Aufgaben:Aufgabe 4.4: Gaußsche 2D-WDF - Versionsgeschichte

Guenter am 23. Februar 2022 um 16:42 Uhr

2022-02-23T16:42:27Z

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Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:41:15Z

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Guenter am 20. März 2017 um 13:00 Uhr

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 :$$f_{uv}(u,v) = \frac{\rm 1}{{\rm 2}\it\pi \cdot \sigma_u \cdot \sigma_v \cdot \sqrt{{\rm 1}-\it \rho_{\it uv}^{\rm 2}}} \cdot \rm exp\left[\frac{\rm 1}{2\cdot (\rm 1-\it \rho_{uv}^{\rm 2}{\rm )}}(\frac{\it u^{\rm 2}}{\it\sigma_u^{\rm 2}} + \frac{\it v^{\rm 2}}{\it\sigma_v^{\rm 2}} - \rm 2\it\rho_{uv}\frac{\it u\cdot \it v}{\sigma_u\cdot \sigma_v}\rm )\right],$$
-:so erkennt man, dass im Exponenten kein Term mit&nbsp; $u \cdot v$&nbsp; auftritt, was nur bei&nbsp; $\rho_{uv} = 0$&nbsp; m&ouml;glich ist.
+:so erkennt man,&nbsp; dass im Exponenten kein Term mit&nbsp; $u \cdot v$&nbsp; auftritt,&nbsp; was nur bei&nbsp; $\rho_{uv} = 0$&nbsp; m&ouml;glich ist.
-*Dies bedeutet aber, dass&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; unkorreliert sind.
+*Dies bedeutet aber,&nbsp; dass&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; unkorreliert sind.
 *Bei Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;en folgt aus der Unkorreliertheit aber auch stets die statistische Unabh&auml;ngigkeit.
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 '''(2)'''&nbsp; Bei statistischer Unabh&auml;ngigkeit gilt:
-:$$f_{uv}(u, v) = f_u(u)\cdot f_v(v), \hspace{0.5cm}
+:$$f_{uv}(u, v) = f_u(u)\cdot f_v(v) $$
-f_u(u)=\frac{{\rm e}^{-{\it u^{\rm 2}}/{(2\sigma_u^{\rm 2})}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_u} , \hspace{0.5cm} \it f_v{\rm (}v{\rm )}=\frac{{\rm e}^{-{\it v^{\rm 2}}/{{\rm (}{\rm 2}\sigma_v^{\rm 2}{\rm )}}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_v}.$$
+:$$f_u(u)=\frac{{\rm e}^{-{\it u^{\rm 2}}/{(2\sigma_u^{\rm 2})}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_u} , $$
 *Durch Koeffizientenvergleich erh&auml;lt man&nbsp; $\sigma_u = 0.5$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_v = 1$.
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 '''(3)'''&nbsp; Da&nbsp; $u$&nbsp; eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, gilt:
 :$$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm Pr(\it u \le \rm 1) =\it F_u\rm (1). $$
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+[[Datei:P_ID265__Sto_A_4_4_d.png|right|frame|Wahrscheinlichkeit: &nbsp; $\rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big]$]]
 '''(4)'''&nbsp; Aufgrund der statistischen Unabh&auml;ngigkeit zwischen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; gilt:
 :$$\rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big] = \rm Pr(\it u < \rm 1)\cdot \rm Pr(\it v > \rm 1).$$
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 Die Skizze verdeutlicht die vorgegebene Konstellation:
-*Die H&ouml;henlinien der WDF (blau) sind wegen&nbsp; $\sigma_v > \sigma_u$&nbsp; in vertikaler Richtung gestreckte Ellipsen.
+*Die H&ouml;henlinien der WDF&nbsp; (blau)&nbsp; sind wegen&nbsp; $\sigma_v > \sigma_u$&nbsp; in vertikaler Richtung gestreckte Ellipsen.
-*Rot schraffiert eingezeichnet ist das Gebiet, dessen Wahrscheinlichkeit in dieser Teilaufgabe berechnet werden sollte.
