Aufgaben:Aufgabe 4.3Z: Hilbert-Transformator - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:37:39Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:37 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:
	:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm j}\cdot H_{\rm HT}(f)\right) \cdot X(f).$$		:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm j}\cdot H_{\rm HT}(f)\right) \cdot X(f).$$
	*Ein Vergleich mit der angegebenen Beziehung		*Ein Vergleich mit der angegebenen Beziehung
	:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\~~rmsign~~}(f)\right) \cdot X(f)$$		:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm sign}(f)\right) \cdot X(f)$$
	:zeigt, dass  $H_{\rm HT}(f) = - {\rm j} \cdot \sign(f)$  ist.		:zeigt, dass  $H_{\rm HT}(f) = - {\rm j} \cdot \sign(f)$  ist.

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	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^4. Bandpassartige Signale^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^4. Bandpassartige Signale^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.3Z:_Hilbert_Transformator]]

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2026-02-25T13:19:26Z

Fix MathJax: add space after \cdot before letter

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Zeile 69:		Zeile 69:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Für die Spektralfunktion am Modellausgang gilt:		'''(1)'''  Für die Spektralfunktion am Modellausgang gilt:
	:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm j}\cdot H_{\rm HT}(f)\right) \~~cdotX~~(f).$$		:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm j}\cdot H_{\rm HT}(f)\right) \cdot X(f).$$
	*Ein Vergleich mit der angegebenen Beziehung		*Ein Vergleich mit der angegebenen Beziehung
	:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rmsign}(f)\right) \cdot X(f)$$		:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rmsign}(f)\right) \cdot X(f)$$

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:39:53Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 69:		Zeile 69:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Für die Spektralfunktion am Modellausgang gilt:		'''(1)'''  Für die Spektralfunktion am Modellausgang gilt:
	:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm j}\cdot H_{\rm HT}(f)\right) \~~cdot~~		:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm j}\cdot H_{\rm HT}(f)\right) \cdotX(f).$$
	X(f).$$
	*Ein Vergleich mit der angegebenen Beziehung		*Ein Vergleich mit der angegebenen Beziehung
	:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm		:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rmsign}(f)\right) \cdot X(f)$$
	~~sign~~}(f)\right) \cdot X(f)$$
	:zeigt, dass  $H_{\rm HT}(f) = - {\rm j} \cdot \sign(f)$  ist.		:zeigt, dass  $H_{\rm HT}(f) = - {\rm j} \cdot \sign(f)$  ist.

Zeile 81:		Zeile 79:

	'''(2)'''  Aus der Spektralfunktion		'''(2)'''  Aus der Spektralfunktion
	:$$X_1(f) = {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})+		:$$X_1(f) = {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})+{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
	{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
	:wird nach dem Hilbert-Transformator:		:wird nach dem Hilbert-Transformator:
	:$$Y_1(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm		:$$Y_1(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
	j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
	*Damit lautet das Signal am Ausgang des Hilbert-Transformators:		*Damit lautet das Signal am Ausgang des Hilbert-Transformators:
	:$$y_1(t) = A \cdot {\sin} ( 2 \pi f_0 t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_1(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$		:$$y_1(t) = A \cdot {\sin} ( 2 \pi f_0 t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_1(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$
Zeile 92:		Zeile 88:

	'''(3)'''  Nun lauten die Spektralfunktionen am Eingang und Ausgang des Hilbert-Transformators:		'''(3)'''  Nun lauten die Spektralfunktionen am Eingang und Ausgang des Hilbert-Transformators:
	:$$X_2(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm		:$$X_2(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}),$$
	j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}),$$		:$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
	:$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-
	{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
	*Daraus folgt  $y_2(t) = - A \cdot \cos(2\pi f_0 t)$  und  $y_2(t = 0)\; \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.		*Daraus folgt  $y_2(t) = - A \cdot \cos(2\pi f_0 t)$  und  $y_2(t = 0)\; \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.

