Aufgaben:Aufgabe 4.3: WDF–Vergleich bezüglich differentieller Entropie - Versionsgeschichte

Guenter am 1. Oktober 2021 um 14:01 Uhr

2021-10-01T14:01:06Z

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2021-09-28T10:24:41Z

Guenter am 12. Februar 2020 um 14:01 Uhr

2020-02-12T14:01:47Z

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2020-02-10T16:51:54Z

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2018-10-18T08:52:13Z

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2018-10-16T12:18:38Z

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2018-10-16T11:36:22Z

Guenter am 16. Oktober 2018 um 11:14 Uhr

2018-10-16T11:14:36Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:51Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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 :$$h(X) = {1}/{2} \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm L} \cdot \sigma^2)
 \hspace{0.05cm}.$$
-Je größer die jeweilige Kenngröße&nbsp; ${\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm A}$&nbsp; bzw.&nbsp;  ${\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm L}$&nbsp; ist, desto günstiger ist bei der vereinbarten Nebenbedingung die vorliegende WDF hinsichtlich der differentiellen Entropie.
+Je größer die jeweilige Kenngröße&nbsp; ${\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm A}$&nbsp; bzw.&nbsp;  ${\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm L}$&nbsp; ist,&nbsp; desto günstiger ist bei der vereinbarten Nebenbedingung die vorliegende WDF hinsichtlich der differentiellen Entropie.

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 {Welche Gleichung gilt für die differentielle Entropie  der Gauß&ndash;WDF?
 |type="[]"}
-+ Es gilt: &nbsp; $h(X)= 1/2 \cdot \ln (2\pi\hspace{0.05cm}{\rm e}\hspace{0.05cm}\sigma^2)$&nbsp; mit der Pseudoeinheit &bdquo;nat&rdquo;.
++ Es gilt: &nbsp; $h(X)= 1/2 \cdot \ln (2\pi\hspace{0.05cm}{\rm e}\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm} \sigma^2)$&nbsp; mit der Pseudoeinheit &bdquo;nat&rdquo;.
-+ Es gilt: &nbsp; $h(X)= 1/2 \cdot \log_2 (2\pi\hspace{0.05cm}{\rm e}\hspace{0.05cm}\sigma^2)$&nbsp; mit der Pseudoeinheit &bdquo;bit&rdquo;.
++ Es gilt: &nbsp; $h(X)= 1/2 \cdot \log_2 (2\pi\hspace{0.05cm}{\rm e}\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}\sigma^2)$&nbsp; mit der Pseudoeinheit &bdquo;bit&rdquo;.
 {Ergänzen Sie den fehlenden Eintrag für die Gauß&ndash;WDF in obiger Tabelle.
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 [[Datei:P_ID2876__Inf_A_4_3e_neu.png|right|frame|Vervollständigte Ergebnistabelle für&nbsp; $h(X)$]]
-'''(5)'''&nbsp; In der vervollständigten Tabelle sind auch die numerischen Werte der Kenngrößen&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm L}$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm A}$&nbsp; eingetragen.
+'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die Lösungsvorschläge&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''.&nbsp; In der vervollständigten Tabelle rechts sind auch die numerischen Werte der Kenngrößen&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm L}$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm A}$&nbsp; eingetragen.
 Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; ist bei  Leistungsbegrenzung immer dann besonders günstig, wenn der Wert&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm L}$&nbsp; (rechte Spalte)&nbsp; möglichst groß ist.&nbsp; Dann ist die differentielle Entropie&nbsp; $h(X)$&nbsp; ebenfalls groß.
@@ Zeile 152: / Zeile 152: @@
-'''(6)'''&nbsp; Eine WDF&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; ist unter der Nebenbedingung der Spitzenwertbegrenzung &nbsp; &#8658; &nbsp;  $|X| ≤ A$ günstig hinsichtlich der differentiellen Entropie&nbsp; $h(X)$, wenn der Bewertungsfaktor&nbsp;  ${\it \Gamma}_{\rm A}$&nbsp; (mittlere Spalte)&nbsp; möglichst groß ist:
+'''(6)'''&nbsp; Richtig ist der Lösungsvorschlag&nbsp; '''(2)'''.&nbsp;
 * Wie im Theorieteil gezeigt wird, führt die Gleichverteilung&nbsp; $f_1(x)$&nbsp; hier zum größtmöglichen&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm A}= 2$  &nbsp;  &#8658; &nbsp; der <u>Lösungsvorschlag 2</u> ist richtig (der Wert in der mittleren Spalte ist rot markiert).
 * Die ebenfalls spitzenwertbegrenzte Dreieckverteilung&nbsp; $f_2(x)$&nbsp; ist durch ein etwas kleineres&nbsp;  ${\it \Gamma}_{\rm A}=  1.649$&nbsp; gekennzeichnet &nbsp; &#8658; &nbsp; der Lösungsvorschlag 3 ist falsch.

