Aufgaben:Aufgabe 4.3: Zeigerdiagrammdarstellung - Versionsgeschichte

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	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^4. Bandpassartige Signale^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^4. Bandpassartige Signale^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.3:_Pointer_Diagram_Representation]]

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	*Insgesamt ergibt sich		*Insgesamt ergibt sich

	:$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 5 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t) .$$
	\cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 5 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t) .$$


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	*Somit lautet die Zeitfunktion:		*Somit lautet die Zeitfunktion:

	:$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t + 90^\circ) = -3\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$
	\cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t + 90^\circ) = -3\hspace{0.05cm}{\rm V}
	\cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$

	Dieses Signal ist „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann:		Dieses Signal ist „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann:
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	*Es gilt dann mit  $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}} $  die folgende Beziehung:		*Es gilt dann mit  $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}} $  die folgende Beziehung:

	:$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\cos} ( 60^\circ) = 1.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
	\cdot {\cos} ( 60^\circ) = 1.5\hspace{0.05cm}{\rm V}
	.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^4. Bandpassartige Signale^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^4. Bandpassartige Signale^]]

Guenter am 4. Oktober 2019 um 14:35 Uhr

2019-10-04T14:35:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Oktober 2019, 16:35 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die Amplitude der harmonischen Schwingung ist gleich der Zeigerlänge. Für alle Signale gilt $A \; \underline{= 3 \ \text{V}}$.		'''(1)'''  Die Amplitude der harmonischen Schwingung ist gleich der Zeigerlänge. Für alle Signale gilt  $A \; \underline{= 3 \ \text{V}}$.


			'''(2)'''  Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu  $f_1 = \omega_1/(2\pi ) \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.
	'''(2)'''  Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu $f_1 = \omega_1/(2\pi ) \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$. Die Phase kann aus $S_1 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi_1}$ ermittelt werden und ist $\varphi_1 \; \underline{= 0}$. ~~<br>~~Insgesamt ergibt sich		*Die Phase kann aus  $S_1 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi_1}$  ermittelt werden und ist  $\varphi_1 \; \underline{= 0}$.
			*Insgesamt ergibt sich

	:$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}
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	'''(3)'''  Wegen $\omega_2 = 2\cdot \omega_1$ beträgt nun die Frequenz $f_2 = 2 \cdot f_1 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$ . Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt $S_2$ zu $\text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\varphi_2} = \text{j}$   ⇒   $\varphi_2 \; \underline{= -\pi /2 \; (-90^{\circ})}$. Somit lautet die Zeitfunktion:		'''(3)'''  Wegen  $\omega_2 = 2\cdot \omega_1$  beträgt nun die Frequenz  $f_2 = 2 \cdot f_1 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$.
			*Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt  $S_2$  zu  $\text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\varphi_2} = \text{j}$   ⇒   $\varphi_2 \; \underline{= -\pi /2 \; (-90^{\circ})}$.
			*Somit lautet die Zeitfunktion:

	:$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}
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	\cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$		\cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$

	Dieses Signal ist ~~somit~~ „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann:		Dieses Signal ist „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann:
	*Der Realteil von $x_{2+}(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ ist Null. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil.		*Der Realteil von  $x_{2+}(t)$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  ist Null. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil.
	*Nach einer viertel Umdrehung ist $x_2(T/4) = - 3 \ \text{V}$.		*Nach einer viertel Umdrehung ist  $x_2(T/4) = - 3 \ \text{V}$.
	*Dreht man nochmals in Schritten von $90^\circ$ entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte $0 \ \text{V}$, $3 \ \text{V}$, und $0 \ \text{V}$.		*Dreht man nochmals in Schritten von  $90^\circ$  entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte  $0 \ \text{V}$,  $3 \ \text{V}$  und  $0 \ \text{V}$.


