Aufgaben:Aufgabe 4.3Z: Diracförmige 2D-WDF - Versionsgeschichte

Guenter am 7. Februar 2022 um 15:42 Uhr

2022-02-07T15:42:12Z

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2022-02-07T15:36:00Z

Guenter am 26. November 2019 um 14:05 Uhr

2019-11-26T14:05:39Z

Guenter am 26. November 2019 um 13:52 Uhr

2019-11-26T13:52:26Z

Guenter am 16. August 2018 um 06:04 Uhr

2018-08-16T06:04:22Z

Guenter am 16. August 2018 um 05:48 Uhr

2018-08-16T05:48:42Z

Guenter am 16. August 2018 um 05:48 Uhr

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2018-08-15T10:52:56Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:51Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:40:59Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die  <u>beiden ersten Antworten</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp;  <u>beiden ersten Antworten</u>:
 *Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$&nbsp; erh&auml;lt man aus der 2D&ndash;WDF $f_{xy}(x, y)$&nbsp; durch Integration über&nbsp; $y$.
 *F&uuml;r alle m&ouml;glichen Werte&nbsp; $ x \in \{-2, -1, \ 0, +1, +2\}$&nbsp; sind die Wahrscheinlichkeiten gleich&nbsp; $0.2$.
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 [[Datei:P_ID258__Sto_Z_4_3_b.png|right|frame|Diskrete Rand&ndash;WDF $f_{y}(y)$]]
-'''(2)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 *Durch Integration &uuml;ber&nbsp; $x$&nbsp; erh&auml;lt man die rechts skizzierte WDF $f_{y}(y)$.
 * Aufgrund der Symmetrie ergibt sich der Mittelwert&nbsp; $m_y = 0$.
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 :$$F_{xy}(+1, +1) = {\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ].$$
-*Wie aus der 2D&ndash;WDF auf der Angabenseite zu ersehen, ist diese Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ]\hspace{0.15cm}\underline{=0.8}$.
+*Wie aus der 2D&ndash;WDF auf der Angabenseite zu ersehen,&nbsp; ist diese Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ]\hspace{0.15cm}\underline{=0.8}$.
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 :$$\rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x\cdot \sigma_y} = \frac{1.2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{1.4}}\hspace{0.15cm}\underline{=0.717}.$$
-*Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass wegen&nbsp; $m_x = m_y = 0$&nbsp; die Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy}$&nbsp; gleich dem Moment&nbsp; $m_{xy}$&nbsp; ist.
+*Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt,&nbsp; dass wegen&nbsp; $m_x = m_y = 0$&nbsp; die Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy}$&nbsp; gleich dem Moment&nbsp; $m_{xy}$&nbsp; ist.
 *Die Gleichung der Korrelationsgeraden lautet:
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 '''(7)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Bei statistischer Unabh&auml;ngigkeit m&uuml;sste $f_{xy}(x, y) = f_{x}(x) \cdot f_{y}(y)$&nbsp; gelten, was hier nicht erf&uuml;llt ist.
+*Bei statistischer Unabh&auml;ngigkeit m&uuml;sste $f_{xy}(x, y) = f_{x}(x) \cdot f_{y}(y)$&nbsp; gelten,&nbsp; was hier nicht erf&uuml;llt ist.
 *Aus der Korreliertheit&nbsp; $($folgt aus&nbsp; $\rho_{xy} \ne 0)$&nbsp; kann direkt auf die statistische Abh&auml;ngigkeit geschlossen werden,
-*denn Korrelation bedeutet eine Sonderform der statistischen Abh&auml;ngigkeit,
+*denn Korrelation bedeutet eine Sonderform der statistischen Abh&auml;ngigkeit,&nbsp;  nämlich die  lineare statistische Abh&auml;ngigkeit.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID257__Sto_Z_4_3.png|right|frame|Betrachtete diracförmige 2D-WDF]]
 In der Grafik ist die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{xy}(x, y)$&nbsp; der zwei diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; dargestellt.
-*Diese 2D&ndash;WDF besteht aus acht Diracpunkten, durch Kreuze markiert.&nbsp; Die Zahlenwerte geben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an.
+*Diese 2D&ndash;WDF besteht aus acht Diracpunkten,&nbsp; durch Kreuze markiert.&nbsp; Die Zahlenwerte geben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an.
-*Es ist zu erkennen, dass sowohl&nbsp; $x$&nbsp; als auch&nbsp; $y$&nbsp; alle ganzzahligen Werte zwischen den Grenzen&nbsp; $-2$&nbsp; und&nbsp; $+2$&nbsp; annehmen k&ouml;nnen.
