Aufgaben:Aufgabe 4.3Z: Hilbert-Transformator - Versionsgeschichte

Guenter am 6. Mai 2021 um 14:49 Uhr

2021-05-06T14:49:22Z

Guenter am 6. Mai 2021 um 14:45 Uhr

2021-05-06T14:45:24Z

Guenter am 6. Mai 2021 um 14:44 Uhr

2021-05-06T14:44:45Z

Guenter am 4. Oktober 2019 um 14:55 Uhr

2019-10-04T14:55:16Z

Guenter am 4. Oktober 2019 um 14:45 Uhr

2019-10-04T14:45:55Z

Guenter am 26. Juli 2018 um 08:17 Uhr

2018-07-26T08:17:59Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:52Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 24. Januar 2018 um 11:06 Uhr

2018-01-24T11:06:09Z

Guenter am 24. Januar 2018 um 10:56 Uhr

2018-01-24T10:56:02Z

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2018-01-03T13:04:26Z

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 :$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-
 {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
-*Daraus folgt $y_2(t) = - A \cdot \cos(2\pi f_0 t)$ und $y_2(t = 0)\;  \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.
+*Daraus folgt&nbsp; $y_2(t) = - A \cdot \cos(2\pi f_0 t)$&nbsp; und&nbsp; $y_2(t = 0)\;  \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.
@@ Zeile 127: / Zeile 127: @@
 \cdot{\sin} ( 45^\circ)= \hspace{0.15 cm}\underline{{\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}-{\rm
 j}\cdot {\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}}.$$
 ''Hinweis'': &nbsp;

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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H_{HT}(f)$&nbsp; des Hilbert-Transformators.&nbsp; Welcher Wert gilt für die Frequenz&nbsp; $f_0 = 10 \text{ kHz}$?
+{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm HT}(f)$&nbsp; des Hilbert-Transformators.&nbsp; Welcher Wert gilt für die Frequenz&nbsp; $f_0 = 10 \text{ kHz}$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $  { 0. }

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 [[Datei:P_ID717__Sig_Z_4_3_neu.png|right|frame|Hilbert-Transformator ]]
-Die Grafik beschreibt ein Modell, wie zumindest gedanklich
+Die Grafik beschreibt ein Modell, wie zumindest gedanklich,
 *aus dem reellen Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$
-*das analytische Signal&nbsp; $x_{+}(t)$
+*das analytische Signal&nbsp; $x_{+}(t)$&nbsp; generiert werden kann.
-generiert werden kann.
+Der untere Zweig enthält den so genannten &bdquo;Hilbert–Transformator&rdquo; mit dem Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm HT}(f)$.
-Der untere Zweig enthält den so genannten &bdquo;Hilbert–Transformator&rdquo; mit dem Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm HT}(f)$. Dessen Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; wird mit der imaginären Einheit&nbsp; $\rm j$&nbsp; multipliziert und zum Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; addiert:
+Dessen Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; wird mit der imaginären Einheit&nbsp; $\rm j$&nbsp; multipliziert und zum Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; addiert:
 :$$x_{\rm +}(t)= x(t) + {\rm j}\cdot y(t)  .$$
 Als Testsignale werden verwendet, jeweils mit&nbsp; $A = 1 \, \text{V}$&nbsp; und&nbsp; $f_0 = 10 \, \text{kHz}$:
@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H_{HT}(f)$&nbsp; des Hilbert-Transformators. Welcher Wert gilt für die Frequenz&nbsp; $f_0 = 10 \text{ kHz}$?
+{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H_{HT}(f)$&nbsp; des Hilbert-Transformators.&nbsp; Welcher Wert gilt für die Frequenz&nbsp; $f_0 = 10 \text{ kHz}$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $  { 0. }
@@ Zeile 41: / Zeile 41: @@
-{Wie lautet die Hilbert-Transformierte&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_1(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei&nbsp; $t = 0$?
+{Wie lautet die Hilbert-Transformierte&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_1(t)$?&nbsp; Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $y_1(t = 0)\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\rm V$
-{Wie lautet die Hilbert-Transformierte&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_2(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei&nbsp; $t = 0$?
+{Wie lautet die Hilbert-Transformierte&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_2(t)$?&nbsp; Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $y_2(t = 0)\ = \ $ { -1.03--0.97 } &nbsp;$\rm V$
-{Wie lautet die Hilbert-Transformierte&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_3(t)$? Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $t=0$? <br>Wie groß ist die Phasenverzögerung&nbsp; $\varphi_{\rm HT}$&nbsp; des Hilbert-Transformators?
+{Wie lautet die Hilbert-Transformierte&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_3(t)$?&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $t=0$?&nbsp; Wie groß ist die Phasenverzögerung&nbsp; $\varphi_{\rm HT}$&nbsp; des Hilbert-Transformators?
 |type="{}"}
 $\varphi_{\rm HT}\ = \ $ { 90 3% } &nbsp;$\text{Grad}$
@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
-{Wie lautet das zu&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; gehörige analytische Signal? Welche Werte haben Real– und Imaginärteil dieses komplexen Signals zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
+{Wie lautet das zu&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; gehörige analytische Signal?&nbsp; Welche Werte haben Real– und Imaginärteil dieses komplexen Signals zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[x_{3+}(t = 0)]\ = \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$