	'''(4)'''  Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen '''(2)''' und '''(3)''' gelöst werden:   $f_3 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$, $\varphi_3 \; \underline{= 60^\circ}$.		'''(4)'''  Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen  '''(2)'''  und '''(3)''' gelöst werden:
			:$$f_3 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}, \ \varphi_3 \; \underline{= 60^\circ}.$$


	'''(5)'''  Der Zeiger benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer $T_3 = 1/f_3 \; \underline{= 0.1 \ \text{ms}} \;(= t_1)$.		'''(5)'''  Der Zeiger benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer  $T_3 = 1/f_3 \; \underline{= 0.1 \ \text{ms}} \;(= t_1)$.


	'''(6)'''  Das analytische Signal startet bei $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}60^{\circ}}$.		'''(6)'''  Das analytische Signal startet bei  $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}60^{\circ}}$.
	*Dreht das Signal um $120^\circ$ weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil.		*Dreht das Signal um  $120^\circ$  weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil.
	*Es gilt dann mit $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}} $ die folgende Beziehung:		*Es gilt dann mit  $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}} $  die folgende Beziehung:

	:$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}

Guenter am 4. Oktober 2019 um 14:25 Uhr

2019-10-04T14:25:48Z

Guenter am 26. Juli 2018 um 08:00 Uhr

2018-07-26T08:00:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2018, 10:00 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:


	''~~Hinweis~~:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
			*Das interaktive Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] verdeutlicht die hier behandelte Thematik.

Guenter am 26. Juli 2018 um 07:58 Uhr

2018-07-26T07:58:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2018, 09:58 Uhr
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	[[Datei:P_ID716__Sig_A_4_3.png\|250px\|right\|frame\|Zeigerdiagramm einer Harmonischen]]		[[Datei:P_ID716__Sig_A_4_3.png\|250px\|right\|frame\|Zeigerdiagramm einer Harmonischen]]

	Wir betrachten ein analytisches Signal $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische ~~BP–Signale~~ $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte $S_i = x_i(t = 0)$ unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:		Wir betrachten ein analytisches Signal $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische Bandpass–Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte $S_i = x_i(t = 0)$ unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:
	*Das analytische Signal $x_{1+}(t)$ beginnt bei $S_1 = 3 \ \rm V$. Die Winkelgeschwindigkeit ist $\omega_1 = \pi \cdot 10^{4} \ 1/\text{s}$.		*Das analytische Signal $x_{1+}(t)$ beginnt bei $S_1 = 3 \ \rm V$. Die Winkelgeschwindigkeit ist $\omega_1 = \pi \cdot 10^{4} \ 1/\text{s}$.
	*Das Signal $x_{2+}(t)$ beginnt beim grünen Startpunkt $S_2 = {\rm j} \cdot 3 \ \text{V}$ und dreht gegenüber $x_{1+}(t)$ mit doppelter Winkelgeschwindigkeit   ⇒   $\omega_2 = 2 \cdot \omega_1$.		*Das Signal $x_{2+}(t)$ beginnt beim grünen Startpunkt $S_2 = {\rm j} \cdot 3 \ \text{V}$ und dreht gegenüber $x_{1+}(t)$ mit doppelter Winkelgeschwindigkeit   ⇒   $\omega_2 = 2 \cdot \omega_1$.
	*Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\pi /3}$ und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal $x_{2+}(t)$.		*Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\pi /3}$ und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal $x_{2+}(t)$.


Zeile 14:		Zeile 14:


	''~~Hinweise~~:''		''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].