+*Es ist zu erkennen,&nbsp; dass sowohl&nbsp; $x$&nbsp; als auch&nbsp; $y$&nbsp; alle ganzzahligen Werte zwischen den Grenzen&nbsp; $-2$&nbsp; und&nbsp; $+2$&nbsp; annehmen k&ouml;nnen.
 *Die Varianzen der beiden Zufallsgr&ouml;&szlig;en sind wie folgt gegeben:  &nbsp; $\sigma_x^2 = 2$, &nbsp; $\sigma_y^2 = 1.4$.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
 *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]]
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 + Die Wahrscheinlichkeiten für&nbsp; $-2$,&nbsp; $-1$,&nbsp; &nbsp; $0$,&nbsp; $+1$&nbsp; und&nbsp; $+2$&nbsp; sind gleich.
 + Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; ist mittelwertfrei&nbsp; $(m_x = 0)$.
-- Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(x \le 1)$&nbsp; ist&nbsp; $0.9$.
+- Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(x \le 1)=0.9$.
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 - Die Wahrscheinlichkeiten für&nbsp; $-2$,&nbsp; $-1$,&nbsp; &nbsp; $0$,&nbsp; $+1$&nbsp; und&nbsp; $+2$&nbsp; sind gleich.
 + Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; ist mittelwertfrei&nbsp; $(m_y = 0)$.
-+ Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(y \le 1)$&nbsp; ist&nbsp; $0.9$.
++ Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(y \le 1)=0.9$.
-{Berechnen Sie den Wert der zweidimensionalen VTF an der Stelle&nbsp; $(+1, +1)$.
+{Berechnen Sie den Wert der zweidimensionalen Verteilungsfunktion&nbsp;  $\rm (VTF)$&nbsp; an der Stelle&nbsp; $(+1, +1)$.
 |type="{}"}
 $F_{xy}(+1, +1) \ = \ $  { 0.8 3% }
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x \le 1$&nbsp; gilt, unter der Bedingung, dass gleichzeitig&nbsp; $y \le 1$&nbsp; ist.
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $x \le 1$&nbsp; gilt,&nbsp; unter der Bedingung,&nbsp; dass gleichzeitig&nbsp; $y \le 1$&nbsp; ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x ≤ 1\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}y ≤ 1)\ = \ $ { 0.889 3% }
@@ Zeile 57: / Zeile 54: @@
-{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; und geben Sie die Gleichung der Korrelationsgeraden&nbsp; $K(x)$&nbsp; an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist deren Winkel zur&nbsp; $x$-Achse?
+{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy}$.&nbsp; Geben Sie die Gleichung der Korrelationsgeraden&nbsp; $K(x)$&nbsp; an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist deren Winkel zur&nbsp; $x$-Achse?
 |type="{}"}
 $\rho_{xy}\ = \ $ { 0.707 3% }
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 |type="[]"}
 - Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; sind statistisch unabh&auml;ngig.
-+ Man erkennt bereits aus der vorgegebenen 2D-WDF, dass&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; statistisch voneinander abh&auml;ngen.
++ Man erkennt bereits aus der vorgegebenen 2D-WDF,&nbsp; dass&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; statistisch voneinander abh&auml;ngen.
 + Aus dem berechneten Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; kann man auf die statistische Abh&auml;ngigkeit zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; schließen.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die  <u>beiden ersten Antworten</u>:
-*Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$ erh&auml;lt man aus der 2D&ndash;WDF $f_{xy}(x, y)$ durch Integration über $y$.
+*Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$&nbsp; erh&auml;lt man aus der 2D&ndash;WDF $f_{xy}(x, y)$&nbsp; durch Integration über&nbsp; $y$.
-*F&uuml;r alle m&ouml;glichen Werte $ x \in \{-2, -1, \ 0, +1, +2\}$ sind die Wahrscheinlichkeiten gleich $0.2$.
+*F&uuml;r alle m&ouml;glichen Werte&nbsp; $ x \in \{-2, -1, \ 0, +1, +2\}$&nbsp; sind die Wahrscheinlichkeiten gleich&nbsp; $0.2$.
-*Es gilt ${\rm Pr}(x \le 1)= 0.8$ und der Mittelwert ist $m_x = 0$.
+*Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(x \le 1)= 0.8$&nbsp; und der Mittelwert ist&nbsp; $m_x = 0$.
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 [[Datei:P_ID258__Sto_Z_4_3_b.png|right|frame|Diskrete Rand&ndash;WDF $f_{y}(y)$]]