Zeile 102:		Zeile 96:

	'''(4)'''  Dieses Eingangssignal lässt sich auch wie folgt darstellen:		'''(4)'''  Dieses Eingangssignal lässt sich auch wie folgt darstellen:
	:$$x_3(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t -		:$$x_3(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t -2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot {\rm 0.0125 \hspace{0.05cm} ms}) =A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - \pi/4)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_3(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - 3\pi/4).$$
	2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot {\rm 0.0125 \hspace{0.05cm} ms}) =
	A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - \pi/4)\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_3(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - 3\pi/4).$$
	*Die Signalphase ist somit  $\varphi = \pi /4$.		*Die Signalphase ist somit  $\varphi = \pi /4$.
	*Durch den Hilbert-Transformator wird diese um  $\varphi_{\rm HT} \; \underline{= 90^\circ} \; (\pi /2)$  verzögert.		*Durch den Hilbert-Transformator wird diese um  $\varphi_{\rm HT} \; \underline{= 90^\circ} \; (\pi /2)$  verzögert.
Zeile 113:		Zeile 104:

	'''(5)'''  Die Spektralfunktion des Signals  $x_3(t)$  lautet:		'''(5)'''  Die Spektralfunktion des Signals  $x_3(t)$  lautet:
	:$$X_3(f) = {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \varphi}\cdot\delta		:$$X_3(f) = {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \varphi}\cdot\delta(f + f_{\rm 0}) + {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm 0}) .$$
	(f + f_{\rm 0}) + {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}
	\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm 0}) .$$
	*Beim analytischen Signal verschwindet der erste Anteil und der Anteil bei  $+f_0$  wird verdoppelt:		*Beim analytischen Signal verschwindet der erste Anteil und der Anteil bei  $+f_0$  wird verdoppelt:
	:$$X_{3+}(f) = {A_0} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi}\cdot\delta (f		:$$X_{3+}(f) = {A_0} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi}\cdot\delta (f- f_{\rm 0}) .$$
	- f_{\rm 0}) .$$
	*Durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]]  lautet damit die zugehörige Zeitfunktion mit  $\varphi = \pi /4$:		*Durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]]  lautet damit die zugehörige Zeitfunktion mit  $\varphi = \pi /4$:
	:$$x_{3+}(t) = A_0 \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t		:$$x_{3+}(t) = A_0 \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
	\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
	*Speziell gilt für den Zeitpunkt  $t = 0$:		*Speziell gilt für den Zeitpunkt  $t = 0$:
	:$$x_{3+}(t = 0) = A_0 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}		:$$x_{3+}(t = 0) = A_0 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi} = A_0 \cdot{\cos} ( 45^\circ)-{\rm j}\cdot A_0 \cdot{\sin} ( 45^\circ)= \hspace{0.15 cm}\underline{{\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}-{\rm j}\cdot {\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}}.$$
	\varphi} = A_0 \cdot{\cos} ( 45^\circ)-{\rm j}\cdot A_0
	\cdot{\sin} ( 45^\circ)= \hspace{0.15 cm}\underline{{\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}-{\rm
	j}\cdot {\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}}.$$


Zeile 134:		Zeile 118:
	*Um von  $x(t)$  zu  $x_+(t)$  zu kommen, muss man nur die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion ersetzen.		*Um von  $x(t)$  zu  $x_+(t)$  zu kommen, muss man nur die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion ersetzen.
	*Beispielsweise gilt für eine harmonische Schwingung:		*Beispielsweise gilt für eine harmonische Schwingung:
	:$$x(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t		:$$x(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t -\hspace{0.05cm} \varphi) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{+}(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
	-\hspace{0.05cm} \varphi) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{+}(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t
	\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 6. Mai 2021 um 14:49 Uhr

2021-05-06T14:49:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2021, 16:49 Uhr
Zeile 96:		Zeile 96:
	:$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-		:$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-
	{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$		{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
	*Daraus folgt $y_2(t) = - A \cdot \cos(2\pi f_0 t)$ und $y_2(t = 0)\; \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.		*Daraus folgt  $y_2(t) = - A \cdot \cos(2\pi f_0 t)$  und  $y_2(t = 0)\; \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.