Zeile 58:		Zeile 58:


	'''(2)'''  Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu $f_1 = \omega_1/(2\pi ) \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$. Die Phase kann aus $S_1 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j} \cdot \varphi_1}$ ermittelt werden und ist $\varphi_1 \; \underline{= 0}$. Insgesamt ergibt sich		'''(2)'''  Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu $f_1 = \omega_1/(2\pi ) \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$. Die Phase kann aus $S_1 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi_1}$ ermittelt werden und ist $\varphi_1 \; \underline{= 0}$. <br>Insgesamt ergibt sich

	:$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}
Zeile 64:		Zeile 64:


	'''(3)'''  Wegen $\omega_2 = 2\cdot \omega_1$ beträgt nun die Frequenz $f_2 = 2 \cdot f_1 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$ . Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt $S_2$ zu $\text{e}^{–\text{j} \cdot \varphi_2} = \text{j}$   ⇒   $\varphi_2 \; \underline{= –\pi /2 \; (~~–90~~^{\circ})}$. Somit lautet die Zeitfunktion:		'''(3)'''  Wegen $\omega_2 = 2\cdot \omega_1$ beträgt nun die Frequenz $f_2 = 2 \cdot f_1 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$ . Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt $S_2$ zu $\text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\varphi_2} = \text{j}$   ⇒   $\varphi_2 \; \underline{= -\pi /2 \; (-90^{\circ})}$. Somit lautet die Zeitfunktion:

	:$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}
Zeile 72:		Zeile 72:
	Dieses Signal ist somit „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann:		Dieses Signal ist somit „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann:
	*Der Realteil von $x_{2+}(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ ist Null. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil.		*Der Realteil von $x_{2+}(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ ist Null. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil.
	*Nach einer viertel Umdrehung ist $x_2(T/4) = - 3 \ \text{V}$. Dreht man nochmals in Schritten von $90^\circ$ entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte $0 \ \text{V}$, $3 \ \text{V}$, und $0 \ \text{V}$.		*Nach einer viertel Umdrehung ist $x_2(T/4) = - 3 \ \text{V}$.
			*Dreht man nochmals in Schritten von $90^\circ$ entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte $0 \ \text{V}$, $3 \ \text{V}$, und $0 \ \text{V}$.


	'''(4)'''  Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen (2) und (3) gelöst werden:   $f_3 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$, $\varphi_3 \; \underline{= 60^\circ}$.		'''(4)'''  Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen '''(2)''' und '''(3)''' gelöst werden:   $f_3 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$, $\varphi_3 \; \underline{= 60^\circ}$.


Zeile 81:		Zeile 82:


	'''(6)'''  Das analytische Signal startet bei $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}60^{\circ}}$. Dreht das Signal um $120^\circ$ weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil. Es gilt dann mit $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}} $ die folgende Beziehung:		'''(6)'''  Das analytische Signal startet bei $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}60^{\circ}}$.
			*Dreht das Signal um $120^\circ$ weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil.
			*Es gilt dann mit $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}} $ die folgende Beziehung:

	:$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:51Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 24. Januar 2018 um 10:50 Uhr

2018-01-24T10:50:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Januar 2018, 12:50 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID716__Sig_A_4_3.png\|250px\|right\|Zeigerdiagramm einer Harmonischen]]		[[Datei:P_ID716__Sig_A_4_3.png\|250px\|right\|frame\|Zeigerdiagramm einer Harmonischen]]

	Wir betrachten ein analytisches Signal $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische BP–Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte $S_i = x_i(t = 0)$ unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:		Wir betrachten ein analytisches Signal $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische BP–Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte $S_i = x_i(t = 0)$ unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''1.''' Die Amplitude der harmonischen Schwingung ist gleich der Zeigerlänge. Für alle Signale gilt $A \; \underline{= 3 \ \text{V}}$.		'''(1)'''  Die Amplitude der harmonischen Schwingung ist gleich der Zeigerlänge. Für alle Signale gilt $A \; \underline{= 3 \ \text{V}}$.

