämpfungswert $4.555 \ {\rm Np}$ ist somit identisch mit ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=39.56 \ \rm dB}$.		Der Dämpfungswert $4.555 \ {\rm Np}$ ist somit identisch mit ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=39.56 \ \rm dB}$.



Zeile 148:		Zeile 153:

	*Verzichtet man auf den $\beta_2$–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:		*Verzichtet man auf den $\beta_2$–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
	::(a) Der Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen müsste $H_{\rm K}(f)$ minimalphasig sein.		::'''(a)''' Der Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen müsste $H_{\rm K}(f)$ minimalphasig sein.
	::(b) Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um $t = 0$, was nicht den Gegebenheiten entspricht.		::'''(b)''' Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um $t = 0$, was nicht den Gegebenheiten entspricht.
	*Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:		*Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
	:$${a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot		:$${a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot

Guenter am 29. November 2018 um 06:42 Uhr

2018-11-29T06:42:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. November 2018, 08:42 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:LZI_A_4_4_vers3.png\|right\|frame\|Verschiedene Koaxialkabel]]		[[Datei:LZI_A_4_4_vers3.png\|right\|frame\|Verschiedene Koaxialkabel]]
	Ein so genanntes Normalkoaxialkabel der Länge $l$ mit		Ein so genanntes Normalkoaxialkabel der Länge  $l$  mit
	*dem Kerndurchmesser 2.6 mm,		*dem Kerndurchmesser 2.6 mm,
	*dem Außendurchmesser 9.5 mm, und		*dem Außendurchmesser 9.5 mm, und
Zeile 17:		Zeile 17:
	{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot		{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
	\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$		\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
	Die Dämpfungsparameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind in &bdquo;Neper pro Kilometer” (Np/km) einzusetzen und die Phasenparameter $\beta_1$ und $\beta_2$ in &bdquo;Radian pro Kilometer” (rad/km). Es gelten folgende Zahlenwerte:		Die Dämpfungsparameter  $\alpha_0$,  $\alpha_1$ und  $\alpha_2$ sind in &bdquo;Neper pro Kilometer” (Np/km) einzusetzen und die Phasenparameter  $\beta_1$ und  $\beta_2$ in &bdquo;Radian pro Kilometer” (rad/km). Es gelten folgende Zahlenwerte:
	:$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},~~\hspace{0.2cm}~~		:$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},$$
	\alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm} {\rm Np}/{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},		:$$\alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm} {\rm Np}/{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},$$
	~~\hspace{0.2cm}~~		:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
	\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$

	Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines linearen zeitinvarianten Systems		Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines linearen zeitinvarianten Systems
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	\sqrt{f}} \cdot		\sqrt{f}} \cdot
	{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot		{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot
	\sqrt{f}}~~\hspace{0.3cm}~~\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot		\sqrt{f}}$$
	\sqrt{f}, \hspace{0.~~2cm~~}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot
			\sqrt{f}, \hspace{0.8cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot
	{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$		{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	Dies ist erlaubt, da $\alpha_2$ und $\beta_2$ genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden. Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)		Dies ist erlaubt, da  $\alpha_2$  und  $\beta_2$  genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden. Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
	:$${a}_{\rm \star(Np)} = {a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = 0.1151 \cdot {a}_{\rm \star(dB)}$$		:$${a}_{\rm \star(Np)} = {a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = 0.1151 \cdot {a}_{\rm \star(dB)}$$
	lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate $R$ und Kabellänge $l$ einheitlich behandeln.		lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate  $R$  und Kabellänge  $l$  einheitlich behandeln.


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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln\|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln\|Eigenschaften von Koaxialkabeln]].

	*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln\|Dämpfung von Kupferkabeln]] benutzen.		*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet  [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln\|Dämpfung von Kupferkabeln]]  benutzen.


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche Terme von $H_{\rm K}(f)$ führen zu keinen Verzerrungen? Der		{Welche Terme von  $H_{\rm K}(f)$  führen zu keinen Verzerrungen? Der
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $\alpha_0$–Term,		+ $\alpha_0$–Term,
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	{Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein solches Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als $1\%$ gedämpft wird?		{Welche Länge  $l_{\rm max}$  könnte ein solches Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als  $1\%$  gedämpft wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$l_\text{max} \ = \ $ { 6.173 3% } $\ \rm km$		$l_\text{max} \ = \ $ { 6.173 3% } $\ \rm km$


	{Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz $f = 70 \ \rm MHz$, wenn die Kabellänge $\underline{l = 2 \ \rm km}$ beträgt?		{Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz  $f = 70 \ \rm MHz$, wenn die Kabellänge  $\underline{l = 2 \ \rm km}$  beträgt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.619 3% } $\ \rm Np$		$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.619 3% } $\ \rm Np$


	{Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Voraussetzungen, wenn man nur den $\alpha_2$–Term berücksichtigt?		{Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Voraussetzungen, wenn man nur den  $\alpha_2$–Term berücksichtigt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.555 3% } $\ \rm Np$		$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.555 3% } $\ \rm Np$


	{Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen $\rm Np$ und $\rm dB$? Welcher $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter (d) berechnete Dämpfung?		{Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen  $\rm Np$ und  $\rm dB$? Welcher  $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter '''(4)''' berechnete Dämpfung?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 39.56 3% } $\ \rm dB$		$a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 39.56 3% } $\ \rm dB$


	{Welche ~~der~~ Aussagen sind ~~unter der Voraussetzung~~ zutreffend, ~~dass~~ man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den $\alpha_2$–Wert beschränkt?		{Welche Aussagen sind zutreffend, wenn man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den  $\alpha_2$–Wert beschränkt?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Man kann auch auf den Phasenterm mit $\beta_1$ verzichten.		+ Man kann auch auf den Phasenterm mit  $\beta_1$  verzichten.
	- Man kann auch auf den Phasenterm mit $\beta_2$ verzichten.		- Man kann auch auf den Phasenterm mit  $\beta_2$  verzichten.
	- $a_\star \approx 40 \ \rm dB$ gilt für ein System mit $R = 70 \ \rm Mbit/s$ und $l = 2 \ \rm km$.		- $a_\star \approx 40 \ \rm dB$  gilt für ein System mit  $R = 70 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 2 \ \rm km$.
	+ $a_\star \approx 40 \ \rm dB$ gilt für ein System mit $R = 140 \ \rm Mbit/s$ und $l = 2 \ \rm km$.		+ $a_\star \approx 40 \ \rm dB$  gilt für ein System mit  $R = 140 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 2 \ \rm km$.
	+ $a_\star \approx 40 \ \rm dB$ gilt für ein System mit $R = 560 \ \rm Mbit/s$ und $l = 1 \ \rm km$.		+ $a_\star \approx 40 \ \rm dB$  gilt für ein System mit  $R = 560 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 1 \ \rm km$.