Zeile 127:		Zeile 127:
	\cdot{\sin} ( 45^\circ)= \hspace{0.15 cm}\underline{{\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}-{\rm		\cdot{\sin} ( 45^\circ)= \hspace{0.15 cm}\underline{{\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}-{\rm
	j}\cdot {\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}}.$$		j}\cdot {\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}}.$$




	''Hinweis'':		''Hinweis'':

Guenter am 6. Mai 2021 um 14:45 Uhr

2021-05-06T14:45:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2021, 16:45 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie den Frequenzgang  $H_{HT}(f)$  des Hilbert-Transformators.  Welcher Wert gilt für die Frequenz  $f_0 = 10 \text{ kHz}$?		{Berechnen Sie den Frequenzgang  $H_{\rm HT}(f)$  des Hilbert-Transformators.  Welcher Wert gilt für die Frequenz  $f_0 = 10 \text{ kHz}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $ { 0. }		$\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $ { 0. }

Guenter am 6. Mai 2021 um 14:44 Uhr

2021-05-06T14:44:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2021, 16:44 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID717__Sig_Z_4_3_neu.png\|right\|frame\|Hilbert-Transformator ]]		[[Datei:P_ID717__Sig_Z_4_3_neu.png\|right\|frame\|Hilbert-Transformator ]]
	Die Grafik beschreibt ein Modell, wie zumindest gedanklich		Die Grafik beschreibt ein Modell, wie zumindest gedanklich,
	*aus dem reellen Bandpass–Signal  $x(t)$		*aus dem reellen Bandpass–Signal  $x(t)$
	*das analytische Signal  $x_{+}(t)$		*das analytische Signal  $x_{+}(t)$  generiert werden kann.


	~~generiert werden kann~~.		Der untere Zweig enthält den so genannten &bdquo;Hilbert–Transformator” mit dem Frequenzgang  $H_{\rm HT}(f)$.

	~~Der untere Zweig enthält den so genannten &bdquo;Hilbert–Transformator” mit dem Frequenzgang  $H_{\rm HT}(f)$.~~ Dessen Ausgangssignal  $y(t)$  wird mit der imaginären Einheit  $\rm j$  multipliziert und zum Signal  $x(t)$  addiert:		Dessen Ausgangssignal  $y(t)$  wird mit der imaginären Einheit  $\rm j$  multipliziert und zum Signal  $x(t)$  addiert:
	:$$x_{\rm +}(t)= x(t) + {\rm j}\cdot y(t) .$$		:$$x_{\rm +}(t)= x(t) + {\rm j}\cdot y(t) .$$
	Als Testsignale werden verwendet, jeweils mit  $A = 1 \, \text{V}$  und  $f_0 = 10 \, \text{kHz}$:		Als Testsignale werden verwendet, jeweils mit  $A = 1 \, \text{V}$  und  $f_0 = 10 \, \text{kHz}$:
Zeile 35:		Zeile 35:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie den Frequenzgang  $H_{HT}(f)$  des Hilbert-Transformators. Welcher Wert gilt für die Frequenz  $f_0 = 10 \text{ kHz}$?		{Berechnen Sie den Frequenzgang  $H_{HT}(f)$  des Hilbert-Transformators.  Welcher Wert gilt für die Frequenz  $f_0 = 10 \text{ kHz}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $ { 0. }		$\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $ { 0. }
Zeile 41:		Zeile 41:


	{Wie lautet die Hilbert-Transformierte  $y_1(t)$  für das Eingangssignal  $x_1(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei  $t = 0$?		{Wie lautet die Hilbert-Transformierte  $y_1(t)$  für das Eingangssignal  $x_1(t)$?  Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei  $t = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_1(t = 0)\ = \ $ { 0. }  $\rm V$		$y_1(t = 0)\ = \ $ { 0. }  $\rm V$


	{Wie lautet die Hilbert-Transformierte  $y_2(t)$  für das Eingangssignal  $x_2(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei  $t = 0$?		{Wie lautet die Hilbert-Transformierte  $y_2(t)$  für das Eingangssignal  $x_2(t)$?  Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei  $t = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_2(t = 0)\ = \ $ { -1.03--0.97 }  $\rm V$		$y_2(t = 0)\ = \ $ { -1.03--0.97 }  $\rm V$