	'''2.''' Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu $f_1 = \omega_1/(2\pi ) \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$. Die Phase kann aus $S_1 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j} \cdot \varphi_1}$ ermittelt werden und ist $\varphi_1 \; \underline{= 0}$. Insgesamt ergibt sich

			'''(2)'''  Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu $f_1 = \omega_1/(2\pi ) \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$. Die Phase kann aus $S_1 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j} \cdot \varphi_1}$ ermittelt werden und ist $\varphi_1 \; \underline{= 0}$. Insgesamt ergibt sich

	$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}
	\cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 5 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t) .$$		\cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 5 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t) .$$

	'''3.''' Wegen $\omega_2 = 2\omega_1$ beträgt nun die Frequenz $f_2 = 2 \cdot f_1 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$ . Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt $S_2$ zu $\text{e}^{–\text{j} \cdot \varphi_2} = \text{j}$   ⇒   $\varphi_2 \; \underline{= –\pi /2 \; (–90^{\circ})}$. Somit lautet die Zeitfunktion:
			'''(3)'''  Wegen $\omega_2 = 2\cdot \omega_1$ beträgt nun die Frequenz $f_2 = 2 \cdot f_1 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$ . Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt $S_2$ zu $\text{e}^{–\text{j} \cdot \varphi_2} = \text{j}$   ⇒   $\varphi_2 \; \underline{= –\pi /2 \; (–90^{\circ})}$. Somit lautet die Zeitfunktion:

	$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}
	\cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t + 90^\circ) = -3\hspace{0.05cm}{\rm V}		\cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t + 90^\circ) = -3\hspace{0.05cm}{\rm V}
	\cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$		\cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$

	Dieses Signal ist somit „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann:		Dieses Signal ist somit „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann:
	*Der Realteil von $x_{2+}(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ ist 0. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil.		*Der Realteil von $x_{2+}(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ ist Null. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil.
	*Nach einer viertel Umdrehung ist $x_2(T/4) = - 3 \ \text{V}$. Dreht man nochmals in Schritten von $90^\circ$ entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte $0 \ \text{V}$, $3 \ \text{V}$, und $0 \ \text{V}$.		*Nach einer viertel Umdrehung ist $x_2(T/4) = - 3 \ \text{V}$. Dreht man nochmals in Schritten von $90^\circ$ entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte $0 \ \text{V}$, $3 \ \text{V}$, und $0 \ \text{V}$.


	'''4.''' Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen 2) und 3) gelöst werden: $f_3 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$, $\varphi_3 \; \underline{= 60^\circ}$.		'''(4)'''  Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen (2) und (3) gelöst werden:   $f_3 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$, $\varphi_3 \; \underline{= 60^\circ}$.


			'''(5)'''  Der Zeiger benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer $T_3 = 1/f_3 \; \underline{= 0.1 \ \text{ms}} \;(= t_1)$.

	~~'''5.''' Der Zeiger benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer $T_3 = 1/f_3 \; \underline{= 0.1 \ \text{ms}} \;(= t_1)$.~~

	'''6.''' Das analytische Signal startet bei $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}60^{\circ}}$. Dreht das Signal um $120^\circ$ weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil. Es gilt dann mit $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}} $ die folgende Beziehung:		'''(6)'''  Das analytische Signal startet bei $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}60^{\circ}}$. Dreht das Signal um $120^\circ$ weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil. Es gilt dann mit $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}} $ die folgende Beziehung:

	$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}		:$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V}
	\cdot {\cos} ( 60^\circ) = 1.5\hspace{0.05cm}{\rm V}		\cdot {\cos} ( 60^\circ) = 1.5\hspace{0.05cm}{\rm V}
	.$$		.$$