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Durch Integration &uuml;ber $x$ erh&auml;lt man die rechts skizzierte WDF $f_{y}(y)$.
+*Durch Integration &uuml;ber&nbsp; $x$&nbsp; erh&auml;lt man die rechts skizzierte WDF $f_{y}(y)$.
-* Aufgrund der Symmetrie ergibt sich der Mittelwert $m_y = 0$.
+* Aufgrund der Symmetrie ergibt sich der Mittelwert&nbsp; $m_y = 0$.
-*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(y \le 1)= 0.9$.
+*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist&nbsp; ${\rm Pr}(y \le 1)= 0.9$.
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 :$$F_{xy}(r_x, r_y) = {\rm Pr} \big [(x \le r_x)\cap(y\le r_y)\big ].$$
-F&uuml;r $r_x = r_y = 1$ folgt daraus:
+*F&uuml;r&nbsp; $r_x = r_y = 1$&nbsp; folgt daraus:
 :$$F_{xy}(+1, +1) = {\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ].$$
-Wie aus der 2D&ndash;WDF auf der Angabenseite zu ersehen, ist diese Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ]\hspace{0.15cm}\underline{=0.8}$.
+*Wie aus der 2D&ndash;WDF auf der Angabenseite zu ersehen, ist diese Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ]\hspace{0.15cm}\underline{=0.8}$.
 '''(4)'''&nbsp; Hierf&uuml;r kann mit dem Satz von Bayes auch geschrieben werden:
-:$$ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = \frac{ \rm Pr\big [(\it x \le \rm 1)\cap(\it y\le \rm 1)\big ]}{ \rm Pr(\it y\le \rm 1)} = \it \frac{F_{xy}(\rm 1, \rm 1)}{F_{y}(\rm 1)}.$$
+:$$ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = \frac{ \rm Pr\big [(\it x \le \rm 1)\cap(\it y\le \rm 1)\big ]}{ \rm Pr(\it y\le \rm 1)} = \it \frac{F_{xy} \rm (1, \rm 1)}{F_{y}\rm (1)}.$$
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 :$$m_{xy} = {\rm E}\big[x\cdot y \big] = \sum\limits_{i} {\rm Pr}( x_i \cap y_i)\cdot x_i\cdot y_i.   $$
-Es verbleiben fünf Diracfunktionen mit $x_i \cdot y_i \ne 0$:
+*Es verbleiben fünf Diracfunktionen mit&nbsp; $x_i \cdot y_i \ne 0$:
 :$$m_{xy} = \rm 0.1\cdot (-2) (-1) + 0.2\cdot(-1) (-1)+ 0.2\cdot 1\cdot 1 + 0.1\cdot 2\cdot 1+ 0.1\cdot 2\cdot 2\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.2}.$$
-[[Datei:P_ID259__Sto_Z_4_3_f.png|right|frame|2D-WDF $f_{xy}(x, y)$ und Korrelationsgerade $y = K(x)$]]
 '''(6)'''&nbsp; F&uuml;r den Korrelationskoeffizienten gilt:
 :$$\rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x\cdot \sigma_y} = \frac{1.2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{1.4}}\hspace{0.15cm}\underline{=0.717}.$$
-Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass wegen $m_x = m_y = 0$ die Kovarianz $\mu_{xy}$ gleich dem Moment $m_{xy}$ ist.
+*Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass wegen&nbsp; $m_x = m_y = 0$&nbsp; die Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy}$&nbsp; gleich dem Moment&nbsp; $m_{xy}$&nbsp; ist.
-Die Gleichung der Korrelationsgeraden lautet:
+*Die Gleichung der Korrelationsgeraden lautet:
 :$$y=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot \rho_{xy}\cdot x = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x^{\rm 2}}\cdot x = \rm 0.6\cdot \it x.$$
-Im Bild ist die Gerade $y = K(x)$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen Korrelationsgerade und  $x$-Achse betr&auml;gt
+*Im Bild ist die Gerade&nbsp; $y = K(x)$&nbsp; eingezeichnet.&nbsp; Der Winkel zwischen Korrelationsgerade und&nbsp;  $x$-Achse betr&auml;gt
 :$$\theta_{y\hspace{0.05cm}→\hspace{0.05cm} x} = \arctan(0.6) \hspace{0.15cm}\underline{=31^\circ}.$$
 '''(7)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Bei statistischer Unabh&auml;ngigkeit m&uuml;sste $f_{xy}(x, y) = f_{x}(x) \cdot f_{y}(y)$ gelten, was hier nicht erf&uuml;llt ist.
+*Bei statistischer Unabh&auml;ngigkeit m&uuml;sste $f_{xy}(x, y) = f_{x}(x) \cdot f_{y}(y)$&nbsp; gelten, was hier nicht erf&uuml;llt ist.
-*Aus der Korreliertheit (folgt aus $\rho_{xy} \ne 0$) kann direkt auf die statistische Abh&auml;ngigkeit geschlossen werden,
+*Aus der Korreliertheit&nbsp; $($folgt aus&nbsp; $\rho_{xy} \ne 0)$&nbsp; kann direkt auf die statistische Abh&auml;ngigkeit geschlossen werden,
 *denn Korrelation bedeutet eine Sonderform der statistischen Abh&auml;ngigkeit,
 *nämlich die  lineare statistische Abh&auml;ngigkeit.