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 }}
-[[Datei:P_ID2874__Inf_A_4_3.png|right|frame|$h(X)$&nbsp; für vier Dichtefunktionen]]
+[[Datei:Inf_A_4_3_neu2.png|right|frame|$h(X)$&nbsp; für vier Dichtefunktionen]]
 Nebenstehende Tabelle zeigt das Vergleichsergebnis hinsichtlich der differentiellen Entropie&nbsp; $h(X)$&nbsp; für
 * die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen|Gleichverteilung]] &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $f_X(x) = f_1(x)$:

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 \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
 A = \frac{1}{\sqrt{2\pi  \sigma^2}}\hspace{0.05cm}.$$
-Logarithmiert man diese Funktion, so erhält man als Ergebnis den <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+*Logarithmiert man diese Funktion, so erhält man als Ergebnis den <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 :$${\rm ln}\hspace{0.1cm} \big [f_X(x) \big ] = {\rm ln}\hspace{0.1cm}(A) +
 {\rm ln}\hspace{0.1cm}\left [{\rm exp} (
 - \hspace{0.05cm}\frac{x ^2}{2 \sigma^2}) \right ]
 = {\rm ln}\hspace{0.1cm}(A) - \frac{x ^2}{2 \sigma^2}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; <u>Beide Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
-*Mit dem Ergebnis aus '''(1)''' erhält man für die differentielle Entropie in &bdquo;nat&rdquo;:
+*Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man für die differentielle Entropie in &bdquo;nat&rdquo;:
 :$$h_{\rm nat}(X)=  -\hspace{-0.1cm}  \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.15cm}  f_X(x) \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [f_X(x)] \hspace{0.1cm}{\rm d}x =
 - {\rm ln}\hspace{0.1cm}(A) \cdot
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 + \frac{1}{2 \sigma^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.15cm}  x^2 \cdot f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x = - {\rm ln}\hspace{0.1cm}(A)  + {1}/{2}
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei ist berücksichtigt, dass das erste Integral gleich $1$ ist (WDF&ndash;Fläche) und das zweite Integral gleich die Varianz $\sigma^2$ angibt (wenn wie hier der Gleichanteil $m_1 = = 0$ ist).
+*Hierbei ist berücksichtigt, dass das erste Integral gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist&nbsp; (WDF&ndash;Fläche).
-*Ersetzt man die Abkürzungsvariable $A$, so erhält man:
+*Das zweite Integral gibt zugleich die Varianz&nbsp; $\sigma^2$ an&nbsp; (wenn wie hier der Gleichanteil&nbsp; $m_1 = 0$&nbsp; ist).
 :$$h_{\rm nat}(X) \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm}   - {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left (\frac{1}{\sqrt{2\pi  \sigma^2}} \right )  + {1}/{2} = {1}/{2}\cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ({2\pi  \sigma^2} \right ) + {1}/{2} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( {\rm e} \right ) = {1}/{2} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ({{2\pi {\rm e} \cdot \sigma^2}} \right )
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Soll die  differentielle Entropie $h(X)$ nicht in &bdquo;nat&rdquo; angegeben werden, sondern in &bdquo;bit&rdquo;, so ist für den Logarithmus die Basis 2 zu wählen:
+*Soll die  differentielle Entropie&nbsp; $h(X)$&nbsp; nicht in &bdquo;nat&rdquo; angegeben werden, sondern in &bdquo;bit&rdquo;,&nbsp; so ist für den Logarithmus die Basis&nbsp; $2$&nbsp; zu wählen:
 :$$h_{\rm bit}(X) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ({{2\pi {\rm e} \cdot \sigma^2}} \right )
 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Nach der impliziten Definition $h(X) = {1}/{2} \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\hspace{-0.05cm}\rm L} \cdot \sigma^2)$ ergibt sich somit für die Kenngröße:
 :$${\it \Gamma}_{\rm L} = 2\pi {\rm e} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 17.08}