Guenter am 24. Januar 2018 um 10:42 Uhr

2018-01-24T10:42:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Januar 2018, 12:42 Uhr
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	Wir betrachten ein analytisches Signal $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische BP–Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte $S_i = x_i(t = 0)$ unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:		Wir betrachten ein analytisches Signal $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische BP–Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte $S_i = x_i(t = 0)$ unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:
	*Das analytische Signal $x_{1+}(t)$ beginnt bei $S_1$ = 3 V. Die Winkelgeschwindigkeit ist $\omega_1 = \pi \cdot 10^{4} \ 1/\text{s}$.		*Das analytische Signal $x_{1+}(t)$ beginnt bei $S_1 = 3 \ \rm V$. Die Winkelgeschwindigkeit ist $\omega_1 = \pi \cdot 10^{4} \ 1/\text{s}$.
	*Das Signal $x_{2+}(t)$ beginnt beim grünen Startpunkt $S_2 = {\rm j} \cdot 3 \ \text{V}$ und dreht gegenüber $x_{1+}(t)$ mit doppelter Winkelgeschwindigkeit  ⇒  $\omega_2 = 2 \cdot \omega_1$.		*Das Signal $x_{2+}(t)$ beginnt beim grünen Startpunkt $S_2 = {\rm j} \cdot 3 \ \text{V}$ und dreht gegenüber $x_{1+}(t)$ mit doppelter Winkelgeschwindigkeit   ⇒   $\omega_2 = 2 \cdot \omega_1$.
	*Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\pi /3}$ und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal $x_{2+}(t)$.		*Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\pi /3}$ und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal $x_{2+}(t)$.





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	{Wie groß sind die Amplituden aller betrachteten Signale?		{Wie groß sind die Amplituden aller betrachteten Signale?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A$ ~~ =~~ { 3 3% }  $\text{V}$		$A\ = \ $ { 3 3% }  $\text{V}$

	{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_1(t)$?		{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_1(t)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_1$ ~~ =~~ { 5 3% }  $\text{kHz}$		$f_1\ = \ $ { 5 3% }  $\text{kHz}$
	$\varphi_1$ ~~ =~~ { 0. }  $\text{Grad}$		$\varphi_1\ = \ $ { 0. }  $\text{Grad}$

	{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_2(t)$?		{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_2(t)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_2$ ~~ =~~ { 10 3% }  $\text{kHz}$		$f_2\ = \ $ { 10 3% }  $\text{kHz}$
	$\varphi_2$ ~~ =~~ { -91--89 }  $\text{Grad}$		$\varphi_2\ = \ $ { -91--89 }  $\text{Grad}$

	{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_3(t)$?		{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_3(t)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_3$ ~~ =~~ { 10 3% }  $\text{kHz}$		$f_3\ = \ $ { 10 3% }  $\text{kHz}$
	$\varphi_3$ ~~ =~~ { 60 3% }  $\text{Grad}$		$\varphi_3\ = \ $ { 60 3% }  $\text{Grad}$

	{Nach welcher Zeit $t_1$ ist das analytische Signal erstmalig wieder gleich dem Startwert $x_{3+}(t = 0)$?		{Nach welcher Zeit $t_1$ ist das analytische Signal erstmalig wieder gleich dem Startwert $x_{3+}(t = 0)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$t_1$ ~~ =~~ { 0.1 3% }  $\text{ms}$		$t_1\ = \ $ { 0.1 3% }  $\text{ms}$

	{Nach welcher Zeit $t_2$ ist das physikalische Signal $x_3(t)$ zum ersten Mal wieder so groß wie zum Zeitpunkt $t = 0$?		{Nach welcher Zeit $t_2$ ist das physikalische Signal $x_3(t)$ zum ersten Mal wieder so groß wie zum Zeitpunkt $t = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$t_2$ ~~ =~~ { 0.033 3% }  $\text{ms}$		$t_2\ = \ $ { 0.033 3% }  $\text{ms}$

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2018-01-03T13:04:10Z

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	[[Datei:P_ID716__Sig_A_4_3.png\|250px\|right\|frame\|Zeigerdiagramm einer Harmonischen]]		[[Datei:P_ID716__Sig_A_4_3.png\|250px\|right\|frame\|Zeigerdiagramm einer Harmonischen]]