+*Rot schraffiert eingezeichnet ist das Gebiet,&nbsp; dessen Wahrscheinlichkeit in dieser Teilaufgabe berechnet werden sollte.
 [[Datei:P_ID266__Sto_A_4_4_e.png|right|frame|2D-Diracwand auf der Korrelationsgeraden]]
-'''(5)'''&nbsp; Richtig sind <u>der erste und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>der erste und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
 *Wegen&nbsp; $\rho_{xy} = 1$&nbsp; besteht ein deterministischer Zusammenhang zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$
-:&#8658; &nbsp; Alle Werte liegen auf der Geraden&nbsp; $y =K(x) \cdot x$.
+:&#8658; &nbsp; Alle Werte liegen auf der Geraden&nbsp; $y =K \cdot x$.
 *Aufgrund der Streuungen&nbsp; $\sigma_x = 0.5$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y = 1$&nbsp; gilt&nbsp; $K = 2$.
 *Auf dieser Geraden&nbsp; $y = 2x$&nbsp; sind alle WDF-Werte unendlich gro&szlig;.
 *Das bedeutet: &nbsp; Die 2D-WDF ist hier eine &bdquo;Diracwand&rdquo;.
-*Wie aus der Skizze hervorgeht, sind die WDF&ndash;Werte auf der Geraden&nbsp; $y = 2x$&nbsp; gau&szlig;verteilt.
+*Wie aus der Skizze hervorgeht,&nbsp; sind die WDF&ndash;Werte auf der Geraden&nbsp; $y = 2x$&nbsp; gau&szlig;verteilt.
 *Die Gerade&nbsp; $y = 2x$&nbsp; stellt gleichzeitig die Korrelationsgerade dar.
-*Auch die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten sind Gau&szlig;funktionen, jeweils mit Mittelwert Null.
+*Auch die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten sind Gau&szlig;funktionen,&nbsp; jeweils mit Mittelwert Null.
 *Wegen&nbsp; $\sigma_x = \sigma_u$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y = \sigma_v$&nbsp; gilt auch:
 :$$f_x(x) = f_u(u),  \hspace{0.5cm}f_y(y) = f_v(v).$$
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 [[Datei:P_ID274__Sto_A_4_4_g.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsberechnung für die Diracwand]]
-'''(6)'''&nbsp; Da die WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; identisch mit der WDF&nbsp; $f_u(u)$ ist, ergibt sich auch genau die gleiche Wahrscheinlichkeit wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnet:
+'''(6)'''&nbsp; Da die WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; identisch mit der WDF&nbsp; $f_u(u)$ ist,&nbsp; ergibt sich auch genau die gleiche Wahrscheinlichkeit wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnet:
 :$$\rm Pr(\it x < \rm 1) \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.9772}.$$
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 '''(7)'''&nbsp; Das Zufallsereignis&nbsp; $y > 1$&nbsp; ist identisch mit dem Ereignis&nbsp; $x > 0.5$.&nbsp;
 *Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich
-:$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \it F_x \rm( 1) - \it F_x\rm (0.5).  $$
+:$${\rm Pr}\big[(x < 1) ∩ (y > 1)\big] = \rm Pr \big[(\it x < \rm 1)  \cap (\it x > \rm 0.5)\big] = \it F_x \rm( 1) - \it F_x\rm (0.5).  $$
 *Mit der Streuung&nbsp; $\sigma_x = 0.5$&nbsp; folgt weiter:
-:$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \rm \phi(\rm 2) - \phi(1)=\rm 0.9772- \rm 0.8413\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.1359}.$$
+:$$ \rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \rm \phi(\rm 2) - \phi(1)=\rm 0.9772- \rm 0.8413\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.1359}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID261__Sto_A_4_4_neu.png|right|frame|Tabelle: Gaußsche Fehlerfunktionen]]
-Wir betrachten zweidimensionale Zufallsgr&ouml;&szlig;en, wobei beide Komponenten stets als mittelwertfrei vorausgesetzt werden.
+Wir betrachten zweidimensionale Zufallsgr&ouml;&szlig;en,&nbsp; wobei beide Komponenten stets als mittelwertfrei vorausgesetzt werden.