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Wir betrachten nun eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit Mittelwert $m_1$:
 :$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi  \sigma^2}} \cdot {\rm exp}\left [
 - \hspace{0.05cm}\frac{(x -m_1)^2}{2 \sigma^2} \right ]
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Das zweite Moment $m_2 = {\rm E}\big [X ^2 \big ]$ kann man auch als die Leistung $P$ bezeichnen, während für die Varianz gilt  (ist gleichzeitig das zweite Zentralmoment): &
+* Das zweite Moment&nbsp; $m_2 = {\rm E}\big [X ^2 \big ]$&nbsp; kann man auch als die Leistung&nbsp; $P$&nbsp; bezeichnen, während für die Varianz gilt  (ist gleichzeitig das zweite Zentralmoment):
 :$$\sigma^2 = {\rm E}\big [|X – m_1|^2 \big ] = \mu_2.$$
-* Nach dem Satz von Steiner gilt $P =  m_2 = m_1^2 + \sigma^2$. Unter der Voraussetzung &nbsp;$m_1 = \sigma = 1$ ist somit $\underline{P/\sigma^2 = 2}$.
+* Nach dem Satz von Steiner gilt&nbsp; $P =  m_2 = m_1^2 + \sigma^2$.&nbsp; Unter der Voraussetzung &nbsp;$m_1 = \sigma = 1$&nbsp; ist somit&nbsp; $\underline{P/\sigma^2 = 2}$.
-*Durch den Gleichanteil wird zwar die Leistung verdoppelt. An der differentiellen Entropie ändert sich dadurch aber nichts. Es gilt somit weiterhin:
+*Durch den Gleichanteil wird zwar die Leistung verdoppelt.&nbsp; An der differentiellen Entropie ändert sich dadurch aber nichts.&nbsp; Es gilt somit weiterhin:
 :$$h(X) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ({{2\pi {\rm e} \cdot \sigma^2}} \right )= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm} (17.08)\hspace{0.15cm}\underline{\approx 2.047\,{\rm bit}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2876__Inf_A_4_3e_neu.png|right|frame|Vervollständigte Ergebnistabelle für $h(X)$]]
+[[Datei:P_ID2876__Inf_A_4_3e_neu.png|right|frame|Vervollständigte Ergebnistabelle für&nbsp; $h(X)$]]
-'''(5)'''&nbsp; In der vervollständigten Tabelle sind auch die numerischen Werte der Kenngrößen ${\it \Gamma}_{\rm L}$ und ${\it \Gamma}_{\rm A}$ eingetragen.
+'''(5)'''&nbsp; In der vervollständigten Tabelle sind auch die numerischen Werte der Kenngrößen&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm L}$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm A}$&nbsp; eingetragen.
-Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_X(x)$ ist bei  Leistungsbegrenzung immer dann besonders günstig, wenn der Wert $\Gamma_{\rm L}$ (rechte Spalte) möglichst groß ist. Dann ist die differentielle Entropie $h(X)$ ebenfalls groß.
+Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; ist bei  Leistungsbegrenzung immer dann besonders günstig, wenn der Wert&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm L}$&nbsp; (rechte Spalte)&nbsp; möglichst groß ist.&nbsp; Dann ist die differentielle Entropie&nbsp; $h(X)$&nbsp; ebenfalls groß.
 Die numerischen Ergebnisse lassen sich wie folgt interpretieren:
-* Wie imTheorieteil bewiesen wird, führt die Gaußverteilung $f_4(x)$ hier zum größtmöglichen ${\it \Gamma}_{\rm L} &asymp; 17.08$ &nbsp; &#8658; &nbsp; der <u>Lösungsvorschlag 1</u> ist richtig (der Wert in der letzten Spalte rot markiert).
+* Wie imTheorieteil bewiesen wird, führt die Gaußverteilung&nbsp; $f_4(x)$&nbsp; hier zum größtmöglichen&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm L} &asymp; 17.08$ &nbsp; &#8658; &nbsp; der <u>Lösungsvorschlag 1</u> ist richtig (der Wert in der letzten Spalte ist rot markiert).
-* Für die Gleichverteilung $f_1(x)$ ist die Kenngröße ${\it \Gamma}_{\rm L} = 12$ die kleinste in der gesamten Tabelle &nbsp; &#8658; &nbsp;  der Lösungsvorschlag 2 ist falsch.
+* Für die Gleichverteilung&nbsp; $f_1(x)$&nbsp; ist die Kenngröße ${\it \Gamma}_{\rm L} = 12$&nbsp; die kleinste in der gesamten Tabelle &nbsp; &#8658; &nbsp;  der Lösungsvorschlag 2 ist falsch.
-* Die Dreieckverteilung $f_2(x)$ ist mit ${\it \Gamma}_{\rm L} = 16.31$  günstiger als die Gleichverteilung &nbsp; &#8658; &nbsp;  der Lösungsvorschlag 3 ist falsch.