	{Wie lautet die Hilbert-Transformierte  $y_3(t)$  für das Eingangssignal  $x_3(t)$? Welcher Wert ergibt sich für  $t=0$? ~~<br>~~Wie groß ist die Phasenverzögerung  $\varphi_{\rm HT}$  des Hilbert-Transformators?		{Wie lautet die Hilbert-Transformierte  $y_3(t)$  für das Eingangssignal  $x_3(t)$?  Welcher Wert ergibt sich für  $t=0$?  Wie groß ist die Phasenverzögerung  $\varphi_{\rm HT}$  des Hilbert-Transformators?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_{\rm HT}\ = \ $ { 90 3% }  $\text{Grad}$		$\varphi_{\rm HT}\ = \ $ { 90 3% }  $\text{Grad}$
Zeile 57:		Zeile 57:


	{Wie lautet das zu  $x_3(t)$  gehörige analytische Signal? Welche Werte haben Real– und Imaginärteil dieses komplexen Signals zum Zeitpunkt  $t = 0$?		{Wie lautet das zu  $x_3(t)$  gehörige analytische Signal?  Welche Werte haben Real– und Imaginärteil dieses komplexen Signals zum Zeitpunkt  $t = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Re}[x_{3+}(t = 0)]\ = \ $ { 0.707 3% }  $\text{V}$		$\text{Re}[x_{3+}(t = 0)]\ = \ $ { 0.707 3% }  $\text{V}$

Guenter am 4. Oktober 2019 um 14:55 Uhr

2019-10-04T14:55:16Z

Guenter am 4. Oktober 2019 um 14:45 Uhr

2019-10-04T14:45:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Oktober 2019, 16:45 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	[[Datei:P_ID717__Sig_Z_4_3_neu.png\|right\|frame\|Hilbert-Transformator ]]		[[Datei:P_ID717__Sig_Z_4_3_neu.png\|right\|frame\|Hilbert-Transformator ]]
	Die Grafik beschreibt ein Modell, wie zumindest gedanklich		Die Grafik beschreibt ein Modell, wie zumindest gedanklich
	*aus dem reellen Bandpass–Signal $x(t)$		*aus dem reellen Bandpass–Signal  $x(t)$
	*das analytische Signal $x_{+}(t)$		*das analytische Signal  $x_{+}(t)$


	generiert werden kann.		generiert werden kann.

	Der untere Zweig enthält den so genannten Hilbert–Transformator mit dem Frequenzgang $H_{\rm HT}(f)$. Dessen Ausgangssignal $y(t)$ wird mit der imaginären Einheit $\rm j$ multipliziert und zum Signal $x(t)$ addiert:		Der untere Zweig enthält den so genannten &bdquo;Hilbert–Transformator” mit dem Frequenzgang  $H_{\rm HT}(f)$. Dessen Ausgangssignal  $y(t)$  wird mit der imaginären Einheit  $\rm j$  multipliziert und zum Signal  $x(t)$  addiert:
	:$$x_{\rm +}(t)= x(t) + {\rm j}\cdot y(t) .$$		:$$x_{\rm +}(t)= x(t) + {\rm j}\cdot y(t) .$$
	Als Testsignale werden verwendet, jeweils mit $A = 1 \, \text{V}$ und $f_0 = 10 \, \text{kHz}$:		Als Testsignale werden verwendet, jeweils mit  $A = 1 \, \text{V}$  und  $f_0 = 10 \, \text{kHz}$:
	:$$x_1(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t ),$$		:$$x_1(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t ),$$
	:$$x_2(t) = A \cdot {\sin} ( 2 \pi f_0 t ),$$		:$$x_2(t) = A \cdot {\sin} ( 2 \pi f_0 t ),$$
	:$$x_3(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 (t - \tau) ) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\tau = 12.5 \hspace{0.1cm}{\rm µ s}.$$		:$$x_3(t) = A \cdot {\cos} \big( 2 \pi f_0 (t - \tau) \big) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\tau = 12.5 \hspace{0.1cm}{\rm µ s}.$$





Zeile 22:		Zeile 26:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].

	*Für die Spektralfunktion des analytischen Signals gilt:		*Für die Spektralfunktion des analytischen Signals gilt:
Zeile 31:		Zeile 35:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie den Frequenzgang $H_{HT}(f)$ des Hilbert-Transformators. Welcher Wert gilt für die Frequenz $f_0 = 10 \text{ kHz}$?		{Berechnen Sie den Frequenzgang  $H_{HT}(f)$  des Hilbert-Transformators. Welcher Wert gilt für die Frequenz  $f_0 = 10 \text{ kHz}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $ { 0. }		$\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $ { 0. }
Zeile 37:		Zeile 41:


	{Wie lautet die Hilbert-Transformierte $y_1(t)$ für das Eingangssignal $x_1(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei $t = 0$?		{Wie lautet die Hilbert-Transformierte  $y_1(t)$  für das Eingangssignal  $x_1(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei  $t = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_1(t = 0)\ = \ $ { 0. }  $\rm V$		$y_1(t = 0)\ = \ $ { 0. }  $\rm V$


	{Wie lautet die Hilbert-Transformierte $y_2(t)$ für das Eingangssignal $x_2(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei $t = 0$?		{Wie lautet die Hilbert-Transformierte  $y_2(t)$  für das Eingangssignal  $x_2(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei  $t = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_2(t = 0)\ = \ $ { -1.03--0.97 }  $\rm V$		$y_2(t = 0)\ = \ $ { -1.03--0.97 }  $\rm V$


	{Wie lautet die Hilbert-Transformierte $y_3(t)$ für das Eingangssignal $x_3(t)$? Welcher Wert ergibt sich für $t=0$? <br>Wie groß ist die Phasenverzögerung $\varphi_{\rm HT}$ des Hilbert-Transformators?		{Wie lautet die Hilbert-Transformierte  $y_3(t)$  für das Eingangssignal  $x_3(t)$? Welcher Wert ergibt sich für  $t=0$? <br>Wie groß ist die Phasenverzögerung  $\varphi_{\rm HT}$  des Hilbert-Transformators?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_{\rm HT}\ = \ $ { 90 3% }  $\text{Grad}$		$\varphi_{\rm HT}\ = \ $ { 90 3% }  $\text{Grad}$
Zeile 53:		Zeile 57:


	{Wie lautet das zu $x_3(t)$ gehörige analytische Signal? ~~Welchen Wert~~ haben Real– und Imaginärteil dieses komplexen Signals zum Zeitpunkt $t = 0$?		{Wie lautet das zu  $x_3(t)$  gehörige analytische Signal? Welche Werte haben Real– und Imaginärteil dieses komplexen Signals zum Zeitpunkt  $t = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Re}[x_{3+}(t = 0)]\ = \ $ { 0.707 3% }  $\text{V}$		$\text{Re}[x_{3+}(t = 0)]\ = \ $ { 0.707 3% }  $\text{V}$

Guenter am 26. Juli 2018 um 08:17 Uhr

2018-07-26T08:17:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2018, 10:17 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID717__Sig_Z_4_3_neu.png\|right\|frame\|Hilbert-Transformator ]]		[[Datei:P_ID717__Sig_Z_4_3_neu.png\|right\|frame\|Hilbert-Transformator ]]
	Die Grafik beschreibt ein Modell, wie – zumindest gedanklich – aus dem reellen ~~BP–Signal~~ $x(t)$ das analytische Signal $x_{+}(t)$ generiert werden kann.		Die Grafik beschreibt ein Modell, wie zumindest gedanklich
			*aus dem reellen Bandpass–Signal $x(t)$
			*das analytische Signal $x_{+}(t)$

			generiert werden kann.