@@ Zeile 71: / Zeile 71: @@
 :$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm j}\cdot H_{\rm HT}(f)\right) \cdot
   X(f).$$
-Ein Vergleich mit der angegebenen Beziehung
+*Ein Vergleich mit der angegebenen Beziehung
 :$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm
 sign}(f)\right) \cdot  X(f)$$
-zeigt, dass $H_{\rm HT}(f) = - {\rm j} \cdot \sign(f)$ ist.
+:zeigt, dass&nbsp; $H_{\rm HT}(f) = - {\rm j} \cdot \sign(f)$&nbsp; ist.
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 :$$X_1(f) = {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})+
 {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
-wird nach dem Hilbert-Transformator:
+:wird nach dem Hilbert-Transformator:
 :$$Y_1(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm
 j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
-Damit lautet das Signal am Ausgang des Hilbert-Transformators:
+*Damit lautet das Signal am Ausgang des Hilbert-Transformators:
 :$$y_1(t) = A \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_0 t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_1(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$
@@ Zeile 94: / Zeile 96: @@
 :$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-
 {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
-Daraus folgt $y_2(t) = - A \cdot \cos(2\pi f_0 t)$ und $y_2(t = 0)\;  \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.
+*Daraus folgt $y_2(t) = - A \cdot \cos(2\pi f_0 t)$ und $y_2(t = 0)\;  \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.
@@ Zeile 102: / Zeile 106: @@
 A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t - \pi/4)\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_3(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t - 3\pi/4).$$
-*Die Signalphase ist somit $\varphi = \pi /4$.
+*Die Signalphase ist somit&nbsp; $\varphi = \pi /4$.
-*Durch den Hilbert-Transformator wird diese um $\varphi_{\rm HT} \;  \underline{= 90^\circ} \; (\pi /2)$ verzögert.
+*Durch den Hilbert-Transformator wird diese um&nbsp; $\varphi_{\rm HT} \;  \underline{= 90^\circ} \; (\pi /2)$&nbsp; verzögert.
-*Deshalb ist das Ausgangssignal $y_3(t) = A \cdot \cos(2\pi f_0 t -3 \pi /4)$ und der Signalwert zur Zeit $t = 0$ beträgt $A \cdot \cos(135^\circ) \; \underline{= -0.707  \,\text{V}}$.
+*Deshalb ist das Ausgangssignal&nbsp; $y_3(t) = A \cdot \cos(2\pi f_0 t -3 \pi /4)$&nbsp; und der Signalwert zur Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; beträgt&nbsp; $A \cdot \cos(135^\circ) \; \underline{= -0.707  \,\text{V}}$.
 '''(5)'''&nbsp;  Die Spektralfunktion des Signals $x_3(t)$ lautet:
 :$$X_3(f) = {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \varphi}\cdot\delta
 (f + f_{\rm 0}) + {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}
 \varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm 0})  .$$
-Beim analytischen Signal verschwindet der erste Anteil und der Anteil bei $+f_0$ wird verdoppelt:
+*Beim analytischen Signal verschwindet der erste Anteil und der Anteil bei&nbsp; $+f_0$&nbsp; wird verdoppelt:
 :$$X_{3+}(f) =  {A_0} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi}\cdot\delta (f
 - f_{\rm 0})  .$$
-Durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]] lautet damit die zugehörige Zeitfunktion mit $\varphi = \pi /4$:
+*Durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]&nbsp; lautet damit die zugehörige Zeitfunktion mit&nbsp; $\varphi = \pi /4$:
 :$$x_{3+}(t) = A_0 \cdot {\rm e}^{{\rm j}( 2 \pi f_{\rm 0} t
 \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
-Speziell gilt für den Zeitpunkt $t = 0$:
+*Speziell gilt für den Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
 :$$x_{3+}(t = 0) = A_0 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}
 \varphi} = A_0 \cdot{\cos} ( 45^\circ)-{\rm j}\cdot A_0
 \cdot{\sin} ( 45^\circ)= \hspace{0.15 cm}\underline{{\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}-{\rm
 j}\cdot {\rm 0.707 \hspace{0.05cm} V}}.$$
 ''Hinweis'': &nbsp;
-*Um von $x(t)$ zu $x_+(t)$ zu kommen, muss man nur die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion ersetzen.