+* Die Dreieckverteilung&nbsp; $f_2(x)$&nbsp; ist mit&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm L} = 16.31$&nbsp;  günstiger als die Gleichverteilung &nbsp; &#8658; &nbsp;  der Lösungsvorschlag 3 ist falsch.
-*Die Dreieckverteilung $f_2(x)$ ist auch besser als die Laplaceverteilung $f_2(x) \ \ ({\it \Gamma}_{\rm L} = 14.78)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; der <u>Lösungsvorschlag 4</u> ist richtig.
+*Die Dreieckverteilung&nbsp; $f_2(x)$&nbsp; ist auch besser als die Laplaceverteilung&nbsp; $f_2(x) \ \ ({\it \Gamma}_{\rm L} = 14.78)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; der <u>Lösungsvorschlag 4</u> ist richtig.
-'''(6)'''&nbsp; Eine WDF $f_X(x)$ ist unter der Nebenbedingung der Spitzenwertbegrenzung &nbsp; &#8658; &nbsp;  $|X| ≤ A$ günstig hinsichtlich der differentiellen Entropie $h(X)$, wenn der Bewertungsfaktor  ${\it \Gamma}_{\rm A}$ (mittlere Spalte) möglichst groß ist:
+'''(6)'''&nbsp; Eine WDF&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; ist unter der Nebenbedingung der Spitzenwertbegrenzung &nbsp; &#8658; &nbsp;  $|X| ≤ A$ günstig hinsichtlich der differentiellen Entropie&nbsp; $h(X)$, wenn der Bewertungsfaktor&nbsp;  ${\it \Gamma}_{\rm A}$&nbsp; (mittlere Spalte)&nbsp; möglichst groß ist:
-* Wie im Theorieteil gezeigt wird, führt die Gleichverteilung $f_1(x)$ hier zum größtmöglichen ${\it \Gamma}_{\rm A}= 2$  &nbsp;  &#8658; &nbsp; der <u>Lösungsvorschlag 2</u> ist richtig (der Wert in der mittleren Spalte ist rot markiert).
+* Wie im Theorieteil gezeigt wird, führt die Gleichverteilung&nbsp; $f_1(x)$&nbsp; hier zum größtmöglichen&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm A}= 2$  &nbsp;  &#8658; &nbsp; der <u>Lösungsvorschlag 2</u> ist richtig (der Wert in der mittleren Spalte ist rot markiert).
-* Die ebenfalls spitzenwertbegrenzte Dreieckverteilung $f_2(x)$ ist durch ein etwas kleineres  ${\it \Gamma}_{\rm A}= = 1.649$ gekennzeichnet &nbsp; &#8658; &nbsp; der Lösungsvorschlag 3 ist falsch.
+* Die ebenfalls spitzenwertbegrenzte Dreieckverteilung&nbsp; $f_2(x)$&nbsp; ist durch ein etwas kleineres&nbsp;  ${\it \Gamma}_{\rm A}=  1.649$&nbsp; gekennzeichnet &nbsp; &#8658; &nbsp; der Lösungsvorschlag 3 ist falsch.
-* Die Gaußverteilung $f_2(x)$ ist unendlich weit ausgedehnt. Eine Spitzenwertbegrenzung auf $|X| ≤ A$ führt hier zu Diracfunktionen in der WDF &nbsp; &#8658; &nbsp; $h(X) \to - \infty$, siehe Musterlösung zur Aufgabe 4.2Z, Teilaufgabe '''(4)'''.
+* Die Gaußverteilung&nbsp; $f_4(x)$&nbsp; ist unendlich weit ausgedehnt.&nbsp; Eine Spitzenwertbegrenzung auf&nbsp; $|X| ≤ A$ führt hier zu Diracfunktionen in der WDF &nbsp; &#8658; &nbsp; $h(X) \to - \infty$, siehe Musterlösung zur Aufgabe 4.2Z, Teilaufgabe '''(4)'''.
-* Gleiches würde auch für die Laplaceverteilung $f_3(x)$ gelten.
+* Gleiches würde auch für die Laplaceverteilung&nbsp; $f_3(x)$&nbsp; gelten.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID2874__Inf_A_4_3.png|right|frame|$h(X)$ für vier Dichtefunktionen]]
+[[Datei:P_ID2874__Inf_A_4_3.png|right|frame|$h(X)$&nbsp; für vier Dichtefunktionen]]
-Nebenstehende Tabelle zeigt das Vergleichsergebnis hinsichtlich der differentiellen Entropie $h(X)$ für
+Nebenstehende Tabelle zeigt das Vergleichsergebnis hinsichtlich der differentiellen Entropie&nbsp; $h(X)$&nbsp; für
-* die [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen|Gleichverteilung]] &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $f_X(x) = f_1(x)$:
+* die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgrößen|Gleichverteilung]] &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $f_X(x) = f_1(x)$:
 :$$f_1(x) = \left\{ \begin{array}{c} 1/(2A)  \\  0 \\  \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} |x| \le A \\     {\rm sonst} \\ \end{array}
 ,$$