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 [[Datei:P_ID257__Sto_Z_4_3.png|right|frame|Betrachtete diracförmige 2D-WDF]]
-In der Grafik ist die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{xy}(x, y)$ der zwei diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;en $x$ und $y$ dargestellt.
+In der Grafik ist die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{xy}(x, y)$&nbsp; der zwei diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; dargestellt.
-*Diese 2D&ndash;WDF besteht aus acht Diracpunkten, durch Kreuze markiert. Die Zahlenwerte geben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an.
+*Diese 2D&ndash;WDF besteht aus acht Diracpunkten, durch Kreuze markiert.&nbsp; Die Zahlenwerte geben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an.
-*Es ist zu erkennen, dass sowohl $x$ als auch $y$ alle ganzzahligen Werte zwischen den Grenzen $-2$ und $+2$ annehmen k&ouml;nnen.
+*Es ist zu erkennen, dass sowohl&nbsp; $x$&nbsp; als auch&nbsp; $y$&nbsp; alle ganzzahligen Werte zwischen den Grenzen&nbsp; $-2$&nbsp; und&nbsp; $+2$&nbsp; annehmen k&ouml;nnen.
 *Die Varianzen der beiden Zufallsgr&ouml;&szlig;en sind wie folgt gegeben:  &nbsp; $\sigma_x^2 = 2$, &nbsp; $\sigma_y^2 = 1.4$.
 <br>
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
-*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]]
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]]
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 <quiz display=simple>
-{Welche der folgenden Aussagen trefen hinsichtlich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ zu?
+{Welche der folgenden Aussagen trefen hinsichtlich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ Die Wahrscheinlichkeiten für $-2$, $-1$, &nbsp; $0$, $+1$ und $+2$ sind gleich.
++ Die Wahrscheinlichkeiten für&nbsp; $-2$,&nbsp; $-1$,&nbsp; &nbsp; $0$,&nbsp; $+1$&nbsp; und&nbsp; $+2$&nbsp; sind gleich.
-+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ ist mittelwertfrei $(m_x = 0)$.
++ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; ist mittelwertfrei&nbsp; $(m_x = 0)$.
-- Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(x \le 1)$ ist $0.9$.
+- Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(x \le 1)$&nbsp; ist&nbsp; $0.9$.
-{Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ zu?
+{Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-- Die Wahrscheinlichkeiten für $-2$, $-1$, &nbsp;  $0$, $+1$ und $+2$ sind gleich.
+- Die Wahrscheinlichkeiten für&nbsp; $-2$,&nbsp; $-1$,&nbsp; &nbsp; $0$,&nbsp; $+1$&nbsp; und&nbsp; $+2$&nbsp; sind gleich.
-+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ ist mittelwertfrei $(m_y = 0)$.
++ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; ist mittelwertfrei&nbsp; $(m_y = 0)$.
-+ Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(y \le 1)$ ist $0.9$.
++ Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(y \le 1)$&nbsp; ist&nbsp; $0.9$.
-{Berechnen Sie den Wert der zweidimensionalen VTF an der Stelle $(+1, +1)$.
+{Berechnen Sie den Wert der zweidimensionalen VTF an der Stelle&nbsp; $(+1, +1)$.
 |type="{}"}
 $F_{xy}(+1, +1) \ = \ $  { 0.8 3% }
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $x \le 1$ gilt, unter der Bedingung, dass gleichzeitig $y \le 1$ ist.