-*Die 2D-WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(u, v)$&nbsp; lautet:
+*Die 2D-WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(u,\ v)$&nbsp; lautet:
 :$$f_{uv}(u, v)={1}/{\pi} \cdot {\rm e}^{-(2u^{\rm 2} \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}v^{\rm 2}\hspace{-0.05cm}/\rm 2)}.$$
-*Von der ebenfalls Gau&szlig;schen 2D-Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x, y)$&nbsp; sind die folgenden Parameter bekannt:
+*Von der ebenfalls Gau&szlig;schen 2D-Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x,\ y)$&nbsp; sind die folgenden Parameter bekannt:
 :$$\sigma_x= 0.5, \hspace{0.5cm}\sigma_y = 1,\hspace{0.5cm}\rho_{xy} = 1. $$
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
 *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]
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 <quiz display=simple>
-{Welche der Aussagen gelten hinsichtlich der 2D-Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(u, v)$&nbsp;?
+{Welche der Aussagen gelten hinsichtlich der 2D-Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(u,\ v)$&nbsp;?
 |type="[]"}
 + Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; sind unkorreliert.
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-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $u$&nbsp; kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; ist.
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $u$&nbsp; kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(u < 1)\ =  \ $ { 0.9772 3% }
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $u$&nbsp; kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; und gleichzeitig die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $v$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $1$&nbsp; ist.
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $u$&nbsp; kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; und gleichzeitig die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $v$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $1$&nbsp; ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[(u < 1) ∩ (υ > 1)\big]\ =  \ $ { 0.1551 3% }
-{Welche der Aussagen sind f&uuml;r die 2D&ndash;Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x, y)$&nbsp; zutreffend?
+{Welche der Aussagen sind f&uuml;r die 2D&ndash;Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x,\ y)$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Die 2D-WDF $f_{xy}(x, y)$&nbsp; ist au&szlig;erhalb der Geraden&nbsp; $y = 2x$&nbsp; stets Null.
++ Die 2D-WDF $f_{xy}(x,\ y)$&nbsp; ist au&szlig;erhalb der Geraden&nbsp; $y = 2x$&nbsp; stets Null.
-- F&uuml;r alle Wertepaare auf der Geraden&nbsp; $y = 2x$&nbsp; gilt $f_{xy}(x, y)= 0.5$.
+- F&uuml;r alle Wertepaare auf der Geraden&nbsp; $y = 2x$&nbsp; gilt&nbsp; $f_{xy}(x,\ y)= 0.5$.
-+ Bez&uuml;glich der Rand-WDF gilt $f_{x}(x) = f_{u}(u)$&nbsp; sowie $f_{y}(y) = f_{v}(v)$.
++ Bez&uuml;glich der Rand-WDF gilt $f_{x}(x) = f_{u}(u)$&nbsp; sowie&nbsp; $f_{y}(y) = f_{v}(v)$.
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; ist.
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $x$&nbsp; kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x < 1)\ =  \ $ { 0.9772 3% }
-{Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; und gleichzeitig die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $1$&nbsp; ist.
+{Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; und gleichzeitig die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $1$&nbsp; ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[(x < 1) ∩ (y > 1)\big]\ = \ $  { 0.1359 3% }

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 :$$f_{uv}(u,v) = \frac{\rm 1}{{\rm 2}\it\pi \cdot \sigma_u \cdot \sigma_v \cdot \sqrt{{\rm 1}-\it \rho_{\it uv}^{\rm 2}}} \cdot \rm exp\left[\frac{\rm 1}{2\cdot (\rm 1-\it \rho_{uv}^{\rm 2}{\rm )}}(\frac{\it u^{\rm 2}}{\it\sigma_u^{\rm 2}} + \frac{\it v^{\rm 2}}{\it\sigma_v^{\rm 2}} - \rm 2\it\rho_{uv}\frac{\it u\cdot \it v}{\sigma_u\cdot \sigma_v}\rm )\right],$$
-:so erkennt man, dass im Exponenten kein Term mit $u \cdot v$ auftritt, was nur bei $\rho_{uv} = 0$ m&ouml;glich ist.