-* die [[Aufgaben:3.1Z_Dreieckförmige_WDF|Dreieckverteilung]] &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $f_X(x) = f_2(x)$:
+* die&nbsp; [[Aufgaben:3.1Z_Dreieckförmige_WDF|Dreieckverteilung]] &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $f_X(x) = f_2(x)$:
 :$$f_2(x) = \left\{ \begin{array}{c} 1/A \cdot \big [1 - |x|/A \big ] \\  0 \\  \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} |x| \le A \\     {\rm sonst} \\ \end{array}
 ,$$
-* die [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung|Laplaceverteilung]] &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $f_X(x) = f_3(x)$:
+* die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung|Laplaceverteilung]] &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $f_X(x) = f_3(x)$:
 :$$f_3(x) =  \lambda/2 \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}|x|}\hspace{0.05cm}.$$
-Die Werte für die [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilung]] &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $f_X(x) = f_4(x)$ mit
+Die Werte für die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilung]] &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $f_X(x) = f_4(x)$&nbsp; mit
 :$$f_4(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi  \sigma^2}} \cdot {\rm e}^{
 - \hspace{0.05cm}{x ^2}/{(2 \sigma^2})}$$
-sind hier noch nicht eingetragen. Diese sollen in den Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(3)''' ermittelt werden.
+sind hier noch nicht eingetragen.&nbsp; Diese sollen in den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(3)'''&nbsp; ermittelt werden.
 Alle hier betrachteten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen sind
-* symmetrisch um $x = 0$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $f_X(-x) = f_X(x)$
+* symmetrisch um&nbsp; $x = 0$&nbsp; &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $f_X(-x) = f_X(x)$
 * und damit mittelwertfrei &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp;$m_1 = 0$.
 In allen hier betrachteten Fällen kann die differentielle Entropie wie folgt dargestellt werden:
-*Unter der Nebenbedingung $|X| ≤ A$ &nbsp; &#8658; &nbsp;&nbsp;  [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie#Beweis:_Maximale_differentielle_Entropie_bei_Spitzenwertbegrenzung|Spitzenwertbegrenzung]]:
+*Unter der Nebenbedingung&nbsp; $|X| ≤ A$ &nbsp; &#8658; &nbsp;&nbsp;  [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie#Beweis:_Maximale_differentielle_Entropie_bei_Spitzenwertbegrenzung|Spitzenwertbegrenzung]]:
-:$$h(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\hspace{-0.05cm}\rm A} \cdot A)
+:$$h(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm A} \cdot A)
 \hspace{0.05cm},$$
-*Unter der Nebenbedingung  ${\rm E}\big [|X – m_1|^2 \big ] ≤ σ^2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie#Beweis:_Maximale_differentielle_Entropie_bei_Leistungsbegrenzung|Leistungsbegrenzung]]:
+*Unter der Nebenbedingung&nbsp;  ${\rm E}\big [|X – m_1|^2 \big ] ≤ σ^2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie#Beweis:_Maximale_differentielle_Entropie_bei_Leistungsbegrenzung|Leistungsbegrenzung]]:
-:$$h(X) = {1}/{2} \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\hspace{-0.05cm}\rm L} \cdot \sigma^2)
+:$$h(X) = {1}/{2} \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm L} \cdot \sigma^2)
 \hspace{0.05cm}.$$
-Je größer die jeweilige Kenngröße ${\it \Gamma}_{\hspace{-0.05cm}\rm A}$ bzw.  ${\it \Gamma}_{\hspace{-0.05cm}\rm L}$ ist, desto günstiger ist bei der vereinbarten Nebenbedingung die vorliegende WDF hinsichtlich der differentiellen Entropie.
+Je größer die jeweilige Kenngröße&nbsp; ${\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm A}$&nbsp; bzw.&nbsp;  ${\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm}\rm L}$&nbsp; ist, desto günstiger ist bei der vereinbarten Nebenbedingung die vorliegende WDF hinsichtlich der differentiellen Entropie.