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x \le 1$&nbsp; gilt, unter der Bedingung, dass gleichzeitig&nbsp; $y \le 1$&nbsp; ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x ≤ 1\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}y ≤ 1)\ = \ $ { 0.889 3% }
-{Berechnen Sie das gemeinsame Moment $m_{xy}$ der Zufallsgr&ouml;&szlig;en $x$ und $y$.
+{Berechnen Sie das gemeinsame Moment&nbsp; $m_{xy}$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.
 |type="{}"}
 $m_{xy}\ = \ $ { 1.2 3% }
-{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy}$ und geben Sie die Gleichung der Korrelationsgeraden $K(x)$ an.
+{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; und geben Sie die Gleichung der Korrelationsgeraden&nbsp; $K(x)$&nbsp; an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist deren Winkel zur&nbsp; $x$-Achse?
 |type="{}"}
 $\rho_{xy}\ = \ $ { 0.707 3% }
@@ Zeile 63: / Zeile 65: @@
 {Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en $x$ und $y$ sind statistisch unabh&auml;ngig.
+- Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; sind statistisch unabh&auml;ngig.
-+ Man erkennt bereits aus der vorgegebenen 2D-WDF, dass $x$ und $y$ statistisch voneinander abh&auml;ngen.
++ Man erkennt bereits aus der vorgegebenen 2D-WDF, dass&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; statistisch voneinander abh&auml;ngen.
-+ Aus dem berechneten Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy}$ kann man auf die statistische Abh&auml;ngigkeit zwischen $x$ und $y$ schließen.
++ Aus dem berechneten Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; kann man auf die statistische Abh&auml;ngigkeit zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; schließen.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind  <u>die beiden ersten Antworten</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die  <u>beiden ersten Antworten</u>:
 *Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$ erh&auml;lt man aus der 2D&ndash;WDF $f_{xy}(x, y)$ durch Integration über $y$.
-*F&uuml;r alle m&ouml;glichen Werte $ x \in \{-2, -1, 0, +1, +2\}$ sind die Wahrscheinlichkeiten gleich $0.2$.
+*F&uuml;r alle m&ouml;glichen Werte $ x \in \{-2, -1, \ 0, +1, +2\}$ sind die Wahrscheinlichkeiten gleich $0.2$.
 *Es gilt ${\rm Pr}(x \le 1)= 0.8$ und der Mittelwert ist $m_x = 0$.
-[[Datei:P_ID258__Sto_Z_4_3_b.png|right|Diskrete Rand-WDF]]
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 *Durch Integration &uuml;ber $x$ erh&auml;lt man die rechts skizzierte WDF $f_{y}(y)$.
 * Aufgrund der Symmetrie ergibt sich der Mittelwert $m_y = 0$.
 *Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(y \le 1)= 0.9$.
 '''(3)'''&nbsp;  Definitionsgemäß gilt:
-$$F_{xy}(r_x, r_y) = \rm Pr((\it x \le r_x)\cap(\it y\le r_y)).$$
+:$$F_{xy}(r_x, r_y) = {\rm Pr} \big [(x \le r_x)\cap(y\le r_y)\big ].$$
 F&uuml;r $r_x = r_y = 1$ folgt daraus:
-$$F_{xy}(+1, +1) = {\rm Pr}((x \le 1)\cap(y\le 1)).$$
+:$$F_{xy}(+1, +1) = {\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ].$$
-Wie aus der 2D&ndash;WDF auf der Angabenseite zu ersehen, ist diese Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}((x \le 1)\cap(y\le 1))\hspace{0.15cm}\underline{=0.8}$.
+Wie aus der 2D&ndash;WDF auf der Angabenseite zu ersehen, ist diese Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ]\hspace{0.15cm}\underline{=0.8}$.
 '''(4)'''&nbsp; Hierf&uuml;r kann mit dem Satz von Bayes auch geschrieben werden:
-$$ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = \frac{ \rm Pr((\it x \le \rm 1)\cap(\it y\le \rm 1))}{ \rm Pr(\it y\le \rm 1)} = \it \frac{F_{xy}(\rm 1, \rm 1)}{F_{y}(\rm 1)}.$$
+:$$ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = \frac{ \rm Pr\big [(\it x \le \rm 1)\cap(\it y\le \rm 1)\big ]}{ \rm Pr(\it y\le \rm 1)} = \it \frac{F_{xy}(\rm 1, \rm 1)}{F_{y}(\rm 1)}.$$
-Mit den Ergebnissen aus (2) und (3) folgt daraus $ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = 0.8/0.9 = 8/9 \hspace{0.15cm}\underline{=0.889}$.
+Mit den Ergebnissen aus '''(2)''' und '''(3)''' folgt daraus $ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = 0.8/0.9 = 8/9 \hspace{0.15cm}\underline{=0.889}$.
 '''(5)'''&nbsp; Entsprechend der Definition gilt für das gemeinsame Moment:
-$$m_{xy} = {\rm E}[x\cdot y] = \sum\limits_{i} {\rm Pr}( x_i \cap y_i)\cdot x_i\cdot y_i.   $$
+:$$m_{xy} = {\rm E}\big[x\cdot y \big] = \sum\limits_{i} {\rm Pr}( x_i \cap y_i)\cdot x_i\cdot y_i.   $$
 Es verbleiben fünf Diracfunktionen mit $x_i \cdot y_i \ne 0$:
-$$m_{xy} = \rm 0.1\cdot (-2) (-1) + 0.2\cdot(-1) (-1)+ 0.2\cdot 1\cdot 1 + 0.1\cdot 2\cdot 1+ 0.1\cdot 2\cdot 2\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.2}.$$
+:$$m_{xy} = \rm 0.1\cdot (-2) (-1) + 0.2\cdot(-1) (-1)+ 0.2\cdot 1\cdot 1 + 0.1\cdot 2\cdot 1+ 0.1\cdot 2\cdot 2\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.2}.$$
-[[Datei:P_ID259__Sto_Z_4_3_f.png|right|2D-WDF]]
+[[Datei:P_ID259__Sto_Z_4_3_f.png|right|frame|2D-WDF $f_{xy}(x, y)$ und Korrelationsgerade $y = K(x)$]]
 '''(6)'''&nbsp; F&uuml;r den Korrelationskoeffizienten gilt:
-$$\rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x\cdot \sigma_y} = \frac{1.2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{1.4}}\hspace{0.15cm}\underline{=0.717}.$$
+:$$\rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x\cdot \sigma_y} = \frac{1.2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{1.4}}\hspace{0.15cm}\underline{=0.717}.$$
-Hier ist ber&uuml;cksichtigt, dass wegen $m_x = m_y = 0$ die Kovarianz $\mu_{xy}$ gleich dem Moment $m_{xy}$ ist.
+Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass wegen $m_x = m_y = 0$ die Kovarianz $\mu_{xy}$ gleich dem Moment $m_{xy}$ ist.
 Die Gleichung der Korrelationsgeraden lautet:
-$$y=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot \rho_{xy}\cdot x = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x^{\rm 2}}\cdot x = \rm 0.6\cdot \it x.$$
+:$$y=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot \rho_{xy}\cdot x = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x^{\rm 2}}\cdot x = \rm 0.6\cdot \it x.$$
 '''(7)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 *Bei statistischer Unabh&auml;ngigkeit m&uuml;sste $f_{xy}(x, y) = f_{x}(x) \cdot f_{y}(y)$ gelten, was hier nicht erf&uuml;llt ist.
-*Aus der Korreliertheit (folgt aus $\rho_{xy} \ne 0$) kann direkt auf die statistische Abh&auml;ngigkeit geschlossen werden, denn Korrelation bedeutet eine Sonderform der statistischen Abh&auml;ngigkeit,  nämlich die  lineare statistische Abh&auml;ngigkeit.
+*Aus der Korreliertheit (folgt aus $\rho_{xy} \ne 0$) kann direkt auf die statistische Abh&auml;ngigkeit geschlossen werden,
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
 *Bezuig genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]]
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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