+:so erkennt man, dass im Exponenten kein Term mit&nbsp; $u \cdot v$&nbsp; auftritt, was nur bei&nbsp; $\rho_{uv} = 0$&nbsp; m&ouml;glich ist.
-*Dies bedeutet aber, dass $u$ und $v$ unkorreliert sind.
+*Dies bedeutet aber, dass&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; unkorreliert sind.
 *Bei Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;en folgt aus der Unkorreliertheit aber auch stets die statistische Unabh&auml;ngigkeit.
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 '''(2)'''&nbsp; Bei statistischer Unabh&auml;ngigkeit gilt:
 :$$f_{uv}(u, v) = f_u(u)\cdot f_v(v), \hspace{0.5cm}
-f_u(u)=\frac{{\rm e}^{-{\it u^{\rm 2}}/{(2\sigma_u^{\rm 2})}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_u} , \hspace{0.5cm} \it f_v(v)=\frac{{\rm e}^{-{\it v^{\rm 2}}/{({\rm 2}\sigma_v^{\rm 2})}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_v}.$$
+f_u(u)=\frac{{\rm e}^{-{\it u^{\rm 2}}/{(2\sigma_u^{\rm 2})}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_u} , \hspace{0.5cm} \it f_v{\rm (}v{\rm )}=\frac{{\rm e}^{-{\it v^{\rm 2}}/{{\rm (}{\rm 2}\sigma_v^{\rm 2}{\rm )}}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_v}.$$
-Durch Koeffizientenvergleich erh&auml;lt man $\sigma_u = 0.5$ und $\sigma_v = 1$. Der Quotient ist somit $\sigma_u/\sigma_v\hspace{0.15cm}\underline{=0.5}$.
+*Durch Koeffizientenvergleich erh&auml;lt man&nbsp; $\sigma_u = 0.5$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_v = 1$.
 [[Datei:P_ID265__Sto_A_4_4_d.png|right|frame|Wahrscheinlichkeit: $\rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big]$]]
-'''(3)'''&nbsp; Da $u$ eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, gilt:
+[[Datei:P_ID265__Sto_A_4_4_d.png|right|frame|Wahrscheinlichkeit: &nbsp; $\rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big]$]]
 :$$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm Pr(\it u \le \rm 1) =\it F_u\rm (1). $$
-Mit dem  Mittelwert $m_u = 0$ und der  Streuung $\sigma_u = 0.5$ erhält man:
+*Mit dem  Mittelwert&nbsp; $m_u = 0$&nbsp; und der  Streuung&nbsp; $\sigma_u = 0.5$&nbsp; erhält man:
 :$$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm \phi({\rm 1}/{\it\sigma_u})= \rm \phi(\rm 2) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.9772}. $$
 '''(4)'''&nbsp; Aufgrund der statistischen Unabh&auml;ngigkeit zwischen $u$ und $v$ gilt:
 :$$\rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big] = \rm Pr(\it u < \rm 1)\cdot \rm Pr(\it v > \rm 1).$$
-*Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(u < 1) =0.9772$ wurde bereits  berechnet.
+*Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(u < 1) =0.9772$&nbsp; wurde bereits  berechnet.
-*F&uuml;r die zweite Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(v > 1)$ gilt aus Symmetriegr&uuml;nden:
+*F&uuml;r die zweite Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(v > 1)$&nbsp; gilt aus Symmetriegr&uuml;nden:
 :$$\rm Pr(\it v > \rm 1) = \rm Pr(\it v \le \rm (-1) = \it F_v\rm (-1) = \rm \phi(\frac{\rm -1}{\it\sigma_v}) = \rm Q(1) =0.1587$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big] = \rm 0.9772\cdot \rm 0.1587 \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.1551}.$$
 Die Skizze verdeutlicht die vorgegebene Konstellation:
-*Die H&ouml;henlinien der WDF (blau) sind wegen $\sigma_v > \sigma_u$ in vertikaler Richtung gestreckte Ellipsen.
+*Die H&ouml;henlinien der WDF (blau) sind wegen&nbsp; $\sigma_v > \sigma_u$&nbsp; in vertikaler Richtung gestreckte Ellipsen.