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]].
 *Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe finden Sie insbesondere auf den Seiten
-::[[Informationstheorie/Differentielle_Entropie#Differentielle_Entropie_einiger_spitzenwertbegrenzter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Differentielle Entropie einiger spitzenwertbegrenzter Zufallsgrößen]] sowie
+::[[Informationstheorie/Differentielle_Entropie#Differentielle_Entropie_einiger_spitzenwertbegrenzter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Differentielle Entropie einiger spitzenwertbegrenzter Zufallsgrößen]]&nbsp; sowie
 ::[[Informationstheorie/Differentielle_Entropie#Differentielle_Entropie_einiger_leistungsbegrenzter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Differentielle Entropie einiger leistungsbegrenzter Zufallsgrößen]].
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 $h(X) \ = \ $ { 2.047 3% } $\ \rm bit$
-{Welche der Aussagen stimmen für die differentielle Entropie  $h(X)$ unter der Nebenbedingung &bdquo;Leistungsbegrenzung&rdquo; auf ${\rm E}\big[|X – m_1|^2\big] ≤ σ^2$?
+{Welche der Aussagen stimmen für die differentielle Entropie&nbsp;  $h(X)$&nbsp; unter der Nebenbedingung &bdquo;Leistungsbegrenzung&rdquo; auf&nbsp; ${\rm E}\big[|X – m_1|^2\big] ≤ σ^2$?
 |type="[]"}
-+ Die Gaußverteilung &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_4(x)$ führt zum maximalen $h(X)$.
++ Die Gaußverteilung &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_4(x)$&nbsp; führt zum maximalen&nbsp; $h(X)$.
-- Die Gleichverteilung &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_1(x)$ führt zum maximalen $h(X)$.
+- Die Gleichverteilung &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_1(x)$&nbsp; führt zum maximalen&nbsp; $h(X)$.
-- Die Dreieck&ndash;WDF &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_2(x)$ ist sehr ungünstig, da spitzenwertbegrenzt.
+- Die Dreieck&ndash;WDF &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_2(x)$&nbsp; ist sehr ungünstig, da spitzenwertbegrenzt.
-+ Die Dreieck&ndash;WDF &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_2(x)$ ist günstiger als die Laplaceverteilung &nbsp; &rArr; &nbsp;  $f_3(x)$.
++ Die Dreieck&ndash;WDF &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_2(x)$&nbsp; ist günstiger als die Laplaceverteilung &nbsp; &rArr; &nbsp;  $f_3(x)$.
-{Welche der Aussagen stimmen bei &bdquo;Spitzenwertbegrenzung&rdquo; auf den Bereich  $|X| ≤ A$. Die maximale differentielle Entropie  $h(X)$ ergibt sich für
+{Welche der Aussagen stimmen bei &bdquo;Spitzenwertbegrenzung&rdquo; auf den Bereich&nbsp;  $|X| ≤ A$.&nbsp; Die maximale differentielle Entropie&nbsp;  $h(X)$&nbsp; ergibt sich für
 |type="[]"}
-- eine Gauß&ndash;WDF &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_4(x)$ mit anschließender Begrenzung &nbsp; &#8658; &nbsp;$|X| ≤ A$,
+- eine Gauß&ndash;WDF &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_4(x)$&nbsp; mit anschließender Begrenzung &nbsp; &#8658; &nbsp;$|X| ≤ A$,
 + die Gleichverteilung &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_1(x)$,
 - die Dreieckverteilung &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_2(x)$.

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]].
 *Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe finden Sie insbesondere auf den Seiten [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie#Differentielle_Entropie_einiger_spitzenwertbegrenzter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Differentielle Entropie einiger spitzenwertbegrenzter Zufallsgrößen]] sowie [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie#Differentielle_Entropie_einiger_leistungsbegrenzter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Differentielle Entropie einiger leistungsbegrenzter Zufallsgrößen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.