	Der untere Zweig enthält den so genannten Hilbert–Transformator mit dem Frequenzgang $H_{\rm HT}(f)$. Dessen Ausgangssignal $y(t)$ wird mit der imaginären Einheit $\rm j$ multipliziert und zum Signal $x(t)$ addiert:		Der untere Zweig enthält den so genannten Hilbert–Transformator mit dem Frequenzgang $H_{\rm HT}(f)$. Dessen Ausgangssignal $y(t)$ wird mit der imaginären Einheit $\rm j$ multipliziert und zum Signal $x(t)$ addiert:
	:$$x_{\rm +}(t)= x(t) + {\rm j}\cdot y(t) .$$		:$$x_{\rm +}(t)= x(t) + {\rm j}\cdot y(t) .$$
Zeile 10:		Zeile 15:
	:$$x_1(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t ),$$		:$$x_1(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t ),$$
	:$$x_2(t) = A \cdot {\sin} ( 2 \pi f_0 t ),$$		:$$x_2(t) = A \cdot {\sin} ( 2 \pi f_0 t ),$$
	:$$x_3(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 (t - \tau) ) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\tau = 12.5 \hspace{0.1cm}{\rm ~~\mu~~ s}.$$		:$$x_3(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 (t - \tau) ) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\tau = 12.5 \hspace{0.1cm}{\rm µ s}.$$


Zeile 20:		Zeile 25:

	*Für die Spektralfunktion des analytischen Signals gilt:		*Für die Spektralfunktion des analytischen Signals gilt:
	:$$ X_{\rm +}(f)= \~~left~~[1 + {\rm sign}(f)\~~right~~] \cdot X(f).$$		:$$ X_{\rm +}(f)= \big[1 + {\rm sign}(f)\big] \cdot X(f).$$


Zeile 26:		Zeile 31:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie den Frequenzgang $H_{HT}(f)$ des Hilbert-Transformators. Welcher Wert gilt für die Frequenz $f_0 = 10 \text{kHz}$?		{Berechnen Sie den Frequenzgang $H_{HT}(f)$ des Hilbert-Transformators. Welcher Wert gilt für die Frequenz $f_0 = 10 \text{ kHz}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $ { 0. }		$\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $ { 0. }
	$\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $ { -1.03--0.97 }		$\text{Im}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $ { -1.03--0.97 }


Zeile 42:		Zeile 47:


	{Wie lautet die Hilbert-Transformierte $y_3(t)$ für das Eingangssignal $x_3(t)$? Wie groß ist die Phasenverzögerung $\varphi_{\rm HT}$ des Hilbert-Transformators?		{Wie lautet die Hilbert-Transformierte $y_3(t)$ für das Eingangssignal $x_3(t)$? Welcher Wert ergibt sich für $t=0$? <br>Wie groß ist die Phasenverzögerung $\varphi_{\rm HT}$ des Hilbert-Transformators?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_{\rm HT}\ = \ $ { 90 3% }  $\text{Grad}$		$\varphi_{\rm HT}\ = \ $ { 90 3% }  $\text{Grad}$
Zeile 65:		Zeile 70:
	:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm		:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm
	sign}(f)\right) \cdot X(f)$$		sign}(f)\right) \cdot X(f)$$
	zeigt, dass $H_{\rm HT}(f) = – {\rm j} \cdot \sign(f)$ ist. Der gesuchte Realteil ist somit $\underline{0}$, der Imaginärteil gleich $\~~underline~~{–\hspace{-0.~~08cm~~}1}$.		zeigt, dass $H_{\rm HT}(f) = - {\rm j} \cdot \sign(f)$ ist.

			Der gesuchte Realteil ist somit ${\rm Re}[X_{\rm +}(f)]\hspace{0.15cm}\underline{=0}$ und der Imaginärteil gleich ${\rm Im}[X_{\rm +}(f)]\hspace{0.15cm}\underline{=-1}$.


Zeile 83:		Zeile 90:
	:$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-		:$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-
	{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$		{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
	Daraus folgt $y_2(t) = - A \cdot cos(2\pi f_0 t)$ und $y_2(t = 0)\; \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.		Daraus folgt $y_2(t) = - A \cdot \cos(2\pi f_0 t)$ und $y_2(t = 0)\; \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.


Zeile 91:		Zeile 98:
	A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - \pi/4)\hspace{0.3cm}		A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - \pi/4)\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_3(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - 3\pi/4).$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_3(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - 3\pi/4).$$
	Die Signalphase ist somit $\varphi = \pi /4$. Durch den Hilbert-Transformator wird diese um $\varphi_{\rm HT} \; \underline{= 90^\circ} \; (\pi /2)$ verzögert. ~~<br>~~Deshalb ist das Ausgangssignal $y_3(t) = A \cdot \cos(2\pi f_0 t -3 \pi /4)$ und der Signalwert zur Zeit $t = 0$ beträgt $A \cdot \cos(135^\circ) \; \underline{= -0.707 \,\text{V}}$.		*Die Signalphase ist somit $\varphi = \pi /4$.
			*Durch den Hilbert-Transformator wird diese um $\varphi_{\rm HT} \; \underline{= 90^\circ} \; (\pi /2)$ verzögert.
			*Deshalb ist das Ausgangssignal $y_3(t) = A \cdot \cos(2\pi f_0 t -3 \pi /4)$ und der Signalwert zur Zeit $t = 0$ beträgt $A \cdot \cos(135^\circ) \; \underline{= -0.707 \,\text{V}}$.


Zeile 110:		Zeile 119:
	j}\cdot {\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}}.$$		j}\cdot {\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}}.$$

	''Hinweis'':   Um von $x(t)$ zu $x_+(t)$ zu kommen, muss man nur die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion ersetzen.
	Beispielsweise gilt für eine harmonische Schwingung:		''Hinweis'':
			*Um von $x(t)$ zu $x_+(t)$ zu kommen, muss man nur die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion ersetzen.
			*Beispielsweise gilt für eine harmonische Schwingung:
	:$$x(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t		:$$x(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t
	-\hspace{0.05cm} \varphi) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{+}(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t		-\hspace{0.05cm} \varphi) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{+}(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:52Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Für die Spektralfunktion des analytischen Signals gilt:		*Für die Spektralfunktion des analytischen Signals gilt:
	:$$ X_{\rm +}(f)= \left[1 + {\rm sign}(f)\right] \cdot X(f).$$		:$$ X_{\rm +}(f)= \left[1 + {\rm sign}(f)\right] \cdot X(f).$$

← Nächstältere Version		Version vom 4. Oktober 2019, 16:55 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:
	:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm j}\cdot H_{\rm HT}(f)\right) \cdot		:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm j}\cdot H_{\rm HT}(f)\right) \cdot
	X(f).$$		X(f).$$
	Ein Vergleich mit der angegebenen Beziehung		*Ein Vergleich mit der angegebenen Beziehung
	:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm		:$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm
	sign}(f)\right) \cdot X(f)$$		sign}(f)\right) \cdot X(f)$$
	zeigt, dass $H_{\rm HT}(f) = - {\rm j} \cdot \sign(f)$ ist.		:zeigt, dass  $H_{\rm HT}(f) = - {\rm j} \cdot \sign(f)$  ist.

			*Der gesuchte Realteil ist somit  ${\rm Re}[X_{\rm +}(f)]\hspace{0.15cm}\underline{=0}$  und der Imaginärteil ist gleich  ${\rm Im}[X_{\rm +}(f)]\hspace{0.15cm}\underline{=-1}$.

	~~Der gesuchte Realteil ist somit ${\rm Re}[X_{\rm +}(f)]\hspace{0.15cm}\underline{=0}$ und der Imaginärteil gleich ${\rm Im}[X_{\rm +}(f)]\hspace{0.15cm}\underline{=-1}$.~~


Zeile 82:		Zeile 83:
	:$$X_1(f) = {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})+		:$$X_1(f) = {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})+
	{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$		{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
	wird nach dem Hilbert-Transformator:		:wird nach dem Hilbert-Transformator:
	:$$Y_1(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm		:$$Y_1(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm
	j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$		j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
	Damit lautet das Signal am Ausgang des Hilbert-Transformators:		*Damit lautet das Signal am Ausgang des Hilbert-Transformators:
	:$$y_1(t) = A \cdot {\sin} ( 2 \pi f_0 t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_1(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$		:$$y_1(t) = A \cdot {\sin} ( 2 \pi f_0 t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_1(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$



Zeile 94:		Zeile 96:
	:$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-		:$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-
	{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$		{A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
	Daraus folgt $y_2(t) = - A \cdot \cos(2\pi f_0 t)$ und $y_2(t = 0)\; \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.		*Daraus folgt $y_2(t) = - A \cdot \cos(2\pi f_0 t)$ und $y_2(t = 0)\; \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.