 *Rot schraffiert eingezeichnet ist das Gebiet, dessen Wahrscheinlichkeit in dieser Teilaufgabe berechnet werden sollte.
 [[Datei:P_ID266__Sto_A_4_4_e.png|right|frame|2D-Diracwand auf der Korrelationsgeraden]]
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind <u>der erste und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
-*Wegen $\rho_{xy} = 1$ besteht ein deterministischer Zusammenhang zwischen $x$ und $y$
+*Wegen&nbsp; $\rho_{xy} = 1$&nbsp; besteht ein deterministischer Zusammenhang zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$
-:&#8658; &nbsp; Alle Werte liegen auf der Geraden $y =K(x) \cdot x$.
+:&#8658; &nbsp; Alle Werte liegen auf der Geraden&nbsp; $y =K(x) \cdot x$.
-*Aufgrund der Streuungen $\sigma_x = 0.5$ und $\sigma_y = 1$ gilt $K = 2$.
+*Aufgrund der Streuungen&nbsp; $\sigma_x = 0.5$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y = 1$&nbsp; gilt&nbsp; $K = 2$.
-*Auf dieser Geraden $y = 2x$ sind alle WDF-Werte unendlich gro&szlig;.
+*Auf dieser Geraden&nbsp; $y = 2x$&nbsp; sind alle WDF-Werte unendlich gro&szlig;.
 *Das bedeutet: &nbsp; Die 2D-WDF ist hier eine &bdquo;Diracwand&rdquo;.
-*Wie aus der Skizze hervorgeht, sind die WDF&ndash;Werte auf der Geraden $y = 2x$ gau&szlig;verteilt.
+*Wie aus der Skizze hervorgeht, sind die WDF&ndash;Werte auf der Geraden&nbsp; $y = 2x$&nbsp; gau&szlig;verteilt.
-*Die Gerade $y = 2x$ stellt gleichzeitig die Korrelationsgerade dar.
+*Die Gerade&nbsp; $y = 2x$&nbsp; stellt gleichzeitig die Korrelationsgerade dar.
-*Auch die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten sind Gau&szlig;funktionen, jeweils mit Mittelwert $0$.
+*Auch die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten sind Gau&szlig;funktionen, jeweils mit Mittelwert Null.
-*Wegen $\sigma_x = \sigma_u$ und $\sigma_y = \sigma_v$ gilt auch:
+*Wegen&nbsp; $\sigma_x = \sigma_u$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y = \sigma_v$&nbsp; gilt auch:
 :$$f_x(x) = f_u(u),  \hspace{0.5cm}f_y(y) = f_v(v).$$
 [[Datei:P_ID274__Sto_A_4_4_g.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsberechnung für die Diracwand]]
-'''(6)'''&nbsp; Da die WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ identisch mit der WDF $f_u(u)$ ist, ergibt sich auch genau die gleiche Wahrscheinlichkeit wie in der Teilaufgabe '''(3)''' berechnet:
+'''(6)'''&nbsp; Da die WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; identisch mit der WDF&nbsp; $f_u(u)$ ist, ergibt sich auch genau die gleiche Wahrscheinlichkeit wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnet:
 :$$\rm Pr(\it x < \rm 1) \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.9772}.$$
 '''(7)'''&nbsp; Das Zufallsereignis $y > 1$ ist identisch mit dem Ereignis $x > 0.5$. Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich
 :$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \it F_x \rm( 1) - \it F_x\rm (0.5).  $$
-Mit der Streuung $\sigma_x = 0.5$ folgt weiter:
+*Mit der Streuung&nbsp; $\sigma_x = 0.5$&nbsp; folgt weiter:
 :$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \rm \phi(\rm 2) - \phi(1)=\rm 0.9772- \rm 0.8413\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.1359}.$$

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 [[Datei:P_ID261__Sto_A_4_4_neu.png|right|frame|Tabelle: Gaußsche Fehlerfunktionen]]
 Wir betrachten zweidimensionale Zufallsgr&ouml;&szlig;en, wobei beide Komponenten stets als mittelwertfrei vorausgesetzt werden.