	Wir betrachten ein analytisches Signal $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische Bandpass–Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte $S_i = x_i(t = 0)$ unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:		Wir betrachten ein analytisches Signal  $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische Bandpass–Signale  $x_1(t)$,  $x_2(t)$  und  $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte  $S_i = x_i(t = 0)$  unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:
	*Das analytische Signal $x_{1+}(t)$ beginnt bei $S_1 = 3 \ \rm V$. Die Winkelgeschwindigkeit ist $\omega_1 = \pi \cdot 10^{4} \ 1/\text{s}$.		*Das analytische Signal  $x_{1+}(t)$  beginnt bei  $S_1 = 3 \ \rm V$. Die Winkelgeschwindigkeit ist  $\omega_1 = \pi \cdot 10^{4} \ 1/\text{s}$.
	*Das Signal $x_{2+}(t)$ beginnt beim grünen Startpunkt $S_2 = {\rm j} \cdot 3 \ \text{V}$ und dreht gegenüber $x_{1+}(t)$ mit doppelter Winkelgeschwindigkeit   ⇒   $\omega_2 = 2 \cdot \omega_1$.		*Das Signal  $x_{2+}(t)$  beginnt beim grünen Startpunkt  $S_2 = {\rm j} \cdot 3 \ \text{V}$  und dreht gegenüber  $x_{1+}(t)$  mit doppelter Winkelgeschwindigkeit   ⇒   $\omega_2 = 2 \cdot \omega_1$.
	*Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\pi /3}$ und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal $x_{2+}(t)$.		*Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt  $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\pi /3}$  und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal  $x_{2+}(t)$.






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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
	*Das interaktive Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] verdeutlicht die hier behandelte Thematik.		*Das interaktive Applet  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]  verdeutlicht die hier behandelte Thematik.


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	$A\ = \ $ { 3 3% }  $\text{V}$		$A\ = \ $ { 3 3% }  $\text{V}$

	{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_1(t)$?		{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals  $x_1(t)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_1\ = \ $ { 5 3% }  $\text{kHz}$		$f_1\ = \ $ { 5 3% }  $\text{kHz}$
	$\varphi_1\ = \ $ { 0. }  $\text{Grad}$		$\varphi_1\ = \ $ { 0. }  $\text{Grad}$

	{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_2(t)$?		{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals  $x_2(t)$?
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	$f_2\ = \ $ { 10 3% }  $\text{kHz}$		$f_2\ = \ $ { 10 3% }  $\text{kHz}$
	$\varphi_2\ = \ $ { -91--89 }  $\text{Grad}$		$\varphi_2\ = \ $ { -91--89 }  $\text{Grad}$

	{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals $x_3(t)$?		{Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals  $x_3(t)$?
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	$f_3\ = \ $ { 10 3% }  $\text{kHz}$		$f_3\ = \ $ { 10 3% }  $\text{kHz}$
	$\varphi_3\ = \ $ { 60 3% }  $\text{Grad}$		$\varphi_3\ = \ $ { 60 3% }  $\text{Grad}$

	{Nach welcher Zeit $t_1$ ist das analytische Signal erstmalig wieder gleich dem Startwert $x_{3+}(t = 0)$?		{Nach welcher Zeit  $t_1$  ist das analytische Signal  $x_{3+}(t)$  erstmalig wieder gleich dem Startwert  $x_{3+}(t = 0)$?
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	$t_1\ = \ $ { 0.1 3% }  $\text{ms}$		$t_1\ = \ $ { 0.1 3% }  $\text{ms}$

	{Nach welcher Zeit $t_2$ ist das physikalische Signal $x_3(t)$ zum ersten Mal wieder so groß wie zum Zeitpunkt $t = 0$?		{Nach welcher Zeit  $t_2$  ist das physikalische Signal  $x_3(t)$  zum ersten Mal wieder so groß wie zum Zeitpunkt  $t = 0$?
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	$t_2\ = \ $ { 0.033 3% }  $\text{ms}$		$t_2\ = \ $ { 0.033 3% }  $\text{ms}$