Zeile 102:		Zeile 106:
	A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - \pi/4)\hspace{0.3cm}		A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - \pi/4)\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_3(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - 3\pi/4).$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_3(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t - 3\pi/4).$$
	*Die Signalphase ist somit $\varphi = \pi /4$.		*Die Signalphase ist somit  $\varphi = \pi /4$.
	*Durch den Hilbert-Transformator wird diese um $\varphi_{\rm HT} \; \underline{= 90^\circ} \; (\pi /2)$ verzögert.		*Durch den Hilbert-Transformator wird diese um  $\varphi_{\rm HT} \; \underline{= 90^\circ} \; (\pi /2)$  verzögert.
	*Deshalb ist das Ausgangssignal $y_3(t) = A \cdot \cos(2\pi f_0 t -3 \pi /4)$ und der Signalwert zur Zeit $t = 0$ beträgt $A \cdot \cos(135^\circ) \; \underline{= -0.707 \,\text{V}}$.		*Deshalb ist das Ausgangssignal  $y_3(t) = A \cdot \cos(2\pi f_0 t -3 \pi /4)$  und der Signalwert zur Zeit  $t = 0$  beträgt  $A \cdot \cos(135^\circ) \; \underline{= -0.707 \,\text{V}}$.


	'''(5)'''  Die Spektralfunktion des Signals $x_3(t)$ lautet:
			'''(5)'''  Die Spektralfunktion des Signals  $x_3(t)$  lautet:
	:$$X_3(f) = {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \varphi}\cdot\delta		:$$X_3(f) = {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \varphi}\cdot\delta
	(f + f_{\rm 0}) + {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}		(f + f_{\rm 0}) + {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}
	\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm 0}) .$$		\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm 0}) .$$
	Beim analytischen Signal verschwindet der erste Anteil und der Anteil bei $+f_0$ wird verdoppelt:		*Beim analytischen Signal verschwindet der erste Anteil und der Anteil bei  $+f_0$  wird verdoppelt:
	:$$X_{3+}(f) = {A_0} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi}\cdot\delta (f		:$$X_{3+}(f) = {A_0} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi}\cdot\delta (f
	- f_{\rm 0}) .$$		- f_{\rm 0}) .$$
	Durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]] lautet damit die zugehörige Zeitfunktion mit $\varphi = \pi /4$:		*Durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]]  lautet damit die zugehörige Zeitfunktion mit  $\varphi = \pi /4$:
	:$$x_{3+}(t) = A_0 \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t		:$$x_{3+}(t) = A_0 \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t
	\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$		\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
	Speziell gilt für den Zeitpunkt $t = 0$:		*Speziell gilt für den Zeitpunkt  $t = 0$:
	:$$x_{3+}(t = 0) = A_0 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}		:$$x_{3+}(t = 0) = A_0 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}
	\varphi} = A_0 \cdot{\cos} ( 45^\circ)-{\rm j}\cdot A_0		\varphi} = A_0 \cdot{\cos} ( 45^\circ)-{\rm j}\cdot A_0
	\cdot{\sin} ( 45^\circ)= \hspace{0.15 cm}\underline{{\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}-{\rm		\cdot{\sin} ( 45^\circ)= \hspace{0.15 cm}\underline{{\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}-{\rm
	j}\cdot {\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}}.$$		j}\cdot {\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}}.$$


	''Hinweis'':		''Hinweis'':
	*Um von $x(t)$ zu $x_+(t)$ zu kommen, muss man nur die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion ersetzen.		*Um von  $x(t)$  zu  $x_+(t)$  zu kommen, muss man nur die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion ersetzen.
	*Beispielsweise gilt für eine harmonische Schwingung:		*Beispielsweise gilt für eine harmonische Schwingung:
	:$$x(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t		:$$x(t) = A \cdot {\cos} ( 2 \pi f_0 t