-*Die 2D-WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $(u, v)$ lautet:
+*Die 2D-WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(u, v)$&nbsp; lautet:
 :$$f_{uv}(u, v)={1}/{\pi} \cdot {\rm e}^{-(2u^{\rm 2} \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}v^{\rm 2}\hspace{-0.05cm}/\rm 2)}.$$
-*Von der ebenfalls Gau&szlig;schen 2D-Zufallsgr&ouml;&szlig;e $(x, y)$ sind die folgenden Parameter bekannt:
+*Von der ebenfalls Gau&szlig;schen 2D-Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x, y)$&nbsp; sind die folgenden Parameter bekannt:
 :$$\sigma_x= 0.5, \hspace{0.5cm}\sigma_y = 1,\hspace{0.5cm}\rho_{xy} = 1. $$
-Die Werte des Gau&szlig;schen Fehlerintegrals ${\rm \phi}(x)$ sowie der Komplement&auml;rfunktion ${\rm Q}(x) = 1- {\rm \phi}(x)$ k&ouml;nnen Sie der nebenstehenden Tabelle entnehmen.
+Die Werte des Gau&szlig;schen Fehlerintegrals&nbsp; ${\rm \phi}(x)$&nbsp; sowie der Komplement&auml;rfunktion&nbsp; ${\rm Q}(x) = 1- {\rm \phi}(x)$&nbsp; k&ouml;nnen Sie der nebenstehenden Tabelle entnehmen.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
-*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]
-*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
+*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo&nbsp; [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
 ::Teil 1: &nbsp; Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
 ::Teil 2: &nbsp; Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.
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 <quiz display=simple>
-{Welche der Aussagen gelten hinsichtlich der 2D-Zufallsgr&ouml;&szlig;e $(u, v)$?
+{Welche der Aussagen gelten hinsichtlich der 2D-Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(u, v)$&nbsp;?
 |type="[]"}
-+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en $u$ und $v$ sind unkorreliert.
++ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; sind unkorreliert.
-+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en $u$ und $v$ sind statistisch unabh&auml;ngig.
++ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; sind statistisch unabh&auml;ngig.
-{Berechnen Sie die beiden Streuungen $\sigma_u$ und $\sigma_v$. Geben Sie zur Kontrolle den Quotienten der beiden Streuungen ein.
+{Berechnen Sie die beiden Streuungen&nbsp; $\sigma_u$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_v$.&nbsp; Geben Sie zur Kontrolle den Quotienten der beiden Streuungen ein.
 |type="{}"}
 $\sigma_u/\sigma_v \ = \ $ { 0.5 3% }
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $u$ kleiner als $1$ ist.
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $u$&nbsp; kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(u < 1)\ =  \ $ { 0.9772 3% }
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $u$ kleiner als $1$ und gleichzeitig die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $v$ gr&ouml;&szlig;er als $1$ ist.
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $u$&nbsp; kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; und gleichzeitig die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $v$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $1$&nbsp; ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[(u < 1) ∩ (υ > 1)\big]\ =  \ $ { 0.1551 3% }
-{Welche der Aussagen sind f&uuml;r die 2D&ndash;Zufallsgr&ouml;&szlig;e $(x, y)$ zutreffend?
+{Welche der Aussagen sind f&uuml;r die 2D&ndash;Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x, y)$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Die 2D-WDF $f_{xy}(x, y)$ ist au&szlig;erhalb der Geraden $y = 2x$ stets $0$.
++ Die 2D-WDF $f_{xy}(x, y)$&nbsp; ist au&szlig;erhalb der Geraden&nbsp; $y = 2x$&nbsp; stets Null.
-- F&uuml;r alle Wertepaare auf der Geraden $y = 2x$ gilt $f_{xy}(x, y)= 0.5$.
+- F&uuml;r alle Wertepaare auf der Geraden&nbsp; $y = 2x$&nbsp; gilt $f_{xy}(x, y)= 0.5$.
-+ Bez&uuml;glich der Rand-WDF gilt $f_{x}(x) = f_{u}(u)$ sowie $f_{y}(y) = f_{v}(v)$.