+*Um von&nbsp; $x(t)$&nbsp; zu&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; zu kommen, muss man nur die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion ersetzen.
 *Beispielsweise gilt für eine harmonische Schwingung:
 :$$x(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID717__Sig_Z_4_3_neu.png|right|frame|Hilbert-Transformator ]]
 Die Grafik beschreibt ein Modell, wie zumindest gedanklich
-*aus dem reellen Bandpass–Signal $x(t)$
+*aus dem reellen Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$
-*das analytische Signal $x_{+}(t)$
+*das analytische Signal&nbsp; $x_{+}(t)$
 generiert werden kann.
-Der untere Zweig enthält den so genannten Hilbert–Transformator mit dem Frequenzgang $H_{\rm HT}(f)$. Dessen Ausgangssignal $y(t)$ wird mit der imaginären Einheit $\rm j$ multipliziert und zum Signal $x(t)$ addiert:
+Der untere Zweig enthält den so genannten &bdquo;Hilbert–Transformator&rdquo; mit dem Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm HT}(f)$. Dessen Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; wird mit der imaginären Einheit&nbsp; $\rm j$&nbsp; multipliziert und zum Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; addiert:
 :$$x_{\rm +}(t)= x(t) + {\rm j}\cdot y(t)  .$$
-Als Testsignale werden verwendet, jeweils mit $A = 1 \, \text{V}$ und $f_0 = 10 \, \text{kHz}$:
+Als Testsignale werden verwendet, jeweils mit&nbsp; $A = 1 \, \text{V}$&nbsp; und&nbsp; $f_0 = 10 \, \text{kHz}$:
 :$$x_1(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t ),$$
 :$$x_2(t) = A \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_0 t ),$$
-:$$x_3(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 (t - \tau) ) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\tau = 12.5 \hspace{0.1cm}{\rm &micro; s}.$$
+:$$x_3(t) = A \cdot  {\cos} \big( 2 \pi f_0 (t - \tau) \big) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\tau = 12.5 \hspace{0.1cm}{\rm &micro; s}.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
 *Für die Spektralfunktion des analytischen Signals gilt:
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Frequenzgang $H_{HT}(f)$ des Hilbert-Transformators. Welcher Wert gilt für die Frequenz $f_0 = 10 \text{ kHz}$?
+{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H_{HT}(f)$&nbsp; des Hilbert-Transformators. Welcher Wert gilt für die Frequenz&nbsp; $f_0 = 10 \text{ kHz}$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[H_{\rm HT}(f = f_0)]\ = \ $  { 0. }
@@ Zeile 37: / Zeile 41: @@
-{Wie lautet die Hilbert-Transformierte $y_1(t)$ für das Eingangssignal $x_1(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei $t = 0$?
+{Wie lautet die Hilbert-Transformierte&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_1(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $y_1(t = 0)\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\rm V$
-{Wie lautet die Hilbert-Transformierte $y_2(t)$ für das Eingangssignal $x_2(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei $t = 0$?
+{Wie lautet die Hilbert-Transformierte&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_2(t)$? Welcher Wert ergibt sich insbesondere bei&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $y_2(t = 0)\ = \ $ { -1.03--0.97 } &nbsp;$\rm V$
-{Wie lautet die Hilbert-Transformierte $y_3(t)$ für das Eingangssignal $x_3(t)$? Welcher Wert ergibt sich für $t=0$? <br>Wie groß ist die Phasenverzögerung $\varphi_{\rm HT}$ des Hilbert-Transformators?
+{Wie lautet die Hilbert-Transformierte&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_3(t)$? Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $t=0$? <br>Wie groß ist die Phasenverzögerung&nbsp; $\varphi_{\rm HT}$&nbsp; des Hilbert-Transformators?
 |type="{}"}
 $\varphi_{\rm HT}\ = \ $ { 90 3% } &nbsp;$\text{Grad}$
@@ Zeile 53: / Zeile 57: @@
-{Wie lautet das zu $x_3(t)$ gehörige analytische Signal? Welchen Wert haben Real– und Imaginärteil dieses komplexen Signals zum Zeitpunkt $t = 0$?
+{Wie lautet das zu&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; gehörige analytische Signal? Welche Werte haben Real– und Imaginärteil dieses komplexen Signals zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[x_{3+}(t = 0)]\ = \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$

@@ Zeile 59: / Zeile 59: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Für die Spektralfunktion am Modellausgang gilt:
+'''(1)'''&nbsp;  Für die Spektralfunktion am Modellausgang gilt:
 :$$X_{\rm +}(f)= \left(1 + {\rm j}\cdot H_{\rm HT}(f)\right) \cdot
   X(f).$$
@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 zeigt, dass $H_{\rm HT}(f) = – {\rm j} \cdot \sign(f)$ ist. Der gesuchte Realteil ist somit $\underline{0}$, der Imaginärteil gleich $\underline{–\hspace{-0.08cm}1}$.
-'''2.'''  Aus der Spektralfunktion
 :$$X_1(f) = {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})+
 {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
@@ Zeile 76: / Zeile 77: @@
 :$$y_1(t) = A \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_0 t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_1(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$
-'''3.'''  Nun lauten die Spektralfunktionen am Eingang und Ausgang des Hilbert-Transformators:
 :$$X_2(f) = {\rm j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-{\rm
 j}\cdot {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}),$$
 :$$Y_2(f) = -{A}/{2}\cdot\delta (f + f_{0})-
 {A}/{2}\cdot\delta (f - f_{0}).$$
-Daraus folgt $y_2(t) = – A \cdot cos(2\pi f_0 t)$ und $y_2(t = 0)\;  \underline{= –\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.
+Daraus folgt $y_2(t) = - A \cdot cos(2\pi f_0 t)$ und $y_2(t = 0)\;  \underline{= -\hspace{-0.08cm}1 \,\text{V}}$.
-'''4.'''  Dieses Eingangssignal lässt sich auch wie folgt darstellen:
+'''(4)'''&nbsp;  Dieses Eingangssignal lässt sich auch wie folgt darstellen:
 :$$x_3(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t -
 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot {\rm 0.0125 \hspace{0.05cm} ms}) =
-A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t - \pi/4).$$
+A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t - \pi/4)\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_3(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t - 3\pi/4).$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_3(t) = A \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_0 t - 3\pi/4).$$
-Die Signalphase ist somit $\varphi = \pi /4$. Durch den Hilbert-Transformator wird diese um $\varphi_{\rm HT} \;  \underline{= 90°} \; (\pi /2)$ verzögert. Deshalb ist das Ausgangssignal $y_3(t) = A \cdot cos(2\pi f_0 t – 3 \pi /4)$ und der Signalwert zur Zeit $t = 0$ beträgt $A \cdot cos(135°) \; \underline{= –0.707  \,\text{V}}$.
+Die Signalphase ist somit $\varphi = \pi /4$. Durch den Hilbert-Transformator wird diese um $\varphi_{\rm HT} \;  \underline{= 90^\circ} \; (\pi /2)$ verzögert. <br>Deshalb ist das Ausgangssignal $y_3(t) = A \cdot \cos(2\pi f_0 t -3 \pi /4)$ und der Signalwert zur Zeit $t = 0$ beträgt $A \cdot \cos(135^\circ) \; \underline{= -0.707  \,\text{V}}$.
-'''5.'''  Die Spektralfunktion des Signals $x_3(t)$ lautet:
+'''(5)'''&nbsp;  Die Spektralfunktion des Signals $x_3(t)$ lautet:
 :$$X_3(f) = {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \varphi}\cdot\delta
 (f + f_{\rm 0}) + {A_0}/{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}

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(kein Unterschied)