++ Bez&uuml;glich der Rand-WDF gilt $f_{x}(x) = f_{u}(u)$&nbsp; sowie $f_{y}(y) = f_{v}(v)$.
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ kleiner als $1$ ist.
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x < 1)\ =  \ $ { 0.9772 3% }
-{Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ kleiner als $1$ und gleichzeitig die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ gr&ouml;&szlig;er als $1$ ist.
+{Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; und gleichzeitig die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $1$&nbsp; ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[(x < 1) ∩ (y > 1)\big]\ = \ $  { 0.1359 3% }

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen treffen zu</u>:
-*Vergleicht man die gegebene mit der allgemeing&uuml;ltigen 2D-WDF
+*Vergleicht man die gegebene 2D-WDF mit der allgemeing&uuml;ltigen 2D-WDF
-:$$f_{uv}(u,v) = \frac{\rm 1}{{\rm 2}\it\pi \cdot \sigma_u \cdot \sigma_v\sqrt{{\rm 1}-\it \rho_{\it uv}^{\rm 2}}} \cdot \rm exp[\frac{\rm 1}{2\cdot (\rm 1-\it \rho_{uv}^{\rm 2})}(\frac{\it u^{\rm 2}}{\it\sigma_u^{\rm 2}} + \frac{\it v^{\rm 2}}{\it\sigma_v^{\rm 2}} - \rm 2\it\rho_{uv}\frac{\it u\cdot \it v}{\sigma_u\cdot \sigma_v}\rm )],$$
+:$$f_{uv}(u,v) = \frac{\rm 1}{{\rm 2}\it\pi \cdot \sigma_u \cdot \sigma_v \cdot \sqrt{{\rm 1}-\it \rho_{\it uv}^{\rm 2}}} \cdot \rm exp\left[\frac{\rm 1}{2\cdot (\rm 1-\it \rho_{uv}^{\rm 2}{\rm )}}(\frac{\it u^{\rm 2}}{\it\sigma_u^{\rm 2}} + \frac{\it v^{\rm 2}}{\it\sigma_v^{\rm 2}} - \rm 2\it\rho_{uv}\frac{\it u\cdot \it v}{\sigma_u\cdot \sigma_v}\rm )\right],$$
 :so erkennt man, dass im Exponenten kein Term mit $u \cdot v$ auftritt, was nur bei $\rho_{uv} = 0$ m&ouml;glich ist.
 *Dies bedeutet aber, dass $u$ und $v$ unkorreliert sind.
 *Bei Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;en folgt aus der Unkorreliertheit aber auch stets die statistische Unabh&auml;ngigkeit.
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 '''(3)'''&nbsp; Da $u$ eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, gilt:
-:$$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm Pr(\it u \le \rm 1) =\it F_u(\rm 1). $$
+:$$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm Pr(\it u \le \rm 1) =\it F_u\rm (1). $$
 Mit dem  Mittelwert $m_u = 0$ und der  Streuung $\sigma_u = 0.5$ erhält man:
 :$$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm \phi({\rm 1}/{\it\sigma_u})= \rm \phi(\rm 2) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.9772}. $$
-[[Datei:P_ID265__Sto_A_4_4_d.png|right|2D-Gebietswahrscheinlichkeit ]]
 '''(4)'''&nbsp; Aufgrund der statistischen Unabh&auml;ngigkeit zwischen $u$ und $v$ gilt:
-:$$\rm Pr[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)] = \rm Pr(\it u < \rm 1)\cdot \rm Pr(\it v > \rm 1).$$
+:$$\rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big] = \rm Pr(\it u < \rm 1)\cdot \rm Pr(\it v > \rm 1).$$
-Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(u < 1) =0.9772$ wurde bereits  berechnet. F&uuml;r die zweite Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(v > 1)$ gilt aus Symmetriegr&uuml;nden:
+*Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(u < 1) =0.9772$ wurde bereits  berechnet.
-:$$\rm Pr(\it v > \rm 1) = \rm Pr(\it v \le \rm -1) = \it F_v(\rm -1) = \rm \phi(\frac{\rm -1}{\it\sigma_v}) = \rm Q(1) =0.1587$$
+*F&uuml;r die zweite Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(v > 1)$ gilt aus Symmetriegr&uuml;nden:
-:$$\Rightarrow \rm Pr((\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)) = \rm 0.9772\cdot \rm 0.1587 \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.1551}.$$
+:$$\rm Pr(\it v > \rm 1) = \rm Pr(\it v \le \rm (-1) = \it F_v\rm (-1) = \rm \phi(\frac{\rm -1}{\it\sigma_v}) = \rm Q(1) =0.1587$$
-Die Skizze verdeutlicht die vorgegebene Konstellation. Die H&ouml;henlinien der WDF (blau) sind wegen $\sigma_v > \sigma_u$ in vertikaler Richtung gestreckte Ellipsen. Rot schraffiert eingezeichnet ist das Gebiet, dessen Wahrscheinlichkeit in dieser Teilaufgabe berechnet werden sollte.
+Die Skizze verdeutlicht die vorgegebene Konstellation:
 [[Datei:P_ID266__Sto_A_4_4_e.png|right|2D-Diracwand]]
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind <u>der erste und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
-*Wegen $\rho_{xy} = 1$ besteht ein deterministischer Zusammenhang zwischen $x$ und $y$ &nbsp; &#8658; &nbsp; alle Werte liegen auf der Geraden $y =K(x) \cdot; x$. Aufgrund der Streuungen $\sigma_x = 0.5$ und $\sigma_y = 1$ gilt $K = 2$.
+*Wegen $\rho_{xy} = 1$ besteht ein deterministischer Zusammenhang zwischen $x$ und $y$
-*Auf dieser Geraden $y = 2x$ sind alle WDF-Werte unendlich gro&szlig;. Das bedeutet: Die 2D-WDF ist hier eine &bdquo;Diracwand&rdquo;.
+:&#8658; &nbsp; Alle Werte liegen auf der Geraden $y =K(x) \cdot x$.
-*Wie aus der Skizze hervorgeht, sind die WDF&ndash;Werte auf der Geraden$y = 2x$, die gleichzeitig die Korrelationsgerade darstellt, gau&szlig;verteilt.
+*Aufgrund der Streuungen $\sigma_x = 0.5$ und $\sigma_y = 1$ gilt $K = 2$.
-*Auch die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten sind Gau&szlig;funktionen, jeweils mit Mittelwert $0$. Wegen $\sigma_x = \sigma_u$ und $\sigma_y = \sigma_v$ gilt auch:
+*Auf dieser Geraden $y = 2x$ sind alle WDF-Werte unendlich gro&szlig;.
 :$$f_x(x) = f_u(u),  \hspace{0.5cm}f_y(y) = f_v(v).$$
-[[Datei:P_ID274__Sto_A_4_4_g.png|right|Wahrscheinlichkeitsberechnung bei Diracwand]]
-'''(6)'''&nbsp; Da die WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ identisch mit der WDF $f_u(u)$ ist, ergibt sich auch genau die gleiche Wahrscheinlichkeit wie in der Teilaufgabe (3) berechnet:
+[[Datei:P_ID274__Sto_A_4_4_g.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsberechnung für die Diracwand]]
 :$$\rm Pr(\it x < \rm 1) \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.9772}.$$
 '''(7)'''&nbsp; Das Zufallsereignis $y > 1$ ist identisch mit dem Ereignis $x > 0.5$. Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich
-:$$\rm Pr[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)] = \it F_x \rm( 1) - \it F_x\rm (0.5).  $$
+:$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \it F_x \rm( 1) - \it F_x\rm (0.5).  $$
 Mit der Streuung $\sigma_x = 0.5$ folgt weiter:
-:$$\rm Pr[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)] = \rm \phi(\rm 2) - \phi(1)=\rm 0.9772- \rm 0.8413\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.1359}.$$
+:$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \rm \phi(\rm 2) - \phi(1)=\rm 0.9772- \rm 0.8413\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.1359}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
-*Bezuig genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]
 *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Die hier behandelte Thematik ist in zwei Lernvideos zusammengefasst: